Daudziem uzdevumiem ir jāaprēķina maksimālā vai minimālā kvadrātiskā funkcija. Maksimālais vai minimālais var atrast, ja avota funkcija tiek ierakstīta standarta veidlapā: vai ar Vertex Parabolas koordinātām: f (x) \u003d a (x - h) 2 + k (r displaystyle f (x) \u003d a (x - h) ^ (2) + k). Turklāt maksimālo vai minimālo jebkuru kvadrātisko funkciju var aprēķināt, izmantojot matemātiskās operācijas.
Soļi
Quadratic funkcija tiek ierakstīta standarta formā
- Koeficientu funkcijā a \u003d 1 (displystyle a \u003d 1) un B \u003d 10 (displaystyle b \u003d 10)
- Kā otrs piemērs, apsveriet funkciju. Šeit A \u003d - 3 (displaystyle a \u003d -3) un B \u003d 6 (displystyle b \u003d 6). Tāpēc "X" koordinē Parabolas virsotnē to aprēķinās:
-
Atrodiet atbilstošo vērtību F (x). Apgrieziet atrasto vērtību "X" avota funkcijā, lai atrastu atbilstošo vērtību F (x). Tātad jūs atradīsiet minimālo vai maksimālo funkciju.
- Pirmajā piemērā F (x) \u003d x 2 + 10 x - 1 (displejā f (x) \u003d x ^ (2) + 10x-1) Jūs esat aprēķinājis, ka Pearabol Parabol koordinātu "X" ir vienāda ar X \u003d - 5 (dïsmstyle x \u003d -5). Vietā sākotnējā funkcijā X (r displaystyle x) Likt - 5 (displaystyle -5)
- Otrajā piemērā f (x) \u003d - 3 x 2 + 6 x - 4 (r displaystyle f (x) \u003d - 3x ^ (2) + 6x-4) Jūs konstatējāt, ka Parabola augšdaļas koordinātes "X" ir vienāda ar x \u003d 1 (rādaystyle x \u003d 1). Vietā sākotnējā funkcijā X (r displaystyle x) Likt 1 (DisplayStyle 1)Lai atrastu maksimālo vērtību:
-
Pierakstiet atbildi. Atkārtoti izlasiet uzdevuma stāvokli. Ja jums ir nepieciešams atrast koordinātas parabola, reaģējot, rakstiet abas vērtības X (r displaystyle x) un Y (displentstyle y) (vai. \\ t f (x) (displystyle f (x))). Ja jums ir nepieciešams, lai aprēķinātu maksimālo vai minimālo funkciju, atbildot, pierakstiet tikai vērtību Y (displentstyle y) (vai. \\ t f (x) (displystyle f (x))). Vēlreiz, aplūkojiet koeficienta zīmi A (a displaystyle a)Lai pārliecinātos, ka esat aprēķinājis: maksimāli vai minimāli.
Quadratic funkcija tiek ierakstīta caur Vertex Parabolas koordinātām
-
Ierakstiet kvadrātisko funkciju, izmantojot Parabolas virsotnes koordinātas. Šāds vienādojums ir šāds:
Noteikt Parabola virzienu. Lai to izdarītu, apskatiet koeficientu zīmi A (a displaystyle a). Ja koeficients A (a displaystyle a) Pozitīvs, Parabola ir vērsta uz augšu. Ja koeficients A (a displaystyle a) Negatīvs, Parabola ir vērsta uz leju. Piemēram:
Atrast minimālo vai maksimālo funkciju vērtību. Ja funkcija tiek ierakstīta, izmantojot Pearabela virsotnes koordinātas, minimālo vai maksimālo vienādu vērtību ar koeficienta vērtību K (displejā k). Iepriekš minētajos piemēros:
Atrodiet Pearabela virsotņu koordinātas. Ja uzdevums ir jāatrod Parabola augšdaļa, tās koordinātas ir vienādas (H, k) (displaystyle (h, k)). Piezīme. Ja kvadrātiskā funkcija tiek ierakstīta, izmantojot Pearabela virsotnes koordinātas, atņemšanas operācija ir jāiekļauj iekavās. (X - h) (displaystyle (x - h))Tāpēc vērtība ir vērtība H (displaystyle h) Aizņem pretējo zīmi.
Kā aprēķināt minimālo vai maksimālo ar matemātisko darbību palīdzību
Vispirms apsveriet standarta vienādojuma veidu. Ierakstiet kvadrātisko funkciju standarta veidlapā: F (x) \u003d a x 2 + b x + c (r displaystyle f (x) \u003d AX ^ (2) + bx + c). Ja nepieciešams, dod līdzīgus locekļus un pārkārtot tos, lai iegūtu standarta vienādojumu.
Atrast pirmo atvasinājumu. Pirmais atvasinājums par kvadrātisko funkciju, kas tiek reģistrēta standarta formā, ir vienāda ar f '(x) \u003d 2 a x + b (r displaystyle f ^ (\\ t) (x) \u003d 2ax + b).
Atvasinājums līdzvērtīgam nullei. Atgādināt, ka atvasinātā funkcija ir vienāda ar leņķa koeficientu funkcijas noteiktā punktā. Minimālajā vai maksimālā gadījumā leņķa koeficients ir nulle. Tāpēc, lai atrastu minimālo vai maksimālo funkciju vērtību, atvasinājumam jābūt vienādam ar nulli. Mūsu piemērā:
-
Pierakstiet funkciju standarta veidlapā. Quadratic funkcija ir funkcija, kura vienādojums ietver mainīgo x 2 (rādaystyle x ^ (2)). Vienādojums var ietvert vai neietver mainīgo. X (r displaystyle x). Ja vienādojums ietver mainīgo ar rādītāju vairāk nekā 2, tas neparaksta kvadrātisko funkciju. Ja nepieciešams, piesaistiet līdzīgus locekļus un aizpildiet tos, lai ierakstītu funkciju standarta veidlapā.
