प्रश्न हल करें एक्स 2 +(1-x) 2 =x

साबित करें कि प्रारंभिक अंक को अंत तक पुनर्व्यवस्थित करने से कोई पूर्णांक 5 के कारक से बढ़ता है।

एक निश्चित राज्य में, हर दो या तो दोस्त हैं या दुश्मन। हर कोई किसी न किसी समय सभी मित्रों से झगड़ा कर सकता है और सभी शत्रुओं के साथ सुलह कर सकता है। यह पता चला कि इस तरह से हर तीन लोग दोस्त बन सकते हैं। सिद्ध कीजिए कि तब इस राज्य के सभी लोग मित्र बन सकते हैं।

एक त्रिभुज में, माध्यिकाओं में से एक समद्विभाजक के लंबवत होती है। सिद्ध कीजिए कि इस त्रिभुज की एक भुजा दूसरी भुजा की दुगुनी है।

गणित में स्कूली बच्चों के लिए जिला (शहर) ओलंपियाड आयोजित करने के लिए कार्य।

एक लक्ष्य से निशानेबाजी में एथलीट ने केवल 8.9 और 10 अंक ही गंवाए। कुल मिलाकर, 11 से अधिक शॉट लगाने के बाद, उन्होंने ठीक 100 अंक हासिल किए। एथलीट ने कितने शॉट लगाए और हिट क्या थे?

असमानता की सच्चाई साबित करें:

3. समीकरण हल करें:

एक तीन अंकों की संख्या ज्ञात कीजिए जो मध्य अंक को काट देने के बाद 7 के गुणनखंड से घटती है।

त्रिभुज ABC में, शीर्ष A और B से समद्विभाजक खींचे जाते हैं। फिर इन समद्विभाजक के समानांतर शीर्ष C से सीधी रेखाएँ खींची जाती हैं। द्विभाजक के साथ इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन के बिंदु D और E जुड़े हुए हैं। यह पता चला कि रेखाएँ DE और AB समानांतर हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज ABC समद्विबाहु है।

गणित में स्कूली बच्चों के लिए जिला (शहर) ओलंपियाड आयोजित करने के लिए कार्य।

समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं AB और AD पर क्रमशः बिंदु E और K लिए गए हैं, ताकि खंड EK विकर्ण BD के समानांतर हो। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज ALL और SDO के क्षेत्रफल बराबर हैं।

उन्होंने बसों में पर्यटकों के एक समूह को बैठाने का फैसला किया ताकि प्रत्येक बस में यात्रियों की संख्या समान हो। पहले तो प्रत्येक बस में 22 लोगों को बैठाया गया, लेकिन पता चला कि इस मामले में एक पर्यटक को रखना संभव नहीं है। जब एक बस खाली हुई तो सभी पर्यटक समान रूप से शेष बसों में सवार हो गए। मूल रूप से कितनी बसें थीं और समूह में कितने पर्यटक थे, यदि यह ज्ञात हो कि प्रत्येक बस में 32 से अधिक लोग नहीं बैठ सकते हैं?

गणित में स्कूली बच्चों के लिए जिला (शहर) ओलंपियाड आयोजित करने के लिए कार्य।

समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

सिद्ध कीजिए कि एक वृत्त के एक बिंदु से एक वर्ग के शीर्ष तक की चार दूरियाँ एक साथ परिमेय संख्याएँ नहीं हो सकतीं।

समस्याओं का संभावित समाधान

1. उत्तर: x=1, x=0.5

प्रारंभिक अंक के क्रमपरिवर्तन से अंत तक, संख्या का महत्व नहीं बदलेगा। ऐसे में समस्या की स्थिति के अनुसार उन्हें एक संख्या मिलनी चाहिए जो पहली संख्या से 5 गुना अधिक हो। इसलिए वांछित संख्या का पहला अंक 1 और केवल 1 के बराबर होना चाहिए (क्योंकि यदि पहला अंक 2 या अधिक है, तो मान बदल जाएगा, 2 * 5 = 10)। 1 को अंत तक पुनर्व्यवस्थित करने पर, परिणामी संख्या 1 पर समाप्त होती है, इसलिए यह 5 से विभाज्य नहीं है।

