विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर प्रवाह।एक छोटा सा खेल का मैदान होने दो डीएस(चित्र 1.2) विद्युत क्षेत्र के बल की रेखाओं को पार करते हैं, जिसकी दिशा अभिलंब के साथ होती है एन इस साइट के कोने ए. यह मानते हुए कि तनाव वेक्टर इ साइट के भीतर नहीं बदलता है डीएस, परिभाषित करें तनाव वेक्टर प्रवाहसाइट के माध्यम से डीएसकैसे

डीएफइ =इ डीएसक्योंकि ए.(1.3)

चूँकि क्षेत्र रेखाओं का घनत्व तनाव के संख्यात्मक मान के बराबर होता है इ, तो क्षेत्र को पार करने वाली बल रेखाओं की संख्याडीएस, संख्यात्मक रूप से धारा के मान के बराबर होगाडीएफइसतह के माध्यम सेडीएस. हम सदिशों के अदिश गुणनफल के रूप में व्यंजक (1.3) के दाहिने पक्ष को निरूपित करते हैं इतथाडीएस= एनडीएस, कहाँ पे एनसतह के लिए इकाई सामान्य वेक्टर हैडीएस. प्राथमिक क्षेत्र के लिए d एसव्यंजक (1.3) रूप लेता है

डीएफइ = इडी एस

साइट के पार एसतीव्रता वेक्टर प्रवाह की गणना सतह पर एक अभिन्न के रूप में की जाती है

विद्युत प्रेरण वेक्टर प्रवाह।विद्युत प्रेरण वेक्टर का प्रवाह विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर के प्रवाह के समान ही निर्धारित होता है

डीएफडी = डीडी एस

प्रवाह की परिभाषा में कुछ अस्पष्टता है, इस तथ्य के कारण कि प्रत्येक सतह के लिए आप दो निर्दिष्ट कर सकते हैं विपरीत दिशा में सामान्य। एक बंद सतह के लिए, बाहरी सामान्य को सकारात्मक माना जाता है।

गॉस प्रमेय।विचार करना सकारात्मक बिंदुआवेश क्यू, एक मनमाना बंद सतह के अंदर स्थित एस(चित्र। 1.3)। सतह तत्व d . के माध्यम से प्रेरण वेक्टर का प्रवाह एसबराबरी
(1.4)

घटक डी एस डी = डी एस क्योंकि एसतह तत्व डी एसप्रेरण वेक्टर की दिशा मेंडीत्रिज्या के एक गोलाकार सतह के तत्व के रूप में माना जाता है आर, जिसके केंद्र में एक चार्ज हैक्यू.

यह देखते हुए कि d एस डी/ आर 2 बराबर प्राथमिक शारीरिककोने डीवू, जिसके तहत उस बिंदु से जहां चार्जक्यूसतह तत्व डी दृश्यमान एस, हम अभिव्यक्ति (1.4) को रूप में बदलते हैंडी एफडी = क्यू डी वू / 4 पी, जहां से चार्ज के आसपास के पूरे स्थान पर एकीकरण के बाद, यानी 0 से 4 . के ठोस कोण के भीतरपी, हम पाते हैं

एफडी = क्यू.

मनमाना आकार की एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रेरण वेक्टर का प्रवाह इस सतह के अंदर संलग्न आवेश के बराबर होता है.

यदि एक मनमाना बंद सतह एसएक बिंदु शुल्क को कवर नहीं करता है क्यू(चित्र। 1.4), फिर, उस बिंदु पर एक शीर्ष के साथ एक शंक्वाकार सतह बनाकर, जहां चार्ज स्थित है, हम सतह को विभाजित करते हैं एसदो भागों में: एस 1 और एस 2. वेक्टर प्रवाह डी सतह के माध्यम से एसहम सतहों के माध्यम से प्रवाह के बीजगणितीय योग के रूप में पाते हैं एस 1 और एस 2:

.

दोनों सतह उस बिंदु से जहां आवेश स्थित है क्यूएक ठोस कोण से दिखाई देता है वू. तो प्रवाह बराबर हैं

चूंकि एक बंद सतह के माध्यम से प्रवाह की गणना करते समय, हम उपयोग करते हैं बाहरी सामान्यसतह पर, यह देखना आसान है कि प्रवाह Ф -1 डी < 0, тогда как поток Ф2डी> 0. कुल प्रवाह डी= 0. इसका मतलब है कि मनमाना आकार की एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रेरण वेक्टर का प्रवाह इस सतह के बाहर स्थित आवेशों पर निर्भर नहीं करता है।

यदि विद्युत क्षेत्र बिंदु आवेशों की एक प्रणाली द्वारा बनाया गया है क्यू 1 , क्यू 2 ,¼ , क्यू नहीं, जो एक बंद सतह से आच्छादित है एस, फिर, सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार, इस सतह के माध्यम से प्रेरण वेक्टर के प्रवाह को प्रत्येक चार्ज द्वारा बनाए गए फ्लक्स के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है। मनमाना आकार की एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रेरण वेक्टर का प्रवाह इस सतह द्वारा कवर किए गए आवेशों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि शुल्क क्यूईजरूरी नहीं कि बिंदु हो, एक आवश्यक शर्त यह है कि आवेशित क्षेत्र पूरी तरह से सतह से ढका होना चाहिए। यदि एक बंद सतह से घिरे स्थान में एस, विद्युत आवेश लगातार वितरित किया जाता है, तो यह माना जाना चाहिए कि प्रत्येक प्राथमिक आयतन d वीएक चार्ज है। इस स्थिति में, व्यंजक (1.5) के दायीं ओर, आवेशों के बीजगणितीय योग को बंद सतह के अंदर संलग्न आयतन पर समाकलन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। एस:

(1.6)

अभिव्यक्ति (1.6) सबसे सामान्य सूत्रीकरण है गॉस प्रमेय: मनमाना आकार की एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रेरण वेक्टर का प्रवाह इस सतह द्वारा कवर किए गए आयतन में कुल आवेश के बराबर होता है, और माना सतह के बाहर स्थित आवेशों पर निर्भर नहीं करता है. गॉस प्रमेय को विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर के प्रवाह के लिए भी लिखा जा सकता है:

.

