برای فهمیدن مقدار هندسی مشتق، نمودار تابع y = f(x) را در نظر بگیرید. یک نقطه دلخواه M با مختصات (x، y) و یک نقطه N نزدیک به آن (x + $\Delta $x، y + $\Delta $y) را در نظر بگیرید. اجازه دهید دستورات $\overline(M_(1) M)$ و $\overline(N_(1) N)$ را رسم کنیم و یک خط موازی با محور OX از نقطه M رسم کنیم.

نسبت $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ مماس زاویه $\alpha $1 است که توسط متقاطع MN با جهت مثبت محور OX تشکیل شده است. از آنجایی که $\Delta $x به سمت صفر میل می کند، نقطه N به M نزدیک می شود و مماس MT به منحنی در نقطه M به موقعیت محدود کننده MN قطع می شود. بنابراین، مشتق f`(x) برابر مماس است. از زاویه $\alpha $ تشکیل شده توسط مماس به منحنی در نقطه M (x, y) با جهت مثبت به محور OX - شیب مماس (شکل 1).

شکل 1. نمودار یک تابع

هنگام محاسبه مقادیر با استفاده از فرمول (1)، مهم است که در علائم اشتباه نکنید، زیرا افزایش می تواند منفی باشد.

نقطه N که روی منحنی قرار دارد می تواند از هر طرف به M نزدیک شود. بنابراین، اگر در شکل 1، مماس در جهت مخالف داده شود، زاویه $\alpha $ $\pi $ تغییر می کند، که به طور قابل توجهی بر مماس زاویه و بر این اساس، شیب را تحت تاثیر قرار می دهد.

نتیجه

نتیجه می شود که وجود مشتق با وجود مماس بر منحنی y = f(x) مرتبط است و شیب -- tg $\alpha $ = f`(x) متناهی است. بنابراین مماس نباید با محور OY موازی باشد وگرنه $\alpha $ = $\pi $/2 و مماس زاویه بی نهایت خواهد بود.

در برخی نقاط، یک منحنی پیوسته ممکن است مماس نداشته باشد یا دارای مماس موازی با محور OY باشد (شکل 2). سپس تابع نمی تواند مشتق در این مقادیر داشته باشد. روی منحنی تابع می‌تواند هر تعداد از این نقاط وجود داشته باشد.

شکل 2. نقاط استثنایی منحنی

شکل 2 را در نظر بگیرید. اجازه دهید $\Delta $x از مقادیر منفی یا مثبت به صفر گرایش پیدا کند:

\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

اگر در این حالت روابط (1) دارای راهروی محدود باشد، به صورت زیر نشان داده می شود:

در مورد اول، مشتق در سمت چپ، در مورد دوم، مشتق در سمت راست.

وجود حد از هم ارزی و برابری مشتقات چپ و راست صحبت می کند:

اگر مشتق چپ و راست برابر نباشند، در این نقطه مماس هایی وجود دارند که با OY موازی نیستند (نقطه M1، شکل 2). در نقاط M2، M3، روابط (1) به بی نهایت تمایل دارند.

برای N نقطه سمت چپ M2، $\Delta $x $

در سمت راست $M_2$، $\Delta $x $>$ 0، اما عبارت نیز f(x + $\Delta $x) -- f(x) $ است.

برای نقطه $M_3$ در سمت چپ $\Delta $x $$ 0 و f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0، یعنی. عبارات (1) هر دو در سمت چپ و راست مثبت هستند و زمانی که $\Delta $x به -0 و +0 نزدیک می شود به +$\infty $ تمایل دارند.

حالت عدم وجود مشتق در نقاط خاص خط (x = c) در شکل 3 نشان داده شده است.

شکل 3. عدم وجود مشتقات

مثال 1

شکل 4 نمودار تابع و مماس بر نمودار را در نقطه ای با ابسیسا $x_0$ نشان می دهد. مقدار مشتق تابع را در ابسیسا بیابید.

راه حل. مشتق در یک نقطه برابر است با نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان. بیایید دو نقطه با مختصات عدد صحیح روی مماس انتخاب کنیم. برای مثال، بگذارید اینها نقاط F (3.2-) و C (2.4-) باشند.

قبل از خواندن اطلاعات صفحه فعلی، به شما توصیه می کنیم که ویدیویی در مورد مشتق و معنای هندسی آن تماشا کنید.