यह इस शर्त से होता है कि यदि A और B मित्र हैं, तो C या तो उनका सामान्य शत्रु है या एक सामान्य मित्र (अन्यथा उन तीनों का मेल नहीं हो सकता)। आइए हम व्यक्ति ए के सभी दोस्तों को लें। यह कहा गया है कि वे सभी एक-दूसरे के साथ मित्रवत हैं और बाकी के साथ शत्रुता रखते हैं। मान लीजिए कि A और उसके मित्र बारी-बारी से मित्रों से झगड़ते हैं और शत्रुओं से सुलह करते हैं। उसके बाद, सभी दोस्त बन जाएंगे।

वास्तव में, ए को सबसे पहले अपने दोस्तों के साथ झगड़ा करने और अपने दुश्मनों के साथ शांति बनाने दें, लेकिन तब उसके प्रत्येक पूर्व मित्र उसके साथ रहेंगे, और पूर्व शत्रु मित्र बने रहेंगे। तो, सभी लोग A के मित्र बन जाते हैं, और परिणामस्वरूप, आपस में मित्र बन जाते हैं।

संख्या 111 37 से विभाज्य है, इसलिए योग भी 37 से विभाज्य है।

शर्त के अनुसार, संख्या 37 से विभाज्य है, इसलिए योग

37 से विभाज्य।

ध्यान दें कि निर्दिष्ट माध्यिका और द्विभाजक एक ही शीर्ष से बाहर नहीं आ सकते हैं, अन्यथा इस शीर्ष पर कोण 180 0 से अधिक होगा। अब त्रिभुज ABC में द्विभाजक AD और माध्य CE बिंदु F पर प्रतिच्छेद करते हैं। तब AF त्रिभुज ACE में द्विभाजक और ऊँचाई है, जिसका अर्थ है कि यह त्रिभुज समद्विबाहु (AC \u003d AE) है, और चूँकि CE है माध्यिका, फिर AB \u003d 2AE और, इसलिए, AB = 2AC।

समस्याओं का संभावित समाधान

1. उत्तर: 8 पॉइंट के लिए 9 शॉट,

9 अंक के लिए 2 शॉट,

10 अंक के लिए 1 शॉट।

होने देना एक्सएक एथलीट द्वारा शॉट लगाए गए थे, जिसमें 8 अंक थे, आप 9 अंक के लिए शॉट, जेड 10 अंक के लिए शॉट। तब आप एक सिस्टम बना सकते हैं:

सिस्टम के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए, हम लिखते हैं:

इस प्रणाली से यह इस प्रकार है कि एक्स+ आप+ जेड=12

दूसरे समीकरण को (-8) से गुणा करें और पहले समीकरण में जोड़ें। हमें वह मिलता है आप+2 जेड=4 , कहाँ पे आप=4-2 जेड, आप=2(2- जेड) . इसलिये, परएक सम संख्या है, अर्थात् y=2t, कहाँ पे ।

इसलिये,

3. उत्तर: x = -1/2, x = -4

भिन्नों को एक ही हर में कम करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं

4. उत्तर: 105

द्वारा निरूपित करें एक्स, आप, जेडवांछित तीन अंकों की संख्या का क्रमशः पहला, दूसरा और तीसरा अंक। तब इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है। मध्य अंक को पार करने पर दो अंकों की संख्या प्राप्त होगी। समस्या की स्थिति के अनुसार, अर्थात्। अनजान नंबर एक्स, आप, जेडसमीकरण को संतुष्ट करें

7(10 एक्स+ जेड)=100 एक्स+10 आप+ एक्स, जो समान शब्दों और संक्षिप्ताक्षरों को कम करने के बाद रूप लेता है 3 जेड=15 एक्स+5 आप.

