Atrisiniet vienādojumu X 2 +(1-x) 2 =x

Pierādīt, ka nav veselu skaitļu, kas palielinātos par koeficientu 5, pārkārtojot sākuma ciparu līdz beigām.

Noteiktā valstībā katrs divi ir vai nu draugi, vai ienaidnieki. Ikviens kādā brīdī var sastrīdēties ar visiem draugiem un noslēgt mieru ar visiem ienaidniekiem. Izrādījās, ka šādi var kļūt par draugiem ik pēc trim cilvēkiem. Pierādiet, ka tad visi cilvēki šajā valstībā var kļūt par draugiem.

Trijstūrī viena no mediānām ir perpendikulāra vienai no bisektriecēm. Pierādiet, ka viena no šī trijstūra malām ir divreiz lielāka par otru.

Uzdevumi novada (pilsētas) olimpiādes rīkošanai skolēniem matemātikā.

Šaušanā no mērķa sportiste izsita tikai 8,9 un pa 10 punktiem. Kopumā, realizējot vairāk nekā 11 metienus, viņš izsita tieši 100 punktus. Cik metienu sportists izdarīja un kādi bija sitieni?

Pierādiet nevienlīdzības patiesumu:

3. Atrisiniet vienādojumu:

Atrodiet trīsciparu skaitli, kas samazinās par 7 pēc tam, kad tajā ir izsvītrots vidējais cipars.

Trijstūrī ABC tiek novilktas bisektrise no virsotnēm A un B. Tad no virsotnes C paralēli šīm bisektriecēm tiek novilktas taisnes. Šo taisnu krustpunkta punkti D un E ir savienoti ar bisektoriem. Izrādījās, ka taisnes DE un AB ir paralēlas. Pierādīt, ka trijstūris ABC ir vienādsānu.

Uzdevumi novada (pilsētas) olimpiādes rīkošanai skolēniem matemātikā.

Atrisiniet vienādojumu sistēmu:

Paralelograma ABCD malās AB un AD ņemti attiecīgi punkti E un K, lai nogrieznis EK būtu paralēls diagonālei BD. Pierādīt, ka trīsstūru VISI un SDO laukumi ir vienādi.

Viņi nolēma autobusos iesēdināt tūristu grupu, lai katrā autobusā būtu vienāds pasažieru skaits. Sākumā katrā autobusā tika iesēdināti 22 cilvēki, taču izrādījās, ka vienu tūristu šajā gadījumā nav iespējams ievietot. Kad viens autobuss aizbrauca tukšs, tad atlikušajos autobusos visi tūristi iekāpa vienādi. Cik autobusu sākotnēji bija un cik tūristu bija grupā, ja zināms, ka katrā autobusā var ietilpt ne vairāk kā 32 cilvēki?

Uzdevumi novada (pilsētas) olimpiādes rīkošanai skolēniem matemātikā.

Atrisiniet vienādojumu sistēmu:

Pierādīt, ka četri attālumi no riņķa punkta līdz tajā ierakstīta kvadrāta virsotnei vienlaikus nevar būt racionāli skaitļi.

Iespējamie problēmu risinājumi

1. Atbilde: x=1, x=0,5

No sākotnējā cipara permutācijas līdz beigām skaitļa nozīme nemainīsies. Šajā gadījumā, atkarībā no problēmas stāvokļa, viņiem vajadzētu iegūt skaitli, kas ir 5 reizes lielāks par pirmo skaitli. Tāpēc vēlamā skaitļa pirmajam ciparam jābūt vienādam ar 1 un tikai 1. (jo, ja pirmais cipars ir 2 vai vairāk, tad vērtība mainīsies, 2 * 5 = 10). Pārkārtojot 1 līdz galam, iegūtais skaitlis beidzas ar 1, tāpēc tas nedalās ar 5.

No nosacījuma izriet, ka, ja A un B ir draugi, tad C ir vai nu viņu kopīgais ienaidnieks, vai kopīgs draugs (pretējā gadījumā viņus trīs nevar samierināt). Ņemsim visus personas A draugus. No teiktā izriet, ka viņi visi ir draudzīgi viens ar otru un ir naidīgi pret pārējiem. Lai A un viņa draugi tagad pārmaiņus strīdas ar draugiem un vienojas ar ienaidniekiem. Pēc tam visi būs draugi.

