2.2. Поток вектора напряженности

2.3. Теорема Остроградского-Гаусса

2.4. Применение теоремы Остроградского-Гаусса к расчету электрических полей

1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей

3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити)

4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью заряда, но разным знаком

5. Поле заряженного пустотелого шара

6. Поле объемного заряженного шара

2.5. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса

2.1. Силовые линии напряженности электростатического поля

Электростатическое поле можно задать, указав для каждой точки величину и направление вектора. Совокупность этих векторов образует поле вектора напряженности электростатического поля. Графическое изображение электростатического поля с помощью вектора напряженностив различных точках поля очень неудобно. Векторы напряженности при этом накладываются друг на друга, и получается весьма запутанная картина. Более наглядным является метод, предложенный М. Фарадеем изображения электростатических полей с помощью силовых линий напряженности.Силовые линии напряженности – это линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора . Линии напряженности направлены так же как векторполя в рассматриваемой точке. Например, на рис.2 линии напряженности направлены слева направо. Линии напряженности не пересекаются, т.к. в каждой точке поля векторимеет только одно определенное направление. Линии напряженности начинаются на положительном заряде и заканчиваются на отрицательном.Густота линий выбирается так, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности, перпендикулярной к линиям напряженности, было равно численному модулю вектора . Тогда по картине линий напряженности можно судить о направлении и значении векторав разных точках пространства (рис. 2.1).

Однородным называется электростатическое поле, во всех точках которого напряженность одинакова по величине и направлению, т.е.

Однородное электростатическое поле изображается параллельными силовыми линиями на равном расстоянии друг от друга (такое поле существует, например, между пластинами конденсатора) (рисунок).

В случае точечного заряда, линии напряженности исходят из положительного заряда и уходят в бесконечность; и из бесконечности входят в отрицательный заряд. Т.к.

то и густота силовых линий обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда. Однако площадь поверхности сферы, через которую проходят эти линии сама возрастает пропорционально квадрату расстояния, поэтому общее число линий остается постоянным на любом расстоянии от заряда.

Для системы зарядов, как видим, силовые линии направлены от положительного заряда к отрицательному (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2

Из рисунка 2.3 видно, так же, что густота силовых линий может служить показателем величины .

Густота силовых линий должна быть такой, чтобы единичную площадку, нормальную к вектору напряженности пересекало такое их число, которое равно модулю вектора напряженности , т.е.

Пример 1: если на рисунке 2.3 выделить площадку,

то напряженность изображенного поля будет равна

Рисунок 2.3

Пример 2: площадка

находится в однородном поле

Сколько линий пересекает эту площадку, если угол составляет 30º (рисунок 2.4).

Будем считать заряд положительным. Плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью . Из симметрии вытекает, что напряженность в любой точке поля имеет направление, перпендикулярное к плоскости (рис. 2.10). Очевидно, что в симметричных относительно плоскости точках напряженность поля одинакова по величине и противоположна по направлению.

Выделим на заряженной плоскости площадку . Окружим эту площадку замкнутой поверхностью. В качестве замкнутой поверхности представим цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости и основаниями величины , расположенными относительно плоскости симметрично. Применим к этой поверхности теорему Гаусса . Поток через боковую часть поверхности будет отсутствовать, так как в каждой ее точке равна нулю. Для оснований совпадает с . Следовательно, суммарный поток через поверхность будет равен . Внутри поверхности заключен заряд . Согласно теореме Гаусса, должно выполняться условие: , откуда . (3)

Полученный результат не зависит от длины цилиндра, т.е. на любых расстояниях от плоскости напряженность поля одинакова по величине. Картина линий напряженности выглядит, как показано на рис. 2.11. Для отрицательно заряженной плоскости направления векторов изменятся на обратные. Если плоскость конечных размеров, то полученный результат будет справедлив лишь для точек, расстояние которых от края пластины значительно превышает расстояние от самой пластинки (рис. 2.12).

