यह आंकड़ा व्युत्पन्न कार्य का एक ग्राफ दिखाता है। गणित में ईजीई (प्रोफाइल)

(चित्र .1)

चित्रा 1. व्युत्पन्न व्युत्पन्न

ग्राफिक्स व्युत्पन्न गुण

बढ़ने के अंतराल पर, व्युत्पन्न सकारात्मक है। यदि एक निश्चित अंतराल से एक निश्चित बिंदु पर व्युत्पन्न एक सकारात्मक मूल्य है, तो इस अंतराल पर फ़ंक्शन ग्राफ़ बढ़ता है।
फ़्लैटेनिंग अंतराल पर, व्युत्पन्न ऋणात्मक है (एक शून्य चिह्न के साथ)। यदि कुछ अंतराल से एक निश्चित बिंदु पर व्युत्पन्न नकारात्मक मूल्य है, तो इस अंतराल पर फ़ंक्शन शेड्यूल कम हो जाता है।
बिंदु एक्स पर व्युत्पन्न टेंगेंशियल के कोणीय गुणांक के बराबर है, जो एक ही बिंदु पर कार्य के ग्राफ में आयोजित किया जाता है।
अधिकतम न्यूनतम बिंदुओं पर, व्युत्पन्न कार्य शून्य है। इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफिक्स के लिए टैनर एक्सिस के समानांतर ओह।

उदाहरण 1।

ग्राफ (चित्र 2) के अनुसार, व्युत्पन्न सेगमेंट पर किस बिंदु पर निर्धारित किया जाता है [-3; 5] समारोह अधिकतम है।

चित्रा 2. व्युत्पन्न ग्राफ

समाधान: इस सेगमेंट पर, व्युत्पन्न ऋणात्मक है, और इसलिए फ़ंक्शन बाएं से दाएं घटता है, और बिंदु -3 पर बाईं ओर का सबसे बड़ा मूल्य है।

उदाहरण 2।

ग्राफिक्स (चित्र 3) के अनुसार, व्युत्पन्न सेगमेंट पर अधिकतम बिंदुओं की संख्या निर्धारित करता है [-11; 3]।

चित्रा 3. व्युत्पन्न ग्राफ

समाधान: अधिकतम अंक व्युत्पन्न के संकेत के बिंदु के अनुरूप हैं जो सकारात्मक के लिए सकारात्मक के साथ। इस अंतराल पर, फ़ंक्शन पॉइंट 10 और पॉइंट -1 पर माइनस पर प्लस से दो बार संकेत बदलता है। तो अधिकतम अंक की संख्या दो है।

उदाहरण 3।

ग्राफिक्स (चित्र 3) के अनुसार, व्युत्पन्न न्यूनतम सेगमेंट के बिंदुओं की संख्या निर्धारित करता है [-11; -एक]।

समाधान: न्यूनतम बिंदु बिंदु शिफ्ट बिंदुओं के अनुरूप नकारात्मक के साथ सकारात्मक के साथ। इस सेगमेंट पर ऐसा बिंदु केवल -7 है। तो, दिए गए सेगमेंट पर न्यूनतम बिंदुओं की संख्या एक है।

उदाहरण 4।

ग्राफिक्स (चित्र 3) के अनुसार, व्युत्पन्न चरम बिंदुओं की संख्या निर्धारित करता है।

समाधान: चरम न्यूनतम और अधिकतम दोनों के बिंदु हैं। हमें उन बिंदुओं की संख्या मिलती है जिनमें व्युत्पन्न हस्ताक्षर बदलता है।

यह आंकड़ा अंतराल में परिभाषित व्युत्पन्न समारोह एफ (एक्स) का एक ग्राफ दिखाता है [-5; 6]। ग्राफ एफ (एक्स) के अंकों की संख्या, जिनमें से प्रत्येक में टेंगेंट, समारोह के ग्राफ पर खर्च किया गया, अनुपस्थिति या एब्सिसा अक्ष के समानांतर

यह आंकड़ा अलग-अलग फ़ंक्शन y \u003d f (x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है।

सेगमेंट से संबंधित फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के अंक की संख्या ज्ञात करें [-7; 7], जिसमें फ़ंक्शन का फ़ंक्शन टेंगेंट प्रत्यक्ष निर्दिष्ट समीकरण y \u003d -3x के समानांतर है।

सामग्री बिंदु मीटर बिंदु ए से आगे बढ़ने और 12 सेकंड के लिए एक सीधी रेखा में आगे बढ़ना शुरू कर देता है। अनुसूची दिखाती है कि बिंदु ए से बिंदु के समय से दूरी कैसे दूरी पर है। Abscissa अक्ष पर, समय टी को सेकंड में स्थगित कर दिया जाता है, अधीन अक्ष पर - मीटर में दूरी एस। यह निर्धारित करें कि आंदोलन के दौरान कितनी बार गति बिंदु एम शून्य से अपील की जाती है (आंदोलन की शुरुआत और अंत ध्यान में नहीं है)।

यह आंकड़ा ABSCISSA X \u003d 0. के साथ एक बिंदु पर फ़ंक्शन y \u003d f (x) और टेंगेंट के समारोहों के अनुभाग दिखाता है। यह ज्ञात है कि यह समय सारिणी के साथ ग्राफ के बिंदुओं के माध्यम से सीधे पास होने के समानांतर है x \u003d -2 और x \u003d 3. इसका उपयोग करके, व्युत्पन्न एफ "(ओ) का मूल्य ज्ञात कीजिए।

यह आंकड़ा एक ग्राफ y \u003d f '(x) दिखाता है - सेगमेंट (-11; 2) पर परिभाषित फ़ंक्शन f (x) का व्युत्पन्न। उस बिंदु की अनुपस्थिति को ढूंढें जिसमें फ़ंक्शन y \u003d f (x) के फ़ंक्शन का टेंगेंट ABSCISSA अक्ष के समानांतर है या इसके साथ मेल खाता है।

भौतिक बिंदु सीधे कानून x (t) \u003d (1/3) t ^ 3-3t ^ 2-5t + 3 के अनुसार चलता है, जहां एक्स मीटर में संदर्भ के बिंदु से दूरी है, टी सेकंड में समय है आंदोलन की शुरुआत से मापा जाता है। किस समय (सेकंड में), इसकी गति 2 मीटर / एस थी?

