Attēlā redzams diagramma atvasinātās funkcijas. Matemātikā (profils)

(1. attēls)

1. attēls. Atvasinājumu grafiks

Grafikas atvasinājuma īpašības

Pieaugošo intervālos atvasinājums ir pozitīvs. Ja atvasinājumam noteiktā punktā no noteiktā intervāla ir pozitīva vērtība, tad funkciju grafiks šajā intervālā palielinās.
Pēc saplacināšanas intervāliem atvasinājums ir negatīvs (ar mīnus zīmi). Ja atvasinājumam noteiktā punktā no kāda intervāla ir negatīva vērtība, tad funkciju grafiks samazinās šajā intervālā.
Atvasinātais instruments X punktā ir vienāds ar tangenciālā leņķa koeficientu, kas veikta ar funkcijas grafiku tajā pašā punktā.
Pie maksimālajiem minimālajiem punktiem atvasināto funkciju ir nulle. Tanner uz funkcijas grafiku šajā brīdī paralēli asij oh.

1. piemērs.

Saskaņā ar grafiku (2. att.), Atvasinātais instruments ir noteikts, kādā brīdī uz segmenta [-3; 5] Funkcija ir maksimāla.

2. attēls. Atvasinātais grafiks

Risinājums: Šajā segmentā atvasinājums ir negatīvs, un tāpēc funkcija samazinās no kreisās uz labo pusi, un tā ir lielākā vērtība no kreisās puses -3.

2. piemērs.

Saskaņā ar grafiku (3. att.), Atvasinājums nosaka maksimālo punktu skaitu segmentā [-11; 3].

3. attēls. Atvasinātais grafiks

Risinājums: Maksimālie punkti atbilst atvasinājuma zīmes maiņas punktam ar pozitīvu līdz negatīvu. Šajā intervālā funkcija mainās divreiz lielāku zīmi no plus uz mīnus - 10. punktā un -1 punktā. Tātad maksimālo punktu skaits ir divi.

3. piemērs.

Saskaņā ar grafiku (3. att.), Atvasinājums nosaka minimālo punktu skaitu no segmenta [-11; -One].

Risinājums: minimālie punkti atbilst punktu maiņas punktiem ar negatīvu pozitīvu. Šajā segmentā šāds punkts ir tikai -7. Tātad, punktu skaits, kas minimālais attiecīgajā segmentā ir viens.

4. piemērs.

Saskaņā ar grafiku (3. att.), Atvasinājums nosaka ekstrēmuma punktu skaitu.

Risinājums: Estrira ir gan minimālā, gan maksimālā punkti. Mēs atrodam punktu skaitu, kuros atvasinājums maina zīmi.

Attēlā redzams diagramma atvasinātās funkcijas f (x), kas definēta intervālā [-5; 6]. Atrodiet diagrammas F (X) punktu skaitu, katrā no kuriem katrs ir pieskare, kas pavadīts funkcijas grafikā, sakrīt vai paralēli abscisa asij

Attēlā redzams diagramma no diferencējamā funkcija y \u003d f (x).

Atrodiet segmenta funkcijas funkcijas punktu skaitu [-7; 7], kurā funkcijas pieskares funkcija ir paralēla tiešajam norādītajam vienādojumam y \u003d -3x.

Materiāls punkts m sāk pārvietoties no punkta A un pārvietojas taisnā līnijā 12 sekundes. Grafiks parāda, kā attālums no punkta uz punktu m laika gaitā. Abscissa asī, laiks t tiek atlikta sekundēs, uz ordinātu ass - attāluma s metros. Noteikt, cik reizes kustības laikā ātruma punkts m apelācijas pret nulli (sākums un beigas kustības nav ņemtas vērā).

Attēlā redzamas funkcijas funkcijas sekcijas y \u003d f (x) un pieskarties tam tādā brīdī ar abscissa x \u003d 0. Ir zināms, ka šis rieciens paralēli tiešai iet caur punktiem grafiku ar abscisijām X \u003d -2 un x \u003d 3. Izmantojot to, atrodiet atvasinājuma f vērtību (O) vērtību.

Attēlā redzams grafiks y \u003d f '(x) - funkcijas f (x) atvasinājums, kas noteikts segmentā (-11; 2). Atrodiet punkta abscissue, kurā funkcijas funkcijas tangenss ir paralēli abscisa asij vai sakrīt ar to.

Materiāla punkts tieši pārvietojas saskaņā ar likumu X (t) \u003d (1/3) t ^ 3-3t ^ 2-5t + 3, kur x ir attālums no atskaites punkta metros, t ir laiks sekundēs mēra no kustības sākuma. Kādā laikā (sekundēs) tā ātrums bija 2 m / s?

Materiāla punkts pārvietojas pa taisnu līniju no sākotnējā līdz gala stāvoklim. Attēlā redzams tās kustības grafiks. Abscissa asī laiks tiek atlikts sekundēs, uz orininētās ass - attālums no punkta sākotnējās pozīcijas (metros). Atrodiet punktu vidējo ātrumu. Sniedziet atbildi metros sekundē.

Funkcija Y \u003d F (x) tiek noteikta intervālā [-4; četri]. Attēlā redzams tā atvasinājuma grafiks. Atrodiet funkcijas funkcijas funkcijas punktu skaitu \u003d f (x), kuru pieskare veido 45 ° leņķi ar ass pozitīvo virzienu.

Funkcija Y \u003d F (X) ir definēta segmentā [-2; četri]. Attēlā redzams grafiks tā atvasinājumam. Atrast abscisa grafika funkcijas funkcijas y \u003d f (x), kurā tas aizņem mazāko vērtību uz segmenta [-2; -0,001].