इस समीकरण से यह इस प्रकार है कि जेड 5 से विभाज्य होना चाहिए और सकारात्मक होना चाहिए, क्योंकि शर्त के अनुसार। इसलिए, z = 5, और संख्याएँ एक्स, वाईसमीकरण 3 = 3x + y को संतुष्ट करें, जिसका, शर्त के आधार पर, एक अद्वितीय समाधान x = 1, y = 0 है। इसलिए, समस्या की स्थिति एकल संख्या 105 से संतुष्ट होती है।

मान लीजिए F उस बिंदु को दर्शाता है जिस पर रेखाएं AB और CE प्रतिच्छेद करती हैं। चूँकि रेखाएँ DB और CF समानांतर हैं, तो . चूँकि BD कोण ABC का समद्विभाजक है, इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं। यह यहाँ से इस प्रकार है कि, अर्थात्। त्रिभुज BCF समद्विबाहु है और BC=BF है। लेकिन यह इस शर्त से निकलता है कि चतुर्भुज BDEF एक समांतर चतुर्भुज है। इसलिए बीएफ = डीई, और इसलिए बीसी = डीई। इसी प्रकार सिद्ध किया जा सकता है कि AC = DE। यह आवश्यक समानता की ओर जाता है।

समस्याओं का संभावित समाधान

1.

यहां से (एक्स + वाई) 2 = 1 , अर्थात। एक्स + वाई = 1या एक्स + वाई = -1.

आइए दो मामलों पर विचार करें।

ए) एक्स + वाई = 1. स्थानापन्न एक्स = 1 - वाई

बी) एक्स + वाई = -1. प्रतिस्थापन के बाद एक्स=-1-वाई

तो, संख्याओं के केवल निम्नलिखित चार जोड़े ही सिस्टम का समाधान हो सकते हैं: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2)। मूल प्रणाली के समीकरणों में प्रतिस्थापित करके, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि इन चार युग्मों में से प्रत्येक प्रणाली का एक समाधान है।

त्रिभुज CDF और BDF का एक उभयनिष्ठ आधार FD और समान ऊँचाई है, क्योंकि रेखाएँ BC और AD समानांतर हैं। इसलिए, उनके क्षेत्र समान हैं। इसी प्रकार, त्रिभुज BDF और BDE के क्षेत्रफल समान हैं, क्योंकि रेखा BD, रेखा EF के समानांतर है। और त्रिभुज बीडीई और बीसीई के क्षेत्रफल बराबर हैं, क्योंकि एबी सीडी के समानांतर है। इसका तात्पर्य त्रिभुजों CDF और BCE के क्षेत्रफलों की आवश्यक समानता है।

फलन की परिभाषा के क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए, हम एक आलेख तैयार करेंगे।

सूत्र का उपयोग करना आगे परिवर्तन करें

अतिरिक्त सूत्र लागू करना और आगे परिवर्तन करना, हम प्राप्त करते हैं

5. उत्तर: 24 बसें, 529 पर्यटक।

द्वारा निरूपित करें कबसों की प्रारंभिक संख्या समस्या की स्थिति से यह निम्नानुसार है कि सभी पर्यटकों की संख्या बराबर है 22 क +1 . एक बस के रवाना होने के बाद बाकी सभी पर्यटकों को बस में बैठाया गया (के-1)बसें। इसलिए, संख्या 22 क +1 द्वारा विभाजित किया जाना चाहिए के-1. इस प्रकार, समस्या को उन सभी पूर्णांकों के निर्धारण तक सीमित कर दिया गया जिनके लिए संख्या

एक पूर्णांक है और असमानता को संतुष्ट करता है (संख्या n प्रत्येक बस में बैठे पर्यटकों की संख्या के बराबर है, और समस्या की स्थिति के अनुसार, बस 32 से अधिक यात्रियों को समायोजित नहीं कर सकती है)।

एक संख्या केवल एक पूर्णांक होगी यदि संख्या एक पूर्णांक है। उत्तरार्द्ध केवल के साथ संभव है क=2 और कम से क=24 .

अगर क=2 , फिर एन = 45।

और अगर क=24 , फिर एन = 23।

इस से और इस शर्त से, हमें वही मिलता है क=24 समस्या की सभी शर्तों को पूरा करता है।

इसलिए, शुरू में 24 बसें थीं, और सभी पर्यटकों की संख्या है n(k-1)=23*23=529

समस्याओं का संभावित समाधान

1. उत्तर:

तब समीकरण रूप लेगा:

के लिए द्विघात समीकरण प्राप्त करें आर.

2. उत्तर: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2)

निकाय के समीकरणों को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं , या

यहां से (एक्स + वाई) 2 = 1 , अर्थात। एक्स + वाई = 1या एक्स + वाई = -1.