सामग्री बिंदु प्रारंभिक से अंत स्थिति तक एक सीधी रेखा के साथ चलता है। यह आंकड़ा अपने आंदोलन के कार्यक्रम को दर्शाता है। Abscissa धुरी पर, आदेश के धुरी पर, समय की अक्ष (मीटर में) की दूरी से सेकंड में समय स्थगित कर दिया जाता है। बिंदु की औसत गति पाएं। प्रति सेकंड मीटर में जवाब दें।

फ़ंक्शन y \u003d f (x) अंतराल पर निर्धारित होता है [-4; चार]। यह आंकड़ा इसके व्युत्पन्न का ग्राफ दिखाता है। फ़ंक्शन वाई \u003d एफ (एक्स) के फ़ंक्शन के बिंदुओं की संख्या का पता लगाएं, जिनमें से स्पर्शक एक्सिस की सकारात्मक दिशा के साथ 45 डिग्री का कोण बनाता है।

फ़ंक्शन y \u003d f (x) को सेगमेंट पर परिभाषित किया गया है [-2; चार]। यह आंकड़ा इसके व्युत्पन्न के लिए शेड्यूल दिखाता है। फ़ंक्शन y \u003d f (x) के फ़ंक्शन के ग्राफ़ के Abscissa का पता लगाएं जिसमें सेगमेंट पर सबसे छोटा मूल्य लगता है [-2; -0,001]।

यह आंकड़ा बिंदु x0 पर बिताए गए इस ग्राफिक्स के लिए फ़ंक्शन वाई \u003d एफ (एक्स) और टेंगेंट का ग्राफ दिखाता है। टेंगेंट वाई \u003d -2x + 15 समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है। व्युत्पन्न समारोह y \u003d - (1/4) f (x) + 5 बिंदु x0 पर मूल्य का पता लगाएं।

अंतर समारोह y \u003d f (x) के ग्राफ पर सात डॉट्स चिह्नित हैं: x1, .., x7। सभी चिह्नित बिंदुओं को ढूंढें जिसमें व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) शून्य से अधिक है। प्रतिक्रिया में, इन बिंदुओं की संख्या निर्दिष्ट करें।

यह आंकड़ा एक ग्राफ y \u003d f "(x) व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) दिखाता है, जो अंतराल (-10; 2) पर निर्धारित होता है। उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जिसमें फ़ंक्शन f (x) का कार्य समानांतर है डायरेक्ट वाई \u003d -2 एक्स -11 या इसके साथ मेल खाता है।

यह आंकड़ा ग्राफ वाई \u003d एफ "(एक्स) दिखाता है - व्युत्पन्न फ़ंक्शन एफ (एक्स)। Abscissa अक्ष पर, नौ अंक नोट किए गए हैं: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x9, x7, x8, x9 ।
इनमें से कितने बिंदु फ़ंक्शन f (x) की कमी से संबंधित हैं?

यह आंकड़ा बिंदु x0 पर बिताए गए इस ग्राफिक्स के लिए फ़ंक्शन वाई \u003d एफ (एक्स) और स्पर्शरेखा का ग्राफ दिखाता है। टेंगेंट समीकरण y \u003d 1.5x + 3.5 द्वारा दिया जाता है। व्युत्पन्न समारोह वाई \u003d 2 एफ (एक्स) - 1 बिंदु x0 पर 1 का मूल्य खोजें।

यह आंकड़ा आदिम कार्यों में से एक का एक ग्राफ y \u003d f (x) दिखाता है f (x)। ग्राफ़ ने एबीएससीशन एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्स 6 के साथ छह अंक चिह्नित किए। इनमें से पूरे बिंदु, फ़ंक्शन y \u003d f (x) नकारात्मक मान लेता है?

यह आंकड़ा मार्ग के साथ कार गति कार्यक्रम दिखाता है। Abscissa अक्ष पर, आदेश को स्थगित कर दिया जाता है (घंटों में), अधीनता की धुरी पर - पथ पारित (किलोमीटर में)। इस मार्ग पर औसत वाहन की गति पाएं। किमी / घंटा में उत्तर

भौतिक बिंदु सीधे कानून एक्स (टी) \u003d (- 1/6) टी ^ 3 + 7 टी ^ 2 + 6 टी + 1 के अनुसार चलता है, जहां एक्स संदर्भ के बिंदु से दूरी है (मीटर में), टी है आंदोलन का समय (सेकंड में)। समय टी \u003d 6 एस पर उसकी गति (प्रति सेकंड मीटर में) खोजें

यह आंकड़ा अंतराल (-6; 7) पर निर्धारित कुछ फ़ंक्शन y \u003d f (x) के आदिम y \u003d f (x) का एक ग्राफ दिखाता है। पैटर्न का उपयोग करके, इस अंतराल पर फ़ंक्शन एफ (एक्स) के शून्य की संख्या निर्धारित करें।

यह आंकड़ा एक ग्राफ वाई \u003d एफ (एक्स) को अंतराल (-7; 5) पर परिभाषित प्राथमिक कुछ कार्यों में से एक (x) में से एक दिखाता है। पैटर्न का उपयोग करके, सेगमेंट पर समीकरण एफ (एक्स) \u003d 0 के समाधान की मात्रा निर्धारित करें [- 5; 2]।

यह आंकड़ा अंतर समारोह y \u003d f (x) का एक ग्राफ दिखाता है। Abscissa धुरी पर, नौ अंक चिह्नित हैं: x1, x2, ... x9। सभी चिह्नित बिंदुओं को ढूंढें जिसमें व्युत्पन्न फ़ंक्शन f (x) नकारात्मक है। प्रतिक्रिया में, इन बिंदुओं की संख्या निर्दिष्ट करें।

भौतिक बिंदु सीधे कानून एक्स (टी) \u003d 12 टी ^ 3-3 टी ^ 2 + 2 टी द्वारा चलता है, जहां एक्स मीटर में संदर्भ बिंदु से दूरी है, टी आंदोलन की शुरुआत से मापा सेकंड में समय है। समय टी \u003d 6 एस पर उसकी गति (मीटर प्रति सेकंड में) खोजें।

यह आंकड़ा बिंदु x0 पर बिताए गए इस ग्राफिक्स के लिए फ़ंक्शन वाई \u003d एफ (एक्स) और टेंगेंट का ग्राफ दिखाता है। टेंगेंट समीकरण आकृति में दिखाया गया है। व्युत्पन्न फ़ंक्शन y \u003d 4 * f (x) -3 पर बिंदु x0 का मान पाएं।

एक पहाड़ी क्षेत्र से गुजरने वाली सीधी सड़क की कल्पना करें। यही है, यह ऊपर जाता है, फिर नीचे, लेकिन दाएं या बाएं नहीं बदले। यदि अक्ष को क्षैतिज रूप से सड़क के साथ निर्देशित किया जाता है, और लंबवत रूप से, तो सड़क की रेखा कुछ निरंतर कार्य के अनुसूची के समान ही होगी:

धुरी शून्य ऊंचाई का एक निश्चित स्तर है, हम समुद्र के स्तर का उपयोग करते हैं।

इस तरह की एक सड़क पर आगे बढ़ते हुए, हम भी ऊपर या नीचे जाते हैं। हम यह भी कह सकते हैं: जब तर्क बदल दिया जाता है (एब्सिसा अक्ष के साथ उन्नत) फ़ंक्शन परिवर्तन का मान (ऑर्डिनेट एक्सिस के साथ आंदोलन)। और अब आइए सोचें कि हमारी सड़क की "खड़ीता" कैसे निर्धारित करें? परिमाण के लिए यह क्या हो सकता है? बहुत सरल: एक निश्चित दूरी के लिए आगे बढ़ते समय ऊंचाई कितनी बदल जाएगी। आखिरकार, सड़क के विभिन्न हिस्सों में, एक किलोमीटर के लिए आगे (एब्सिसा अक्ष के साथ) आगे बढ़ना, हम उठेंगे या गिरेंगे विविध संख्या समुद्र तल के सापेक्ष मीटर (ऑर्डिनेट अक्ष के साथ)।

पदोन्नति को निरूपित करने के लिए आगे ("डेल्टा एक्स" पढ़ें)।

गणित में ग्रीक अक्षर (डेल्टा) आमतौर पर उपसर्ग के रूप में उपयोग किया जाता है जिसका अर्थ "परिवर्तन" होता है। यही है - यह मूल्य में बदलाव है - परिवर्तन; फिर क्या है? यह सही है, मूल्य बदलें।

महत्वपूर्ण: अभिव्यक्ति एक पूर्णांक है, एक चर। आप "Iksa" या किसी अन्य पत्र से "डेल्टा" को कभी नहीं फाड़ सकते हैं! उदाहरण के लिए।

तो, हम क्षैतिज रूप से आगे बढ़ते हैं। यदि सड़क की रेखा हम एक ग्राफ के साथ फ़ंक्शन की तुलना करते हैं, तो हम वृद्धि को कैसे नामित करते हैं? ज़रूर, । यही है, जब हम ऊपर बढ़ते हुए आगे बढ़ते हैं।

राशि की गणना करना आसान है: यदि शुरुआत में हम ऊंचाई पर थे, और आगे बढ़ने के बाद ऊंचाई पर थे। यदि अंत बिंदु प्रारंभिक से कम हो गया, तो यह नकारात्मक होगा - इसका मतलब है कि हम ऊपर नहीं जाते हैं, लेकिन नीचे जाने दें।

आइए "स्टेपनेस" पर वापस जाएं: यह वह मान है जो दिखाता है कि प्रति यूनिट दूरी आगे बढ़ते समय कितनी दृढ़ता से (ठंडा) ऊंचाई बढ़ जाती है:

मान लीजिए कि केएम पर जाने पर पथ की एक साइट पर सड़क केएम पर ऊपर की ओर बढ़ती है। फिर इस जगह में खड़ी बराबर है। और यदि सड़क पर प्रचार करते समय सड़क किमी तक जाती है? फिर खड़ी के बराबर है।

अब कुछ पहाड़ी के शीर्ष पर विचार करें। यदि आप शीर्ष पर आधे किलोमीटर के लिए साइट की शुरुआत करते हैं, और अंत - आधे किलोमीटर के बाद, यह देखा जा सकता है कि ऊंचाई लगभग समान है।

यही है, हमारे तर्क में यह पता चला है कि यहां खड़ीता शून्य के बराबर है, जो स्पष्ट रूप से सच नहीं है। केवल किमी में दूरी पर बहुत कुछ बदल सकता है। खड़ीता के अधिक पर्याप्त और सटीक मूल्यांकन के लिए छोटे वर्गों पर विचार करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक मीटर में जाने पर ऊंचाई में परिवर्तन को मापते हैं, तो परिणाम अधिक सटीक होगा। लेकिन यह सटीकता हमारे लिए पर्याप्त नहीं हो सकती है - क्योंकि यदि सड़क के बीच में खंभा है, तो हम इसे बस फिसल सकते हैं। फिर किस दूरी का चयन करें? सेंटीमीटर? मिलीमीटर? कम बेहतर है!

वास्तविक जीवन में, मिलिएथ्रा की सटीकता के साथ दूरी को मापना - पर्याप्त से अधिक। लेकिन गणितज्ञ हमेशा पूर्णता के लिए प्रयास करते हैं। इसलिए, अवधारणा का आविष्कार किया गया था असीम रूप से छोटायही है, मॉड्यूल की परिमाण किसी भी संख्या से कम है जिसे केवल कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, आप कहते हैं: एक ट्रिलियन! कम कहाँ है? और आपने इस नंबर को दायर किया - और यह भी कम होगा। आदि। अगर हम लिखना चाहते हैं कि परिमाण असीम रूप से छोटा है, तो हम इस तरह लिखते हैं: (मैंने पढ़ा "एक्स शून्य के लिए प्रयास कर रहा है")। यह समझना बहुत महत्वपूर्ण है यह संख्या शून्य नहीं है! लेकिन उसके बहुत करीब। इसका मतलब है कि इसे इसमें विभाजित किया जा सकता है।

विपरीत अवधारणा असीम रूप से छोटी है - असीम रूप से बड़ी ()। जब मैं असमानताओं में लगे थे तो आप पहले ही उसके साथ छीन चुके थे: यह किसी भी संख्या से अधिक मॉड्यूल की संख्या है जिसका आविष्कार किया जा सकता है। यदि आप संभावित संख्याओं के सबसे बड़े साथ आए हैं, तो बस इसे दो तक गुणा करें, और यह और भी अधिक हो जाएगा। और जो होता है उससे भी अधिक अनंत। वास्तव में, असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे एक दूसरे को उलट दिया जाता है, यानी, कब, और इसके विपरीत: कब।

अब वापस हमारी सड़क पर। पूरी तरह से गिनती की खड़ीता एक बेनगेन है, जो पथ के एक असीम रूप से छोटे सेगमेंट के लिए गणना की जाती है, जो है:

मैं ध्यान देता हूं कि एक असीम छोटे आंदोलन के साथ, ऊंचाई में परिवर्तन भी असीम रूप से छोटा होगा। लेकिन मैं आपको याद दिलाता हूं, असीम रूप से छोटा - शून्य के बराबर नहीं है। यदि आप एक दूसरे को असीमित रूप से छोटी संख्या साझा करते हैं, तो यह काफी आम संख्या हो सकती है, उदाहरण के लिए। यही है, एक कम मूल्य बिल्कुल एक से अधिक बार हो सकता है।