Вычисление электрического поля во многих случаях сильно упрощается применением теоремы, которая была установлена М.В.Остроградским в виде некоторой общей математической теоремы и Гауссом – применительно к случаю электрического поля, создаваемого точечным зарядом, через замкнутую шаровую поверхность .

Значение проекции вектора напряженности на поверхности сферы радиуса R :

Выразим поток вектора через любую замкнутую поверхность. Он равен числу силовых линий, выходящих наружу, т.е. начинающихся на заряде.

Теперь допустим, что внутри замкнутой поверхности находятся N точечных зарядов q 1 , q 2 , …, q N . В силу принципа суперпозиции: .

Если линия напряженности пересекает поверхность не один раз, а несколько, то обязательно нечетное число раз, так что в интеграле она будет учтена только один раз, и выражение сохранит силу и для этого случая. Таким образом, для электростатики теорема Остроградского–Гаусса формулируется следующим образом: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на ε 0 .

Применим теорему Остроградского-Гаусса для расчета конкретных полей:

а) электрическое поле, создаваемое бесконечной однородно заряженной плоскостью

Пусть поверхностная плотность заряда . В качестве замкнутой поверхности, через которую вычислим величину потока вектора напряженности электрического поля выберем цилиндрическую поверхность, как показано на рисунке.

Из соображения симметрии (электрическое поле имеет плоскую симметрию) вытекает, что напряженность поля в любой точке имеет направление, перпендикулярное плоскости. Очевидно, что модуль напряженности в точках, симметричных относительно плоскости одинаков: E " = E " =E . Направление внешней нормали перпендикулярно заряженной поверхности.

Согласно теореме Гаусса: . С учетом того, что получаем: . Напряженность электрического поля одинакова на любом расстоянии от плоскости.

б) электрическое поле, создаваемое двумя бесконечными заряженными плоскостями

Пусть поверхностная плотность заряда на каждой поверхности . В случае разноименно заряженных бесконечных плоскопараллельных пластин, как видно из рисунка, с учетом выражения для напряженности электрического поля, создаваемого бесконечно заряженной плоскости ().

Для пространства между пластинами ; для пространства за пластинами (слева от левой и справа от правой пластины) .

В случае одноименно заряженных бесконечных плоскопараллельных пластин,

как видно из рисунка, для пространства за пластинами ; для пространства между пластинами .

в) электрическое поле бесконечного заряженного цилиндра

R – радиус цилиндрической поверхности. В качестве замкнутой поверхности, через которую вычислим величину потока вектора напряженности электрического поля выберем цилиндрическую поверхность, как показано на рисунке. Из соображений симметрии (электрическое поле имеет осевую симметрию) напряженность электрического поля направлена перпендикулярно боковой поверхности замкнутой цилиндрической поверхности. Направление внешней нормали к боковой поверхности цилиндра по направлению является радиальным: . Откуда . С учетом E=E n , имеем: при ; при ; при .

Или введя линейную плотность запишем теорему Остроградского-Гаусса . Откуда Учитывая, что , получаем выражение для определения величины напряженности электрического поля: Для различных областей пространства имеем: для (внутри данной области электрические заряды отсутствуют): ; для : ; для : .

г) поле заряженной сферической поверхности

Пусть поверхностная плотность заряда , R – радиус сферической поверхности. В качестве замкнутой поверхности, через которую вычислим величину потока вектора напряженности электрического поля, выберем сферическую поверхность, как показано на рисунке. Из соображений симметрии (электрическое поле имеет центральную симметрию) напряженность электрического поля направлена перпендикулярно сферической поверхности. Направление внешней нормали к сферической поверхности по направлению является радиальным. Используя теорему Остроградского-Гаусса, получаем: ; . С учетом E=E n , имеем: для (внутри данной области электрические заряды отсутствуют) ; для ; для : .

Получим также выражение для напряженности электрического поля в случае, когда известна величина заряда q на сферической поверхности. Использование теоремы Остроградского-Гаусса дает следующий результат: . Откуда . С учетом E=E n , имеем: для (внутри данной области электрические заряды отсутствуют) ; для : ; для : . . С учетом, полученное выражение можно преобразовать: . С учетом E=E n , имеем: .