Skaitļi, kas paredzēti, lai skaitītu priekšmetus un atbildētu uz jautājumu "Cik daudz?" ("cik daudz
bumbas? ", Cik daudz ābolu?", "Cik daudz karavīru?") tiek saukti par dabīgiem.
Ja jūs rakstīt tos uz leju, no mazāka skaita uz vairāk, tad dabīgais klāsts būs:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 99, 100, 101, …, 999, 1000, 1001 …
Dabas numuru sērija sākas ar cipariem 1.
Katrs nākamais dabiskais numurs ir 1 vairāk nekā iepriekšējais.
Numuru skaits ir bezgalīgs.
Numuri ir pat un nepāra. Pat numuri ir sadalīti divās, un nepāra skaitļi nav sadalīti divās daļās.
Vairāki nepāra skaitļi:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, 99, 101, …, 999, 1001, 1003 …
Vairāki pat numuri:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 98, 100, …, 998, 1000, 1002 …
Dabīgā rindā, nepāra un pat numuri aizstājēji:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 99, 100, …, 999, 1000 …
Kā salīdzināt dabiskos numurus
Salīdzinot divus dabiskus numurus, vairāk, kas atrodas dabīgā rindā:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
Tātad, septiņi vairāk nekā trīs un piecas vairāk vienības.
Matemātikā ierakstīt vārdu "mazāk", zīme "<», а для записи слова «больше» - знак « > ».
Sharp stūris "vairāk" ikonas un "mazāk" vienmēr ir vērsta uz mazāku no diviem skaitļiem.
Ieraksts 7\u003e 3 Lasiet kā "septiņi vairāk nekā trīs".
3. ierakstīšana.< 7 читается как «три меньше семи».
Ierakstīšana 5\u003e 1 Lasīt kā "pieci vairāk nekā viens".
Ieraksts 1.< 5 читается как «один меньше пяти».
Vārds "vienāds" matemātikā tiek aizstāts ar "\u003d" zīmi:
Kad skaitļi ir lieli, ir grūti nekavējoties pateikt, kas ir vērts tieši dabiskā rindā.
Salīdzinot divus dabiskus numurus ar atšķirīgu skaitu skaitu, vairāk no tiem, kurā skaitļi ir lielāki.
Piemēram, 233 000< 1 000 000, потому что в первом числе шесть цифр, а во втором - семь.
Daudzfunkcionāls dabas numuri ar tādu pašu ciparu skaitu tiek salīdzināti, sākot ar vecāku izlādi.
Pirmkārt, salīdzināja vecākās izlādes vienības, tad nākamais pēc tam, kad tas nākamais pēc tam, nākamais un tā tālāk. Piemēram, salīdzinot numuru 5401 un 5430:
5401 \u003d 5000 4 simti 0 desmiti 1 vienības;
5430 \u003d 5 tūkstoši 4 simti 3 desmiti 0 vienību.
Salīdzināt tūkstošiem vienības. Tūkstošiem skaitļu 5401 - 5 vienību kategorijā tūkstošiem 5430 - 5 vienību vienību novadīšanā. Salīdzinot vienību tūkstošiem, tas ir arī neiespējami teikt, kurš no numuriem ir vairāk.
Salīdzināt simtiem. Destu skaitļu 5401 - 4 vienību novadīšanā simtiem numuru izlādē 5430 - arī 4 vienības. Ir nepieciešams turpināt salīdzinājumu.
Salīdzināt desmitus. Desmito numuru 5401 - 0 vienību novadīšanā desmitiem numuriem 5430 - 3 vienības.
Salīdzinot, mēs saņemam 0< 3, поэтому 5401 < 5430.
Numurus var ievietot dilstošā secībā un augošā secībā.
Ja vairāku dabisko skaitļu ierakstā katrs nākamais skaits ir mazāks par iepriekšējo, tad viņi saka, ka skaitļi ir rakstīti dilstošā secībā.
Mēs rakstām numurus 5, 22, 13, 800 dilstošā secībā.
Vairāk. 5. numurs ir nepārprotams, 13 un 22 - divciparu, 800 - trīsciparu skaitlis un tāpēc lielākais. Mēs rakstām pirmajā vietā 800.
No divciparu skaitļiem 13 un 22 lielāks par 22. Mēs rakstīt numuru 800 numuru 22, un pēc tam 13.