مثالی از محاسبه مشتق در یک نقطه را نیز ببینید

مماس بر خط l در نقطه M0 خط مستقیم M0T است - موقعیت محدود کننده M0M متقاطع، زمانی که نقطه M در امتداد این خط به M0 میل می کند (یعنی زاویه به سمت صفر می رود) به روش دلخواه.

مشتق تابع y \u003d f (x)در نقطه x0 تماس گرفتحد نسبت افزایش این تابع به افزایش آرگومان زمانی که دومی به صفر میل می کند. مشتق تابع y \u003d f (x) در نقطه x0 و کتاب های درسی با نماد f "(x0) نشان داده می شود. بنابراین، طبق تعریف

اصطلاح "مشتق"(و همچنین "مشتق دوم") J. Lagrange را معرفی کرد(1797)، علاوه بر این، او عناوین y’، f’(x)، f”(x) (1770,1779) را به کار برد. نام dy/dx برای اولین بار در لایب نیتس (1675) یافت شد.

مشتق تابع y \u003d f (x) در x \u003d xo برابر است با شیب مماس بر نمودار این تابع در نقطه Mo (ho, f (xo)) ، یعنی.

جایی که یک - زاویه مماس به محور x یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی شکل.

معادله مماس به خط y = f(x) در نقطه Mo(xo, yo) شکل می گیرد

نرمال منحنی در یک نقطه عمود بر مماس در همان نقطه است. اگر f(x0) برابر 0 نباشد، پس معادله نرمال خط y \u003d f (x) در نقطه Mo (xo, yo) به صورت زیر نوشته می شود:

معنای فیزیکی مشتق

اگر x = f(t) قانون حرکت مستقیم یک نقطه باشد، x’ = f’(t) سرعت این حرکت در زمان t است. نرخ جریانفیزیکی، شیمیایی و غیره فرآیندها با استفاده از مشتق بیان می شود.

اگر نسبت dy/dx در x-> x0 دارای حدی در سمت راست (یا در سمت چپ) باشد، به آن مشتق سمت راست (به ترتیب، مشتق سمت چپ) می گویند. به چنین حدودی مشتقات یک طرفه می گویند..

بدیهی است که تابع f(x) تعریف شده در همسایگی نقطه x0 دارای مشتق f'(x) است اگر و فقط در صورتی که مشتقات یک طرفه وجود داشته باشند و با یکدیگر برابر باشند.

تفسیر هندسی مشتقاز آنجایی که شیب مماس به نمودار در این مورد نیز صدق می کند: مماس در این حالت موازی با محور Oy است.

تابعی که در یک نقطه دارای مشتق باشد در آن نقطه متمایز نامیده می شود. تابعی که در هر نقطه از بازه معین مشتق داشته باشد در این بازه متمایز نامیده می شود. اگر بازه بسته باشد، در انتهای آن مشتقات یک طرفه وجود دارد.

عملیات یافتن مشتق نامیده می شود.

اهداف درس:

دانش آموزان باید بدانند:

• آنچه که شیب خط مستقیم نامیده می شود;
• زاویه بین خط و محور x؛
• معنای هندسی مشتق چیست;
• معادله مماس بر نمودار تابع؛
• روشی برای ساختن مماس بر سهمی.
• بتواند دانش نظری را در عمل به کار گیرد.

اهداف درس:

آموزشی: ایجاد شرایطی برای تسلط دانش آموزان بر سیستم دانش، مهارت ها و توانایی ها با مفاهیم مکانیکی و هندسی مشتق.

آموزشی: برای شکل دادن به جهان بینی علمی در دانش آموزان.

توسعه: برای ایجاد علاقه شناختی، خلاقیت، اراده، حافظه، گفتار، توجه، تخیل، ادراک دانش آموزان.

روش های سازماندهی فعالیت های آموزشی و شناختی:

• دیداری؛
• کاربردی؛
• در مورد فعالیت ذهنی: استقرایی؛
• با توجه به جذب مواد: تا حدی اکتشافی، تولید مثل؛
• بر اساس درجه استقلال: کار آزمایشگاهی.
• تحریک کننده: تشویق
• کنترل: بررسی پیشانی دهان.

طرح درس

1. تمرینات شفاهی (مشتق را پیدا کنید)
2. گزارش دانش آموز با موضوع "دلایل پیدایش آنالیز ریاضی".
3. یادگیری مطالب جدید
4. فیزیک دقیقه
5. حل مشکل.
6. کار آزمایشگاهی.
7. جمع بندی درس.
8. اظهار نظر در مورد تکالیف

تجهیزات: پروژکتور چند رسانه ای (ارائه)، کارت (کار آزمایشگاهی).

