यह एक सदिश भौतिक मात्रा है, जो संख्यात्मक रूप से उस सीमा के बराबर है, जिस तक औसत गति अनंत रूप से छोटी अवधि में चलती है:

दूसरे शब्दों में, तात्कालिक गति समय में त्रिज्या सदिश है।

तात्कालिक वेग वेक्टर हमेशा शरीर की गति की दिशा में शरीर के प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित होता है।

तात्कालिक गति एक निश्चित समय पर गति के बारे में सटीक जानकारी देती है। उदाहरण के लिए, किसी समय कार में ड्राइविंग करते समय, ड्राइवर स्पीडोमीटर को देखता है और देखता है कि डिवाइस 100 किमी / घंटा दिखाता है। थोड़ी देर के बाद, स्पीडोमीटर सुई 90 किमी / घंटा और कुछ मिनटों के बाद - 110 किमी / घंटा की ओर इशारा करती है। सभी सूचीबद्ध स्पीडोमीटर रीडिंग निश्चित समय पर कार की तात्कालिक गति के मान हैं। समय के प्रत्येक क्षण और प्रक्षेपवक्र के प्रत्येक बिंदु पर गति को अंतरिक्ष स्टेशनों को डॉक करते समय, जब विमान उतर रहे हों, आदि को जाना जाना चाहिए।

क्या "तात्कालिक वेग" की अवधारणा का कोई भौतिक अर्थ है? गति अंतरिक्ष में परिवर्तन की विशेषता है। हालांकि, यह निर्धारित करने के लिए कि आंदोलन कैसे बदल गया है, कुछ समय के लिए आंदोलन का निरीक्षण करना आवश्यक है। यहां तक ​​​​कि सबसे उन्नत गति माप उपकरण, जैसे कि रडार इंस्टॉलेशन, समय की अवधि में गति को मापते हैं - हालांकि यह काफी छोटा है, लेकिन यह अभी भी एक सीमित समय अंतराल है, न कि समय में एक पल। भौतिकी की दृष्टि से "किसी निश्चित समय पर किसी पिंड का वेग" अभिव्यक्ति सही नहीं है। हालांकि, गणितीय गणनाओं में तात्कालिक गति की अवधारणा बहुत सुविधाजनक है, और इसका लगातार उपयोग किया जाता है।

"त्वरित गति" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 1

उदाहरण 2

काम	एक सीधी रेखा के अनुदिश एक बिंदु की गति का नियम समीकरण द्वारा दिया जाता है। गति शुरू होने के 10 सेकंड बाद बिंदु की तात्कालिक गति ज्ञात कीजिए।
समाधान	किसी बिंदु का तात्कालिक वेग समय में त्रिज्या सदिश है। इसलिए, तात्कालिक गति के लिए, हम लिख सकते हैं: आंदोलन शुरू होने के 10 सेकंड बाद, तात्कालिक गति का मान होगा:
उत्तर	गति शुरू होने के 10 सेकंड बाद, बिंदु की तात्कालिक गति m/s है।

उदाहरण 3

काम	पिंड एक सीधी रेखा में चलता है ताकि उसका निर्देशांक (मीटर में) कानून के अनुसार बदल जाए। गति शुरू होने के बाद शरीर कितने सेकंड में रुक जाएगा?
समाधान	शरीर की तात्कालिक गति ज्ञात कीजिए:

और इसकी आवश्यकता क्यों है। हम पहले से ही जानते हैं कि संदर्भ का ढांचा, गति की सापेक्षता और भौतिक बिंदु क्या हैं। खैर, यह आगे बढ़ने का समय है! यहां हम किनेमेटिक्स की बुनियादी अवधारणाओं की समीक्षा करेंगे, किनेमेटिक्स की मूल बातें पर सबसे उपयोगी सूत्रों को एक साथ लाएंगे, और समस्या को हल करने का एक व्यावहारिक उदाहरण देंगे।