Quadratic funkcijas diagramma ir parabola. Parabola filiāles ir vērstas uz augšu vai uz leju. Ja koeficients A (a displaystyle a) Ar mainīgo x 2 (rādaystyle x ^ (2)) A (a displaystyle a)
Aprēķināt -b / 2a. Vērtība - B 2 A (DisplayStyle - (FRAC (B) (2a)))) - Tas ir koordinātas X (r displaystyle x) Parabola virsotnes. Ja kvadrātiskā funkcija tiek ierakstīta standarta veidlapā x 2 + b x + c (displejā ax ^ (2) + bx + c), izmantojiet koeficientus, kad X (r displaystyle x) un x 2 (rādaystyle x ^ (2)) Šādā veidā:
Quadratic funkciju sauc par formas funkciju:
y \u003d a * (x ^ 2) + b * x + c,
kur a ir koeficients ar nezināmu x augstāko līmeni,
b - koeficients nezināmā x, \\ t
un ar - brīvu locekli.
Quadratic funkcijas grafiks ir līkne, ko sauc parabola. Parabola vispārējais skats ir parādīts zemāk redzamajā attēlā.
11. attēls. Parabola vispārējais skats.
Ir vairāki dažādi veidi, kā veidot kvadrātiskās funkcijas diagrammu. Mēs apskatīsim galveno un visbiežāk vienu.
Algoritms, lai izveidotu kvadrātiskās funkcijas grafiku y \u003d a * (x ^ 2) + b * x + c
1. Veidojiet koordinātu sistēmu, ņemiet vērā vienu segmentu un parakstiet koordinātu asis.
2. Nosakiet Parabolas zaru virzienu (uz augšu vai uz leju).
Lai to izdarītu, jums ir jāaplūko koeficienta a. Ja plus - filiāles ir vērstas uz augšu, ja filiāles tiek nosūtītas uz leju.
3. Nosakiet Parabola augšdaļas koordinātu.
Lai to izdarītu, jums ir nepieciešams izmantot formulu hverhins \u003d -b / 2 * a.
4. Nosakiet koordinātu parabola augšpusē.
Lai to izdarītu, aizvietojiet ārvalstnieku \u003d A * (X ^ 2) + B * X + C vienādojumu X vietā, kas atrodams iepriekšējā posmā Hvershina vērtībā.
5. Uzklājiet iegūto punktu uz diagrammas un iztērējiet simetrijas asi caur to, paralēli OU koordinātu asij.
6. Atrodiet grafika krustpunktus ar asi OH.
Lai to izdarītu, atrisiniet kvadrātveida vienādojumu A * (x ^ 2) + b * x + c \u003d 0 viens no slavenām metodes. Ja vienādojumam nav reālu sakņu, tad funkciju grafiks nepārkāpj asi oh.
7. Atrodiet grafikas krustpunkta koordinātas ar OU asi.
Lai to izdarītu, mēs aizvietojam vērtību x \u003d 0, lai vienādotu un aprēķinātu Y vērtību. Mēs atzīmējam šo un simetrisko punktu diagrammā.
8. Mēs atrodam patvaļīgas A punkta koordinātas (x, y)
Lai to izdarītu, izvēlieties koordinātu X patvaļīgo vērtību, un mēs to aizvietojam mūsu vienādojumā. Mēs iegūstam vērtību šajā brīdī. Piemērot punktu uz grafiku. Un arī atzīmējiet diagrammas punktu, simetriskais punkts A (x, y).
9. Pievienojiet saņemtos punktus gludā līnijas diagrammā un turpiniet galējo punktu grafiku līdz koordinātu ass beigām. Pierakstiet grafiku vai nu izsaukumā, vai arī, ja vieta atrodas pa grafiku.
Grafikas veidošanas piemērs
Piemēram, mēs izveidojam kvadrātisko funkciju, ko piešķir vienādojums Y \u003d X ^ 2 + 4 * X-1
1. Mēs izdarām koordinātu asis, mēs parakstām tos un atzīmējiet vienu segmentu.
2. Koeficientu vērtības a \u003d 1, b \u003d 4, c \u003d -1. Kopš \u003d 1, ka vairāk nulles filiāle Parabola ir vērsta uz augšu.
3. Nosakiet hdrersshina parabola \u003d -b / 2 * A \u003d -4 / 2 * 1 \u003d -2.
4. Nosakiet koordinātu parabola augšpusē
Aerosols \u003d A * (x ^ 2) + b * x + c \u003d 1 * ((- 2) ^ 2) + 4 * (- 2) - 1 \u003d -5.
5. Mēs atzīmējam virsotni un veiciet simetrijas asi.
6. Mēs atrodam kvadrātiskās funkcijas grafika krustojuma punktu ar asi oh. Mēs atrisināt kvadrātveida vienādojumu x ^ 2 + 4 * x-1 \u003d 0.
x1 \u003d -2-√3 x2 \u003d -2 + √3. Mēs atzīmējam diagrammas iegūtās vērtības.
7. Mēs atrodam grafika krustojuma punktu ar Ou asi.
x \u003d 0; y \u003d -1.
8. Izvēlieties patvaļīgu B punktu, ļaujiet tai ir koordinātu X \u003d 1.
Tad y \u003d (1) ^ 2 + 4 * (1) -1 \u003d 4.