Attēlā parādīts funkcijas grafiks y \u003d f (x) un pieskaras šai grafikai, kas pavadīta X0 punktā. Tangensu nosaka ar Y \u003d -2x + 15 vienādojumu. Atrodiet atvasinātās funkcijas vērtību Y \u003d - (1/4) f (x) + 5 x0 punktu.

Diferenciālā funkcijas grafikā y \u003d f (x) ir atzīmēti ar septiņiem punktiem: X1, .., x7. Atrast visus atzīmētos punktus, kuros atvasinātā funkcija f (x) ir lielāka par nulli. Atbildot uz to, norādiet šo punktu skaitu.

Attēlā redzams grafiks Y \u003d f "(x) atvasināto funkciju f (x), kas noteikta intervālā (-10; 2). Atrodiet punktu skaitu, kuros funkcija F (X) ir paralēla Direct y \u003d -2x-11 vai sakrīt ar to.

Attēlā redzams grafiks y \u003d F "(x) - atvasināto funkciju f (X). Par abscisa asi, tiek atzīmēti deviņi punkti: X1, X2, X3, X4, X5, X6, X9, X7, X8, X9 .
Cik no šiem punktiem pieder pie funkcijas f (x) samazināšanās?

Attēlā redzams funkcijas grafiks y \u003d f (x) un pieskaras šai grafikai, kas pavadīta X0 punktā. Tangente tiek dota ar vienādojumu y \u003d 1,5x + 3.5. Atrodiet atvasinātās funkcijas vērtību Y \u003d 2F (X) - 1 punktu x0 punktā.

Attēlā redzams grafiks y \u003d f (x) viena no primitīvajām funkcijām f (x). Grafiks atzīmēja sešus punktus ar absolcijām x1, X2, ..., X6. Visa no šiem punktiem, funkcija y \u003d f (x) veic negatīvas vērtības?

Attēlā redzams automašīnas kustības grafiks maršrutā. Abscissa ass laikā laiks tiek atlikts (stundās), uz orinated ass - ceļš (kilometros). Atrodiet vidējo transportlīdzekļa ātrumu šajā maršrutā. Atbilde km / h

Materiāla punkts tieši pārvietojas saskaņā ar likumu X (t) \u003d (- 1/6) t ^ 3 + 7 t ^ 2 + 6T + 1, kur x ir attālums no atskaites punkta (metros), t ir kustības laiks (sekundēs). Atrast savu ātrumu (metros sekundē) laikā t \u003d 6 s

Attēlā redzams diagramma no primitīvas y \u003d f (x) dažu funkciju y \u003d f (x), kas noteikts intervālā (-6; 7). Izmantojot modeli, noteikt funkcijas F (X) nulles skaitu šajā intervālā.

Attēlā redzams grafiks y \u003d f (x) viena no primārajām funkcijām f (x), kas definētas intervālā (-7; 5). Izmantojot modeli, noteikt summu risinājumu f (x) \u003d 0 uz segmenta [- 5; 2].

Attēlā redzams diagramma diferenciālo funkciju y \u003d f (x). Par abscisa asi, ir atzīmēti deviņi punkti: X1, X2, ... X9. Atrodiet visus atzīmētos punktus, kuros atvasināto funkcija f (x) ir negatīva. Atbildot uz to, norādiet šo punktu skaitu.

Materiāla punkts pārvietojas vienkārši ar likumu X (t) \u003d 12t ^ 3-3T ^ 2 + 2T, kur x ir attālums no atskaites punkta metros, t ir laiks sekundēs, ko mēra no kustības sākuma. Atrodiet savu ātrumu (metros sekundē) laikā t \u003d 6 s.

Attēlā parādīts funkcijas grafiks y \u003d f (x) un pieskaras šai grafikai, kas pavadīta X0 punktā. Tangentā vienādojums ir parādīts attēlā. Atrodiet atvasinātās funkcijas vērtību Y \u003d 4 * F (x) -3 punktā x0 punktā.

Iedomājieties taisnu ceļu, kas iet cauri kalnainam laukumam. Tas ir, tas iet uz augšu, tad uz leju, bet pa labi vai pa kreisi neieslēdzas. Ja ass ir vērsta pa ceļu horizontāli, un - vertikāli, tad līnija ceļa būs ļoti līdzīgs grafikam dažu nepārtrauktu funkciju:

Ass ir zināms līmenis nulles augstumā, mēs izmantojam jūras līmeni kā to.

Pāriet uz priekšu šādā ceļa, mēs arī pārvietojāmies uz augšu vai uz leju. Mēs varam arī teikt: ja tiek mainīts arguments (progresīvs gar abscisa asi) funkciju izmaiņu vērtība (kustība gar ordinātu asi). Un tagad pieņemsim domāt par to, kā noteikt mūsu ceļa "stāvumu"? Ko tas varētu būt par lielumu? Ļoti vienkārši: cik lielā mērā mainīsies augstuma izmērs, pārvietojoties uz noteiktu attālumu. Galu galā, dažādās ceļa daļās, virzoties uz priekšu (gar abscisa asi) vienu kilometru, mēs pieaugs vai samazināsies uz citu skaitu skaitītāju, salīdzinot ar jūras līmeni (gar ordinātu asi).

Veicināšana uz priekšu (lasiet "Delta X").

Grieķijas vēstule (delta) matemātikā parasti tiek izmantots kā prefikss, kas nozīmē "pārmaiņas". Tas ir - tas ir izmaiņas vērtībā - izmaiņas; Tad kas ir? Tas ir pareizi, mainiet vērtību.