आइए निम्नलिखित समस्या को हल करें: एक बिंदु एक वृत्त में घूमता है जिसकी त्रिज्या 4 मीटर है। इसकी गति का नियम समीकरण S=A+Bt^2 द्वारा व्यक्त किया जाता है। A=8m, B=-2m/s^2। किस बिंदु पर एक बिंदु का सामान्य त्वरण 9 m/s^2 के बराबर होता है? इस समय के लिए बिंदु की गति, स्पर्शरेखा और कुल त्वरण ज्ञात कीजिए।

हल: हम जानते हैं कि गति का पता लगाने के लिए, हमें गति के नियम का पहली बार अवकलज लेने की आवश्यकता है, और सामान्य त्वरण गति के निजी वर्ग और उस वृत्त की त्रिज्या के बराबर होता है जिसके साथ बिंदु चलता है . इस ज्ञान से लैस, हम वांछित मूल्य पाते हैं।

समस्याओं को सुलझाने में मदद चाहिए? एक पेशेवर छात्र सेवा इसे प्रदान करने के लिए तैयार है।

1.2. आयताकार गति

1.2.4. औसत गति

एक भौतिक बिंदु (शरीर) अपनी गति को केवल एकसमान सीधा गति के साथ अपरिवर्तित रखता है। यदि गति असमान है (समान परिवर्तनशील सहित), तो शरीर की गति बदल जाती है। इस तरह के आंदोलन को औसत गति की विशेषता है। औसत यात्रा गति और औसत जमीनी गति के बीच अंतर करें।

औसत यात्रा गतिएक वेक्टर भौतिक मात्रा है, जो सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

वी → आर = ∆r → t,

जहाँ r → - विस्थापन सदिश; यह वह समय अंतराल है जिसके दौरान यह आंदोलन हुआ।

औसत जमीन की गतिएक अदिश भौतिक राशि है और इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है

वी एस = एस कुल टी कुल,

जहां एस कुल \u003d एस 1 + एस 1 + ... + एस एन; टी कुल \u003d टी 1 + टी 2 + ... + टी एन।

यहां एस 1 = वी 1 टी 1 - पथ का पहला खंड; v 1 - पथ के पहले खंड को पार करने की गति (चित्र। 1.18); टी 1 - पथ के पहले खंड पर यात्रा का समय, आदि।

चावल। 1.18

उदाहरण 7. एक चौथाई बस 36 किमी/घंटा की गति से चलती है, दूसरी तिमाही - 54 किमी/घंटा, बाकी रास्ता - 72 किमी/घंटा की गति से। बस की औसत जमीनी गति की गणना करें।

समाधान। बस द्वारा तय की गई कुल दूरी को S द्वारा दर्शाया जाएगा:

एस कुल \u003d एस।

एस 1 \u003d एस / 4 - पहले खंड में बस द्वारा तय किया गया रास्ता,

एस 2 \u003d एस / 4 - दूसरे खंड में बस द्वारा तय किया गया रास्ता,

एस 3 \u003d एस / 2 - तीसरे खंड में बस द्वारा यात्रा की गई पथ।

बस का समय सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

• पहले खंड में (एस 1 \u003d एस / 4) -

  टी 1 \u003d एस 1 वी 1 \u003d एस 4 वी 1;

• दूसरे खंड में (एस 2 \u003d एस / 4) -

  टी 2 \u003d एस 2 वी 2 \u003d एस 4 वी 2;

• तीसरे खंड में (एस 3 \u003d एस / 2) -

  टी 3 \u003d एस 3 वी 3 \u003d एस 2 वी 3।

बस के लिए कुल यात्रा समय है:

टी कुल \u003d टी 1 + टी 2 + टी 3 \u003d एस 4 वी 1 + एस 4 वी 2 + एस 2 वी 3 \u003d एस (1 4 वी 1 + 1 4 वी 2 + 1 2 वी 3)।

वी एस = एस कुल टी कुल = एस एस (1 4 वी 1 + 1 4 वी 2 + 1 2 वी 3) =

1 (1 4 वी 1 + 1 4 वी 2 + 1 2 वी 3) = 4 वी 1 वी 2 वी 3 वी 2 वी 3 + वी 1 वी 3 + 2 वी 1 वी 2।