9. Mēs savienojam saņemtos punktus un abonējiet grafiku.
Jūsu privātuma atbilstība mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši konfidencialitātes politiku, kas apraksta, kā mēs izmantojam un glabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu konfidencialitātes politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.
Personiskās informācijas vākšana un izmantošana
Saskaņā ar personisko informāciju attiecas dati, kurus var izmantot, lai identificētu noteiktu personu vai sazinoties ar to.
Jūs varat pieprasīt sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad izveidojat savienojumu ar mums.
Zemāk ir daži piemēri par personiskās informācijas veidiem, ko mēs varam savākt, un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.
Kādu personisko informāciju mēs apkopojam:
- Atstājot pieteikumu vietnē, mēs varam savākt dažādas informācijas, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.
Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:
- Mēs apkopojām personisko informāciju, mēs varam sazināties ar jums un ziņot par unikāliem priekšlikumiem, akcijām un citiem notikumiem un tuvākajiem notikumiem.
- Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un ziņojumus.
- Mēs varam izmantot arī personalizētu informāciju iekšējiem nolūkiem, piemēram, revīzijas, datu analīzes un dažādiem pētījumiem, lai uzlabotu mūsu pakalpojumu pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus mūsu pakalpojumiem.
- Ja jūs piedalīsieties balvās, konkursā vai līdzīgos stimulējošos pasākumos, mēs varam izmantot informāciju, ko jūs sniedzat, lai pārvaldītu šādas programmas.
Informācijas izpaušana trešajām personām
Mēs neatklāj informāciju, kas saņemta no jums uz trešām personām.
Izņēmumi:
- Ja tas ir nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas procedūru, tiesas procesā un / vai pamatojoties uz publiskiem vaicājumiem vai valsts iestāžu pieprasījumiem Krievijas Federācijas teritorijā - lai atklātu savu personisko informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja mēs definējam, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai atbilstoša drošības nolūkā, uzturot likumu un kārtību vai citus sociāli svarīgus gadījumus.
- Reorganizācijas, apvienošanās vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot personisko informāciju, ko mēs savācam atbilstošajai trešajai personai - pēctecis.
Personiskās informācijas aizsardzība
Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus - lai aizsargātu savu personisko informāciju no zaudējumiem, zādzībām un negodīgiem lietojumiem, kā arī no nesankcionētas piekļuves, informācijas izpaušanas, izmaiņām un iznīcināšanu.
Atbilstība jūsu privātumam uzņēmuma līmenī
Lai pārliecinātos, ka jūsu personiskā informācija ir droša, mēs nodrošinām konfidencialitātes un drošības normu mūsu darbiniekiem un stingri ievērot konfidencialitātes pasākumu izpildi.
XIII reģionālais jauniešu zinātniskais forums
"Ieiet nākotnē - 2010"
Pētniecība
Quadratic iezīme: tās pētījums un grafika būvniecība.
Mou "Shipacovskaya Main
vispārizglītojošā skola "
Leader:
Matemātiskais skolotājs
Mou "Shipacovskaya Main
vispārizglītojošā skola "
Krievijas Federācija
2010
Īss kopsavilkums
Šajā pētījumā, pieņemams forma satur materiālus par kvadrātisko funkciju, tās īpašības.
Tika uzcelta dažādu struktūru kvadrātu funkciju grafiki. Pamatojoties uz datiem, tiek apkopots studiju algoritms.
Tiek prezentēti divi veidi, kā veidot grafikus. Definēja tā algoritmu veidošanas grafikiem.
Rakstot pētniecības darbs Izmantotie publicētie materiāli, uzlaboti grafi, uzcelta dažādas diagrammas. Es vadīju savu pētījumu pēdējo mācību gadu laikā.
Quadratic funkcija: tās studijas un grafika
Krievija, Tyumen reģions, Yurginsky rajons, p. Shipacovo,
SM "Schipakovskaya galvenā komunikācijas skola", 9. klases students.
anotācija
Darba mērķis:Ekstradatiskās funkcijas īpašību izpēte, grafiku atrašanās vietas iezīmes koordinātu plaknē, algoritmu izpēte koordinātu plaknes grafiku veidošanai.
Uzdevumi:
Izpētiet kvadrātiskās funkcijas īpašības. Lai noteiktu, kāda ir šo funkciju grafiku atrašanās vieta koordinātu plaknē. Pārbaudiet kvadrātiskās funkcijas veidošanas algoritmus. Uzziniet, kā ātri un pareizi veidot kvadrātiskās funkcijas uz koordinātu plaknē.
Darba metodes un paņēmieni:
Izpētīt kvadrātisko funkciju grafiku, speciālās literatūras apguves, meklēt informāciju internetā, veidojot kvadrātiskās funkcijas, izmantojot uzlaboto grafikas programmu.
Iegūtie dati:
Quadratic funkciju grafiku atrašanās vieta ir atkarīga no A, B, C vērtības, diskriminējoša. Jūs varat izveidot šīs funkcijas grafiku divos veidos: pa punktiem, papildu koordinātu sistēmā, izvēloties pilnu kvadrātu.
Secinājumi:
1.Ja a \u003d 1, tad kvadrātiskās funkcijas grafiks ir grafiks y \u003d x2, kas pārsūta paralēli asij no augšas pie punkta (- ;-).
2.Ja a\u003e 0, tad Parabola filiāles ir vērstas uz augšu. Ja.<0, то ветви параболы направлены вниз.