गॉस प्रमेय से विद्युत क्षेत्र का एक महत्वपूर्ण गुण निम्नानुसार है: बल की रेखाएँ केवल विद्युत आवेशों पर शुरू या समाप्त होती हैं या अनंत तक जाती हैं. हम एक बार फिर जोर देते हैं कि, इस तथ्य के बावजूद कि विद्युत क्षेत्र की ताकत इ और विद्युत प्रेरण डी अंतरिक्ष में सभी आवेशों के स्थान पर निर्भर करते हैं, इन सदिशों के एक मनमाना बंद सतह के माध्यम से प्रवाह एसकेवल निर्धारित वे आवेश जो सतह के अंदर स्थित होते हैं एस.

गॉस प्रमेय का विभेदक रूप।ध्यान दें कि अभिन्न रूपगॉस प्रमेय विद्युत क्षेत्र (आवेश) के स्रोतों और आयतन में विद्युत क्षेत्र (शक्ति या प्रेरण) की विशेषताओं के बीच संबंध को दर्शाता है वीमनमाना, लेकिन अभिन्न संबंधों के निर्माण के लिए पर्याप्त, मूल्य। मात्रा को विभाजित करके वीछोटी मात्रा के लिए छठी, हमें अभिव्यक्ति मिलती है

सामान्य रूप से और प्रत्येक पद के लिए मान्य। हम परिणामी अभिव्यक्ति को इस प्रकार बदलते हैं:

(1.7)

और उस सीमा पर विचार करें जिस पर समानता के दाईं ओर की अभिव्यक्ति, घुंघराले कोष्ठक में संलग्न है, मात्रा के असीमित विभाजन के साथ है वी. गणित में इस सीमा को कहते हैं विचलनवेक्टर (इस मामले में, विद्युत प्रेरण का वेक्टर डी):

वेक्टर विचलन डीकार्टेशियन निर्देशांक में:

इस प्रकार, व्यंजक (1.7) का रूप बदल जाता है:

.

इस बात को ध्यान में रखते हुए कि असीमित विभाजन के साथ, अंतिम व्यंजक के बाईं ओर का योग एक आयतन समाकलन में चला जाता है, हम प्राप्त करते हैं

परिणामी संबंध किसी भी मनमाने ढंग से चुने गए वॉल्यूम के लिए होना चाहिए वी. यह तभी संभव है जब अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर समाकलकों का मान समान हो। इसलिए, वेक्टर का विचलन डीसमानता द्वारा एक ही बिंदु पर चार्ज घनत्व से संबंधित है

या इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की ताकत वेक्टर के लिए

ये समानताएं गॉस प्रमेय को व्यक्त करती हैं विभेदक रूप.

ध्यान दें कि गॉस प्रमेय के विभेदक रूप में जाने की प्रक्रिया में, एक संबंध प्राप्त होता है जिसमें एक सामान्य चरित्र होता है:

.

अभिव्यक्ति को गॉस-ओस्ट्रोग्रैडस्की सूत्र कहा जाता है और एक बंद सतह के माध्यम से इस वेक्टर के प्रवाह के साथ एक वेक्टर के विचलन के वॉल्यूम इंटीग्रल को जोड़ता है जो वॉल्यूम को सीमित करता है।

प्रशन

1) वैक्यूम में इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के लिए गॉस प्रमेय का भौतिक अर्थ क्या है?

2) घन के केंद्र में एक बिंदु आवेश होता हैक्यू. वेक्टर का प्रवाह क्या है इ:

ए) घन की पूरी सतह के माध्यम से; बी) घन के चेहरों में से एक के माध्यम से।

क्या उत्तर बदल जाएंगे यदि:

a) आवेश घन के केंद्र में नहीं, बल्कि उसके अंदर होता है ; b) आवेश घन के बाहर है।

3) रैखिक, सतह, आयतन आवेश घनत्व क्या है।

4) आयतन और सतह आवेश घनत्व के बीच संबंध को इंगित करें।

5) क्या विपरीत और समान रूप से आवेशित समानांतर अनंत विमानों के बाहर का क्षेत्र शून्य से भिन्न हो सकता है

6) एक बंद सतह के अंदर एक विद्युत द्विध्रुव रखा जाता है। इस सतह के माध्यम से प्रवाह क्या है

विद्युत प्रेरण (विद्युत विस्थापन) के लिए गॉस प्रमेय[

एक ढांकता हुआ माध्यम में एक क्षेत्र के लिए, गॉस के इलेक्ट्रोस्टैटिक प्रमेय को दूसरे तरीके से (वैकल्पिक रूप से) लिखा जा सकता है - विद्युत विस्थापन वेक्टर (विद्युत प्रेरण) के प्रवाह के माध्यम से। इस मामले में, प्रमेय का सूत्रीकरण इस प्रकार है: एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत विस्थापन वेक्टर का प्रवाह इस सतह के अंदर मुक्त विद्युत आवेश के समानुपाती होता है:

विभेदक रूप में:

चुंबकीय प्रेरण के लिए गॉस प्रमेय

किसी भी बंद सतह के माध्यम से चुंबकीय प्रेरण वेक्टर का प्रवाह शून्य है:

या अंतर रूप में

यह इस तथ्य के बराबर है कि प्रकृति में कोई "चुंबकीय आवेश" (मोनोपोल) नहीं होते हैं जो एक चुंबकीय क्षेत्र बनाते हैं, जैसे विद्युत आवेश एक विद्युत क्षेत्र बनाते हैं। दूसरे शब्दों में, चुंबकीय प्रेरण के लिए गॉस प्रमेय से पता चलता है कि चुंबकीय क्षेत्र (पूरी तरह से) है एडी.