Patiešām, lai A pirmais sastrīdas ar saviem draugiem un samierinās ar ienaidniekiem, bet tad katrs no viņa bijušajiem draugiem pacietīs viņu, un bijušie ienaidnieki paliks draugi. Tātad visi cilvēki izrādās A draugi un līdz ar to arī draugi savā starpā.

Skaitlis 111 dalās ar 37, tātad arī summa dalās ar 37.

Pēc nosacījuma skaitlis dalās ar 37, tātad summa

Dalāms ar 37.

Ņemiet vērā, ka norādītā mediāna un bisektrise nevar iznākt no vienas virsotnes, jo pretējā gadījumā leņķis šajā virsotnē būtu lielāks par 180 0 . Tagad trijstūrī ABC bisektrise AD un mediāna CE krustojas punktā F. Tad AF ir bisektrise un augstums trijstūrī ACE, kas nozīmē, ka šis trīsstūris ir vienādsānu (AC \u003d AE), un tā kā CE ir mediāna, tad AB \u003d 2AE un līdz ar to AB = 2AC.

Iespējamie problēmu risinājumi

1. Atbilde: 9 metieni pa 8 punktiem,

2 metieni pa 9 punktiem,

1 metiens pa 10 punktiem.

Ļaujiet x metienus izdarīja sportists, izsitot 8 punktus, y metieni pa 9 punktiem, z metieni pa 10 punktiem. Pēc tam jūs varat izveidot sistēmu:

Izmantojot pirmo sistēmas vienādojumu, mēs rakstām:

No šīs sistēmas izriet, ka x+ y+ z=12

Reiziniet otro vienādojumu ar (-8) un pievienojiet to pirmajam. Mēs to sapratām y+2 z=4 , kur y=4-2 z, y=2(2- z) . Tāpēc plkst ir pāra skaitlis, t.i. y=2t, kur.

Tāpēc

3. Atbilde: x = -1/2, x = -4

Pēc daļskaitļu samazināšanas līdz vienam un tam pašam saucējam, mēs iegūstam

4. Atbilde: 105

Apzīmē ar x, y, z attiecīgi vēlamā trīsciparu skaitļa pirmais, otrais un trešais cipars. Tad to var uzrakstīt kā . Izsvītrojot vidējo ciparu, tiks iegūts divciparu skaitlis. Atbilstoši problēmas stāvoklim, t.i. nezināmi skaitļi x, y, z apmierina vienādojumu

7(10 x+ z)=100 x+10 y+ x, kas pēc līdzīgu terminu un saīsinājumu samazināšanas iegūst formu 3 z=15 x+5 y.

No šī vienādojuma izriet, ka z jādalās ar 5 un jābūt pozitīvam, jo ​​ar nosacījumu . Tāpēc z = 5 un skaitļi x, y apmierina vienādojumu 3 = 3x + y, kuram nosacījuma dēļ ir unikāls risinājums x = 1, y = 0. Tāpēc uzdevuma nosacījumu apmierina viens skaitlis 105.

Apzīmēsim F punktu, kurā krustojas taisnes AB un CE. Tā kā līnijas DB un CF ir paralēlas, tad . Tā kā BD ir leņķa ABC bisektrise, mēs secinām, ka . No šejienes izriet, ka t.i. trīsstūris BCF ir vienādsānu un BC=BF. Bet no nosacījuma izriet, ka četrstūris BDEF ir paralelograms. Tāpēc BF = DE, un tāpēc BC = DE. Līdzīgi var pierādīt, ka AC = DE. Tas noved pie nepieciešamās vienlīdzības.

Iespējamie problēmu risinājumi

1.

No šejienes (x + y) 2 = 1 , t.i. x + y = 1 vai x + y = -1.

Apskatīsim divus gadījumus.

a) x + y = 1. Aizstāšana x = 1 - y

b) x + y = -1. Pēc aizstāšanas x=-1-y

Tātad tikai šādi četri skaitļu pāri var būt sistēmas atrisinājumi: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2). Aizvietojot sākotnējās sistēmas vienādojumus, mēs pārliecināmies, ka katrs no šiem četriem pāriem ir sistēmas risinājums.