आइए दो मामलों पर विचार करें।

ए) एक्स + वाई = 1. स्थानापन्न एक्स = 1 - वाईप्रणाली के पहले समीकरण में, हम प्राप्त करते हैं

बी) एक्स + वाई = -1. प्रतिस्थापन के बाद एक्स=-1-वाईप्रणाली के पहले समीकरण में, हम प्राप्त करते हैं or

एक समीकरण को हल करने का अर्थ है अज्ञात के ऐसे मूल्यों को खोजना जिनके लिए समानता सत्य होगी।

समीकरण समाधान

• आइए निम्नलिखित रूप में समीकरण का प्रतिनिधित्व करते हैं:

2x * x - 3 * x = 0.

• हम देखते हैं कि बाईं ओर के समीकरण के पदों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड x है। आइए इसे कोष्ठक से बाहर निकालें और लिखें:

एक्स * (2x - 3) = 0।

• परिणामी व्यंजक गुणनखंड x और (2x - 3) का गुणनफल है। याद रखें कि गुणनफल 0 के बराबर है यदि कारकों में से कम से कम एक 0 के बराबर है। तो, हम समानताएं लिख सकते हैं:

एक्स = 0 या 2x - 3 = 0।

• अतः मूल समीकरण का एक मूल x 1 = 0 है।
• समीकरण 2x - 3 = 0 को हल करके दूसरा मूल ज्ञात कीजिए।

इस व्यंजक में, 2x छोटा अंत है, 3 सबट्रेंड है, और 0 अंतर है। मिन्यूएंड को खोजने के लिए, आपको अंतर में सबट्रेंड जोड़ना होगा:

अंतिम व्यंजक में, 2 और x गुणनखंड हैं, 3 गुणनफल है। अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको ज्ञात कारक द्वारा उत्पाद को विभाजित करने की आवश्यकता है:

इस प्रकार, हमें समीकरण की दूसरी जड़ मिली: x 2 \u003d 1.5।

समाधान की शुद्धता की जाँच

यह पता लगाने के लिए कि क्या समीकरण सही ढंग से हल किया गया है, इसमें x के संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करना और आवश्यक अंकगणितीय संचालन करना आवश्यक है। यदि गणना के परिणामस्वरूप यह पता चलता है कि अभिव्यक्ति के बाएँ और दाएँ भागों का मान समान है, तो समीकरण सही ढंग से हल हो गया है।

चलो जांचते हैं:

• आइए x 1 = 0 पर मूल व्यंजक के मान की गणना करें और प्राप्त करें:

2 * 0 2 - 3 * 0 = 0,

0 = 0, ठीक है।

• आइए x 2 = 0 पर व्यंजक के मान की गणना करें और प्राप्त करें:

2 * 1,5 2 - 3 * 1,5 = 0,

2 * 2,25 - 4,5 = 0,

0 = 0, ठीक है।

• तो समीकरण सही है।

उत्तर: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 1.5।

द्विघातीय समीकरण।

द्विघात समीकरण- सामान्य रूप का बीजीय समीकरण

जहाँ x एक मुक्त चर है,

ए, बी, सी, - गुणांक, और

अभिव्यक्ति वर्ग त्रिपद कहलाता है।

द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीके।

1. विधि : समीकरण के बाईं ओर का गुणनखंडन।

आइए समीकरण हल करें एक्स 2 + 10x - 24 = 0. आइए बाईं ओर का गुणनखंड करें:

x 2 + 10x - 24 \u003d x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2)।

इसलिए, समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है:

(एक्स + 12) (एक्स - 2) = 0

चूँकि गुणनफल शून्य है, तो इसका कम से कम एक गुणनखंड शून्य है। इसलिए, समीकरण का बायां पक्ष गायब हो जाता है एक्स = 2, साथ ही at एक्स = - 12. इसका मतलब है कि संख्या 2 तथा - 12 समीकरण की जड़ें हैं एक्स 2 + 10x - 24 = 0.