न्यूटनियन गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस प्रमेय

न्यूटनियन गुरुत्वाकर्षण (मुक्त गिरावट का त्वरण) की क्षेत्र शक्ति के लिए, गॉस प्रमेय व्यावहारिक रूप से इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में केवल स्थिरांक के अपवाद के साथ मेल खाता है (हालांकि, वे अभी भी इकाइयों की प्रणाली की मनमानी पसंद पर निर्भर करते हैं) और, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि , चिन्ह:

कहाँ पे जी- गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता, एम- सतह के अंदर गुरुत्वीय आवेश (अर्थात द्रव्यमान) एस, ρ - द्रव्यमान घनत्व, जीन्यूटनियन स्थिरांक है।

एक विद्युत क्षेत्र में कंडक्टर। कंडक्टर के अंदर और उसकी सतह पर क्षेत्र।

कंडक्टर वे निकाय होते हैं जिनके माध्यम से विद्युत आवेश आवेशित शरीर से अनावेशित शरीर में जा सकते हैं।कंडक्टरों की उनके माध्यम से विद्युत आवेशों को पारित करने की क्षमता को उनमें मुक्त आवेश वाहकों की उपस्थिति से समझाया गया है। कंडक्टर - ठोस और तरल अवस्था में धातु निकाय, इलेक्ट्रोलाइट्स के तरल समाधान। एक विद्युत क्षेत्र में पेश किए गए कंडक्टर के मुक्त प्रभार इसकी क्रिया के तहत आगे बढ़ने लगते हैं। आवेशों के पुनर्वितरण से विद्युत क्षेत्र में परिवर्तन होता है। जब चालक में विद्युत क्षेत्र की शक्ति शून्य हो जाती है, तो इलेक्ट्रॉन गति करना बंद कर देते हैं। विद्युत क्षेत्र में रखे किसी चालक में विपरीत आवेशों के अलग होने की घटना को इलेक्ट्रोस्टैटिक इंडक्शन कहा जाता है। कंडक्टर के अंदर कोई विद्युत क्षेत्र नहीं है। इसका उपयोग इलेक्ट्रोस्टैटिक संरक्षण के लिए किया जाता है - विद्युत क्षेत्र से धातु के कंडक्टरों से सुरक्षा। किसी विद्युत क्षेत्र में किसी भी आकार के संवाहक पिंड की सतह एक समविभव सतह होती है।

संधारित्र

उन उपकरणों को प्राप्त करने के लिए, जो माध्यम के सापेक्ष एक छोटी सी क्षमता पर, ध्यान देने योग्य परिमाण के स्वयं (संघनित) आवेशों पर जमा हो जाते हैं, वे इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि जब अन्य निकाय इसके पास आते हैं तो एक कंडक्टर की विद्युत समाई बढ़ जाती है। वास्तव में, आवेशित कंडक्टरों द्वारा बनाए गए एक क्षेत्र की कार्रवाई के तहत, प्रेरित (एक कंडक्टर पर) या बाध्य (एक ढांकता हुआ पर) चार्ज उस पर लाए गए शरीर पर दिखाई देते हैं (चित्र। 15.5)। कंडक्टर q के चार्ज के संकेत के विपरीत चार्ज, q के समान नाम के चार्ज की तुलना में कंडक्टर के करीब स्थित होते हैं, और इसलिए, इसकी क्षमता पर बहुत प्रभाव पड़ता है।

इसलिए, जब किसी वस्तु को आवेशित चालक के पास लाया जाता है, तो क्षेत्र की शक्ति कम हो जाती है, और परिणामस्वरूप, चालक की क्षमता कम हो जाती है। समीकरण के अनुसार, इसका अर्थ है चालक की धारिता में वृद्धि।

संधारित्र में दो कंडक्टर (प्लेट) होते हैं (चित्र 15.6), एक ढांकता हुआ परत द्वारा अलग किया जाता है। जब किसी चालक पर एक निश्चित विभवान्तर लगाया जाता है, तो उसकी प्लेटों पर विपरीत चिन्ह के बराबर आवेश होते हैं। संधारित्र की विद्युत धारिता को आवेश q के समानुपाती और प्लेटों के बीच संभावित अंतर के व्युत्क्रमानुपाती भौतिक मात्रा के रूप में समझा जाता है

आइए एक समतल संधारित्र की धारिता निर्धारित करें।

यदि प्लेट का क्षेत्रफल S है, और उस पर आवेश q है, तो प्लेटों के बीच क्षेत्र की ताकत

दूसरी ओर, प्लेटों के बीच संभावित अंतर जहां से

बिंदु आवेशों की एक प्रणाली की ऊर्जा, एक आवेशित कंडक्टर और एक संधारित्र।

आवेशों की किसी भी प्रणाली में अंतःक्रिया की कुछ संभावित ऊर्जा होती है, जो इस प्रणाली के निर्माण पर खर्च किए गए कार्य के बराबर होती है। बिंदु आवेशों की प्रणाली की ऊर्जा क्यू 1 , क्यू 2 , क्यू 3 ,… क्यू एननिम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

कहाँ पे φ 1 - को छोड़कर सभी आवेशों द्वारा निर्मित विद्युत क्षेत्र की क्षमता क्यू 1 उस बिंदु पर जहां चार्ज है क्यू 1 आदि यदि आवेशों के निकाय का विन्यास बदल जाता है, तो निकाय की ऊर्जा भी बदल जाती है। सिस्टम के कॉन्फ़िगरेशन को बदलने के लिए, काम किया जाना चाहिए।