Svarīgi: izteiksme ir viens vesels skaitlis, viens mainīgais. Jūs nekad nevarat noņemt "Delta" no "IKSA" vai jebkura cita vēstule! Tas ir, piemēram ,.

Tātad, mēs uzlabojām uz priekšu, horizontāli, ieslēgts. Ja ceļa līnija salīdzinām funkciju ar grafiku, tad kā mēs izraugām pieaugumu? Protams, . Tas ir, virzoties uz priekšu, mēs pacelamies iepriekš.

Tas ir viegli aprēķināt summu: ja sākumā mēs bijām augstumā, un pēc pārvietošanās bija augstumā, tad. Ja beigu punkts izrādījās zemāks par sākotnējo, tas būs negatīvs - tas nozīmē, ka mēs neizmantojam, bet nolaist.

Atgriezīsimies pie "stāvības": tas ir vērtība, kas parāda, cik daudz spēcīgi (atdzist) palielina augstumu, virzoties uz priekšu uz vienības attālumu:

Pieņemsim, ka uz ceļa vietā, pārvietojoties pa km, ceļš paceļas uz augšu uz km. Tad stāvība šajā vietā ir vienāds. Un, ja ceļš, veicinot uz M no Sank uz km? Tad stāvā ir vienāda.

Tagad apsveriet kādu kalna virsotni. Ja jūs sākat vietnes sākumu uz pusi kilometru uz augšu, un beigām - pēc pusi kilometra pēc tā, var redzēt, ka augstums ir gandrīz tāds pats.

Tas ir, mūsu loģikā izrādās, ka stāvība šeit ir gandrīz vienāds ar nulli, kas nepārprotami nav taisnība. Tikai attālumā km var daudz mainīt. Ir jāapsver mazākas sekcijas, lai iegūtu atbilstošu un precīzāku stepes novērtējumu. Piemēram, ja jūs mērīt izmaiņas augstumā, pārvietojoties uz vienu metru, rezultāts būs daudz precīzāks. Taču šī precizitāte mums var nebūt pietiekami, jo, ja ceļa vidū ir pīlārs, mēs to varam vienkārši paslīdēt. Kādu attālumu izvēlieties? Centimetrs? Milimetrs? Mazāk ir labāk!

Reālā dzīvē, mērot attālumu ar precizitāti Miliesetra - vairāk nekā pietiekami. Bet matemātiķi vienmēr cenšas izcilību. Tāpēc koncepcija tika izgudrota bezgalīgi mazsTas ir, moduļa lielums ir mazāks par jebkuru numuru, ko var izsaukt tikai. Piemēram, jūs sakāt: viens triljons! Kur ir mazāk? Un jūs iesniedzāt šo numuru uz - un tas būs vēl mazāk. Utt Ja mēs vēlamies rakstīt, ka lielums ir bezgalīgi mazs, mēs rakstām šādi: (Es izlasīju "X cenšas panākt nulli"). Ir ļoti svarīgi saprast ka šis skaitlis nav nulle! Bet ļoti tuvu tam. Tas nozīmē, ka to var iedalīt tajā.

Koncepcija pretī ir bezgalīgi mazs - bezgalīgi liels (). Jūs jau droši vien snapped ar viņu, kad es biju iesaistīts nevienlīdzību: tas ir moduļa skaits vairāk nekā jebkurš skaitlis, ko var izgudrot. Ja jūs nācāt klajā ar lielāko no iespējamiem skaitļiem, vienkārši reiziniet to diviem, un tas izrādīsies vēl vairāk. Un bezgalība vēl vairāk nekā tas, kas notiek. Faktiski, bezgalīgi liels un bezgalīgi mazs apvērsts viens otru, tas ir, kad, un gluži pretēji: kad.

Tagad atpakaļ uz mūsu ceļu. Pilnīgi skaitītais stāvums ir Bengons, kas aprēķināts bezgalīgi neliela ceļa segmentā, tas ir:

Es atzīmēju, ka ar bezgalīgi neliela kustība, izmaiņas augstumā būs arī bezgalīgi maza. Bet es jums atgādinu, bezgalīgi mazs - tas nenozīmē vienādu ar nulli. Ja jūs kopīgojat bezgalīgi mazus skaitļus viens otru, tas var būt diezgan izplatīts skaits, piemēram. Tas ir, viena zema vērtība var būt tieši vairāk nekā vienu reizi vairāk.

Kas tas viss ir? Ceļš, stāvums ... mēs nebūsim doties uz ralliju, un mēs iemācīsim matemātiku. Un matemātikā viss ir tikai tāds pats, tikai sauc tikai citādi.

Atvasinājuma jēdziens

Funkcijas atvasinājums ir funkcijas pieauguma attiecība pret argumenta pieaugumu ar bezgalīgi nelielu argumenta pieaugumu.

Pieaugums Matemātikas zvanu maiņa. Cik daudz arguments tiek mainīts (), pārvietojoties pa asi, tiek saukts arguments un atsaucās uz to, cik lielā mērā mainās (augstums), braucot uz priekšu pa asi, sauc par funkcijas pieaugums un ir apzīmēts.

Tātad, atvasinātā funkcija ir attieksme pret to, kad. Mēs norādām to pašu vēstules atvasinājumu kā funkciju, tikai ar insultu pa labi vai vienkārši. Tātad, mēs rakstīs atvasināto formulu, izmantojot šos apzīmējumus:

Tāpat kā analoģijā ar dārgu šeit, palielinot funkciju, atvasinājums ir pozitīvs, un, samazinoties ir negatīvs.

