اعداد در نظر گرفته شده برای شمارش آیتم ها و پاسخ به سوال "چقدر؟" ("چقدر

توپ؟ "،" چند سیب؟ "،" چند سرباز؟ ") طبیعی نامیده می شود.

اگر آنها را به ترتیب آنها را بنویسید، از یک عدد کوچکتر به بیشتر، سپس محدوده طبیعی اعداد عبارتند از:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 99, 100, 101, …, 999, 1000, 1001 …

سری های طبیعی از اعداد با اعداد 1 آغاز می شود.

هر عدد طبیعی بعدی 1 بیشتر از قبل است.

سری های طبیعی تعداد بی نهایت هستند.

اعداد حتی و عجیب هستند. حتی اعداد به دو تقسیم می شوند و اعداد عدد به دو نفر تقسیم نمی شوند.

تعدادی از اعداد عجیب و غریب:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, 99, 101, …, 999, 1001, 1003 …

تعدادی از اعداد حتی:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 98, 100, …, 998, 1000, 1002 …

در یک ردیف طبیعی، عجیب و غریب و حتی اعداد متناوب:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 99, 100, …, 999, 1000 …

نحوه مقایسه اعداد طبیعی

هنگام مقایسه دو عدد طبیعی، بیشتر در یک ردیف طبیعی قرار می گیرد:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

بنابراین، هفت بیش از سه و پنج واحد دیگر.

در ریاضیات برای ضبط کلمه "کمتر"، علامت "<», а для записи слова «больше» - знак « > ».

گوشه تیز از آیکون های "بیشتر" و "کمتر" همیشه به سمت کوچکتر از دو عدد هدایت می شود.

ضبط 7\u003e 3 به عنوان "هفت بیش از سه" بخوانید.

رکورد 3< 7 читается как «три меньше семи».

ضبط 5\u003e 1 به عنوان "پنج بیش از یک" بخوانید.

رکورد 1< 5 читается как «один меньше пяти».

کلمه "برابر" در ریاضیات توسط علامت "\u003d" جایگزین شده است:

هنگامی که اعداد بزرگ هستند، بلافاصله دشوار است که بلافاصله بگویید که یکی از حق در یک ردیف طبیعی است.

هنگام مقایسه دو عدد طبیعی با تعداد مختلف اعداد، بیشتر از آنها، که در آن اعداد بیشتر است.

به عنوان مثال، 233 000< 1 000 000, потому что в пер­вом числе шесть цифр, а во втором - семь.

اعداد طبیعی چند منظوره با همان تعداد رقم ها نسبت به پیوند باقیمانده، با تخلیه قدیمی تر مقایسه می شوند.

اول، واحدهای قدیمی ترین تخلیه مقایسه می شوند، پس از آن، بعد از آن، بعد، بعدی و غیره. به عنوان مثال، مقایسه شماره های 5401 و 5430:

5401 \u003d 5 هزار 4 صد 0 دوازده واحد واحد؛

5430 \u003d 5 هزار 4 صد 3 تن 0 واحد.

مقایسه واحدهای هزاران. در دسته واحد هزاران نفر از 5401 - 5 واحد، در تخلیه واحدهای هزاران نفر از 5430 تا 5 واحد. با مقایسه واحد هزاران، این نیز غیرممکن است که بگوییم کدام تعداد بیشتر است.

مقایسه صدها. در تخلیه صدها عدد 5401 - 4 واحد، در تخلیه صدها عدد 5430 - همچنین 4 واحد. لازم است که مقایسه شود.

مقایسه ده ها. در تخلیه ده ها عدد 5401 - 0 واحد، در تخلیه ده ها عدد 5430 - 3 واحد.

مقایسه، ما دریافت 0< 3, поэтому 5401 < 5430.

اعداد را می توان به ترتیب نزولی و به ترتیب صعودی قرار داد.

اگر در رکورد چند عدد طبیعی هر تعداد بعدی کمتر از یک قبلی باشد، آنها می گویند که اعداد به ترتیب نزولی نوشته شده اند.