बिंदु आवेशों की एक प्रणाली की संभावित ऊर्जा की गणना दूसरे तरीके से की जा सकती है। दो बिंदु आवेशों की स्थितिज ऊर्जा क्यू 1 , क्यू 2 एक दूसरे से दूरी पर बराबर है। यदि कई आवेश हैं, तो आवेशों की इस प्रणाली की स्थितिज ऊर्जा को इस प्रणाली के लिए संकलित किए जा सकने वाले आवेशों के सभी युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं के योग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। तो, तीन धनात्मक आवेशों के निकाय के लिए निकाय की ऊर्जा बराबर होती है

एक बिंदु आवेश का विद्युत क्षेत्र क्यू 0 इससे दूरी पर एक माध्यम में पारगम्यता के साथ ε (देखिए आकृति 3.1.3)। चित्र 3.1.3	; विभव एक अदिश राशि है, इसका चिन्ह उस आवेश के चिन्ह पर निर्भर करता है जो क्षेत्र बनाता है।
चित्र 3.1.4। इसकी सतह से कुछ दूरी पर बिंदु C पर त्रिज्या के एकसमान आवेशित गोले का विद्युत क्षेत्र (चित्र 3.1.4)। एक गोले का विद्युत क्षेत्र गोले के आवेश के बराबर एक बिंदु आवेश के क्षेत्र के समान होता है क्यू sf और इसके केंद्र में केंद्रित है। उस बिंदु की दूरी जहां तनाव निर्धारित किया जाता है ( आर+ए)	दायरे से बाहर: ; गोले के अंदर की क्षमता स्थिर और बराबर है , और गोले के अंदर तनाव शून्य है
सतह घनत्व के साथ एक समान रूप से चार्ज अनंत विमान का विद्युत क्षेत्र σ (देखिए आकृति 3.1.5)। चित्र 3.1.5।	वह क्षेत्र जिसकी तीव्रता सभी बिंदुओं पर समान हो, कहलाती है सजातीय. सतह घनत्व σ प्रति इकाई सतह आवेश है (क्रमशः समतल का आवेश और क्षेत्रफल कहाँ है)। सतह चार्ज घनत्व का आयाम।
एक समतल संधारित्र का विद्युत क्षेत्र जिसका परिमाण समान है लेकिन प्लेटों पर साइन आवेशों में विपरीत है (चित्र 3.1.6 देखें)। चित्र 3.1.6	संधारित्र के बाहर समतल संधारित्र की प्लेटों के बीच तनाव इ=0. संभावित अंतर तुमसंधारित्र की प्लेटों (प्लेटों) के बीच: , जहाँ डीप्लेटों के बीच की दूरी है, संधारित्र की प्लेटों के बीच रखे ढांकता हुआ की पारगम्यता है। एक संधारित्र की प्लेटों पर सतह आवेश घनत्व उस पर आवेश के परिमाण के अनुपात के बराबर होता है जो प्लेट के क्षेत्र में होता है:।

एक आवेशित एकान्त चालक और संधारित्र की ऊर्जा

यदि एक एकान्त चालक के पास आवेश q है, तो उसके चारों ओर एक विद्युत क्षेत्र है, जिसकी क्षमता चालक की सतह पर है, और धारिता C है। आइए आवेश को dq से बढ़ाएँ। चार्ज dq को अनंत से स्थानांतरित करते समय, बराबर कार्य करें . लेकिन अनंत पर दिए गए कंडक्टर के इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की क्षमता शून्य के बराबर है। फिर

जब चार्ज dq को कंडक्टर से अनंत तक स्थानांतरित किया जाता है, तो वही कार्य इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के बलों द्वारा किया जाता है। नतीजतन, कंडक्टर के चार्ज में dq की वृद्धि के साथ, क्षेत्र की संभावित ऊर्जा बढ़ जाती है, अर्थात।

इस व्यंजक को समाकलित करते हुए, हम एक आवेशित चालक के स्थिरवैद्युत क्षेत्र की स्थितिज ऊर्जा पाते हैं क्योंकि इसका आवेश शून्य से बढ़कर q हो जाता है:

संबंध लागू करने पर, स्थितिज ऊर्जा W के लिए निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त किए जा सकते हैं:

एक आवेशित संधारित्र के लिए, संभावित अंतर (वोल्टेज) इसलिए उसके इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की कुल ऊर्जा के अनुपात के बराबर है

पाठ का उद्देश्य: ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय को रूसी गणितज्ञ और मैकेनिक मिखाइल वासिलिविच ओस्ट्रोग्रैडस्की द्वारा कुछ सामान्य गणितीय प्रमेय के रूप में और जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा स्थापित किया गया था। इस प्रमेय का उपयोग प्रोफ़ाइल स्तर पर भौतिकी के अध्ययन में किया जा सकता है, क्योंकि यह विद्युत क्षेत्रों की अधिक तर्कसंगत गणना की अनुमति देता है।

विद्युत प्रेरण वेक्टर

ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय को प्राप्त करने के लिए, विद्युत प्रेरण वेक्टर और इस वेक्टर के प्रवाह के रूप में ऐसी महत्वपूर्ण सहायक अवधारणाओं को पेश करना आवश्यक है।

यह ज्ञात है कि इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र को अक्सर बल की रेखाओं का उपयोग करके दर्शाया जाता है। मान लीजिए कि हम दो मीडिया: हवा (= 1) और पानी (=81) के बीच इंटरफेस पर स्थित एक बिंदु पर तनाव का निर्धारण करते हैं। इस बिंदु पर, हवा से पानी में जाने पर, विद्युत क्षेत्र की ताकत सूत्र के अनुसार होती है 81 गुना कम हो जाएगा। यदि हम पानी की चालकता की उपेक्षा करते हैं, तो बल रेखाओं की संख्या उसी कारक से घट जाएगी। क्षेत्रों की गणना के लिए विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, मीडिया और डाइलेक्ट्रिक्स के बीच इंटरफेस में ताकत वेक्टर के बंद होने के कारण कुछ असुविधाएं पैदा होती हैं। इनसे बचने के लिए, एक नया वेक्टर पेश किया जाता है, जिसे इलेक्ट्रिक इंडक्शन वेक्टर कहा जाता है:

विद्युत प्रेरण वेक्टर वेक्टर और विद्युत स्थिरांक के गुणनफल और किसी दिए गए बिंदु पर माध्यम की पारगम्यता के बराबर होता है।

जाहिर है, दो डाइलेक्ट्रिक्स की सीमा से गुजरने पर, एक बिंदु आवेश (1) के क्षेत्र के लिए विद्युत प्रेरण लाइनों की संख्या नहीं बदलती है।

एसआई प्रणाली में, विद्युत प्रेरण वेक्टर को कूलम्ब प्रति वर्ग मीटर (सी / एम 2) में मापा जाता है। व्यंजक (1) दर्शाता है कि सदिश का संख्यात्मक मान माध्यम के गुणों पर निर्भर नहीं करता है। वेक्टर क्षेत्र को ग्राफिक रूप से तनाव के क्षेत्र के समान दर्शाया गया है (उदाहरण के लिए, एक बिंदु चार्ज के लिए, चित्र 1 देखें)। एक सदिश क्षेत्र के लिए, अध्यारोपण का सिद्धांत होता है:

विद्युत प्रेरण प्रवाह

विद्युत प्रेरण वेक्टर अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की विशेषता है। एक बिंदु पर नहीं, बल्कि एक सपाट बंद समोच्च से घिरे सतह के सभी बिंदुओं पर वेक्टर के मूल्यों के आधार पर एक और मात्रा पेश की जा सकती है।

ऐसा करने के लिए, एक समान विद्युत क्षेत्र में रखे गए सतह क्षेत्र S के साथ एक फ्लैट बंद कंडक्टर (सर्किट) पर विचार करें। कंडक्टर विमान के लिए सामान्य विद्युत प्रेरण वेक्टर (छवि 2) की दिशा के साथ एक कोण बनाता है।

सतह S के माध्यम से विद्युत प्रेरण के प्रवाह को इंडक्शन वेक्टर के मापांक के उत्पाद के बराबर मान और क्षेत्र S और वेक्टर और सामान्य के बीच के कोण के कोसाइन कहा जाता है:

ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय की व्युत्पत्ति

यह प्रमेय आपको एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रेरण वेक्टर के प्रवाह को खोजने की अनुमति देता है, जिसके अंदर विद्युत आवेश होते हैं।

मान लीजिए कि पहले एक बिंदु आवेश q को मनमाने त्रिज्या r 1 (चित्र 3) के एक गोले के केंद्र में रखा गया है। फिर ; . आइए इस गोले की पूरी सतह से गुजरने वाले कुल प्रेरण प्रवाह की गणना करें: ; ()। यदि हम त्रिज्या का एक गोला लें, तो भी = q. यदि हम एक ऐसा गोला बनाते हैं जो चार्ज q को घेरता नहीं है, तो कुल प्रवाह \u003d 0 (चूंकि प्रत्येक पंक्ति सतह में प्रवेश करेगी, और दूसरी बार इसे छोड़ देगी)।

इस प्रकार, = q यदि आवेश बंद सतह के अंदर स्थित है और Ф = 0 यदि आवेश बंद सतह के बाहर स्थित है। फ्लक्स एफ सतह के आकार पर निर्भर नहीं करता है। यह सतह के अंदर आवेशों की व्यवस्था पर भी निर्भर नहीं करता है। इसका मतलब यह है कि प्राप्त परिणाम न केवल एक चार्ज के लिए मान्य है, बल्कि किसी भी मनमाने ढंग से स्थित शुल्कों के लिए भी मान्य है, अगर हमारा मतलब केवल q से सतह के अंदर स्थित सभी शुल्कों का बीजगणितीय योग है।

गॉस प्रमेय: किसी भी बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रेरण का प्रवाह सतह के अंदर सभी आवेशों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है:।

यह सूत्र से देखा जा सकता है कि विद्युत प्रवाह का आयाम विद्युत आवेश के समान होता है। इसलिए, विद्युत प्रेरण के प्रवाह की इकाई लटकन (सी) है।

नोट: यदि क्षेत्र अमानवीय है और जिस सतह से प्रवाह निर्धारित किया जाता है वह समतल नहीं है, तो इस सतह को इनफिनिटिमल तत्वों ds में विभाजित किया जा सकता है और प्रत्येक तत्व को समतल माना जा सकता है, और इसके पास का क्षेत्र सजातीय है। इसलिए, किसी भी विद्युत क्षेत्र के लिए, सतह तत्व के माध्यम से विद्युत प्रेरण वेक्टर का प्रवाह होता है: दो=. एकीकरण के परिणामस्वरूप, किसी भी अमानवीय विद्युत क्षेत्र में एक बंद सतह एस के माध्यम से कुल प्रवाह बराबर है: , जहां q एक बंद सतह S से घिरे सभी आवेशों का बीजगणितीय योग है। हम अंतिम समीकरण को विद्युत क्षेत्र की ताकत (निर्वात के लिए) के रूप में व्यक्त करते हैं: ।

यह विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के लिए मैक्सवेल के मौलिक समीकरणों में से एक है, जिसे अभिन्न रूप में लिखा गया है। यह दर्शाता है कि समय में एक स्थिर विद्युत क्षेत्र का स्रोत गतिहीन विद्युत आवेश हैं।

गॉस प्रमेय का अनुप्रयोग

लगातार वितरित शुल्क का क्षेत्र

आइए अब ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय का उपयोग करते हुए, कई मामलों के लिए क्षेत्र की ताकत का निर्धारण करें।

1. एकसमान आवेशित गोलीय पृष्ठ का विद्युत क्षेत्र।

त्रिज्या R का एक गोला। मान लें कि आवेश +q त्रिज्या R की एक गोलाकार सतह पर समान रूप से वितरित है। सतह पर आवेश वितरण सतह आवेश घनत्व (चित्र 4) की विशेषता है। सतह चार्ज घनत्व सतह क्षेत्र पर चार्ज का अनुपात है जिस पर इसे वितरित किया जाता है। . एसआई में।