यह सब क्या है? सड़क, खड़ीता ... हम रैली में नहीं जा रहे हैं, और हम गणित सीखते हैं। और गणित में सबकुछ वही है, केवल अलग तरह से कहा जाता है।

व्युत्पन्न की अवधारणा

समारोह का व्युत्पन्न कार्य के तर्क की वृद्धि के लिए तर्क की वृद्धि के लिए तर्क की वृद्धि के अनुपात में तर्क होता है।

वेतन वृद्धि गणित कॉल में परिवर्तन। कितना तर्क बदल गया () जब धुरी के साथ चलते हुए कहा जाता है तर्क की वृद्धि और एक्सिस के साथ आगे बढ़ते समय फ़ंक्शन को कितना बदलाव (ऊंचाई) कहा जाता है, जिसे कहा जाता है समारोह की वृद्धि और दर्शाया गया है।

तो, व्युत्पन्न कार्य कब के लिए रवैया है। हम एक ही पत्र के व्युत्पन्न को समारोह के रूप में इंगित करते हैं, केवल दाईं ओर स्ट्रोक के साथ: या बस। तो, हम इन नोटेशन का उपयोग करके व्युत्पन्न सूत्र लिखेंगे:

यहां महंगा के साथ समानता के साथ, समारोह में वृद्धि के साथ, व्युत्पन्न सकारात्मक है, और जब घट रहा है नकारात्मक है।

क्या व्युत्पन्न शून्य होता है? ज़रूर। उदाहरण के लिए, यदि हम एक फ्लैट क्षैतिज सड़क के साथ जा रहे हैं, तो खड़ी शून्य है। और सच्चाई यह है कि ऊंचाई पूरी तरह से बदल रही नहीं है। तो व्युत्पन्न के साथ: निरंतर कार्य (स्थिर) का व्युत्पन्न शून्य है:

चूंकि इस तरह के एक समारोह की वृद्धि किसी भी पर शून्य है।

चलो पहाड़ी से उदाहरण याद रखें। यह पता चला कि यह संभव था कि आप सीमा के विभिन्न दिशाओं के साथ सेगमेंट के सिरों को स्थानांतरित कर सकें जो सिरों पर ऊंचाई समान हो जाती है, यानी, खंड समानांतर धुरी में स्थित है:

लेकिन बड़े सेगमेंट गलत माप का संकेत हैं। हम अपने कटौती को अपने आप को समानांतर बढ़ाएंगे, फिर इसकी लंबाई कम हो जाएगी।

अंत में, जब हम शीर्ष के असीम रूप से करीब होते हैं, तो सेगमेंट की लंबाई असीम रूप से छोटी हो जाएगी। लेकिन साथ ही, यह धुरी के समानांतर रहा, यानी, इसके सिरों पर ऊंचाई अंतर शून्य है (चाहने नहीं, अर्थात् के बराबर)। इतना व्युत्पन्न

इसे समझना संभव है: जब हम शीर्ष के शीर्ष पर खड़े होते हैं, तो बाएं या दाएं परिवर्तनों के लिए थोड़ा विस्थापन हमारी ऊंचाई नगण्य है।

पूरी तरह से बीजगणितीय स्पष्टीकरण है: शीर्ष के बाईं ओर फ़ंक्शन बढ़ता है, और दाईं ओर - घटता है। जैसा कि हमने पहले से ही पता लगाया है, समारोह में वृद्धि के साथ, व्युत्पन्न सकारात्मक है, और उतरने के रूप में, नकारात्मक है। लेकिन यह बिना कूद के सुचारू रूप से बदलता है (क्योंकि सड़क ढलान को कहीं भी नहीं बदलती है)। इसलिए, नकारात्मक और सकारात्मक मूल्यों के बीच होना चाहिए। वह तब होगा जहां समारोह न तो बढ़ता है, न ही घटता है - चरम के बिंदु पर।

अवसाद के लिए भी यही सच है (वह क्षेत्र जहां बाईं ओर समारोह घटता है, और दाईं ओर - बढ़ता है):

वेतन वृद्धि के बारे में कुछ और।

तो, हम तर्क को परिमाण द्वारा बदलते हैं। किस मूल्य से बदलें? अब वह (तर्क) क्या है? हम किसी भी बिंदु का चयन कर सकते हैं, और अब हम इससे नृत्य करेंगे।

समन्वय के साथ एक बिंदु पर विचार करें। इसमें फ़ंक्शन का मान बराबर है। फिर कुछ वृद्धि करें: समन्वय को बढ़ाएं। अब तर्क क्या है? बहुत आसान: । और अब समारोह का मूल्य क्या है? जहां तर्क, वहां और समारोह :. और समारोह की वृद्धि के बारे में क्या? कुछ भी नया नहीं: यह अभी भी उस परिमाण है जिसमें समारोह बदल गया है:

वेतन वृद्धि खोजने के लिए अभ्यास:

जब तर्क बढ़ रहा हो तो उस बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि का पता लगाएं।
बिंदु पर समारोह के लिए समान।

समाधान:

एक में अलग-अलग बिंदुओं पर और तर्क की एक ही वृद्धि, समारोह की वृद्धि अलग होगी। इसका मतलब है कि हर बिंदु पर व्युत्पन्न स्वयं है (हमने बहुत शुरुआत में चर्चा की - विभिन्न बिंदुओं पर सड़क की खड़ीता अलग है)। इसलिए, जब हम एक व्युत्पन्न लिखते हैं, तो आपको यह निर्दिष्ट करना होगा कि किस बिंदु पर:

ऊर्जा समीकरण।

शक्ति को उस समारोह कहा जाता है जहां तर्क कुछ हद तक है (तार्किक, हां?)।

इसके अलावा, या तो :.

सबसे सरल मामला तब होता है जब डिग्री संकेतक:

हम इस बिंदु पर अपने व्युत्पन्न पाते हैं। हमें व्युत्पन्न की परिभाषा याद है:

तो, तर्क पहले से बदल जाता है। समारोह की वृद्धि क्या है?

वेतन वृद्धि है। लेकिन किसी भी बिंदु पर समारोह इसके तर्क के बराबर है। इसलिए:

व्युत्पन्न के बराबर है:

बराबर से व्युत्पन्न:

b) अब विचार करें द्विघात फंक्शन (): .

