Lai noskaidrotu atvasinājuma ģeometrisko vērtību, aplūkosim funkcijas y = f(x) grafiku. Paņemiet patvaļīgu punktu M ar koordinātām (x, y) un punktu N tuvu tam (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Nozīmēsim ordinātas $\overline(M_(1) M)$ un $\overline(N_(1) N)$ un no punkta M novelkam taisni paralēli OX asij.

Attiecība $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ ir tangenss leņķim $\alpha $1, ko veido sekants MN ar OX ass pozitīvo virzienu. Tā kā $\Delta $x tiecas uz nulli, punkts N tuvosies M, un līknes pieskare MT punktā M kļūs par sekanta MN ierobežojošo pozīciju. Tādējādi atvasinājums f`(x) ir vienāds ar tangensu. no leņķa $\alpha $, ko veido pieskares līkne punktā M (x, y) ar pozitīvu virzienu uz OX asi - pieskares slīpums (1. att.).

1. attēls. Funkcijas grafiks

Aprēķinot vērtības, izmantojot formulas (1), ir svarīgi nekļūdīties zīmēs, jo pieaugums var būt negatīvs.

Punkts N, kas atrodas uz līknes, var tuvoties M no jebkuras puses. Tātad, ja 1. attēlā pieskarei dots pretējs virziens, leņķis $\alpha $ mainīsies par $\pi $, kas būtiski ietekmēs leņķa pieskari un attiecīgi arī slīpumu.

Secinājums

No tā izriet, ka atvasinājuma esamība ir saistīta ar pieskares esamību līknei y = f(x), un slīpums -- tg $\alpha $ = f`(x) ir galīgs. Tāpēc pieskare nedrīkst būt paralēla OY asij, pretējā gadījumā $\alpha $ = $\pi $/2, un leņķa tangensa būs bezgalīga.

Dažos punktos nepārtrauktai līknei var nebūt pieskares vai tangenses ir paralēlas OY asij (2. att.). Tad funkcijai nevar būt atvasinājums šajās vērtībās. Funkcijas līknē var būt jebkurš šādu punktu skaits.

2. attēls. Līknes izņēmuma punkti

Apsveriet 2. attēlu. Ļaujiet $\Delta $x sasniegt nulli no negatīvām vai pozitīvām vērtībām:

\[\Delta x\to -0\begin(masīvs)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(masīvs)\]

Ja šajā gadījumā attiecībām (1) ir ierobežota eja, to apzīmē šādi:

Pirmajā gadījumā atvasinājums pa kreisi, otrajā atvasinājums labajā pusē.

Ierobežojuma esamība runā par kreisā un labā atvasinājuma līdzvērtību un vienlīdzību:

Ja kreisais un labais atvasinājumi nav vienādi, tad šajā punktā ir pieskares, kas nav paralēlas OY (punkts M1, 2. att.). Punktos M2, M3 attiecības (1) tiecas uz bezgalību.

N punktiem pa kreisi no M2 $\Delta $x $

Pa labi no $M_2$, $\Delta $x $>$ 0, bet izteiksme ir arī f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Punktam $M_3$ kreisajā pusē $\Delta $x $$ 0 un f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, t.i. izteiksmes (1) ir pozitīvas gan kreisajā, gan labajā pusē, un tām ir tendence uz +$\infty $ gan tad, kad $\Delta $x tuvojas -0 un +0.

Atvasinājuma neesamības gadījums konkrētos taisnes punktos (x = c) parādīts 3. attēlā.

3. attēls. Atvasinājumu trūkums

1. piemērs

4. attēlā parādīts funkcijas grafiks un diagrammas pieskare punktā ar abscisu $x_0$. Atrodiet funkcijas atvasinājuma vērtību abscisā.

Lēmums. Atvasinājums punktā ir vienāds ar funkcijas pieauguma attiecību pret argumenta pieaugumu. Izvēlēsimies divus punktus ar veselu skaitļu koordinātām uz pieskares. Piemēram, pieņemsim, ka tie ir punkti F (-3,2) un C (-2,4).

Pirms pašreizējās lapas informācijas lasīšanas iesakām noskatīties video par atvasinājumu un tā ģeometrisko nozīmi

Skatiet arī piemēru atvasinājuma aprēķināšanai punktā

Taisnes l pieskare punktā M0 ir taisne M0T - sekanta M0M ierobežojošais stāvoklis, kad punkts M pa šo taisni tiecas uz M0 (t.i., leņķim ir tendence uz nulli) patvaļīgā veidā.

Funkcijas y \u003d f (x) atvasinājums punktā x0 saucašīs funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robeža, ja pēdējam ir tendence uz nulli. Funkcijas y \u003d f (x) atvasinājums punktā x0 un mācību grāmatās tiek apzīmēts ar simbolu f "(x0). Tāpēc pēc definīcijas

Termins "atvasinājums"(un arī "otrais atvasinājums") iepazīstināja J. Lagranžs(1797), turklāt viņš piešķīra apzīmējumus y’, f’(x), f”(x) (1770,1779). Apzīmējums dy/dx pirmo reizi atrodams Leibnicā (1675).

Funkcijas y \u003d f (x) atvasinājums pie x \u003d xo ir vienāds ar šīs funkcijas grafika pieskares slīpumu punktā Mo (ho, f (xo)), t.i.

kur - pieskares leņķis uz taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmas x asi.

Pieskares vienādojums līnijai y = f(x) punktā Mo(xo, yo) iegūst formu

Līknes normāls kādā punktā ir perpendikulārs pieskarei tajā pašā punktā. Ja f(x0) nav vienāds ar 0, tad līnijas normālais vienādojums y \u003d f (x) punktā Mo (xo, yo) tiks rakstīts šādi:

Atvasinājuma fiziskā nozīme

Ja x = f(t) ir punkta taisnvirziena kustības likums, tad x’ = f’(t) ir šīs kustības ātrums laikā t. Plūsmas ātrums fizikāli, ķīmiski un citi procesi tiek izteikti, izmantojot atvasinājumu.

Ja attiecībai dy/dx pie x-> x0 ir robeža labajā (vai kreisajā pusē), tad to sauc par atvasinājumu labajā pusē (attiecīgi par atvasinājumu kreisajā pusē). Šādas robežas sauc par vienpusējiem atvasinājumiem..

Acīmredzot funkcijai f(x), kas definēta kādā punkta x0 apkārtnē, ir atvasinājums f'(x) tad un tikai tad, ja vienpusējie atvasinājumi eksistē un ir vienādi viens ar otru.

Atvasinājuma ģeometriskā interpretācija jo uz šo gadījumu attiecas arī grafa pieskares slīpums: pieskare šajā gadījumā ir paralēla Oy asij.

Funkciju, kurai noteiktā punktā ir atvasinājums, šajā punktā sauc par diferencējamu. Funkciju, kurai ir atvasinājums katrā noteiktā intervāla punktā, šajā intervālā sauc par diferencējamu. Ja intervāls ir slēgts, tad tā galos ir vienpusēji atvasinājumi.

Atvasinājuma atrašanas operāciju sauc.

Nodarbības mērķi:

Studentiem jāzina:

• ko sauc par taisnas līnijas slīpumu;
• leņķis starp līniju un x asi;
• kāda ir atvasinājuma ģeometriskā nozīme;
• funkcijas grafika pieskares vienādojums;
• paņēmiens parabolas pieskares konstruēšanai;
• prast pielietot teorētiskās zināšanas praksē.

Nodarbības mērķi:

Izglītojoši: radīt apstākļus, lai studenti apgūtu zināšanu, prasmju un iemaņu sistēmu ar atvasinājuma mehāniskās un ģeometriskās nozīmes jēdzieniem.

Izglītojoši: veidot skolēnos zinātnisku pasaules uzskatu.

Attīstīt: attīstīt skolēnu izziņas interesi, radošumu, gribu, atmiņu, runu, uzmanību, iztēli, uztveri.

Izglītības un izziņas pasākumu organizēšanas metodes:

• vizuāls;
• praktiski;
• par garīgo darbību: induktīvs;
• pēc materiāla asimilācijas: daļēji pētniecisks, reproduktīvs;
• pēc neatkarības pakāpes: laboratorijas darbi;
• stimulējošs: iedrošinājums;
• kontrole: mutiska frontālā aptauja.

Nodarbības plāns

1. Mutes vingrinājumi (atrodiet atvasinājumu)
2. Studenta referāts par tēmu “Matemātiskās analīzes parādīšanās iemesli”.
3. Jauna materiāla apgūšana
4. Fizik. Minūte.
5. Problēmu risināšana.
6. Laboratorijas darbi.
7. Apkopojot stundu.
8. Mājasdarbu komentēšana.

Aprīkojums: multimediju projektors (prezentācija), kartes (laboratorijas darbs).

Nodarbību laikā

"Cilvēks kaut ko sasniedz tikai tur, kur viņš tic sev"

L.Fērbahs

I. Organizatoriskais moments.

Nodarbības organizācija visas stundas garumā, skolēnu gatavība stundai, kārtība un disciplīna.

Mācību mērķu noteikšana skolēniem gan visai stundai, gan atsevišķiem tās posmiem.

Nosakiet apgūstamā materiāla nozīmi gan šajā tēmā, gan visā kursā.

Verbālā skaitīšana

1. Atrodiet atvasinājumus:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Loģikas pārbaude.

a) Ievietojiet trūkstošo izteiksmi.

5x3 -6x	15x2 -6	30x
2sinx	2cosx…
cos2x	… …

II. Studenta referāts par tēmu “Matemātiskās analīzes parādīšanās iemesli”.

Zinātnes attīstības vispārējo virzienu galu galā nosaka cilvēka darbības prakses prasības. Seno valstu pastāvēšana ar sarežģītu hierarhisku pārvaldes sistēmu nebūtu bijusi iespējama bez pietiekamas aritmētikas un algebras attīstības, jo bija nepieciešama nodokļu iekasēšana, armijas apgādes organizēšana, piļu un piramīdu celtniecība, apūdeņošanas sistēmu izveide. sarežģīti aprēķini. Renesanses laikā paplašinājās saites starp dažādām viduslaiku pasaules daļām, attīstījās tirdzniecība un amatniecība. Sākas straujš ražošanas tehniskā līmeņa kāpums, rūpnieciski tiek izmantoti jauni enerģijas avoti, kas nav saistīti ar cilvēku vai dzīvnieku muskuļu piepūli. XI-XII gadsimtā parādījās fullers un stelles, bet XV vidū - tipogrāfija. Saistībā ar nepieciešamību pēc straujas sociālās ražošanas attīstības šajā periodā mainās dabaszinātņu būtība, kas ir aprakstoša kopš senatnes. Dabaszinātņu mērķis kļūst par dabas procesu, nevis objektu padziļinātu izpēti. Senatnes aprakstošā dabaszinātne atbilda matemātikai, kas darbojās ar nemainīgām vērtībām. Bija nepieciešams izveidot matemātisko aparātu, kas aprakstītu nevis procesa rezultātu, bet gan tā plūsmas raksturu un tam raksturīgos modeļus. Rezultātā līdz 12. gadsimta beigām Ņūtons Anglijā un Leibnica Vācijā pabeidza pirmo matemātiskās analīzes izveides posmu. Kas ir "matemātiskā analīze"? Kā var raksturot un paredzēt jebkura procesa iezīmes? Vai izmantot šīs funkcijas? Iedziļināties tās vai citas parādības būtībā?

III. Jauna materiāla apgūšana.

Ejam pa Ņūtona un Leibnica ceļu un redzēsim, kā mēs varam analizēt procesu, uzskatot to par laika funkciju.

Ieviesīsim dažus jēdzienus, kas mums palīdzēs tālāk.

Lineārās funkcijas y=kx+ b grafiks ir taisne, tiek izsaukts skaitlis k taisnes slīpums. k=tg, kur ir taisnes leņķis, tas ir, leņķis starp šo taisni un Ox ass pozitīvo virzienu.

1. attēls

Apsveriet funkcijas y \u003d f (x) grafiku. Caur jebkuriem diviem punktiem novelciet sekantu, piemēram, nogriezni AM. (2. att.)

Sekanta slīpums k=tg. Taisnstūra trīsstūrī AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

2. attēls

3. attēls

Pats termins “ātrums” raksturo viena daudzuma izmaiņu atkarību no izmaiņām citā, un pēdējai nav jābūt laikam.

Tātad, sekanta slīpuma tangensa tg = .

Mūs interesē vērtību izmaiņu atkarība īsākā laika periodā. Salīdzināsim argumenta pieaugumu līdz nullei. Tad formulas labā puse ir funkcijas atvasinājums punktā A (paskaidrojiet, kāpēc). Ja x -> 0, tad punkts M pārvietojas pa grafiku uz punktu A, kas nozīmē, ka taisne AM tuvojas kādai līnijai AB, kas ir pieskares funkcijas y \u003d f (x) grafikam punktā A. (3. att.)

Sekanta slīpuma leņķim ir tendence uz pieskares slīpuma leņķi.

Atvasinājuma ģeometriskā nozīme ir tāda, ka atvasinājuma vērtība punktā ir vienāda ar funkcijas grafika pieskares slīpumu punktā.

Atvasinājuma mehāniskā nozīme.

Pieskares slīpuma tangenss ir vērtība, kas parāda funkcijas momentāno izmaiņu ātrumu noteiktā punktā, tas ir, jaunu pētāmā procesa raksturlielumu. Leibnics sauca šo daudzumu atvasinājums, un Ņūtons teica, ka momentānais ātrumu.

IV. Fizkultminutka.

V. Problēmu risināšana.

Nr.91(1) 91.lpp. parādīt uz tāfeles.

Līknes pieskares slīpums f (x) \u003d x 3 punktā x 0 - 1 ir šīs funkcijas atvasinājuma vērtība x \u003d 1. f '(1) \u003d 3x 2; f'(1) = 3.

Nr.91 (3.5) - saskaņā ar diktātu.

Nr.92 (1) - uz tāfeles pēc vēlēšanās.

Nr.92 (3) - patstāvīgi ar mutisku pārbaudi.

Nr.92 (5) - pie valdes.

Atbildes: 45 0, 135 0, 1,5 e 2.

VI. Laboratorijas darbi.

Mērķis: jēdziena “atvasinājuma mehāniskā nozīme” izstrāde.

Atvasinājuma pielietojumi mehānikā.

Ir dots punkta taisnvirziena kustības likums x = x(t), t.

1. Vidējais kustības ātrums norādītajā laika periodā;
2. Ātrums un paātrinājums laikā t 04
3. pieturas punkti; vai punkts pēc apstāšanās brīža turpina kustēties tajā pašā virzienā vai sāk kustēties pretējā virzienā;
4. Lielākais kustības ātrums noteiktā laika periodā.

Darbs tiek veikts pēc 12 variantiem, uzdevumi tiek diferencēti pēc sarežģītības pakāpes (pirmais variants ir zemākā sarežģītības pakāpe).

Pirms darba uzsākšanas saruna par šādiem jautājumiem:

1. Kāda ir pārvietošanas atvasinājuma fiziskā nozīme? (Ātrums).
2. Vai varat atrast ātruma atvasinājumu? Vai šis daudzums tiek izmantots fizikā? Kā to sauc? (Paātrinājums).
3. Momentānais ātrums ir nulle. Ko var teikt par ķermeņa kustību šajā brīdī? (Tas ir pieturas punkts).
4. Kāda ir šādu apgalvojumu fiziskā nozīme: kustības atvasinājums ir vienāds ar nulli punktā t 0; vai atvasinājums maina zīmi, ejot caur punktu t 0? (Ķermenis apstājas; kustības virziens mainās uz pretējo).

Darba paraugs studentiem.

x (t) \u003d t 3 -2 t 2 +1, t 0 \u003d 2.

4. attēls

Pretējā virzienā.

Uzzīmēsim shematisku ātruma grafiku. Punktā tiek sasniegts lielākais ātrums

t = 10, v (10) = 3 10 2 -4 10 = 300-40 = 260

5. attēls

VII. Apkopojot stundu

1) Kāda ir atvasinājuma ģeometriskā nozīme?
2) Kāda ir atvasinājuma mehāniskā nozīme?
3) Izdariet secinājumus par savu darbu.

VIII. Mājasdarbu komentēšana.

90. lpp. Nr.91 (2,4,6), Nr.92 (2,4,6,), 92.lpp Nr.112.

Lietotas Grāmatas

• Mācību grāmata Algebra un analīzes sākums.
  Autors: Yu.M. Koļagins, M.V. Tkačeva, N.E. Fjodorova, M.I. Šabuņins.
  Rediģēja A. B. Žižčenko.
• Algebra 11. klase. Nodarbību plāni saskaņā ar Š. A. Alimova, Ju. M. Koļagina, Ju. V. Sidorova mācību grāmatu. 1. daļa.
• Interneta resursi: http://orags.narod.ru/manuals/html/gre/12.jpg

Lekcija: Funkcijas atvasinājuma jēdziens, atvasinājuma ģeometriskā nozīme

Funkcijas atvasinājuma jēdziens

Apsveriet kādu funkciju f(x), kas būs nepārtraukta visā apskates intervālā. Apskatāmajā intervālā mēs izvēlamies punktu x 0, kā arī funkcijas vērtību šajā punktā.

Tātad, apskatīsim grafiku, kurā atzīmējam savu punktu x 0, kā arī punktu (x 0 + ∆x). Atcerieties, ka ∆x ir attālums (starpība) starp diviem atlasītajiem punktiem.

Ir arī vērts saprast, ka katrs x atbilst savai funkcijas y vērtībai.

Atšķirību starp funkcijas vērtībām punktā x 0 un (x 0 + ∆x) sauc par šīs funkcijas pieaugumu: ∆y \u003d f (x 0 + ∆x) - f (x 0).

Pievērsīsim uzmanību papildu informācijai, kas ir pieejama diagrammā - tas ir sekants, ko sauc par KL, kā arī trīsstūris, ko tas veido ar intervāliem KN un LN.

Leņķi, pie kura atrodas sekants, sauc par tā slīpuma leņķi un apzīmē ar α. Var viegli noteikt, ka arī leņķa LKN pakāpes mērs ir vienāds ar α.

Un tagad atcerēsimies attiecības taisnleņķa trijstūrī tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.

Tas nozīmē, ka sekanta slīpuma tangenss ir vienāds ar funkcijas pieauguma attiecību pret argumenta pieaugumu.

Vienā reizē atvasinājums ir funkcijas pieauguma attiecības ierobežojums ar argumenta pieaugumu bezgalīgi mazos intervālos.

Atvasinājums nosaka ātrumu, ar kādu funkcija mainās noteiktā apgabalā.

Atvasinājuma ģeometriskā nozīme

Ja kādā brīdī atrodat kādas funkcijas atvasinājumu, tad varat noteikt leņķi, pie kura pieskares grafikam būs dotajā strāvā attiecībā pret OX asi. Pievērsiet uzmanību grafikam - pieskares slīpuma leņķi apzīmē ar burtu φ un nosaka ar koeficientu k taisnās līnijas vienādojumā: y \u003d kx + b.

Tas ir, mēs varam secināt, ka atvasinājuma ģeometriskā nozīme ir pieskares slīpuma tangenss kādā funkcijas punktā.

Darba veids: 7

Stāvoklis

Taisne y=3x+2 ir pieskares funkcijas y=-12x^2+bx-10 grafikam. Atrodiet b , ņemot vērā, ka pieskāriena punkta abscisa ir mazāka par nulli.

Rādīt risinājumu

Lēmums

Lai x_0 ir funkcijas y=-12x^2+bx-10 grafika punkta abscisa, caur kuru iet šī grafika pieskare.

Atvasinājuma vērtība punktā x_0 ir vienāda ar pieskares slīpumu, t.i., y"(x_0)=-24x_0+b=3. No otras puses, pieskares punkts pieder gan funkcijas grafikam, gan tangenss, t.i. -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Iegūstam vienādojumu sistēmu \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(gadījumi)

Atrisinot šo sistēmu, mēs iegūstam x_0^2=1, kas nozīmē vai nu x_0=-1, vai x_0=1. Atbilstoši abscisu stāvoklim pieskāriena punkti ir mazāki par nulli, tāpēc x_0=-1, tad b=3+24x_0=-21.

Atbilde

Darba veids: 7
Tēma: Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Funkcijas grafika pieskares

Stāvoklis

Taisne y=-3x+4 ir paralēla funkcijas y=-x^2+5x-7 grafika pieskarei. Atrodiet saskares punkta abscisu.

Rādīt risinājumu

Lēmums

Taisnes slīpums līdz funkcijas y=-x^2+5x-7 grafikam patvaļīgā punktā x_0 ir y"(x_0). Bet y"=-2x+5, tātad y"(x_0)=- 2x_0+5. Leņķiskais nosacījumā norādītais taisnes y=-3x+4 koeficients ir -3.Paralēlām līnijām ir vienādi slīpuma koeficienti.Tāpēc atrodam tādu vērtību x_0, ka =-2x_0 +5=-3.

Mēs iegūstam: x_0 = 4.

Atbilde

Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. profila līmenis. Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.

Darba veids: 7
Tēma: Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Funkcijas grafika pieskares

Stāvoklis

Rādīt risinājumu

Lēmums

No attēla mēs nosakām, ka pieskare iet caur punktiem A(-6; 2) un B(-1; 1). Ar C(-6; 1) apzīmē taisnes x=-6 un y=1 krustošanās punktu, bet ar \alpha leņķi ABC (attēlā redzams, ka tas ir ass). Tad taisne AB veido neasu leņķi \pi -\alpha ar Ox ass pozitīvo virzienu.

Kā zināms, tg(\pi -\alpha) būs funkcijas f(x) atvasinājuma vērtība punktā x_0. ievērojiet, tas tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. No šejienes, izmantojot samazināšanas formulas, mēs iegūstam: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Atbilde

Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. profila līmenis. Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.

Darba veids: 7
Tēma: Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Funkcijas grafika pieskares

Stāvoklis

Taisne y=-2x-4 ir pieskares funkcijas y=16x^2+bx+12 grafikam. Atrodiet b , ņemot vērā, ka pieskāriena punkta abscisa ir lielāka par nulli.

Rādīt risinājumu

Lēmums

Lai x_0 ir funkcijas y=16x^2+bx+12 diagrammas punkta abscisa, caur kuru

ir pieskares šim grafikam.

Atvasinājuma vērtība punktā x_0 ir vienāda ar pieskares slīpumu, t.i., y "(x_0)=32x_0+b=-2. No otras puses, pieskares punkts pieder gan funkcijas grafikam, gan pieskares, t.i., 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Iegūstam vienādojumu sistēmu \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(gadījumi)

Atrisinot sistēmu, iegūstam x_0^2=1, kas nozīmē vai nu x_0=-1 vai x_0=1. Atbilstoši abscisu stāvoklim pieskāriena punkti ir lielāki par nulli, tāpēc x_0=1, tad b=-2-32x_0=-34.

Atbilde

Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. profila līmenis. Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.

Darba veids: 7
Tēma: Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Funkcijas grafika pieskares

Stāvoklis

Attēlā parādīts intervālā (-2; 8) definētas funkcijas y=f(x) grafiks. Nosakiet punktu skaitu, kur funkcijas grafika pieskare ir paralēla taisnei y=6.

Rādīt risinājumu

Lēmums

Līnija y=6 ir paralēla Ox asij. Tāpēc mēs atrodam tādus punktus, kuros funkcijas grafika pieskare ir paralēla Ox asij. Šajā diagrammā šādi punkti ir ekstremālie punkti (maksimālie vai minimālie punkti). Kā redzat, ir 4 galējie punkti.

Atbilde

Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. profila līmenis. Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.

Darba veids: 7
Tēma: Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Funkcijas grafika pieskares

Stāvoklis

Taisne y=4x-6 ir paralēla funkcijas y=x^2-4x+9 grafika pieskarei. Atrodiet saskares punkta abscisu.

Rādīt risinājumu

Lēmums

Funkcijas y \u003d x ^ 2-4x + 9 grafika pieskares slīpums patvaļīgā punktā x_0 ir y "(x_0). Bet y" \u003d 2x-4, kas nozīmē y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Nosacījumā norādītās pieskares y \u003d 4x-7 slīpums ir vienāds ar 4. Paralēlajām līnijām ir vienādi slīpumi. Tāpēc atrodam tādu vērtību x_0, ka 2x_0-4 \u003d 4. Iegūstam : x_0 \u003d 4.

Atbilde

Avots: "Matemātika. Gatavošanās eksāmenam-2017. profila līmenis. Ed. F. F. Lisenko, S. Ju. Kulabuhova.

Darba veids: 7
Tēma: Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Funkcijas grafika pieskares

Stāvoklis

Attēlā parādīts funkcijas y=f(x) grafiks un tās pieskares punktā ar abscisu x_0. Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x_0.

Rādīt risinājumu

Lēmums

No attēla nosakām, ka pieskare iet caur punktiem A(1; 1) un B(5; 4). Ar C(5; 1) apzīmē taisnes x=5 un y=1 krustpunktu, bet ar \alpha – leņķi BAC (attēlā redzams, ka tas ir ass). Tad līnija AB veido leņķi \alpha ar Ox ass pozitīvo virzienu.