3. Visai kvadrātisko funkciju grafikai ir simetrijas ass, kas iet cauri parabola virsotnei, paralēli asij y vai būt.
4. Izpētīt grafikus, pietiek ar vērtību A vērtību, virsotņu koordinātas un krustojuma punktus ar X asi.
5.Ja a \u003d 1, virsotņu koordinātas ir veseli skaitļi, tas ir ērtāk veidot grafiku, izmantojot koordinātu palīgierīci. Ja nē, tad izveidojiet grafiku pa punktiem.
Quadratic funkcija: tās studijas un grafika
Krievija, Tyumen reģions, Yurginsky rajons, p. Shipacovo,
SM "Schipakovskaya galvenā komunikācijas skola", 9. klases students.
Pētniecības raksts
Quadratic funkcija To sauc par funkciju, kas var iestatīt formulu
y \u003d.aX² + bx +.c.kur a.≠0.
Es nolēmu veidot dažādus kvadrātisko funkciju grafikus, izmantojot uzlaboto grafikas programmu un izpētīt tos. Pagāja patvaļīgas kvadrātisko funkciju formulas, dažādas struktūras (kvadrātisko funkciju formulas atšķiras viens no otra ar vērtībām A, B, C). Salīdzināja Parabolla konstruēto grafiku virsotņu koordinātas un aprēķina pēc formulas (- ; -). Un arī konstatēja diskriminācijas vērtības.
1. Quadratic Funkcija: Y \u003d x2 (Elementārā kvadrātiskā funkcija: a \u003d 1, b \u003d 0, c \u003d 0). (1. pielikums)
b \u003d 0, c \u003d 0
2. Quadratic funkcija: Y \u003d 3x2 (A\u003e 0, B \u003d 0, C \u003d 0) (2. papildinājums)
3. Quadratic funkcija: Y \u003d -3x2 (un<0, b=0, с=0) (Приложение 3)
4. Quadratic Funkcija: Y \u003d x2 (0<а <1, b=0, с=0) (Приложение 4)
5. Quadratic Funkcija: Y \u003d -x2 (0\u003e A\u003e 1, B \u003d 0, C \u003d 0) (5. papildinājums)
Kvadrātisko funkciju grafiki, kas a\u003e 0,b \u003d 0.
6. Quadratic funkcija: Y \u003d X2 + 4 (A \u003d 1, B \u003d 0, C\u003e 0) (6. papildinājums)
7. Quadratic Funkcija: Y \u003d x2-4 (a \u003d 1, b \u003d 0, ar<0) (Приложение 7)
8. Quadratic Funkcija: Y \u003d 2x2 + 4 (A\u003e 1, B \u003d 0, C\u003e 0) (8. papildinājums)
9. Quadratic Funkcija: Y \u003d 2x2-4 (A\u003e 1, B \u003d 0, ar<0) (Приложение 9)
10. Quadratic Funkcija: Y \u003d X2 + 4 (0<а<1, b=0, с>0) (10. pielikums)
11. Quadratic funkcija: Y \u003d x2-4 (0<а<1, b=0, с<0) (Приложение 11)
Kvadrātiskās funkcijas, kurām ir a<0, b \u003d 0.
12. Quadratic Funkcija: Y \u003d - X2 + 5 (A \u003d -1, B \u003d 0, C\u003e 0) (12. pielikums)
13. Quadratic Funkcija: Y \u003d - X2-5 (A \u003d -1, B \u003d 0, ar<0) (Приложение 13)
14. Quadratic Funkcija: Y \u003d -2x2 + 5 (un<-1, b=0, с>0) (14. pielikums)
15. Quadratic Funkcija: Y \u003d -2x2-5 (un<-1, b=0, с<0) (Приложение 15)
16. Quadratic Funkcija: Y \u003d -x2 + 5 (0\u003e A\u003e -1, B \u003d 0, C\u003e 0) (16. pielikums)
17. Quadratic Funkcija: Y \u003d -x2-5 (0\u003e A\u003e -1, B \u003d 0, ar<0) (Приложение 17)
Kvadrātisko funkciju grafikab.≠0, c \u003d 0
18. Quadratic funkcija: Y \u003d x2 + 3x (A \u003d 1, b ≠ 0, c \u003d 0) (18. pielikums)
19. Quadratic Funkcija: Y \u003d - X2 + 3x (A \u003d 1, B ≠ 0, C \u003d 0) (19. pielikums)
20. Quadratic Funkcija: Y \u003d 2x2 + 3x (A\u003e 1, B ≠ 0, C \u003d 0) (20. pielikums)
21. Quadratic Funkcija: Y \u003d -2x2 + 3x (un<-1, b≠0, с=0) (Приложение 21)
22. Quadratic Funkcija: Y \u003d X2 + 3x (0<а<1, b≠0, с=0) (Приложение 22)
23. Quadratic funkcija: Y \u003d -x2 + 3x (0\u003e A\u003e 1, b ≠ 0, c \u003d 0) (23. pielikums)
Kvadrātisko funkciju grafiki, kuros a \u003d 1,b ≠ 0, c ≠ 0
24. Quadratic Funkcija: Y \u003d X2 + 4x-5 (A\u003e 0, B ≠ 0, C ≠ 0) (24. pielikums)
25. Quadratic funkcija: Y \u003d X2 + 4x + 5 (A\u003e 0, B ≠ 0, C ≠ 0) (25. pielikums)
26. Quadratic funkcija: Y \u003d X2 + 4x + 4 (A\u003e 0, B ≠ 0, C ≠ 0) (26. pielikums)
Kvadrātisko funkciju grafiki, kuru a \u003d -1,b ≠ 0, c ≠ 0
27. Quadratic Funkcija: Y \u003d - X2 + 4x + 5 (un<0, b≠0, с≠0) (Приложение 27)
28. Quadratic funkcija: Y \u003d - x2-4x-5 (un<0, b≠0, с≠0) (Приложение 28)
29. Quadratic Funkcija: Y \u003d - X2-4x-4 (un<0, b≠0, с≠0) (Приложение 29)
Kvadrātisko funkciju grafiki, kuru a ≠ 1,b ≠ 0, c ≠ 0
30. Quadratic Funkcija: Y \u003d 2x2 + 6x + 5 (A\u003e 1, B ≠ 0, C ≠ 0) (30. pielikums)
31. Quadratic funkcija: Y \u003d -2x2 + 6x + 5 (un< -1, b≠0, с≠0) (Приложение 31)
Kvadrātisko funkciju grafiki, no kuriem -1<а<1, b ≠ 0, c ≠ 0
32. Quadratic funkcija: Y \u003d x2 + 6x + 15 (0<а <1, b≠0, с≠0) (Приложение 32)
33. Quadratic funkcija: Y \u003d -x2 + 6x\u003e A\u003e -1, B ≠ 0, ar ≠ 0) (33. pielikums)
Visu kvadrātisko funkciju grafiki ir Parabola. Ja a\u003e 0 , tad Parabola filiāles ir vērstas uz augšu. Ja.< 0, tad Parabola filiāles ir vērstas uz augšu. Top Parabolia.