वी एस = 4 ⋅ 36 ⋅ 54 ⋅ 72 54 ⋅ 72 + 36 ⋅ 72 + 2 36 ⋅ 54 = 54 किमी/घंटा।

उदाहरण 8. एक सिटी बस स्टॉप पर बिताए गए समय का पांचवां हिस्सा, बाकी समय वह 36 किमी/घंटा की गति से चलती है। बस की औसत जमीनी गति निर्धारित करें।

समाधान। मार्ग t पर बस के कुल समय को निरूपित करें:

टी कुल \u003d टी।

टी 1 \u003d टी / 5 - स्टॉप पर बिताया गया समय,

टी 2 \u003d 4टी / 5 - बस का समय।

बस द्वारा तय की गई दूरी:

• समय के लिए टी 1 \u003d टी / 5 -

  एस 1 \u003d वी 1 टी 1 \u003d 0,

चूँकि इस समय अंतराल पर बस v 1 की गति शून्य है (v 1 = 0);

• समय के लिए t 2 \u003d 4t / 5 -

  एस 2 \u003d वी 2 टी 2 \u003d वी 2 4 टी 5 \u003d 4 5 वी 2 टी,

  जहां v 2 एक निश्चित समय अंतराल पर बस की गति है (v 2 = = 36 किमी/घंटा)।

कुल बस मार्ग है:

एस कुल \u003d एस 1 + एस 2 \u003d 0 + 4 5 वी 2 टी \u003d 4 5 वी 2 टी।

हम सूत्र का उपयोग करके बस की औसत जमीनी गति की गणना करेंगे

वी एस = एस कुल टी कुल = 4 5 वी 2 टी टी = 4 5 वी 2।

गणना औसत जमीनी गति का मान देती है:

वी एस = 4 5 ⋅ 36 = 30 किमी/घंटा।

उदाहरण 9. एक भौतिक बिंदु की गति के समीकरण का रूप x (t) \u003d (9.0 - 6.0t + 2.0t 2) m है, जहां निर्देशांक मीटर में दिया गया है, समय सेकंड में है। आंदोलन के पहले तीन सेकंड में औसत जमीनी गति और एक भौतिक बिंदु की गति की औसत गति का मान निर्धारित करें।

समाधान। निर्धारण के लिए औसत यात्रा गतिभौतिक बिंदु के विस्थापन की गणना करना आवश्यक है। समय अंतराल में t 1 = 0 s से t 2 = 3.0 s तक एक भौतिक बिंदु के विस्थापन मॉड्यूल की गणना निर्देशांक में अंतर के रूप में की जाती है:

| r → | = | एक्स (टी 2) - एक्स (टी 1) | ,

विस्थापन मापांक की गणना के लिए सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर यह प्राप्त होता है:

| r → | = | एक्स (टी 2) - एक्स (टी 1) | = 9.0 - 9.0 = 0 मीटर।

इस प्रकार, एक भौतिक बिंदु का विस्थापन शून्य है। इसलिए, औसत गति का मापांक भी शून्य के बराबर है:

| वी → आर | = | r → | टी 2 - टी 1 \u003d 0 3.0 - 0 \u003d 0 मीटर / सेकंड।

निर्धारण के लिए औसत जमीन की गतिआपको समय अंतराल में t 1 \u003d 0 s से t 2 \u003d 3.0 s तक सामग्री बिंदु द्वारा यात्रा किए गए पथ की गणना करने की आवश्यकता है। बिंदु की गति समान रूप से धीमी है, इसलिए यह पता लगाना आवश्यक है कि क्या विराम बिंदु निर्दिष्ट अंतराल के भीतर आता है।

ऐसा करने के लिए, हम समय के साथ भौतिक बिंदु की गति में परिवर्तन के नियम को रूप में लिखते हैं:

वी एक्स \u003d वी 0 एक्स + ए एक्स टी \u003d - 6.0 + 4.0 टी ,

जहाँ v 0 x \u003d -6.0 m / s अक्ष ऑक्स पर प्रारंभिक वेग का प्रक्षेपण है; a x = = 4.0 m/s 2 - संकेतित अक्ष पर त्वरण प्रक्षेपण।