Vai atvasinājums notiek ar nulli? Protams. Piemēram, ja mēs iet pa plakanu horizontālu ceļu, stāvā ir nulle. Un patiesība ir, augstums nav pilnībā mainīgs. Tātad ar atvasinājumu: pastāvīgas funkcijas atvasinājums (konstante) ir nulle:

tā kā šādas funkcijas pieaugums ir nulle jebkurā gadījumā.

Atcerēsimies no kalna. Izrādījās, ka tas bija iespējams, ka jūs varat novietot galus segmentā pa dažādiem virzieniem no virsotnes, ka augstums pie galiem izrādās tāds pats, tas ir, segments atrodas paralēlā ass:

Bet lielie segmenti ir neprecīza mērījuma zīme. Mēs pacelsim mūsu sagrieztu paralēli sev, tad tā garums samazināsies.

Galu galā, kad mēs esam bezgalīgi tuvu augšpusei, segmenta garums kļūs par bezgalīgi mazs. Bet tajā pašā laikā tas palika paralēli asij, tas ir, augstuma atšķirība tās galos ir nulle (neprasa, proti, vienāds ar). Tik atvasinājums

Tas ir iespējams saprast šo: kad mēs stāvēt uz augšu no augšas, maz pārvietošanās pa kreisi vai pa labi maina mūsu augstums ir niecīgs.

Ir tikai algebriskā skaidrojums: kreisais no augšas ir funkcija palielinās, un pa labi - samazinās. Kā mēs jau esam uzzinājuši agrāk, palielinot funkciju, atvasinājums ir pozitīvs, un kā dilstošā secībā ir negatīvs. Bet tas mainās vienmērīgi, bez lēcieniem (jo ceļš nemaina slīpumu jebkurā vietā). Tāpēc starp negatīvām un pozitīvām vērtībām jābūt. Viņš būs, ja funkcija ne palielinās, ne arī samazinās - punkta virsotnē.

Tas pats attiecas uz depresiju (apgabalā, kur darbojas kreisajā pusē, un pa labi - palielinās):

Nedaudz vairāk par soli.

Tātad, mēs mainām argumentu pēc lieluma. Mainīt no kāda vērtības? Ko viņš (arguments) tagad? Mēs varam izvēlēties jebkuru punktu, un tagad mēs dejosim no tā.

Apsveriet punktu ar koordinātu. Funkcijas vērtība ir vienāda. Tad veiciet kaut ko pieaugumu: palieliniet koordinātu. Kāds ir arguments tagad? Ļoti viegli: . Un kāda ir funkcijas vērtība tagad? Ja arguments, tur un funkcija :. Un kā ar funkcijas pieaugumu? Nekas jauns: tas joprojām ir lielums, kura funkcija ir mainījusies:

Prakse, lai atrastu soli:

Atrodiet funkcijas pieaugumu vietā, kad arguments pieaug.
Tas pats par funkciju punktā.

Risinājumi:

Dažādos punktos vienā un tajā pašā argumenta pieaugums, funkcijas pieaugums būs atšķirīgs. Tas nozīmē, ka atvasinājums katrā brīdī ir tā paša (mēs apspriedām pašā sākumā - ceļa stāvums dažādos punktos ir atšķirīgs). Tāpēc, kad mēs uzrakstām atvasinājumu, jums ir jānorāda kādā brīdī:

Enerģijas funkcija.

Power sauc par funkciju, kur arguments ir zināmā mērā (loģiski, jā?).

Turklāt, vai nu :.

Vienkāršākais gadījums ir tad, kad grādu indikators:

Mēs atrodam savu atvasinājumu punktā. Mēs atceramies definīciju atvasinājuma:

Tātad, arguments mainās no iepriekš. Kāds ir funkcijas pieaugums?

Pieaugums ir. Bet funkcija jebkurā brīdī ir vienāda ar tās argumentu. Tāpēc:

Atvasinātais instruments ir vienāds ar:

No vienādas:

b) Tagad apsveriet kvadrātisko funkciju () :. \\ T

Un tagad to atcerieties. Tas nozīmē, ka pieauguma vērtību var atstāt novārtā, jo tas ir bezgalīgi mazs, un tādējādi nenozīmīgi, ņemot vērā citu termiņu:

Tātad, mēs piedzima nākamo noteikumu:

c) Mēs turpinām loģisko diapazonu :.

Šo izteiksmi var vienkāršot dažādos veidos: lai atklātu pirmo kronšteinu ar kuba summas saīsinātās reizināšanas formulu vai sadalīt visu izteiksmi par faktoriem ar kuba atšķirības formulu. Mēģiniet to darīt pats ar kādu no ierosinātajiem veidiem.

Tātad, es saņēmu šādu:

Un atkal atcerieties to. Tas nozīmē, ka jūs varat atstāt neievērošanu ar visiem noteikumiem, kas satur:

Mēs saņemam :.

d) līdzīgus noteikumus var iegūt lieliem grādiem: \\ t

e) izrādās, ka šo noteikumu var vispārināt par jaudas funkciju ar patvaļīgu rādītājs, pat:

(2)

Jūs varat formulēt likumu ar vārdiem: "Grāds tiek veikts kā koeficients, un pēc tam samazinās līdz".

Ļaujiet mums pierādīt šo noteikumu vēlāk (gandrīz pašā beigās). Un tagad apsveriet dažus piemērus. Atrast atvasinātās funkcijas:

(divos veidos: ar formulu un izmantojot atvasināto noteikšanu - ņemot vērā funkcijas pieaugumu);

Trigonometriskās funkcijas.

Šeit mēs izmantosim vienu faktu par augstāko matemātiku:

Izsakot.

Pierādījums Jūs zināt Pirmajā institūta gadā (un būt tur, jums ir nepieciešams nodot to labi). Tagad vienkārši parādiet to grafiski:

Mēs redzam, ka tad, kad funkcija nepastāv - punkts par iedzīvotāju grafiku. Bet tuvāk vērtībai, jo tuvāk funkcija. Tas ir visvairāk "cenšas".