y \u003d ah² pie punkta (0; 0); y \u003d ah² + s punktā (0; c); y \u003d ah² + q un y \u003d ah² + vx + s punkts (- ; -).
Simetrijas ass- Tā ir taisna līnija attiecībā pret kuru visi funkciju grafika punkti ir sakārtoti simetriski. Visām kvadrātisko funkciju grafikiem ir simetrijas ass, kas iet caur virsotni. Ja funkcija ir norādīta ar formulu y \u003d ah² vai y \u003d ah² + s, tad simetrijas ass ir ass y. Ja funkcija ir definēta ar formulu y \u003d AH² + BX vai Y \u003d AH² + BX + C, tad simetrijas ass ir taisni x \u003d - - .
Saspiešanas grafiki.
Kompresija: funkciju grafiks y \u003d AF.(x.) (bet \u003e 1) iegūst, izstiepjot funkciju grafiku y \u003d F.(x.) Gar asi y. iebildums bet laiks.
Stiepšanās: Funkcijas grafiks y \u003d AF.(x.) (0 < bet< 1) получается с помощью сжатия графика функции y \u003d F.(x.) Gar asi y. laikā.
Kvadrātisko funkciju grafiks, pie a \u003d 1, ir grafiks y \u003d x2, kas pārsūta paralēli asij pie virsotnes (- ;-). Ja A \u003d -1, tad arī simetriski pārsūtīts salīdzinoši tieši y \u003d - (Tiešā iet caur virsotni paralēli X ass).
Kvadrātisko funkciju grafiks A\u003e 1, neatkarīgi no B un C vērtības, ir grafiks y \u003d x2, kas stiepjas gar simetrijas asi bet Reiz no augšas, pie 0
Atkarība no diskriminējošas kvadrātiskās funkcijas grafika atrašanās vietas.
Funkcijas īpašības un tās grafika tipu nosaka un diskriminējoša vērtība
D \u003d B.² - 4. maiņstrāvas.
a. > 0, D. > 0 | a. > 0, D. = 0 | a. > 0, D. < 0 |
https://pandia.ru/text/78/547/Images/Image007_45.gif "Alt \u003d" (! Lang: Parabola1" align="left" width="192 height=187" height="187">!} 
a. < 0, D. > 0 | a. < 0, D. = 0 | a. < 0, D. < 0 |
https://pandia.ru/tetext/78/547/Images/Image010_29.jpg "Alt \u003d" (! Lang: Parabola5" width="196" height="177">!} 
Quadratic funkciju īpašības
1. Visām kvadrātiskajām funkcijām ir definīcijas apgabals: R, visi derīgie numuri.
2. vērtību diapazons ir atkarīga no: kad a. > 0 [- ; + ∞), kad a. < 0 (-∞;- ] .
3. Paritāte, kvadrātisko funkciju dīvainība: kad b. \u003d 0 funkcija ir pat (i.e. y \u003d ah2 + c \u003d a (s) 2 + s; kad b. ≠ 0, tad funkcija nav ne pat vai nepāra.
4. Nulles funkcijas (tas ir, kādas argumenta vērtības funkcijas vērtības ir 0).
Ja D. \u003e 0, tad grafika kvadrātiskās funkcijas ir divas nulles: x1 \u003d; x2 \u003d.
un funkcijas grafiks šķērso x ass 2 punktos.
Ja D. \u003d 0, tad kvadrātiskās funkcijas grafiks ir viens nulle: x. = -;
un funkcijas grafiks attiecas uz x ass pie punkta (- ; 0)
Ja D. < 0, то график квадратичной функции не имеет нулей, график не пересекает ось х.
5. maiņstrāvas intervāli (trūkumi no funkcijas, lai noteiktu funkciju, ja funkcija ņem pozitīvas vai negatīvas vērtības, t.i.,\u003e 0 vai<0).
Ja a\u003e 0, d\u003e 0, tad\u003e 0 pie x (-∞; x1.) U ( x2; + ∞); W.<0 при хhttps://pandia.ru/text/78/547/images/image014_31.gif" width="13" height="13">(-∞;x.) U ( x.; +∞).
