Stratēģiskajā plānošanā un mārketingā tiek izmantotas daudzas viena vai otra virziena matricas. Ir nepieciešams sistematizēt šīs matricas, kā arī pakāpeniski ieviest matricas pieeju visos stratēģiskās analīzes un plānošanas posmos.
Stratēģiskās plānošanas līmeņi matricas dimensijā. Stratēģiskajā plānošanā var atšķirt korporācijas līmeni, biznesa līmeni un funkcionālo līmeni.
Stratēģiskās plānošanas matricas korporatīvajā līmenī analizē korporācijā iekļautos uzņēmumus, t.i. palīdzēt veikt portfeļa analīzi, kā arī situācijas analīzi visā korporācijā.
Biznesa slānī ir matricas, kas attiecas uz konkrētu uzņēmējdarbības vienību. Matricas un visbiežāk attiecas uz vienu produktu, analizē šī produkta īpašības, tirgus situāciju šim produktam utt.
Funkcionālā līmeņa matricās tiek pētīti faktori, kas ietekmē uzņēmuma funkcionālās zonas, no kurām svarīgākās ir mārketings, personāls.
Stratēģiskās analīzes un plānošanas matricu klasifikācija.
Esošās stratēģiskās analīzes un plānošanas matricas pēta dažādus šī procesa aspektus. Matricu klasifikācija ir nepieciešama, lai identificētu matricas metodes pielietošanas modeļus un iezīmes stratēģiskajā analīzē un plānošanā.
Matricas var klasificēt pēc esošajām īpašībām šādi:
- Klasifikācija pēc pētīto šūnu skaita.
- Klasifikācija pēc pētījuma objekta.
- Klasifikācija pēc saņemtās informācijas.
Jo vairāk šūnu satur matrica, jo tā ir sarežģītāka un informatīvāka. Šajā gadījumā ir iespējams sadalīt matricas četrās grupās. Pirmajā grupā ietilpst matricas, kas sastāv no četrām šūnām. Otrajā grupā ir matricas, kas sastāv no deviņām šūnām, trešā - no sešpadsmit šūnām, bet ceturtā - vairāk nekā sešpadsmit šūnas.
Klasifikācija pēc pētījuma objekta sadala matricas grupās atkarībā no pētījuma objekta. Apzināšanās - attieksmes matricā pētījuma objekts ir personāls, tāpat kā atalgojuma ietekme uz grupas attiecībām. Vēl viens izpētes objekts ir uzņēmuma portfelis. Šajā grupā piemēri ir Shell / DPM, BCG matricas.
Šī klasifikācija sadala matricas divās grupās pēc saņemtās informācijas: vai nu kvantitatīvā, vai semantiskā. Šajā grupā matricas piemērs, kas veidojas informācijas dēļ skaitļa formā, ir organizācijas ekonomiskā stāvokļa vektora matrica, un veidojas loģiskas informācijas dēļ - asociāciju galveno formu matrica.
Matricas rīku ieviešana uzņēmuma darbības analīzē un plānošanā.
Pirmajā posmā tiek ierosināts veikt uzņēmuma primāro analīzi. Šim nolūkam tiek atlasītas trīs matricas. SWOT matrica ir plaši aprakstīta literatūrā. KC matricā tiek analizēta atbilstība uzņēmuma misijai un tā galvenajām iespējām. Vektoru matrica ekonomiskā attīstība uzņēmums ir tabula, kurā sniegti uzņēmuma galveno rādītāju skaitliskie dati. No šīs matricas jūs varat iegūt informāciju par citām matricām, kā arī izdarīt dažādus secinājumus, pamatojoties uz šiem datiem jau šajā posmā.
Otrais solis matricas metožu pielietošanā ir tirgus un nozares analīze. Tajā analizēti tirgi, kuros darbojas uzņēmums, kā arī nozare kopumā. Galvenā apakšgrupa "Tirgus" ir BCG matrica, kas pārbauda saistību starp izaugsmes tempiem un tirgus daļu, un GE matrica, kurā analizēta salīdzinošā tirgus pievilcība un konkurētspēja nozarē, un tai ir divas šķirnes: dienas variants un Moniensona variants. . Apakšgrupā “Rūpniecība” ir matricas, kas pēta nozares vidi un nozares attīstības modeļus. Galvenais šajā apakšgrupā ir Shell / DPM matrica, kas pārbauda nozares pievilcības un konkurētspējas atkarību.