Jūs varat arī pārbaudīt šo noteikumu, izmantojot kalkulatoru. Jā, jā, nav kautrīgi, ņemiet kalkulatoru, mēs vēl neesam eksāmenā.

Tā mēģiniet:;

Neaizmirstiet pārsūtīt kalkulatoru "Radian" režīmā!

utt Mēs redzam, ka mazāks, jo tuvāk attiecību vērtību.

a) Apsveriet funkciju. Kā parasti mēs atradīsim tās pieaugumu:

Pārvērst atšķirību sines darbā. Lai to izdarītu, mēs izmantojam formulu (atcerieties tēmu "") :.

Tagad atvasinājums:

Mēs aizstāsim :. Tad ar bezgalīgi maziem, tas ir arī bezgalīgi mazs :. Veidlapas izteiksme:

Un tagad jūs atceraties, ka, izsakot. Un arī tas, ka, ja bezgalīgi zemā vērtība var tikt atstāta novārtā (tas ir, kad).

Tātad, mēs saņemam šādu noteikumu: sinusa atvasinājums ir vienāds ar kosinālu:

Tas ir pamata ("tabulas") atvasinājumi. Šeit tie ir viens saraksts:

Vēlāk mēs pievienojam viņiem vēl dažus, bet tie ir vissvarīgākie, jo tie visbiežāk tiek izmantoti.

Prakse:

Atrast atvasinātu funkciju vietā;
Atrast atvasināto funkciju.

Risinājumi:

Eksponents un dabīgais logaritms.

Ir šāda funkcija matemātikā, kura atvasinājums, kas ar vienādu vērtību funkciju, tādā pašā veidā. To sauc par "Eksponentu", un ir indikatīva funkcija

Šīs funkcijas pamats ir nemainīgs ir bezgalīga decimālā daļa, tas ir, skaits ir neracionāla (piemēram,). Tādēļ to sauc par "Eulera skaitu" un apzīmē vēstuli.

Tātad, noteikums:

Atcerieties ļoti viegli.

Nu, neievērsimies tālu, mēs uzreiz izskatīsim reverso funkciju. Kāda funkcija ir indikatīvai funkcijai? Logaritms:

Mūsu gadījumā pamats ir numurs:

Šāds logaritms (tas ir, logaritmu ar bāzi) sauc par "dabisku", un par to mēs izmantojam īpašu apzīmējumu: rakstīšanas vietā.

Kas ir vienāds ar? Protams, .

Dabiskā logaritma atvasinājums ir ļoti vienkāršs:

Piemēri:

Atrast atvasināto funkciju.
Kāda ir atvasinātā funkcija ir vienāda?

Atbildes: Eksponents un dabiskais logaritms - funkcijas ir unikāli vienkārši no atvasinājuma viedokļa. Exchange un logaritmiskās funkcijas ar jebkuru citu bāzi būs vēl viens atvasinājums, kuru mēs analizēsim vēlāk ar jums, pēc tam no diferenciācijas noteikumiem.

Diferenciācijas noteikumi

Noteikumi, ko? Atkal jaunais termins, atkal?! ...

Diferenciācija - Tas ir atvasinājuma meklēšanas process.

Tikai un viss. Un kā vēl nosaukt šo procesu vienā vārdā? Nav ražošana ... matemātikas diferenciālis tiek saukta par vislielāko funkcijas pieaugumu. Šis termins notiek no latīņu diferenciālajiem - atšķirība. Šeit.

Izmeklējot visus šos noteikumus, mēs izmantosim divas funkcijas, piemēram, un. Mums būs vajadzīgi arī formulas par to soli:

Kopā ir 5 noteikumi.

Pastāvīgais ir izgatavots no atvasinājuma zīmes.

Ja - kaut kas nemainīgs numurs (nemainīgs), tad.

Acīmredzot šis noteikums darbojas atšķirībā :.

Mēs pierādām. Ļaujiet vai vieglāk.

Piemēri.

Atrast atvasinātās funkcijas:

punktā;
punktā;
punktā;
punktā.

Risinājumi:

Atvasināts darbs

Šeit viss ir līdzīgs: mēs ieviešam jaunu funkciju un atrod savu pieaugumu:

Atvasinājums:

Piemēri:

Atrast funkciju atvasinājumus un;
Atrodiet funkcijas atvasinājumu punktā.

Risinājumi:

Atvasināto indikatīvo funkciju

Tagad jūsu zināšanas ir pietiekami, lai uzzinātu, kā atrast jebkuras indikatīvās funkcijas atvasinājumu, nevis tikai izstādes dalībniekus (nav aizmirsuši to, kas tas ir?).

Tātad, kur ir kāds numurs.

Mēs jau zinām atvasināto instrumentu funkciju, tāpēc mēģināsim panākt mūsu funkciju jaunai bāzei:

Lai to izdarītu, mēs izmantojam vienkāršu noteikumu :. Tad:

Nu, izrādījās. Tagad mēģiniet atrast atvasinājumu, un neaizmirstiet, ka šī funkcija ir sarežģīta.

Notika?

Šeit pārbaudiet sevi:

Formula izrādījās ļoti līdzīga atvasinātajam eksponātam: kā tas bija, tas palika, tikai reizinātājs parādījās, kas ir tikai skaitlis, bet ne mainīgs.

