ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Напряженность поля

Экспериментально было обнаружено, что частицы могут испытывать взаимодействие гораздо более сильное, чем гравитационное. Для объяснения этого к массе m частицы добавили еще одну характеристику частицы - электрический заряд q , измеряемый в кулонах (Кл).

Назовем заряженную частицу, т. е. частицу, имеющую заряд q , точечным зарядом q (в отличие от заряженного тела, размерами которого нельзя пренебречь в условиях данной задачи). Каждый неподвижный заряд точечный заряд q создает в окружающем пространстве электрическое поле (точнее электростатическое поле ). На любой другой точечный заряд в этом поле будет действовать электрическая сила :

где вектор называют напряженностью электрического поля в точке, где находится заряд . Сила может быть направлена или к заряду q или от него. В связи с этим ввели два вида заряда: положительный и отрицательный. Разноименные заряды притягиваются, а одноименные - отталкиваются друг от друга (рис. 31.1).

Напряженность определяют как силу, действующую на единичный положительный точечный заряд в данной точке поля:

где > 0. Из выражения (31.2) видно, что размерность есть ньютон на кулон (Н/Кл).

Опыт показывает, что подвижный точечный заряд q создает на расстоянии r от него напряженность

(31.3)

где ε 0 - электрическая постоянная (ε 0 = 8,85·10 –12 Кл 2 /(Н·м 2)), - единичный вектор радиус-вектора , проведенного от центра поля, помещенного в начало координат, в котором расположен точечный заряд q , до интересующей нас точки поля.

Из выражения (31.1) видно, что электрическая сила , действующая на заряд , направлена так же, как и вектор , если заряд положительный, и противоположно вектору , если заряд отрицательный (рис. 31.2).

Из опыта следует, что напряженность поля системы N неподвижных точечных зарядов

где - напряженность поля в интересующей нас точке, создаваемая i -м точечным зарядом в отсутствие других точечных зарядов. Соотношение (31.4) выражает принцип суперпозиции электрических полей .

Пример 31.1. Два шарика с массами по 0,3 кг находятся на таком расстоянии, что взаимодействие их зарядов уравновешивается силой гравитационного притяжения. Найти радиусы шаров, если поверхностная плотность заряда шаров

Дано: m 1 = m 2 = m =0,3 кг F э = F гр R 1 = R 2 = R	Решение . F э = F гр. .
R – ?

Ответ: R = 4 см.

Пример 31.2. Точечные заряды q 1 = 2q и q 2 = – q расположены, как показано на рис. 31.4. Расстояние между зарядами равно d . Определить, на каком расстоянии x 1 от заряда q 1 напряженность электрического поля равна нулю.

Дано: q 1 = 2q q 2 = – q d E(x 1) = 0	Решение Рис. 31.3
x 1 – ?

Согласно принципу суперпозиции электрических полей в точке, где должно выполняться условие

где и - напряженности полей, создаваемых зарядами q 1 и q 2 в этой точке. Очевидно, это условие выполняться не будет вне оси x (векторы и направлены под углом друг к другу), а также на оси x слева от заряда q 1 , где всегда E 1 > E 2 (см. формулу (31.3) и условие задачи). Между зарядами на оси x не может равняться нулю, так как векторы и направлены в одну сторону. Остается предположить, что искомая точка лежит на оси x справа от заряда q 2 (см. рис. 31.3). Расстояние x 1 от заряда q 1 найдем из условия

Сократим на и извлечем корень квадратный из левой и правой частей равенства:

Ответ: x 1 = 3,5 d .

§ 32. Поток вектора

Наглядно поле вектора изображают с помощью линий вектора , которые проводят следующим образом:

1) касательная к ним в каждой точке совпадает с направлением вектора ;

2) число линий, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям (густота линий), равно модулю вектора (рис. 32.1).

Электрическое поле называют однородным , если в каждой точке поля вектор = const. Линии вектора такого поля параллельны и расстояния между ними одинаковы (рис. 32.2).

Рис. 32.1 Рис. 32.2

Линии вектора электростатического поля начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах.

Возьмем элементарную площадку dS в поле вектора (рис. 32.3). Пусть - единичный вектор нормали к площадке dS , α - угол между векторами и . Тогда число линий вектор , пронизывающих dS , равно

где - вектор, модуль которого равен dS , а направление совпадает с единичным вектором нормали к площадке dS .