Nākamie stratēģiskās plānošanas posmi ir diferenciācijas analīze un kvalitātes analīze. Diferencēšana un kvalitāte šajā gadījumā darbojas kā komponenti, ar kuru palīdzību ir iespējams iegūt nepieciešamo rezultātu. Grupā "Diferencēšana" ir trīs matricas. Matrica “Konkurētspējas uzlabošana” ļauj vizuāli identificēt diferenciācijas modeļus un atkarību no tirgus pārklājuma. Diferencēšana - relatīvās izmaksu efektivitātes matrica atklāj saistību starp attiecīgā tirgus relatīvo izmaksu efektivitāti un diferenciāciju. Produktivitātes - inovācijas / diferenciācijas matrica parāda saistību starp konkrētas uzņēmējdarbības vienības sniegumu un inovācijas ieviešanu.
Grupas "Kvalitātes analīze" izpētes objekts ir tādu faktoru un modeļu noteikšana, kas ietekmē tādu aspektu kā produktu kvalitāte. Grupā var būt divas matricas. Cenu noteikšanas stratēģijas matrica pozicionē produktus, pamatojoties uz kvalitāti un cenu. Matrica "Kvalitāte - resursu intensitāte" nosaka saražotā produkta kvalitātes un tam iztērēto resursu attiecību.
Vadības analīzes un mārketinga stratēģijas analīzes grupas nav daļa no procesa, kurā matricas metode tiek pakāpeniski ieviesta stratēģiskajā plānošanā. Šīs grupas ir atšķirīgas. Matricas, kas veido šīs grupas, var izmantot visos stratēģiskās plānošanas posmos un risināt funkcionālās plānošanas jautājumus. Vadības analīzes grupa sastāv no divām apakšgrupām. Pirmajā apakšgrupā - "Vadība" - tiek apskatīta uzņēmuma vadība kopumā, procesi, kas ietekmē uzņēmuma vadību, vadību. Apakšgrupā "Personāls" tiek apskatīti starp kolēģiem notiekošie procesi, dažādu faktoru ietekme uz personāla sniegumu.
Piedāvātajā stratēģiskās analīzes un plānošanas shēmā katras grupas matricas mijiedarbojas savā starpā, taču nevar paļauties tikai uz vienas matricas rezultātu vai secinājumu - jāņem vērā secinājumi, kas iegūti no katras grupas matricas. Pēc analīzes pirmajā grupā analīze tiek veikta nākamajā. Analīze grupās "Vadība" un "Mārketinga stratēģija" tiek veikta visos stratēģiskās plānošanas analīzes posmos.
Atsevišķu matricu raksturojums
SVID analīze mūsdienās ir viens no izplatītākajiem analīzes veidiem stratēģiskajā pārvaldībā. SVID: Stiprās puses; Vājās vietas; Iespējas; Draudi. SWOT analīze ļauj identificēt, strukturēt uzņēmuma stiprās un vājās puses, kā arī potenciālās iespējas un draudus. Tas tiek panākts, salīdzinot sava uzņēmuma iekšējās stiprās un vājās puses ar iespējām, kuras viņiem dod tirgus. Pamatojoties uz atbilstības kvalitāti, tiek secināts, kurā virzienā biznesam būtu jāattīstās, un galu galā tiek noteikts resursu sadalījums pa segmentiem.
SWOT analīzes mērķis ir formulēt galvenos uzņēmuma attīstības virzienus, sistematizējot pieejamo informāciju par uzņēmuma stiprajām un vājajām pusēm, kā arī par potenciālajām iespējām un draudiem.
Šajā metodē vispievilcīgākais ir tas, ka informācijas lauku tieši veido paši vadītāji, kā arī kompetentākie uzņēmuma darbinieki, pamatojoties uz savas pieredzes un situācijas redzējuma vispārināšanu un saskaņošanu. Primārā SWOT analīzes matricas vispārējais skats ir parādīts 1. attēlā.
1. attēls. Primārā stratēģiskā SVID analīzes matrica.
Pamatojoties uz secīgu faktoru apsvēršanu, tiek pieņemti lēmumi par uzņēmuma mērķu un stratēģiju (korporatīvā, produkta, resursu, funkcionālā, vadības) pielāgošanu, kas savukārt nosaka darbības organizācijas galvenos punktus.