Ja a\u003e 0, d<0, то у>0 pie https://pandia.ru/text/78/547/images/image014_31.gif "platums \u003d" 13 "augstums \u003d" 13 src \u003d "\u003e (x1; x2);<0 при х(-∞;x1.) U ( x2; ∞).
Ja.<0, D =0, то у<0 при х (-∞;x.) U ( x.; ∞).
Ja.<0, D <0, то у<0 при х https://pandia.ru/text/78/547/images/image014_31.gif" width="13" height="13"> [- ; + ∞); samazinās X (-∞; - ].
Ja.<0, функция возрастает при х(-∞;- ], samazinās x [- ;+∞).
7. Funkcijas galējības (maksimālie punkti, minimums) pie maksimālajiem punktiem (minimums) funkcijas vērtība ir lielāka (attiecīgi mazāk) no visām blakus esošajām vērtībām.
Ja a\u003e 0, tad grafikiem ir tikai minimālas funkcijas, ja<0 – только максимум функций. Это точки вершины параболы.
Ja a. \u003e 0, tad x.min \u003d - ; y.min \u003d - ; ja a. < 0 x.max \u003d -; y.max \u003d -.
Algoritms kvadrātiskās funkcijas īpašību izpētei
Domēns. Vērtību platība. Paritātes nepāra funkcija. Nulles funkcija. Alpurism nepilnības. Monotonitātes nepilnības. Extreme funkcija.
Pēc manu kvadrātisko funkciju grafiku būvniecības analīzes es esmu algoritms kvadrātisko funkciju grafiku veidošanai pa punktiem (1 metode).
Mēs atrodam Pearabol virsotnes abscisu atbilstoši formulai x0 \u003d - . Mēs atrodam U0 vērtību saskaņā ar formulu U0 \u003d - . Uz koordinātu plaknes mēs veidojam Pearabol virsotni ar koordinātām (X0; U0). Mēs definējam Parabola filiāļu virzienu (saskaņā ar koeficientu a). Mēs veiksim parabola simetrijas asi caur tās virsotni, paralēli asij y. Izvēlieties vērtību kreisās vai pa labi no parabola simetrijas un aizpilda vērtību tabulu. Mēs veidojam punktus gar koordinātu plaknē iegūtās koordinātas. Mēs veidojam kvadrātiskās funkcijas diagrammu bez ierobežojumiem ekstrēmos punktos un abonējiet grafiku.
Es uz šo algoritmu grafiks y \u003d x2 - 4x + 3
2. d \u003d b2-4as \u003d (- \u003d 4 y \u003d - = .
4. A\u003e 0, Parabola filiāles ir vērstas uz augšu.
5. Simetrijas ass taisni x \u003d 2.
6. vērtību tabula
7.traktīvie punkti ar koordinātu plaknē iegūtās koordinātas.
8. klase "href \u003d" / "rel \u003d" Grāmatzīme "\u003e 8 klase Mēs iemācījāmies piešķirt pilnu kvadrātu kvadrātveida vienādojumos. Elena Nikolajevna pat tad teica, ka tas ir atkarīgs no grafika atrašanās vietas uz koordinātu plaknē. Es nolēmu pārbaudīt: Tas ir iespējams, piešķirot pilnīgu kvadrātu, lai padarītu algoritmu par kvadrātisko funkciju grafiku veidošanu koordinātu plaknē.
Manu kvadrātisko funkciju vienādojumi tika pārbaudīti no 18-33 un salīdzināja iegūtās formulas ar iebūvēto grafiku virsotnēm:
18. y \u003d x2 + 3x \u003d (x2 + 2 · 1,5 · x +2.25) - 2,25 \u003d (x + 1.5) 2-2.25 a \u003d 1 virsotne (-1,5;-2,25)
19. Y \u003d - X2 + 3x \u003d -1 (x2-2 · 1,5 · x +2.25) + 2,25 \u003d -1 (x - 1,5) 2 +2,25 A \u003d -1 tops (1,5; 2,25)
20. Y \u003d 2x2 + 3x \u003d 2 (x2 + 2 · 0,75 · x + 0.5625) -1, 125 \u003d 2 (x + 0,75) 2 -1.125 A \u003d 2.
virsotne (-0,75;-1,125)
21. Y \u003d -2x2 + 3x \u003d -2 (x2-2 · 0,75 · x +0,5625) +1,125 \u003d -2 (x-0,75) 2 +1,125 A \u003d 2.
virsotne (0,75;1,125)
22. y \u003d x2 + 3x \u003d (x2 + 2 · 3 · x + 9) - 4,5 \u003d (x +3) 2 -4,5 A \u003d https: //pandia.ru/text/78/547/Images/Image004_61.gif "platums \u003d" 16 augstums \u003d 41 "augstums \u003d" 41 "\u003e x2 + 3x \u003d - (x2 -2 · 3 · x + 9) + 4.5 \u003d - (X -3) \u200b\u200b2 +4.5 A \u003d -HTTPS: //pandia.ru/text/78/547/Images/Image004_61.gif "Platums \u003d" 16 augstums \u003d 41 "Augstums \u003d" 41 "\u003e x2 + 4x + 15 \u003d (x2 + 2 · 6 · x + 36) -18 + 15 \u003d (x +6) 2 -3 A \u003d https: //pandia.ru/text/78/547/Images/Image004_61.gif "platums \u003d" 16 augstums \u003d 41 "augstums \u003d" 41 "\u003e x2 + 6x-14 \u003d - (x2 -2 · 6 · x + 36) +18 -14 \u003d - (x -6) 2 +4 a \u003d https: //pandia.ru/text/78/547/images/Image001_112.gif "platums \u003d" 24 "augstums \u003d" 41 "\u003e; n \u003d - . Tas ir verteksa parabola koordinātas (m; n)
Algoritms, lai izveidotu kvadrātiskās funkcijas diagrammas, izmantojot papildu koordinātu sistēmu, piešķirot pilnu kvadrātu (2 metode).