Trijstūriem CDF un BDF ir kopīgs pamats FD un vienādi augstumi, jo taisnes BC un AD ir paralēlas. Tāpēc to platības ir vienādas. Līdzīgi trīsstūru BDF un BDE laukumi ir vienādi, jo taisne BD ir paralēla taisnei EF. Un trīsstūru BDE un BCE laukumi ir vienādi, jo AB ir paralēla CD. Tas nozīmē nepieciešamo trīsstūru CDF un BCE laukumu vienādību.

Ņemot vērā funkcijas definīcijas jomu, mēs izveidosim grafiku.

Izmantojot formulu veikt turpmākas pārvērtības

Pielietojot saskaitīšanas formulas un veicot tālākas transformācijas, iegūstam

5. Atbilde: 24 autobusi, 529 tūristi.

Apzīmē ar k sākotnējais autobusu skaits. No problēmas stāvokļa izriet, ka un ka visu tūristu skaits ir vienāds ar 22 k +1 . Pēc viena autobusa atiešanas visi tūristi tika sasēdināti atlikušajā (k-1) autobusi. Tāpēc numurs 22 k +1 jādala ar k-1. Tādējādi problēma tika samazināta līdz visu veselo skaitļu noteikšanai, kuriem šis skaitlis

Ir vesels skaitlis un apmierina nevienlīdzību (skaitlis n ir vienāds ar katrā autobusā sēdošo tūristu skaitu, un atbilstoši problēmas situācijai autobuss var uzņemt ne vairāk kā 32 pasažierus).

Skaitlis būs tikai vesels skaitlis, ja tas ir vesels skaitlis. Pēdējais ir iespējams tikai ar k=2 un plkst k=24 .

Ja k=2 , tad n=45.

Un ja k=24 , tad n=23.

No šī un no nosacījuma mēs iegūstam tikai to k=24 atbilst visiem problēmas nosacījumiem.

Tāpēc sākotnēji bija 24 autobusi, un visu tūristu skaits ir n(k-1)=23*23=529

Iespējamie problēmu risinājumi

1. Atbilde:

Tad vienādojumam būs šāda forma:

Iegūts kvadrātvienādojums par R.

2. Atbilde: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2)

Saskaitot sistēmas vienādojumus, iegūstam , vai

No šejienes (x + y) 2 = 1 , t.i. x + y = 1 vai x + y = -1.

Apskatīsim divus gadījumus.

a) x + y = 1. Aizstāšana x = 1 - y pirmajā sistēmas vienādojumā, mēs iegūstam

b) x + y = -1. Pēc aizstāšanas x=-1-y sistēmas pirmajā vienādojumā mēs iegūstam vai

Atrisināt vienādojumu nozīmē atrast tādas nezināmā vērtības, kurām vienādība būs patiesa.

Vienādojuma risinājums

• Attēlosim vienādojumu šādā formā:

2x * x - 3 * x = 0.

• Mēs redzam, ka vienādojuma noteikumiem kreisajā pusē ir kopīgs faktors x. Izņemsim to no iekavām un ierakstīsim:

x * (2x - 3) = 0.

• Iegūtā izteiksme ir faktoru x un (2x - 3) reizinājums. Atgādinām, ka reizinājums ir vienāds ar 0, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar 0. Tātad, mēs varam uzrakstīt vienādības:

x = 0 vai 2x - 3 = 0.

• Tātad viena no sākotnējā vienādojuma saknēm ir x 1 = 0.
• Atrodiet otro sakni, atrisinot vienādojumu 2x - 3 = 0.

Šajā izteiksmē 2x ir minimālā daļa, 3 ir apakšrinda un 0 ir atšķirība. Lai atrastu minuend, atšķirībai jāpievieno apakšrinda:

Pēdējā izteiksmē 2 un x ir faktori, 3 ir reizinājums. Lai atrastu nezināmo faktoru, produkts jāsadala ar zināmo faktoru:

Tādējādi mēs esam atraduši vienādojuma otro sakni: x 2 \u003d 1,5.