Uzņēmuma biznesa portfeļa analīzei vajadzētu palīdzēt vadītājiem novērtēt uzņēmuma darbības jomu. Uzņēmumam jācenšas ieguldīt ienesīgākās darbības jomās un samazināt nerentablās. Vadības komandas pirmais solis, analizējot biznesa portfeli, ir noteikt galvenās darbības jomas, kas nosaka uzņēmuma misiju. Tos var saukt par stratēģiskiem biznesa elementiem - SEB.
Nākamajā biznesa portfeļa analīzes posmā vadībai ir jānovērtē dažādu EBS pievilcība un jāizlemj, kāds atbalsts ir pelnījis. Dažos uzņēmumos tas notiek neoficiāli darba gaitā. Vadība pārbauda uzņēmuma darbību un produktu kopumu un, veselā saprāta vadīta, izlemj, cik katram SEB vajadzētu atnest un saņemt. Citi uzņēmumi izmanto formālas metodes portfeļa plānošanai.
Var teikt, ka formālās metodes ir precīzākas un rūpīgākas. Starp slavenākajām un veiksmīgākajām uzņēmējdarbības portfeļa analīzes metodēm, izmantojot formālas metodes, ir šādas:
- Bostonas konsultāciju grupas (BCG) metode;
- General Electric (GE) metode.
BCG metode ir balstīta uz izaugsmes / tirgus daļas matricas analīzes principu. Šī ir portfeļa plānošanas metode, kurā uzņēmuma SEB tiek vērtēts pēc to tirgus pieauguma tempa un šo priekšmetu relatīvās daļas tirgū. SEB ir sadalīti "zvaigznēs", "skaidras govis", "tumšie zirgi" un "suņi" (skat. 2. attēlu).
| T e m P r r |
iekšā s ar par uz un th |
"Zvaigzne" | "Naudas govis" |
| n un s uz un th |
"Piena govs" | "Suns" | |
| augsts | zems | ||
| Relatīvā tirgus daļa | |||
2. attēls. BCG matrica.
2. attēlā redzamā vertikālā ass, tirgus pieauguma temps, nosaka tirgus pievilcības rādītāju. Horizontālā ass, relatīvā tirgus daļa, nosaka uzņēmuma pozīcijas stiprumu tirgū. Sadalot izaugsmes / tirgus daļas matricu sektoros, var izšķirt četrus SEB veidus.
"Zvaigznes". Strauji attīstās darbības jomas, produkti ar lielu tirgus daļu. Viņu izaugsmes uzturēšanai parasti nepieciešami lieli ieguldījumi. Laika gaitā viņu izaugsme palēninās, un viņi pārvēršas par "naudas govīm".
"Naudas govis". Darbības jomas vai produkti ar zemu izaugsmes līmeni un lielu tirgus daļu. Šīm ilgtspējīgajām, veiksmīgajām EBS ir nepieciešami mazāk ieguldījumu, lai saglabātu savu tirgus daļu. Tajā pašā laikā tie rada lielus ienākumus, kurus uzņēmums izmanto rēķinu apmaksai un citu EBS atbalstam, kuriem nepieciešami ieguldījumi.
"Tumšie zirgi". Biznesa elementi ar nelielu strauji augošu tirgu daļu. Viņiem ir vajadzīgi daudz līdzekļu, pat lai saglabātu savu tirgus daļu, nemaz nerunājot par tās palielināšanu. Vadībai rūpīgi jāizvērtē, kuri tumšie zirgi jāpārvērš zvaigznēs un kuri jāpārtrauc.
"Suņi". Darbības līnijas un produkti ar zemu izaugsmes ātrumu un nelielu tirgus daļu. Viņi var radīt pietiekami daudz ienākumu, lai uzturētu sevi, taču viņi nesola kļūt par nopietnākiem ienākumu avotiem.