Mazākais skaits ir nepārprotams skaits 5. Mēs to uzrakstām.
800, 22, 13, 5 - datu numuru ierakstīšana to samazināšanās secībā.
Ja ierakstā vairāki dabiski numuri katru nākamo numuru vairāk nekā iepriekšējais, viņi saka, ka skaitļi tiek ierakstīti augošā secībā.
Un kā ierakstīt numurus 15, 2, 31, 278, 298 augošā secībā?
Starp skaitļiem 15, 2, 31, 278, 298, kas savienotu pārī.
Tas ir nepārprotams skaits 2. Mēs to rakstām vispirms.
No divciparu skaitļiem 15 un 31, izvēlieties mazāk - 15, mēs rakstīt to otrajā vietā, un pēc tam - 31.
No trīsciparu skaitļiem 278 - mazāks, uzrakstiet to 31, un pēdējais rakstīt numuru 298.
2, 15, 21, 278, 298 - Datu numuru reģistrēšana augošā secībā
Nodarbība "Dabas numuru apzīmējums" ir pirmā mācība piektās klases matemātikas gaitā un ir turpinājums, un dažos punktos, kā arī līdzīgas tēmas atkārtošanās, kas studējis pamatskolas gaitā. Tā rezultātā mācekļi bieži vien nerūp mācības materiālu. Tāpēc, lai sasniegtu maksimālu interesi un uzmanības koncentrāciju, ir nepieciešams ieviest jaunus paskaidrojuma metodes, piemēram, lai izmantotu prezentāciju par "dabisko skaitu" prezentāciju.
Nodarbība sākas ar vairāku skaitļu atkārtošanu, kā arī dabiskā skaita un tās decimālā ieraksta jēdzienu. Ir paskaidrots, ka visu dabisko skaitļu secību sauc par dabiski tuvu un tiek dota piemēru pirmajiem divdesmit vienumiem. Īpaša uzmanība prezentācijas laikā tiek dota skaitļu vērtībai atkarībā no viņas vietas skaita ierakstā. Lai to izdarītu, tiek ņemts vērā ieraksts par izlādes. Izmantojot iespaidīgu un neuztraucošu animāciju, tiek demonstrēti studenti, kas nozīmē to pašu skaitli atkarībā no tā, kur tas ir: vienību novadīšanā desmitiem, utt.
Tas nav reti redzēt, ka kopā ar to, ka nulli bieži izmanto gan ikdienas dzīvē, un matemātikas gaitā skolēniem ir grūtības, ja viņiem ir nepieciešams izskaidrot to, kas ir numurs. Lai palielinātu sapratnes efektivitāti, nulles jēdzienam ir dota konta piemērs futbola spēlē. Arī uzsvēra studentu uzmanību uz to, ka 0 neattiecas uz dabisko skaitu.
Prezentācijā sīki izmantojot piemērus, tiek uzskatīti par nepārprotamu, divciparu, trīsciparu un četru ciparu skaitļu jēdzieniem. Uzskatīja par vienu miljonu un miljardu ierakstiem. Atsevišķa uzmanība tiek pievērsta daudzveidīgu skaitļu pareizai lasīšanai un to sadalījumam uz klasēm. Izmantojot tabulu, lai ierakstītu daudzvērtīgu skaitu ar klasēm un izplūdēm, ir pierādīts, ka kreisā klase, atšķirībā no visiem citiem, var būt mazāk nekā trīs cipari.
Lai pārbaudītu jaunu materiālo studentu asimilācijas rezultātu, šī prezentācijas izstrāde satur sarakstu ar jautājumiem, kas pilnībā aptver norādīto materiālu. Tas ļaus skolotājam pēc iespējas ātrāk reaģēt uz brīžiem, kas palika pilnībā saprotami skolēni. Šīs tēmas izpētes rezultātā.
Kopš prezentācijas par "dabisko skaitu" prezentācija nosaka objektu saprotamā un pieņemamā līmenī, ekspozīcija izglītības materiālu ir loģisks un konsekventi, to var veiksmīgi izmantot ne tikai vēsā steidzami skaidrojumu par šo tēmu, bet arī ar neatkarīgi vai attālināti skolēni.