Назовем потоком Ф вектора сквозь произвольную поверхность S число линий вектора , пронизывающих эту поверхность. Очевидно,

интегралу по поверхности S от скалярного произведения векторов и . Поток - величина алгебраическая. Знак потока зависит от выбора направления нормали к dS . Для замкнутых поверхностей принято брать внешнюю нормаль.

§ 33. Теорема Гаусса для поля вектора

Теорема . Поток вектора сквозь любую замкнутую поверхность S равен q вн. /ε 0 , где q вн. - алгебраическая сумма зарядов внутри этой поверхности:

(33.1)

где кружок у интеграла означает, что интегрирование проводится по замкнутой поверхности.

Доказательство теоремы . Рассмотрим электрическое поле одного неподвижного точечного заряда q . Пусть q > 0. Мысленно окружим заряд q произвольной замкнутой поверхностью S (рис. 33.1).

Найдем поток d Ф вектора сквозь элемент dS поверхности. Очевидно,

где - элементарный телесный (пространственный) угол внутри конуса, опирающегося на dS , с вершиной в точке расположения заряда q .

Поток вектора сквозь всю замкнутую поверхность S

где - полный телесный угол. Мы получили

что совпадает с выражением (33.1).

Теперь рассмотрим электрическое поле, создаваемое системой N неподвижных точечных зарядов Мысленно окружим эту систему зарядов произвольной замкнутой поверхностью S . Используя принцип суперпозиции электрических полей, можем написать

где q - алгебраическая сумма N зарядов, что совпадает с выражением (33.1).

Теорема Гаусса позволяет в некоторых случаях очень просто определить напряженность в любой точке электрического поля.

Пример 33.1. Имеем бесконечную равномерно заряженную плоскость с поверхностной плотностью заряда σ. Определить напряженно сть Е x от плоскости.

Проведем через интересующую нас точку гауссову замкнутую поверхность S в виде симметричного относительно плоскости цилиндра так, чтобы точка находилась на основании цилиндра (рис. 32.2). Найдем поток вектора сквозь гауссову поверхность:

где S осн. - площадь основания цилиндра. При интегрировании мы учли, что поток вектора сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю (линии вектора не пронизывают эту поверхность) и для всех точек основания цилиндра α = 0 и Е = const.

Согласно теореме Гаусса

где - заряд плоскости, сосредоточенный внутри цилиндра. Найдем его. По определению, поверхностная плотность заряда

В случае равномерно заряженной плоскости (σ = const) можем написать

(из рис. 33.2 видно, что заряд сосредоточен на части плоскости с площадью S осн.), откуда

(33.4)

Подставляя выражения (33.2) и (33.4) в соотношение (33.3), получаем

Из выражения (33.5) видно, что E не зависит от расстояния x от заряженной плоскости, т. е.

Следовательно, электрическое поле, создаваемое бесконечной равномерно заряженной плоскостью, является однородным.

Пример 33.2. Имеем равномерно заряженную сферу с поверхностной плотностью заряда σ. Радиус сферы R . Определить напряженно сть Е электрического поля на расстоянии r от центра сферы.

(из рис. 33.3 видно, то заряда внутри гауссовой поверхности нет), откуда следует, что

Следовательно, внутри заряженной сферы напряженность Е электрического поля равна нулю.

Теперь определим Е в точке, находящейся вне заряженной сферы (r > R ). Пусть сфера заряжена положительно. Вследствие симметрии вектор Е поля, создаваемого сферой, в интересующей нас точке направлен радиально от центра сферы.

Е = const.

Согласно теореме Гаусса

Из рис. 33.3 видно, что заряженная сфера находится внутри гауссовой поверхности и поэтому заряд q вн. равен заряду q сф. сферы. В случае равномерно заряженной сферы (σ = const) можем записать

(33.8)

Подставляя выражения (33.6) и (33.8) в соотношение (33.7), получаем

Следовательно, напряженность Е поля вне заряженной сферы убывает с расстоянием r . Графически зависимость E (r ) электрического поля равномерно заряженной сферы представлена на рис. 33.4.