और अब याद रखें। इसका मतलब है कि वृद्धि का मूल्य उपेक्षित किया जा सकता है, क्योंकि यह असीम रूप से छोटा है, और इसलिए किसी अन्य शब्द की पृष्ठभूमि के खिलाफ महत्वहीन रूप से:

तो, हम अगले नियम पैदा हुए थे:

सी) हम तार्किक रेंज जारी रखते हैं :.

इस अभिव्यक्ति को विभिन्न तरीकों से सरल बनाया जा सकता है: घन राशि के संक्षिप्त गुणा के सूत्र द्वारा पहले ब्रैकेट को प्रकट करने के लिए, या घन अंतर सूत्र द्वारा कारकों पर पूरी अभिव्यक्ति को विघटित करना। किसी भी प्रस्तावित तरीकों से इसे स्वयं करने का प्रयास करें।

तो, मुझे निम्नलिखित मिला:

और फिर से याद रखें। इसका मतलब है कि आप उन सभी शर्तों से उपेक्षा कर सकते हैं:

हम पाते हैं :।

डी) इसी तरह के नियम बड़े डिग्री के लिए प्राप्त किया जा सकता है:

ई) यह पता चला है कि इस नियम को एक मनमाने ढंग से संकेतक के साथ एक पावर फ़ंक्शन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, यहां तक \u200b\u200bकि:

(2)

आप नियमों के साथ नियम तैयार कर सकते हैं: "डिग्री एक गुणांक के रूप में आगे की जाती है, और फिर कम हो जाती है"।

आइए बाद में इस नियम को साबित करें (लगभग बहुत अंत में)। और अब कुछ उदाहरणों पर विचार करें। व्युत्पन्न कार्य खोजें:

(दो तरीकों से: सूत्र द्वारा और व्युत्पन्न दृढ़ संकल्प का उपयोग करके - समारोह की वृद्धि को ध्यान में रखते हुए);

त्रिकोणमितीय कार्य।

यहां हम उच्चतम गणित के एक तथ्य का उपयोग करेंगे:

व्यक्त करते समय।

सबूत आप संस्थान के पहले वर्ष में जानेंगे (और वहां रहने के लिए, आपको इसे अच्छी तरह से पास करने की आवश्यकता है)। अब बस इसे ग्राफिक रूप से दिखाएं:

हम देखते हैं कि जब फ़ंक्शन मौजूद नहीं होता है - जनसंख्या के ग्राफ पर बिंदु। लेकिन मूल्य के करीब, समारोह के करीब। यह सबसे "प्रयास" है।

आप अतिरिक्त रूप से कैलकुलेटर का उपयोग करके इस नियम को जांच सकते हैं। हां, हाँ, शर्मीली मत बनो, कैलकुलेटर लें, हम अभी तक परीक्षा में नहीं हैं।

इसलिए कोशिश करें :;

कैलकुलेटर को "रेडियन" मोड में स्थानांतरित करना न भूलें!

आदि। हम देखते हैं कि छोटे, रिश्ते के मूल्य के करीब।

a) फ़ंक्शन पर विचार करें। हमेशा की तरह, हम इसकी वृद्धि पाएंगे:

काम में साइन इन करें। ऐसा करने के लिए, हम सूत्र (विषय को याद रखें ") का उपयोग करते हैं :.

अब व्युत्पन्न:

हम प्रतिस्थापित करेंगे :. फिर, असीम रूप से छोटे के साथ, यह भी असीम रूप से छोटा है :. फॉर्म लेता है:

और अब आपको याद है कि व्यक्त करते समय। और यह भी कि यदि असीमित रूप से कम मूल्य की राशि (यानी, तब) में उपेक्षित किया जा सकता है।

तो, हमें निम्नलिखित नियम मिलता है: सिनस व्युत्पन्न कोसाइन के बराबर:

यह मूल ("टैब्यूलर") डेरिवेटिव है। यहां वे एक सूची हैं:

बाद में हम उन्हें कुछ और जोड़ते हैं, लेकिन ये सबसे महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि वे अक्सर उपयोग किए जाते हैं।

अभ्यास:

बिंदु पर व्युत्पन्न कार्य खोजें;
व्युत्पन्न समारोह खोजें।

समाधान:

प्रदर्शक और प्राकृतिक लघुगणक।

गणित में ऐसा एक समारोह है, जो व्युत्पन्न है जिसके साथ समारोह के किसी भी समान मूल्य के साथ ही उसी तरह से। इसे "प्रदर्शक" कहा जाता है, और यह एक संकेतक कार्य है

इस फ़ंक्शन का आधार एक स्थिर है एक अनंत दशमलव अंश है, यानी, संख्या तर्कहीन (जैसे) है। इसे "यूलर की संख्या" कहा जाता है, इसलिए और पत्र को इंगित करता है।

तो, नियम:

बहुत आसान याद रखें।

खैर, चलो दूर नहीं जाते हैं, हम तुरंत रिवर्स फ़ंक्शन पर विचार करेंगे। संकेतक समारोह के लिए रिवर्स क्या फ़ंक्शन है? लघुगणक:

हमारे मामले में, आधार संख्या है:

इस तरह के एक लॉगरिदम (यानी, आधार के साथ एक लॉगरिदम) को "प्राकृतिक" कहा जाता है, और इसके लिए हम एक विशेष पदनाम का उपयोग करते हैं: लेखन के बजाय।

क्या बराबर है? बेशक, ।

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न भी बहुत आसान है:

उदाहरण:

व्युत्पन्न समारोह खोजें।
व्युत्पन्न कार्य बराबर क्या है?

उत्तर: प्रदर्शक और प्राकृतिक लघुगणक - कार्य व्युत्पन्न के दृष्टिकोण से विशिष्ट रूप से सरल हैं। किसी अन्य आधार के साथ एक्सचेंज और लॉगरिदमिक फ़ंक्शंस में एक और व्युत्पन्न होगा, जिसे हम भेदभाव नियमों को पारित करने के बाद बाद में आपके साथ विश्लेषण करेंगे।

भेदभाव नियम

नियम क्या? फिर से नया शब्द, फिर से?! ...

भेदभाव - यह एक व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया है।

केवल और सब कुछ। और इस प्रक्रिया को एक शब्द में कैसे नाम दें? उत्पादन नहीं ... गणित के अंतर को समारोह में सबसे अधिक वेतन वृद्धि कहा जाता है। यह शब्द लैटिन भिन्नता से हो रहा है - एक अंतर। यहाँ।

इन सभी नियमों को प्रदर्शित करते समय, हम दो कार्यों का उपयोग करेंगे, उदाहरण के लिए, और। हमें उनके वेतन वृद्धि के लिए सूत्रों की भी आवश्यकता होगी:

कुल 5 नियम हैं।

निरंतर व्युत्पन्न के संकेत से बना है।

यदि - कुछ प्रकार की निरंतर संख्या (स्थिर), तो।

जाहिर है, यह नियम अंतर के लिए काम करता है :.