1. formulas reformācija y \u003d ah² + vx + c \u003dy \u003d a (x -m) 2 +n.kur m \u003d - ; n \u003d -
vai y \u003d a (x +) 2 -
2. Stiepšanās grafika y \u003d X.2 gar asi w. iebildums bet
Vienu reizi a\u003e 1, 0< a. < 1 - это сжатие в a. laiks.
Ja a.< 0, произвести ещё и зеркальное отражение графика относительно оси h. (Parabola filiāles tiks novirzītas).
Konversijas rezultāts: Funkcijas grafiks y \u003d cirvis.2.
https://pandia.ru/text/78/547/Images/Image020_21.jpg "Platums \u003d" 147 "augstums \u003d" 193 SRC \u003d "\u003e
y \u003d A.(x - M.) 2 gar asi y. uz n (uz augšu n. \u003e 0 un uz leju, kad n. < 0). Результат преобразования: график функции y \u003d a (x-m)2 + N.
https://pandia.ru/text/78/547/images/image026_15.jpg "platums \u003d" 336 "augstums \u003d" 161 src \u003d "\u003e
4. Paralēli funkciju grafikas nodošana
y. = - (x. + 2) 2 gar asi y. uz -1.
6. klase "HREF \u003d" / Teksts / Kategorija / 6_Klass / "Rel \u003d" Grāmatzīme "\u003e 6. klase ,. - Ed.4 - M. Izdevniecība" Krievu vārds ", 1997" Algebra ". Apmācība 9. pakāpe ,.. . Apgaismība, 2004 "Matemātika" Nedēļas izglītības un metodiskais laikraksts. Izdevniecība "Pirmais septher". Nr. 48, 2003 "Matemātika" Nedēļas izglītība un metodiskais avīze matemātika. Apmācība. . - Izdevniecība "Pēteris", 2005 "Absolūtā vērtība". . - M.: Apgaismība, 1968. "Funkcijas un grafiskā konstrukcija". .- M.: Apgaismība, 1968. "Uzdevumi palielinātu grūtības algebras gaitā 7-9 klasēm." . M.: Izglītība, 1991.
Quadratic funkcija: tās studijas un grafika
Krievija, Tyumen reģions, Yurginsky rajons, p. Shipacovo,
SM "Schipakovskaya galvenā komunikācijas skola", 9. klases students.
Pētniecības plāns
Problēmas pamatojums. Kontrolē un materiālu mērīšanai algebrā 9. klasē, lai veiktu valsts galīgo sertifikātu jauna forma Izrādījās, ka ir konstatēts, ka daudzi uzdevumi veidot kvadrātiskās funkcijas, to pētījumus. Konstruējot kvadrātiskās funkcijas grafikus, rodas grūtības, jo, sastādot vērtību tabulu ar nelielu, moduli, argumenta vērtībām, funkciju vērtības dažreiz ir ļoti lielas, modulo, un nav iekļauti piezīmjdatora lapā. Tāpēc es nolēmu izpētīt: kvadrātiskās funkcijas īpašības un kvadrātisko funkciju grafiku atrašanās vieta koordinātu plaknē ir atkarīga no tā; Pārbaudiet algoritmus šo funkciju veidošanas diagrammas un izvēlieties vislielāko gaismas algoritmu, lai izveidotu kvadrātisko funkciju.
Hipotēze:
Ja es izpētīšu kvadrātiskās funkcijas īpašības, grafisko algoritmu grafiku, no kura ir atkarīga no grafiku atrašanās vieta koordinātu plaknē, tad es varu ātri un pareizi veidot šīs funkcijas grafikus, izvēloties visvairāk viegls ceļs būvniecība; Izpētiet šo funkciju.
Metodes apraksts:
1. Analizējot savas kvadrātiskās funkcijas, es secināju, ka ir pietiekami zināt, kā pētīt funkciju īpašības:
Vērtība A: Lai noteiktu virzienus parabola filiālēm, saspiešanas un izstiepšanas grafikiem, nepilnības saskaņošanu;
Parabola virsotņu koordinātas: noteikt vērtību klāstu, monotonijas intervālus, galējības funkcijas;
B vērtība: lai noteiktu paritāti, vai nav paritātes, ne aritumu;
Diskriminācijas vērtība: lai noteiktu funkciju nulles skaitu;
Ja d< 0, то нулей функции нет;
Ja d \u003d 0, tad nulles funkcija ir viens - tas ir virsotne parabola;
Ja d\u003e 0, tad nulles funkciju 2.
Funkciju nulles: lai noteiktu saskaņošanas intervālus.
2. Darbs ar savu tēmu, es cēla savu ceļu ēkas diagrammas kvadrātiskās funkcijas (izmantojot koordinātu palīgierīces) saskaņā ar šādu algoritmu:
- Noteikt Parabola virsotnes. Izveidojiet papildu koordinātu sistēmu ar centru virsotnē. Izveidojiet grafiku y \u003d x2 virsotnes vietā, ja a\u003e 0, tad filiāles attiecas uz augšu.
Ja un \u003c0, tad filiāles būs uz leju.
