जैविक प्रक्रियाओं की गतिशीलता

मैं जैविक प्रणालियों की गतिशीलता का वर्णन कैसे कर सकता हूं? किसी भी समय, जैविक प्रणाली में कुछ विशेषताओं का एक सेट होता है। उदाहरण के लिए, किसी प्रकार की आबादी को देखते हुए, इसकी संख्या, कब्जे वाले क्षेत्र का क्षेत्र, उपलब्ध भोजन की मात्रा, परिवेश का तापमान इत्यादि पंजीकृत करना संभव है। रासायनिक प्रतिक्रिया इसे भाग लेने वाले पदार्थों, दबाव, तापमान, माध्यम की अम्लता के स्तर की सांद्रता द्वारा विशेषता की जा सकती है। शोधकर्ता ने सिस्टम का वर्णन करने के लिए चुना गया सभी विशेषताओं के मूल्यों का सेट प्रत्येक समय सिस्टम की स्थिति है। इस सेट में एक मॉडल बनाते समय, चर और पैरामीटर प्रतिष्ठित होते हैं। वेरिएबल वे मूल्य हैं जिनमें से परिवर्तन मुख्य रूप से शोधकर्ता में रुचि रखते हैं, पैरामीटर "बाहरी पर्यावरण" की शर्तें हैं। यह चयनित चर के लिए है जो समय में परिवर्तन के पैटर्न को दर्शाते हुए समीकरणों को बनाते हैं। उदाहरण के लिए, सूक्ष्मजीवों की संस्कृति के विकास के लिए एक मॉडल बनाते समय, यह आमतौर पर एक चर के रूप में और एक पैरामीटर के रूप में अपना नंबर करता है - प्रजनन दर। यह संभव है कि जिस तापमान पर ऊंचाई होती है, तब यह सूचक मॉडल में पैरामीटर के रूप में भी शामिल किया जाता है। और यदि, उदाहरण के लिए, वायुमंडल स्तर हमेशा पर्याप्त होता है और विकास प्रक्रियाओं पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, तो यह मॉडल में शामिल नहीं है। एक नियम के रूप में, प्रयोग के दौरान पैरामीटर अपरिवर्तित रहते हैं, हालांकि यह ध्यान देने योग्य है कि यह हमेशा मामला नहीं है।

जैविक प्रणाली की गतिशीलता का वर्णन करें (यानी, समय में इसकी स्थिति में परिवर्तन) अलग और निरंतर मॉडल दोनों हो सकते हैं। असतत मॉडल में, यह माना जाता है कि समय एक असतत परिमाण है। यह कुछ निश्चित समय अंतराल के माध्यम से परिवर्तनीय मूल्यों के पंजीकरण से संबंधित है (उदाहरण के लिए, एक बार एक बार या वर्ष में एक बार)। निरंतर मॉडल में, जैविक चर संकेतित समय का एक सतत कार्य है, उदाहरण के लिए, एक्स।(टी).

अक्सर बहुत महत्व के होते हैं आरंभिक स्थितियां मॉडल - समय के प्रारंभिक क्षण में अध्ययन की गई विशेषताओं की स्थिति, यानी के लिये टी = 0.

कुछ विशेषताओं के निरंतर परिवर्तन का अध्ययन करते समय एक्स।(टी) हम इसके परिवर्तन की गति के बारे में जानकारी जान सकते हैं। सामान्य मामले में यह जानकारी एक अंतर समीकरण के रूप में दर्ज की जा सकती है:

इस औपचारिक रिकॉर्ड का मतलब है कि कुछ अध्ययन की विशेषता में परिवर्तन की दर समय का कार्य और इस विशेषता का मूल्य है।

यदि प्रजातियों के अंतर समीकरण का दायां पक्ष समय से स्पष्ट रूप से स्वतंत्र है, तो। निष्पक्ष रूप से:

फिर इस तरह के एक समीकरण कहा जाता है स्वायत्तशासी (इस समीकरण द्वारा वर्णित प्रणाली को बुलाया जाता है स्वायत्तशासी)। समय के प्रत्येक क्षण पर स्वायत्त प्रणालियों की स्थिति एक एकल मान - चर मान द्वारा विशेषता है एक्स।वर्तमान समय में टी.

आइए खुद से पूछें: अंतर समीकरण के लिए दिया जाना चाहिए एक्स।(टी) क्या सभी कार्यों को ढूंढना संभव है एक्स।(टी) इस समीकरण को संतुष्ट? या: यदि एक निश्चित चर का प्रारंभिक मूल्य ज्ञात है (उदाहरण के लिए, जनसंख्या का प्रारंभिक आकार, पदार्थ की एकाग्रता, माध्यम की विद्युत चालकता, माध्यम, आदि) और इसमें परिवर्तन की प्रकृति पर जानकारी है यह चर, तो भविष्यवाणी करना संभव है कि इसके बाद के मूल्य के बाद भी इसका मूल्य कैसे होगा? असाइन किए गए प्रश्न का उत्तर निम्नानुसार लगता है: यदि प्रारंभिक स्थितियां दी जाती हैं जब कौची प्रमेय (कुछ क्षेत्र में निर्दिष्ट कार्य और उसके निजी व्युत्पन्न कार्य इस क्षेत्र में निरंतर है), तो एक एकल समाधान है जो निर्दिष्ट प्रारंभिक स्थितियों को पूरा करता है। (याद रखें कि अंतर समीकरण को संतुष्ट करने वाले किसी भी निरंतर कार्य को इस समीकरण का समाधान कहा जाता है।) इसका मतलब है कि हम विशिष्ट रूप से जैविक प्रणाली के व्यवहार की भविष्यवाणी कर सकते हैं, यदि इसकी प्रारंभिक स्थिति की विशेषताएं ज्ञात हैं, और मॉडल समीकरण संतुष्ट करता है कौची प्रमेय की शर्तें।

स्थिर अवस्था स्थिरता

हम स्वायत्त अंतर समीकरण पर विचार करेंगे

स्थिर स्थिति में, सिस्टम में चर के मान समय के साथ नहीं बदले जाते हैं, यानी, परिवर्तनीय मूल्यों में परिवर्तन की दर 0 है :. यदि समीकरण का बायां हिस्सा (1.2) शून्य है, तो दाईं भी शून्य है :. इस बीजगणितीय समीकरण की जड़ें हैं स्थिर अवस्था विभेदक समीकरण (1.2)।

उदाहरण 1.1: समीकरण के स्थिर राज्य खोजें।

फेसला: हम इस शब्द को स्थानांतरित करेंगे, जिसमें समानता के दाहिने हाथ में व्युत्पन्न नहीं है :. एक स्थिर स्थिति में परिभाषा के अनुसार, समानता का प्रदर्शन किया जाता है :. इसका मतलब है कि समानता की जानी चाहिए । हम समीकरण को हल करते हैं:

,

तो, समीकरण में 3 स्थिर राज्य हैं :,।

जैविक प्रणालियों को लगातार विभिन्न बाहरी प्रभावों और कई उतार-चढ़ाव का सामना करना पड़ रहा है। उसी समय, वे (जैविक प्रणाली) के पास होमियोस्टेसिस, यानी है। सतत। एक गणितीय भाषा में, इसका मतलब है कि छोटे विचलन पर चर अपने स्थिर मूल्यों में लौट आए हैं। क्या यह अपने गणितीय मॉडल की जैविक प्रणाली के व्यवहार के ऐसे चरित्र को प्रतिबिंबित करेगा? स्थिर स्थिति मॉडल प्रतिरोधी हैं?

स्थिर अवस्था है सततयदि संतुलन स्थिति से पर्याप्त रूप से छोटे विचलन के साथ सिस्टम कभी भी एक विशेष बिंदु से दूर नहीं जाएगा। एक स्थिर स्थिति सिस्टम कामकाज के एक स्थिर मोड से मेल खाती है।

समीकरण की संतुलन स्थिति Lyapunov द्वारा स्थिर है, अगर कोई हमेशा ऐसा कर सकता है कि अगर, सभी के लिए।

एक स्थिर स्थिति - Lyapunov विधि की स्थिरता का अध्ययन करने के लिए एक विश्लेषणात्मक विधि है। उनके औचित्य के लिए याद दिलाता है टेलर फॉर्मूला.

बेहोश की बात करते हुए, टेलर फॉर्मूला एक निश्चित बिंदु के आसपास के क्षेत्र में समारोह का व्यवहार दिखाता है। कार्य को सभी आदेशों के बिंदु पर होने दें एन-समावेशी जाओ। फिर टेलर के सूत्र के लिए:

अवशिष्ट शब्द को छोड़कर, जो खुद को उच्च क्रम के असीम रूप से कम का प्रतिनिधित्व करता है, हम टेलर का अनुमानित सूत्र प्राप्त करते हैं:

अनुमानित सूत्र का दाईं ओर कहा जाता है बहुपद टेलर कार्य, यह के रूप में दर्शाया गया है।

उदाहरण 1.2: 4 ऑर्डर तक के एक बिंदु के पड़ोस में टेलर की एक श्रृंखला में फ़ंक्शन फैलाएं।

फेसला: हम सामान्य रूप में 4 वें क्रम तक टेलर की एक श्रृंखला लिखते हैं:

बिंदु पर निर्दिष्ट फ़ंक्शन के डेरिवेटिव खोजें:

,

हम मूल सूत्र में प्राप्त मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं:

एक स्थिर स्थिति की स्थिरता का अध्ययन करने के लिए विश्लेषणात्मक विधि ( lyapunov विधि) यह इस प्रकार है। मान लीजिए - समीकरण की स्थिर स्थिति। एक छोटा चर विचलन सेट करें एक्स। अपने स्थिर अर्थ से: कहाँ। एक बिंदु के लिए एक अभिव्यक्ति का विकल्प एक्स।मूल समीकरण में: । समीकरण का बायां हिस्सा फॉर्म ले जाएगा: चूंकि स्थिर स्थिति में परिवर्तनीय के मूल्य में परिवर्तन की गति शून्य है :. एक स्थिर स्थिति के पड़ोस में टेलर की एक श्रृंखला में दाएं हाथ की तरफ रखा जाएगा, यह देखते हुए, हम समीकरण के दाहिने हिस्से में केवल एक रैखिक सदस्य छोड़ देंगे:

प्राप्त किया था रैखिक समीकरण या पहले सन्निकटन का समीकरण। परिमाण कुछ स्थायी मूल्य है, हम इसे दर्शाते हैं ए।: रैखिक समीकरण के सामान्य समाधान में फॉर्म है :. यह अभिव्यक्ति उस कानून का वर्णन करती है जिस पर हमारे द्वारा निर्दिष्ट विचलन स्थिर स्थिति से बदला जाएगा। समय के साथ विचलन फहराएगा, यानी यदि प्रदर्शक में संकेतक नकारात्मक है, तो । परिभाषा के अनुसार, स्थिर स्थिति होगी सतत। यदि, समय में वृद्धि के साथ, विचलन केवल स्थिर स्थिति में वृद्धि करेगा, अस्थिर। इस मामले में जब स्थिर स्थिति की स्थिरता के सवाल के लिए पहली प्रतिक्रिया अनुमान के समीकरण नहीं दे सकते हैं। टेलर की एक श्रृंखला में अपघटन में उच्च आदेश के सदस्यों पर विचार करना आवश्यक है।

स्थिर स्थिति की स्थिरता का अध्ययन करने की विश्लेषणात्मक विधि के अलावा, एक ग्राफिक भी है।

उदाहरण 1.3। रहने दो । समीकरण के स्थिर राज्य खोजें और फ़ंक्शन ग्राफिक्स का उपयोग करके अपने प्रकार की स्थिरता निर्धारित करें .

फेसला: हम एकवचन बिंदु मिलेगा:

,

,

हम एक फ़ंक्शन (FIG.1.1) का एक ग्राफ बनाते हैं।

अंजीर। 1.1। समारोह ग्राफ (उदाहरण 1.3)।

अनुसूची निर्धारित करें कि प्रत्येक फाउंडेशनर राज्यों में से प्रत्येक स्थिर है। आइए विशेष बिंदु से बाईं ओर के चित्रण बिंदु का एक छोटा विचलन निर्धारित करें :. समन्वय समारोह के साथ बिंदु पर सकारात्मक मूल्य होता है: या। आखिरी असमानता का मतलब है कि समन्वय समय के साथ, इसे बढ़ाना चाहिए, यानी, चित्रण बिंदु को बिंदु पर वापस जाना चाहिए। अब एक विशेष बिंदु से दाईं ओर चित्रण बिंदु का एक छोटा विचलन निर्धारित करें :. इस क्षेत्र में, कार्य एक सकारात्मक मूल्य को बरकरार रखता है, इसलिए समन्वय समय के साथ एक्स। भी बढ़ता है, यानी, चित्रण बिंदु को बिंदु से अलग किया जाएगा। इस प्रकार, एक छोटा विचलन एक स्थिर स्थिति से एक प्रणाली, इसलिए, परिभाषा के अनुसार, अस्थिर का एक विशेष बिंदु। इसी तरह के तर्क इस तथ्य का कारण बनते हैं कि एक विशेष बिंदु से कोई विचलन क्षीणन करेगा, स्थिर स्थिति स्थिर है। स्थिर राज्य से किसी भी दिशा में चित्रण बिंदु का विचलन बिंदु से हटाने की ओर जाता है, एक अस्थिर स्थिर स्थिति है।

रैखिक प्रणाली का समाधान विभेदक समीकरण

हम समीकरणों की प्रणालियों, पहले रैखिक के अध्ययन में बदल जाते हैं। सामान्य रूप से, रैखिक अंतर समीकरणों की प्रणाली का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

समीकरणों की प्रणाली का विश्लेषण स्थिर राज्यों के स्थान से शुरू होता है। फॉर्म (1.3) की प्रणालियों में, एकवचन बिंदु एक है, इसके निर्देशांक - (0,0)। अपवाद एक पतित मामला है जब समीकरणों का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

(1.3*)

इस मामले में, अनुपात को संतुष्ट करने वाले सभी जोड़े सिस्टम के स्थिर बिंदु हैं (1.3 *)। विशेष रूप से, बिंदु (0,0) सिस्टम के लिए भी स्थिर है (1.3 *)। चरण विमान में, इस मामले में, हमारे पास एक झुकाव गुणांक के साथ एक सीधी रेखा है, जो निर्देशांक की उत्पत्ति से गुज़रती है, जिनमें से प्रत्येक बिंदु प्रणाली का एक विशेष बिंदु (1.3 *) होता है (तालिका 1.1, अनुच्छेद 6 देखें )।

मुख्य प्रश्न जिसके समीकरण प्रणाली के अध्ययन के परिणाम का उत्तर दिया जाना चाहिए: चाहे सिस्टम की स्थिर स्थिति स्थिर हो, और इस समाधान में यह समाधान (नीरस या गैर-मोनोटोनिक) है।

सामान्य निर्णय दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली इस तरह दिखती है:

विशेषता संख्या निम्नानुसार रैखिक समीकरणों के गुणांक के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है:

विशेषता संख्या 1 हो सकती है) मान्य अलग-अलग संकेत, 2) एक संकेत का वैध संकेत, 3) व्यापक रूप से संयुग्मेट, साथ ही साथ पतनशील मामलों में, 4) विशुद्ध रूप से काल्पनिक, 5) मान्य संयोग, 6) मान्य, जिसमें से एक (या दोनों) बराबर शून्य है। ये मामले सामान्य अंतर समीकरणों की प्रणाली के समाधान के प्रकार के प्रकार को निर्धारित करते हैं। संबंधित चरण पोर्ट्रेट्स को तालिका 1.1 में प्रस्तुत किया गया है।

तालिका 1.1। दो रैखिक अंतर समीकरणों और संबंधित चरण पोर्ट्रेट की एक प्रणाली के स्थिर राज्यों के प्रकार। तीर छवि बिंदु के आंदोलन की दिशा दिखाते हैं

दो रैखिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के चरण और गतिज चित्रों का निर्माण

चरण समन्वय अक्ष के साथ विमान जिस पर परिवर्तनीय मान स्थगित कर दिया जाता है एक्स। तथा वाईविमान का प्रत्येक बिंदु एक विशिष्ट प्रणाली की स्थिति से मेल खाता है। चरण विमान पर बिंदुओं का संयोजन, अध्ययन के तहत प्रणाली के निर्दिष्ट समीकरणों के अनुसार, चर के समय में परिवर्तन की प्रक्रिया में प्रणाली के राज्यों के अनुरूप होता है, जिसे कहा जाता है चरण प्रक्षेपण। चर के विभिन्न प्रारंभिक मूल्यों के साथ चरण प्रक्षेपणों का एक संयोजन सिस्टम का एक चित्र प्रदान करता है। इमारत चरण पोर्ट्रेट आपको परिवर्तनीय में परिवर्तनों की प्रकृति के बारे में निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है एक्स। तथा वाई समीकरणों की मूल प्रणाली के विश्लेषणात्मक समाधान के ज्ञान के बिना।

रैखिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

एक चरण पोर्ट्रेट निर्माण के साथ निर्माण शुरू मुख्य इसोकलिन (इसोक्लिन - लाइन, जिस पर समीकरण द्वारा निर्धारित चरण वक्र (प्रक्षेपण) का झुकाव, निरंतर मूल्य बनाए रखता है)। दो रैखिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के लिए, यह हमेशा सीधे है, निर्देशांक की उत्पत्ति से गुजर रहा है। समीकरण इसोक्लिन क्षैतिज स्पर्शरेखा: . लंबवत टेंगेंट समीकरण: । एक चरण पोर्ट्रेट को आगे बढ़ाने के लिए, एक कोण पर गुजरने वाले टैंगेंटों के एक इसोक्लिन को बनाने के लिए उपयोगी है। प्रासंगिक इसोक्लिन समीकरण को खोजने के लिए, समीकरण को हल करना आवश्यक है । आप कोनों के स्पर्शरेखा के अनुमानित मूल्यों का उपयोग करके अन्य कोणों के स्पर्शरों को ढूंढ सकते हैं और reoclinating कर सकते हैं। एक चरण पोर्ट्रेट के निर्माण में, प्रश्न का उत्तर भी मदद कर सकता है, चरण प्रक्षेपणों को समन्वय अक्ष को पार करना क्या है। ऐसा करने के लिए, इसोक्लिन समीकरण हम संबंधित समानताओं को प्रतिस्थापित करते हैं (ओए ओए के साथ चौराहे के कोण को निर्धारित करने के लिए) और (ओसी ओपी के साथ चौराहे के कोण को निर्धारित करने के लिए)।

उदाहरण 1.4।रैखिक समीकरणों की प्रणाली के विशेष बिंदु के प्रकार का निर्धारण करें:

सिस्टम के चरण और गतिज चित्र बनाएं।

फेसला: एक विशेष बिंदु के निर्देशांक - (0,0)। रैखिक समीकरणों के गुणांक बराबर हैं :,,,, हम स्थिर स्थिति के प्रकार को परिभाषित करते हैं (विशेषता संख्याओं पर अनुभाग देखें):

इस प्रकार, विशेषता जड़ों काल्पनिक हैं: इसलिए, विचाराधीन रैखिक प्रणाली के एकवचन बिंदु में एक प्रकार का केंद्र है (चित्र 1.2 ए)।

समीकरण Isoclin क्षैतिज tangents: लंबवत Isoclin समीकरण tangents :. 45 डिग्री के कोण पर, सिस्टम प्रक्षेपवक्र सीधे पार हो गए .

एक चरण पोर्ट्रेट के निर्माण के बाद, पाए गए प्रक्षेपणों पर आंदोलन की दिशा निर्धारित करना आवश्यक है। इसे इस प्रकार किया जा सकता है। किसी भी प्रक्षेपवक्र पर एक मनमाना बिंदु लें। उदाहरण के लिए, Isoblin क्षैतिज tangents (1,1) पर। हम इस बिंदु के समन्वय को समीकरणों की प्रणाली में बदल देते हैं। हम परिवर्तनीय परिवर्तनों में परिवर्तन के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं एक्स।, वाईइस समय:

प्राप्त मूल्य दिखाते हैं कि परिवर्तनीय परिवर्तन दर एक्स। - ऋणात्मक, यानी, इसका मूल्य कम हो जाना चाहिए, और चर वाई बदलना मत। हम तीर द्वारा परिणामी दिशा को चिह्नित करते हैं। इस प्रकार, उदाहरण के उदाहरण में, चरण प्रक्षेपवक्र के आंदोलन को विपरीत रूप से निर्देशित किया जाता है। विभिन्न बिंदुओं की समन्वय प्रणाली में प्रतिस्थापन, आप गति की गति का "मानचित्र" प्राप्त कर सकते हैं, तथाकथित वेक्टर फ़ील्ड.

चित्र 1.2। चरण (ए) और काइनेटिक (बी) पोर्ट्रेट सिस्टम, उदाहरण 1.4

ध्यान दें कि Isoblin क्षैतिज टेंगेंट चर पर वाईइस प्रक्षेपवक्र पर अधिकतम या न्यूनतम मूल्य तक पहुंचता है। इसके विपरीत, ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा के एक isoclin पर, चयनित प्रक्षेपवक्र के लिए मॉड्यूल के लिए इसका अधिकतम मूल्य एक चर तक पहुंचता है एक्स।.

सिस्टम के एक काइनेटिक पोर्ट्रेट बनाएं का अर्थ परिवर्तनीय मूल्यों के ग्राफ बनाने का अर्थ है एक्स।, वाई समय से। चरण पोर्ट्रेट द्वारा आप एक गतिशील और इसके विपरीत बना सकते हैं। एक चरण प्रक्षेपवक्र गतिशील घटता की एक जोड़ी से मेल खाता है। एक मनमानी चरण पथ पर चरण पोर्ट्रेट पर एक मनमाने ढंग से बिंदु चुनें। यह समय के समय के अनुरूप प्रारंभिक बिंदु है। विचाराधीन परिवर्तनीय मूल्य प्रणाली में आंदोलन की दिशा के आधार पर एक्स।, वाई या तो कम या वृद्धि। शुरुआती बिंदु के निर्देशांक को दें - (1,1)। इस बिंदु से शुरू होने वाले निर्मित चरण पोर्ट्रेट के अनुसार, हमें वामावर्त, निर्देशांक को स्थानांतरित करना होगा एक्स। तथा वाई उसी समय कम हो जाएगा। समय के साथ समन्वय एक्स। 0, मूल्य से गुजरता है वाईयह सकारात्मक बना हुआ है। अगला निर्देशांक एक्स। तथा वाई समन्वय को कम करना जारी रखें वाई 0 (मूल्य) से गुजरता है एक्स। इस मामले में, नकारात्मक)। मूल्य एक्स। ऊर्ध्वाधर स्पर्शक के इसोक्लिन पर न्यूनतम मूल्य तक पहुंचता है, फिर बढ़ने लगता है। मूल्य वाई इसका न्यूनतम मूल्य Isoblin पर क्षैतिज टेंगेंशियल तक पहुंचता है एक्स।इस बिंदु पर, नकारात्मक रूप से)। अगला और राशि एक्स।, और राशि वाई वृद्धि, प्रारंभिक मूल्यों पर लौटने (चित्र 1.2 बी)।

Nonlinear द्वितीय क्रम प्रणाली के स्थिर राज्यों की स्थिरता की जांच

सामान्य रूप के दूसरे क्रम के दो स्वायत्त अंतर समीकरणों की प्रणाली द्वारा जैविक प्रणाली का वर्णन करने दें:

सिस्टम चर के स्थिर मूल्य बीजगणितीय समीकरणों से निर्धारित होते हैं:

प्रत्येक स्थिर स्थिति के पड़ोस में, आप विचार कर सकते हैं पहले सन्निकटन की प्रणाली(रैखिक प्रणाली), जिसका अध्ययन किसी विशेष बिंदु की स्थिरता और अपने कम पड़ोस में चरण प्रक्षेपवक्र की प्रकृति के सवाल का जवाब दे सकता है।

से बाहर

हमारे पास है , विशेष डॉट असभ्य है। पहले अनुमान प्रणाली की विशेषता जड़ें बराबर हैं, इसलिए दोनों वैध और नकारात्मक हैं, इसलिए, शून्य विशेष बिंदु के आसपास के क्षेत्र में, सिस्टम के चरण प्रक्षेपणों का व्यवहार स्थिर नोड के प्रकार के अनुरूप होगा।

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कार्य

स्वत: nyquist आवृत्ति को नियंत्रित करें

निम्नलिखित चरणों सहित चित्र 1 में दिखाए गए संरचनात्मक सर्किट द्वारा निर्दिष्ट स्वचालित नियंत्रण प्रणाली के गतिशील गुणों का विश्लेषण:

अनुसंधान विधियों का विकल्प और प्रमाणन, एसएयू गणितीय मॉडल का निर्माण;

कंप्यूटर पर एसएयू के गणितीय मॉडलिंग समेत निपटान भाग;

नियंत्रण वस्तु और एसएयू के गणितीय मॉडल की स्थिरता का विश्लेषण;

नियंत्रण वस्तु और एसएयू के गणितीय मॉडल की स्थिरता का अध्ययन।

अध्ययन के तहत एसएयू की संरचनात्मक योजना, जहां, नियंत्रण वस्तु (ओयू), एक्ट्यूएटर (आईएम), सेंसर (डी) और सुधारात्मक डिवाइस (केयू) के स्थानांतरण कार्यों

गुणांक के 1, के 2, के 3, के 4, टी 1, टी 2, टी 3 और टी 4 के मान तालिका 1 में दिखाए गए हैं।

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परिचय

स्वचालन का डिजाइन इंजीनियरिंग गतिविधियों में सबसे जटिल और महत्वपूर्ण दिशाओं में से एक है, इसलिए स्वचालन के मूलभूत सिद्धांतों का ज्ञान, स्वचालन और डिजाइन निधि द्वारा उपयोग की जाने वाली विभिन्न तकनीकी प्रक्रियाओं में स्वचालन स्तर का एक विचार है आवश्यक शर्तें इंजीनियरों और तकनीशियनों का सफल काम। किसी भी तकनीकी प्रक्रिया का सामान्य रखरखाव पैरामीटर के कुछ मूल्यों द्वारा विशेषता है, और आवश्यक सीमाओं में परिचालन मानकों को बनाए रखने के द्वारा उपकरण के आर्थिक और सुरक्षित संचालन को सुनिश्चित किया जाता है। उपकरणों के सामान्य संचालन के प्रयोजनों के लिए, साथ ही किसी भी गर्मी प्रतिष्ठान में आवश्यक तकनीकी प्रक्रिया के कार्यान्वयन के लिए, स्वचालन उपकरण प्रदान करने के लिए डिजाइन विकास में आवश्यक है। वर्तमान में राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था के सभी क्षेत्रों में, कृषि सहित बड़ा आवेदन स्वचालित नियंत्रण प्रणाली खोजें। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि तकनीकी प्रक्रियाओं के स्वचालन को नियंत्रण और प्रबंधन के विशेष तकनीकी माध्यमों के साथ मानव ऑपरेटर के आंशिक या पूर्ण प्रतिस्थापन द्वारा विशेषता है। तकनीकी प्रक्रियाओं के मशीनीकरण, विद्युतीकरण और स्वचालन कृषि में गंभीर और अयोग्य शारीरिक श्रम के हिस्से में कमी सुनिश्चित करते हैं, जिससे इसके प्रदर्शन में वृद्धि होती है।

इस प्रकार, तकनीकी प्रक्रियाओं को स्वचालित करने की आवश्यकता स्पष्ट है और अभ्यास में उनके ज्ञान के उपयोग के लिए स्वचालित नियंत्रण प्रणाली (एसएयू) के पैरामीटर की गणना करने के बारे में जानने की आवश्यकता है।

पाठ्यक्रम कार्य नियंत्रण वस्तुओं के गणितीय मॉडल की तैयारी और विश्लेषण के साथ एसएयू की किसी दिए गए संरचनात्मक योजना के गतिशील गुणों का विश्लेषण करता है।

1 . Nyquist के मानदंड के अनुसार SAU स्थिरता का विश्लेषण

एसएयू स्थिरता पर निर्णय के लिए, इसके विशिष्ट समीकरण की जड़ों के सटीक मानों को निर्धारित करने की आवश्यकता नहीं है। इसलिए, सिस्टम के विशिष्ट समीकरण का पूरा समाधान स्पष्ट रूप से अनावश्यक है और एक विशेष अप्रत्यक्ष स्थिरता मानदंड के उपयोग तक ही सीमित हो सकता है। विशेष रूप से, यह दिखाना मुश्किल नहीं है कि सिस्टम स्थिरता के लिए, यह आवश्यक है (लेकिन पर्याप्त नहीं) ताकि इसके विशिष्ट समीकरण के सभी गुणांक के पास एक ही संकेत या पर्याप्त रूप से समान हो, ताकि विशेषता की सभी जड़ों के वास्तविक भागों समीकरण नकारात्मक है। यदि विशेषता समीकरण की सभी जड़ों के वैध हिस्से नकारात्मक नहीं हैं, तो इस एसएयू की स्थिरता निर्धारित करने के लिए एक अध्ययन आवश्यक है, क्योंकि उपर्युक्त मानदंड के अनुसार स्थानांतरण कार्य एक अस्थिर इकाई से संबंधित है, जिसमें ए है एक सकारात्मक वास्तविक भाग के साथ जड़, कुछ शर्तों को निष्पादित करते समय, बंद प्रणाली और इस मामले में स्थिर हो सकता है।

कई तकनीकी नियंत्रण प्रणाली की स्थिरता का अध्ययन करने के लिए सबसे सुविधाजनक Nyquist की स्थिरता के लिए मानदंड है, जो निम्नानुसार बनता है।

खुले राज्य में स्थिर प्रणाली स्थिरता बरकरार रखेगी और इसके बाद नकारात्मक प्रतिक्रिया से बंद हो जाएगी यदि ओपन स्टेट डब्ल्यू (जेएससी) में केसीएच को नुकसान जटिल विमान में निर्देशांक (-1; जे 0) के साथ बिंदु को कवर नहीं करता है) ।

निर्दिष्ट फॉर्मूलेशन में, Nyquist मानदंड का मानना \u200b\u200bहै कि सीसीएच डब्ल्यू (जेएससी) "के घर" बिंदु (-1; जे 0) को कवर नहीं करता है, यदि यह निर्दिष्ट से वर्तनी वाले वेक्टर के घूर्णन का कुल कोण शून्य है एक-विंग को इंगित करें) करता है\u003e?

यदि चर्च की महत्वपूर्ण आवृत्ति की एक निश्चित आवृत्ति पर केसीएच डब्ल्यू (जेएससी) का होडोग्राफ, बिंदु (-1; जे 0) के माध्यम से गुजरता है, तो एक बंद प्रणाली में संक्रमण प्रक्रिया एक आवृत्ति के साथ एक गैर दुर्भाग्यपूर्ण oscillations है शर्च, यानी सिस्टम निम्नानुसार व्यक्त की गई स्थिरता सीमा पर है:

यहां डब्ल्यू (पी) एक ओपन सोर्स का एक गियर अनुपात है। मान लीजिए कि खुली प्रणाली स्थिर है। फिर, एक बंद sau की स्थिरता के लिए, खुली प्रणाली के आयाम-चरण विशेषता w (जेडब्ल्यू) के तीर को बनाने के लिए पर्याप्त और पर्याप्त है (निर्दिष्ट विशेषता प्रतिस्थापन पी \u003d जेडब्ल्यू के साथ डब्ल्यू (पी) से प्राप्त की जाती है ) निर्देशांक (-1, J0) के साथ बिंदु को कवर नहीं किया। आवृत्ति जिस पर | डब्ल्यू (जेडब्ल्यू) | \u003d 1, को स्लाइस फ्रीक्वेंसी (डब्ल्यू सीएफ) कहा जाता है।

यह आकलन करने के लिए कि स्थिरता सीमा से कितनी दूर प्रणाली है, स्थिरता भंडार की अवधारणा पेश की जाती है। आयाम प्रतिरोध आपूर्ति (मॉड्यूल) इंगित करता है कि एएफसी की व्यवस्था के त्रिज्या-वेक्टर की लंबाई को बदलने के लिए कितनी बार यह आवश्यक है, ताकि चरण शिफ्ट को बदलने के बिना, सिस्टम को स्थिरता सीमा तक हटा दें। बिल्कुल टिकाऊ प्रणालियों के लिए, डीसी मॉड्यूल के स्थिरता मार्जिन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

जहां फ्रीक्वेंसी डब्ल्यू 0 एआरजी डब्ल्यू अनुपात (जेडब्ल्यू 0) \u003d - 180 0 से निर्धारित होता है।

डीसी आयाम की स्थिरता की आपूर्ति सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

डीके \u003d 1 - से 180;

जहां के 180 चरण शिफ्ट -180 डिग्री के साथ संचरण गुणांक का मूल्य है।

बदले में, चरण प्रतिरोध मार्जिन इंगित करता है कि मॉड्यूल की परिमाण को बदलने के बिना, पूर्ण मूल्य में वृद्धि के लिए एएफसी तर्क की आवश्यकता कितनी है, सिस्टम को स्थिरता की सीमा तक आउटपुट करें।

चरण डीजे में चरण प्रतिरोध की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

डीजे \u003d 180 डिग्री - जे के \u003d 1;

जहां जे के \u003d 1 ट्रांसमिशन गुणांक के \u003d 1 में चरण शिफ्ट का मूल्य है;

डीजे \u003d 180 0 + एआरजी डब्ल्यू (जे; डब्ल्यू सीएफ) का मूल्य चरण प्रतिरोध मार्जिन निर्धारित करता है। Knivista मानदंड से यह इस प्रकार है कि खुले राज्य में SAU स्थिर स्थिर और एक बंद राज्य में होगा, अगर काटने की आवृत्ति पर चरण बदलाव नहीं पहुंचता है - 180 डिग्री। इस स्थिति के निष्पादन को ओपन सोर्स की लॉगरिदमिक आवृत्ति विशेषताओं का निर्माण करके चेक किया जा सकता है।

2. Nyquist के मानदंड द्वारा SAU स्थिरता का अध्ययन

एक खुले साब के साथ afchh का विश्लेषण करके Nyquist के मानदंड द्वारा स्थायित्व का अध्ययन। ऐसा करने के लिए, अध्ययन के अनुसार प्रणाली को फाड़ दें जैसा कि अध्ययन की गई SAU की संरचनात्मक योजना पर दिखाया गया है:

अध्ययन की SAU की संरचनात्मक योजना

नीचे नियंत्रण वस्तु (ओयू), एक्ट्यूएटर (आईएम), सेंसर (डी) और सुधारात्मक डिवाइस (केयू) के स्थानांतरण कार्य हैं:

कार्य गुणांक के मूल्य निम्नानुसार हैं:

K1 \u003d 1.0; K2 \u003d 0.2; K3 \u003d 2; K4 \u003d 1.0; T1 \u003d 0.4; टी 2 \u003d 0.2; टी 3 \u003d 0.07; टी 4 \u003d 0.4।

सिस्टम ब्रेक के बाद हम ट्रांसफर फ़ंक्शन की गणना करेंगे:

W (p) \u003d w ku (p) ch w (p) chw ou (p) chw d (p);

W (p) \u003d h h h

कार्य करने के लिए निर्दिष्ट गुणांक को प्रतिस्थापित करना:

गणितीय मॉडलिंग प्रोग्राम ("matlav") में इस सुविधा का विश्लेषण, हम आकृति में दिखाए गए जटिल विमान पर आयाम-चरण-आवृत्ति विशेषता (आरएफसीएच) ओपन सोर्स की व्यवस्था प्राप्त करते हैं।

Afchh के घर जटिल विमान पर sau खोलें।

AFCH पर SAU की स्थायित्व का अध्ययन

चरण शिफ्ट -180 डिग्री, 180 \u003d 0.0395 के साथ संचरण गुणांक की गणना करें।

सूत्र द्वारा डीसी के आयाम के राजदूत:

डीके \u003d 1 - से 180 \u003d 1 - 0.0395 \u003d 0,9605; जहां के 180 \u003d 0.0395।

हम चरण डीजे द्वारा रिजर्व को परिभाषित करते हैं:

चरण डीजे का स्थिरता मार्जिन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: डीजे \u003d 180 डिग्री - जे के \u003d 1; जहां जे k \u003d 1 संचरण के गुणांक में चरण शिफ्ट का मूल्य \u003d 1 है, लेकिन चूंकि, जे के \u003d 1 को हमारे मामले में नहीं देखा जाता है, आयाम हमेशा होता है कम), तो अध्ययन के तहत प्रणाली किसी भी चरण शिफ्ट मान पर स्थिर है (एसएयू संपूर्ण आवृत्ति सीमा पर स्थिर है)।

लॉगरिदमिक विशेषताओं द्वारा एसएयू स्थिरता का अध्ययन

लॉगरिदमिक आयाम-आवृत्ति प्रतिक्रिया खुली साउ

लॉगरिदमिक चरण-आवृत्ति विशेषता खुली साउ

गणितीय मॉडलिंग कार्यक्रम ("matlav") का उपयोग करके, हम अध्ययन के तहत एसएयू की लॉगरिदमिक विशेषताओं को प्राप्त करते हैं, जो चित्रा 4 (लॉगरिदमिक आयाम-आवृत्ति विशेषता) और चित्रा 5 (लॉगरिदमिक चरण-आवृत्ति विशेषता) में प्रस्तुत किए जाते हैं, जहां;

L (w) \u003d 20lg | w (j; w) |)।

एसएयू स्थिरता के लॉगरिदमिक मानदंड एक लॉगरिदमिक रूप में Nyquist मानदंड की अभिव्यक्ति है।

चरण शिफ्ट 180 डिग्री (चित्रा 5) के मूल्य से खोजने के लिए, हम एलएफएच के साथ चौराहे से पहले एक क्षैतिज रेखा करते हैं, इस चौराहे बिंदु से हम एलएफसीएच (चित्रा 4) के साथ चौराहे पर एक लंबवत रेखा करते हैं। हम एक चरण शिफ्ट 180 डिग्री के साथ संचरण गुणांक का मूल्य प्राप्त करते हैं:

20 एलजीके 180 डिग्री \u003d - 28,05862;

इस मामले में, 180 डिग्री \u003d 0.0395 (डीके "\u003d 28.05862)।

आयाम स्थिरता मार्जिन 20lgk 180 डिग्री \u003d 0 के मूल्य के लिए लंबवत रेखा की निरंतरता है।

चरण स्थिरता के आरक्षित को खोजने के लिए, क्षैतिज रेखा को LACC के साथ चौराहे पर 20lgk 180 ° \u003d 0 के साथ पारित किया जाता है, और लंबवत रेखा इस बिंदु से एलएफएच के साथ चौराहे पर पारित की जाती है। इस मामले में, चरण शिफ्ट और चरण शिफ्ट के पाए गए मूल्य के बीच का अंतर 180 डिग्री है और चरण स्थिरता का आरक्षित होगा।

डीजे \u003d 180 डिग्री - जे से;

डीजे \u003d 180 डिग्री - 0 \u003d 180 डिग्री।

कहां: जे के - चरण शिफ्ट का पाया गया मूल्य;

चूंकि अध्ययन किए गए एसएयू की एलएफएचसी लाइन 20 एलजीके 180 डिग्री \u003d 0 से नीचे है, इसलिए एसएयू में चरण की शिफ्ट के किसी भी मूल्य पर शून्य से 180 डिग्री तक एक चरण प्रतिरोध मार्जिन होगा।

निष्कर्ष: लच और एलएफएचसी का विश्लेषण करने के बाद, यह इस प्रकार है कि एसएयू अध्ययन की पूरी आवृत्ति सीमा पर स्थिर है।

निष्कर्ष

इस कोर्स में, यह संश्लेषित किया गया था और आधुनिक तरीकों और नियंत्रण सिद्धांत उपकरण ट्रैकिंग सिस्टम के उपकरणों का उपयोग करके अध्ययन किया गया था। इस निपटारे और ग्राफिकल काम में, हम एक निश्चित संरचनात्मक योजना और गतिशील लिंक के स्थानांतरण कार्यों के लिए ज्ञात अभिव्यक्तियों पर पाए गए हैं, एक बंद साउ का गियर अनुपात।

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1

अध्ययन का उद्देश्य फाइनल में स्वायत्त बाइनरी गतिशील प्रणालियों के व्यवहार की गतिशीलता के गुणात्मक अध्ययन के लिए कंप्यूटर सिस्टम बनाने और उपयोग करने के लिए एक तार्किक उन्मुख सुपरकंप्यूटर विधि (बूलियन प्रतिबंधों की विधि) और कंप्यूटर सिस्टम बनाने और उपयोग करने के लिए सेवा उन्मुख तकनीक विकसित करना है समय अंतराल। विषय की प्रासंगिकता वैज्ञानिक और लागू अध्ययन में बाइनरी मॉडल के अनुप्रयोग के निरंतर बढ़ते स्पेक्ट्रम द्वारा पुष्टि की जाती है, साथ ही स्थिति वेक्टर के बड़े आयाम वाले मॉडल के गुणात्मक विश्लेषण की आवश्यकता के साथ-साथ इस तरह के मॉडल के गुणात्मक विश्लेषण की आवश्यकता होती है। स्वायत्त बाइनरी सिस्टम का गणितीय मॉडल अंतिम समय अंतराल और इस प्रणाली के बराबर समीकरण पर दिखाया गया है। डायनामिक प्रॉपर्टी का विनिर्देश अस्तित्व और सार्वभौमिकता के सीमित क्वांटिफायर का उपयोग करके भाषा में तर्क तर्क को रिकॉर्ड करने का प्रस्ताव है। संतुलन राज्यों और बाइनरी सिस्टम के चक्रों और अलगाव की उनकी स्थितियों की खोज के लिए बूलियन समीकरण प्राप्त किए जाते हैं। उपलब्धि के प्रकार के मुख्य गुण (प्राप्त करने योग्यता, सुरक्षा, एक साथ उपलब्धि, चरण की बाधाओं, आकर्षण, कनेक्टिविटी, कुल उपलब्धि के साथ उपलब्धि)। प्रत्येक संपत्ति के लिए, इसका मॉडल एक बूलियन प्रतिबंध (बूलियन समीकरण या एक मात्रात्मक दूध सूत्र) के रूप में बनाया गया है, जो संपत्ति के तार्किक विनिर्देश और सिस्टम गतिशीलता के समीकरणों को संतुष्ट करता है। इस प्रकार, अंतिम समय अंतराल पर स्वायत्त बाइनरी गतिशील प्रणालियों के मार्गों के विभिन्न गुणों की व्यवहार्यता की जांच करना आधुनिक एसएटी और टीक्यूबीएफ सॉल्वर का उपयोग करके बूलियन प्रतिबंधों के उर्वरक के कार्य में कम हो गया है। इस तकनीक का उपयोग करने का एक प्रदर्शन उदाहरण पहले दिखाए गए कुछ गुणों की व्यवहार्यता को सत्यापित करने के लिए दिया जाता है। निष्कर्ष बूलियन प्रतिबंध विधि के मुख्य लाभों को सूचीबद्ध करता है, एक सेवा उन्मुख दृष्टिकोण के ढांचे में अपने सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन की विशेषताएं और बाइनरी गतिशील प्रणालियों के अन्य वर्गों के लिए विधि के आगे के विकास की दिशाओं को दर्शाती है।

बाइनरी डायनामिक सिस्टम

गतिशील संपत्ति

गुणात्मक विश्लेषण

बूलियन प्रतिबंध

बैल व्यवहार्यता का कार्य

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बाइनरी गतिशील मॉडल का स्पेक्ट्रम बेहद व्यापक है और हर साल वस्तुओं और कार्यों की संख्या जहां उनके उपयोग की आवश्यकता होती है, केवल बढ़ जाती है। एक क्लासिक उदाहरण एक द्विआधारी सिंक्रोनस मशीन है, जो नियंत्रण प्रणाली, कंप्यूटर प्रौद्योगिकी, टेलीमैनिक्स में कई अलग-अलग उपकरणों का एक मॉडल है। बाइनरी डायनामिक मॉडल के आधुनिक अनुप्रयोगों में जैव सूचना विज्ञान, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र और कई अन्य लोगों की वस्तुएं शामिल हैं, यह दो अंकों के चर, क्षेत्रों के उपयोग से दूर लगती है। इस संबंध में, एक महत्वपूर्ण सीमा नई के विकास की प्रासंगिकता को बढ़ाती है और बाइनरी डायनामिक सिस्टम (डीडीएस) के प्रक्षेपण के व्यवहार के गुणात्मक विश्लेषण के मौजूदा तरीकों में सुधार करती है।

जैसा कि आप जानते हैं, गतिशील प्रणाली (न केवल बाइनरी) के उच्च गुणवत्ता वाले विश्लेषण का लक्ष्य प्रश्न का सकारात्मक या नकारात्मक उत्तर प्राप्त करना है: क्या आवश्यक प्रणाली में आवश्यक गतिशील संपत्ति की जा सकती है? हम इस प्रश्न को निम्नानुसार करते हैं: संपत्ति की विशेषता वाले प्रतिबंधों के एक निश्चित सेट की गतिशील प्रणाली के प्रक्षेपणों का व्यवहार क्या है? इसके बाद, हम सिस्टम के गतिशील गुणों के गुणात्मक विश्लेषण के लक्ष्य की इस विशेष व्याख्या का उपयोग करेंगे।

डीडीएस के लिए, जिसे अंतिम समय अंतराल पर माना जाता है, इस तरह के प्रतिबंध बूलियन होते हैं और बूलियन समीकरणों या बूलियन सूत्रों की भाषा में क्वांटिफायर के साथ रिकॉर्ड किए जाते हैं। पहले प्रकार के प्रतिबंध एसएटी कार्य (धमकाने की व्यवहार्यता का कार्य) को हल करने की आवश्यकता की ओर ले जाते हैं; दूसरे प्रकार के प्रतिबंध टीक्यूबीएफ समस्या (क्वांटिफाइड बूलियन सूत्रों की सच्चाई का सत्यापन) के समाधान से जुड़े हुए हैं। पहला कार्य एनपी जटिलता वर्ग का एक विशिष्ट प्रतिनिधि है, और दूसरा कार्य पीएसपीएसी जटिलता वर्ग है। जैसा कि आप जानते हैं, अलग-अलग समस्या की पीएसपीएसी-पूर्णता एनपी पूर्णता की तुलना में अपनी बढ़तीता का एक मजबूत सबूत देती है। इस वजह से, एसएटी समस्या के लिए डीडीएस के गुणात्मक विश्लेषण के कार्य में कमी टीकबीएफ कार्य को कम करने के बजाय अधिक बेहतर है। आम तौर पर, प्रत्येक डीडीएस संपत्ति का अध्ययन बूलियन समीकरणों की भाषा में जमा नहीं किया जा सकता है।

डीडीएस के उच्च गुणवत्ता वाले विश्लेषण में बूलियन प्रतिबंध (अर्थात्, बूलियन समीकरण) का उपयोग करने की सैद्धांतिक संभावना को पहले काम में प्रदर्शित किया गया था। हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अभ्यास में इस दृष्टिकोण का उपयोग जबकि प्रभावी एल्गोरिदम और बूलियन समीकरणों को हल करने के लिए कार्यक्रमों की अनुपस्थिति (विशेष रूप से अज्ञात चर के साथ), जो इसे काफी कम करना संभव बनाता है खोज स्थान। पिछले दशक में, गहन अध्ययन के परिणामस्वरूप, बुलियन समीकरणों (एसएटी-सॉल्वर) के विभिन्न कुशल सॉल्वर की पर्याप्त मात्रा, आधुनिक उपलब्धियों (नई हेरिस्टिक्स, फास्ट डेटा स्ट्रक्चर, समांतर गणना इत्यादि) का उपयोग करके धमकियों की व्यवहार्यता को हल करने में) समस्या, दिखाई दी। इसी तरह की प्रक्रियाएं (लेकिन कुछ देरी के साथ) भी TQBF समस्या को हल करने के लिए अधिक कुशल एल्गोरिदम और प्रोग्राम बनाने के क्षेत्र में भी मनाई जाती है। इस प्रकार, वर्तमान में डीडीएस के उच्च गुणवत्ता वाले विश्लेषण, अपने कार्यक्रम कार्यान्वयन और वैज्ञानिक और लागू कार्यों को हल करने में आवेदन के लिए बूलियन प्रतिबंधों की विधि के व्यवस्थित विकास के लिए सभी आवश्यक शर्तें हैं।

बूलियन प्रतिबंधों की विधि के अलावा, उच्च गुणवत्ता वाले विश्लेषण के अन्य विधियां डीडीएस पर भी लागू होती हैं, जिसमें कटौतीत्मक विश्लेषण, मॉडल जांच और कमी विधि शामिल होती है। इनमें से प्रत्येक विधियों (बूलियन प्रतिबंधों की विधि सहित) की सीमाएं, फायदे और नुकसान हैं। सामान्य नुकसान यह है कि सभी विधियां टूट जाती हैं और इन तरीकों के लिए कटौती की समस्या मौलिक है।

कटौतीत्मक विश्लेषण का महत्व सिस्टम के कामकाज की शुद्धता को साबित करने के लिए सिद्धांतों और निष्कर्ष नियमों के उपयोग का तात्पर्य है, विशेषज्ञों की एक विस्तृत श्रृंखला के रूप में पहचाना जाता है, लेकिन यह श्रमिक है और इसलिए शायद ही कभी लागू विधि। मॉडल जांच विधि में, विनिर्देश भाषा विनिर्देश अस्थायी तर्क की भाषा का उपयोग करता है जो स्वचालित गतिशीलता विशेषज्ञों के लिए अन्याय होता है। कटौती विधि स्रोत प्रणाली के एक सरलीकृत (एक निश्चित अर्थ में) मॉडल, इसकी गुणों का अध्ययन और मूल जटिल प्रणाली में इन गुणों की पोर्टेबिलिटी के लिए शर्तों के निर्माण के साथ जुड़ी हुई है। गुणों की सहिष्णुता की शर्तें केवल पर्याप्त चरित्र हैं। डीडीएस के उच्च गुणवत्ता वाले विश्लेषण में कमी की विधि के विचार की सादगी को एक सरलीकृत प्रणाली चुनने की समस्या का सामना करना पड़ता है जो विधि की सभी शर्तों को पूरा करता है।

बूलियन प्रतिबंध विधि का व्यावहारिक उपयोग निम्न प्रक्रियाओं के एल्गोरिजीकरण और स्वचालन शामिल है:

1) तार्किक भाषा प्रणाली गतिशील गुणों के विशिष्टता के लिए एक विशेषज्ञ उन्मुख प्रणाली का विकास;

2) एक प्रकार के एक प्रकार की बूलियन सीमा के रूप में एक गतिशील संपत्ति का एक मॉडल बनाना जो संपत्ति के तार्किक विनिर्देश और बाइनरी सिस्टम की गतिशीलता के समीकरणों को पूरा करता है;

3) अंतर्राष्ट्रीय DIMACS या QDIMACS प्रारूप में प्राप्त मॉडल का प्रतिनिधित्व करना;

4) बूलियन प्रतिबंध (एसएटी या टीक्यूबीएफ सॉल्वर) की व्यवहार्यता के लिए एक प्रभावी समानांतर (वितरित) सॉल्वर कार्य का चयन (विकास);

5) सॉफ्टवेयर सेवाओं को बनाने के वाद्य साधनों का विकास;

6) उच्च गुणवत्ता वाले शोध के लिए सेवाओं का विकास डीडीएस के विभिन्न गतिशील गुणों की एक किस्म।

उद्देश्य यह अध्ययन सिंक्रोनस डीडीएस के स्वायत्त (नियंत्रण इनपुट के बिना) के उच्च गुणवत्ता वाले अध्ययन के एल्गोरिजीकरण के संबंध में केवल पहले दो कार्यों का समाधान है। अंग्रेजी भाषा प्रकाशनों में इस तरह के सिस्टम को सिंक्रोनस थोक नेटवर्क (बूलियन नेटवर्क) कहा जाता है। बूलियन प्रतिबंध विधि (नियंत्रण इनपुट के साथ डीडीएस सहित) के आवेदन के अन्य पहलुओं निम्नलिखित प्रकाशनों का विषय हैं।

स्वायत्त डीडीएस का गणितीय मॉडल

आइए \u003d बीएन (बी \u003d (0, 1) आयाम एन (डीडीएस के राज्यों की जगह) के बाइनरी वैक्टर की बहुलता बनें। टीटीटी \u003d (1, ..., के) के माध्यम से हम अलग समय को दर्शाते हैं ( घड़ी संख्या)।

प्रत्येक राज्य x0∈x के लिए, प्रारंभिक स्थिति कहा जाता है, हम प्रक्षेपणीय एक्स (टी, एक्स 0) को राज्यों x0, x1, ... के अंतिम अनुक्रम के रूप में परिभाषित करते हैं ..., सेट एक्स से एक्सके। अगला, हम डीडीएसएस पर विचार करेंगे जिसमें आसन्न राज्यों की प्रत्येक जोड़ी एक्सटी, एक्स (टी - 1) (टीटीटी) रवैये से जुड़ी प्रक्षेपवक्र

xt \u003d f (xt - 1)। (एक)

यहां एफ: एक्स\u003e एक्स - लॉजिक बीजगणित के वेक्टर फ़ंक्शन, जिसे संक्रमण फ़ंक्शन कहा जाता है। इस प्रकार, किसी भी x0∈x के लिए, बूलियन समीकरणों की प्रणाली (1) अंतिम समय अंतराल टी \u003d (1, 2, ..., के पर राज्य की जगह में डीडीएस प्रक्षेपणों के व्यवहार की गतिशीलता के मॉडल का प्रतिनिधित्व करती है )। इसके बाद, सेट टी की परिभाषा में k का मूल्य एक परिभाषित निरंतर माना जाता है। यह सीमा काफी स्वाभाविक है। तथ्य यह है कि डीडीएस प्रक्षेपणों के व्यवहार के गुणात्मक विश्लेषण के साथ, व्यावहारिक रुचि एक निश्चित गतिशील गुणों की व्यवहार्यता के बारे में क्या कहा जा सकता है, एक निश्चित, बहुत बड़ा नहीं है। प्रत्येक मामले में के विकल्प नकली असतत प्रणाली में प्रक्रियाओं की अवधि के बारे में प्राथमिक जानकारी के आधार पर किया जाता है।

यह ज्ञात है कि टी \u003d (1, 2, ..., के) के लिए x0∈x की प्रारंभिक स्थिति के साथ बूलियन समीकरणों (1) की प्रणाली प्रकार के एक बूलियन समीकरण के बराबर है

के \u003d 1 पर (केवल एक-चरणीय संक्रमण माना जाता है) समीकरण (2) दृश्य प्राप्त करता है

(3)

इस समीकरण के समाधान दिशात्मक ग्राफ को निर्धारित करते हैं जिसमें सेट एक्स के 2 एन राज्यों में से एक के साथ चिह्नित 2 एन शिखर शामिल हैं। ग्राफ़ के कोर्टिस x0 और x1 राज्य X0 से राज्य x1 से निर्देशित एक आर्क द्वारा जुड़े हुए हैं। बाइनरी ऑटोमाटा के सिद्धांत में इस तरह के एक ग्राफ को संक्रमण आरेख कहा जाता है। एक संक्रमण चार्ट के रूप में डीडीएस के व्यवहार का प्रतिनिधित्व प्रक्षेपणों और उनके गुणों के अध्ययन के निर्माण में बहुत स्पष्ट रूप से है, लेकिन व्यावहारिक रूप से राज्य X∈x के एन वेक्टर के छोटे आयामों के लिए ही महसूस किया जाता है।

भाषा उपकरण गतिशील गुणों का विशिष्टता

औपचारिक तर्क की भाषा में गतिशील संपत्ति के विनिर्देश को सेट करना सुविधाजनक है। काम के बाद, हम x0∈x, x1∈x, x * ∈x - प्रारंभिक, अनुमत और लक्षित राज्यों के सेट द्वारा इंगित करते हैं।

गतिशील संपत्ति के तार्किक सूत्र के मुख्य वाक्य व्यवस्था तत्व हैं: 1) विषय चर (वैक्टर x0, x1, ..., xk, समय टी) के घटक; 2) अस्तित्व और सार्वभौमिकता के सीमित क्वांटिफ़ायर; 3) तर्क बंडल वी, और; अंतिम सूत्र। अंतिम सूत्र अनुमानित सेट x * और x1 द्वारा प्रक्षेपण x (टी, x0) (x0∈x0) के सेट के कुछ राज्यों के अनुमोदन प्रस्तुत करता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अस्तित्व और सार्वभौमिकता के सीमित क्वांटिफायर का उपयोग विशेषज्ञ के लिए एक विशेषज्ञ के लिए एक प्रकार का गतिशील गुण प्रदान करता है। सिस्टम (1) के लिए बूलियन मॉडल बनाने की प्रक्रिया में, सीमित क्वांटिफायर को निम्नलिखित परिभाषाओं के अनुसार सामान्य रूप से प्रतिस्थापित किया जाता है:

जहां (वाई) एक विधेय है जो चर वाई के मान को सीमित करता है।

परिवर्तनीय टी के परिवर्तन क्षेत्र के अंगों के आधार पर, इस चर पर अस्तित्व और सार्वभौमिकता के सीमित क्वांटिफायर समकक्ष सूत्रों द्वारा प्रतिस्थापित किए जाते हैं जिनमें क्वांटिफायर नहीं होते हैं

भविष्य में, हम मानते हैं कि x0, x1, x * सेट के तत्व निम्नलिखित बूलियन समीकरणों के क्रमशः शून्य द्वारा निर्धारित किए जाते हैं

या इन सेटों के विशिष्ट कार्यों ,.

प्रारंभिक राज्यों G0 (x) \u003d 0 पर प्रतिबंधों को ध्यान में रखते हुए, समीकरण (2, 3) के साथ, हम प्रवेश को कम करने के लिए निम्नलिखित बूलियन समीकरणों का उपयोग करेंगे:

(4)

स्वायत्त डीडीएस का प्रारंभिक गुणवत्ता विश्लेषण

पूर्व-विश्लेषण चरण में, राज्य की शाखा (इसके कई तत्काल पूर्ववर्तियों) को पाया जा सकता है (यदि आवश्यक हो), संतुलन राज्यों और बंद प्रक्षेपवक्र (चक्र) की उपस्थिति।

राज्य x1 (3) को एक राज्य अनुयायी x0 कहा जाएगा, और x0 राज्य x1 का पूर्ववर्ती है। स्वायत्त डीडीएस में, प्रत्येक राज्य में केवल एक अनुयायी होता है, और इस राज्य के अग्रदूतों की संख्या शून्य से 2 एन तक भिन्न हो सकती है - 1. सभी प्रत्यक्ष अग्रदूत एक्स 0 राज्य एसएक्सएक्स बूलियन समीकरणों के शून्य हैं

यदि समीकरण (6) का कोई समाधान नहीं है, तो राज्य पूर्ववर्ती गायब हैं।

संतुलन राज्यों (यदि वे मौजूद हैं) बूलियन समीकरणों के निर्णय हैं

प्रक्षेपण X0, x1, ..., xk को लंबाई चक्र कहा जाता है, यदि राज्य x0, x1, ..., xk-1 जोड़े में हैं एक दूसरे से अलग हैं और xk \u003d x0। लंबाई के चक्रीय अनुक्रम (यदि यह मौजूद है) बूलियन समीकरण का समाधान है

कहाँ \u003d 0 ( ) - राज्यों सी लूप चक्र के सेट में जोड़ी के अंतर की शर्तें। यदि चक्र की स्थिति में से कोई भी पूर्ववर्ती नहीं है जो सेट सी से संबंधित नहीं है, तो इस तरह के एक चक्र को इन्सुलेट कहा जाता है। तत्वों को एस सेट सी जीसी समीकरण (ओं) \u003d 0. के बूलियन के समाधान द्वारा निर्धारित किया जाता है, फिर यह दिखाना आसान है कि चक्र अलगाव की स्थिति अगले बुलेव समीकरण में शून्य की अनुपस्थिति के बराबर है:

समीकरण के समाधान (7) (यदि वे मौजूद हैं) चक्र के राज्यों को निर्धारित करते हैं, जो पूर्ववर्ती हैं जो सेट सी से संबंधित नहीं हैं।

चूंकि संतुलन राज्य लंबाई के \u003d 1 का चक्र है, इसलिए इसके इन्सुलेशन की स्थिति के ≥ 2 के साथ इन्सुलेशन स्थिति के समान है, अंतर यह है कि जीसी (एस) में पूर्ण विघटन का एक रूप है, जो इस संतुलन राज्य को निर्धारित कर रहा है ।

असुरक्षित संतुलन की स्थिति और चक्र आकर्षित करने वालों को कॉल करना जारी रखेंगे।

उपलब्धि जैसे गतिशील गुणों का विशिष्टता

डीडीएस की मुख्य संपत्ति, जो संभवतः अभ्यास में उत्पन्न होती है, जांच की आवश्यकता पर पारंपरिक रूप से ग्राफ के सिद्धांत में अध्ययन किया जाता है (हमारे मामले में, इस तरह का ग्राफ संक्रमण आरेख है) प्रायिकता की संपत्ति और इसकी विभिन्न भिन्नताओं की संपत्ति। उपलब्धि को डीडीएस प्रक्षेपणों के व्यवहार का विश्लेषण करने के क्लासिक कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।

इस संपत्ति की परिभाषा सेट x0, x *, x1 (बूलियन समीकरणों के इन सेटों के अनुरूप) के सेट की परिभाषा से जुड़ी है। यह माना जाता है कि x0, x *, x1 सीमा सेट के लिए

सेट टी की सीमा के आधार पर, उपलब्धि और इसके विविधताओं की संपत्ति को व्यावहारिक उपलब्धि (घड़ियों की अंतिम संख्या के लिए उपलब्धि) की संपत्ति के रूप में समझा जाएगा। उपलब्धि के प्रकार के निम्नलिखित गुणों पर विचार किया जाता है:

1. सेट x0 से सेट x * की प्राप्ति की मुख्य संपत्ति निम्नानुसार तैयार की गई है: प्रारंभिक राज्यों x0 की बहुलता से जारी कोई भी प्रक्षेपण लक्ष्य सेट x * तक पहुंचता है। अस्तित्व और सार्वभौमिकता के सीमित क्वांटिफायर का उपयोग करके, इस संपत्ति के सूत्र में फॉर्म है:

2. सुरक्षा संपत्ति x0 से जारी किसी भी प्रक्षेपवक्र के लिए प्रदान करती है, सेट x * की अनजाने:

3. एक साथ उपलब्धि की संपत्ति। कुछ मामलों में, एक और अधिक "कठिन आवश्यकता" सेट की जा सकती है, जो कि प्रत्येक प्रक्षेपवक्र प्रति K (K∈T) के लक्ष्य सेट तक पहुंचता है:

4. चरण प्रतिबंधों के साथ उपलब्धि की संपत्ति:

यह संपत्ति सुनिश्चित करती है कि सेट x0 से उत्पादित सभी प्रक्षेपण, एक्स * के लक्ष्य सेट में बिंदु तक सेट x1 में नहीं हैं।

5. संपत्ति आकर्षण। X * एक आकर्षण बनने दें। फिर आकर्षण संपत्ति का तार्किक सूत्र प्राप्त करने की मुख्य संपत्ति के सूत्र के साथ मेल खाता है:

वे। एक सेट x0 से जारी प्रत्येक प्रक्षेपण के लिए, समय का समय होता है, जिससे शुरू होता है, जिससे प्रक्षेपण x * के सेट से आगे नहीं जाता है। इस मामले में सेट x0 सेट x * (x0∈xa, जहां एक्सए आकर्षण के आकर्षण (पूल) का पूर्ण क्षेत्र है) के आकर्षण क्षेत्र के भाग से संबंधित है।

ध्यान दें कि उपरोक्त गुणों में सभी चर वास्तव में जुड़े हुए हैं, क्योंकि प्रक्षेपण X0, x1, ..., xk प्रारंभिक स्थिति द्वारा पूरी तरह से निर्धारित किया जाता है। चूंकि एक परिवर्तनीय टी में क्वांटिफायर को बहुउद्देश्यीय विघटन या संबंधित भविष्यवाणियों के संयोजन के संचालन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, इसलिए प्रत्येक सूत्र सार्वभौमिकता का एकमात्र सीमित क्वांटिफायर रहता है (), जो आपको इनकी व्यवहार्यता के लिए शर्तों को लिखने की अनुमति देता है बूलियन समीकरणों की भाषा में गुण (एसएटी कार्य के रूप में)।

आइए दो गुण दें जिनकी जांच TQBF समस्या को हल करने की आवश्यकता की ओर ले जाती है।

6. लक्ष्य सेट की संपत्ति:

वे। एक प्रारंभिक राज्य x0∈x0 है जैसे कि प्रत्येक लक्ष्य राज्य x * ⊆x * कुछ बिंदु t∈t पर प्राप्त करने योग्य है, जिसका अर्थ है प्रक्षेपण की एक संबंधित स्थिति का अस्तित्व, जैसे कि सभी लक्ष्य राज्य x * ∈x * संबंधित हैं इस प्रक्षेपवक्र के लिए।

7. x0 से सेट x * की कुल उपलब्धि की संपत्ति:

वे। प्रत्येक लक्ष्य राज्य x0 से प्राप्त करने योग्य है।

गतिशील गुणों की जांच करें

गुणों (1-5) के लिए, उनकी व्यवहार्यता का सत्यापन बूलियन समीकरणों के शून्य के लिए खोज में कम हो जाता है जिनकी गठन तकनीक मानकीकृत होती है और केवल उपलब्धि की मुख्य संपत्ति के लिए विस्तार से विचार किया जाता है। गुण (6, 7) क्वांटिफाइड बूलियन फॉर्मूला की सच्चाई को सत्यापित करने के कार्य को जन्म देता है।

1. उपलब्धि की मुख्य संपत्ति। उनके तार्किक सूत्र में फॉर्म है

खाते में (4) हम सूत्र (8) के रूप में लिखते हैं

प्रारंभिक स्थिति x0∈x0 से जारी प्रक्षेपण के राज्यों के एक सेट का विशिष्ट कार्य कहां है। (9) में अस्तित्व के खंड से छुटकारा पाएं। फिर हमारे पास होगा

कहां - सेट x * का विशिष्ट कार्य। सामान्य क्वांटिफायर में सार्वभौमिकता के सीमित क्वांटिफायर को बदलें। नतीजतन, हमें मिलता है

फॉर्मूला (10) तब सत्य है और केवल तभी यदि यह पहचान रूप से सच्ची सबवर्जन अभिव्यक्ति है, तो।

निहितार्थ की पहचान सत्य का अर्थ है कि बूलियन फ़ंक्शन फ़ंक्शन का तार्किक परिणाम है, यानी प्रारंभिक स्थिति x0∈x0 के साथ कोई भी प्रक्षेपण लक्ष्य सेट x * तक पहुंचता है।

पहचान की व्यवहार्यता (11) उलेव समीकरणों पर शून्य की अनुपस्थिति के बराबर है

रसीद (12) पर हम निहितार्थ से छुटकारा पाए और φ * (x0, x1, ..., xk) पर प्रतिस्थापित किया । यदि समीकरण (12) में कम से कम एक समाधान है, तो प्रबलता संपत्ति में जगह नहीं है। ऐसा समाधान (एक निश्चित अर्थ में) परीक्षण संपत्ति के लिए एक प्रतिद्वंद्वी का प्रतिनिधित्व करता है और शोधकर्ता को त्रुटि के कारण की पहचान करने में मदद कर सकता है।

इसके बाद, प्रत्येक संपत्ति (2-4) के लिए प्रस्तुति की प्रस्तुति के लिए, केवल प्रकार (12) का समीकरण लिखा जाएगा, पाठक को स्वतंत्रता की मुख्य संपत्ति के लिए दिए गए आवश्यक तर्कों को स्वतंत्र रूप से पुन: उत्पन्न करने के लिए पाठक की पेशकश करेगा।

2. सुरक्षा संपत्ति

3. एक साथ उपलब्धि की संपत्ति

4. चरण प्रतिबंधों के साथ उपलब्धि की संपत्ति

5. संपत्ति आकर्षण। इस संपत्ति की व्यवहार्यता दो चरणों में चेक की गई है। पहले चरण में, यह पता चला है कि एक्स * आकर्षण का सेट है या नहीं। यदि उत्तर सकारात्मक है, तो दूसरे चरण में उपलब्धि की मुख्य संपत्ति की जांच की जाती है। यदि x * x0 से प्राप्त किया जा सकता है, तो आकर्षण संपत्ति की सभी शर्तें बनाई जाती हैं।

6. कनेक्शन संपत्ति

7. कुल प्राप्ति संपत्ति '

गुणों के लिए (6, 7), दो बूलियन वेक्टर xt \u003d x * की समानता के स्केलर रूप में उपस्थिति है

हम काम से मॉडल 3.2 के लिए ऊपर सूचीबद्ध कुछ संपत्तियों की व्यवहार्यता की जांच करते समय बूलियन प्रतिबंधों की विधि का उपयोग करके उच्च गुणवत्ता वाले स्वायत्त डीडीएस विश्लेषण की उपरोक्त तकनीक का प्रदर्शन करेंगे:

X0∈x \u003d B3, मॉडल की प्रारंभिक स्थिति (13) द्वारा निरूपित करें। चलो टी \u003d (1, 2)। हम एक-चरण और दो-चरणीय मॉडल संक्रमण (13) की विशेषता के विनिर्देश के लिए आवश्यक गुणों को पीछे हटाते हैं:

(14)

संकेत कहां है "।" संयोजन का संचालन इंगित किया गया है।

प्रत्येक संपत्ति के निष्पादन की जांच करने के लिए, प्रारंभिक (x0) और लक्ष्य (x *) सेट, समीकरण जी 0 (एक्स) \u003d 0, जी * (एक्स) \u003d 0 या इन सेटों के विशिष्ट कार्यों (अनुच्छेद देखें) द्वारा परिभाषित) 2)। एक एसएटी के रूप में, सॉल्वर को इंस्ट्रुमेंटल कॉम्प्लेक्स (आईआर) रेबस के रूप में उपयोग किया जाता है, और टीक्यूबीएफ सॉल्वर DEPQBF है। इन सॉल्वर के लिए दिए गए गुणों के तहत बूलियन मॉडल में चर को एन्कोड करना तालिका में दिखाया गया है। 1, डिमैक और क्यूडीआईएमएसी प्रारूपों में इन गुणों के बूलियन मॉडल तालिका में स्थित हैं। 2।

तालिका एक

कोडिंग चर

बूलियन मॉडल में परिवर्तनीय संख्या

संपत्ति 1।

संपत्ति 2।

संपत्ति 3।

संपत्ति 4।

संपत्ति 5।

तालिका 2

बूलियन प्रॉपर्टी मॉडल

संपत्ति 1।	संपत्ति 2।	संपत्ति 3।	संपत्ति 4 (ए)	संपत्ति 4 (बी)	संपत्ति 5।
					ई 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 -5 -6 7 -8 -9 -10 11 12 0 4 5 6 -7 8 9 10 -11 -12 0

1. उपलब्धि की मूल संपत्ति (k \u003d 2)। चलो x0 \u003d (x∈x: x1 \u003d 0), x * \u003d (x∈x: x1 \u003d 1)। प्रारंभिक और लक्ष्य सेट समीकरण G0 (x) \u003d x1 \u003d 0 और द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। BOOLEO समीकरण (12) इस मामले में अधिग्रहण करता है

जहां फ़ंक्शन φ (x0, x1, x2) को परिभाषित किया गया है (14)। रशर आईआर रीबस उत्तर "अनिश्चित" (समीकरण शून्य नहीं है) देता है, इसलिए एक्स 0 से एक्स * की प्राप्ति क्षमता का प्रदर्शन किया जाता है, जिसे आंकड़े में दिखाए गए निम्नलिखित संक्रमण चार्ट से स्पष्ट रूप से देखा जाता है।

2. लंबाई के चक्र \u003d 2. लंबाई 2 का चक्रीय अनुक्रम (यदि यह मौजूद है) बूलियन समीकरण का समाधान है

फ़ंक्शन का एक दृश्य है

अभिव्यक्ति आर (x0, x1) जब चक्र समीकरण में शामिल नहीं किया गया था, क्योंकि मॉडल (13) में लंबाई के \u003d 1 (समतोल राज्यों) के चक्र अनुपस्थित हैं। आईआर रसेल की मदद से, दो प्रतिक्रियाएं प्राप्त की गईं (डिमैक आउटपुट प्रारूप में): 1 2 3 4 5 -6 0 और 1 2 -3 4 5 6 0, चक्रीय अनुक्रमों (चित्रा) के अनुरूप: ((1 1 1) ), (1 1 0)) और ((1 1 0), (1 1 1))। दोनों चक्रों के राज्यों के सेट संयोग करते हैं, जिसका अर्थ है कि लंबाई के एक चक्र के मॉडल (13) में उपस्थिति k \u003d 2।

सिस्टम संक्रमण आरेख (13)

3. साइकिल अलगाव संपत्ति। यदि तत्वों के एस \u003d 2 के चक्र के तत्वों की सी सेट के तत्वों को बूलियन समीकरण जीसी (एस) \u003d 0 के समाधान द्वारा निर्धारित किया जाता है, तो चक्र अलगाव की स्थिति अगले बुलेव में शून्य की अनुपस्थिति के बराबर होती है समीकरण का:

चूंकि c \u003d ((1 1 1), (1 1 0)), हमारे पास है

इस समीकरण के लिए, आईआर रेबस के विलायक को दो समाधान मिलते हैं: -1 2 3 4 5 -6 0 और -1 2 -3 4 5 -6 0 (तालिका में चर के एन्कोडिंग के अनुसार बाइनरी प्रतिनिधित्व में। 1 ये जोड़े हैं राज्यों की (0 1 1), (1 1 0) और ((0 1 0), (1 1 0))। इस प्रकार, चक्र की स्थिति (1 1 0) में दो पूर्ववर्ती हैं, (0 1 1) और (0 1 0), राज्यों के चक्र के एक सेट के स्वामित्व में नहीं। इसका मतलब है कि चक्र अलगाव के गुणों का प्रदर्शन नहीं किया जाता है, यानी यह चक्र एक आकर्षक है।

4. संपत्ति आकर्षण। X * \u003d C को एक आकर्षण होने दें। आकर्षण के तार्किक सूत्र गुण प्राप्त करने की मुख्य संपत्ति के सूत्र के साथ मेल खाते हैं

और हमारे मामले के लिए संबंधित बूलियन समीकरण में फॉर्म है

हम कार्यों को जी 0 (x0), φ (x0, x1, x2) और repel। फ़ंक्शन φ (x0, x1, x2) (14) में दिया गया है। एक्स * \u003d सी के लिए, अभिव्यक्ति बराबर है। के \u003d 2 घड़ियों के लिए आकर्षण के निष्पादन (ए) और गैर अनुपालन (बी) गुणों के लिए प्रारंभिक राज्यों x0 के सेट को सेट करने के दो प्रकारों पर विचार करें।

A. चलो। फिर

इस मामले में, बूलियन समीकरण (15) के लिए "असंतोष" का उत्तर जारी किया गया है। किसी दिए गए सेट x0 के लिए आकर्षण संपत्ति का प्रदर्शन किया जाता है।

बी। फिर

इस मामले में, समीकरण के लिए आईआर rebus (15) एक समाधान पाता है: 1 -2 3 4 -5 -6 -7 8 9 0, जो प्रक्षेपण के अनुरूप है ((1 0 1), (1 0 0), (0 1 1))। प्रारंभिक स्थिति x0 \u003d (1 0 1) के साथ यह प्रक्षेपण दो घड़ी के लिए सेट x * \u003d c तक नहीं पहुंचता है, जिसका अर्थ है निर्दिष्ट x0 के लिए आकर्षण के गुणों की अव्यवहारिकता।

5. कनेक्टिविटी संपत्ति। कनेक्टिविटी के तार्किक सूत्र गुणों में निम्नलिखित कथन की उपस्थिति है:

के \u003d 2 φ * (x0, x1, x2) \u003d g0 (x0) ∨φ (x0, x1, x2) के लिए, जहां फ़ंक्शन φ (x0, x1, x2) (14) में दिया गया है। एक प्रारंभिक के रूप में, स्थिति का चयन करें (1 0 1)। फिर। लक्ष्य सेट x * \u003d ((0 1 1), (1 0 0))। इस मामले में, फ़ंक्शन जी * (x *) में उपस्थिति है

हम सीएनएफ प्रारूप में जी * (एक्स *) लिखते हैं:

डी मॉर्गाला कानून का उपयोग करके, हम फ़ंक्शन φ * (x0, x1, x2) के इनकार करेंगे। (16) सभी कार्यों को प्राप्त करने और प्राप्त किए गए सभी कार्यों को प्राप्त करने और ध्यान में रखते हुए बूलियन चर (तालिका 1) के एन्कोडिंग को ध्यान में रखते हुए, हम QDIMACS प्रारूप (तालिका 2) में एक बूलियन मॉडल प्राप्त करते हैं। DEPQBF सॉल्वर उत्तर "एसएटी" को जारी करता है, जिसका अर्थ है कथन की सच्चाई (16)। निर्दिष्ट x0, x *, टी \u003d (1, 2) के लिए कनेक्टिविटी की संपत्ति बनाई गई है।

निष्कर्ष

डीडीएस के गुणात्मक अध्ययन में बूलियन प्रतिबंधों की विधि के मुख्य फायदे में शामिल हैं:

1. स्वचालित गतिशीलता में विशेषज्ञ के लिए गतिशील संपत्ति के विनिर्देश की तार्किक भाषा अस्तित्व और सार्वभौमिकता के सीमित क्वांटिफायर के उपयोग के कारण होती है।

2. संपत्ति सूत्र और गतिशीलता समीकरणों के अनुसार, संबंधित बूलियन समीकरण या एक क्वांटिफाइड बूलियन सूत्र स्वचालित रूप से किया जाता है।

3. यह पर्याप्त है केवल परिणामी बूलियन अभिव्यक्तियों को एक संयोजनशील सामान्य रूप में परिवर्तित करने की प्रक्रिया को स्वचालित रूप से डिमैक्स और क्यूडीमैक्स प्रारूपों में फ़ाइल की और पीढ़ी के साथ, जो एसएटी सॉल्वर और क्यूबीएफ सॉल्वर के लिए इनपुट कर रहे हैं।

4. एक तरफ या किसी अन्य तरीके से बस्ट को कम करने की समस्या इन सॉल्वर के डेवलपर्स द्वारा हल की जाती है और विशेष गुणवत्ता वाले डीडीएस विश्लेषण विशेषज्ञों से बचाई जाती है।

5. राज्य वेक्टर एन के बड़े आयामों के लिए डीडीएस के गुणात्मक विश्लेषण की समस्या को हल करना संभव है। कुल लंबे समय तक टी। राज्यों की संख्या के अनुसार, बूलियन बाधाओं की विधि मात्रात्मक रूप से मॉडल के अनुरूप है जाँच विधि। इस तथ्य के कारण कि हाल के वर्षों में विशेष एसएटी समाधान एल्गोरिदम और टीक्यूबीएफ कार्यों के प्रदर्शन में उल्लेखनीय वृद्धि हुई है, आधुनिक सॉल्वर के लिए संपत्ति के दूध मॉडल में चर की कुल संख्या हजारों द्वारा मापा जा सकता है।

बूलियन प्रतिबंध विधि के आधार पर डीडीएस गुणात्मक विश्लेषण प्रक्रिया का सॉफ्टवेयर बूलियन समीकरणों के विशेष सॉल्वैंट्स का उपयोग करके एक सेवा उन्मुख दृष्टिकोण के भीतर लागू किया जाता है। पेपर जीन नियामक नेटवर्क में चक्र और संतुलन राज्यों की खोज के लिए सेवा उन्मुख दृष्टिकोण के आधार पर बूलियन प्रतिबंधों की विधि के कार्यान्वयन का एक उदाहरण प्रस्तुत करता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अंतिम समय अंतराल पर बूलियन प्रतिबंधों की विधि उच्च गुणवत्ता वाले डीडीएस विश्लेषण की पर्याप्त सामान्य विधि है। वह न केवल लागू होता है स्वायत्त प्रणाली, लेकिन नियंत्रण इनपुट के साथ सिस्टम के लिए, स्मृति की गहराई वाली प्रणालियों के लिए भी अधिक इकाइयां होती हैं, सामान्य रूप के डीडी के लिए, जब संक्रमण का कार्य राज्य एक्सटी के सापेक्ष अघुलनशील होता है और फॉर्म एफ (एक्सटी, एक्सटी) होता है -1) \u003d 0. इनपुट के साथ डीडीएस के लिए, यह एक विशेष मूल्य प्राप्त करता है। नियंत्रण क्षमता और इसकी विभिन्न भिन्नताओं की संपत्ति। डीडीएस विश्लेषण कार्यों के अतिरिक्त, बूलियन प्रतिबंध विधि फीडबैक संश्लेषण (स्थिर या गतिशील, राज्य या इनपुट में या इनपुट में) के कार्यों के कार्यों पर लागू होती है, जो आवश्यक गतिशील गुणों को करने के लिए संश्लेषित प्रणाली में प्रदान करती है।

अध्ययन आरएफबीआर, परियोजना संख्या 18-07-00596/18 द्वारा समर्थित था।

ग्रंथ-संबंधी संदर्भ

Oparin जीए, Bogdanova v.g., पशिनिन एए। बाइनरी डायनामिक सिस्टम्स // लागू और मौलिक शोध के अंतर्राष्ट्रीय जर्नल के गुणात्मक विश्लेषण में बूलियन प्रतिबंधों की विधि। - 2018. - № 9. - पी। 1 9 -29;
यूआरएल: https://applied-research.ru/ru/article/view?id\u003d12381 (हैंडलिंग की तारीख: 03/18/2020)। हम प्रकाशन हाउस "अकादमी ऑफ नेचुरल साइंस" में प्रकाशन पत्रिकाओं को आपके ध्यान में लाते हैं

परिचय

चूंकि गैर-रैखीय गतिशील प्रणाली की अवधारणा प्रक्रियाओं की एक विस्तृत श्रृंखला को कवर करने के लिए काफी समृद्ध है, जिसमें भविष्य के सिस्टम व्यवहार को अतीत द्वारा निर्धारित किया जाता है, इस क्षेत्र में विकसित विश्लेषण विधियां एक विशाल प्रकार के संदर्भों में उपयोगी होती हैं

Nonlinear गतिशीलता कम से कम तीन तरीकों से साहित्य में प्रवेश करती है। सबसे पहले, ऐसे मामले हैं जब एक या एक से अधिक मानों में परिवर्तन के समय परिवर्तन को एक या एक से अधिक मानों में एकत्रित किया जाता है और गैर-रैखिक गतिशील सिद्धांत के आधार पर तकनीकों का उपयोग करके विश्लेषण किया जाता है, जिसमें प्रक्रिया को नियंत्रित करने वाले अंतर्निहित समीकरणों के बारे में कम से कम धारणाएं होती हैं, जो इस डेटा को बनाती है। यही है, यह वह मामला है जिसमें वे डेटा में सहसंबंध ढूंढना चाहते हैं जो गणितीय मॉडल के विकास को निर्देशित कर सकते हैं, पहले मॉडल का अनुमान लगाने के बजाय, और फिर डेटा के साथ इसकी तुलना करें।

दूसरा, ऐसे मामले हैं जहां nonlinear गतिशील सिद्धांत का उपयोग यह स्वीकार करने के लिए किया जा सकता है कि कुछ सरल मॉडल को इस प्रणाली की महत्वपूर्ण विशेषताओं का प्रदर्शन करना चाहिए, जो इसका पालन करता है कि वर्णन करने वाले मॉडल का निर्माण और मापदंडों की एक विस्तृत श्रृंखला में अध्ययन किया जा सकता है। अक्सर, यह मॉडल की ओर जाता है जो विभिन्न मानकों में गुणात्मक रूप से अलग-अलग व्यवहार करते हैं और यह दर्शाते हैं कि एक क्षेत्र व्यवहार दिखाता है, जो वास्तविक प्रणाली में देखे गए व्यवहार के समान होता है। कई मामलों में, मॉडल का व्यवहार पैरामीटर में परिवर्तनों के प्रति काफी संवेदनशील है, इसलिए, यदि मॉडल पैरामीटर को वास्तविक प्रणाली में मापा जा सकता है, तो मॉडल इन मूल्यों पर यथार्थवादी व्यवहार का प्रदर्शन करता है, और कोई भी यह सुनिश्चित कर सकता है कि मॉडल को कवर किया गया हो सिस्टम की आवश्यक विशेषताएं।

तीसरा, ऐसे मामले हैं जब मशहूर भौतिकी के विस्तृत विवरण के आधार पर मॉडल समीकरण बनाए जाते हैं। फिर संख्यात्मक प्रयोग भौतिक प्रयोगों के लिए दुर्लक्षित चर के बारे में जानकारी प्रदान कर सकते हैं।

दूसरे तरीके के आधार पर, यह काम मेरे पिछले काम "परस्पर निर्भर उद्योगों के नॉनलाइनर गतिशील मॉडल" के विस्तार का विस्तार है, साथ ही साथ अन्य कार्य (दिमित्रीव, 2015)

काम में आवश्यक सभी आवश्यक परिभाषाएं और अन्य सैद्धांतिक जानकारी पहले अध्याय में दिखाई देगी, जैसा कि उन्हें चाहिए। यहां दो परिभाषाएं दी जाएंगी कि उन्हें अनुसंधान के बहुत विषय का खुलासा करने की आवश्यकता है।

शुरू करने के लिए, हम सिस्टम वक्ताओं की परिभाषा देंगे। परिभाषाओं में से एक के अनुसार, सिस्टम गतिशीलता एक सिमुलेशन दृष्टिकोण है, जो कि इसके तरीकों और औजारों के कारण, जटिल प्रणालियों और उनकी गतिशीलता (स्टरमन) की संरचना का आकलन करने में मदद करता है। यह जोड़ने योग्य है कि सिस्टम डायनेमिक्स भी एक मॉडलिंग विधि है जिसका उपयोग एक अधिक कुशल कंपनी / संगठन बनाने के लिए जटिल प्रणालियों के लिए जटिल प्रणालियों के लिए कंप्यूटर मॉडल के सही (सटीकता के संदर्भ में) को फिर से बनाने के लिए किया जाता है। इस प्रणाली के साथ बातचीत के तरीकों में सुधार। ज्यादातर प्रणालीगत गतिशीलता की आवश्यकता तब होती है जब दीर्घकालिक, रणनीतिक मॉडल के साथ टकराव होता है, और यह भी ध्यान देने योग्य है कि यह बहुत सार है।

Nonlinear विभेदक गतिशीलता के बारे में बात करते हुए, हम एक nonlinear सिस्टम पर विचार करेंगे कि, परिभाषा के अनुसार, एक प्रणाली है जिसमें परिणाम में परिवर्तन इनपुट पैरामीटर में परिवर्तन के लिए आनुपातिक नहीं है, और जिसमें कार्य समय में परिवर्तन की निर्भरता का वर्णन करता है और अंतरिक्ष में स्थिति की स्थिति (बोइंग, 2016)।

उपर्युक्त परिभाषाओं के आधार पर, यह स्पष्ट हो जाता है कि यह काम कंपनियों की बातचीत, साथ ही उनके आधार पर सिमुलेशन मॉडल का वर्णन करने वाले विभिन्न nonlinear अंतर प्रणाली पर विचार करेगा। इस पर आधारित और काम का उद्देश्य निर्धारित किया जाएगा।

इस प्रकार, इस काम का उद्देश्य पहले सन्निकटन में कंपनियों की बातचीत का वर्णन करने और उनके आधार पर सिमुलेशन मॉडल बनाने का वर्णन करने वाले गतिशील प्रणालियों का गुणात्मक विश्लेषण करना है।

लक्ष्य प्राप्त करने के लिए, निम्नलिखित कार्य आवंटित किए गए थे:

सिस्टम स्थिरता का निर्धारण।

निर्माण चरण पोर्ट्रेट।

एकीकृत प्रणाली प्रक्षेपवक्र खोजें।

सिमुलेशन मॉडल बिल्डिंग।

इनमें से प्रत्येक कार्य कार्य के प्रत्येक प्रमुख के वर्गों में से एक के लिए समर्पित होगा।

अभ्यास के आधार पर, मौलिक गणितीय संरचनाओं का निर्माण, जो प्रभावी रूप से विभिन्न भौतिक प्रणालियों और प्रक्रियाओं में गतिशीलता का मॉडल करता है, इंगित करता है कि कुछ हद तक उनके अनुरूप गणितीय मॉडल मूल वस्तु के निकटता को दर्शाता है जब इसकी विशेषताओं को प्राप्त किया जा सकता है गुण। और \u200b\u200bआंदोलन के प्रकार की गतिशीलता के गठन से संरचनाएं। आज तक, आर्थिक विज्ञान अपने विकास के इस तरह के एक चरण में है, जिसमें नए विशेष रूप से प्रभावी रूप से उपयोग किए जाते हैं, और कई मामलों में, गैर-मानक विधियों और आर्थिक प्रक्रियाओं के भौतिक और गणितीय मॉडलिंग के तरीके। यह यहां से है जो किसी भी तरह से सक्षम मॉडल बनाने, अध्ययन करने और निर्माण करने की आवश्यकता के बारे में निष्कर्ष का तात्पर्य आर्थिक स्थिति का वर्णन कर सकता है।

मात्रात्मक विश्लेषण की बजाय उच्च गुणवत्ता की पसंद के कारण, यह ध्यान देने योग्य है कि भारी संख्या में मामलों में, गतिशील प्रणालियों के गुणात्मक विश्लेषण से परिणाम और निष्कर्ष उनके मात्रात्मक विश्लेषण के परिणामों के लिए महत्वपूर्ण हैं। ऐसी स्थिति में, वीपी द्वारा बयानों को इंगित करना उचित है। मिलोवानोवा, जिसमें वह तर्क देता है कि परंपरागत रूप से मानते हैं कि वास्तविक वस्तुओं का विश्लेषण करने के लिए गणितीय तरीकों को लागू करते समय परिणामों को एक संख्यात्मक परिणाम में कम किया जाना चाहिए। इस अर्थ में, कुछ हद तक अलग कार्य उच्च गुणवत्ता वाले तरीकों को सौंपा गया है। यह पूर्वानुमान के लिए पूरी तरह से सभी घटनाओं की विशेषता विशेषताओं की खोज पर सिस्टम की गुणवत्ता का वर्णन करने के परिणाम की उपलब्धि पर ध्यान देता है। बेशक, यह समझना महत्वपूर्ण है कि कीमतें एक निश्चित प्रकार के सामान में बदलती हैं जब कीमतें बदलती हैं, लेकिन यह नहीं भूलेंगी कि यह अधिक महत्वपूर्ण समझना है, इन सामानों की कमी या अधिशेष (दिमित्रीव, 2016) ) ऐसी स्थितियों में आता है।

इस अध्ययन का उद्देश्य गैर-रैखिक अंतर और सिस्टम गतिशीलता है।

इस मामले में, अध्ययन का विषय गैरलाइनर अंतर और प्रणालीगत गतिशीलता के माध्यम से कंपनियों के बीच बातचीत की प्रक्रिया का विवरण है।

अध्ययन के व्यावहारिक अनुप्रयोग के बारे में बोलते हुए यह तुरंत इसे दो भागों में विभाजित करने के लायक है। सैद्धांतिक नाम, अर्थात, सिस्टम का उच्च गुणवत्ता वाले विश्लेषण, और व्यावहारिक जिसमें नकली मॉडल का निर्माण माना जाएगा।

इस अध्ययन का सैद्धांतिक हिस्सा बुनियादी अवधारणाओं और घटनाओं को देता है। इसने सरल अंतर प्रणालियों को संबोधित किया, जैसा कि कई अन्य लेखकों (टीईएसएचएल, 2012; नोल्टे, 2015) के कार्यों में, लेकिन साथ ही साथ कंपनियों के बीच बातचीत का वर्णन करने की इजाजत देता है। भविष्य में इसके आधार पर, आप अधिक गहन अध्ययन कर सकते हैं, या अपने परिचित को इस तथ्य के साथ शुरू कर सकते हैं कि सिस्टम का गुणवत्ता विश्लेषण है।

एक निर्णय समर्थन प्रणाली बनाने के लिए काम का व्यावहारिक हिस्सा इस्तेमाल किया जा सकता है। निर्णय समर्थन प्रणाली एक स्वचालित सूचना प्रणाली है जिसका उद्देश्य एक संगठन में व्यवसाय या निर्णय लेने का समर्थन करना है जो आपको कई अलग-अलग विकल्पों (उत्सुक, 1 9 80) के बीच चयन करने की अनुमति देता है। इस समय मॉडल को उच्च सटीकता न दें, लेकिन उन्हें एक विशिष्ट कंपनी के तहत बदलना, आप अधिक सही परिणाम प्राप्त कर सकते हैं। इस प्रकार, बाजार में होने वाले विभिन्न मानकों और शर्तों को बदलते समय, आप भविष्य के लिए एक निश्चित पूर्वानुमान प्राप्त कर सकते हैं और पहले से बेहतर समाधान प्राप्त कर सकते हैं।

1. पारस्परिकता में कंपनियों की बातचीत

दो-आयामी प्रणालियों को काम में प्रस्तुत किया जाएगा, जो उच्च क्रम सिस्टम की तुलना में काफी सरल हैं, लेकिन साथ ही वे आपको संगठनों के बीच संबंधों को प्रदर्शित करने की अनुमति देते हैं।

इंटरैक्शन के प्रकार की पसंद के साथ शुरू होने के लायक है, जो वर्णन जारी रहेगा, क्योंकि प्रत्येक प्रजाति के लिए उनके सिस्टम का वर्णन करने वाले प्रत्येक प्रजाति के बावजूद, लेकिन अलग है। चित्रा 1.1, आबादी (ओडियम, 1 9 68) की बातचीत के लिए विस्तारित ओडुमा का वर्गीकरण आबादी (ओडियम, 1 9 68) की बातचीत के लिए संकेत दिया गया है, जिसके आधार पर हम कंपनियों की बातचीत पर विचार करेंगे।

चित्र 1.1। उद्यमों के बीच बातचीत के प्रकार

चित्रा 1.1 के आधार पर, 4 प्रकार की बातचीत का चयन करें और उनमें से प्रत्येक के लिए दें, माल्थस मॉडल (माल्थस, 17 9 8) के आधार पर समीकरणों की प्रणाली का वर्णन करें। इसके अनुसार, विकास दर में प्रजातियों की वर्तमान संख्या पर आनुपातिक निर्भरता है, दूसरे शब्दों में, इसे निम्नलिखित अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

जहां आबादी की प्राकृतिक वृद्धि के आधार पर एक निश्चित पैरामीटर है। सिस्टम में यह भी लायक है कि सिस्टम में, सभी पैरामीटर, साथ ही साथ चर, गैर-नकारात्मक मान लें।

कच्चे माल का उत्पादन - उत्पादों का उत्पादन, जो शिकारी-पीड़ित मॉडल के समान है। शिकारी-पीड़ित मॉडल, जिसे वोल्टेरा ट्रे मॉडल के रूप में भी जाना जाता है, दो प्रजातियों के साथ जैविक प्रणाली की गतिशीलता का वर्णन करने वाले पहले आदेश के गैरलाइनर अंतर समीकरणों की एक जोड़ी है, जिसमें से एक शिकारियों, और एक और पीड़ित (एलएलआईबीआरई, 2007)। इन प्रजातियों की संख्या में परिवर्तन समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली द्वारा वर्णित है:

(1.2)

जहां - दूसरे के प्रभाव के बिना पहले उद्यम के उत्पादों की वृद्धि को दर्शाता है (शिकारी-पीड़ित मॉडल के मामले में, शिकारियों के बिना पीड़ितों की आबादी की वृद्धि),

पहले के प्रभाव के बिना दूसरे उद्यम के उत्पादों की वृद्धि को दर्शाता है (पीड़ितों के बिना शिकारियों की आबादी की वृद्धि),

पहले उद्यम के उत्पादन के विकास की विशेषता, अपने दूसरे के प्रभाव को ध्यान में रखते हुए (शिकारियों के साथ बातचीत करते समय पीड़ितों की संख्या में वृद्धि),

यह दूसरे उद्यम के उत्पादों के विकास की विशेषता है, पहले के प्रभाव को ध्यान में रखते हुए (पीड़ितों के साथ उनकी बातचीत में शिकारियों की संख्या में वृद्धि)।

एक के लिए, एक शिकारी पर, जैसा कि सिस्टम से देखा जा सकता है, साथ ही ओडुमा के वर्गीकरण, उनकी बातचीत एक अनुकूल प्रभाव लगाती है। एक और प्रतिकूल पर। यदि हम आर्थिक वास्तविकताओं में विचार करते हैं, तो आप आकृति में देख सकते हैं, सबसे सरल एनालॉग निर्माता और उसके संसाधन प्रदाता है जो शिकारी और पीड़ित के अनुरूप है। इस प्रकार, कच्चे माल की अनुपस्थिति में, उत्पादों की रिहाई तेजी से घट जाती है।

प्रतिस्पर्धा दो या दो से अधिक के बीच एक प्रतिद्वंद्विता है (हमारे मामले में, हम द्वि-आयामी प्रणालियों पर विचार करते हैं, इसलिए हम द्विध्रुवीय प्रतिस्पर्धा को दूर करते हैं) प्रकार, क्षेत्र के लिए आर्थिक समूह, सीमित संसाधन या अन्य मूल्यों (एल्टन, 1 9 68)। प्रजातियों की संख्या में परिवर्तन, या हमारे मामले में उत्पादों की संख्या, नीचे सिस्टम द्वारा वर्णित है:

(1.3)

इस मामले में, एक उत्पाद का उत्पादन करने वाले प्रकार या कंपनियां एक दूसरे को प्रतिकूल रूप से प्रभावित करती हैं। यही है, एक प्रतियोगी की अनुपस्थिति में, उत्पादों की वृद्धि तेजी से बढ़ेगी।

अब हम सिम्बियोटिक इंटरैक्शन पर जाते हैं, जिसमें दोनों उद्यमों का एक दूसरे पर सकारात्मक प्रभाव पड़ता है। के साथ शुरू करने के लिए, पारस्परिकवाद पर विचार करें। आपसीता विभिन्न प्रजातियों के बीच संबंधों का प्रकार है, जिसमें उनमें से प्रत्येक को दूसरे की कार्रवाई से लाभ होता है, और यह ध्यान देने योग्य है कि अस्तित्व की स्थिति (थॉम्पसन, 2005) की शर्त की उपस्थिति की आवश्यकता है। इस प्रकार के संबंध को सिस्टम द्वारा वर्णित किया गया है:

(1.4)

चूंकि कंपनियों के बीच बातचीत उनके अस्तित्व के लिए आवश्यक है, फिर एक कंपनी के उत्पाद की अनुपस्थिति में, माल की रिहाई अन्य तेजी से घट जाती है। यह संभव है जब कंपनियों के पास खरीद के लिए अन्य विकल्प नहीं हैं।

एक और प्रकार की सिंबियोटिक बातचीत, प्रोटोकॉपरेशन पर विचार करें। प्रोटोकोपेशन एकमात्र अपवाद के साथ पारस्परिकवाद के समान होता है, एक साथी के अनिवार्य अस्तित्व की आवश्यकता नहीं होती है, उदाहरण के लिए, अन्य विकल्प भी हैं। जैसा कि वे दिखते हैं, उनके सिस्टम लगभग एक दूसरे के समान दिखते हैं:

(1.5)

इस प्रकार, एक कंपनी के उत्पाद की कमी दूसरे के उत्पाद के विकास में हस्तक्षेप नहीं करती है।

बेशक, अनुच्छेद 3 और 4 में सूचीबद्ध लोगों के अलावा, सिंबियोटिक संबंधों की अन्य प्रजातियों को नोट किया गया है: कॉमेंशनवाद और अमेनज़लिज्म (हंस्की, 1 999)। लेकिन भविष्य में उनका उल्लेख नहीं किया जाएगा, क्योंकि साझेदारों में से एक के अनुरूपतावाद में इसकी बातचीत के प्रति उदासीन है, और हम अभी भी प्रभाव होने पर मामलों पर विचार करते हैं। और अमायजनवाद पर विचार नहीं किया जाता है, क्योंकि ऐसे संबंधों के आर्थिक दृष्टिकोण से, जब उनकी बातचीत हानिकारक होती है, और दूसरा उदासीन होता है, तो बस नहीं हो सकता है।

एक दूसरे के लिए कंपनियों के प्रभाव के आधार पर, अर्थात्, सिंबियोटिक रिश्तों ने कंपनियों के एक सतत सह-अस्तित्व की ओर अग्रसर किया है, इस पेपर में केवल आपसीवाद और प्रोटोकॉप्शन के मामलों पर विचार किया जाएगा, क्योंकि दोनों मामलों में बातचीत सभी के लिए फायदेमंद है।

यह अध्याय आपसीता में कंपनियों की बातचीत के लिए समर्पित है। यह दो प्रणालियों की जांच करेगा जो माल्थस मॉडल के आधार पर सिस्टम के आगे के विकास हैं, अर्थात् सिस्टम में वृद्धि पर लगाए गए प्रतिबंधों के साथ सिस्टम के साथ।

जैसा ऊपर बताया गया है, आपसी रिश्तों से जुड़ी एक जोड़ी की गतिशीलता, पहले सन्निकटन में सिस्टम द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

(1.6)

यह ध्यान दिया जा सकता है कि उत्पादों की एक बड़ी प्रारंभिक संख्या के साथ, सिस्टम अनिश्चित काल तक बढ़ रहा है, और छोटे, उत्पादन गिर रहा है। आपसीता में होने वाले प्रभाव के बिलिनियर विवरण की यह गलतता है। तस्वीर को सही करने की कोशिश करने के लिए, हम एक शिकारी संतृप्ति जैसा एक कारक पेश करते हैं, यानी, एक कारक जो उत्पाद विकास की गति को कम करेगा, इसकी अतिरिक्तता के साथ। इस मामले में, हम निम्नलिखित सिस्टम पर पहुंचते हैं:

(1.7)

जहां - पहली कंपनी के उत्पाद के उत्पादन में वृद्धि दूसरे के साथ अपनी बातचीत में, संतृप्ति को ध्यान में रखते हुए,

दूसरी कंपनी के उत्पाद का विकास उत्पादन में पहली बार ध्यान में रखते हुए अपनी बातचीत में,

संतृप्ति गुणांक।

इस प्रकार, हमें दो प्रणालियों को प्राप्त हुआ: संतुष्टि विकास मॉडल संतृप्ति के साथ और इसके बिना।

पहले सन्निकटन में 1.1 सिस्टम स्थिरता

पहले सन्निकटन में सिस्टम की स्थिरता को कई, दोनों विदेशी (हेयरर, 1 99 3; भाटिया, 2002; खलील, 2001; स्ट्रोगेट्ज़, 2001 और अन्य) और रूसी भाषी कार्यों (अख्रोमेव, 1 99 2; बेलमन, 1 9 54; डेमिडोविच, 1 9 67 ; क्रासोव्स्की, 1 9 5 9 और अन्य), और यह परिभाषा प्रणाली में होने वाली प्रक्रियाओं का विश्लेषण करने के लिए एक बुनियादी कदम है। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित कदम उठाएंगे:

संतुलन बिंदु खोजें।

याकोबी सिस्टम मैट्रिक्स खोजें।

हम जैकोबी मैट्रिक्स के eigenvalues \u200b\u200bपाते हैं।

हम Lyapunov प्रमेय के साथ समतोल बिंदुओं को वर्गीकृत करते हैं।

चरणों पर विचार करने के बाद, उनके स्पष्टीकरण पर ध्यान देना आवश्यक है, इसलिए मैं एक परिभाषा दूंगा और इन चरणों में से प्रत्येक में उपयोग की जाने वाली विधियों का वर्णन करूंगा।

पहला कदम, संतुलन बिंदुओं के लिए खोजें। उन्हें प्रत्येक फ़ंक्शन को शून्य पर समझाने के लिए। वह है, सिस्टम को हल करना:

ए और बी के तहत कहां समीकरण के सभी मानकों का तात्पर्य है।

अगला कदम जैकोबी मैट्रिक्स की खोज है। हमारे मामले में, यह किसी बिंदु पर पहले डेरिवेटिव के साथ 2-ऑन मैट्रिक्स होगा, जैसा कि नीचे प्रस्तुत किया गया है:

पहले दो चरणों को पूरा करने के बाद, हम निम्नलिखित विशेषता समीकरण की जड़ों को ढूंढने के लिए बदल जाते हैं:

जहां बिंदु पहले चरण में पाए गए संतुलन बिंदुओं से मेल खाता है।

खोज और चौथे चरण की ओर मुड़कर और Lyapunov (पार्क, 1992) के निम्नलिखित प्रमेय का लाभ उठाएं:

प्रमेय 1: यदि विशिष्ट समीकरण की सभी जड़ों में नकारात्मक वास्तविक भाग होता है, तो प्रारंभिक और रैखिक प्रणाली के अनुरूप संतुलन बिंदु असीमित रूप से स्थिर होता है।

प्रमेय 2: यदि विशेषता समीकरण की कम से कम एक की जड़ों में सकारात्मक वास्तविक भाग होता है, तो प्रारंभिक और रैखिक प्रणाली के अनुरूप संतुलन बिंदु असीमित रूप से अस्थिर होता है।

इसके अलावा, आंकड़े 1.2 (लैमर विश्वविद्यालय) में वर्णित अलगाव के आधार पर स्थिरता के प्रकार को देख और अधिक सटीक रूप से निर्धारित कर सकते हैं।

चित्र 1.2। संतुलन बिंदुओं की स्थिरता के प्रकार

आवश्यक सैद्धांतिक जानकारी माना जाता है, हम सिस्टम के विश्लेषण में बदल जाते हैं।

संतृप्ति के बिना सिस्टम पर विचार करें:

यह बहुत आसान है और व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए उपयुक्त नहीं है, क्योंकि इसका कोई प्रतिबंध नहीं है। लेकिन सिस्टम का विश्लेषण करने का पहला उदाहरण विचार के लिए उपयुक्त है।

शुरू करने के लिए, हमें शून्य के लिए समीकरणों के सही हिस्सों को समान रूप से संतुलन बिंदु मिलेगा। इस प्रकार, हम दो संतुलन डॉट्स का पता लगाते हैं, आइए उन्हें ए और बी कहें: .

हम जैकोबी के मैट्रिक्स, विशेषता समीकरण की जड़ों और स्थिरता के प्रकार के निर्धारण के लिए खोज के साथ एक कदम गठबंधन करते हैं। जैसा कि वे प्राथमिक हैं, फिर तुरंत जवाब प्राप्त करें:

1. बिंदु पर, स्थिर नोड।

बिंदु पर: , काठी।

जैसा कि मैंने पहले ही लिखा था, यह प्रणाली बहुत मामूली है, इसलिए कोई स्पष्टीकरण की आवश्यकता नहीं थी।

अब हम संतृप्ति प्रणाली का विश्लेषण करेंगे:

(1.9)

उद्यम उद्यमों द्वारा पारस्परिक संतृप्ति पर प्रतिबंधों की उपस्थिति हमें क्या हो रहा है इसकी वास्तविक तस्वीर में लाती है, साथ ही साथ सिस्टम को थोड़ी सी शिकायत करता है।

पहले की तरह, हम सिस्टम के सही हिस्सों को शून्य तक बराबर करते हैं और परिणामी सिस्टम को हल करते हैं। बिंदु अपरिवर्तित रहा, लेकिन इस मामले में एक और बिंदु में पहले से अधिक पैरामीटर होते हैं: .

इस मामले में, जैकोबी मैट्रिक्स इस तरह का लेता है:

हम इसमें से एक मैट्रिक्स को गुणा करते हैं, और हम परिणामस्वरूप मैट्रिक्स के निर्धारक को बिंदु ए और बी पर शून्य से बराबर करते हैं।

एक बिंदु पर, एक समान प्रारंभिक तस्वीर:

स्थिर गाँठ।

और बिंदु पर सबकुछ अधिक जटिल है, और गणित अभी भी सरल हैं, लेकिन जटिलता लंबी लेटरिंग अभिव्यक्तियों के साथ काम करने की असुविधा का कारण बनती है। चूंकि मान बहुत लंबे समय तक और असुविधाजनक रूप से दर्ज किए जाते हैं, फिर उन्हें नहीं दिया जाता है, यह कहना पर्याप्त है कि इस मामले में, पिछले सिस्टम के साथ, परिणामी प्रकार की स्थिरता काठी है।

सिस्टम के 2 चरण पोर्ट्रेट

Nonlinear गतिशील मॉडल का भारी बहुमत जटिल अंतर समीकरण है जो या तो हल नहीं है या यह कुछ जटिलता है। एक उदाहरण पिछले खंड से एक प्रणाली के रूप में कार्य कर सकता है। प्रतीत सादगी के बावजूद, दूसरे संतुलन बिंदु में स्थिरता के प्रकार को ढूंढना एक हल्का व्यवसाय नहीं था (यद्यपि गणितीय दृष्टिकोण से यद्यपि नहीं), और साम्राज्य, प्रतिबंधों और समीकरणों में वृद्धि के साथ उद्यमों की संख्या बढ़ाने के लिए, जटिलता केवल बढ़ेगी। बेशक, यदि पैरामीटर संख्यात्मक अभिव्यक्तियां हैं, तो सबकुछ अविश्वसनीय रूप से सरल हो जाएगा, लेकिन फिर विश्लेषण कुछ अर्थों में कोई समझ खो देगा, क्योंकि अंत में, हम संतुलन बिंदुओं को ढूंढ पाएंगे और केवल उनके स्थायित्व प्रकारों को ढूंढ पाएंगे। एक विशेष मामला, और आम तौर पर नहीं।

ऐसे मामलों में, चरण विमान और चरण पोर्ट्रेट को याद करने के लायक है। लागू गणित में, विशेष रूप से Nonlinear सिस्टम विश्लेषण के संदर्भ में, चरण विमान कुछ प्रकार के अंतर समीकरण (नोल्टे, 2015) की कुछ विशेषताओं का एक दृश्य मानचित्रण है। सिस्टम की स्थिति की विशेषता वाले चर के किसी भी जोड़ी के मूल्यों के साथ समन्वय विमान कुल एन-आयामी चरण स्थान का एक द्वि-आयामी मामला है।

चरण विमान के कारण, अंतर समीकरण के समाधान में सीमा चक्र के अस्तित्व को रेखांकन करना संभव है।

अंतर समीकरण के निर्णय कार्यों का एक परिवार हैं। ग्राफिक रूप से, इसे एक चरण विमान में दो-आयामी वेक्टर फ़ील्ड के रूप में बनाया जा सकता है। विमान हमारे मामले में, हमारे मामले में, किसी भी पैरामीटर के अनुसार विशिष्ट बिंदुओं में डेरिवेटिव का प्रतिनिधित्व करने वाले वैक्टर को आकर्षित करता है। एक क्षेत्र में इन तीरों की पर्याप्त संख्या के साथ, आप सिस्टम के व्यवहार को कल्पना कर सकते हैं, और सीमा चक्र (बोइंग, 2016) की पहचान करना आसान है।

वेक्टर फील्ड एक चरण पोर्ट्रेट है, प्रवाह रेखा के साथ एक विशिष्ट तरीका (यानी, पथ, हमेशा वैक्टर के लिए टेंगेंट) एक चरण है। वेक्टर फ़ील्ड में प्रवाह अंतर समीकरण (जॉर्डन, 2007) द्वारा वर्णित समय प्रणाली में परिवर्तन इंगित करता है।

यह ध्यान देने योग्य है कि चरण पोर्ट्रेट का निर्माण किया जा सकता है, यहां तक \u200b\u200bकि एक अंतर समीकरण को हल किए बिना, और साथ ही, अच्छा विज़ुअलाइजेशन बहुत उपयोगी जानकारी प्रदान कर सकता है। इसके अलावा, इस बार में कई कार्यक्रम हैं जो चरण आरेखों के निर्माण में मदद कर सकते हैं।

इस प्रकार, चरण विमान भौतिक प्रणालियों के व्यवहार को देखने के लिए उपयोगी हैं। विशेष रूप से, उत्तेजक प्रणाली, जैसे पूर्ववर्ती पीड़ित पहले से ऊपर वर्णित है। इन मॉडलों में, चरण प्रक्षेपण शून्य की दिशा में "कताई" हो सकते हैं, "सर्पिल से बाहर निकलें" अनंत में या केंद्र नामक एक तटस्थ टिकाऊ स्थिति प्राप्त करने के लिए। यह निर्धारित करते समय उपयोगी होता है कि गतिशीलता स्थिर है या नहीं (जॉर्डन, 2007)।

इस खंड में प्रस्तुत चरण पोर्ट्रेट wolframalpha उपकरण का उपयोग करके बनाया जाएगा, या अन्य स्रोतों से बना है। संतृप्ति के बिना माल्टुशियन विकास मॉडल।

हम अपने व्यवहार की तुलना करने के लिए पैरामीटर के तीन सेट के साथ पहली प्रणाली के चरण पोर्ट्रेट का निर्माण करते हैं। एक ((1,1), (1,1)) सेट करें, जिसे एक सेट के रूप में संदर्भित किया जाएगा, सेट बी ((10.0.1), (2.2)), जब सिस्टम में तेज गिरावट आई है उत्पादन, और एक सेट सी ((1.10), (1.10)), जिसमें विपरीत तेज और असीमित वृद्धि उत्पन्न होती है। यह ध्यान देने योग्य है कि सभी मामलों में कुल्हाड़ियों पर मूल्य -10 से 10 तक एक ही अंतराल में होगा, चरण आरेखों की तुलना करने की सुविधा के लिए। बेशक, यह सिस्टम के उच्च गुणवत्ता वाले पोर्ट्रेट पर लागू नहीं होता है, जो कुल्हाड़ी आयाम रहित हैं।

चित्रा 1.3 पैरामीटर के साथ चरण पोर्ट्रेट ए

पारस्परिकता अंतर विपणन समीकरण

ऊपर प्रस्तुत चित्र 1.3, सिस्टम के एक चरण पोर्ट्रेट्स को तीन निर्दिष्ट पैरामीटर सेट, साथ ही साथ सिस्टम के गुणवत्ता व्यवहार का वर्णन करने वाले चरण पोर्ट्रेट पर प्रदर्शित किया जाता है। यह मत भूलना कि व्यावहारिक दृष्टिकोण से सबसे महत्वपूर्ण यह पहली तिमाही है, क्योंकि उन उत्पादों की मात्रा केवल जो केवल nonnegative हो सकती है, और हमारे कुल्हाड़ियों हैं।

प्रत्येक चित्र समतोल बिंदु (0.0) में स्पष्ट रूप से दृश्यमान प्रतिरोध है। और पहले आंकड़े पर भी बिंदु (1,1) पर "सैडल", दूसरे शब्दों में, यदि आप सिस्टम में पैरामीटर सेट मानों को प्रतिस्थापित करते हैं, तो समतोल बिंदु वी में मॉडल की सीमाओं को बदलते समय निर्माण, सीट बिंदु अन्य चरण पोर्ट्रेट पर पाया जाता है।

संतृप्ति के साथ माल्टुशियन विकास मॉडल।

हम दूसरी प्रणाली के लिए चरण आरेख बनाते हैं, जिसमें संतृप्ति मौजूद है, पैरामीटर मूल्यों के तीन नए सेट के साथ। सेट ए, (0.1,15,100), (0.1,15,100)), सेट (1,1,0,5), (1, 1.0.5)) और सेट ((20,100), (20,1,100) ))।

चित्र 1.4। पैरामीटर के साथ चरण पोर्ट्रेट ए

जैसा कि आप देख सकते हैं, किसी भी पैरामीटर सेट के साथ, बिंदु (0,0) संतुलन है, और स्थिर के अलावा। इसके अलावा कुछ चित्रों में आप काठी बिंदु देख सकते हैं।

इस मामले में, विभिन्न तराजू को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया गया था कि जब भी संतृप्ति कारक को सिस्टम में जोड़ा गया था, तब भी उच्च गुणवत्ता वाली तस्वीर नहीं बदली जाती है, यानी, अकेले संतृप्ति पर्याप्त नहीं है। ध्यान में रखना आवश्यक है कि अभ्यास में, स्थिरता की आवश्यकता है, यानी, अगर हम nonlinear विभेदक समीकरणों पर विचार करते हैं, तो हम स्थिर संतुलन बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं, और इन प्रणालियों में, केवल शून्य, जिसका अर्थ है कि इस तरह के गणितीय मॉडल स्पष्ट रूप से हैं उद्यमों के लिए उपयुक्त नहीं है। आखिरकार, इसका मतलब है कि केवल शून्य उत्पादन के साथ, कंपनियां स्थिरता में हैं, जो दुनिया की असली तस्वीर से स्पष्ट रूप से अलग है।

गणित में, अभिन्न वक्र एक पैरामीट्रिक वक्र है, जो सामान्य अंतर समीकरण या समीकरणों की प्रणाली (लैंग, 1 9 72) का एक विशिष्ट समाधान है। यदि विभेदक समीकरण को वेक्टर फ़ील्ड के रूप में दर्शाया गया है, तो संबंधित अभिन्न वक्र प्रत्येक बिंदु पर फ़ील्ड से संबंधित हैं।

इंटीग्रल वक्र को अलग-अलग समीकरण या वेक्टर फ़ील्ड की प्रकृति और व्याख्या के आधार पर अन्य नामों के तहत जाना जाता है। भौतिकी में, विद्युत क्षेत्र के लिए अभिन्न वक्र या चुंबकीय क्षेत्र फील्ड लाइन्स के रूप में जाना जाता है, और तरल पदार्थ के लिए एकीकृत वक्र को वर्तमान लाइनों के रूप में जाना जाता है। गतिशील प्रणालियों में, अंतर समीकरण के लिए अभिन्न वक्र को प्रक्षेपवक्र कहा जाता है।

चित्र 1.5। अभिन्न वक्र

किसी भी सिस्टम के समाधान अभिन्न वक्र के समीकरण के रूप में माना जा सकता है। जाहिर है, प्रत्येक चरण प्रक्षेपवक्र कुछ अभिन्न वक्र का प्रक्षेपण है अंतरिक्ष एक्स, वाई, टी चरण विमान पर।

एकीकृत घटता बनाने के कई तरीके हैं।

उनमें से एक इसोकलाइन विधि है। इसोकलिन उन बिंदुओं के माध्यम से गुजरने वाली वक्र है जिसमें विचाराधीन समारोह की ढलान हमेशा समान होगी, चाहे प्रारंभिक परिस्थितियों (हंस्की, 1 999) के बावजूद।

इसे अक्सर सामान्य अंतर समीकरणों को हल करने की एक ग्राफिकल विधि के रूप में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, फॉर्म वाई "\u003d एफ (एक्स, वाई) इस्सालाइन्स के समीकरण में विमान (एक्स, वाई) को स्थिर करने के लिए एफ (एक्स, वाई) को समान रूप से प्राप्त किया जाता है। यह लाइनों की एक श्रृंखला देता है (के लिए विभिन्न स्थिरांक), जिसके साथ वक्र समाधानों में एक ही ढाल होता है। प्रत्येक आइसोब्लिन के लिए इस ढाल की गणना करके, झुकाव क्षेत्र को देखा जा सकता है, जो अनुमानित निर्णय घटता खींचने के लिए अपेक्षाकृत आसान बनाता है। नीचे दी गई आकृति इसोकलाइन विधि का उपयोग करने का एक उदाहरण दिखाती है।

चित्र 1.6। इसोक्लिन विधि

इस विधि को कंप्यूटर पर कंप्यूटिंग की आवश्यकता नहीं है, और पहले बहुत लोकप्रिय था। अब सॉफ़्टवेयर समाधान हैं जो इंटीग्रल वक्र सटीक और तेज़ी से कंप्यूटर पर बनाए जाएंगे। हालांकि, यहां तक \u200b\u200bकि इसोक्लिन विधि ने समाधानों के व्यवहार का अध्ययन करने के लिए एक उपकरण के रूप में साबित कर दिया है, क्योंकि यह अभिन्न वक्र के सामान्य व्यवहार के क्षेत्रों को दिखाने की अनुमति देता है।

संतृप्ति के बिना माल्टुशियन विकास मॉडल।

आइए इस तथ्य से शुरू करें कि निर्माण के विभिन्न तरीकों के अस्तित्व के बावजूद, समीकरण प्रणाली के अभिन्न वक्र को इतना आसान नहीं है। पहले उल्लेखित इसोकलाइन विधि उपयुक्त नहीं है, क्योंकि यह प्रथम-क्रम विभेदक समीकरणों के लिए काम करता है। और ऐसे सॉफ्टवेयर उपकरण जिनके पास ऐसे घटता बनाने की क्षमता है, खुली पहुंच में नहीं हैं। उदाहरण के लिए, वोल्फ्राम मैथमैटिका, इसके लिए सक्षम, भुगतान किया गया। इसलिए, हम वोल्फ्राम अल्फा की संभावनाओं को अधिकतम करने की कोशिश करेंगे, जिसके साथ विभिन्न लेखों और कार्यों (ओआरसीए, 200 9) में वर्णित है। इस तथ्य के बावजूद कि तस्वीर स्पष्ट रूप से पूरी तरह से भरोसेमंद नहीं होगी, लेकिन कम से कम विमानों (एक्स, टी), (वाई, टी) में रिश्ते की अनुमति होगी। शुरुआत करने के लिए, टी के सापेक्ष प्रत्येक समीकरण। यही है, हम समय के सापेक्ष प्रत्येक चर की निर्भरता वापस ले लेंगे। इस प्रणाली के लिए हमें मिलता है:

(1.10)

(1.11)

समीकरण सममित हैं, इसलिए हम उनमें से केवल एक मानते हैं, अर्थात् एक्स (टी)। निरंतर 1 के बराबर होने दें। इस मामले में, हम निर्माण ग्राफ के कार्य का उपयोग करेंगे।

चित्र 1.7। समीकरण के लिए त्रि-आयामी मॉडल (1.10)

संतृप्ति के साथ माल्टुशियन विकास मॉडल।

हम एक और मॉडल के लिए समान कार्य करेंगे। आखिरकार, हम दो समीकरण प्राप्त करते हैं जो परिवर्तनीय समय की निर्भरता का प्रदर्शन करते हैं।

(1.12)

(1.13)

हम एक त्रि-आयामी मॉडल और स्तर रेखा का निर्माण करेंगे।

चित्र 1.8। समीकरण के लिए त्रि-आयामी मॉडल (1.12)

चूंकि चर के मूल्य nonnegative हैं, फिर अंश में जब उपभोक्ता ऋणात्मक संख्या द्वारा प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार, समय के साथ, अभिन्न वक्र कम हो जाता है।

पहले, सिस्टम स्पीकर को काम के सार को समझने के लिए दिया गया था, अब इसे अधिक विस्तार से रोकें।

सिस्टम डायनेमिक्स - जटिल समस्याओं के निर्माण, समझने और चर्चा करने के लिए गणितीय मॉडलिंग की पद्धति और विधि, मूल रूप से 1 9 50 के दशक में जीवाइड फॉरेस्टर में विकसित हुई, और इसके काम (फॉरेस्टर, 1 9 61) में वर्णित है।

सिस्टम डायनेमिक्स जटिल प्रणालियों के गतिशील व्यवहार को समझने के लिए एक विधि के रूप में सिस्टम सिद्धांत का एक पहलू है। विधि का आधार यह मान्यता है कि किसी भी प्रणाली की संरचना में इसके घटकों के बीच कई संबंध होते हैं, जो अक्सर अपने व्यवहार को निर्धारित करने के लिए समान रूप से महत्वपूर्ण होते हैं, जैसे व्यक्तिगत घटक स्वयं होते हैं। उदाहरण विभिन्न लेखकों (ग्रीनबोगी, 1 9 87; Sontag, 1998; Kuznetsov, 2001; ताबोर, 2001) के कार्यों में वर्णित अराजकता और सामाजिक वक्ताओं हैं। यह भी आरोप लगाया गया है कि, चूंकि तत्वों के गुणों को अक्सर गुण नहीं मिल सकते हैं - एक संपूर्ण, कुछ मामलों में पूरे व्यवहार को भागों के व्यवहार के दृष्टिकोण से समझाया नहीं जा सकता है।

मॉडलिंग वास्तव में गतिशील प्रणाली के संपूर्ण व्यावहारिक महत्व को दिखा सकता है। हालांकि स्प्रेडशीट्स में यह संभव है, लेकिन ऐसे कई सॉफ़्टवेयर पैकेज हैं जिन्हें विशेष रूप से इस उद्देश्य के लिए अनुकूलित किया गया है।

अपने आप में, मॉडलिंग वास्तविक दुनिया में अपनी उत्पादकता की भविष्यवाणी करने के लिए भौतिक मॉडल के प्रोटोटाइप बनाने और विश्लेषण करने की प्रक्रिया है। अनुकरण मॉडलिंग का उपयोग डिजाइनरों और इंजीनियरों को किस परिस्थितियों में समझने में मदद करने के लिए किया जाता है और किस मामले में प्रक्रिया विफल हो सकती है और यह क्या लोड हो सकता है (हेमी, 2007)। मॉडलिंग तरल प्रवाह व्यवहार और अन्य भौतिक घटनाओं की भविष्यवाणी करने में भी मदद कर सकता है। मॉडल एप्लाइड सिमुलेशन सॉफ्टवेयर (स्ट्रोगेलेव, 2008) के कारण अनुमानित कार्य परिस्थितियों का विश्लेषण करता है।

अनुकरण मॉडलिंग की संभावनाओं पर प्रतिबंध एक आम कारण है। सटीक मॉडल की निर्माण और संख्यात्मक गणना केवल उन क्षेत्रों में सफलता की गारंटी देती है जहां एक सटीक मात्रात्मक सिद्धांत है, यानी, जब कुछ घटनाओं का वर्णन करने वाले समीकरण ज्ञात हैं, और कार्य केवल इन समीकरणों को आवश्यक सटीकता के साथ हल करने में है। उसी क्षेत्र में जहां मात्रात्मक सिद्धांत मौजूद नहीं है, एक सटीक मॉडल का निर्माण सीमित मूल्य (बेज़ीकिन, 2003) है।

फिर भी, मॉडलिंग क्षमताओं असीमित नहीं हैं। सबसे पहले, यह इस तथ्य के कारण है कि सिमुलेशन मॉडल की प्रयोज्यता के दायरे का मूल्यांकन करना मुश्किल है, विशेष रूप से, उस समय की अवधि जिसके लिए पूर्वानुमान आवश्यक सटीकता (कानून, 2006) के साथ बनाया जा सकता है। इसके अलावा, प्रकृति से, सिमुलेशन मॉडल एक विशिष्ट वस्तु से जुड़ा हुआ है, और जब किसी अन्य पर भी लागू होने की कोशिश की जाती है, तो इसके समान भी, एक कट्टरपंथी समायोजन या कम से कम पर्याप्त संशोधन की आवश्यकता होती है।

अनुकरण मॉडलिंग के लिए सीमाओं के अस्तित्व का एक आम कारण है। "सटीक" मॉडल की निर्माण और संख्यात्मक गणना केवल मात्रात्मक सिद्धांत के अस्तित्व में ही सफल होती है, यानी, केवल तभी जब सभी समीकरण ज्ञात होते हैं, और कार्य केवल कुछ सटीकता (बेज़ीकिन, 2003) के साथ इन समीकरणों को हल करने के लिए कम हो जाता है। ।

लेकिन इसके बावजूद, अनुकरण मॉडलिंग गतिशील प्रक्रियाओं को देखने का एक उत्कृष्ट माध्यम है, जो अधिक या कम वफादार मॉडल के साथ अनुमति देता है, इसके परिणामों के आधार पर निर्णय लेते हैं।

इस काम में, सिस्टम मॉडल ऑलोगिक प्रोग्राम द्वारा प्रदान किए गए सिस्टम स्पीकर की प्रणाली का उपयोग करके बनाए जाएंगे।

संतुष्टि के बिना माल्टुशियन विकास मॉडल /

एक मॉडल बनाने से पहले, सिस्टम स्पीकर के तत्वों पर विचार करना आवश्यक है, जिसका हम उपयोग करेंगे और उन्हें हमारे सिस्टम से लिंक करेंगे। निम्नलिखित परिभाषाओं को किसी भी तरह की संदर्भ जानकारी से लिया गया था।

ड्राइव सिस्टम स्पीकर चार्ट का मुख्य तत्व है। वे वास्तविक दुनिया वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाते हैं जिनमें कुछ संसाधन जमा होते हैं: धन, पदार्थ, लोगों के समूहों की संख्या, कुछ भौतिक वस्तुएं आदि। ड्राइव नकली प्रणाली की स्थिर स्थिति को प्रतिबिंबित करती हैं, और सिस्टम में मौजूद प्रवाह के अनुसार उनके मूल्यों को समय के साथ बदल दिया जाता है। यहां से यह निम्नानुसार है कि सिस्टम गतिशीलता प्रवाह सेट करता है। स्ट्रीम की आने वाली और आउटगोइंग प्रवाह ड्राइव मूल्यों को बढ़ाता है या कम करता है।

प्रवाह, साथ ही ऊपर उल्लिखित ड्राइव, सिस्टम-गतिशील आरेखों का मुख्य तत्व है।

जबकि ड्राइव सिस्टम के स्थैतिक हिस्से को परिभाषित करते हैं, धाराएं ड्राइव के मूल्यों को बदलने की गति को निर्धारित करती हैं, यानी, स्टॉक में परिवर्तन होते हैं और, इस प्रकार, सिस्टम गतिशीलता निर्धारित करते हैं।

एजेंट में चर हो सकते हैं। चर का उपयोग आमतौर पर बदलते एजेंट विशेषताओं को अनुकरण करने या मॉडल के परिणामों को संग्रहीत करने के लिए उपयोग किया जाता है। आमतौर पर गतिशील चर में भंडारण कार्य होते हैं।

एजेंट के पैरामीटर हो सकते हैं। पैरामीटर अक्सर नकली ऑब्जेक्ट की कुछ विशेषताओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। वे उपयोगी होते हैं जब ऑब्जेक्ट्स के उदाहरणों में कक्षा में वर्णित वही व्यवहार होता है, लेकिन कुछ पैरामीटर मानों में भिन्न होता है। चर और पैरामीटर के बीच एक स्पष्ट अंतर है। चर मॉडल की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है और मॉडलिंग के दौरान बदल सकता है। पैरामीटर आमतौर पर वस्तुओं के स्थैतिक विवरण के लिए उपयोग किया जाता है। मॉडल के एक "रन" के दौरान, पैरामीटर आमतौर पर एक स्थिर और परिवर्तन होता है जब मॉडल के व्यवहार को पुन: कॉन्फ़िगर करने के लिए आवश्यक होता है।

संचार - सिस्टम स्पीकर का तत्व प्रवाह चार्ट और ड्राइव के तत्वों के बीच निर्भरता को निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाता है। यह स्वचालित रूप से कनेक्शन बनाता है, और उपयोगकर्ता को ग्राफिक संपादक में स्पष्ट रूप से उन्हें आकर्षित करने के लिए मजबूर करता है (हालांकि यह ध्यान देने योग्य है कि किसी भी तरह से भी समर्थन करता है लापता लिंक को तेजी से स्थापित करने का तंत्र)। उदाहरण के तौर पर, यदि कोई तत्व ए को तत्व बी के समीकरण या प्रारंभिक मान में संदर्भित किया जाता है, तो पहले इन तत्वों को ए से बी से आने वाले कनेक्शन से कनेक्ट करना आवश्यक है, और उसके बाद केवल गुणों में अभिव्यक्ति दर्ज करें बी

सिस्टम स्पीकर के कुछ अन्य तत्व भी हैं, लेकिन वे काम के दौरान शामिल नहीं होंगे, इसलिए वे उन्हें कम कर देंगे।

शुरू करने के लिए, सिस्टम की प्रणाली (1.4) से पर विचार करें।

सबसे पहले, तुरंत दो ड्राइव का जश्न मनाएं जिनमें प्रत्येक उद्यम के उत्पादों की मात्रा के मूल्य होंगे।

दूसरा, चूंकि हमारे पास प्रत्येक समीकरण में दो शब्द हैं, इसलिए हमें प्रत्येक ड्राइव, एक आने वाली, अन्य आउटगोइंग में दो धाराएं मिलती हैं।

तीसरा, चर और पैरामीटर पर जाएं। केवल दो चर हैं। एक्स और वाई, उत्पाद विकास के लिए जिम्मेदार। और हमारे पास चार पैरामीटर भी हैं।

चौथा, बॉन्ड के लिए, प्रत्येक धाराओं को प्रवाह समीकरण में शामिल चर और पैरामीटर से जुड़ा होना चाहिए, साथ ही दोनों चर को समय के साथ मूल्य बदलने के लिए ड्राइव से जोड़ा जाना चाहिए।

मॉडल के निर्माण का एक विस्तृत विवरण, ऑलोगिक मॉडलिंग पर्यावरण में काम करने का एक उदाहरण के रूप में, अगले सिस्टम के लिए छोड़ देगा, क्योंकि यह कुछ हद तक जटिल है और इसमें अधिक पैरामीटर का उपयोग किया जाता है, और हम तुरंत इस विचार को पार करते हैं सिस्टम का समाप्त संस्करण।

चित्र 1.9 में नीचे एक निर्मित मॉडल है:

चित्र 1.9। सिस्टम के लिए सिस्टम डायनेमिक्स मॉडल (1.4)

सिस्टम गतिशीलता के सभी तत्व ऊपर वर्णित वर्णित के अनुरूप हैं, यानी दो ड्राइव, चार धाराएं (दो इनकमिंग, दो आउटगोइंग), चार पैरामीटर, दो गतिशील चर, और आवश्यक कनेक्शन।

चित्र दिखाता है कि अधिक उत्पाद, इसकी वृद्धि मजबूत है, जो माल की संख्या में तेज वृद्धि की ओर ले जाती है, जो हमारे सिस्टम से मेल खाती है। लेकिन जैसा कि पहले से ही पहले कहा गया था, इस विकास पर प्रतिबंध की कमी इस मॉडल को अभ्यास में लागू करने की अनुमति नहीं देती है।

संतृप्ति के साथ माल्टुशियन विकास मॉडल /

इस प्रणाली को ध्यान में रखते हुए, हम मॉडल के निर्माण पर अधिक विस्तार से निवास करते हैं।

पहला कदम दो ड्राइव जोड़ें, आइए उन्हें x_stock और y_stock पर कॉल करें। उनमें से प्रत्येक प्रारंभिक मान 1 के बराबर सेट करेगा, ध्यान दें कि शास्त्रीय रूप से निर्दिष्ट में धाराओं की अनुपस्थिति में, ड्राइव समीकरण कुछ भी नहीं है।

चित्रा 1.10। एक प्रणाली मॉडल का निर्माण (1.9)

अगला चरण धागे जोड़ना है। हम प्रत्येक ड्राइव के लिए ग्राफिक संपादक का उपयोग करके आने वाले और आउटगोइंग थ्रेड का निर्माण करेंगे। हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि प्रवाह के किनारों में से एक ड्राइव में होना चाहिए, अन्यथा वे जुड़े नहीं होंगे।

यह ध्यान दिया जा सकता है कि ड्राइव के लिए समीकरण स्वचालित रूप से सेट किया गया था, बेशक, उपयोगकर्ता इसे "मनमानी" समीकरण मोड चुनकर इसे स्वयं लिख सकता है, लेकिन इस कार्रवाई को कार्यक्रम में छोड़ने का सबसे आसान तरीका।

तीसरा चरण हमारे पास छह पैरामीटर और दो गतिशील चर के अतिरिक्त हैं। हम प्रत्येक तत्व को सिस्टम में अपने अक्षर अभिव्यक्ति के अनुसार नाम देते हैं, साथ ही पैरामीटर के प्रारंभिक मानों को निम्नानुसार सेट करते हैं: e1 \u003d e2 \u003d 1, a12 \u003d a21 \u003d 3, n1 \u003d n2 \u003d 0.2।

समीकरणों के सभी तत्व मौजूद हैं, यह केवल धाराओं के लिए समीकरण लिखने के लिए बनी हुई है, लेकिन इसके लिए आपको पहले तत्वों के बीच कनेक्शन जोड़ने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, अवधि के लिए जिम्मेदार आउटगोइंग स्ट्रीम ई 1 और एक्स से जुड़ी होनी चाहिए। और प्रत्येक गतिशील चर को उपयुक्त ड्राइव (x_stock x, y_stock y) से जुड़ा होना चाहिए। लिंक बनाना समान रूप से धाराओं को जोड़ने के लिए होता है।

आवश्यक लिंक बनाने के बाद, आप स्ट्रीम समीकरणों के लेखन में जा सकते हैं, जो सही आकृति पर प्रदर्शित होता है। बेशक, आप आगे बढ़ सकते हैं और रिवर्स ऑर्डर में, लेकिन लिंक के अस्तित्व में, समीकरण लिखते समय आवश्यक पैरामीटर / वैरिएबल्स को प्रतिस्थापित करने के लिए संकेत देते हैं, जो जटिल मॉडल में कार्य को सुविधाजनक बनाता है।

सभी चरणों को करने के बाद, आप सिमुलेशन मॉडल चला सकते हैं और इसके परिणाम को देख सकते हैं।

आपसीता में कंपनियों के बीच बातचीत के नॉनलाइनर अंतर समीकरणों की प्रणाली को माना जाता है, कई निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं।

सिस्टम के दो राज्य हैं: एक तेज असीमित वृद्धि, या उत्पादों की मात्रा की शून्य की इच्छा। दोनों में से कौन सा राज्य सिस्टम ले जाएगा पैरामीटर पर निर्भर करता है।

मॉडल समेत मॉडल सहित प्रस्तावित मॉडल में से कोई भी, गैर-शून्य टिकाऊ स्थिति की कमी के साथ-साथ अनुच्छेद 1 में वर्णित कारणों के कारण व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए उपयुक्त नहीं है।

अभ्यास में लागू कंपनियों द्वारा मॉडल बनाने के लिए इस प्रकार की सिंबियोटिक बातचीत को आगे बढ़ाने के प्रयास के मामले में, सिस्टम की और जटिलता और नए पैरामीटर की शुरूआत आवश्यक है। उदाहरण के लिए, अपनी पुस्तक में बेज़ीचिन इंट्रास्पेसिफिक प्रतियोगिता के अतिरिक्त कारक की शुरूआत के साथ दो पारस्परिक आबादी की गतिशीलता का एक उदाहरण देता है। जिसके कारण सिस्टम फॉर्म लेता है:

(1.15)

और इस मामले में, सिस्टम की गैर-शून्य स्थिर स्थिति शून्य "सैडल" से अलग होती है, जो इसे क्या हो रहा है की वास्तविक तस्वीर में लाती है।

2. प्रोटोकॉपरेशन की शर्तों में कंपनियों की बातचीत

सभी प्रमुख सैद्धांतिक जानकारी पिछले अध्याय में प्रस्तुत की गई थी, इसलिए इस अध्याय में विचार किए गए मॉडल का विश्लेषण करते समय, अधिकांश भाग के लिए सिद्धांत को छोड़ दिया जाएगा, कई बिंदुओं को छोड़कर, जिनके साथ हमने पिछले अध्याय में भी सामना नहीं किया था, साथ ही साथ गणना में कमी। इस अध्याय में विचाराधीन संगठनों की बातचीत का मॉडल, जिसमें माल्टुशुस मॉडल के आधार पर दो समीकरणों की प्रणालियों शामिल हैं, एक सिस्टम (1.5) की तरह दिखता है। सिस्टम के पिछले अध्याय में विश्लेषण से पता चला है कि वर्तमान मॉडलों के लिए उनके अधिकतम अनुमान के लिए, सिस्टम की जटिलता की आवश्यकता है। इन निष्कर्षों के आधार पर, हम तुरंत मॉडल में विकास पर प्रतिबंध जोड़ते हैं। पिछले प्रकार की बातचीत के विपरीत, जब विकास, किसी अन्य कंपनी से स्वतंत्र, नकारात्मक है, इस मामले में सभी संकेत सकारात्मक हैं, और इसलिए हमारे पास स्थायी विकास है। पहले वर्णित कमियों से बचना, हम इसे एक लॉजिस्टिक समीकरण के साथ सीमित करने की कोशिश करेंगे, जिसे फेरहेलस्ता समीकरण (गेर्सहेनफेल्ड, 1 999) भी कहा जाता है, जिसमें निम्नलिखित फॉर्म हैं:

, (2.1)

जहां पी जनसंख्या संख्या है, आर एक पैरामीटर है जो विकास दर दिखाता है, के अधिकतम संभावित संख्या की आबादी के लिए जिम्मेदार पैरामीटर है। यही है, समय के साथ आबादी की संख्या (उत्पादों के हमारे मामले में), एक निश्चित पैरामीटर के लिए प्रयास करेंगे।

यह समीकरण उन उत्पादों की अनियंत्रित विकास को रखने में मदद करेगा जिन्हें हमने पहले देखा है। इस प्रकार, सिस्टम निम्नलिखित फॉर्म लेता है:

(2.2)

यह न भूलें कि प्रत्येक कंपनी के लिए गोदाम में संग्रहित सामानों की मात्रा अलग है, इसलिए, विकास को सीमित करने वाले पैरामीटर अलग हैं। आइए इस प्रणाली को कॉल करें, और भविष्य में हम इस नाम का उपयोग करेंगे जब हम इसे मानते हैं।

दूसरी प्रणाली जिसे हम विचार करेंगे कि फेरहेलस्ता के प्रतिबंध के साथ मॉडल का आगे विकास है। पिछले अध्याय में, हम एक संतृप्ति प्रतिबंध पेश करते हैं, फिर सिस्टम फॉर्म ले जाएगा:

(2.3)

अब प्रत्येक घटकों की अपनी सीमा है, इसलिए आगे के विश्लेषण के बिना यह ध्यान दिया जा सकता है कि पिछले अध्याय के मॉडल में असीमित वृद्धि नहीं होगी। और चूंकि प्रत्येक घटक सकारात्मक वृद्धि दर्शाता है, इसलिए उत्पादों की मात्रा शून्य पर नहीं आती है। हम इस मॉडल को "दो सीमाओं के साथ प्रोटोकॉपेशन का मॉडल" कहते हैं।

इन दो मॉडलों को जैविक आबादी के विभिन्न स्रोतों में माना जाता है। अब हम सिस्टम को थोड़ा विस्तार करने की कोशिश करेंगे। ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित ड्राइंग पर विचार करें।

यह आंकड़ा दो कंपनियों की प्रक्रियाओं का एक उदाहरण दिखाता है: स्टील और कोयला उद्योग। दोनों उद्यमों में उत्पादन में वृद्धि होती है जो दूसरे पर निर्भर नहीं होती है, और उनके इंटरैक्शन द्वारा प्राप्त उत्पादों में भी वृद्धि होती है। हमें पहले ही शुरुआती मॉडल में ध्यान में रखा गया था। अब न केवल उत्पादों का उत्पादन करने वाली कंपनियों पर ध्यान देने योग्य है, वे इसे भी बेचते हैं, उदाहरण के लिए, बाजार या कंपनी के साथ बातचीत करने के लिए। वे। तार्किक निष्कर्षों के आधार पर, उत्पादों की बिक्री के माध्यम से कंपनियों की नकारात्मक वृद्धि की आवश्यकता होती है (इसके लिए आंकड़े, पैरामीटर β1 और β2 इसके अनुरूप), साथ ही उत्पादों के हिस्से के हस्तांतरण के माध्यम से दूसरे में उद्यम। इससे पहले, हमने इसे केवल एक और कंपनी से सकारात्मक संकेत के साथ ध्यान में रखा, लेकिन इस तथ्य पर विचार नहीं किया कि उत्पादन के हस्तांतरण के दौरान पहला उद्यम इसकी संख्या घट जाती है। इस मामले में, हमें सिस्टम मिलता है:

(2.4)

और यदि हम इस शब्द के बारे में कह सकते हैं कि यदि पिछले मॉडल में यह कहा गया था कि, प्राकृतिक वृद्धि को चिह्नित किया गया है, और पैरामीटर नकारात्मक हो सकता है, तो वास्तव में कोई अंतर नहीं है, फिर शब्द के बारे में यह नहीं कहा जा सकता है। इसके अलावा, इस तरह के एक सिस्टम पर विचार करने के साथ एक प्रतिबंध के साथ, सकारात्मक और नकारात्मक वृद्धि की शर्तों का उपयोग करने के लिए सही है, क्योंकि इस मामले में उन पर अलग-अलग प्रतिबंध लगाए जा सकते हैं, जो प्राकृतिक विकास के लिए असंभव है। आइए इसे "विस्तारित प्रोटोकॉपरेटिव मॉडल" कहते हैं।

अंत में, विचाराधीन चौथा मॉडल एक विस्तारित प्रोटोकॉलिंग मॉडल है जिसमें वृद्धि पर पहले उल्लिखित रसद प्रतिबंध है। और इस मॉडल के लिए सिस्टम निम्नानुसार है:

, (2.5)

कहां - पहले उद्यम के उत्पादों में वृद्धि, दूसरे से स्वतंत्र, रसद प्रतिबंध को ध्यान में रखते हुए, - पहली कंपनी के उत्पादन में वृद्धि, दूसरे के आधार पर, रसद प्रतिबंध को ध्यान में रखते हुए, दूसरे उद्यम के उत्पादों में वृद्धि है, पहले से स्वतंत्र, रसद प्रतिबंध को ध्यान में रखते हुए, - दूसरी कंपनी का उत्पादन, पहले के आधार पर, रसद प्रतिबंध को ध्यान में रखते हुए, पहले उद्यम के सामान की खपत है, दूसरे से संबंधित नहीं - दूसरे उद्यम के सामान की खपत, दूसरे से संबंधित नहीं - दूसरे उद्योग में पहले उद्योग के माल की खपत - दूसरे उद्योग के पहले उद्योग के सामानों की खपत।

भविष्य में, इस मॉडल को "लॉजिस्टिक सीमा के साथ एक विस्तारित प्रोटॉपरेशन मॉडल" के रूप में जाना जाएगा।

1 पहले सन्निकटन में सिस्टम की स्थिरता

फ्राघंड के प्रतिबंध के साथ प्रोटोकॉपरेशन का मॉडल

सिस्टम स्थिरता का विश्लेषण करने के तरीके पिछले अध्याय के समान खंड में सूचीबद्ध किए गए थे। सबसे पहले, हमें संतुलन बिंदु मिलते हैं। उनमें से एक, हमेशा के रूप में, शून्य। दूसरा निर्देशांक के साथ एक बिंदु है।

शून्य बिंदु λ1 \u003d, λ2 \u003d के लिए, चूंकि दोनों पैरामीटर गैर-नकारात्मक हैं, इसलिए हम एक अस्थिर नोड प्राप्त करते हैं।

चूंकि यह अभिव्यक्ति को कम करने के अवसर की कमी के कारण दूसरे बिंदु के साथ काम करना पूरी तरह से सुविधाजनक नहीं है, फिर स्थिरता के प्रकार का निर्धारण चरण आरेखों पर छोड़ देगा, क्योंकि वे स्पष्ट रूप से दिखाई देते हैं, एक स्थिर संतुलन बिंदु या नहीं ।

इस प्रणाली का विश्लेषण पिछले एक द्वारा अधिक जटिल है क्योंकि इस तथ्य के कारण कि संतृप्ति कारक जोड़ा जाता है, इस प्रकार नए पैरामीटर दिखाई देते हैं, और जब कोई संतुलन बिंदु नहीं होता है, तो रैखिक नहीं होने के लिए यह आवश्यक होता है, लेकिन एक बिलीनेर समीकरण एक के कारण होता है denominator में चर। इसलिए, जैसा कि पिछले मामले में, हम चरण आरेखों पर स्थिरता के प्रकार को छोड़ देंगे।

नए पैरामीटर के उद्भव के बावजूद, जैकोबियन शून्य बिंदु में, साथ ही साथ विशेषता समीकरण की जड़ें, पिछले मॉडल की तरह दिखती हैं। इस प्रकार, शून्य बिंदु में एक अस्थिर नोड।

आइए विस्तारित मॉडल की ओर मुड़ें। उनमें से पहले में कोई प्रतिबंध नहीं है और सिस्टम का प्रकार (2.4) लेता है

हम चर को बदल देंगे, , तथा । नई प्रणाली:

(2.6)

इस मामले में, हम दो संतुलन बिंदु प्राप्त करते हैं, बिंदु (0,0), () में ()। बिंदु बी पहली तिमाही में स्थित है, क्योंकि चर के पास गैर-नकारात्मक मूल्य है।

एक संतुलन बिंदु के लिए, और हमें मिलता है:

. - अस्थिर गाँठ,

. - सैडल,

. - सैडल,

. - सतत गाँठ,

बिंदु बी पर, विशेषता समीकरण की जड़ें जटिल संख्याएं हैं: λ1 \u003d, λ2 \u003d। हम Lyapunov प्रमेय पर निर्भर रहने की स्थिरता के प्रकार को निर्धारित नहीं कर सकते हैं, इसलिए हम संख्यात्मक सिमुलेशन करेंगे जो सभी संभावित राज्यों को नहीं दिखाएंगे, लेकिन आपको कम से कम उनमें से कुछ को जानने की अनुमति देगा।

चित्रा 2.2। स्थिरता का संख्यात्मक सिमुलेशन

इस मॉडल को ध्यान में रखते हुए, आपको कम्प्यूटेशनल कठिनाइयों का सामना करना पड़ेगा, क्योंकि इसमें बड़ी संख्या में विभिन्न पैरामीटर, साथ ही दो सीमाएं भी हैं।

गणना के विवरण में जाने के बिना, निम्नलिखित संतुलन बिंदुओं पर आएं। बिंदु ए (0,0) और बिंदु बी निम्नलिखित निर्देशांक के साथ:

(), जहां ए \u003d

बिंदु ए के लिए, स्थिरता प्रकार निर्धारित करना एक मामूली कार्य है। विशेषता समीकरण की जड़ें ऐसे λ1 \u003d, λ2 \u003d हैं। इस प्रकार, हमें चार विकल्प मिलते हैं:

1. λ1\u003e 0, λ2\u003e 0 - अस्थिर नोड।

2. λ1< 0, λ2 > 0 - सैडल।

3. λ1\u003e 0, λ2< 0 - седло.

4. λ1< 0, λ2 < 0 - устойчивый узел.

बिंदु के बारे में बात करते हुए, यह सहमत होना आवश्यक है कि अभिव्यक्ति में कटौती की प्रतिस्थापन जैकबियाई के साथ काम जटिल करेगा और विशेषता समीकरण की जड़ों को ढूंढ देगा। उदाहरण के लिए, उन्हें WOLFRAMALPHA कंप्यूटिंग टूल का उपयोग करके खोजने की कोशिश करने के बाद, रूट मानों के आउटपुट में लगभग पांच लाइनें लग गईं, जो वर्णमाला में उनके साथ काम करने की अनुमति नहीं देती हैं। बेशक, यदि पहले से ही मौजूदा पैरामीटर हैं, तो संतुलन बिंदु को तुरंत ढूंढना संभव है, लेकिन यह एक विशेष मामला है, क्योंकि हमें केवल इन मानकों के लिए संतुलन की स्थिति मिल जाएगी, जो निर्णय के लिए उपयुक्त नहीं है- निर्माण प्रणाली जिसके लिए मॉडल बनाने की योजना बनाई गई है।।

विशेषता समीकरण की जड़ों के साथ काम करने की जटिलता के कारण, हम काम में अलग-अलग प्रणाली के साथ समानता के साथ शून्य-इसोक्लिन के पारस्परिक स्थान का निर्माण करते हैं (बेसकिन, 2003)। यह हमें सिस्टम के संभावित राज्यों पर विचार करने की अनुमति देगा, और भविष्य में, चरण पोर्ट्रेट बनाने के दौरान, संतुलन बिंदुओं और उनकी स्थिरता के प्रकार का पता लगाने की अनुमति देगा।

कुछ गणनाओं के बाद, शून्य-इसोक्लिन समीकरण निम्नलिखित रूप लेता है:

(2.7)

इस प्रकार, इस्सोकlines के पास पैराबोला का दृश्य है।

चित्र 2.3। संभावित स्थान शून्य-इसोक्लिन

कुल मिलाकर, पैराबोलामी के बीच सामान्य बिंदुओं की संख्या में उनकी पारस्परिक स्थिति के चार मामले। उनमें से प्रत्येक के लिए पैरामीटर के सेट हैं, जिसका अर्थ है सिस्टम के चरण पोर्ट्रेट।

सिस्टम के 2 चरण पोर्ट्रेट

हम सिस्टम के एक चरण पोर्ट्रेट का निर्माण करते हैं, बशर्ते और शेष पैरामीटर 1 के बराबर हैं। इस मामले में, चर का एक सेट पर्याप्त है, क्योंकि उच्च गुणवत्ता में परिवर्तन नहीं होगा।

जैसा कि नीचे प्रस्तुत आंकड़ों से देखा जा सकता है, शून्य बिंदु एक अस्थिर नोड है, और दूसरा बिंदु, यदि हम पैरामीटर के संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें (-1.5, -1.5) - सैडल मिलता है।

चित्रा 2.4। सिस्टम के लिए चरण पोर्ट्रेट (2.2)

इस प्रकार, चूंकि कोई बदलाव नहीं होना चाहिए, फिर इस प्रणाली के लिए केवल अस्थिर राज्य हैं, जो असीमित विकास की संभावना के कारण सबसे अधिक संभावना है।

दो प्रतिबंधों के साथ प्रोटोकॉपर्टिव मॉडल।

इस प्रणाली में एक अतिरिक्त निवारक कारक है, इसलिए चरण आरेख पिछले मामले से भिन्न होना चाहिए, जिसे आकृति में देखा जा सकता है। शून्य बिंदु भी एक अस्थिर नोड है, लेकिन इस प्रणाली में एक स्थिर स्थिति दिखाई देती है, अर्थात् स्थिर नोड। इसके निर्देशांक (5.5.5.5) के इन मानकों के साथ, यह आकृति में प्रस्तुत किया जाता है।

चित्र 2.5। सिस्टम के लिए चरण पोर्ट्रेट (2.3)

इस प्रकार, प्रत्येक कार्यकाल पर प्रतिबंध ने सिस्टम की एक स्थिर स्थिति प्राप्त करना संभव बना दिया।

विस्तारित प्रोटोकॉल मॉडल।

हम एक विस्तारित मॉडल के लिए चरण पोर्ट्रेट का निर्माण करेंगे, लेकिन तुरंत अपने संशोधित रूप का उपयोग करेंगे:

पैरामीटर के चार सेट पर विचार करें, और शून्य संतुलन बिंदु वाले सभी मामलों पर विचार करने के साथ-साथ एक गैर-समेकन बिंदु के लिए उपयोग किए गए संख्यात्मक मॉडलिंग के चरण आरेखों का प्रदर्शन करना: सेट ए (1.0.5,0,5) एक राज्य से मेल खाता है , सेट (1.0.5, -0.5) से मेल खाता है सेट c (-1.0.5,0,5) एक सेट डी (-1,0.5, -0.5) , यानी, शून्य बिंदु में एक स्थिर नोड। पहले दो सेट पैरामीटर के लिए चरण पोर्ट्रेट का प्रदर्शन करेंगे जिन्हें हमने संख्यात्मक सिमुलेशन के दौरान माना है।

चित्रा 2.6। पैरामीटर ए-डी के साथ सिस्टम (2.4) के लिए चरण पोर्ट्रेट।

आंकड़ों में अंक (-1.2) और (1, -2) पर ध्यान देना आवश्यक है, क्रमशः, "सैडल" उनमें दिखाई देता है। अधिक विस्तृत प्रस्तुति के लिए, यह आंकड़ा एक सैडल पॉइंट (1, -2) के साथ ड्राइंग का एक अलग पैमाने दिखाता है। अंक (1.2) और (-1, -2) पर आंकड़े में, एक स्थिर केंद्र दिखाई देता है। शून्य बिंदु के लिए, चूंकि चरण आरेखों पर ड्राइंग पर ड्राइंग स्पष्ट रूप से अस्थिर नोड, एक सैडल, एक सैडल और एक स्थिर नोड द्वारा प्रतिष्ठित है।

लॉजिस्टिक प्रतिबंध के साथ विस्तारित प्रोटोकैपरेटिव मॉडल।

पिछले मॉडल में, हम शून्य बिंदु के चार मामलों के लिए चरण पोर्ट्रेट का प्रदर्शन करेंगे, साथ ही इन आरेखों पर नॉनज़रो समाधानों को नोट करने का प्रयास करेंगे। ऐसा करने के लिए, निम्न आदेश में निर्दिष्ट पैरामीटर के साथ पैरामीटर के निम्न सेट लें (): ए (2,1,2,1), बी (2,1,1,2), (1,2,2) , 1) और डी (1,2,1,2)। सभी सेटों के लिए शेष पैरामीटर निम्नानुसार होंगे: .

निम्नलिखित आंकड़ों पर, आप इस गतिशील प्रणाली के लिए पिछले खंड में वर्णित शून्य बिंदु के चार संतुलन राज्यों का निरीक्षण कर सकते हैं। और आंकड़ों में भी, एक नॉनज़रो समन्वय के साथ बिंदु की स्थिर स्थिति।

चित्र 2.7। पैरामीटर ए-बी के साथ सिस्टम (2.5) के लिए चरण पोर्ट्रेट

3 एकीकृत प्रणाली प्रक्षेपवक्र

फ्राघंड के प्रतिबंध के साथ प्रोटोकॉपरेशन का मॉडल

पिछले अध्याय में, हम अलग-अलग समीकरणों को अलग से हल करते हैं और समय पैरामीटर से चर की निर्भरता व्यक्त करते हैं।

(2.8)

(2.9)

प्राप्त समीकरणों से यह देखा जा सकता है कि प्रत्येक चर का मूल्य बढ़ता है, जो नीचे त्रि-आयामी मॉडल पर प्रदर्शित होता है।

चित्र 2.8। समीकरण के लिए त्रि-आयामी मॉडल (2.8)

शुरुआत में इस प्रकार का ग्राफिक संतृप्ति के बिना एक माल्थसियन मॉडल की त्रि-आयामी छवि जैसा है, अध्याय 1 में माना जाता है, क्योंकि इसकी एक समान वृद्धि हुई है, लेकिन भविष्य में आप सीमा प्राप्त करने के कारण विकास दर में कमी देख सकते हैं उत्पादों की मात्रा पर। इस प्रकार, अंतिम दिखावट अभिन्न वक्र रसद समीकरण के ग्राफ के समान हैं, जिसका उपयोग शर्तों में से किसी एक को सीमित करने के लिए किया गया था।

दो प्रतिबंधों के साथ प्रोटोकॉपर्टिव मॉडल।

हम वोल्फ्राम अल्फा का उपयोग कर प्रत्येक समीकरण हल करते हैं। इस प्रकार, एक्स (टी) फ़ंक्शन की निर्भरता निम्न फ़ॉर्म पर आती है:

(2.10)

दूसरे कार्य के लिए, स्थिति समान है, इसलिए हम इसके निर्णय को कम कर देंगे। कुछ उपयुक्त मूल्यों के साथ पैरामीटर के प्रतिस्थापन के कारण संख्यात्मक मूल्य दिखाई दिए जो अभिन्न वक्र के गुणात्मक व्यवहार को प्रभावित नहीं करते हैं। नीचे दिए गए चित्रों पर, विकास पर प्रतिबंधों का उपयोग करने के लिए ध्यान देने योग्य है, क्योंकि समय के साथ, घातीय वृद्धि लॉगरिदमिक में जाती है।

चित्रा 2.9। समीकरण के लिए त्रि-आयामी मॉडल (2.10)

विस्तारित प्रोटोकॉल मॉडल

आपसी धर्म में मॉडल के समान। विकास के उन मॉडलों के बारे में अधिक तेज़ी से एकमात्र अंतर, जो नीचे प्रस्तुत समीकरणों से देखा जाता है (यदि आप प्रदर्शकों की डिग्री को देखते हैं) और ग्राफ। अभिन्न वक्र को प्रदर्शकों का रूप लेना चाहिए।

(2.11)

(2.12)

रसद सीमा के साथ प्रोटोकॉरेटस का विस्तारित मॉडल

निर्भरता x (t) निम्नानुसार है:

एक कार्यक्रम के बिना, अनुमान लगाना मुश्किल है, फ़ंक्शन का व्यवहार, इसलिए पहले से ही ज्ञात धन का उपयोग करके, हम इसका निर्माण करेंगे।

आंकड़ा 2.10 समीकरण के लिए त्रि-आयामी मॉडल

फ़ंक्शन का मान किसी अन्य चर के किसी भी छोटे मूल्यों के साथ घटता है, जो नकारात्मक बिलिनियर अवधि पर प्रतिबंधों की अनुपस्थिति से जुड़ा हुआ है, और यह एक स्पष्ट परिणाम है।

इंटरएक्टिव कंपनियों की 4 सिस्टम गतिशीलता

Frühlsta के प्रतिबंध के साथ प्रोटोकॉपरेटिव का मॉडल।

हम सिस्टम (2.2) का निर्माण करते हैं। हमारे द्वारा पहले से ज्ञात उपकरणों का उपयोग करके, हम एक सिमुलेशन मॉडल का निर्माण करते हैं। इस बार, आपसी मॉडल के विपरीत, मॉडल में एक लॉजिस्टिक प्रतिबंध मौजूद होगा।

चित्रा 2.11। सिस्टम के लिए सिस्टम स्पीकर मॉडल (2.2)

मॉडल शुरू करें। इस मॉडल में, यह इस तथ्य को ध्यान देने योग्य है कि इंटरकनेक्शन से ग्रोथ सीमित नहीं है, और किसी अन्य के प्रभाव के बिना उत्पादों की वृद्धि में एक विशिष्ट सीमा है। यदि आप लॉजिस्टिक फ़ंक्शन की बहुत अभिव्यक्ति को देखते हैं, तो यह ध्यान दिया जा सकता है कि मामले में जब चर (माल की मात्रा) अधिकतम संभव मात्रा में भंडारण से अधिक हो जाती है, तो यह शब्द नकारात्मक हो जाता है। इस मामले में जब केवल एक लॉजिस्टिक फ़ंक्शन होता है, तो यह असंभव है, लेकिन एक अतिरिक्त हमेशा सकारात्मक विकास कारक के साथ, यह संभव है। और अब यह समझना महत्वपूर्ण है कि रसद समारोह स्थिति से निपटने के लिए उत्पादों की मात्रा में तेजी से वृद्धि नहीं करेगा, उदाहरण के लिए, रैखिक। नीचे दिए गए चित्रों पर ध्यान दें।

चित्रा 2.12। सिस्टम के लिए सिस्टम डायनेमिक्स की प्रणाली का उदाहरण (2.2)

बाएं आंकड़े पर, संबंधित प्रस्तावित मॉडल के कार्यक्रम के कार्यक्रम के 5 वें चरण का प्रदर्शन किया गया था। लेकिन फिलहाल यह सही आकृति पर ध्यान देने योग्य है।

सबसे पहले, Y_STOCK के लिए आने वाले धागे में से एक के लिए, कनेक्शन को एक्स से हटा दिया गया है, जो शब्द में व्यक्त किया गया है। यह एक रैखिक हमेशा सकारात्मक धारा के साथ मॉडल के मॉडल में अंतर दिखाने के लिए किया जाता है, और बिलीनेर विकास, जो x_stock के लिए प्रस्तुत किया जाता है। रैखिक असीमित धाराओं के साथ, किसी बिंदु पर सिस्टम को पैरामीटर से अधिक होने के बाद संतुलन (इस मॉडल में, संतुलन राज्य 200 हजार सामानों का सामान है)। लेकिन पहले, बिलीनेर विकास से सामान की मात्रा में तेज वृद्धि होती है, जो अनंत में गुजरती है। यदि आप दोनों को सही और बाएं दोनों को छोड़ देते हैं तो सकारात्मक धाराएं बिलीनेर हैं, फिर लगभग 20-30 घंटे, ड्राइव का मूल्य दो infinities के अंतर के लिए आता है।

उपर्युक्त के आधार पर, यह जोर देना सुरक्षित है कि ऐसे मॉडल के आगे उपयोग की स्थिति में, किसी भी सकारात्मक वृद्धि को सीमित करना आवश्यक है।

दो प्रतिबंधों के साथ प्रोटोकॉपर्टिव मॉडल।

अंतिम मॉडल की कमियों को ढूंढना और संतृप्ति कारक की दूसरी अवधि पर प्रतिबंध लगाने का पता लगाना, हम एक नया मॉडल बनाए और लॉन्च करेंगे।

चित्रा 2.13। सिस्टम डायनेमिक्स मॉडल और सिस्टम के लिए इसके ऑपरेशन का एक उदाहरण (2.3)

अंततः, यह मॉडल लंबे समय से प्रतीक्षित परिणाम लाता है। यह ड्राइव मानों के विकास को सीमित करने के लिए निकला। जैसा कि दोनों उद्यमों के लिए सही ड्राइंग से देखा जा सकता है, भंडारण की मात्रा को थोड़ा अधिक से अधिक के साथ संतुलित किया जाता है।

विस्तारित प्रोटोकॉल मॉडल।

इस मॉडल की सिस्टम गतिशीलता पर विचार करते समय, ऑलोगिक सॉफ्टवेयर वातावरण की क्षमताओं को मॉडल के रंगीन विज़ुअलाइजेशन के लिए प्रदर्शित किया जाएगा। सभी पिछले मॉडल केवल सिस्टम वक्ताओं का उपयोग करके बनाए गए थे। इसलिए, मॉडल स्वयं लापरवाही से दिखते थे, उन्होंने समय पर उत्पादों की मात्रा में परिवर्तनों की गतिशीलता को ट्रैक करने और कार्यक्रम के संचालन के दौरान पैरामीटर को बदलने की अनुमति नहीं दी। इस और अगले मॉडल के साथ काम करते समय, हम उपरोक्त तीन त्रुटियों को बदलने के लिए कार्यक्रम सुविधाओं के व्यापक स्पेक्ट्रम का लाभ उठाने का प्रयास करेंगे।

सबसे पहले, "सिस्टम डायनेमिक्स" खंड के साथ, "चित्र", "चित्र", "3 डी-ऑब्जेक्ट्स" अनुभाग भी कार्यक्रम में मौजूद हैं, जिससे आप मॉडल को विविधता प्रदान कर सकते हैं, जो इसके आगे की प्रस्तुति के लिए उपयोगी है, क्योंकि यह मॉडल का "अधिक सुखद" बनाता है।

दूसरा, मॉडल मूल्यों को बदलने की गतिशीलता को ट्रैक करने के लिए, एक अनुभाग "सांख्यिकी" है, जो आपको मॉडल के साथ उन्हें बांधकर आरेखों और विभिन्न डेटा संग्रह उपकरण जोड़ने की अनुमति देता है।

तीसरा, मॉडल निष्पादन के दौरान पैरामीटर और अन्य वस्तुओं को बदलने के लिए, एक खंड "नियंत्रण" है। इस खंड की ऑब्जेक्ट्स आपको मॉडल ऑपरेशन (उदाहरण, "धावक") के दौरान पैरामीटर को बदलने की अनुमति देता है, विभिन्न ऑब्जेक्ट स्थिति (उदाहरण, "स्विच") का चयन करें और अन्य क्रियाएं करें जो ऑपरेशन के दौरान प्रारंभ में निर्दिष्ट डेटा को बदलती हैं।

यह मॉडल उद्यम उत्पादों में परिवर्तनों की गतिशीलता के साथ डेटिंग के लिए उपयुक्त है, लेकिन विकास पर प्रतिबंधों की कमी को अभ्यास में उपयोग करने की अनुमति नहीं है।

लॉजिस्टिक प्रतिबंध के साथ विस्तारित प्रोटोकैपरेटिव मॉडल।

पहले से ही पिछले पिछले मॉडल का उपयोग करके, वृद्धि को सीमित करने के लिए रसद समीकरण से पैरामीटर जोड़ें।

मॉडल के निर्माण को कम करें, क्योंकि पिछले पांच मॉडल काम में प्रस्तुत किए गए हैं, सभी को सभी दिखाए गए थे आवश्यक उपकरण और उनके साथ काम करने के सिद्धांत। यह केवल ध्यान देने योग्य है कि इसका व्यवहार Frühlst के प्रतिबंध के साथ प्रोटोकॉप्शन मॉडल के समान है। वे। संतृप्ति की कमी अपने व्यावहारिक अनुप्रयोग में हस्तक्षेप करती है।

प्रोटोको ऑपरेशन की शर्तों में मॉडल का विश्लेषण करने के बाद, हम कई मुख्य बिंदुओं को परिभाषित करते हैं:

इस अध्याय में माना गया मॉडल उपयुक्त बेहतर पारस्परिकवादी हैं, क्योंकि उनके पास दो शर्तों के साथ भी टिकाऊ संतुलन के गैर-शून्य प्रावधान हैं। मुझे आप के पारस्परिकता के मॉडल में याद दिलाना चाहिए, हम तीसरे कार्यकाल को जोड़ते समय केवल प्राप्त करने में सक्षम थे।

उपयुक्त मॉडल को प्रत्येक शर्तों पर प्रतिबंधित किया जाना चाहिए, क्योंकि अन्यथा बिलिनियर गुणक "रशिट" की तेज वृद्धि पूरी सिमुलेशन मॉडल है।

अनुच्छेद 2 के आधार पर, जब प्रोटोकॉपॉपरेटिव मॉडल को विस्तारित मॉडल, संतृप्ति कारक, साथ ही साथ उत्पादों की निचली महत्वपूर्ण मात्रा में जोड़ा जाता है, तो मॉडल की वास्तविक स्थिति के लिए जितना संभव हो उतना करीब होना चाहिए। लेकिन यह मत भूलना कि इस तरह के हेरफेर सिस्टम अपने विश्लेषण को जटिल करेगा।

निष्कर्ष

अध्ययन के परिणामस्वरूप, उद्यमों की उत्पादन गतिशीलता का वर्णन करने वाले छह प्रणालियों का विश्लेषण किया गया, जो एक दूसरे को पारस्परिक रूप से प्रभावित करता है। नतीजतन, संतुलन बिंदु और उनकी स्थिरता के प्रकार निम्न विधियों में से एक द्वारा निर्धारित किए गए थे: विश्लेषणात्मक रूप से, या उन मामलों में निर्मित चरण पोर्ट्रेट के कारण जहां किसी भी कारण के लिए विश्लेषणात्मक समाधान संभव नहीं है। प्रत्येक सिस्टम के लिए, चरण आरेखों का निर्माण किया गया था, और त्रि-आयामी मॉडल का निर्माण किया गया था, जिस पर प्रक्षेपण के दौरान विमानों (एक्स, टी), (वाई, टी) में एकीकृत वक्र प्राप्त करना संभव है। Anylogic मॉडलिंग वातावरण का उपयोग करने के बाद, सभी मॉडल बनाए गए थे और कुछ पैरामीटर के साथ उनके व्यवहार के विकल्पों पर विचार किया गया था।

सिस्टम और उनके अनुकरण मॉडल के निर्माण के बाद, यह स्पष्ट हो जाता है कि इन मॉडलों को केवल प्रशिक्षण के रूप में माना जा सकता है, या मैक्रोस्कोपिक सिस्टम का वर्णन करने के लिए, लेकिन व्यक्तिगत कंपनियों के लिए निर्णय लेने के लिए एक प्रणाली के रूप में नहीं, इसकी कम सटीकता के कारण, इसकी कम सटीकता के कारण और कुछ स्थानों में होने वाली प्रक्रियाओं का काफी विश्वसनीय प्रतिनिधित्व नहीं है। लेकिन यह भी नहीं भूलना चाहिए कि प्रत्येक कंपनी / संगठन / उद्योग की गतिशील प्रणाली प्रत्येक कंपनी के मॉडल का वर्णन कर रही है / अपनी प्रक्रियाओं और प्रतिबंधों का आयोजन कर रही है, इस प्रकार सामान्य मॉडल का निर्माण और वर्णन संभव नहीं है। प्रत्येक मामले में, इसे संशोधित किया जाएगा: आगे के काम के लिए जटिल या इसके विपरीत सरलीकृत।

प्रत्येक अध्याय के निष्कर्षों से निष्कर्ष निकालकर, यह पहचानने वाले तथ्य पर ध्यान केंद्रित करने के लायक है कि प्रत्येक शर्त समीकरणों पर प्रतिबंधों का परिचय हालांकि सिस्टम जटिलताओं को जटिल बनाता है, लेकिन आपको सिस्टम की स्थिर स्थिति का पता लगाने की अनुमति भी देता है, जैसा कि वैसे ही इसे वास्तविकता में क्या हो रहा है। और यह ध्यान देने योग्य है कि प्रोटोकॉप्शन के मॉडल अध्ययन के लिए अधिक उपयुक्त हैं, क्योंकि उनके पास हमारे द्वारा माना जाने वाला दो पारस्परिक अनुप्रयोगों के विपरीत, नॉनज़रो टिकाऊ प्रावधान हैं।

इस प्रकार, इस अध्ययन का उद्देश्य हासिल किया गया था, और कार्यों को पूरा किया गया था। भविष्य में, इस काम की निरंतरता के रूप में, इस पर दर्ज तीन प्रतिपूर्ति के साथ प्रोटोकॉपिकेशन के प्रकार की बातचीत का एक विस्तारित मॉडल माना जाता है: एक लॉजिस्टिक, संतृप्ति कारक, कम महत्वपूर्ण संख्या, जिसे एक के लिए अधिक सटीक मॉडल बनाने की अनुमति देनी चाहिए निर्णय समर्थन प्रणाली, साथ ही साथ तीन कंपनियों के साथ एक मॉडल। काम के विस्तार के रूप में, सिम्बायोसिस के अलावा, दो अन्य प्रकार की बातचीत पर विचार किया जा सकता है, जिसे काम में उल्लेख किया गया था।

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© 2007 यू.एस. Popkov, डॉ Tehn। विज्ञान (रूसी एकेडमी ऑफ साइंसेज, मॉस्को के सिस्टम विश्लेषण संस्थान)

एक वीडी-एंट्रॉपी ऑपरेटर के साथ गतिशील प्रणालियों का गुणात्मक विश्लेषण

विचाराधीन डीएसईसीओ कक्षा के वर्ग के एकवचन बिंदुओं के अस्तित्व, विशिष्टता और स्थानीयकरण का अध्ययन करने की विधि प्रस्तावित है। "छोटे" और "बड़े में" स्थिरता की शर्तों को प्राप्त किया। प्राप्त शर्तों को लागू करने के उदाहरण दिए गए हैं।

1। परिचय

गतिशील प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग की कई समस्याओं को एंट्रॉपी ऑपरेटर (डीएसईसी) के साथ गतिशील प्रणालियों की अवधारणा के आधार पर हल किया जा सकता है। डीएसईओ एक गतिशील प्रणाली है जिसमें एन्ट्रॉपी को अधिकतम करने के पैरामीट्रिक कार्य द्वारा nonlinearity का वर्णन किया गया है। Fairo-Moiologically dseco एक "धीमी" आत्म-प्रजनन और "तेज़" संसाधन आवंटन के साथ एक मैक्रो सिस्टम का एक मॉडल है। डीएसईओ के कुछ गुणों की जांच की गई थी। यह काम डीएसईसीओ के गुणात्मक गुणों के शोध का चक्र जारी रखता है।

वीडी-एंट्रॉपी ऑपरेटर के साथ गतिशील प्रणाली पर विचार किया जाता है:

^ \u003d £ (x, y (x)), x e

y (x) \u003d a ^ शाह (HB (Y) | TU \u003d C (X), U E ^)\u003e 0।

इन अभिव्यक्तियों में:

सी (एक्स, वाई), सी (एक्स) - निरंतर भिन्न वेक्टर कार्यों;

एन्ट्रापी

(1.2) एचबी (वाई) \u003d यूजेड 1 पी एजेड\u003e 0, एस \u003d टी ~ टी;

टी - (जी एक्स श) -माट्ज़ा तत्वों के साथ ^ 0 में आर के बराबर एक पूर्ण रैंक है;

वेक्टर फ़ंक्शन सी (एक्स) को लगातार अलग-अलग माना जाता है, सेट ^ ^^ ^ तनचेस सी एक सकारात्मक समानांतर है

(1.3) q \u003d (c: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

जहां ए- और ए + ई + के वैक्टर हैं, छोटे घटकों के साथ ए-वेक्टर का सवाल।

लैगेंज गुणक के माध्यम से एंट्रॉपी ऑपरेटर के प्रसिद्ध प्रतिनिधित्व का लाभ लेना। हम सिस्टम (1.1) को निम्न फ़ॉर्म में बदलते हैं:

- \u003d £ (एक्स, वाई (डी)), एक्स ई केपी, वाई (जी) ई?, जी ई ईगर +

Uz (d) \u003d az \\\\ ^, 3 \u003d 1,

O (x, d) \u003d tu (g) \u200b\u200b\u003d d (x),

जहां gk \u003d exp (-ak)\u003e 0 लग्रेंज का घातीय कारक है।

सामान्य दृश्य (1.1) के डीएसईओ के साथ हम दिए गए वर्गीकरण का पालन करने पर विचार करेंगे।

अलग-अलग प्रवाह के साथ डीएसईओ:

(1-5) ^ \u003d i (x) + w (g),

कहां में (पी एक्स टी) -मात्ज़ा;

बहुभाषी धारा के साथ डीएसईओ:

(1.6) ^ \u003d x ® (ए - एक्स ® शू (डी)), ओह

जहां डब्ल्यू (पी एक्स टी) -माटा गैर-नकारात्मक तत्वों के साथ, और सकारात्मक घटकों के साथ एक वेक्टर, ® - समन्वय गुणा का संकेत।

इस काम का कार्य एकवचन डीएसईसी अंक और उनकी स्थिरता के अस्तित्व, विशिष्टता और स्थानीयकरण का अध्ययन करना है।

2. एकवचन बिंदु

2.1। अस्तित्व

सिस्टम पर विचार करें (1.4)। इस गतिशील प्रणाली के एकवचन बिंदु निम्नलिखित समीकरणों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

(2.1) सी ^ (एक्स, वाई (डी)) \u003d 0, आर \u003d टीपी;

(2.2) uz (d) \u003d a ^ g ^, 3 \u003d t ^:

(2.3) वीके (डी) \u003d ^ एजेड जी ^ \u003d डीसी (एक्स), के \u003d 1, जी।

समीकरणों की पहली सहायक प्रणाली पर विचार करें:

(2.4) सी (डी, डी) \u003d जी, डी ई मैं

जहां मैंने समानता (1.3) और सी (डी, डी) - घटकों के साथ वेक्टर फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया है

(2.5) एसके (डी, डी) \u003d - ठीक (डी), ए-< дк < а+, к =1,г.

समीकरण (2.4) में प्रत्येक निश्चित वेक्टर डी के साथ एक एकल समाधान जी * होता है, जो वीडी-एंट्रॉपी ऑपरेटर (देखें) के गुणों से आता है।

वेक्टर फ़ंक्शन सी (डी, डी) के घटक की परिभाषा से एक स्पष्ट मूल्यांकन है:

(2.6) सी (ए +, डी)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

जी + और दूसरे के माध्यम से दूसरे के माध्यम से पहले समीकरण के समाधान को इंगित करें-। निर्धारित

(2.7) सी (ए +, जेड) \u003d जेड, सी (ए)

(2.8) zmax \u003d अधिकतम z +, zmin \u003d mm zk

और आर-आयामी वैक्टर

(2.9) जेड (जेडएमएक्स, जेडएमएक्स), जेड (जेडमिन, ज़ीमिन)।

लेम्मा 2.1। सभी क्यू जी क्यू (1. 3) समाधान जेड * (क्यू) समीकरणों (2.4) के संबंधित हैं, वेक्टर 1 वर्ग अनुभाग

zmin।< z*(q) < zmax,

जहां ZMIN और ZMAX वैक्टर अभिव्यक्ति (2.7) - (2.9) द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

प्रमेय का प्रमाण आवेदन में दिया गया है। क्यू क्यू।

एक्स जी आरएन के लिए क्यूके (एक्स) (1.3), फिर होता है

कोरोलरी 2.1। लेम्मा 2.1 की शर्तों को दें और क्यूके (एक्स) फ़ंक्शन विमान एक्स एक्स जी आरएन के लिए शर्तों (1.3) को संतुष्ट करता है। फिर एसईसीएच जी आरएम में, जेड * समीकरण (2.3) वेक्टर कट से संबंधित हैं

zmin।< z* < zmax

आइए अब समीकरणों (2.2) पर वापस आएं। जो वेक्टर फ़ंक्शन वाई (जेड) के घटकों को निर्धारित करता है। उसके जैकोबियन के तत्वों का दृश्य है

(2.10) जेबी एजे जेडके जे जे एंड\u003e 0

0 और डब्ल्यू के अपवाद के साथ, सभी z g r + के लिए। नतीजतन, वेक्टर फ़ंक्शन वाई (जेड) सख्ती से एकान्त हो रहा है। लेम्मा 2.1 के अनुसार, यह नीचे और ऊपर से सीमित है, यानी सभी जेड जी आरआर के लिए (नतीजतन, सभी एक्स जी आरएन के लिए), इसके मूल्य सेट के हैं

(2.11) y \u003d (y:< y < y+},

जहां वैक्टर के घटक वाईके, वाई + अभिव्यक्तियों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

(2.12) yk \u003d aj y + \u003d aj znlax, j \u003d h ™।

(2.13) बीजे \u003d वाई, टीएसजे, 3 \u003d 1,

पहले समीकरण (2.1) पर विचार करें और इसे फॉर्म में फिर से लिखें:

(2.14) एल (एक्स, वाई) \u003d 0 सभी वाई ई वाई एस ई ^ के लिए।

यह समीकरण परिवर्तनीय वाई से चर X की निर्भरता निर्धारित करता है, y-y

हम (1.4) समीकरण (2.14) द्वारा निर्धारित एक निहित समारोह एक्स (वाई) के अस्तित्व को कम कर देता है।

लेम्मा 2.2। निम्नलिखित शर्तों का पालन करें:

ए) वेक्टर फ़ंक्शन एल (एक्स, वाई) चर के सेट द्वारा निरंतर है;

b) lim l (x, y) \u003d ±<ж для любого фиксированного у е Y;

सी) एन वाई वाई वाई के किसी भी फिक्सर्स के लिए सूर्य एक्स एक्स ई के लिए डीईटी जे (एक्स, वाई) \u003d 0।

फिर एक एकल अंतर्निहित समारोह x * (y) है, इस लेम्मा जे (एक्स, वाई) - जैकोबियन तत्वों के साथ वाई पर परिभाषित किया गया है

(2.15) जी, मैं (x, y) \u003d --i, i, l \u003d l, n।

सबूत अनुलग्नक में दिया जाता है। उपरोक्त लेमास से होना चाहिए

प्रमेय 2.1। मान लीजिए कि लेमास 2.1 और 2.2 मिले हैं। फिर डीएसईसी (1.4) का एक एकल एकमात्र बिंदु है और तदनुसार, (1.1)।

2.2। स्थानीयकरण

एकवचन बिंदु के स्थानीयकरण के अध्ययन के तहत इसका मतलब अंतराल स्थापित करने की संभावना है जिसमें यह स्थित है। यह कार्य बहुत आसान नहीं है, लेकिन कुछ वर्ग डीएसईसीओ के लिए, इस तरह के अंतराल को स्थापित किया जा सकता है।

हम समीकरणों के पहले समूह (2.1) में बदल जाते हैं और उन्हें प्रस्तुत करते हैं

(2.16) l (x, y) \u003d 0, y y y y +,

जहां यू- और वाई + समानता (2.12), (2.13) द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

प्रमेय 2.2। वेक्टर फ़ंक्शन l (x, y) को लगातार भिन्न और नीरस रूप से दोनों चर के अनुसार बढ़ने दें, यानी

-\u003e 0, -\u003e 0; मैं, l \u003d 1, n; जे \u003d 1, एम। डीएक्सआई डाइज।

फिर परिवर्तनीय एक्स में सिस्टम (2.16) का समाधान xmin x xmax के अंतराल (2.17) से संबंधित है,

ए) Xmin वैक्टर, एक्सएमएक्स देखे जाते हैं

न्यूनतम \u003d I x 1 xmax \u003d r x t;

\\ Xmin :. .., xminlxmax ,. । ।, XMAX):

xmin - ^ qin ^ ■, xmax - ^ qax ^;

6) x- और x + - निम्नलिखित समीकरणों को हल करने वाले घटक

(2.1 9) एल (एक्स, वाई -) \u003d 0, एल (एक्स, वाई +) \u003d 0

ओओ एम के साथ हर है।

प्रमेय का प्रमाण आवेदन में दिया गया है।

3. डीएसईए की स्थायित्व "मालोम में"

3.1। एक अलग स्ट्रीम के साथ डीएसईओ हम एक अलग प्रवाह के साथ डीएसईओ समीकरणों में बदल जाते हैं, उन्हें प्रस्तुत करते हैं:

- \u003d / (एक्स) + बीयू (आर (एक्स)), एक्स ई केपी

Y- (g (x)) \u003d azp (x) y33, 3 \u003d 1, "~ 8 \u003d 1

0 (एक्स, जी (एक्स)) \u003d तु (आर (एक्स)) \u003d डी (एक्स), जी ई एनजी।

यहां, वेक्टर फ़ंक्शन डी (एक्स) के घटकों के मूल्य सेट क्यू (1.3), (पी एक्स डब्ल्यू) से संबंधित हैं - सैथ्रिशन बी में पी (एन) के बराबर एक पूर्ण रैंक है< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

सिस्टम को एक विलक्षण बिंदु डब्ल्यू पर विचार करने दें। इस एकवचन बिंदु की स्थिरता का अध्ययन करने के लिए! "माल में" हम एक रैखिक प्रणाली का निर्माण करेंगे

जहां ए - (पी एक्स एन) -मात््हा, जिनमें से तत्व जी के बिंदु पर गणना की जाती हैं, और वेक्टर £ \u003d x - डब्ल्यू। (3.1) में पहले समीकरण के अनुसार, रैखिक प्रणाली के मैट्रिक्स में है

ए \u003d 7 (x) + बग (जी) उनके (x), x \u003d g (x),

| 3 \u003d 1, श, के \u003d 1,

मैं k \u003d 1, g, i \u003d 1, n

(3.1) से, यूजी मैट्रिक्स के तत्व निर्धारित किए जाते हैं: डीयू।

"Lkz p" 8 \u003d 1

3, जी 8 x8, 5 1, जी।

मैट्रिक्स जेएक्स के तत्वों को निर्धारित करने के लिए, हम समीकरणों के अंतिम समूह (3.1) में बदल जाते हैं। यह दिखाया गया है कि ये समीकरण आर (एक्स) के अंतर्निहित वेक्टर फ़ंक्शन को निर्धारित करते हैं, जो लगातार अलग-अलग है यदि वेक्टर फ़ंक्शन डी (एक्स) लगातार भिन्नतापूर्ण है। जैकोबियन जेडएक्स वेक्टर फ़ंक्शन आर (एक्स) समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

वीजी (एक्स) \u003d टी यूजी (एक्स),

डीडीके, -टी-, - "- के \u003d 1, जी, i \u003d 1, n dh \\

इस समीकरण से, हमारे पास (3.9) zx (x) \u003d b - 1 (z) qx (x) है।

समानता (3.3) में इस परिणाम को प्रतिस्थापित करना। हम पाते हैं:

ए \u003d 1 (एक्स) + पी (एक्स), पी (एक्स) \u003d वीयूजी (जी) [टग (जी)] - 1 क्यूएक्स (एक्स)।

इस प्रकार, एक रैखिक प्रणाली का समीकरण दृश्य प्राप्त करता है

(Z.i) | \u003d (जे + पी) ई

यहां, मैट्रिस जे के तत्वों की गणना एकवचन बिंदु में की जाती है। स्थिरता के लिए पर्याप्त शर्तें "छोटे" डीएसईसी (3.1) निम्नलिखित निर्धारित करती हैं

प्रमेय 3.1। डीएसईओ (3.1) में एक स्थिर "छोटा" एकवचन बिंदु एक्स है यदि निम्न स्थितियों का प्रदर्शन किया जाता है:

ए) रैखिक प्रणाली (3.11) के मैट्रिक्स जे, पी (3.10) में वास्तविक और विभिन्न eigenvalues \u200b\u200bहैं, और मैट्रिक्स जे में अधिकतम उचित संख्या है

Ptah \u003d अधिकतम pg\u003e 0,

WMAX \u003d MAX UI< 0;

Umax + ptah<

इस प्रमेय और समानता (3.10) से यह इस प्रकार है कि एकवचन बिंदुओं के लिए जिनके लिए QX (x) \u003d 0 और (या) x, \u003d 0 और (या (या) के लिए x, \u003d 0 के लिए, प्रमेय की पर्याप्त शर्तें नहीं हैं प्रदर्शन किया।

3.2। एक बहुभाषी धारा के साथ dsreo निष्कर्षण (1.6) पर विचार करें। फॉर्म में उनका प्रतिनिधित्व:

एक्स ® (ए - एक्स ® वाई (जेड (एक्स))), एक्स ई आरएन;

yJ (z (x)) \u003d AJ PZS (X)] ISI "J \u003d 1, M;

(Zl2) yj (z (x)) \u003d a ^<~"ts

क्यू (एक्स, जेड (एक्स)) \u003d टीवाई (जेड (एक्स)) \u003d क्यू (एक्स), जेड ई आर ++।

सिस्टम। होगा:

(3.13) ए \u003d ^ [सेमी] - 2xxh (g ^ x (x)।

इस अभिव्यक्ति में, डायग सी] सकारात्मक तत्व ए 1 के साथ एक विकर्ण मैट्रिक्स है, ..., एयू, यूजी, जेएक्स - मैट्रिस, समानता (3.4) द्वारा परिभाषित (3.7)।

फॉर्म में मैट्रिक्स ए की कल्पना करें

(3.14) ए \u003d डायग + पी (एक्स),

(3.15) पी (एक्स) \u003d -2xwyz (z) zx (x)।

निरूपित: मैक्सी एआई \u003d एनएमएक्स और डब्लूएमएक्स - मुख्य रूप से अपने स्वयं के मैट्रिक्स पी (एक्स) (3.15)। फिर प्रमेय 3.1 डीएसईसी (1.6) के लिए भी मान्य है। (3.12)।

4. डीएसईओ की स्थिरता "बिग"

आइए देसो समीकरणों (1.4) को चालू करें, जिसमें वेक्टर फ़ंक्शन q (x) के घटक के मान सेट क्यू (1.3) से संबंधित हैं। विचाराधीन प्रणाली में, एक एकवचन बिंदु जेड है, जो वैक्टर Z (x) \u003d z ^ z-\u003e 0 और के अनुरूप है

y (x) \u003d y (z) \u003d y\u003e y-\u003e 0।

हम एकवचन बिंदु से विचलन वैक्टर £, सी, एन पेश करते हैं: (4.1) £ \u003d x - x, (\u003d y - y, n \u003d z - z।

A. Pokrovsky A.V. 2009