ما شماره های 5، 22، 13، 800 را به ترتیب نزولی می نویسیم.

قرار دادن بیشتر شماره 5 یکنواخت، 13 و 22 - دو رقمی، 800 - تعداد سه رقمی و، بنابراین، بزرگترین. ما در ابتدا 800 نوشتیم.

از شماره های دو رقمی 13 و 22 بیشتر از 22. ما در شماره 800 شماره 22، و سپس 13 نوشتیم.

کوچکترین شماره یک شماره یکنواخت است. 5. ما آن را می نویسیم.

800، 22، 13، 5 - شماره های داده ضبط شده به ترتیب کاهش آنها.

اگر در رکورد چند عدد طبیعی هر تعداد بعدی بیش از یک قبلی، آنها می گویند که اعداد به ترتیب صعودی ثبت می شوند.

و چگونه به ثبت اعداد 15، 2، 31، 278، 298 به ترتیب صعودی؟

در میان اعداد 15، 2، 31، 278، 298 جفت کوچکتر.

این یک شماره یکنواخت است 2. ما آن را برای اولین بار بنویسیم.

از شماره های دو رقمی 15 و 31، کمتر را انتخاب کنید - 15، ما آن را در جای دوم و بعد از آن بنویسیم - 31.

از شماره های سه رقمی 278 - کوچکتر، آن را در شماره 31 بنویسید و آخرین شماره 298 را بنویسید.

2، 15، 21، 278، 298 - ضبط تعداد داده ها به ترتیب صعودی

درس "تعیین اعداد طبیعی" اولین درس در دوره ریاضیات درجه پنجم است و ادامه، و در برخی موارد، و تکرار یک موضوع مشابه، که در دوره ابتدایی تحصیل کرده است. در نتیجه، شاگردان اغلب مواد آموزشی را درک نمی کنند. بنابراین، برای رسیدن به حداکثر بهره و تمرکز توجه، لازم است روش های توضیح جدید را برای مثال، برای استفاده از ارائه "اعداد طبیعی" ارائه کنید.

درس شروع می شود با تکرار تعدادی از اعداد، و همچنین مفهوم یک عدد طبیعی و رکورد دهدهی آن. توضیح داده شده است که دنباله ای از تمام اعداد طبیعی به طور طبیعی به طور طبیعی نامیده می شود و نمونه ای از بیست مورد اول است. توجه ویژه در طول ارائه به ارزش ارقام داده شده است مکان های او در رکورد شماره. برای انجام این کار، رکورد تعداد تخلیه ها در نظر گرفته شده است. با استفاده از انیمیشن های دیدنی و غیر نفوذی، دانش آموزان نشان داده شده است، که به معنی همان شکل بسته به جایی است که: در تخلیه واحدها، در تخلیه ده ها، و غیره

این نادر نیست که ببیند، همراه با این واقعیت که تعداد صفر اغلب در زندگی روزمره مورد استفاده قرار می گیرد و در طی ریاضیات، دانش آموزان دچار مشکل می شوند، زمانی که آنها نیاز به توضیح دادن دارند. برای افزایش اثربخشی درک، مفهوم صفر نمونه ای از یک حساب کاربری در یک مسابقه فوتبال است. همچنین توجه دانشجویان را به این واقعیت تأکید کرد که 0 به اعداد طبیعی اشاره نکنید.

در ارائه جزئیات، با استفاده از نمونه ها، مفاهیم اعداد یکپارچه، دو رقمی، سه رقمی و چهار رقمی در نظر گرفته شده است. در نظر گرفته شده نوشته های یک میلیون و میلیارد. توجه جداگانه به خواندن صحیح اعداد چندجانبه و شکست آنها به کلاس ها پرداخت می شود. با استفاده از یک جدول برای ضبط یک شماره چند ارزشمند با انتخاب کلاس ها و تخلیه، نشان داده شده است که کلاس چپ، در مقایسه با همه دیگر، می تواند کمتر از سه رقم داشته باشد.