- Ja IAI\u003e 1, tad izstiepiet grafiku attiecībā uz simetrijas asi un vienu reizi
Ja 0 \u003cIAI \u003c1, pēc tam izspiediet grafiku attiecībā uz simetrijas asi un vienu reizi
3. Quadratic funkciju grafiku būvniecība ir ērta veikšanai dažādi ceļi. Ja a \u003d 1, virsotņu koordinātas ir veseli skaitļi, tad ar koordinātu sistēmas palīdzību. Ja ≠ 1, Pearabol virsotņu koordinātas nav veseli skaitļi, tad ceļš: pa punktiem.
4. algebras stundās pēc šī pētījuma darba veikšanas es palīdzu klasesbiedriem asimilēt šīs metodes, lai izveidotu kvadrātisko funkciju diagrammas ar saviem veidiem, lai veiktu savus pētījumus.
Rezultāts:
Pētījuma laikā es esmu algoritms, lai pētītu kvadrātiskās funkcijas īpašības un pārbaudīja to praksē. Es uzzināju, ka kvadrātiskās funkcijas var iestatīt divos veidos: AH2 + BX + C un A (X-M) + N. Viņš uzzināja no 2 algoritmiem, lai izveidotu šo funkciju grafikus. Es atklāju, no kura diagrammu atrašanās vieta koordinātu plaknē ir atkarīga. Radīts instrumentu kopums "Quadratic funkcijas zemūdens akmeņi", kas izplatīts saviem skolēniem, iepazīstināja ar citām skolām. Nākotnē es plānoju izpētīt kvadrātiskās funkcijas, kurās ir modulis formulā.
Kvadrāta funkcijas īpašību un grafiku uzdevumi kā prakse rāda, nopietnas grūtības. Tas ir diezgan dīvaini, jo kvadrātiskā funkcija notiek 8. klasē, un tad visu 9. klases "izdzīvot" īpašumu pirmajā ceturksnī un veidojiet grafikus dažādiem parametriem.
Tas ir saistīts ar to, ka liek studentiem veidot Parabolas, gandrīz nemaksās laiku lasīšanas diagrammas, tas ir, praktizējot izpratni par informāciju, kas iegūta no attēla. Acīmredzot tiek pieņemts, ka, veidojot duci divas diagrammas, gudrs skolnieks atklās sevi un formulē savienojumu koeficientu formulā un izskats grafika. Praksē tas nedarbojas. Šādai vispārinājumam, kas ir nopietna matemātisko mini pētījumu pieredze, kas, protams, nav deviņiem absolventiem. Tikmēr GIA tieši iesaka grafiku noteikt koeficientu pazīmes.
Pieņemsim nepieprasīt skolēnus neiespējami un vienkārši piedāvāt vienu no algoritmiem, lai atrisinātu šādas problēmas.
Tātad, formas funkcija y \u003d AX 2 + BX + C To sauc par kvadrātisku, grafiks ir parabola. Kā norādīts no nosaukuma, galvenais termins ir aX 2.. I.e bet nedrīkst būt nulle, atlikušie koeficienti ( b. un no) var būt nulle.
Let's redzēt, kā tās koeficientu pazīmes ietekmē izskatu parabola.
Vienkāršākā atkarība no koeficienta bet. Lielākā daļa skolēnu pārliecinoši atbildes: "Ja bet \u003e 0, tad Parabolas filiāles ir vērstas uz augšu, un, ja bet < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой bet > 0.
y \u003d 0,5x 2 - 3x + 1
Šajā gadījumā bet = 0,5
Un tagad par bet < 0:
y \u003d - 0.5x2 - 3x + 1
Šajā gadījumā bet = - 0,5
Koeficienta ietekme no Arī viegli izsekot pietiekami daudz. Iedomājieties, ka mēs vēlamies atrast funkcijas vērtību punktā h. \u003d 0. 0. aizstāt nulli formulā:
y. = a. 0 2 + b. 0 + c. = c.. Izrādās, ka y \u003d s. I.e no - Tas ir parabola krustojuma punkts ar asi. Kā likums, šis punkts ir viegli atrast uz diagrammas. Un nosaka virs nulles vai zemāk vai zemāk. I.e no \u003e 0 vai no < 0.
no > 0:
y \u003d x 2 + 4x + 3
no < 0
y \u003d x 2 + 4x - 3
Attiecīgi, ja no \u003d 0, tad Parabola noteikti iet cauri izcelsmes koordinātu:
y \u003d x 2 + 4x
Grūtāk ar parametru b.. Punkts, uz kuru mēs atradīsim, ir atkarīgs ne tikai no b. Bet no bet. Tas ir Parabola augšdaļa. Tās abscisa (ass koordinē h.) ir uz formulas x b \u003d - b / (2a). Pa šo ceļu, b \u003d - 2ach in. Tas ir, mēs rīkojamies šādi: Diagrammā mēs atrodam Parabolas augšdaļu, mēs definējam tās abscisa zīmi, tas ir, mēs skatāmies uz nulles tiesībām ( x B. \u003e 0) vai pa kreisi ( x B. < 0) она лежит.
Tomēr tas nav viss. Mums ir jāpievērš uzmanība koeficienta zīmei bet. Tas ir, lai redzētu, kur ir vērsta uz Parabola filiāles. Un tikai pēc tam pēc formulas b \u003d - 2ach in Noteikt zīmi b..
Apsveriet piemēru:
Filiāles ir vērstas uz augšu, tas nozīmē bet \u003e 0, Parabola šķērso asi w. pēc tam zem nulles no < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x B. \u003e 0. Tātad b \u003d - 2ach in = -++ = -. b. < 0. Окончательно имеем: bet > 0, b. < 0, no < 0.