आइए क्षेत्र की ताकत निर्धारित करें:

ए) गोलाकार सतह के बाहर,
बी) एक गोलाकार सतह के अंदर।

a) आइए बिंदु A को लें, जो आवेशित गोलाकार सतह के केंद्र से r>R की दूरी पर है। आइए हम मानसिक रूप से इसके माध्यम से त्रिज्या r की एक गोलाकार सतह S खींचते हैं, जिसमें एक आवेशित गोलाकार सतह वाला एक सामान्य केंद्र होता है। समरूपता के विचारों से यह स्पष्ट है कि बल की रेखाएं सतह S के लंबवत रेडियल सीधी रेखाएं हैं और समान रूप से इस सतह में प्रवेश करती हैं, अर्थात। इस पृष्ठ के सभी बिंदुओं पर तनाव परिमाण में स्थिर है। आइए हम त्रिज्या r के इस गोलाकार सतह S पर ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय लागू करें। तो गोले के माध्यम से कुल प्रवाह N = E है? एस; एन = ई। दूसरी ओर । समान : . अत: r>R के लिए।

इस प्रकार: इसके बाहर एक समान रूप से आवेशित गोलाकार सतह द्वारा बनाया गया तनाव वैसा ही है जैसे कि पूरा आवेश इसके केंद्र में था (चित्र 5)।

बी) आइए हम आवेशित गोलाकार सतह के अंदर स्थित बिंदुओं पर क्षेत्र की ताकत का पता लगाएं। आइए एक बिंदु B को गोले के केंद्र से कुछ दूरी पर अलग करें . तब, r . के लिए E = 0

2. एक समान रूप से आवेशित अनंत विमान की क्षेत्र शक्ति

विमान के सभी बिंदुओं पर घनत्व स्थिरांक के साथ चार्ज किए गए अनंत विमान द्वारा बनाए गए विद्युत क्षेत्र पर विचार करें। सममिति के कारणों से, हम यह मान सकते हैं कि तनाव की रेखाएँ समतल के लंबवत हैं और इससे दोनों दिशाओं में निर्देशित होती हैं (चित्र 6)।

हम विमान के दाईं ओर स्थित एक बिंदु A चुनते हैं और इस बिंदु पर Ostrogradsky-Gauss प्रमेय का उपयोग करके गणना करते हैं। एक बंद सतह के रूप में, हम एक बेलनाकार सतह चुनते हैं ताकि सिलेंडर की पार्श्व सतह बल की रेखाओं के समानांतर हो, और उसके आधार विमान के समानांतर हों, और आधार बिंदु ए (चित्र 7) से होकर गुजरता है। आइए हम माना बेलनाकार सतह के माध्यम से तनाव के प्रवाह की गणना करें। पार्श्व सतह से प्रवाह 0 है, क्योंकि तनाव रेखाएं पार्श्व सतह के समानांतर होती हैं। तब कुल प्रवाह प्रवाह का योग है और सिलेंडर के आधारों से होकर गुजरता है और . ये दोनों प्रवाह धनात्मक हैं =+; =; =; ==; एन = 2.

- चयनित बेलनाकार सतह के अंदर स्थित विमान का एक भाग। इस सतह के अंदर आवेश q है।

फिर ; - बिंदु चार्ज के रूप में लिया जा सकता है) बिंदु ए के साथ। कुल क्षेत्र को खोजने के लिए, प्रत्येक तत्व द्वारा बनाए गए सभी क्षेत्रों को ज्यामितीय रूप से जोड़ना आवश्यक है:; .

आइए हम विद्युत प्रेरण वेक्टर के प्रवाह की अवधारणा का परिचय दें। एक असीम रूप से छोटे क्षेत्र पर विचार करें। ज्यादातर मामलों में, न केवल साइट के आकार को जानना आवश्यक है, बल्कि अंतरिक्ष में इसके अभिविन्यास को भी जानना आवश्यक है। आइए हम एक सदिश-क्षेत्र की अवधारणा का परिचय दें। आइए हम क्षेत्र वेक्टर को क्षेत्र के लंबवत निर्देशित वेक्टर के रूप में समझने के लिए सहमत हों और संख्यात्मक रूप से क्षेत्र के आकार के बराबर हों।

चित्र 1 - वेक्टर की परिभाषा के लिए - साइट

चलो वेक्टर प्रवाह कहते हैं साइट के माध्यम से
वैक्टर का डॉट उत्पाद तथा
. इस तरह,

वेक्टर प्रवाह एक मनमानी सतह के माध्यम से सभी प्राथमिक प्रवाहों को एकीकृत करके पाया जाता है

(4)

यदि क्षेत्र एकसमान है और सतह समतल है क्षेत्र के लंबवत स्थित है, तो:

. (5)

उपरोक्त अभिव्यक्ति साइट में प्रवेश करने वाली फ़ील्ड लाइनों की संख्या निर्धारित करती है समय की प्रति इकाई।

ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय। विद्युत क्षेत्र की ताकत विचलन

एक मनमाना बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रेरण वेक्टर का प्रवाह मुक्त विद्युत आवेशों के बीजगणितीय योग के बराबर है इस सतह से आच्छादित

(6)

व्यंजक (6) अभिन्न रूप में O-G प्रमेय है। प्रमेय 0-जी एक अभिन्न (कुल) प्रभाव से संचालित होता है, अर्थात। अगर
तब यह ज्ञात नहीं है कि इसका अर्थ अंतरिक्ष के अध्ययन किए गए भाग के सभी बिंदुओं पर आवेशों की अनुपस्थिति है, या इस स्थान के विभिन्न बिंदुओं पर स्थित धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों का योग शून्य के बराबर है।