हम साबित करते हैं। चलो, या आसान।

उदाहरण।

व्युत्पन्न कार्य खोजें:

बिंदु पर;
बिंदु पर;
बिंदु पर;
बिंदु पर।

समाधान:

व्युत्पन्न कार्य

यहां सबकुछ समान है: हम एक नया कार्य पेश करते हैं और इसकी वृद्धि पाते हैं:

व्युत्पन्न:

उदाहरण:

कार्यों के व्युत्पन्न खोजें और;
बिंदु पर व्युत्पन्न कार्य खोजें।

समाधान:

व्युत्पन्न संकेतक समारोह

अब आपका ज्ञान जानने के लिए पर्याप्त है कि किसी भी संकेतक समारोह के व्युत्पन्न को कैसे ढूंढें, न केवल प्रदर्शकों (यह नहीं भूलना चाहिए?)।

तो, कुछ संख्या कहां है।

हम पहले से ही व्युत्पन्न कार्य को जानते हैं, इसलिए आइए हमारे कार्य को एक नए आधार पर लाने की कोशिश करें:

ऐसा करने के लिए, हम एक साधारण नियम का उपयोग करते हैं :. फिर:

खैर, यह निकला। अब व्युत्पन्न खोजने की कोशिश करें, और यह मत भूलना कि यह सुविधा जटिल है।

हो गई?

यहाँ, अपने आप को जांचें:

सूत्र व्युत्पन्न प्रदर्शनी के समान ही निकला: जैसा कि यह था, यह बने रहे, केवल एक गुणक दिखाई दिया, जो सिर्फ एक संख्या है, लेकिन एक चर नहीं है।

उदाहरण:
व्युत्पन्न कार्य खोजें:

उत्तर:

व्युत्पन्न लघुगण्य समारोह

यहां समान है: आप पहले से ही प्राकृतिक लॉगरिदम से व्युत्पन्न जानते हैं:

इसलिए, एक और कारण के साथ लॉगरिदम से मनमाने ढंग से खोजने के लिए, उदाहरण के लिए:

आपको इस लॉगरिदम को आधार पर लाने की जरूरत है। और लघुगणक के आधार को कैसे बदलें? मुझे आशा है कि आप इस सूत्र को याद करेंगे:

केवल अब इसके बजाय हम लिखेंगे:

संप्रदाय में, यह सिर्फ एक स्थिर (निरंतर संख्या, एक चर के बिना) निकला। व्युत्पन्न बहुत आसान है:

संकेतक और लॉगरिदमिक कार्यों के व्युत्पन्न लगभग परीक्षा में नहीं पाए जाते हैं, लेकिन उन्हें जानना अनावश्यक नहीं होगा।

व्युत्पन्न जटिल समारोह।

"जटिल समारोह" क्या है? नहीं, यह एक लॉगरिदम नहीं है, और आर्कटेनेंस नहीं है। ये कार्य समझने के लिए जटिल हो सकते हैं (हालांकि यदि लॉगरिदम आपको मुश्किल लगता है, तो "लॉगरिथम्स" विषय को पढ़ें और सबकुछ पास हो जाएगा), लेकिन गणित के दृष्टिकोण से शब्द "जटिल" शब्द का अर्थ "कठिन" नहीं है।

एक छोटे कन्वेयर की कल्पना करें: दो लोग बैठे हैं और कुछ वस्तुओं के साथ किसी तरह की कार्रवाइयां हैं। उदाहरण के लिए, पहले रैपर में एक चॉकलेट लपेटता है, और दूसरा इसका तात्पर्य एक रिबन के साथ है। यह एक अभिन्न वस्तु को बदल देता है: एक चॉकलेट, लपेटा और एक रिबन के साथ रेखांकित। चॉकलेट खाने के लिए, आपको रिवर्स ऑर्डर में रिवर्स एक्शन करने की आवश्यकता है।

आइए एक समान गणितीय कन्वेयर बनाएं: सबसे पहले हमें संख्या का एक कोसाइन मिलेगा, और फिर परिणामी संख्या को एक वर्ग में बनाया जाएगा। इसलिए, हम एक संख्या (चॉकलेट) देते हैं, मुझे उसकी कोसाइन (लपेट) मिलती है, और फिर आप एक वर्ग में (रिबन के लिए टाई) के द्वारा किए गए द्वारा किया जाएगा। क्या हुआ? समारोह। यह एक जटिल कार्य का एक उदाहरण है: इसके अर्थों को कब ढूंढें हम सीधे चर के साथ पहली क्रिया करते हैं, और फिर पहले के परिणामस्वरूप जो कुछ हुआ उसके साथ एक और कार्रवाई होती है।

हम पूरी तरह से एक ही कार्य कर सकते हैं और रिवर्स ऑर्डर में: पहले आपको एक वर्ग में बनाया जाएगा, और फिर मैं परिणामी संख्या की कोसाइन की तलाश में हूं :. यह अनुमान लगाना आसान है कि परिणाम लगभग हमेशा अलग होगा। जटिल कार्यों की एक महत्वपूर्ण विशेषता: जब प्रक्रिया बदलती है, तो फ़ंक्शन बदल जाता है।

दूसरे शब्दों में, एक जटिल कार्य एक समारोह है, जिसका तर्क एक और विशेषता है।: .

पहले उदाहरण के लिए,।

दूसरा उदाहरण: (वही)। ।

कार्रवाई जो हम बाद वाले को कॉल करेंगे "बाहरी" समारोह, और कार्रवाई पहले क्रमशः प्रदर्शन किया "आंतरिक" समारोह (ये अनौपचारिक नाम हैं, मैं उन्हें केवल सरल भाषा में सामग्री की व्याख्या करने के लिए उपयोग करता हूं)।

खुद को निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन सा कार्य बाहरी है, और जो आंतरिक है:

उत्तर:आंतरिक और बाहरी कार्यों को अलग करने के लिए वेरिएबल्स के प्रतिस्थापन के समान ही है: उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन में

हम चर के प्रतिस्थापन का उत्पादन करते हैं और एक समारोह प्राप्त करते हैं।

खैर, अब हम अपने चॉकलेट चॉकलेट निकालेंगे - व्युत्पन्न के लिए खोज। प्रक्रिया हमेशा रिवर्स होती है: सबसे पहले हम बाहरी फ़ंक्शन व्युत्पन्न की तलाश में हैं, फिर परिणाम को आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न पर गुणा करें। मूल उदाहरण के संबंध में, ऐसा लगता है:

एक और उदाहरण:

तो, हम अंततः आधिकारिक नियम तैयार करते हैं:

एक व्युत्पन्न परिसर समारोह खोजने के लिए एल्गोरिदम:

यह सरल प्रतीत होता है, हां?