به منظور بررسی نتیجه جذب دانش آموزان مواد جدید، این توسعه ارائه شامل لیستی از سوالاتی است که به طور کامل مواد اعلام شده را پوشش می دهد. این به معلم اجازه می دهد تا به سرعت به لحظات واکنش نشان دهد که به طور کامل دانش آموزان را کاملا درک نکرده اند. به عنوان یک نتیجه از مطالعه این موضوع.

از آنجا که ارائه "اعداد طبیعی" ارائه موضوع را در سطح قابل فهم و مقرون به صرفه تنظیم می کند، نمایش مواد آموزشی منطقی و به طور مداوم، می تواند با موفقیت نه تنها در یک توضیح فوری فوری از این موضوع، بلکه همچنین با استفاده از دانش آموزان مستقل یا از راه دور.

هدف از صفر

دو رویکرد به تعریف اعداد طبیعی وجود دارد:

• تعداد (شماره) فاعل، موضوع ( اولین, دومین, سومین, چهارمین, پنجم…);
• اعداد طبیعی - تعداد ناشی از تعیین تعداد فاعل، موضوع ( 0 مورد, 1 موضوع, 2 موضوع, 3 موضوع, 4 نفر, 5 مورد…).

در اولین مورد، تعدادی از اعداد طبیعی با یک واحد شروع می شود، در دوم - از ابتدا. هیچ کس برای اکثر ریاضیدانان در مورد اولویت رویکرد اول یا دوم وجود ندارد (یعنی صفر طبیعی یا نه). در اکثریت قریب به اتفاق منابع روسی، اولین رویکرد به طور سنتی پذیرفته می شود. به عنوان مثال، رویکرد دوم، در نوشته های نیکلاس Bombaki اعمال می شود، جایی که اعداد طبیعی به عنوان قدرت مجموعه های محدود تعریف می شوند. حضور صفر، اصطلاحات و اثبات بسیاری از قضیه تعداد اعداد طبیعی ریاضی را تسهیل می کند، بنابراین اولین رویکرد یک مفهوم مفید را معرفی می کند ردیف طبیعی گسترش یافته استاز جمله صفر

مجموعه ای از تمام اعداد طبیعی برای تعیین نماد ساخته شده است. استانداردهای بین المللی ISO 31-11 (1992) و ISO 80000-2 (2009) نشانه زیر را ایجاد می کنند:

در منابع روسی، این استاندارد هنوز مورد احترام نیست - آنها نماد هستند n (\\ displaystyle \\ MathBB (n)) اعداد طبیعی را بدون صفر نشان می دهد و ردیف طبیعی پیشرفته نشان داده شده است n 0، z +، z ⩾ 0 (\\ displayStyle \\ MathBB (n) _ (0)، \\ mathBB (z) _ (+)، \\ mathBB (z) _ (\\ geqslant 0)) و غیره.

Axioms اجازه می دهد مجموعه ای از اعداد طبیعی را تعیین کند

Axioms Peano برای اعداد طبیعی

بسیاری از n (\\ displaystyle \\ MathBB (n)) بیایید یک مجموعه از اعداد طبیعی را اگر برخی از عناصر ثابت شود، تماس بگیرید 1 (واحد)، عملکرد s (\\ displaystyle s) C منطقه تعریف n (\\ displaystyle \\ MathBB (n))به نام تابع زیر ( S: N (\\ displayStyle S \\ Colon \\ MathBB (N)))، و شرایط زیر برآورده شده است:

1. واحد عنصر متعلق به این مجموعه است ( 1 ∈ n (\\ displaystyle 1 \\ in \\ mathBB (n)))، این، یک عدد طبیعی است؛
2. شماره در کنار طبیعی نیز طبیعی است (اگر پس از آن s (x) ∈ n (\\ displaystyle s (x) \\ in \\ mathBB (n)) یا در یک رکورد کوتاهتر S: n → n (\\ displaystyle s \\ Colon \\ mathBB (n) \\ to \\ mathBB (n)));
3. واحد نباید در هر عدد طبیعی باشد ( ∄ x ∈ n (s (x) \u003d 1) (\\ displaystyle \\ nexists x \\ in \\ mathBB (n) \\ (s (x) \u003d 1)));
4. اگر یک عدد طبیعی باشد a (\\ displaystyle a) به طور مستقیم به طور مستقیم به عنوان یک عدد طبیعی دنبال می شود ب (\\ displayStyle B)و در اعداد طبیعی C (\\ displayStyle C)T. ب (\\ displayStyle B) و C (\\ displayStyle C) - این همان شماره است (اگر s (b) \u003d a (\\ displaystyle s (b) \u003d a) و s (c) \u003d a (\\ displaystyle s (c) \u003d a)T. b \u003d c (\\ displaystyle b \u003d c));
5. (Axiom القایی) اگر هر جمله (بیانیه) p (\\ displaystyle p) برای یک عدد طبیعی ثابت شده است n \u003d 1 (\\ displaystyle n \u003d 1) (القاء پایه) و اگر از این فرض که برای یک عدد طبیعی دیگر درست است n (\\ displaystyle n)، به این معنی است که برای موارد زیر درست است n (\\ displaystyle n) عدد طبیعی ( فرض القاء)، این پیشنهاد برای تمام اعداد طبیعی درست است (اجازه دهید p (n) (\\ displaystyle p (n)) - برخی از پیش فرض های تک (یکنواخت)، که پارامتر آن یک عدد طبیعی است n (\\ displaystyle n). سپس، اگر P (1) (\\ displayStyle P (1)) و ∀ n (p (n) ⇒ p (s (n)) (\\ displaystyle \\ forall n \\؛ (p (n) \\ rightarrow p (s (n)))))T. ∀ n p (n) (\\ displaystyle \\ forall n \\؛ p (n))).

Axioms ذکر شده نشان دهنده دیدگاه بصری ما از محدوده طبیعی و خط عددی است.

واقعیت اصلی این است که این اصل ها اساسا قطعا توسط اعداد طبیعی (طبقه بندی سیستم Peano Axiom) تعیین می شود. یعنی شما می توانید ثابت کنید (نگاه کنید، و همچنین یک اثبات کوتاه) که اگر (n، 1، s) (\\ displaystyle (\\ mathBB (n)، 1، s)) و (n ~، 1 ~، s ~) (\\ displaystyle ((\\ tilde (\\ mathBB (n)))، (\\ tilde (1))، (\\ tilde (s))))) - دو مدل برای سیستم AXIOM PEAUNO، پس از آن آنها نیاز به ایزومورفیک، یعنی یک صفحه نمایش برگشت پذیر وجود دارد (Biecjection) f: n → n ~ (\\ displaystyle f \\ Colon \\ mathBB (n) \\ to (\\ tilde (\\ mathBB (n)))) به طوری که f (1) \u003d 1 ~ (\\ displaystyle f (1) \u003d (\\ tilde (1))) و f (s (x)) \u003d s ~ (f (x)) (\\ displaystyle f (s (s (x)) \u003d (\\ tilde (s)) (f (x))) برای همه x ∈ n (\\ displaystyle x \\ in \\ mathBB (n)).

بنابراین، به اندازه کافی برای رفع آن است n (\\ displaystyle \\ MathBB (n)) هیچ مدل خاصی از اعداد مختلف چندگانه وجود ندارد.

گاهی اوقات، به ویژه در ادبیات خارجی و ترجمه، در محور اول و سوم، Peano جایگزین واحد به صفر می شود. در این مورد، صفر به عنوان یک عدد طبیعی محسوب می شود. هنگامی که از طریق کلاس های مجموعه تعادلی تعیین می شود، صفر یک عدد طبیعی با تعریف است. به خصوص دور انداختن آن غیر طبیعی خواهد بود. علاوه بر این، آن را به طور قابل توجهی پیچیده ساخت و ساز بیشتر و استفاده از تئوری، از آنجا که در اکثر طرح های صفر، و همچنین مجموعه خالی چیزی جداگانه نیست. یکی دیگر از مزایای در نظر گرفتن صفر صفر است که در همان زمان است n (\\ displaystyle \\ MathBB (n)) فرم تک تک همانطور که ذکر شد، در ادبیات روسیه، صفر به طور سنتی از میان اعداد طبیعی حذف می شود.