Piemēri:
Atrast atvasinātās funkcijas:

Atbildes:

Atvasināto logaritmiskā funkcija

Šeit ir līdzīgs: jūs jau zināt atvasinājumu no dabiskā logaritma:

Tāpēc, lai atrastu patvaļīgu no logaritma ar citu iemeslu, piemēram:

Jums ir nepieciešams, lai šo logaritmu uz bāzi. Un kā mainīt logaritma pamatu? Es ceru, ka jūs atceraties šo formulu:

Tikai tagad mēs rakstīsim:

Denominatorā tas izrādījās tikai nemainīgs (nemainīgs numurs bez mainīga). Atvasinātājs ir ļoti vienkāršs:

Indikatīvo un logaritmisko funkciju atvasinājumi eksāmenā nav atrodami, bet tie nebūs lieki iepazīt tos.

Atvasinātā kompleksa funkcija.

Kas ir "sarežģīta funkcija"? Nē, tas nav logaritms, nevis arcthangence. Šīs funkcijas var būt sarežģītas izpratnes (lai gan, ja logaritms jums šķiet grūti, izlasiet tēmu "logaritmi", un viss notiks), bet no matemātikas viedokļa vārds "komplekss" nenozīmē "grūti".

Iedomājieties nelielu konveijeru: divi cilvēki sēž un ir dažas darbības ar dažiem objektiem. Piemēram, pirmais iesaiņo šokolādi iesaiņojumā, un otrais nozīmē to ar lenti. Izrādās, ka šāds neatņemams objekts: šokolāde, iesaiņota un izklāta ar lenti. Ēst šokolādi, jums ir nepieciešams veikt reverso darbību apgrieztā secībā.

Izveidosim līdzīgu matemātisko konveijeru: Vispirms mēs atradīsim numuru no numura, un pēc tam iegūto numuru, kas uzcelts laukumā. Tātad, mēs sniedzam numuru (šokolādi), es uzskatu savu kosine (wrap), un tad jums tiks uzcelts ar to, ko es darīju, kvadrātā (kaklasaite ar lenti). Kas notika? Funkcija. Tas ir piemērs sarežģītu funkciju: kad atrast tās nozīmes mēs veicam pirmo darbību tieši ar mainīgo, un tad vēl viena darbība ar to, kas notika kā rezultātā pirmo reizi.

Mēs varam pilnībā izdarīt tās pašas darbības un apgrieztā secībā: Vispirms jūs uzcelsies laukumā, un tad es meklēju rezultātā skaitu :. Ir viegli uzminēt, ka rezultāts būs gandrīz vienmēr atšķirīgs. Svarīga kompleksa funkciju iezīme: kad procedūras maiņa, funkciju izmaiņas.

Citiem vārdiem sakot, kompleksa funkcija ir funkcija, kura arguments ir vēl viena iezīme.: .

Pirmajam piemēram.

Otrais piemērs: (tas pats). .

Rīcība, ko mēs darīsim, zvanīs "Ārējā" funkcija, un darbība tika veikta pirmā - attiecīgi "Iekšējā" funkcija (Tie ir neformāli vārdi, es tos izmantoju tikai, lai izskaidrotu materiālu vienkāršā valodā).

Mēģiniet sevi noteikt, kāda funkcija ir ārējā un kas ir iekšēja:

Atbildes:Iekšējo un ārējo funkciju atdalīšana ir ļoti līdzīga mainīgo lielumu aizstāšanai: piemēram, funkcijā

mēs ražojam mainīgo lielumu nomaiņu un saņemiet funkciju.

Nu, tagad mēs iegūsim mūsu šokolādes šokolādi - meklēt atvasinājumu. Procedūra vienmēr ir mainīta: Vispirms mēs meklējam ārēju funkciju atvasinājumu, pēc tam reiziniet rezultātu par iekšējās funkcijas atvasinājumu. Attiecībā uz sākotnējo piemēru tas izskatās šādi:

Vēl viens piemērs:

Tātad, mēs beidzot formulējam oficiālo noteikumu:

Algoritms, lai atrastu atvasināto kompleksu funkciju:

Šķiet, ka tas ir vienkārši, jā?

Pārbaudiet piemērus:

Atvasinājums. Īsi par galveno lietu

Atvasinātā funkcija - funkcijas pieauguma attiecība pret argumentu ar bezgalīgi nelielu argumenta pieaugumu: \\ t

Pamata atvasinājumi:

Diferenciācijas noteikumi:

Konstante tiek veikta par atvasinājuma zīmi:

Atvasinātā summa:

Ražošanas darbs:

Privāts atvasinājums:

Atvasinātā kompleksa funkcija:

Algoritms, lai atrastu sarežģītu funkciju atvasinājumu:

Mēs definējam "iekšējo" funkciju, mēs atrodam savu atvasinājumu.
Mēs definējam "ārējo" funkciju, mēs atrodam savu atvasinājumu.
Reiziniet pirmās un otrās preces rezultātus.

Nu, tēma ir pabeigta. Ja izlasīsiet šīs rindas, tad jūs esat ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku var apgūt kaut ko pašu. Un, ja jūs lasāt līdz galam, tad jūs nonācāt šajos 5%!

Tagad vissvarīgākā lieta.

Jūs sapratāt šo tēmu teoriju. Un es atkārtoju, tas ... tas ir tikai super! Jūs esat labāk nekā absolūtais vairākums no saviem vienaudžiem.

Problēma ir tā, ka tas var nebūt pietiekami ...

Par ko?

Lai veiksmīgi nodotu lietošanu, uzņemšanai Institūtā par budžetu un, pats galvenais, dzīvē.

Es jūs neko nedarīšu, es tikai saku vienu lietu ...