Nulles mērķis
Dabisko numuru definēšanai ir divas pieejas:
- skaits (numerācija) priekšmeti ( pirmkārt, otrkārt, trešais, ceturtais, piektais…);
- dabas numuri - skaitļi, kas rodas no numura apzīmējums priekšmeti ( 0 preces, 1 priekšmets, 2 priekšmeti, 3 priekšmeti, 4 Tēmas, 5 vienumi…).
Pirmajā gadījumā vairāki dabiskie numuri sākas ar vienību, otrajā - no nulles. Lielākajai daļai matemātiķu nav neviena no pirmās vai otrās pieejas priekšroka (tas ir, ja nulle ir dabiska vai nē). Lielākajā daļā Krievijas avotu pirmā pieeja tradicionāli pieņemta. Otrā pieeja, piemēram, tiek izmantota Nicolas Bombaki rakstos, kur dabiskie numuri ir definēti kā ierobežotu kopu spēks. Nulles klātbūtne atvieglo daudzu aritmētisko dabisko skaitļu teoriju formulējumu un pierādījumus, tāpēc pirmā pieeja ievieš noderīgu koncepciju paplašināta dabiskā rindaieskaitot nulli.
Visu dabisko numuru kopums ir paredzēts, lai apzīmētu simbolu. ISO starptautiskie standarti 31-11 (1992) un ISO 80000-2 (2009) nosaka šādu notāciju:
Krievijas avotos šis standarts vēl nav ievērots - tie ir simbols N (displaystyle Mathbb (n)) apzīmē dabiskus numurus bez nulles, un ir norādīta paplašinātā dabiskā rinda N 0, Z +, Z ⩾ 0 (displystyle Mathbb (n) _ (0), Mathbb (z) _ (+), Mathbb (Z) _ (Geqlant 0)) utt
Aksiomas, kas ļauj noteikt dabisko skaitļu komplektu
Peano aksiomas dabiskiem numuriem
Daudz N (displaystyle Mathbb (n)) Zvanīsim par dabisko skaitļu komplektu, ja kāds ir fiksēts 1 (Vienība), funkcija S (displaystyle s) C definīcijas joma N (displaystyle Mathbb (n))sauc par šādu funkciju ( S: N (displeji s Colon Mathbb (n))), un šādi nosacījumi ir izpildīti:
- elementa vienība pieder šim komplektam ( 1 ∈ N (\\ Soystyle 1 \\ MAHBB (N))), tas ir, ir dabisks numurs;
- numurs blakus dabīgajam ir arī dabisks (ja tad S (x) ∈ N (displeji S (x) \\ M0BB (N)) vai īsākā ierakstā S: N → N (displejsStyle s \\ KOMBLON MATHBB (N) \\ MATHBB (N)));
- vienībai nevajadzētu būt jebkuram dabiskajam skaitlim ( ∄ x ∈ N (S (x) \u003d 1) (s displaystyle \\ tumsistēm X \\ Mybbb (n) \\ (S (x) \u003d 1)));
- ja dabisks numurs A (a displaystyle a) tieši seko kā dabiskā numurā B (displaystyle b)un dabiskos numuros C (displaystyle c)T. B (displaystyle b) un C (displaystyle c) - tas ir tāds pats numurs (ja S (b) \u003d a (displaystyle s (b) \u003d a) un S (c) \u003d a (displaystyle s (c) \u003d a)T. B \u003d C (demonstrācijas ligzda b \u003d c));
- (indukcijas aksioms) Ja kāds teikums (paziņojums) P (r displaystyle p) Pierādīts dabiskam skaitlim n \u003d 1 (displejā n \u003d 1) (bāzes indukcija) un, ja no pieņēmuma, ka tā ir taisnība par citu dabas numuru N (displejā n), nozīmē, ka tā ir taisnība par šādiem N (displejā n) Dabiskais numurs ( indukcijas pieņēmums), tad šis piedāvājums attiecas uz visiem dabiskajiem numuriem (ļaujiet P (n) (displystyle p (n)) - daži atsevišķi (neatriebīgi) predikāti, kura parametrs ir dabisks numurs N (displejā n). Tad, ja P (1) (displaystyle p (1)) un ∀ N (p (n) ⇒ p (s (n)) (\\ t displaystyle forall n \\ (p (n) \\ t, logruds p (s (n)))))))T. ∀ N P (N) (displystyle spēlē n \\ (n))).