Katrs SEB tiek ievietots šajā matricā proporcionāli tā daļai uzņēmuma bruto ienākumos. Pēc ETS klasifikācijas uzņēmumam nākotnē jānosaka katra elementa loma. Katrai ESS var piemērot vienu no četrām stratēģijām. Uzņēmums var ieguldīt vairāk biznesa elementā, lai iegūtu tam tirgus daļu. Vai arī tā var ieguldīt tieši tik daudz, cik nepieciešams, lai saglabātu SEB daļu pašreizējā līmenī. Tas var sifonēt resursus no ESS, atsaucot īstermiņa monetāros resursus noteiktā laika periodā, neatkarīgi no ilgtermiņa sekām. Visbeidzot, tā var atsavināt ETS, pārdodot to vai uzsākot pakāpenisku pārtraukšanu, un izmantot resursus citur.
Laika gaitā SEB maina savu pozīciju izaugsmes / tirgus daļas matricā. Katram SEB ir savs dzīves cikls. Daudzi SEB sāk darboties kā "tumši zirgi" un labvēlīgos apstākļos pāriet uz "zvaigžņu" kategoriju. Vēlāk, palēninoties tirgum, tās kļūst par "skaidras govīm" un, visbeidzot, dzīves cikla beigās tās izzūd vai pārvēršas par "suņiem". Uzņēmumam ir nepārtraukti jāievieš jauni produkti un darbības, lai daži no tiem kļūtu par “zvaigznēm” un pēc tam par “naudas govīm”, kas palīdz finansēt citas EBS.
Matricas metodēm ir ļoti liela nozīme stratēģiskajā analīzē, plānošanā un mārketingā. Matricas metode ir ļoti ērta - tas izskaidro tās izplatību. Tomēr nepietiek tikai ar matricas metožu izmantošanu, jo matricas ļauj jums izpētīt stratēģisko plānošanu un mārketingu no atsevišķām pusēm un neuzrāda pilnu ainu, bet kombinācijā ar citām metodēm matricas pieeja ļauj skaidri redzēt uzņēmumā notiekošo procesu modeļus un izdariet pareizus secinājumus.
1. tabula.Matricas rīki organizācijas analīzē un plānošanā
| № | Problēmu risināšanas līmeņi | Matrica | Galvenās īpašības |
| 1 | Primārā analīze | SVID matrica | Uzņēmuma stiprās un vājās puses, iespēju un draudu analīze |
| 2 | KC matrica | Uzņēmuma misijas un tā galveno iespēju ievērošanas analīze | |
| 3 | Uzņēmuma ekonomiskās attīstības vektora matrica | Statistikas datu analīze | |
| 4 | Tirgus / nozares analīze | BCG matrica | Izaugsmes tempu un tirgus daļas analīze |
| 5 | Matrica GE | Salīdzinošās tirgus pievilcības un konkurētspējas analīze | |
| 6 | ADL matrica | Nozares dzīves cikla analīze un relatīvā tirgus situācija | |
| 7 | Hofera Šendela matrica | Konkurentu stāvokļa analīze nozarē un tirgus attīstības pakāpe | |
| 8 | Ansoff Matrix (“Tirgus produkts”) |
Stratēģijas analīze attiecībā uz tirgiem un produktiem | |
| 9 | Portera matrica (pieci konkurences spēki) |
Biznesa attīstības stratēģisko perspektīvu analīze | |
| 10 | Konkurences tirgus reakcijas elastības matrica | Firmas darbību analīze pēc preču konkurētspējas faktoriem atkarībā no prioritārā konkurenta reakcijas elastības attiecībā uz precēm | |
| 11 | Produktu grupēšanas matrica | Produktu grupēšanas analīze | |
| 12 | Ietekmes nenoteiktības matrica | Ietekmes līmeņa un nenoteiktības pakāpes analīze, ienākot jaunā tirgū | |
| 13 | Rūpniecība | Kūpera matrica | Nozares pievilcības un biznesa spēka analīze |
| 14 | ShellDPM matrica | Resursu ietilpīgas nozares pievilcības analīze atkarībā no tās konkurētspējas | |
| 15 | Biznesa stratēģijas matrica lejupslīdes laikā | Konkurences priekšrocību analīze nozares vidē | |
| 16 | Asociāciju galveno formu matrica | Konsolidācijas analīze nozares vidē | |
| 17 | Diferencēšanas analīze | Konkurences pozīciju uzlabošanas matrica | Diferencēšanas un tirgus pārklājuma analīze |