उदाहरणों की जांच करें:

व्युत्पन्न। संक्षेप में मुख्य बात के बारे में

व्युत्पन्न समारोह - तर्क के असीमित रूप से छोटी वृद्धि के साथ तर्क की वृद्धि के लिए समारोह की वृद्धि का अनुपात:

मूल डेरिवेटिव्स:

भेदभाव नियम:

निरंतर व्युत्पन्न के संकेत के लिए बनाया गया है:

व्युत्पन्न राशि:

उत्पादन कार्य:

निजी व्युत्पन्न:

व्युत्पन्न परिसर समारोह:

जटिल समारोह के व्युत्पन्न को खोजने के लिए एल्गोरिदम:

हम "आंतरिक" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं, हमें इसके व्युत्पन्न पाते हैं।
हम "बाहरी" फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं, हमें इसके व्युत्पन्न पाते हैं।
पहले और दूसरी वस्तुओं के परिणामों को गुणा करें।

खैर, विषय समाप्त हो गया है। यदि आप इन पंक्तियों को पढ़ते हैं, तो आप बहुत अच्छे हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग अपने आप पर कुछ मास्टर करने में सक्षम हैं। और यदि आप अंत तक पढ़ते हैं, तो आप इन 5% में आ गए!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात है।

आपने इस विषय पर सिद्धांत को समझ लिया। और, मैं दोहराता हूं, यह ... यह सिर्फ सुपर है! आप अपने साथियों के पूर्ण बहुमत से बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता है ...

किस लिए?

सफल के लिए अरचेस ईगेबजट पर संस्थान में प्रवेश के लिए और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि जीवन के लिए।

मैं तुम्हें कुछ भी मनाने नहीं दूंगा, मैं सिर्फ एक बात कहूंगा ...

जिन लोगों को अच्छी शिक्षा मिली है, वे उन लोगों की तुलना में अधिक कमाते हैं जो इसे प्राप्त नहीं करते थे। ये आंकड़े हैं।

लेकिन यह मुख्य बात नहीं है।

मुख्य बात यह है कि वे खुश हैं (ऐसे शोध हैं)। शायद क्योंकि उनके पक्ष में और अधिक अवसर हैं और जीवन उज्ज्वल हो जाता है? मुझे नहीं मालूम...

लेकिन, खुद को सोचो ...

परीक्षा में दूसरों की तुलना में बेहतर होने के लिए आपको क्या सुनिश्चित करना है और आखिरकार ... खुश?

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कार्य का पता लगाएं और फैसला करें!

(चित्र .1)

चित्रा 1. व्युत्पन्न व्युत्पन्न

ग्राफिक्स व्युत्पन्न गुण

बढ़ने के अंतराल पर, व्युत्पन्न सकारात्मक है। यदि एक निश्चित अंतराल से एक निश्चित बिंदु पर व्युत्पन्न एक सकारात्मक मूल्य है, तो इस अंतराल पर फ़ंक्शन ग्राफ़ बढ़ता है।
फ़्लैटेनिंग अंतराल पर, व्युत्पन्न ऋणात्मक है (एक शून्य चिह्न के साथ)। यदि कुछ अंतराल से एक निश्चित बिंदु पर व्युत्पन्न नकारात्मक मूल्य है, तो इस अंतराल पर फ़ंक्शन शेड्यूल कम हो जाता है।
बिंदु एक्स पर व्युत्पन्न टेंगेंशियल के कोणीय गुणांक के बराबर है, जो एक ही बिंदु पर कार्य के ग्राफ में आयोजित किया जाता है।
अधिकतम न्यूनतम बिंदुओं पर, व्युत्पन्न कार्य शून्य है। इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफिक्स के लिए टैनर एक्सिस के समानांतर ओह।

उदाहरण 1।

चित्रा 2. व्युत्पन्न ग्राफ

उदाहरण 2।

चित्रा 3. व्युत्पन्न ग्राफ

उदाहरण 3।

उदाहरण 4।

व्युत्पन्न कार्य स्कूल कार्यक्रम में जटिल विषयों में से एक है। प्रत्येक स्नातक नहीं होने के सवाल का जवाब नहीं देगा।

यह लेख बस स्पष्ट रूप से बात कर रहा है कि व्युत्पन्न क्या है और इसके लिए क्या चाहिए। हम प्रस्तुति की गणितीय कठोरता के लिए प्रयास करने का प्रयास नहीं करेंगे। सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि अर्थ को समझना।

हमें परिभाषा याद है:

व्युत्पन्न कार्य के परिवर्तन की गति है।

तस्वीर में - तीन कार्यों के ग्राफिक्स। आपको क्या लगता है कि तेजी से बढ़ रहा है?

जवाब स्पष्ट है - तीसरा। इसमें परिवर्तन की सबसे बड़ी गति है, यानी, सबसे बड़ा व्युत्पन्न।

यहाँ एक और उदाहरण है।

कोस्ट्य, ग्रिशा और मैटव ने एक साथ नौकरी मिल गई। आइए देखें कि वर्ष के दौरान उनकी आय कैसे बदल गई:

अनुसूची पर तुरंत सबकुछ देखा जा सकता है, है ना? आधे साल के लिए हड्डी की आय दो बार से अधिक हो गई है। और ग्रिशा राजस्व भी उगाया गया है, लेकिन थोड़ा सा। और मैथ्यू की आय शून्य हो गई। शुरुआती स्थितियां समान हैं, और फ़ंक्शन के परिवर्तन की गति, यानी है यौगिक- अलग अलग। मैथ्यू के लिए - उनकी आय नकारात्मक रूप से व्युत्पन्न है।

सहजता से, हम आसानी से कार्य के परिवर्तन की गति का आकलन कर रहे हैं। पर आपने कैसे किया?