आइए स्थिति से एक रोक बिंदु खोजें

वी (τ आराम) = 0,

वे।

आराम \u003d वी 0 ए \u003d 6.0 4.0 \u003d 1.5 एस।

स्टॉप पॉइंट t 1 = 0 s से t 2 = 3.0 s तक के समय अंतराल में आता है। इस प्रकार, तय की गई दूरी की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

एस \u003d एस 1 + एस 2,

जहां एस 1 = | एक्स (τ बाकी) - एक्स (टी 1) | - भौतिक बिंदु द्वारा स्टॉप तक जाने वाला मार्ग, अर्थात। समय के दौरान टी 1 = 0 एस से आराम = 1.5 एस; एस 2 = | एक्स (टी 2) - एक्स (τ बाकी) | - रुकने के बाद भौतिक बिंदु द्वारा यात्रा किया गया मार्ग, अर्थात। समय के दौरान τ आराम = 1.5 s से t 1 = 3.0 s।

निर्दिष्ट समय बिंदुओं पर निर्देशांक के मूल्यों की गणना करें:

एक्स (टी 1) \u003d 9.0 - 6.0 टी 1 + 2.0 टी 1 2 \u003d 9.0 - 6.0 0 + 2.0 ⋅ 0 2 \u003d 9.0 मीटर;

x (τ आराम) = 9.0 - 6.0 बाकी + 2.0 τ बाकी 2 = 9.0 - 6.0 ⋅ 1.5 + 2.0 ⋅ (1.5) 2 = 4.5 मीटर;

एक्स (टी 2) \u003d 9.0 - 6.0 टी 2 + 2.0 टी 2 2 \u003d 9.0 - 6.0 3.0 + 2.0 ⋅ (3.0) 2 \u003d 9.0 मीटर ।

निर्देशांक मान आपको पथ S 1 और S 2 की गणना करने की अनुमति देते हैं:

एस 1 = | एक्स (τ बाकी) - एक्स (टी 1) | = | 4.5 - 9.0 | = 4.5 मीटर;

एस 2 = | एक्स (टी 2) - एक्स (τ बाकी) | = | 9.0 - 4.5 | = 4.5 मीटर,

साथ ही यात्रा की गई कुल दूरी:

एस \u003d एस 1 + एस 2 \u003d 4.5 + 4.5 \u003d 9.0 मीटर।

इसलिए, एक भौतिक बिंदु की औसत जमीनी गति का वांछित मूल्य बराबर है

वी एस \u003d एस टी 2 - टी 1 \u003d 9.0 3.0 - 0 \u003d 3.0 एम / एस।

उदाहरण 10. समय पर एक भौतिक बिंदु की गति के प्रक्षेपण की निर्भरता का ग्राफ एक सीधी रेखा है और बिंदुओं (0; 8.0) और (12; 0) से होकर गुजरता है, जहां गति मीटर प्रति सेकंड में दी जाती है, समय - सेकंड में। 16 सेकंड की गति के लिए औसत जमीनी गति समान समय के लिए गति की औसत गति से कितनी बार अधिक होती है?

समाधान। समय पर पिंड के वेग के प्रक्षेपण की निर्भरता का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है।

एक भौतिक बिंदु और उसके विस्थापन के मापांक द्वारा यात्रा किए गए पथ की चित्रमय गणना के लिए, 16 s के बराबर समय में वेग प्रक्षेपण का मान निर्धारित करना आवश्यक है।

किसी दिए गए समय में v x का मान निर्धारित करने के दो तरीके हैं: विश्लेषणात्मक (एक सीधी रेखा के समीकरण के माध्यम से) और ग्राफिक (त्रिकोण की समानता के माध्यम से)। v x ज्ञात करने के लिए, हम पहली विधि का उपयोग करते हैं और दो बिंदुओं पर एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करते हैं:

टी - टी 1 टी 2 - टी 1 = वी एक्स - वी एक्स 1 वी एक्स 2 - वी एक्स 1 ,

जहां (t 1; v x 1) पहले बिंदु के निर्देशांक हैं; (टी 2 ; वी एक्स 2) - दूसरे बिंदु के निर्देशांक। समस्या की स्थिति के अनुसार: t 1 \u003d 0, v x 1 \u003d 8.0, t 2 \u003d 12, v x 2 \u003d 0. निर्देशांक के विशिष्ट मूल्यों को ध्यान में रखते हुए, यह समीकरण रूप लेता है:

टी - 0 12 - 0 = वी एक्स - 8.0 0 - 8.0,

वी एक्स = 8.0 - 2 3 टी।

t = 16 s पर, वेग प्रक्षेपण मान है

| वी एक्स | = 8 3 मी/से.