किसी दिए गए क्षेत्र में स्थित आवेशों और उनके परिमाण का पता लगाने के लिए, विद्युत प्रेरण वेक्टर को जोड़ने वाला संबंध होना आवश्यक है किसी दिए गए बिंदु पर एक ही बिंदु पर एक चार्ज के साथ।

मान लीजिए कि हमें एक बिंदु पर आवेश की उपस्थिति निर्धारित करने की आवश्यकता है ए(रेखा चित्र नम्बर 2)

चित्र 2 - सदिश विचलन की गणना के लिए

हम O-G प्रमेय लागू करते हैं। एक मनमानी सतह के माध्यम से विद्युत प्रेरण वेक्टर का प्रवाह जो उस मात्रा को सीमित करता है जिसमें बिंदु स्थित है ए, के बराबर है

किसी आयतन में आवेशों के बीजगणितीय योग को आयतन समाकलन के रूप में लिखा जा सकता है

(7)

कहाँ पे - चार्ज प्रति यूनिट वॉल्यूम ;

- मात्रा तत्व।

एक बिंदु पर क्षेत्र और आवेश के बीच संबंध प्राप्त करने के लिए एहम सतह को एक बिंदु तक सिकोड़कर आयतन घटा देंगे ए. इस मामले में, हम अपनी समानता के दोनों हिस्सों को मूल्य से विभाजित करते हैं . सीमा से गुजरते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

.

परिणामी अभिव्यक्ति का दाहिना पक्ष, परिभाषा के अनुसार, अंतरिक्ष में माना बिंदु पर वॉल्यूमेट्रिक चार्ज घनत्व है। बाईं ओर एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रेरण वेक्टर के प्रवाह के अनुपात की सीमा का प्रतिनिधित्व करता है जब मात्रा शून्य हो जाती है। यह अदिश राशि विद्युत क्षेत्र की एक महत्वपूर्ण विशेषता है और इसे कहते हैं वेक्टर विचलन .

इस तरह:

,

इसलिए

, (8)

कहाँ पे थोक चार्ज घनत्व है।

इस संबंध की मदद से, इलेक्ट्रोस्टैटिक्स की व्युत्क्रम समस्या को आसानी से हल किया जाता है, अर्थात। एक ज्ञात क्षेत्र में वितरित शुल्क ढूँढना।

यदि वेक्टर दिया गया है, इसलिए इसके अनुमान ज्ञात हैं
,
,
निर्देशांक के एक समारोह के रूप में समन्वय अक्षों पर, और किसी दिए गए क्षेत्र को बनाने वाले शुल्कों के वितरित घनत्व की गणना करने के लिए, यह संबंधित चर के संबंध में इन अनुमानों के तीन आंशिक डेरिवेटिव का योग खोजने के लिए पर्याप्त है। उन बिंदुओं पर जिसके लिए
कोई शुल्क नहीं हैं। जिन बिंदुओं पर
धनात्मक, धनात्मक आवेश होता है जिसका थोक घनत्व के बराबर होता है
, और उन बिंदुओं पर जहां
एक ऋणात्मक मान होगा, एक ऋणात्मक आवेश पाया जाता है, जिसका घनत्व भी विचलन मान से निर्धारित होता है।

व्यंजक (8) अवकल रूप में प्रमेय 0-G को निरूपित करता है। इस रूप में, प्रमेय दिखाता है कि विद्युत क्षेत्र के स्रोत मुक्त विद्युत आवेश हैं;विद्युत प्रेरण वेक्टर की बल रेखाएँ क्रमशः धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों पर शुरू और समाप्त होती हैं।

जब कई शुल्क होते हैं, तो फ़ील्ड की गणना करने में कुछ कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं।

गॉस की प्रमेय उन्हें दूर करने में मदद करती है। सार गॉस प्रमेयनिम्न को घटाता है: यदि आवेशों की एक मनमानी संख्या मानसिक रूप से एक बंद सतह S से घिरी होती है, तो प्राथमिक क्षेत्र dS के माध्यम से विद्युत क्षेत्र की ताकत का प्रवाह dФ = Есоsα۰dS के रूप में लिखा जा सकता है जहां α विमान के सामान्य के बीच का कोण है और क्षेत्र शक्ति वेक्टर . (अंजीर.12.7)

संपूर्ण सतह के माध्यम से कुल प्रवाह इसके अंदर मनमाने ढंग से वितरित सभी शुल्कों से प्रवाह के योग के बराबर होगा और इस चार्ज के परिमाण के समानुपाती होगा

(12.9)

आइए हम त्रिज्या r की एक गोलाकार सतह के माध्यम से तनाव वेक्टर के प्रवाह को निर्धारित करें, जिसके केंद्र में एक बिंदु आवेश +q (चित्र। 12.8) है। तनाव की रेखाएं गोले की सतह पर लंबवत होती हैं, α = 0, इसलिए сosα = 1। तब

यदि क्षेत्र आवेशों की एक प्रणाली द्वारा बनता है, तो

गॉस प्रमेय: किसी भी बंद सतह के माध्यम से निर्वात में इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र शक्ति वेक्टर का प्रवाह इस सतह के अंदर संलग्न आवेशों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है, जिसे विद्युत स्थिरांक से विभाजित किया जाता है।

(12.10)

यदि गोले के अंदर कोई आवेश नहीं है, तो = 0.