वास्तव में, हम देखते हैं कि फ़ंक्शन का ग्राफ कितना ठंडा हो जाता है (या नीचे)। दूसरे शब्दों में, x में बदलाव के साथ वाई कितनी जल्दी बदलता है। जाहिर है, अलग-अलग बिंदुओं पर एक ही सुविधा हो सकती है विविध व्युत्पन्न यह है कि तेज या धीमा हो सकता है।

व्युत्पन्न कार्य इंगित किया जाता है।

ग्राफ का उपयोग करके कैसे ढूंढें दिखाएं।

एक ग्राफ कुछ समारोह तैयार किया जाता है। उस पर एक abscissa के साथ एक बिंदु लें। हम इस बिंदु पर ग्राफिक्स फ़ंक्शन के लिए टेंगेंट करते हैं। हम मूल्यांकन करना चाहते हैं कि एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ कितना ठंडा है। इसके लिए आरामदायक मूल्य - टेंगेंट झुकाव कोण.

इस बिंदु पर समारोह का व्युत्पन्न झुकाव कोण के स्पर्शक के बराबर है, इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ में किया गया है।

कृपया ध्यान दें - टेंगेंट टैगिंग के कोण के रूप में, हम धुरी की स्पर्शक और सकारात्मक दिशा के बीच कोण लेते हैं।

कभी-कभी छात्र पूछते हैं कि फ़ंक्शन ग्राफिक्स के लिए क्या स्पर्श होता है। यह एक प्रत्यक्ष है, इस साजिश पर एक शेड्यूल के साथ एक सामान्य बिंदु है, और जैसा कि हमारे आकृति में दिखाया गया है। परिधि के लिए टेंगेंट की तरह दिखता है।

हम ढूंढ लेंगे। हमें याद है कि तीव्र कोण का टेंगेंट आयताकार त्रिभुज यह निकटतम के विपरीत कैट के दृष्टिकोण के बराबर है। त्रिभुज से:

हमें एक ग्राफ की मदद से एक व्युत्पन्न पाया गया, सूत्र फ़ंक्शन को भी नहीं जानता। इस तरह के कार्यों को अक्सर गणित में परीक्षा में पाया जाता है।

एक और महत्वपूर्ण अनुपात है। याद रखें कि प्रत्यक्ष समीकरण द्वारा दिया गया है

इस समीकरण में मूल्य कहा जाता है कोणीय गुणांक प्रत्यक्ष। यह धुरी के लिए सीधे झुकाव के कोण के स्पर्शक के बराबर है।

हमें वह मिलता है

हमें यह सूत्र याद है। यह व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ को व्यक्त करता है।

बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न टेंगेंट के कोणीय गुणांक के बराबर है, जो इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ में किया जाता है।

दूसरे शब्दों में, व्युत्पन्न टेंगेंट झुकाव कोण के बराबर है।

हमने पहले ही कहा है कि विभिन्न बिंदुओं पर एक ही समारोह में एक अलग व्युत्पन्न हो सकता है। चलो देखते हैं कि व्युत्पन्न कार्य के व्यवहार से कैसे जुड़ा हुआ है।

कुछ समारोह का एक ग्राफ बनाएं। इस समारोह को कुछ वर्गों पर बढ़ने दें, दूसरों पर - अलग-अलग गति के साथ घटता है। और यहां तक \u200b\u200bकि यदि यह सुविधा अधिकतम और न्यूनतम बिंदु होगी।

बिंदु पर, समारोह बढ़ता है। ग्राफ के लिए स्पर्शक, बिंदु पर बिताया एक तेज कोण बनाता है; एक सकारात्मक धुरी दिशा के साथ। तो, बिंदु पर व्युत्पन्न सकारात्मक है।

बिंदु पर, हमारा कार्य घटता है। इस बिंदु पर टेंगेंट एक बेवकूफ कोण बनाता है; एक सकारात्मक धुरी दिशा के साथ। चूंकि सुस्त कोण टेंगेंट नकारात्मक है, इसलिए एक व्युत्पन्न बिंदु पर नकारात्मक है।

यही वह निकलता है:

यदि फ़ंक्शन बढ़ता है, तो इसका व्युत्पन्न सकारात्मक है।

यदि घट जाती है, तो इसका व्युत्पन्न नकारात्मक है।

और अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं पर क्या होगा? हम देखते हैं कि अंक (अधिकतम बिंदु) और (न्यूनतम बिंदु) टेंगेंट क्षैतिज। नतीजतन, इन बिंदुओं पर स्पर्शरेखा टैंगेंट झुकाव कोण शून्य है, और व्युत्पन्न भी शून्य है।

बिंदु अधिकतम बिंदु है। इस बिंदु पर, बढ़ते कार्य को अवरोही द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। नतीजतन, "प्लस" के साथ "माइनस" के साथ एक बिंदु पर व्युत्पन्न परिवर्तनों का संकेत।

बिंदु पर - न्यूनतम बिंदु - व्युत्पन्न भी शून्य है, लेकिन इसके संकेत "माइनस" से "प्लस" में परिवर्तन करते हैं।

निष्कर्ष: व्युत्पन्न की मदद से, आप उस समारोह के व्यवहार के बारे में जान सकते हैं जो हमें रूचि देता है।

यदि व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो फ़ंक्शन बढ़ता है।

यदि व्युत्पन्न नकारात्मक है, तो फ़ंक्शन घटता है।

अधिकतम के बिंदु पर, व्युत्पन्न शून्य है और "प्लस" से "माइनस" से संकेत बदलता है।

न्यूनतम बिंदु पर, व्युत्पन्न भी शून्य है और "प्लस" से "माइनस" से संकेत बदलता है।

हम इन निष्कर्षों को एक तालिका के रूप में लिखते हैं:

	बढ़ती है	अधिकतम बिंदु	कमी	न्यूनतम बिंदु	बढ़ती है
+	0	-	0	+

हम दो छोटे स्पष्टीकरण देंगे। समस्या को हल करते समय उनमें से एक को आपकी आवश्यकता होगी। अन्य - पहले वर्ष में, कार्यों और डेरिवेटिव के अधिक गंभीर अध्ययन के साथ।

एक मामला संभव है जब किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है, लेकिन इस बिंदु पर इस बिंदु पर अधिकतम कोई न्यूनतम कार्य नहीं है। यह तथाकथित है :

प्वाइंट टेंगेंट क्षैतिज के ग्राफिक्स के लिए, और व्युत्पन्न शून्य है। हालांकि, फ़ंक्शन का कार्य बढ़ गया - और बिंदु के बाद बढ़ने के बाद। व्युत्पन्न का संकेत नहीं बदलता है - यह सकारात्मक रहा है और बना रहा है।

यह भी होता है कि अधिकतम या न्यूनतम बिंदु पर, व्युत्पन्न अस्तित्व में नहीं है। चार्ट पर, यह इस बिंदु पर स्पर्शक असंभव होने पर एक तेज तोड़ने के अनुरूप है।