Uzskaitītie aksiomas atspoguļo mūsu intuitīvo skatu uz dabisko diapazonu un ciparu līniju.
Galvenais fakts ir tāds, ka šīs aksiomas būtībā noteikti nosaka dabiskie numuri (kategorijas sistēmas Peano Axiom). Proti, jūs varat pierādīt (skatīt, kā arī īsu pierādījumu), ka, ja (N, 1, S) (displaystyle (Mathbb (n), 1, S)) un (N ~, 1 ~, s ~) (\\ t - divi Axiom Peabo sistēmas modeļi, tad tie ir nepieciešams, ir isomorfs, tas ir, ir atgriezenisks displejs (bišu) F: N → N ~ (displejā F COLON MATHBB (N) \\ t (\\ TILDE (MATHBB (N)))) tāds, ka F (1) \u003d 1 ~ (displejā f (1) \u003d (Tilde (1))) un F (S (x)) \u003d s ~ (f (x)) (r displaystyle f (s (x)) \u003d (Tilde (-i)) (f (x))) visiem X ∈ N (displejā x Mathbb (n)).
Tāpēc tas ir pietiekami, lai noteiktu kā N (displaystyle Mathbb (n)) Neviens konkrēts vairāku dabisko skaitļu modelis.
Dažreiz, jo īpaši ārvalstu un tulkošanas literatūrā, pirmajā un trešajā ass Peano nomainiet ierīci uz nulli. Šādā gadījumā nulle tiek uzskatīta par dabisku skaitu. Kad nosaka, izmantojot līdzsvara komplektu klases, nulle ir dabisks numurs pēc definīcijas. Īpaši izmetot tas būtu nedabisks. Turklāt tas būtiski sarežģītu teorijas turpmāko būvniecību un piemērošanu, jo lielākajā daļā dizainu nulle, kā arī tukšais komplekts nav kaut kas atsevišķs. Vēl viena priekšrocība, lai apsvērtu nulles dabisko skaitu, ir tas, tajā pašā laikā N (displaystyle Mathbb (n)) Veido monoidu. Kā minēts, krievu literatūrā, nulle tradicionāli izslēdz no dabiskā numura vidū.
Teorētiskā un vairāku dabisko skaitļu definīcija (Frege - Russell)
Tādējādi tiek ieviesti dabiskie numuri, pamatojoties uz kopas jēdzienu divos noteikumos:
Šādā veidā norādītie skaitļi tiek saukti par iekšējo.
Mēs aprakstām pirmos pirmos kārtas numurus un atbilstošos dabiskos numurus:
Dabisko skaitļu komplekta lielumu
Bezgalīgā komplekta lielumu raksturo jēdziens "jauda komplektā", kas ir vispārējs elementu skaita galīgā kopa bezgalīgas kopas. Lielumā (I.E., jauda) Daudzi dabiskie skaitļi ir lielāki par jebkādiem ierobežotiem komplektiem, bet mazāk nekā jebkurš intervāls, piemēram, intervāls (0, 1) (displaystyle (0,1)). Daudzi dabiskie skaitļi varā ir tādi paši kā daudzi racionāli skaitļi. Daudzi no tā paša vara ir saukta par skaitli. Tātad, daudzi locekļi jebkuru secību skaitot. Tajā pašā laikā ir secība, kurā katrs dabiskais numurs ietver bezgalīgu skaitu reižu, jo dabisko skaitļu kopumu var pārstāvēt kā skaitīto savienību, kas nav cikla skaitīšanas komplekti (piemēram, N \u003d ⋃ k \u003d 0 ∞ (⋃ n \u003d 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (displaystyle. Mathbb (n) \u003d \\ bigcup \\ t Bigcup \\ limiti _ (n \u003d 0) ^ (emty) (2n + 1) 2 ^ (k) \\ t).
Dabas operācijas
Slēgtas darbības (darbības, kas neatceļ rezultātu no dabiskā numura daudzveidības), kas attiecas uz dabisko skaitu, ietver šādas aritmētiskās darbības: \\ t
Turpināt apsvērt vēl divas operācijas (no oficiāla viedokļa, kas nav operācijas attiecībā uz dabisko skaitu, jo tie nav definēti viss Par numuriem (dažreiz pastāv, dažreiz nē)):
Jāatzīmē, ka papildus un reizināšana ir būtiska. Jo īpaši veselo skaitļu gredzens ir precīzi noteikts, izmantojot papildu operācijas papildus un reizinot.