در طول کلاس ها

"آدم فقط در جایی به چیزی می رسد که به خودش ایمان داشته باشد"

ال. فویرباخ

I. لحظه سازمانی.

سازماندهی کلاس در طول درس، آمادگی دانش آموزان برای درس، نظم و انضباط.

تعیین اهداف یادگیری برای دانش آموزان، هم برای کل درس و هم برای مراحل جداگانه آن.

اهمیت مطالب مورد مطالعه را هم در این مبحث و هم در کل دوره تعیین کنید.

شمارش شفاهی

1. مشتقات را بیابید:

"، ()"، (4sin x)"، (cos2x)"، (tg x)"، "

2. تست منطق.

الف) عبارت گم شده را وارد کنید.

5x 3 -6x	15x 2 -6	30 برابر
2sinx	2cosx…
cos2x	… …

II. گزارش دانش آموز با موضوع "دلایل پیدایش آنالیز ریاضی".

جهت کلی توسعه علم در نهایت با الزامات تمرین فعالیت انسانی تعیین می شود. وجود دولت های باستانی با سیستم حکومتی سلسله مراتبی پیچیده بدون توسعه کافی حساب و جبر غیرممکن بود، زیرا جمع آوری مالیات، سازماندهی تدارکات ارتش، ساختن کاخ ها و اهرام، ایجاد سیستم های آبیاری نیاز داشت. محاسبات پیچیده در دوران رنسانس، روابط بین بخش های مختلف جهان قرون وسطی گسترش یافت، تجارت و صنایع دستی توسعه یافت. افزایش سریع سطح فنی تولید آغاز می شود، منابع جدید انرژی به صورت صنعتی مورد استفاده قرار می گیرند، بدون اینکه با تلاش عضلانی انسان یا حیوانات مرتبط باشند. در قرون XI-XII، پرکننده ها و دستگاه های بافندگی ظاهر شدند، و در اواسط قرن پانزدهم - یک دستگاه چاپ. در ارتباط با نیاز به توسعه سریع تولید اجتماعی در این دوره، جوهره علوم طبیعی که از دوران باستان توصیفی بوده اند، تغییر می کند. هدف علوم طبیعی مطالعه عمیق فرآیندهای طبیعی است نه اشیا. علوم طبیعی توصیفی دوران باستان با ریاضیات مطابقت داشت که با مقادیر ثابت عمل می کرد. لازم بود یک دستگاه ریاضی ایجاد شود که نه نتیجه فرآیند، بلکه ماهیت جریان و قوانین ذاتی آن را توصیف کند. در نتیجه، در پایان قرن دوازدهم، نیوتن در انگلستان و لایب نیتس در آلمان اولین مرحله ایجاد تجزیه و تحلیل ریاضی را تکمیل کردند. "تحلیل ریاضی" چیست؟ چگونه می توان ویژگی های هر فرآیندی را توصیف و پیش بینی کرد؟ استفاده از این ویژگی ها؟ برای نفوذ عمیق تر در ماهیت این یا آن پدیده؟

III. یادگیری مطالب جدید.

بیایید مسیر نیوتن و لایب‌نیتس را طی کنیم و ببینیم چگونه می‌توانیم فرآیند را با در نظر گرفتن تابعی از زمان تحلیل کنیم.

اجازه دهید مفاهیمی را معرفی کنیم که بیشتر به ما کمک می کند.

نمودار تابع خطی y=kx+b یک خط مستقیم است، عدد k نامیده می شود شیب خط مستقیم k=tg، جایی که زاویه یک خط مستقیم است، یعنی زاویه بین این خط مستقیم و جهت مثبت محور Ox.

تصویر 1

نمودار تابع y \u003d f (x) را در نظر بگیرید. یک سکانت را از هر دو نقطه رسم کنید، به عنوان مثال، سکنت AM. (شکل 2)

شیب مقطع k=tg. در یک مثلث قائم الزاویه AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

شکل 2

شکل 3

اصطلاح "سرعت" به خودی خود وابستگی یک تغییر در یک کمیت را به تغییر در دیگری مشخص می کند و دومی لزوماً زمان نیست.

بنابراین، مماس شیب مقطع tg = .