تعریف نظری و چندگانه از اعداد طبیعی (Frege - Russell)

بنابراین، اعداد طبیعی بر اساس مفهوم مجموعه، در دو قانون معرفی می شوند:

اعداد مشخص شده به این طریق داخلی نامیده می شوند.

ما اولین عدد اول عدد اول و عدد طبیعی مربوطه را توصیف می کنیم:

مقدار مجموعه ای از اعداد طبیعی

مقدار مجموعه بی نهایت با مفهوم "قدرت مجموعه" مشخص می شود، که تعمیم تعداد عناصر مجموعه نهایی مجموعه های بی پایان است. در اندازه (به عنوان مثال، قدرت) بسیاری از اعداد طبیعی بیشتر از هر مجموعه محدودی هستند، اما کمتر از هر فاصله زمانی، به عنوان مثال، فاصله (0، 1) (\\ displayStyle (0،1)). بسیاری از اعداد طبیعی در قدرت همان تعداد عقلانی هستند. بسیاری از قدرت های مشابه به عنوان بسیاری از اعداد طبیعی یک مجموعه قابل شمارش نامیده می شود. بنابراین، بسیاری از اعضای هر دنباله شمارش هستند. در عین حال، یک توالی وجود دارد که هر تعداد طبیعی شامل تعداد بی نهایت از زمان، از آنجا که مجموعه ای از اعداد طبیعی را می توان به عنوان یک اتحاد شمارشی از مجموعه های شمارش غیر چرخه (به عنوان مثال، n \u003d ⋃ k \u003d 0 ∞ (⋃ n \u003d 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\\ displaystyle \\ mathBB (n) \u003d \\ bigcup \\ limits _ (k \u003d 0) ^ (\\ infty) \\ left (\\ bigcup \\ limits _ (n \u003d 0) ^ (\\ infty) (2n + 1) 2 ^ (k) \\ right))).

عملیات طبیعی

عملیات بسته (عملیات که نتیجه را از یک تعداد طبیعی از اعداد طبیعی برداشت نمی کند) بیش از اعداد طبیعی عبارتند از: عملیات محاسبات زیر:

علاوه بر این، دو عملیات دیگر را در نظر بگیرید (از نقطه نظر رسمی که عملیات بیش از اعداد طبیعی نیست، زیرا آنها برای آنها تعریف نشده اند همه شماره های PAR (گاهی اوقات وجود دارد، گاهی اوقات وجود ندارد)):

لازم به ذکر است که عملیات علاوه بر و ضرب اساسی است. به طور خاص، حلقه عدد صحیح دقیقا از طریق عملیات دودویی علاوه بر و ضرب ها تعیین می شود.

خواص اساسی

• کمیته اضافی:

A + B \u003d B + A (\\ displaystyle A + B \u003d B + A).

• تعویض ضرب:

a ⋅ b \u003d b ⋅ a (\\ displaystyle a \\ cdot b \u003d b \\ cdot a).

• وابسته به علاوه:

(a + b) + c \u003d a + (b + c) (\\ displaystyle (a + b) + c \u003d a + (b + c)).

• همبستگی ضرب:

(a ⋅ b) ⋅ c \u003d a ⋅ (b ⋅ c) (\\ displaystyle (a \\ cdot b) \\ cdot c \u003d a \\ cdot (b \\ cdot c)).

• توزیع ضرب نسبت به افزودن:

(a ⋅ (b + c) \u003d a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a \u003d b ⋅ a + c ⋅ a (\\ displaystyle (\\ begin (موارد) a \\ cdot (b + c) \u003d a \\ cdot b + a \\ cdot c \\\\ (b + c) \\ cdot a \u003d b \\ cdot a + c \\ cdot a \\ ed (موارد)).