Risinājuma pareizības pārbaude

Lai noskaidrotu, vai vienādojums ir pareizi atrisināts, tajā jāievieto x skaitliskās vērtības un jāveic nepieciešamās aritmētiskās darbības. Ja aprēķinu rezultātā izrādās, ka izteiksmes kreisajai un labajai daļai ir vienāda vērtība, tad vienādojums ir atrisināts pareizi.

Pārbaudīsim:

• Aprēķināsim sākotnējās izteiksmes vērtību pie x 1 = 0 un iegūsim:

2 * 0 2 - 3 * 0 = 0,

0 = 0, pareizi.

• Aprēķināsim izteiksmes vērtību pie x 2 = 0 un iegūsim:

2 * 1,5 2 - 3 * 1,5 = 0,

2 * 2,25 - 4,5 = 0,

0 = 0, pareizi.

• Tātad vienādojums ir pareizs.

Atbilde: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 1,5.

Kvadrātvienādojumi.

Kvadrātvienādojums- vispārējās formas algebriskais vienādojums

kur x ir brīvs mainīgais,

a, b, c, - koeficienti un

Izteiksme sauc par kvadrātveida trinomu.

Kvadrātvienādojumu risināšanas metodes.

1. METODE : Vienādojuma kreisās puses faktorizācija.

Atrisināsim vienādojumu x 2 + 10x - 24 = 0. Faktorizēsim kreiso pusi:

x 2 + 10x - 24 \u003d x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

Tāpēc vienādojumu var pārrakstīt šādi:

(x + 12) (x - 2) = 0

Tā kā reizinājums ir nulle, tad vismaz viens no tā faktoriem ir nulle. Tāpēc vienādojuma kreisā puse pazūd plkst x = 2, kā arī plkst x = - 12. Tas nozīmē, ka numurs 2 un - 12 ir vienādojuma saknes x 2 + 10x - 24 = 0.

2. METODE : Pilna kvadrāta atlases metode.

Atrisināsim vienādojumu x 2 + 6x - 7 = 0. Kreisajā pusē atlasīsim pilnu kvadrātu.

Lai to izdarītu, mēs ierakstām izteiksmi x 2 + 6x šādā formā:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

Rezultātā iegūtajā izteiksmē pirmais vārds ir skaitļa x kvadrāts, bet otrais ir x dubultreizinājums ar 3. Tāpēc, lai iegūtu pilnu kvadrātu, jums jāpievieno 3 2, jo

x 2+ 2 x 3 + 3 2 \u003d (x + 3) 2.

Tagad mēs pārveidojam vienādojuma kreiso pusi

x 2 + 6x - 7 = 0,

pievienojot tai un atņemot 3 2 . Mums ir:

x 2 + 6x - 7 = x 2+ 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Tādējādi šo vienādojumu var uzrakstīt šādi:

(x + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 = 16.

Tāpēc x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 vai x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METODE :Kvadrātvienādojumu atrisināšana pēc formulas.

Reiziniet abas vienādojuma puses

ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0

4a un secīgi mums ir:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac \u003d 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b \u003d ± √ b 2 - 4ac,

2ax \u003d - b ± √ b 2 - 4ac,

Piemēri.

a) Atrisināsim vienādojumu: 4x2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0 divas dažādas saknes;

Tādējādi pozitīvā diskriminanta gadījumā, t.i. plkst

b 2 - 4ac >0, vienādojums ax 2 + bx + c = 0 ir divas dažādas saknes.

b) Atrisināsim vienādojumu: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a \u003d 4, b \u003d - 4, c \u003d 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-4) 2 - 4 4 1 = 16 - 16 \u003d 0,

D=0 viena sakne;

Tātad, ja diskriminants ir nulle, t.i. b 2 - 4ac = 0, tad vienādojums

ax 2 + bx + c = 0 ir viena sakne

v) Atrisināsim vienādojumu: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

Šim vienādojumam nav sakņu.

Tātad, ja diskriminants ir negatīvs, t.i. b2-4ac< 0 , vienādojums

ax 2 + bx + c = 0 nav sakņu.