ما علاقه مند به وابستگی تغییر ارزش ها در یک دوره زمانی کوتاهتر هستیم. اجازه دهید افزایش آرگومان را به صفر گرایش دهیم. سپس سمت راست فرمول مشتق تابع در نقطه A است (توضیح دهید که چرا). اگر x -> 0 باشد، نقطه M در طول نمودار به نقطه A حرکت می کند، به این معنی که خط AM به خط AB نزدیک می شود. مماس بر نمودار تابع y \u003d f (x) در نقطه A. (شکل 3)

زاویه میل سکنت به زاویه تمایل مماس میل می کند.

معنای هندسی مشتق این است که مقدار مشتق در یک نقطه برابر است با شیب مماس بر نمودار تابع در نقطه.

معنای مکانیکی مشتق.

مماس شیب مماس مقداری است که نرخ تغییر آنی تابع را در یک نقطه مشخص نشان می دهد، یعنی مشخصه جدیدی از فرآیند مورد مطالعه. لایب نیتس این کمیت را نامید مشتقو نیوتن گفت که آنی سرعت.

IV. Fizkultminutka.

V. حل مسئله.

شماره 91 (1) صفحه 91 - روی تخته نشان می دهد.

شیب مماس به منحنی f (x) \u003d x 3 در نقطه x 0 - 1 مقدار مشتق این تابع در x \u003d 1 است. f '(1) \u003d 3x 2؛ f'(1) = 3.

شماره 91 (3.5) - تحت دیکته.

شماره 92 (1) - در هیئت مدیره به میل.

شماره 92 (3) - به طور مستقل با تأیید شفاهی.

شماره 92 (5) - در هیئت مدیره.

پاسخ ها: 45 0، 135 0، 1.5 و 2.

VI. کار آزمایشگاهی.

هدف: توسعه مفهوم "معنای مکانیکی مشتق".

کاربردهای مشتق در مکانیک.

قانون حرکت مستقیم یک نقطه x = x(t)، t داده شده است.

1. میانگین سرعت حرکت در بازه زمانی مشخص؛
2. سرعت و شتاب در زمان t 04
3. نقاط توقف؛ آیا نقطه پس از لحظه توقف در همان جهت به حرکت خود ادامه می دهد یا در جهت مخالف شروع به حرکت می کند.
4. بالاترین سرعت حرکت برای مدت زمان مشخص.

کار بر اساس 12 گزینه انجام می شود، وظایف بر اساس سطح پیچیدگی متمایز می شوند (گزینه اول پایین ترین سطح پیچیدگی است).

قبل از شروع کار، گفتگو در مورد سوالات زیر:

1. معنای فیزیکی مشتق جابجایی چیست؟ (سرعت).
2. آیا می توانید مشتق سرعت را پیدا کنید؟ آیا این کمیت در فیزیک استفاده می شود؟ به آن چه گفته می شود؟ (شتاب).
3. سرعت آنی صفر است. در مورد حرکت بدن در این لحظه چه می توان گفت؟ (این نقطه توقف است).
4. معنای فیزیکی عبارات زیر چیست: مشتق حرکت در نقطه t 0 برابر با صفر است. آیا مشتق هنگام عبور از نقطه t 0 تغییر علامت می دهد؟ (بدن می ایستد، جهت حرکت به عکس تغییر می کند).

نمونه کار برای دانش آموزان

x (t) \u003d t 3 -2 t 2 +1, t 0 \u003d 2.

شکل 4

در جهت مخالف.

بیایید نمودار سرعت شماتیک رسم کنیم. بالاترین سرعت در نقطه به دست می آید

t=10، v (10) =3 10 2 -4 10 =300-40=260

شکل 5

VII. جمع بندی درس

1) معنای هندسی مشتق چیست؟
2) معنای مکانیکی مشتق چیست؟
3) در مورد کار خود نتیجه گیری کنید.

هشتم. اظهار نظر در مورد تکالیف

صفحه 90. شماره 91 (2،4،6)، شماره 92 (2،4،6،)، ص 92 شماره 112.

کتاب های استفاده شده

• کتاب درسی جبر و آغاز تحلیل.
  نویسنده: Yu.M. کولیاژین، ام.و. تکاچوا، N.E. فدورووا، M.I. شبونین.
  ویرایش شده توسط A. B. Zhizhchenko.
• جبر یازدهم. برنامه های درسی مطابق کتاب درسی توسط Sh.A. Alimov، Yu. M. Kolyagin، Yu. V. Sidorov. قسمت 1.
• منابع اینترنتی: http://orags.narod.ru/manuals/html/gre/12.jpg

سخنرانی: مفهوم مشتق تابع، معنای هندسی مشتق

مفهوم مشتق تابع

تابع f(x) را در نظر بگیرید که در کل بازه بررسی پیوسته خواهد بود. در بازه مورد نظر، نقطه x 0 و همچنین مقدار تابع را در این نقطه انتخاب می کنیم.