ساختار جبری

علاوه بر این، مجموعه ای از اعداد طبیعی را در یک نیمه اسپرم با یک، نقش واحد انجام می دهد 0 . ضرب نیز بسیاری از اعداد طبیعی را به یک نیمگروپ با یک واحد تبدیل می کند، در حالی که عنصر واحد است 1 . با استفاده از بسته شدن در مورد عملیات علاوه بر تفریق و ضرب تقسیم، گروه های عدد صحیح به دست می آیند. z (\\ displaystyle \\ MathBB (Z)) و اعداد مثبت عقلانی Q + * (\\ displayStyle \\ MathBB (Q) _ (+) ^ (*)) به ترتیب.

عدد صحیح - اعداد که برای اقلام حساب اعمال می شود . هر عدد طبیعی می تواند با ده نفر نوشته شود شماره:0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9. چنین رکوردی به نام دهدهی

دنباله ای از تمام اعداد طبیعی نامیده می شود طبیعی نزدیک .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

اکثر کم اهمیتتعداد طبیعی - واحد (1). در یک ردیف طبیعی، هر شماره بعدی 1 بیشتر از قبل است. سری طبیعی بي نهايتهیچ تعداد زیادی در آن وجود ندارد.

مقدار رقم بستگی به جای آن در تعداد اعداد دارد. به عنوان مثال، شماره 4 به معنی: 4 واحد، اگر در آخرین مکان در تعداد اعداد است (در تخلیه واحدها)؛4 ده،اگر در جایگاه آخر قرار بگیرد (در تخلیه ده ها)؛4 صدها نفراگر از انتهای جای خود قرار بگیرد (که در تخلیه صدها نفر).

Digital0 به معنی عدم وجود واحدهای این تخلیهدر رکورد دهدهی شماره. همچنین برای تعیین تعداد " صفر" این شماره به معنای "نه یک" است. حساب 0: 3 مسابقات فوتبال می گوید که تیم اول هیچ هدف را به دروازه حریف دست نیافت.

صفر مراجعه نکن به اعداد طبیعی و واقعا موضوع موضوع هرگز از ابتدا شروع نمی شود.

اگر ضبط یک عدد طبیعی شامل یک علامت باشد – یک رقمی، سپس آن را نامیده می شود یکنواختکسانی که. یکپارچه عدد طبیعی - شماره طبیعی، رکوردی از آن شامل یک علامت است – یک رقم به عنوان مثال، اعداد 1، 6، 8 یکپارچه هستند.

دو رقمی عدد طبیعی - یک عدد طبیعی، رکوردی که شامل دو کاراکتر است - دو رقم.

به عنوان مثال، اعداد 12، 47، 24، 99 دو رقمی هستند.

همچنین، با توجه به تعداد نشانه ها، این شماره نام و شماره های دیگر را می دهد:

اعداد 326، 532، 893 - سه رقمی؛

اعداد 1126، 4268، 9999 - چهار رقمیو غیره.

دو رقمی، سه رقمی، چهار رقمی، پنج رقمی، و غیره اعداد نامیده می شوند اعداد چندگانه .

برای خواندن اعداد چند ارزش، آنها شکسته می شوند، از سمت راست شروع می شوند، در گروه های سه رقم در هر کدام (گروه چپ ممکن است از یک یا دو رقم تشکیل شود). این گروه ها تماس می گیرند کلاس ها.

میلیون - این هزار هزار (1000 هزار) است، آن را 1 میلیون یا 1،000،000 ثبت شده است.

بیلیون - این 1000 میلیون نفر است. این 1 میلیارد یا 1،000،000،000 نوشته شده است.

سه رقم اول در سمت راست کلاس واحد را تشکیل می دهند، سه عبارت زیر هستند - کلاس هزار، و سپس کلاس های میلیون ها، میلیاردها و غیره. (عکس. 1).

شکل. 1. کلاس میلیون ها، کلاس هزار و کلاس واحد (چپ به راست)

شماره 15389000286 در شبکه تخلیه ثبت شده است (شکل 2).

شکل. 2. تخلیه مش: تعداد 15 میلیارد 389 میلیون 286

این تعداد دارای 286 واحد در کلاس واحد، واحد صفر در کلاس هزاران، 389 واحد در کلاس میلیون ها و 15 واحد در میلیارد کلاس است.