गॉस प्रमेय सममित रूप से वितरित शुल्कों के लिए विद्युत क्षेत्रों की गणना करना अपेक्षाकृत आसान बनाता है।

आइए हम वितरित शुल्कों के घनत्व की अवधारणा का परिचय दें।

रैखिक घनत्व को निरूपित किया जाता है और चार्ज q प्रति इकाई लंबाई की विशेषता है। सामान्य तौर पर, इसकी गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

(12.11)

आवेशों के एकसमान वितरण के साथ, रैखिक घनत्व बराबर होता है

सतह घनत्व को दर्शाया गया है और चार्ज q प्रति इकाई क्षेत्र एस की विशेषता है। सामान्य शब्दों में, यह सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

(12.12)

सतह पर आवेशों के समान वितरण के साथ, सतह घनत्व बराबर होता है

थोक घनत्व, निरूपित , चार्ज q प्रति यूनिट वॉल्यूम V को दर्शाता है। सामान्य शब्दों में, यह सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

(12.13)

शुल्कों के एकसमान वितरण के साथ, यह बराबर है
.

चूँकि आवेश q गोले पर समान रूप से वितरित है, तब

= स्थिरांक। आइए गॉस प्रमेय लागू करें। आइए बिंदु A से जाने वाली त्रिज्या के साथ एक गोला बनाएं। चित्र 12.9 में तीव्रता वाले वेक्टर का प्रवाह त्रिज्या के गोलाकार पृष्ठ से होकर जाता है, क्योंकि α = 0. गॉस प्रमेय के अनुसार,
.

या

(12.14)

व्यंजक (12.14) से यह पता चलता है कि आवेशित गोले के बाहर की क्षेत्र शक्ति, गोले के केंद्र में रखे बिंदु आवेश की क्षेत्र शक्ति के समान होती है। गोले की सतह पर, अर्थात्। आर 1 \u003d आर 0, तनाव
.

गोले के अंदर r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

त्रिज्या r 0 का एक बेलन समान रूप से सतह घनत्व से आवेशित होता है (चित्र 12.10)। आइए हम मनमाने ढंग से चुने गए बिंदु A पर क्षेत्र की ताकत का निर्धारण करें। आइए हम त्रिज्या R और बिंदु A से लंबाई के साथ एक काल्पनिक बेलनाकार सतह बनाएं। समरूपता के कारण, प्रवाह केवल सिलेंडर की पार्श्व सतहों से बाहर निकलेगा, क्योंकि त्रिज्या r 0 के सिलेंडर पर आवेश समान रूप से इसकी सतह पर वितरित होते हैं, अर्थात। तनाव की रेखाएं दोनों सिलेंडरों की पार्श्व सतहों पर लंबवत रेडियल सीधी रेखाएं होंगी। चूंकि सिलेंडर के आधार के माध्यम से प्रवाह शून्य है (cos α = 0), और सिलेंडर की पार्श्व सतह बल की रेखाओं के लंबवत है (cos α = 1), फिर

या

(12.15)

हम E का मान - पृष्ठ घनत्व द्वारा व्यक्त करते हैं। परिभाषा से,

इसलिए,

सूत्र में q का मान रखें (12.15)

(12.16)

रेखा घनत्व की परिभाषा के अनुसार,
, कहाँ पे
; हम इस व्यंजक को सूत्र (12.16) में प्रतिस्थापित करते हैं:

(12.17)

वे। एक असीम रूप से लंबे चार्ज सिलेंडर द्वारा उत्पन्न क्षेत्र की ताकत रैखिक चार्ज घनत्व के समानुपाती और दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

एक समान रूप से आवेशित अनंत समतल द्वारा निर्मित क्षेत्र की तीव्रता

आइए हम बिंदु A पर एक अनंत समान रूप से आवेशित विमान द्वारा बनाए गए क्षेत्र की ताकत निर्धारित करें। मान लें कि समतल का सतह आवेश घनत्व है। एक बंद सतह के रूप में, एक सिलेंडर चुनना सुविधाजनक होता है जिसका अक्ष विमान के लंबवत होता है, और दाहिने आधार में बिंदु ए होता है। विमान सिलेंडर को आधा में विभाजित करता है। यह स्पष्ट है कि बल की रेखाएँ समतल के लंबवत और बेलन की पार्श्व सतह के समानांतर होती हैं, इसलिए सारा प्रवाह केवल बेलन के आधारों से होकर गुजरता है। दोनों आधारों पर, क्षेत्र की ताकत समान है, क्योंकि। बिंदु A और B समतल के सापेक्ष सममित हैं। तब बेलन के आधारों से प्रवाहित होता है

गॉस प्रमेय के अनुसार,

चूंकि
, फिर
, कहाँ पे

(12.18)

इस प्रकार, एक अनंत आवेशित विमान की क्षेत्र शक्ति सतह आवेश घनत्व के समानुपाती होती है और यह विमान की दूरी पर निर्भर नहीं करती है। इसलिए, समतल का क्षेत्र समांगी है।

दो विपरीत एकसमान आवेशित समांतर तलों द्वारा निर्मित क्षेत्र की तीव्रता

दो विमानों द्वारा निर्मित परिणामी क्षेत्र क्षेत्र सुपरपोजिशन के सिद्धांत द्वारा निर्धारित किया जाता है:
(अंजीर.12.12)। प्रत्येक विमान द्वारा बनाया गया क्षेत्र सजातीय है, इन क्षेत्रों की ताकत निरपेक्ष मूल्य के बराबर है, लेकिन दिशा में विपरीत है:
. अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार, विमान के बाहर कुल क्षेत्र की ताकत शून्य है:

विमानों के बीच, क्षेत्र की ताकत की दिशाएं समान होती हैं, इसलिए परिणामी ताकत बराबर होती है

इस प्रकार, दो विपरीत रूप से समान रूप से चार्ज किए गए विमानों के बीच का क्षेत्र सजातीय है और इसकी तीव्रता एक विमान द्वारा बनाई गई क्षेत्र की ताकत से दोगुनी है। विमानों के बाएँ और दाएँ कोई क्षेत्र नहीं है। परिमित विमानों के क्षेत्र का एक ही रूप है, विरूपण केवल उनकी सीमाओं के पास दिखाई देता है। प्राप्त सूत्र का उपयोग करके, आप एक फ्लैट संधारित्र की प्लेटों के बीच के क्षेत्र की गणना कर सकते हैं।