Kvadrātvienādojuma sakņu formula (1). ax 2 + bx + c = 0ļauj atrast saknes jebkura kvadrātvienādojums (ja tāds ir), ieskaitot reducēto un nepilnīgo. Formula (1) ir izteikta verbāli šādi: kvadrātvienādojuma saknes ir vienādas ar daļskaitli, kuras skaitītājs ir vienāds ar otro koeficientu, kas ņemts ar pretēju zīmi, plus mīnus šī koeficienta kvadrātsakne bez četrkāršošanas pirmā koeficienta reizinājuma ar brīvo biedru, un saucējs ir divreiz lielāks par pirmo koeficientu.

4. METODE: Vienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu.

Kā zināms, dotajam kvadrātvienādojumam ir forma

x 2 + px + c = 0.(1)

Tās saknes apmierina Vieta teorēmu, kas, kad a =1 ir forma

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

No tā varam izdarīt šādus secinājumus (sakņu zīmes var paredzēt pēc koeficientiem p un q).

a) Ja kopsavilkuma termins q no reducētā vienādojuma (1) ir pozitīvs ( q > 0), tad vienādojumam ir divas vienas zīmes saknes, un tā ir otrā koeficienta skaudība lpp. Ja R< 0 , tad abas saknes ir negatīvas, ja R< 0 , tad abas saknes ir pozitīvas.

Piemēram,

x 2 - 3x + 2 = 0; x 1 = 2 un x 2 \u003d 1, jo q = 2 > 0 un p=-3< 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 un x 2 \u003d - 1, jo q = 7 > 0 un p=8 > 0.

b) Ja brīvais biedrs q no reducētā vienādojuma (1) ir negatīvs ( q< 0 ), tad vienādojumam ir divas dažādas zīmes saknes, un lielākā sakne absolūtajā vērtībā būs pozitīva, ja lpp< 0 , vai negatīvs, ja p > 0 .

Piemēram,

x 2 + 4x - 5 = 0; x 1 = - 5 un x 2 \u003d 1, jo q = - 5< 0 un p = 4 > 0;

x 2 - 8x - 9 \u003d 0; x 1 = 9 un x 2 \u003d - 1, jo q = - 9< 0 un p=-8< 0.

Piemēri.

1) Atrisiniet vienādojumu 345x2 - 137x - 208 = 0.

Risinājums. Jo a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), tad

x 1 = 1, x 2 = c / a = -208/345.

Atbilde: 1; -208/345.

2) Atrisiniet vienādojumu 132x2 — 247x + 115 = 0.

Risinājums. Jo a + b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), tad

x 1 = 1, x 2 = c / a \u003d 115/132.

Atbilde: 1; 115/132.

B. Ja otrais koeficients b = 2k ir pāra skaitlis, tad sakņu formula

Piemērs.

Atrisināsim vienādojumu 3x2 - 14x + 16 = 0.

Risinājums. Mums ir: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D \u003d k 2 - ac \u003d (- 7) 2 - 3 16 \u003d 49 - 48 \u003d 1, D\u003e 0, divas dažādas saknes;

Atbilde: 2; 8/3

V. Samazināts vienādojums

x 2 + px + q \u003d 0

sakrīt ar vispārējo vienādojumu, kurā a = 1, b = p un c = q. Tāpēc reducētajam kvadrātvienādojumam sakņu formula

Pieņem šādu formu:

Formulu (3) ir īpaši ērti lietot, kad R- pāra skaitlis.

Piemērs. Atrisināsim vienādojumu x 2 - 14x - 15 = 0.

Risinājums. Mums ir: x 1,2 \u003d 7 ±

Atbilde: x 1 = 15; x 2 \u003d -1.

5. METODE: Vienādojumu atrisināšana grafiski.

Piemērs. Atrisiniet vienādojumu x2 - 2x - 3 = 0.

Uzzīmēsim funkciju y \u003d x2 - 2x - 3

1) Mums ir: a = 1, b = -2, x0 = 1, y0 = f(1) = 12 - 2 - 3 = -4. Tas nozīmē, ka punkts (1; -4) ir parabolas virsotne, bet taisne x \u003d 1 ir parabolas ass.

2) Uz x ass ņemam divus punktus, kas ir simetriski pret parabolas asi, piemēram, punktus x \u003d -1 un x \u003d 3.