Pamata īpašības
- Pievienošanas apņemšanās:
- Reizināšanas komutativitāte:
- Pievienošanas asociācija:
- Reizināšanas asociētība:
- Reizināšanas sadalījums salīdzinājumā ar papildinājumu:
Algebriskā struktūra
Pievienošana pārvērš dabisko skaitļu komplektu ar vienu, vienības lomu veic 0 . Reizinājums arī pārveido daudzus dabiskus numurus semigroup ar vienību, kamēr vienības elements ir 1 . Izmantojot slēgšanu saistībā ar papildus atņemšanas un reizināšanas sadalījumu, tiek iegūti veselu skaitļu grupas. Z (DisplayStyle MathBB (z)) un racionāli pozitīvi skaitļi Q + * (DisplayStyle MathBB (Q) _ (+) ^ (*)) attiecīgi.
Veseli skaitļi - numuri, kas pieteikušies konta vienumiem . Jebkuru dabisko skaitu var rakstīt ar desmit numuri:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Šāds ieraksts sauc decimāldaļskaitlis
Visu dabisko skaitļu secību sauc par dabiski tuvu .
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...
Lielākā daļa mazsdabīgais numurs - vienība (1). Dabā rindā katrs nākamais skaits ir 1 vairāk nekā iepriekšējais. Dabiska sērija bezgalīgsnav lielākais skaitlis tajā.
Cipara vērtība ir atkarīga no tās vietas skaita skaita. Piemēram, skaits 4 nozīmē: 4 vienības, ja tas ir pēdējā vietā skaita skaita (sadalīšanas vienību);4 desmit,ja tas stāv priekšpēdējā vietā (desmitiem) novadīšanā;4 simtiemja tas atrodas trešajā vietā no beigām (In izlādes simtiem).
Digital0 nozīmē nav šīs izlādes vienību neesamībaskaitļa decimālskaitlī. Tas arī kalpo, lai norādītu numuru " nulle" Šis numurs nozīmē "ne vienu". Account 0: 3 futbola spēles saka, ka pirmā komanda nav sasniegusi nevienu mērķi pretinieka vārtiem.
Nulle neatbildiet dabiskiem numuriem. Un patiešām priekšmetu priekšmets nekad sākas no nulles.
Ja dabiskā skaita ierakstīšana sastāv no vienas zīmes – viens cipars, tad to sauc par nepārprotams.Tiem. nepārprotams dabisks skaits - dabiskais numurs, kuru ieraksts sastāv no vienas zīmes – viens cipars. Piemēram, numuri 1, 6, 8 ir nepārprotami.
Divcipars dabisks skaits - dabisks numurs, kuru ieraksts sastāv no diviem burtiem - divi cipari.
Piemēram, skaitļi 12, 47, 24, 99 ir divciparu.
Arī saskaņā ar zīmju skaitu šis numurs sniedz vārdus un citus numurus:
numuri 326, 532, 893 - trīs ciparu;
numuri 1126, 4268, 9999 - Četrciparuutt
Divciparu, trīsciparu, četru ciparu, piecciparu utt. Numurus sauc daudzveidīgi numuri .
Lai izlasītu vairāku vērtētu skaitļus, tie ir bojāti, sākot pa labi, par grupām trīs cipariem katrā (kreisā grupa var sastāvēt no viena vai diviem cipariem). Šīs grupas zvana klases.
Miljons - Tas ir tūkstoš tūkstoši (1000 tūkstoši), tas tiek ierakstīts 1 miljons jeb 1 000 000.
Miljards - Tas ir 1000 miljoni. Tas ir rakstīts 1 miljardu jeb 1 000 000 000.
Trīs pirmie cipari pa labi veido vienību klasi, trīs ir šādas klases tūkstošiem, tad miljoniem, miljardiem utt. (1. att.).
Fig. 1. Miljonu klase, tūkstošiem klases un vienību klase (pa kreisi uz labo pusi)
Numury15389000286 ir ierakstīts izlādes tīklā (2. att.).
Fig. 2. AUGU ACTS: 15 miljardi 389 miljoni 286
Šim numuram ir 286 vienības vienību klasē, nulles vienībās tūkstošiem, 389 vienības miljonu un 15 vienību klasē miljardu vienībās.