यह मान त्रिभुजों की समानता से भी प्राप्त किया जा सकता है।

• हम एस 1 और एस 2 के मूल्यों के योग के रूप में भौतिक बिंदु द्वारा यात्रा किए गए पथ की गणना करते हैं:

  एस \u003d एस 1 + एस 2,

  जहाँ S 1 \u003d 1 2 ⋅ 8.0 12 \u003d 48 m समय अंतराल में 0 s से 12 s तक के भौतिक बिंदु द्वारा तय किया गया पथ है; एस 2 = 1 2 (16 - 12) | वी एक्स | = 1 2 4.0 8 3 = = 16 3 मीटर - समय अंतराल में 12 से 16 सेकंड तक भौतिक बिंदु द्वारा तय किया गया पथ।

यात्रा की गई कुल दूरी है

एस \u003d एस 1 + एस 2 \u003d 48 + 16 3 \u003d 160 3 मीटर।

एक भौतिक बिंदु की औसत जमीनी गति बराबर होती है

वी एस \u003d एस टी 2 - टी 1 \u003d 160 3 ⋅ 16 \u003d 10 3 मीटर / एस।

• हम एक भौतिक बिंदु के विस्थापन के मूल्य की गणना एस 1 और एस 2 के बीच के अंतर के मापांक के रूप में करते हैं:

  एस = | एस 1 - एस 2 | = | 48 - 16 3 | = 128 3 मी.

औसत गति का मान है

| वी → आर | = | r → | टी 2 - टी 1 \u003d 128 3 16 \u003d 8 3 मीटर / सेक।

गति का वांछित अनुपात बराबर है

वी एस | वी → आर | \u003d 10 3 3 8 \u003d 10 8 \u003d 1.25।

एक भौतिक बिंदु की औसत जमीनी गति औसत यात्रा गति के मापांक से 1.25 गुना अधिक है।

यदि कोई भौतिक बिंदु गति में है, तो उसके निर्देशांक परिवर्तन के अधीन हैं। यह प्रक्रिया तेज या धीमी हो सकती है।

परिभाषा 1

वह मान जो निर्देशांक की स्थिति में परिवर्तन की दर को दर्शाता है, कहलाता है स्पीड.

परिभाषा 2

औसत गतिएक सदिश राशि है, संख्यात्मक रूप से प्रति इकाई समय में विस्थापन के बराबर है, और विस्थापन वेक्टर υ = ∆ r t के साथ सह-दिशा है; आर।

चित्र 1 । औसत गति को आंदोलन के लिए सह-निर्देशित किया जाता है

पथ के अनुदिश औसत चाल का मापांक = S ∆ t के बराबर होता है।

तात्कालिक गति एक निश्चित समय पर गति की विशेषता है। अभिव्यक्ति "एक निश्चित समय में एक शरीर का वेग" गलत माना जाता है, लेकिन गणितीय गणना में लागू होता है।

परिभाषा 3

तात्कालिक गति वह सीमा है जिस तक औसत गति समय अंतराल ∆t के 0 होने पर झुकती है:

= एल आई एम ∆ टी ∆ आर ∆ टी = डी आर डी टी = आर ˙।

वेक्टर υ की दिशा वक्रीय प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा है, क्योंकि इनफिनिटिमल विस्थापन d r प्रक्षेपवक्र d s के इनफिनिटिमल तत्व के साथ मेल खाता है।

चित्र 2। तात्कालिक वेग वेक्टर

कार्टेशियन निर्देशांक में मौजूदा व्यंजक = l i m t ∆ r t = d r d t = r नीचे प्रस्तावित समीकरणों के समान है:

x = d x d t = x y = d y d t = y z = d z d t = z ।

वेक्टर के मापांक का रिकॉर्ड रूप लेगा:

\u003d υ \u003d υ x 2 + y 2 + z 2 \u003d x 2 + y 2 + z 2.