بنابراین، بیایید به نموداری نگاه کنیم که نقطه x 0 و همچنین نقطه (x 0 + ∆x) را روی آن علامت گذاری کنیم. به یاد بیاورید که ∆x فاصله (تفاوت) بین دو نقطه انتخاب شده است.

همچنین شایان ذکر است که هر x با مقدار خود تابع y مطابقت دارد.

تفاوت بین مقادیر تابع در نقطه x 0 و (x 0 + ∆x) افزایش این تابع نامیده می شود: ∆y \u003d f (x 0 + ∆x) - f (x 0).

بیایید به اطلاعات اضافی موجود در نمودار توجه کنیم - این سکنت است که KL نامیده می شود و همچنین مثلثی که با فواصل KN و LN تشکیل می دهد.

زاویه ای که سکنت در آن قرار دارد، زاویه میل آن نامیده می شود و با α نشان داده می شود. به راحتی می توان تعیین کرد که اندازه گیری درجه زاویه LKN نیز برابر با α است.

و حالا بیایید روابط یک مثلث قائم الزاویه را به یاد بیاوریم tgα = LN / KN = ∆ου / ∆х.

یعنی مماس شیب سکنت برابر است با نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان.

در یک زمان، مشتق حد نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان در فواصل بینهایت کوچک است.

مشتق نرخ تغییر تابع را در یک منطقه مشخص تعیین می کند.

معنای هندسی مشتق

اگر مشتق هر تابعی را در نقطه‌ای بیابید، می‌توانید زاویه‌ای را تعیین کنید که مماس بر نمودار در یک جریان معین نسبت به محور OX باشد. به نمودار توجه کنید - زاویه تمایل مماس با حرف φ نشان داده می شود و با ضریب k در معادله خط مستقیم تعیین می شود: y \u003d kx + b.

یعنی می توان نتیجه گرفت که معنای هندسی مشتق مماس شیب مماس در نقطه ای از تابع است.

نوع شغل: 7

وضعیت

خط y=3x+2 بر نمودار تابع y=-12x^2+bx-10 مماس است. با توجه به اینکه آبسیسا نقطه تماس کمتر از صفر است، b را پیدا کنید.

نمایش راه حل

راه حل

فرض کنید x_0 ابسیسا نقطه روی نمودار تابع y=-12x^2+bx-10 باشد که مماس بر این نمودار از آن می گذرد.

مقدار مشتق در نقطه x_0 برابر با شیب مماس است، یعنی y"(x_0)=-24x_0+b=3. از طرف دیگر، نقطه مماس هم به نمودار تابع و هم مربوط به مماس، یعنی -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. ما یک سیستم معادلات بدست می آوریم \begin(موارد) -24x_0+b=3،\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \پایان (موارد)

با حل این سیستم، x_0^2=1 به دست می‌آید، یعنی یا x_0=-1 یا x_0=1. با توجه به شرایط آبسیسا، نقاط تماس کمتر از صفر هستند، بنابراین x_0=-1، سپس b=3+24x_0=-21.

پاسخ

نوع شغل: 7
موضوع: معنای هندسی مشتق. نمودار مماس بر تابع

وضعیت

خط y=-3x+4 با مماس نمودار تابع y=-x^2+5x-7 موازی است. آبسیسا نقطه تماس را پیدا کنید.

نمایش راه حل

راه حل

شیب خط به نمودار تابع y=-x^2+5x-7 در نقطه دلخواه x_0 y"(x_0) است. اما y"=-2x+5، بنابراین y"(x_0)=- 2x_0+5. زاویه ای ضریب خط y=-3x+4 مشخص شده در شرط -3 است. خطوط موازی شیب های یکسانی دارند.بنابراین، چنین مقدار x_0 را پیدا می کنیم که =-2x_0 +5=-3 است.

دریافت می کنیم: x_0 = 4.