Mums ir f(-1) = f(3) = 0. Konstruēsim punktus (-1; 0) un (3; 0) koordinātu plaknē.

3) Caur punktiem (-1; 0), (1; -4), (3; 0) zīmējam parabolu (68. att.).

Vienādojuma saknes x2 - 2x - 3 = 0 ir parabolas ar x asi krustošanās punktu abscises; tātad vienādojuma saknes ir: x1 = - 1, x2 - 3.

atrisināt matemātiku. Ātri atrodi matemātikas vienādojuma risinājums režīmā tiešsaistē. Vietne www.site ļauj atrisināt vienādojumu gandrīz jebkurš dots algebriskā, trigonometrisks vai transcendentālais vienādojums tiešsaistē. Studējot gandrīz jebkuru matemātikas sadaļu dažādos posmos, ir jāizlemj vienādojumi tiešsaistē. Lai saņemtu atbildi nekavējoties un, pats galvenais, precīzu atbildi, jums ir nepieciešams resurss, kas ļauj to izdarīt. Paldies www.site atrisiniet vienādojumus tiešsaistē prasīs dažas minūtes. Galvenā www.site priekšrocība, risinot matemātisko vienādojumi tiešsaistē- ir sniegtās atbildes ātrums un precizitāte. Vietne spēj atrisināt jebkuru algebriskie vienādojumi tiešsaistē, trigonometriskie vienādojumi tiešsaistē, transcendentālie vienādojumi tiešsaistē, kā arī vienādojumi ar nezināmiem parametriem režīmā tiešsaistē. Vienādojumi kalpo kā spēcīgs matemātisks aparāts risinājumus praktiski uzdevumi. Ar palīdzību matemātiskie vienādojumi ir iespējams izteikt faktus un attiecības, kas pirmajā mirklī var šķist mulsinoši un sarežģīti. nezināmi daudzumi vienādojumi var atrast, formulējot problēmu matemātiskā valoda formā vienādojumi un izlemt režīmā saņemtais uzdevums tiešsaistē vietnē www.site. Jebkurš algebriskais vienādojums, trigonometriskais vienādojums vai vienādojumi kas satur pārpasaulīgs funkcijas jums viegli izlemt tiešsaistē un saņemiet pareizo atbildi. Studējot dabaszinātnes, cilvēks neizbēgami saskaras ar vajadzību vienādojumu risināšana. Šajā gadījumā atbildei jābūt precīzai un tā jāsaņem nekavējoties režīmā tiešsaistē. Tāpēc, lai atrisiniet matemātikas vienādojumus tiešsaistē Mēs iesakām vietni www.site, kas kļūs par jūsu neaizstājamu kalkulatoru tiešsaistē atrisināt algebriskos vienādojumus, trigonometriskie vienādojumi tiešsaistē, kā arī transcendentālie vienādojumi tiešsaistē vai vienādojumi ar nezināmiem parametriem. Praktiskām problēmām dažādu sakņu atrašanā matemātiskie vienādojumi resurss www.. Risināšana vienādojumi tiešsaistē pats, ir lietderīgi pārbaudīt saņemto atbildi, izmantojot tiešsaistes vienādojumu risinājums vietnē www.site. Ir nepieciešams pareizi uzrakstīt vienādojumu un uzreiz iegūt tiešsaistes risinājums, pēc tam atliek tikai salīdzināt atbildi ar jūsu vienādojuma risinājumu. Atbildes pārbaude prasīs ne vairāk kā minūti, pietiekami Atrisiniet vienādojumu tiešsaistē un salīdziniet atbildes. Tas palīdzēs izvairīties no kļūdām lēmumu un savlaicīgi labojiet atbildi vienādojumu risināšana tiešsaistē vai algebriskā, trigonometrisks, pārpasaulīgs vai vienādojums ar nezināmiem parametriem.

Šajā rakstā mēs uzzināsim, kā atrisināt bikvadrātiskos vienādojumus.

Tātad, kādus vienādojumus sauc par bikvadrātiskajiem?
Viss formas vienādojumi ah 4+ bx 2 + c = 0 , kur a ≠ 0, kas ir kvadrātā attiecībā pret x 2 , un sauc par bikvadrātiskajiem vienādojumi. Kā redzat, šis ieraksts ir ļoti līdzīgs kvadrātvienādojumam, tāpēc mēs atrisināsim bikvadrātiskos vienādojumus, izmantojot formulas, kuras izmantojām, risinot kvadrātvienādojumu.