कार्टेशियन आयताकार निर्देशांक से वक्रता तक जाने के लिए, जटिल कार्यों के भेदभाव के नियमों को लागू करें। यदि त्रिज्या सदिश r वक्रीय निर्देशांक r = r q 1, q 2 , q 3 का एक फलन है, तो वेग मान इस प्रकार लिखा जाता है:

= डी आर डी टी = ∑ मैं = 1 3 ∂ आर ∂ क्यू मैं ∂ क्यू मैं ∂ आर = ∑ मैं = 1 3 ∂ आर ∂ क्यू मैं क्यू ˙ मैं।

चित्र तीन। वक्रीय समन्वय प्रणालियों में विस्थापन और तात्कालिक वेग

गोलीय निर्देशांकों के लिए, मान लीजिए कि q 1 = r; क्यू 2 \u003d ; q 3 \u003d , तब हमें इस रूप में प्रस्तुत किया जाता है:

= υ r e r + φ e φ + θ , जहां r = r ; = आर φ ˙ पाप ; = आर θ ; आर ˙ = डी आर डी टी; = डी φ डी टी; = डी θ डी टी; \u003d आर 1 + 2 पाप 2 + 2।

परिभाषा 4

तत्काल गति d r = (t) d t संबंध द्वारा प्राथमिक गति से जुड़े किसी निश्चित समय पर गति के फलन के व्युत्पन्न के मान को कॉल करें

उदाहरण 1

एक बिंदु x (t) = 0, 15 t 2 - 2 t + 8 की रेखीय गति के नियम को देखते हुए। आंदोलन शुरू होने के 10 सेकंड बाद इसकी तात्कालिक गति निर्धारित करें।

समाधान

तात्कालिक वेग को आमतौर पर समय के संबंध में त्रिज्या वेक्टर का पहला व्युत्पन्न कहा जाता है। तो इसकी एंट्री इस तरह दिखेगी:

(टी) = एक्स ˙ (टी) = 0। 3 टी - 2; (10) = 0। 3 × 10 - 2 = 1 मी/से.

उत्तर: 1 मी/से.

उदाहरण 2

एक भौतिक बिंदु की गति समीकरण x = 4 t - 0 , 05 t 2 द्वारा दी गई है। समय t के बारे में t के साथ गणना करें जब बिंदु चलना बंद हो जाता है, और इसकी औसत जमीनी गति ।

समाधान

तात्कालिक गति के समीकरण की गणना करें, संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को प्रतिस्थापित करें:

(टी) = एक्स ˙ (टी) = 4 - 0, 1 टी।

4 - 0, 1 टी = 0; टी के बारे में टी \u003d 40 एस; 0 = (0) = 4; = टी = 0 - 4 40 - 0 = 0 , 1 मी / से।

उत्तर:सेट बिंदु 40 सेकंड के बाद बंद हो जाएगा; औसत गति का मान 0.1 m/s है।

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एक बिंदु की गति एक सदिश है जो प्रत्येक दिए गए क्षण में बिंदु की गति और गति की दिशा निर्धारित करती है।

एकसमान गति की गति एक निश्चित अवधि में एक बिंदु द्वारा तय किए गए पथ के अनुपात से इस अवधि के मान से निर्धारित होती है।

गति; एस- रास्ता; टी-समय।

गति को समय की एक इकाई से विभाजित लंबाई की इकाइयों में मापा जाता है: m/s; सेमी / एस; किमी/घंटा, आदि

रेक्टिलाइनियर गति के मामले में, वेग वेक्टर को गति की दिशा में प्रक्षेपवक्र के साथ निर्देशित किया जाता है।

यदि कोई बिंदु समान समय अंतराल में असमान पथों की यात्रा करता है, तो इस गति को असमान कहा जाता है। वेग एक चर है और समय का एक कार्य है।

एक निश्चित अवधि में एक बिंदु की औसत गति ऐसी एकसमान सीधी गति की गति है जिस पर बिंदु को इस अवधि के दौरान उसी गति को प्राप्त होगा जैसा कि उसके विचार में आंदोलन में है।