Пример 33.3. Имеем равномерно заряженный шар с объемной плотностью заряда ρ. Радиус шара R . Определить напряженно сть Е электрического поля на расстоянии r от центра шара.

При интегрировании мы учли, что для всех точек гауссовой сферы α = 0 и Е = const.

Согласно теореме Гаусса

где - заряд части шара, сосредоточенный внутри гауссовой сферы. Найдем его. По определению, объемная плотность заряда

В случае равномерно заряженного шара (ρ = const) можем написать

где - объем шара внутри гауссовой сферы. Из выражения (33.12) находим

(33.13)

Подставляя выражения (33.10) и (33.13) в соотношение (33.11), получаем

Каждый электрический заряд окружает электрическое поле. В результате длительных исследований ученые-физики пришли к выводу, что взаимодействие заряженных тел происходит благодаря электрическим полям, их окружающим. Они являются особой формой материи, которая неразрывно связана со всяким электрическим зарядом.

Изучение электрического поля проводят, вводя в него мелкие заряженные тела. Эти тела называют «пробными зарядами». Например, зачастую в роли пробного заряда используют заряженный пробковый шарик.

При внесении пробного заряда в электрическое поле тела, имеющего положительный заряд, лёгкий положительно заряженный пробковый шарик под его действием будет отклоняться тем больше, чем ближе мы будем его подносить к телу.

При перемещении пробного заряда в электрическом поле произвольного заряженного тела можно с легкостью обнаружить, что сила, действующая на него, будет различна в разных местах.

Так, при помещении последовательно в одну точку поля различных по величине пробных положительных зарядов q1, q2, q3, …, qn можно обнаружить, что силы, действующие на них, F1, F2, F3, …, Fn различны, однако отношение силы к размеру определенного заряда для такой точки поля неизменно:

F1/q1 = F2/q2 = F3/q3 = … = Fn/qn.

Если подобным образом будем исследовать разные точки поля, то получим следующее заключение: для каждой отдельно взятой точки в электрическом поле отношение величины силы, действующей на пробный заряд, к величине такого заряда неизменно и независимо от величины пробного заряда.

Из этого следует, что величина этого отношения характеризует электрическое поле в произвольной его точке. Величина, которая измеряется отношением силы, воздействующей на положительный заряд, расположенный в этой точке поля, к размеру заряда и является напряженностью электрического поля:

Она, как это видно из её определения, равна силе, которая действует на единицу позитивного заряда, помещенного в определенную точку поля.

За единицу напряженности электрополя принимают действующего на заряд размером в одну электростатическую единицу с силой в одну дину. Такую единицу называют абсолютной электростатической единицей напряженности.

Чтобы определить напряженность электрического поля любого точечного заряда q в произвольной точке поля А данного заряда, отстоящей от него на расстоянии r1, необходимо поместить в эту произвольную точку пробный заряд q1 и вычислить силу Fa, которая действует на него (для вакуума).

Fa = (q1q)/r²₁.

Если мы возьмем отношение величины силы, которая влияет на заряд, к его величине q1, то можно произвести расчет напряженности электрополя в точке А:

Кроме того, можно найти напряженность в произвольной точке В; она будет равна:

Поэтому напряженность электрического поля точечного заряда в определенной точке поля (в вакууме) будет прямо пропорциональна размеру данного заряда и обратно пропорциональна квадрату дистанции между этим зарядом и точкой.

Напряженность поля выступает в роли его силовой характеристики. Зная ее в произвольной точке поля Е, легко рассчитать и силу F, воздействующую на заряд q в данной точке:

Поля - Направление напряженности в каждой определенной точке поля будет совмещаться с направлением силы, воздействующей на положительный заряд, помещенный в точку.

При образовании поля несколькими зарядами: q1 и q2 - напряженность Е в любой точке А данного поля будет равняться геометрической сумме напряженности Е1 и Е2, создаваемых в данной точке отдельно зарядами q1 и q2.

Напряженность электрического поля в произвольной точке можно отобразить графически с помощью направленного отрезка, который исходит из этой точки, аналогично изображению силы и прочих векторных величин.