Tikai mums vajadzēs ieviest jaunu mainīgo, tas ir, mēs apzīmējam x 2 cits mainīgais, piemēram, plkst vai t (vai jebkurš cits latīņu alfabēta burts).

Piemēram, atrisināt vienādojumu x 4 + 4x 2 - 5 = 0.

Apzīmē x 2 pāri plkst (x 2 = y ) un iegūstiet vienādojumu y 2 + 4y - 5 = 0.
Kā redzat, jūs jau zināt, kā atrisināt šādus vienādojumus.

Mēs atrisinām iegūto vienādojumu:

D \u003d 4 2 - 4 (- 5) \u003d 16 + 20 \u003d 36, √D \u003d √36 \u003d 6.

y 1 = (‒ 4 - 6)/2 = - 10 /2 = - 5,

y 2 \u003d (- 4 + 6) / 2 = 2 / 2 \u003d 1.

Atgriezīsimies pie mūsu mainīgā x.

Mēs saņēmām, ka x 2 \u003d - 5 un x 2 \u003d 1.

Mēs atzīmējam, ka pirmajam vienādojumam nav atrisinājumu, bet otrajā ir divi risinājumi: x 1 = 1 un x 2 = –1. Esiet uzmanīgi, lai nepazaudētu negatīvo sakni (visbiežāk viņi saņem atbildi x = 1, kas nav pareiza).

Atbilde:- 1 un 1.

Lai labāk izprastu tēmu, apskatīsim dažus piemērus.

1. piemērs Atrisiniet vienādojumu 2x4 - 5x2 + 3 = 0.

Ļaujiet x 2 \u003d y, tad 2y 2 - 5y + 3 \u003d 0.

D = (‒ 5) 2 - 4 2 3 = 25 - 24 = 1, √D = √1 = 1.

y 1 \u003d (5 - 1) / (2 2) \u003d 4/4 \u003d 1, y 2 \u003d (5 + 1) / (2 2) \u003d 6/4 \u003d 1,5.

Tad x 2 \u003d 1 un x 2 = 1,5.

Mēs iegūstam x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d - √1,5, x 4 \u003d √1,5.

Atbilde: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.

2. piemērs Atrisiniet vienādojumu 2 x 4 + 5 x 2 + 2 = 0.

2g 2 + 5g + 2 = 0.

D = 5 2 - 4 2 2 = 25 - 16 = 9, √D = √9 = 3.

y 1 = (– 5 – 3)/(2 2) = – 8/4 = –2, y 2 = (–5 + 3)/(2 2) = – 2/4 = – 0,5.

Tad x 2 = - 2 un x 2 = - 0,5. Ņemiet vērā, ka nevienam no šiem vienādojumiem nav atrisinājuma.

Atbilde: risinājumu nav.

Nepilnīgi bikvadrātiskie vienādojumi- tas ir kad b = 0 (ax 4 + c = 0) vai citādi c = 0

(ax 4 + bx 2 = 0) tiek atrisināti kā nepilnīgi kvadrātvienādojumi.

3. piemērs atrisināt vienādojumu x 4 — 25 x 2 = 0

Mēs faktorizējam, izņemam x 2 no iekavām un pēc tam x 2 (x 2 - 25) = 0.

Mēs iegūstam x 2 = 0 vai x 2 - 25 \u003d 0, x 2 \u003d 25.

Tad mums ir saknes 0; 5 un - 5.

Atbilde: 0; 5; – 5.

4. piemērs atrisināt vienādojumu 5x4 - 45 = 0.

x 2 = - √9 (nav risinājumu)

x 2 \u003d √9, x 1 = 3, x 2 \u003d 3.

Kā redzat, zinot, kā atrisināt kvadrātvienādojumus, jūs varat tikt galā ar bikvadrātvienādojumiem.

Ja jums joprojām ir jautājumi, piesakieties manām nodarbībām. Pasniedzēja Valentīna Gaļiņevska.

vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.