2. विधि : पूर्ण वर्ग चयन विधि।

आइए समीकरण हल करें एक्स 2 + 6x - 7 = 0. आइए बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग चुनें।

ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित रूप में व्यंजक x 2 + 6x लिखते हैं:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3।

परिणामी व्यंजक में, पहला पद संख्या x का वर्ग है, और दूसरा x बटा 3 का दोहरा गुणनफल है। इसलिए, पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए, आपको 3 2 जोड़ने की आवश्यकता है, क्योंकि

एक्स 2+ 2 x 3 + 3 2 \u003d (x + 3) 2.

अब हम समीकरण के बाएँ पक्ष को रूपांतरित करते हैं

एक्स 2 + 6x - 7 = 0,

इसमें जोड़ना और घटाना 3 2 . हमारे पास है:

एक्स 2 + 6x - 7 =एक्स 2+ 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

इस प्रकार, इस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(x + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 = 16.

इसलिये, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, या x + 3 = -4, x 2 = -7।

3. विधि :द्विघात समीकरणों का सूत्र द्वारा हल।

समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करें

कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d 0, ए 0

4a पर और क्रमिक रूप से हमारे पास है:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2एक्स) 2 + 2एक्स बी + बी 2) - बी 2 + 4एसी \u003d 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b \u003d ± b 2 - 4ac,

2ax \u003d - b ± b 2 - 4ac,

उदाहरण.

ए)आइए समीकरण को हल करें: 4x2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

डी > 0दो अलग जड़ें;

इस प्रकार, एक सकारात्मक विवेचक के मामले में, अर्थात्। पर

बी 2 - 4ac>0, समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0दो अलग-अलग जड़ें हैं।

बी)आइए समीकरण को हल करें: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

ए \u003d 4, बी \u003d - 4, सी \u003d 1, डी \u003d बी 2 - 4ac \u003d (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 \u003d 0,

डी = 0एक जड़;

इसलिए, यदि विवेचक शून्य है, अर्थात। ख 2 - 4ac = 0, फिर समीकरण

कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0एक ही जड़ है

वी)आइए समीकरण को हल करें: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

ए = 2, बी = 3, सी = 4, डी = बी 2 - 4एसी = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, डी< 0.

इस समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

इसलिए, यदि विवेचक नकारात्मक है, अर्थात। b2-4ac< 0 , समीकरण

कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0कोई जड़ नहीं है।

द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र (1) कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0आपको जड़ों को खोजने की अनुमति देता है कोई द्विघात समीकरण (यदि कोई हो), कम और अपूर्ण सहित। सूत्र (1) मौखिक रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: एक द्विघात समीकरण की जड़ें एक भिन्न के बराबर होती हैं जिसका अंश दूसरे गुणांक के बराबर होता है, जिसे विपरीत चिह्न के साथ लिया जाता है, साथ ही इस गुणांक के वर्ग के वर्गमूल को घटाकर पहले गुणांक के गुणनफल को मुक्त पद से घटाया जाता है, और हर पहले गुणांक का दोगुना है।

4. विधि: विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों का समाधान।

जैसा कि ज्ञात है, दिए गए द्विघात समीकरण का रूप है

एक्स 2 + पीएक्स + सी = 0।(1)

इसकी जड़ें वियत प्रमेय को संतुष्ट करती हैं, जो, जब ए = 1रूप है

एक्स 1 एक्स 2 = क्यू,

एक्स 1 + एक्स 2 = - पी

इससे हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं (मूलों के संकेतों का अनुमान गुणांक p और q से लगाया जा सकता है)।

ए) यदि सारांश शब्द क्यूघटे हुए समीकरण का (1) धनात्मक है ( क्यू > 0), तो समीकरण में एक ही चिन्ह की दो जड़ें होती हैं और यह दूसरे गुणांक की ईर्ष्या है पी. अगर आर< 0 , तो दोनों मूल ऋणात्मक हैं यदि आर< 0 , तो दोनों मूल धनात्मक हैं।

उदाहरण के लिए,

एक्स 2 - 3x + 2 = 0; एक्स 1 = 2तथा एक्स 2 \u003d 1,चूंकि क्यू = 2> 0तथा पी=-3< 0;

x2 + 8x + 7 = 0; एक्स 1 = - 7तथा एक्स 2 \u003d - 1,चूंकि क्यू = 7> 0तथा पी = 8> 0।

बी) यदि एक मुक्त सदस्य क्यूघटे हुए समीकरण का (1) ऋणात्मक है ( क्यू< 0 ), तो समीकरण के अलग-अलग चिह्न के दो मूल हैं, और निरपेक्ष मान में बड़ा मूल धनात्मक होगा यदि पी< 0 , या नकारात्मक अगर पी > 0 .