एक बिंदु M पर विचार करें जो कानून द्वारा दिए गए वक्रीय प्रक्षेपवक्र के साथ चलता है

समय अंतराल के दौरान? t, बिंदु M चाप MM 1 के साथ M 1 की स्थिति में चला जाएगा। यदि समय अंतराल? t छोटा है, तो चाप MM 1 को एक जीवा से बदला जा सकता है और, पहले सन्निकटन में, बिंदु की औसत गति पाएं

यह गति जीवा के अनुदिश बिंदु M से बिंदु M 1 तक निर्देशित होती है। हम वास्तविक गति को सीमा तक जाने पर ज्ञात करते हैं जब? t> 0

कब?t> 0, सीमा में जीवा की दिशा बिंदु M पर प्रक्षेपवक्र की स्पर्शरेखा की दिशा के साथ मेल खाती है।

इस प्रकार, एक बिंदु की गति को पथ वृद्धि के अनुपात की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है, क्योंकि बाद वाला शून्य हो जाता है। वेग की दिशा दिए गए बिंदु पर प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा के साथ मेल खाती है।

बिंदु त्वरण

ध्यान दें कि सामान्य स्थिति में, जब एक वक्रीय प्रक्षेपवक्र के साथ चलते हैं, तो एक बिंदु की गति दिशा और परिमाण दोनों में बदल जाती है। प्रति इकाई समय में गति में परिवर्तन त्वरण द्वारा निर्धारित किया जाता है। दूसरे शब्दों में, एक बिंदु का त्वरण एक मात्रा है जो समय के साथ गति के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। यदि एक समय अंतराल के लिए गति एक मान से बदलती है, तो औसत त्वरण

किसी दिए गए समय t पर किसी बिंदु का वास्तविक त्वरण वह मान है जिस पर औसत त्वरण कब जाता है? t\u003e 0, अर्थात्

एक समय अंतराल के साथ शून्य की ओर झुकाव के साथ, त्वरण वेक्टर परिमाण और दिशा दोनों में बदल जाएगा, इसकी सीमा की ओर बढ़ रहा है।

त्वरण का आयाम

त्वरण m/s 2 में व्यक्त किया जा सकता है; सेमी / एस 2 आदि।

सामान्य स्थिति में, जब किसी बिंदु की गति को प्राकृतिक तरीके से दिया जाता है, तो त्वरण वेक्टर आमतौर पर स्पर्शरेखा के साथ और बिंदु के प्रक्षेपवक्र के लिए सामान्य के साथ निर्देशित दो घटकों में विघटित हो जाता है।

तब t समय पर एक बिंदु के त्वरण को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

आइए हम घटक सीमाओं को और द्वारा निरूपित करें।

वेक्टर की दिशा समय अंतराल के आकार पर निर्भर नहीं करती है? टी।

यह त्वरण हमेशा वेग की दिशा के साथ मेल खाता है, अर्थात, यह बिंदु के प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित होता है और इसलिए इसे स्पर्शरेखा या स्पर्शरेखा त्वरण कहा जाता है।

बिंदु के त्वरण का दूसरा घटक वक्र की अवतलता की ओर इस बिंदु पर स्पर्शरेखा के लंबवत निर्देशित होता है और वेग वेक्टर की दिशा में परिवर्तन को प्रभावित करता है। त्वरण के इस घटक को सामान्य त्वरण कहा जाता है।

चूँकि सदिश का संख्यात्मक मान विचार किए गए समय अंतराल पर बिंदु वेग की वृद्धि के बराबर है? t, तो स्पर्शरेखा त्वरण का संख्यात्मक मान

एक बिंदु के स्पर्शरेखा त्वरण का संख्यात्मक मान गति के संख्यात्मक मान के समय व्युत्पन्न के बराबर होता है। एक बिंदु के सामान्य त्वरण का संख्यात्मक मान वक्र पर संबंधित बिंदु पर प्रक्षेपवक्र की वक्रता की त्रिज्या से विभाजित बिंदु की गति के वर्ग के बराबर होता है

एक बिंदु की असमान वक्रीय गति के मामले में कुल त्वरण ज्यामितीय रूप से स्पर्शरेखा और सामान्य त्वरण से बना होता है।