Cilvēki, kuri saņēma labu izglītību, nopelna daudz vairāk nekā tie, kas to nesaņēma. Tie ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais ir tas, ka tie ir laimīgāki (ir šādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņiem ir daudz vairāk iespēju par labu tiem, un dzīve kļūst gaišāka? ES nezinu...

Bet, domājiet sevi ...

Kas jums ir nepieciešams, lai pārliecinātos, ka būs labāk nekā citi eksāmenā un galu galā ... laimīgāki?

Piepildiet roku, risinot uzdevumus šajā jautājumā.

Jūs neprasīsiet eksāmenu teoriju.

Jums būs nepieciešams atrisināt uzdevumus kādu laiku.

Un, ja jūs tos neatrisinājāt (daudz!), Jūs noteikti esat muļķīgi kļūdaini vai vienkārši nav laika.

Tas ir kā sportā - jums ir nepieciešams atkārtot daudzas reizes, lai pārliecinātos.

Atrast, kur vēlaties kolekciju, obligāti ar risinājumiem, detalizēta analīze Un izlemiet, izlemiet, izlemiet!

Jūs varat izmantot savus uzdevumus (ne vienmēr), un mēs, protams, mēs iesakām tos.

Lai aizpildītu roku ar mūsu uzdevumu palīdzību, jums ir nepieciešams, lai palīdzētu pagarināt dzīvi uz mācību grāmatu yoepever, kuru jūs lasāt tagad.

Kā? Ir divas iespējas:

Atvērtā piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem šajā rakstā -
Atvērt piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 rakstos mācību grāmatas - Pirkt mācību grāmatu - 499 rubļu

Jā, mums ir 99 šādi raksti mūsu mācību grāmatā un piekļuvi visiem uzdevumiem, un visus slēptos tekstus var atvērt nekavējoties.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem ir paredzēta visai vietnes esamībai.

Noslēgumā...

Ja mūsu uzdevumi nepatīk, atrast citus. Vienkārši neapstājas teorijā.

"Es saprotu" un "es varu izlemt" ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Jums ir nepieciešams abas.

Atrodiet uzdevumu un izlemiet!

(1. attēls)

1. attēls. Atvasinājumu grafiks

Grafikas atvasinājuma īpašības

Pieaugošo intervālos atvasinājums ir pozitīvs. Ja atvasinājumam noteiktā punktā no noteiktā intervāla ir pozitīva vērtība, tad funkciju grafiks šajā intervālā palielinās.
Pēc saplacināšanas intervāliem atvasinājums ir negatīvs (ar mīnus zīmi). Ja atvasinājumam noteiktā punktā no kāda intervāla ir negatīva vērtība, tad funkciju grafiks samazinās šajā intervālā.
Atvasinātais instruments X punktā ir vienāds ar tangenciālā leņķa koeficientu, kas veikta ar funkcijas grafiku tajā pašā punktā.
Pie maksimālajiem minimālajiem punktiem atvasināto funkciju ir nulle. Tanner uz funkcijas grafiku šajā brīdī paralēli asij oh.

1. piemērs.

Saskaņā ar grafiku (2. att.), Atvasinātais instruments ir noteikts, kādā brīdī uz segmenta [-3; 5] Funkcija ir maksimāla.

2. attēls. Atvasinātais grafiks

Risinājums: Šajā segmentā atvasinājums ir negatīvs, un tāpēc funkcija samazinās no kreisās uz labo pusi, un tā ir lielākā vērtība no kreisās puses -3.

2. piemērs.

Saskaņā ar grafiku (3. att.), Atvasinājums nosaka maksimālo punktu skaitu segmentā [-11; 3].

3. attēls. Atvasinātais grafiks

3. piemērs.

Saskaņā ar grafiku (3. att.), Atvasinājums nosaka minimālo punktu skaitu no segmenta [-11; -One].

4. piemērs.

Saskaņā ar grafiku (3. att.), Atvasinājums nosaka ekstrēmuma punktu skaitu.

Risinājums: Estrira ir gan minimālā, gan maksimālā punkti. Mēs atrodam punktu skaitu, kuros atvasinājums maina zīmi.

Atvasinātā funkcija ir viena no sarežģītajām mācību programmām. Ne katrs absolvents atbildēs uz jautājumu par to, kas ir atvasināts.

Šis raksts ir vienkārši skaidri runājot par to, kas ir atvasinājums, un par to, kas tam ir vajadzīga. Mēs nebūsim censties censties uz prezentācijas matemātisko stingrību. Vissvarīgākais ir saprast nozīmi.

Mēs atceramies definīciju:

Atvasinātais instruments ir funkcijas maiņas ātrums.

Attēlā - trīs funkciju grafikā. Ko jūs domājat, ka pieaug ātrāk?

Atbilde ir acīmredzama - trešais. Tam ir vislielākais pārmaiņu ātrums, tas ir, vislielākais atvasinājums.

Šeit ir vēl viens piemērs.

Kostya, Grisha un Matvey vienlaicīgi ieguva darbu. Let's redzēt, kā viņu ienākumi mainījās gada laikā:

Uz grafiku uzreiz visu var redzēt, vai ne? Kaulu ienākumi pusgadā ir pieaudzis vairāk nekā divas reizes. Un Grisha ieņēmumi ir arī audzēti, bet diezgan mazliet. Un Mateja ienākumi samazinājās līdz nullei. Sākuma apstākļi ir vienādi, un funkcijas maiņas ātrums, tas ir atvasinājums- Savādāk. Attiecībā uz Mateja - viņa ienākumi negatīvi iegūti.

Intuitīvi mēs viegli novērtējam funkcijas maiņas ātrumu. Bet kā jūs to darāt?