उदाहरण के लिए,

एक्स 2 + 4x - 5 = 0; एक्स 1 = - 5तथा एक्स 2 \u003d 1,चूंकि क्यू = - 5< 0 तथा पी = 4> 0;

एक्स 2 - 8x - 9 \u003d 0; एक्स 1 = 9तथा एक्स 2 \u003d - 1,चूंकि क्यू = - 9< 0 तथा पी=-8< 0.

उदाहरण।

1) समीकरण हल करें 345x 2 - 137x - 208 = 0.

समाधान।चूंकि ए + बी + सी \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0),फिर

एक्स 1 = 1, एक्स 2 = सी / ए = -208/345।

उत्तर 1; -208/345।

2) समीकरण हल करें 132x 2 - 247x + 115 = 0.

समाधान।चूंकि ए + बी + सी \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0),फिर

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 115/132।

उत्तर 1; 115/132.

बी। यदि दूसरा गुणांक बी = 2kएक सम संख्या है, तो जड़ों का सूत्र

उदाहरण।

आइए समीकरण हल करें 3x2 - 14x + 16 = 0.

समाधान. हमारे पास है: ए = 3, बी = - 14, सी = 16, के = - 7;

डी \u003d के 2 - एसी \u003d (- 7) 2 - 3 16 \u003d 49 - 48 \u003d 1, डी\u003e 0,दो अलग जड़ें;

उत्तर: 2; 8/3

वी घटा हुआ समीकरण

एक्स 2 + पीएक्स + क्यू \u003d 0

सामान्य समीकरण के साथ मेल खाता है, जिसमें ए = 1, बी = पीतथा सी = क्यू. इसलिए, कम द्विघात समीकरण के लिए, जड़ों के लिए सूत्र

रूप लेता है:

फॉर्मूला (3) विशेष रूप से उपयोग करने के लिए सुविधाजनक है जब आर- सम संख्या।

उदाहरण।आइए समीकरण हल करें x 2 - 14x - 15 = 0.

समाधान।हमारे पास है: एक्स 1.2 \u003d 7 ±

उत्तर: x 1 = 15; एक्स 2 \u003d -1।

5. विधि: रेखांकन द्वारा समीकरणों को हल करना।

उदाहरण। समीकरण x2 - 2x - 3 = 0 को हल करें।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें y \u003d x2 - 2x - 3

1) हमारे पास है: a = 1, b = -2, x0 = 1, y0 = f(1)= 12 - 2 - 3= -4। इसका मतलब है कि बिंदु (1; -4) परवलय का शीर्ष है, और सीधी रेखा x \u003d 1 परवलय की धुरी है।

2) एक्स-अक्ष पर दो बिंदु लें जो परवलय की धुरी के बारे में सममित हैं, उदाहरण के लिए, अंक x \u003d -1 और x \u003d 3।

हमारे पास f(-1) = f(3) = 0 है। आइए निर्देशांक तल पर बिंदुओं (-1; 0) और (3; 0) की रचना करें।

3) बिन्दुओं (-1; 0), (1; -4), (3; 0) से होकर हम एक परवलय खींचते हैं (चित्र 68)।

समीकरण x2 - 2x - 3 = 0 के मूल x-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज हैं; अतः समीकरण के मूल हैं: x1 = - 1, x2 - 3।

गणित को हल करने के लिए। जल्दी से खोजें गणित समीकरण हलमोड में ऑनलाइन. वेबसाइट www.site अनुमति देती है प्रश्न हल करेंलगभग किसी दिए गए बीजगणितीय, त्रिकोणमितीयया ट्रान्सेंडैंटल समीकरण ऑनलाइन. विभिन्न चरणों में गणित के लगभग किसी भी खंड का अध्ययन करते समय, किसी को निर्णय लेना होता है समीकरण ऑनलाइन. तुरंत उत्तर पाने के लिए, और सबसे महत्वपूर्ण रूप से सटीक उत्तर पाने के लिए, आपको एक ऐसे संसाधन की आवश्यकता है जो आपको ऐसा करने की अनुमति दे। www.site . को धन्यवाद ऑनलाइन समीकरण हल करेंकुछ मिनट लगेंगे। गणितीय हल करते समय www.site का मुख्य लाभ समीकरण ऑनलाइन- जारी प्रतिक्रिया की गति और सटीकता है। साइट किसी को भी हल करने में सक्षम है बीजीय समीकरण ऑनलाइन, त्रिकोणमितीय समीकरण ऑनलाइन, ट्रान्सेंडैंटल समीकरण ऑनलाइन, साथ ही साथ समीकरणमोड में अज्ञात मापदंडों के साथ ऑनलाइन. समीकरणएक शक्तिशाली गणितीय उपकरण के रूप में कार्य करें समाधानव्यावहारिक कार्य। मदद से गणितीय समीकरणतथ्यों और संबंधों को व्यक्त करना संभव है जो पहली नज़र में भ्रमित और जटिल लग सकते हैं। अज्ञात मात्रा समीकरणसमस्या को सूत्रबद्ध करके पाया जा सकता है गणितीयरूप में भाषा समीकरणतथा निर्णय करनामोड में प्राप्त कार्य ऑनलाइनवेबसाइट www.site पर। कोई बीजीय समीकरण, त्रिकोणमितीय समीकरणया समीकरणयुक्त ट्रान्सेंडैंटलआपको आसानी से सुविधाएँ निर्णय करनाऑनलाइन और सही उत्तर प्राप्त करें। प्राकृतिक विज्ञानों का अध्ययन करने पर व्यक्ति को अनिवार्य रूप से आवश्यकता का सामना करना पड़ता है समीकरण हल करना. इस मामले में, उत्तर सटीक होना चाहिए और इसे तुरंत मोड में प्राप्त किया जाना चाहिए ऑनलाइन. इसलिए, के लिए गणित के समीकरण ऑनलाइन हल करेंहम साइट www.site की अनुशंसा करते हैं, जो आपके लिए अनिवार्य कैलकुलेटर बन जाएगा बीजीय समीकरणों को ऑनलाइन हल करें, त्रिकोणमितीय समीकरण ऑनलाइन, साथ ही साथ ट्रान्सेंडैंटल समीकरण ऑनलाइनया समीकरणअज्ञात मापदंडों के साथ। विभिन्न की जड़ों को खोजने की व्यावहारिक समस्याओं के लिए गणितीय समीकरणसंसाधन www.. हल करना समीकरण ऑनलाइनस्वयं, प्राप्त उत्तर की जांच करने के लिए उपयोगी है समीकरणों का ऑनलाइन समाधानवेबसाइट www.site पर। समीकरण को सही ढंग से लिखना और तुरंत प्राप्त करना आवश्यक है ऑनलाइन समाधान, जिसके बाद यह केवल समीकरण के आपके समाधान के साथ उत्तर की तुलना करने के लिए रहता है। उत्तर की जाँच में एक मिनट से अधिक समय नहीं लगेगा, पर्याप्त ऑनलाइन समीकरण हल करेंऔर उत्तरों की तुलना करें। इससे आपको गलतियों से बचने में मदद मिलेगी फैसले कोऔर समय पर उत्तर सही करें ऑनलाइन समीकरण हल करनाकि क्या बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय, उत्कृष्टया समीकरणअज्ञात मापदंडों के साथ।

इस लेख में हम द्विघात समीकरणों को हल करना सीखेंगे।

तो, किस प्रकार के समीकरणों को द्विघात कहा जाता है?
हर चीज़ फॉर्म के समीकरण आह 4+ बीएक्स 2 + सी = 0 , कहाँ पे एक 0, जो x 2 , और . के सन्दर्भ में वर्गाकार हैं द्विघात कहलाते हैंसमीकरण जैसा कि आप देख सकते हैं, यह प्रविष्टि द्विघात समीकरण के समान है, इसलिए हम द्विघात समीकरणों को उन सूत्रों का उपयोग करके हल करेंगे जिनका उपयोग हमने द्विघात समीकरण को हल करते समय किया था।

केवल हमें एक नया चर पेश करना होगा, अर्थात हम निरूपित करते हैं एक्स 2 एक अन्य चर, उदाहरण के लिए, पर या टी (या लैटिन वर्णमाला का कोई अन्य अक्षर)।

उदाहरण के लिए, प्रश्न हल करें x 4 + 4x 2 - 5 = 0.

निरूपित एक्स 2 आर - पार पर (एक्स 2 = वाई ) और समीकरण y 2 + 4y - 5 = 0 प्राप्त करें।
जैसा कि आप देख सकते हैं, आप पहले से ही जानते हैं कि ऐसे समीकरणों को कैसे हल किया जाए।

हम परिणामी समीकरण को हल करते हैं:

डी \u003d 4 2 - 4 (- 5) \u003d 16 + 20 \u003d 36, D \u003d √36 \u003d 6.

वाई 1 = (‒ 4 - 6)/2= - 10 /2 = - 5,

y 2 \u003d (- 4 + 6) / 2 \u003d 2 / 2 \u003d 1।

आइए अपने वेरिएबल x पर वापस जाएं।

हमें वह x 2 \u003d - 5 और x 2 \u003d 1 मिला।

हम देखते हैं कि पहले समीकरण का कोई हल नहीं है, और दूसरा दो हल देता है: x 1 = 1 और x 2 = -1। सावधान रहें कि नकारात्मक जड़ न खोएं (अक्सर उन्हें उत्तर x = 1 मिलता है, जो सही नहीं है)।

उत्तर:- 1 और 1.

विषय को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 1प्रश्न हल करें 2x4 - 5x2 + 3 = 0.

मान लीजिए x 2 \u003d y, फिर 2y 2 - 5y + 3 \u003d 0।

डी = (‒ 5) 2 - 4 2 3 = 25 - 24 = 1, डी = 1 = 1।

y 1 \u003d (5 - 1) / (2 2) \u003d 4/4 \u003d 1, y 2 \u003d (5 + 1) / (2 2) \u003d 6/4 \u003d 1.5।

फिर x 2 \u003d 1 और x 2 \u003d 1.5।

हमें x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 1, x 3 \u003d - 1.5, x 4 \u003d √1.5 मिलता है।

उत्तर: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.

उदाहरण 2प्रश्न हल करें 2 x 4 + 5 x 2 + 2 = 0.

2y 2 + 5y + 2 = 0.

डी = 5 2 - 4 2 2 = 25 - 16 = 9, √D = √9 = 3.

y 1 = (-5 - 3)/(2 2) = - 8/4 = -2, y 2 = (-5 + 3)/(2 2) = - 2/4 = - 0.5।

तब x 2 = - 2 और x 2 = - 0.5। ध्यान दें कि इनमें से किसी भी समीकरण का कोई हल नहीं है।

उत्तर:कोई समाधान नहीं हैं।

अपूर्ण द्विघात समीकरण- यह तब है जब बी = 0 (कुल्हाड़ी 4 + सी = 0) या अन्य सी = 0

(ax 4 + bx 2 = 0) अपूर्ण द्विघात समीकरणों की तरह हल किए जाते हैं।

उदाहरण 3प्रश्न हल करें एक्स 4 - 25x 2 = 0

हम गुणनखंड करते हैं, कोष्ठक में से x 2 निकालते हैं और फिर x 2 (x 2 - 25) = 0 लेते हैं।

हमें x 2 \u003d 0 या x 2 - 25 \u003d 0, x 2 \u003d 25 मिलता है।

तब हमारे पास जड़ें 0 होती हैं; 5 और - 5.

उत्तर: 0; 5; – 5.

उदाहरण 4प्रश्न हल करें 5x 4 - 45 = 0.

x 2 = - 9 (कोई हल नहीं)

x 2 \u003d 9, x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 3.

जैसा कि आप देख सकते हैं, द्विघात समीकरणों को हल करने का तरीका जानने के बाद, आप द्विघात समीकरणों का सामना कर सकते हैं।

यदि आपके पास अभी भी प्रश्न हैं, तो मेरे पाठों के लिए साइन अप करें। ट्यूटर वेलेंटीना गैलिनेव्स्काया।

साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।