پاسخ

منبع: "ریاضیات. آمادگی برای آزمون 2017. سطح پروفایل اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع شغل: 7
موضوع: معنای هندسی مشتق. نمودار مماس بر تابع

وضعیت

نمایش راه حل

راه حل

از شکل مشخص می کنیم که مماس از نقاط A(-6; 2) و B(-1; 1) عبور می کند. نقطه تلاقی خطوط x=-6 و y=1 را با C(-6; 1) و با \alpha زاویه ABC را مشخص کنید (در شکل مشخص است که تیز است). سپس خط AB یک زاویه مبهم \pi -\alpha با جهت مثبت محور Ox تشکیل می دهد.

همانطور که می دانید tg(\pi -\alpha) مقدار مشتق تابع f(x) در نقطه x_0 خواهد بود. توجه کنید که tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.از اینجا، با فرمول های کاهش، به دست می آوریم: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

پاسخ

منبع: "ریاضیات. آمادگی برای آزمون 2017. سطح پروفایل اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع شغل: 7
موضوع: معنای هندسی مشتق. نمودار مماس بر تابع

وضعیت

خط y=-2x-4 بر نمودار تابع y=16x^2+bx+12 مماس است. با توجه به اینکه ابسیسا نقطه تماس بزرگتر از صفر است b را پیدا کنید.

نمایش راه حل

راه حل

فرض کنید x_0 ابسیسا نقطه روی نمودار تابع y=16x^2+bx+12 باشد که از طریق آن

مماس بر این نمودار است.

مقدار مشتق در نقطه x_0 برابر است با شیب مماس، یعنی y "(x_0)=32x_0+b=-2. از طرف دیگر، نقطه مماس هم به نمودار تابع و هم به نمودار تعلق دارد. مماس، یعنی 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 یک سیستم معادلات بدست می آوریم \begin(موارد) 32x_0+b=-2،\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \پایان (موارد)

با حل سیستم، x_0^2=1 را دریافت می کنیم، که به معنای x_0=-1 یا x_0=1 است. با توجه به شرایط آبسیسا، نقاط لمس بزرگتر از صفر هستند، بنابراین x_0=1، سپس b=-2-32x_0=-34.

پاسخ

منبع: "ریاضیات. آمادگی برای آزمون 2017. سطح پروفایل اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع شغل: 7
موضوع: معنای هندسی مشتق. نمودار مماس بر تابع

وضعیت

شکل نموداری از تابع y=f(x) را نشان می دهد که در بازه (2-؛ 8) تعریف شده است. تعداد نقاطی را که مماس نمودار تابع با خط مستقیم y=6 موازی است را تعیین کنید.

نمایش راه حل

راه حل

خط y=6 با محور Ox موازی است. بنابراین، چنین نقاطی را می یابیم که در آنها مماس نمودار تابع با محور Ox موازی است. در این نمودار، چنین نقاطی نقاط افراطی (حداکثر یا حداقل امتیاز) هستند. همانطور که می بینید، 4 نقطه افراطی وجود دارد.

پاسخ

منبع: "ریاضیات. آمادگی برای آزمون 2017. سطح پروفایل اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع شغل: 7
موضوع: معنای هندسی مشتق. نمودار مماس بر تابع

وضعیت

خط y=4x-6 موازی با مماس نمودار تابع y=x^2-4x+9 است. آبسیسا نقطه تماس را پیدا کنید.

نمایش راه حل

راه حل

شیب مماس بر نمودار تابع y \u003d x ^ 2-4x + 9 در یک نقطه دلخواه x_0 y "(x_0) است. اما y" \u003d 2x-4، که به معنی y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. شیب مماس y \u003d 4x-7 مشخص شده در شرط برابر است با 4. خطوط موازی دارای شیب های یکسان هستند. بنابراین، مقداری x_0 را پیدا می کنیم که 2x_0-4 \u003d 4 است. : x_0 \u003d 4.

پاسخ

منبع: "ریاضیات. آمادگی برای آزمون 2017. سطح پروفایل اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع شغل: 7
موضوع: معنای هندسی مشتق. نمودار مماس بر تابع

وضعیت

شکل، نمودار تابع y=f(x) و مماس بر آن را در نقطه ای با آبسیسا x_0 نشان می دهد. مقدار مشتق تابع f(x) را در نقطه x_0 بیابید.

نمایش راه حل

راه حل

از شکل مشخص می کنیم که مماس از نقاط A(1; 1) و B(5; 4) عبور می کند. نقطه تلاقی خطوط x=5 و y=1 را با C(5; 1) و با \alpha زاویه BAC را مشخص کنید (در شکل مشخص است که تیز است). سپس خط AB با جهت مثبت محور Ox یک زاویه آلفا تشکیل می دهد.