Если в пространство, окружающее электрический заряд, внести другой заряд, то на него будет действовать кулоновская сила; значит, в пространстве, окружающем элект­рические заряды, существует силовое поле . Согласно представлениям современной физики, поле реально существует и наряду с веществом является одной из форм существования материи, посредством которого осуществляются определенные взаимо­действия между макроскопическими телами или частицами, входящими в состав вещества. В данном случае говорят об электрическом поле - поле, посредством которого взаимодействуют электрические заряды. Мы рассматриваем элект­рические поля, которые создаются неподвижными электрическими зарядами и называ­ются электростатическими .

Для обнаружения и опытного исследования электростатического поля используется пробный точечный положительный заряд - такой заряд, который не искажает исследу­емое поле (не вызывает перераспределения зарядов, создающих поле). Если в поле, создаваемое зарядом Q, поместить пробный заряд Q 0 , то на него действует сила F , различная в разных точках поля, которая, согласно закону Кулона, пропорци­ональна пробному заряду Q 0 . Поэтому отношение F/Q 0 не зависит от Q 0 и характеризу­ет электростатическое поле в той точке, где пробный заряд находится. Эта величина называется напряженностью и является силовой характеристикой электростатичес­кого поля.

Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина, определяемая силой, действующей на пробный единичный положительный заряд, помещенный в эту точку поля:

Напряженность поля точечного заряда в вакууме

Направление вектора Е совпадает с направлением силы, действующей на положитель­ный заряд. Если поле создается положительным зарядом, то вектор Е направлен вдоль радиуса-вектора от заряда во внешнее пространство (отталкивание пробного положи­тельного заряда); если поле создается отрицательным зарядом, то вектор Е направлен к заряду (рис.).

Единица напряженности электростатического по­ля - ньютон на кулон (Н/Кл): 1 Н/Кл - напряженность такого поля, которое на точечный заряд 1 Кл действует с силой в 1 Н; 1 Н/Кл= 1 В/м, где В (вольт) - еди­ница потенциала электростатического поля. Графически электростатическое поле изображают с помощьюлиний напряженности - линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора Е (рис.).

Так как в каждой данной точке пространства вектор напряженности имеет лишь одно направление, то линии напряженности никогда не пересекаются. Дляоднородного поля (когда вектор напряженности в любой точке постоянен по величине и направлению) линии напряженности параллельны вектору напряженности. Если поле создается точечным зарядом, то линии напряженности - радиальные прямые, выходящие из заряда, если он положителен (рис.а ), и входя­щие в него, если заряд отрицателен (рис.б ). Вследствие большой наглядности графический способ представления электростатического поля широко применяется в электротехнике.

Чтобы с помощью линий напряженности можно было характеризовать не только направление, но и значение напряженности электростатического поля, условились про­водить их с определенной густотой: число линий напряженности, прони­зывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора Е. Тогда число линий напряженности, пронизыва­ющих элементарную площадку dS, нормаль n которой образует угол a с вектором Е , равно Е dS cos a = E n dS, где Е п -проекция вектора Е на нормаль n к площадке dS (рис.).

Величина dФ Е =Е n dS=E dS называетсяпотоком вектора напряженности через площадку dS. Здесь dS = dS n - век­тор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направлением нормали n к площадке. Выбор направления вектора n (а следовательно, и dS ) условен, так как его можно направить в любую сторону. Единица потока вектора напряженности электростатического поля - 1 В×м.

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора Е сквозь эту поверх­ность

,

где интеграл берется по замкнутой поверхности S. Поток вектора Е является алгебра­ической величиной: зависит не только от конфигурации поля Е , но и от выбора направления n . Для замкнутых поверхностей за положительное направление нормали принимается внешняя нормаль, т. е. нормаль, направленная наружу области, охватыва­емой поверхностью.

К кулоновским силам применим принцип независимости действия сил, т. е. результирующая сила F, дейст­вующая со стороны поля на пробный заряд Q 0 , равна векторной сумме сил Fi, приложенных к нему со стороны каждого из зарядов Q i: . F = Q 0 E и F i = Q 0 Е i , где Е-напряженность результирующего поля, а Е i - напряженность поля, создаваемого зарядом Q i . Подставляя это в выражение выше, получаем . Эта формула выражает принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

Принцип суперпозиции применим для расчета электростатического поля элект­рического диполя. Электрический диполь - система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+Q,–Q), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Согласно принципу суперпозиции, напряженность Е поля диполя в произ­вольной точке , где Е+ и Е– - напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами.