2.2। स्ट्रीम वेक्टर तीव्रता

2.3। Ostrogradsky-Gaussian प्रमेय

2.4। Ostrogradsky-Gaussian प्रमेय का आवेदन विद्युत क्षेत्रों की गणना के लिए

1. एक अंतहीन समान रूप से चार्ज किए गए विमान का क्षेत्र

2. दो समान रूप से चार्ज विमानों का क्षेत्र

3. एक चार्ज अंतहीन सिलेंडर का क्षेत्र (थ्रेड)

4. एक ही रैखिक चार्ज घनत्व के साथ दो समाक्षीय सिलेंडरों का क्षेत्र, लेकिन अलग संकेत

5. चार्ज खोखले गेंद का क्षेत्र

6. एक वॉल्यूम चार्ज गेंद का क्षेत्र

2.5। Ostrogradsky-Gaussian प्रमेय का विभेदक रूप

2.1। इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की पावर लाइनें

इलेक्ट्रोस्टैटिक फ़ील्ड को प्रत्येक बिंदु को वेक्टर की परिमाण और दिशा निर्दिष्ट करके निर्दिष्ट किया जा सकता है । इन वैक्टरों का संयोजन इलेक्ट्रोस्टैटिक फील्ड ताकत वेक्टर का एक क्षेत्र बनाता है। तनाव वेक्टर के साथ एक इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की ग्राफिक छवि क्षेत्र में विभिन्न बिंदुओं पर बहुत असहज। तनाव वैक्टर एक दूसरे पर अतिरंजित होते हैं, और यह एक बहुत भ्रमित तस्वीर बन जाता है। इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्रों की छवियों के एम फैराडे द्वारा प्रस्तावित विधि अधिक दृश्य है स्लेस्ट लाइन्स तनाव। तनाव की पावर लाइन्स लाइनें हैं जो प्रत्येक बिंदु पर वेक्टर की दिशा के साथ मेल खाते हैं . तनाव लाइनों को वेक्टर के रूप में निर्देशित किया जाता है विचाराधीन बिंदु में फ़ील्ड। उदाहरण के लिए, बाएं से दाएं से निर्देशित तनाव की रेखा के चित्र 2 में। तनाव रेखाएँ छेड़छाड़ नहीं करती हैं, क्योंकि क्षेत्र के हर बिंदु पर। वेक्टर इसकी केवल एक निर्दिष्ट दिशा है। तनाव शुरू होता है सकारात्मक आरोप और नकारात्मक पर अंत। रेखाओं की रेखाएं चुनी जाती हैं ताकि तीव्रता रेखाओं के लिए लंबवत सतह की इकाई में प्रवेश करने वाली रेखाओं की संख्या वेक्टर के संख्यात्मक मॉड्यूल के बराबर थी . फिर, तनाव रेखाओं की तस्वीर पर, आप वेक्टर की दिशा और मूल्य का न्याय कर सकते हैं अंतरिक्ष के विभिन्न बिंदुओं पर (चित्र 2.1)।

UNIFORM इलेक्ट्रोस्टैटिक फ़ील्ड को सभी बिंदुओं में कहा जाता है, जिनमें से तीव्रता आकार और दिशा में समान होती है,वे।

एक सजातीय इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र समानांतर बिजली लाइनों द्वारा एक दूसरे से बराबर दूरी पर चित्रित किया गया है (उदाहरण के लिए, संधारित्र प्लेटों के बीच) उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए)।

एक बिंदु प्रभार के मामले में, तनाव रेखाएं सकारात्मक चार्ज से आगे बढ़ती हैं और अनंत में जाती हैं; और अनंतता से नकारात्मक चार्ज में शामिल थे। चूंकि

वह और बिजली लाइनों की मोटाई चार्ज से दूरी के वर्ग के विपरीत आनुपातिक है। हालांकि, क्षेत्र के सतह क्षेत्र जिसके माध्यम से ये रेखाएं खुद को दूरी के वर्ग के अनुपात में गुजरती हैं, इसलिए कुल गणना चार्ज से किसी भी दूरी पर लाइनें स्थिर रहती हैं।

प्रभारी प्रणाली के लिए, जैसा कि हम देखते हैं, बिजली लाइनों को सकारात्मक चार्ज से नकारात्मक (चित्रा 2.2) तक निर्देशित किया जाता है।

चित्रा 2.2।

चित्रा 2.3 शो, बस बिजली लाइनों की मोटाई परिमाण के संकेतक के रूप में काम कर सकती है .

पावर लाइनों की मोटाई ऐसी होनी चाहिए कि एकल प्लेटफॉर्म, तनाव वेक्टर के लिए सामान्य इस तरह के अपने नंबर को पार किया, जो तनाव वेक्टर के मॉड्यूलस के बराबर है।

उदाहरण 1: यदि चित्रा 2.3 में, मंच को हाइलाइट करें,

फिर चित्रित क्षेत्र की तीव्रता के बराबर होगा

चित्र 2.3

उदाहरण 2: खेल का मैदान

एक सजातीय क्षेत्र में स्थित है

यदि कोण 30º (चित्रा 2.4) है तो कितनी पंक्तियां इस मंच को पार करती हैं।

हम चार्ज सकारात्मक मानेंगे। विमान को निरंतर सतह घनत्व के साथ चार्ज किया जाता है। समरूपता का तात्पर्य है कि क्षेत्र के किसी भी बिंदु पर तनाव में विमान के लिए लंबवत दिशा है (चित्र 2.10)। जाहिर है, सममित अपेक्षाकृत विमान बिंदुओं में, क्षेत्र की क्षेत्र की ताकत आकार में बराबर है और दिशा में विपरीत है।

हम चार्ज प्लेटर पर हाइलाइट करते हैं। एक बंद सतह के साथ इस मंच के आसपास। एक बंद सतह के रूप में, वे एक बेलनाकार सतह पेश करने के साथ एक बेलनाकार सतह पेश करेंगे, विमान के लिए लंबवत और परिमाण के आधार, सममित रूप से विमान के सापेक्ष स्थित है। इस सतह प्रमेय गॉस पर लागू करें । सतह के किनारे के माध्यम से प्रवाह अनुपस्थित होगा, क्योंकि प्रत्येक बिंदु शून्य है। आधार के साथ मेल खाता है। नतीजतन, सतह के माध्यम से कुल प्रवाह बराबर होगा। सतह के अंदर एक चार्ज है। गॉस प्रमेय के अनुसार, एक शर्त की जानी चाहिए: कहाँ से। (3)

प्राप्त परिणाम सिलेंडर की लंबाई पर निर्भर नहीं है, यानी विमान से किसी भी दूरी पर, क्षेत्र की ताकत आकार में समान है। तनाव रेखाओं की तस्वीर अंजीर में दिखायी जाती है। 2.11। एक नकारात्मक चार्ज किए गए विमान के लिए, वैक्टर की दिशा उलटा में बदल जाएगी। यदि अंतिम आकार का विमान, परिणाम प्राप्त केवल उन बिंदुओं के लिए मान्य होगा जिनकी प्लेट के किनारे से दूरी प्लेट से दूरी से काफी अधिक है (चित्र 2.12)।

गणना बिजली क्षेत्र कई मामलों में, प्रमेय का उपयोग, जिसे एमवी ओड्रोग्राड्स्की द्वारा स्थापित किया गया था, कुछ सामान्य गणितीय प्रमेय और गॉस के रूप में - एक बंद गेंद सतह के माध्यम से एक बिंदु प्रभार द्वारा बनाए गए विद्युत क्षेत्र के मामले के संदर्भ में।

त्रिज्या क्षेत्र की सतह पर तनाव के वेक्टर के प्रक्षेपण का मूल्य आर:

किसी भी बंद सतह के माध्यम से वेक्टर की धारा को व्यक्त करें। यह आ रही बिजली लाइनों की संख्या के बराबर है, यानी चार्ज शुरू करना।

अब मान लें कि एक बंद सतह के अंदर हैं एन हाजिर प्रभार प्र 1 , प्र 2 , …, क्यू एन। सुपरपोजिशन के सिद्धांत के आधार पर :.

यदि तनाव की रेखा सतह को एक से अधिक बार पार करती है, और कई, तो विषम संख्या सुनिश्चित करें, ताकि अभिन्न अंग में इसे केवल एक बार ध्यान में रखा जाएगा, और अभिव्यक्ति इस मामले के लिए बल रखेगी। इस प्रकार, इलेक्ट्रोस्टैटिक्स के लिए ostrogradsky-Gaussian प्रमेयनिम्नानुसार तैयार: एक बंद सतह के माध्यम से बिजली के क्षेत्र की ताकत का प्रवाह द्वारा विभाजित आरोपों की इस सतह के अंदर कैदियों की बीजगणितीय मात्रा के बराबर होता है ε 0 .

विशिष्ट क्षेत्रों की गणना के लिए OSTROGRADSKY-GAUSS प्रमेय लागू करें:

लेकिन अ) बिजली क्षेत्रएक अंतहीन समान रूप से चार्ज किए गए विमान द्वारा उत्पन्न

रहने दो सतह घनत्व चार्ज। एक बंद सतह के रूप में, जिसके माध्यम से हम विद्युत क्षेत्र की विद्युत क्षेत्र की ताकत की धारा की परिमाण की गणना करते हैं, हम आकृति में दिखाए गए एक बेलनाकार सतह का चयन करते हैं।

समरूपता के विचार से (विद्युत क्षेत्र में एक फ्लैट समरूपता है) का तात्पर्य है कि किसी भी बिंदु पर क्षेत्र की ताकत में विमान के लिए लंबवत दिशा है। जाहिर है, अंक पर तनाव मॉड्यूल, विमान के सांप्रदायिक सापेक्ष समान है: इ।" = इ।" =इ।। बाहरी सामान्य की दिशा लंबवत चार्ज की सतह है।

गॉस प्रमेय के अनुसार :. ध्यान में रखते हुए हमें क्या मिलता है :. इलेक्ट्रिक फील्ड की ताकत विमान से किसी भी दूरी पर समान है।

बी) दो अंतहीन चार्ज विमानों द्वारा निर्मित विद्युत क्षेत्र

प्रत्येक सतह पर सतही चार्ज घनत्व दें। बहु-आयामी चार्ज अंतहीन विमान-समांतर प्लेटों के मामले में, जैसा कि आकृति से देखा जा सकता है, एक असीमित चार्ज किए गए विमान () द्वारा बनाई गई विद्युत क्षेत्र की शक्ति के लिए अभिव्यक्ति को ध्यान में रखते हुए।

प्लेटों के बीच की जगह के लिए; प्लेटों के पीछे की जगह के लिए (बाईं ओर बाईं ओर और दाएं प्लेट के दाईं ओर)।

उसी नाम के मामले में अंतहीन विमान-समांतर प्लेटों का शुल्क लिया गया,

प्लेटों के पीछे की जगह के लिए, ड्राइंग से देखा जा सकता है; प्लेटों के बीच की जगह के लिए।

सी) एक अनंत चार्ज सिलेंडर का विद्युत क्षेत्र

आर - बेलनाकार सतह की त्रिज्या। एक बंद सतह के रूप में, जिसके माध्यम से हम विद्युत क्षेत्र की विद्युत क्षेत्र की ताकत की धारा की परिमाण की गणना करते हैं, हम आकृति में दिखाए गए एक बेलनाकार सतह का चयन करते हैं। समरूपता के विचारों के लिए (विद्युत क्षेत्र में अक्षीय समरूपता है), विद्युत क्षेत्र की ताकत को बंद बेलनाकार सतह की तरफ की सतह के लिए लंबवत निर्देशित किया जाता है। दिशा में सिलेंडर की तरफ की सतह के बाहरी सामान्य की दिशा रेडियल है :. कहाँ से। विचार के साथ ई \u003d ई। एन हमारे पास है: कब; कब अ; पर।

या ओस्ट्रोग्राडस्की-गॉस प्रमेय लिखकर एक रैखिक घनत्व डालने। जहां हम बिजली क्षेत्र की ताकत की परिमाण निर्धारित करने के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं: अंतरिक्ष के विभिन्न क्षेत्रों के लिए, हमारे पास है: के लिए (इस क्षेत्र के अंदर विद्युत शुल्क अनुपस्थित) :; के लिये:; के लिये:।

डी) चार्ज गोलाकार सतह का क्षेत्र

चार्ज की सतही घनत्व दें, आर - एक गोलाकार सतह की त्रिज्या। एक बंद सतह के रूप में, जिसके माध्यम से विद्युत क्षेत्र की ताकत की धारा की परिमाण की गणना की जाती है, एक गोलाकार सतह का चयन करें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। समरूपता के विचारों के लिए (विद्युत क्षेत्र में केंद्रीय समरूपता है) विद्युत क्षेत्र का तनाव गोलाकार सतह के लिए लंबवत निर्देशित किया जाता है। दिशा में गोलाकार सतह के लिए बाहरी सामान्य की दिशा रेडियल है। ओस्ट्रोग्राडस्की-गॉस प्रमेय का उपयोग करके, हमें मिलता है:; । विचार के साथ ई \u003d ई। एन , हमारे पास है: क्योंकि (बिजली के आरोपों के क्षेत्र में अनुपस्थित हैं); के लिये; के लिये :।

जब चार्ज मूल्य ज्ञात होता है तो हम मामले में विद्युत क्षेत्र की ताकत के लिए एक अभिव्यक्ति भी प्राप्त करते हैं प्र एक गोलाकार सतह पर। ओस्ट्रोग्राडस्की-गॉस प्रमेय का उपयोग निम्नलिखित परिणाम देता है :. कहाँ से। विचार के साथ ई \u003d ई। एन , हमारे पास है: क्योंकि (बिजली के आरोपों के क्षेत्र में अनुपस्थित हैं); के लिये:; के लिये:। । विचार करते हुए, परिणामी अभिव्यक्ति को परिवर्तित किया जा सकता है :. विचार के साथ ई \u003d ई। एन हमारे पास है :।