Patiesībā mēs skatāmies, cik atdzist funkcijas grafiks (vai uz leju). Citiem vārdiem sakot, cik ātri mainās y ar izmaiņām x. Acīmredzot, tai pašai funkcijai dažādos punktos var būt atšķirīga atvasinājuma vērtība - tas ir, tas var atšķirties ātrāk vai lēnāk.

Atvasinātā funkcija ir norādīta.

Parādiet, kā atrast, izmantojot grafiku.

Grafiks tiek izdarīts dažas funkcijas. Paņemiet punktu ar abscisu uz tā. Mēs pievēršamies šā punkta tangentam grafikas funkcijai. Mēs vēlamies novērtēt, cik atdzesē funkcijas grafiku. Ērta vērtība šim - tangentas slīpuma leņķis.

Funkcijas atvasinājums ir vienāds ar slīpuma leņķa pieskari, kas veikta uz funkcijas grafiku šajā brīdī.

Lūdzu, ņemiet vērā - kā tangenta atzīmes leņķi, mēs leņķi starp tangentu un pozitīvo virzienu ass.

Dažreiz studenti jautā, ko pieskaras funkciju grafikai. Tas ir tiešs, kam ir viens kopīgs punkts ar grafiku šajā zemes gabalā, kā parādīts mūsu skaitlī. Izskatās tangentā līdz apkārtmēram.

Mēs atradīsim. Mēs atceramies, ka akūta leņķa tangens taisnstūrveida trijstūrī ir vienāda ar pretējās kateka attieksmi pret blakus vienu. No trijstūra:

Mēs atradām atvasinājumu ar diagrammas palīdzību, pat nezinot formulu funkciju. Šādi uzdevumi bieži sastopami eksāmenā matemātikā pie numura.

Ir vēl viena svarīga attiecība. Atgādināt, ka tiešais ir norādīts vienādojumā

Šīs vienādojuma vērtību sauc par leņķa koeficients tiešais. Tas ir vienāds ar tangenu leņķa slīpuma tieši uz asi.

Mēs to saņemam

Mēs atceramies šo formulu. Tā izsaka atvasinātā instrumenta ģeometrisko nozīmi.

Šīs funkcijas atvasinājums ir vienāds ar pieskares leņķisko koeficientu, kas veikts uz funkcijas grafiku šajā brīdī.

Citiem vārdiem sakot, atvasinājums ir vienāds ar pieskari slīpuma leņķi.

Mēs jau esam teikuši, ka tai pašai funkcijai dažādos punktos var būt atšķirīgs atvasinājums. Let's redzēt, kā atvasinājums ir saistīts ar uzvedību funkciju.

Zīmējiet dažas funkcijas grafiku. Ļaujiet šai funkcijai pieaugt dažās daļās, uz citiem - samazinās, ar dažādiem ātrumiem. Un pat tad, ja šī funkcija būs maksimālais un minimālais punkts.

Pozīcijā funkcija palielinās. Tangens grafiku, kas pavadīts punktā, veido asu leņķi; Ar pozitīvu ass virzienu. Tātad, punktā atvasinājums ir pozitīvs.

Pieņemšanas brīdī mūsu funkcija samazinās. Pieskare šajā brīdī veido stulbu leņķi; Ar pozitīvu ass virzienu. Tā kā blāvi leņķa pieskare ir negatīvs, atvasinājums ir negatīvs punktā.

Tas ir tas, kas izrādās:

Ja funkcija palielinās, tā atvasinājums ir pozitīvs.

Ja samazinās, tā atvasinājums ir negatīvs.

Un kas būs maksimālā un minimālā punkti? Mēs redzam, ka punkti (maksimālais punkts) un (minimālais punkts) pieskare horizontāls. Līdz ar to pieskares pieskares slīpuma leņķis šajos punktos ir nulle, un atvasinājums ir arī nulle.

Punkts ir maksimālais punkts. Šajā brīdī pieaugošā funkcija tiek aizstāta ar nolaišanos. Līdz ar to atvasināto izmaiņu pazīme tādā vietā ar "plus" uz "mīnus".

Punkta - punkta minimums - atvasinājums ir arī nulle, bet tās zīme mainās no "mīnus" uz "plus".

Secinājums: Ar atvasinājuma palīdzību jūs varat uzzināt par funkcijas uzvedību, kas mūs interesē.

Ja atvasinājums ir pozitīvs, tad funkcija palielinās.

Ja atvasinājums ir negatīvs, funkcija samazinās.

Maksimālā vietā atvasinājums ir nulle un maina zīmi no "plus" uz "mīnus".

Minimālā vietā atvasinājums ir arī nulle un maina zīmi no "mīnus" uz "plus".

Mēs rakstām šos secinājumus tabulas veidā:

	palielinājums	maksimālais punkts	samazināt	punkts minimums	palielinājums
+	0	-	0	+

Mēs veiksim divus nelielus paskaidrojumus. Viens no tiem būs nepieciešami, lai jūs atrisinātu problēmu. Citādi - pirmajā gadā ar nopietnāku funkciju un atvasinājumu izpēti.

Lieta ir iespējama, ja funkcijas atvasinājums kādā brīdī ir nulle, bet ne vairāk kā minimālā funkcija šajā brīdī. Tas ir tā sauktais :

Pie punkta pieskaras grafikai horizontālā, un atvasinājums ir nulle. Tomēr funkciju funkcija palielinājās - un pēc tam, kad punkts turpina pieaugt. Atvasinātā instrumenta zīme nemainās - tas ir bijis pozitīvs un palika.

Tā arī notiek, ka pie punkta maksimāli vai minimāli, atvasinājums nepastāv. Attiecībā uz diagrammu, tas atbilst asu laušanai, kad pieskare nav iespējama šajā brīdī.