| 18 | Matrica "Relatīvās izmaksu efektivitātes diferenciācija" | Diferencēšanas un relatīvās izmaksu efektivitātes analīze | |
| 19 | Veiktspēja - inovācijas / diferenciācijas matrica | Inovāciju / diferenciācijas un veiktspējas analīze | |
| 20 | Kvalitātes analīze | Matrica "Cenas kvalitāte" | Produkta pozicionēšana atkarībā no kvalitātes un cenas |
| 21 | Matrica "Kvalitāte ir resursu intensitāte" |
Kvalitātes atkarības no resursu intensitātes analīze | |
| 22 | Mārketinga stratēģijas analīze | Ģimenes paplašināšanas stratēģijas matrica | Atšķirīgo priekšrocību atkarības analīze un mērķa tirgus segmentēšana |
| 23 | Matrica "Apzināšanās - attieksme pret produkta zīmolu" | Attiecības starp bruto peļņu un pārdošanas reakciju analīze | |
| 24 | Mārketinga kanāla matrica | Tirgus attīstības tempa un kanāla pievienotās vērtības attiecības analīze | |
| 25 | Matrica "Kontakts - pakalpojumu pielāgošanās līmenis" | Pakalpojumu pielāgošanās klientu prasībām atkarības no kontakta pakāpes ar klientu analīze | |
| 26 | Matrica "Mārketinga diagnostika" |
Stratēģijas atkarības no stratēģijas īstenošanas analīze | |
| 27 | Kontroles analīze Manuāli |
Stratēģiskās vadības matrica | Stratēģijas un plānošanas ietekmes attiecības analīze |
| 28 | Stratēģiskās vadības modeļa matrica | Vadības modeļa atkarības no izmaiņu veida analīze | |
| 29 | Hersija-Blanšāra matrica | Situācijas vadības modeļa analīze | |
| 30 | Ohaio universitātes līderības stilu dimensiju kombināciju matrica | Vadīšanas stilu dimensiju kombināciju analīze | |
| 31 | Pārvaldības režģa matrica | Vadīšanas veidu analīze | |
| 32 | Personāls | Matrica "Izmaiņas - organizācijā" | Organizācijā notiekošo izmaiņu atkarības un pretestības pret šīm izmaiņām analīze |
| 33 | Maksājuma ietekmes matrica uz attiecībām grupā | Analīze par attiecību atkarību grupā no atalgojuma diferenciācijas | |
| 34 | Personas iekļaušanas grupā matrica | Analīze par attiecībām starp attieksmi pret organizācijas vērtībām un attieksmi pret organizācijas uzvedības normām | |
| 35 | Uzņēmējdarbības pamatmatrica | Tirgus analīze un pamatdarbības iespējas | |
| 36 | Darba svarīguma matrica | Darba izpildes atkarības no svarīguma analīze | |
| 37 | Esošo formālo izpildes kritēriju sistēmu matrica | Esošo formālo izpildes kritēriju sistēmu analīze | |
| 38 | Veiktspējas kritēriju vadības rezultātu matrica | Veiktspējas kritēriju vadības rezultātu analīze | |
| 39 | Bleika-Mūtona matrica | Darba izpildes atkarības no cilvēku skaita un uzdevumu skaita analīze | |
| 40 | Makdonalda matrica | Veiktspējas analīze |
Matricas analīze vai matricas metode tiek plaši izmantota dažādu ekonomisko sistēmu (uzņēmumu, atsevišķu uzņēmumu nodaļu utt.) Salīdzinošajā novērtējumā. Matricas metode ļauj noteikt katra uzņēmuma integrālo novērtējumu vairākiem rādītājiem. Šo vērtējumu sauc par uzņēmuma reitingu. Apsvērsim matricas metodes pielietošanu pakāpeniski, izmantojot konkrētu piemēru.
1. Aprēķināto rādītāju izvēle un sākotnējo datu matricas veidošanās a ij, tas ir, tabulas, kur sistēmu (uzņēmumu) skaits tiek atspoguļots rindās, un rādītāju skaits (i \u003d 1,2… .n) - kolonnās; (j \u003d 1,2… ..n) - rādītāji. Atlasītajiem rādītājiem jābūt vienādiem (jo vairāk, jo labāk).
2. Standartizētu koeficientu matricas sastādīšana. Katra kolonna nosaka maksimālo dalībnieku un pēc tam visus šīs kolonnas dalībniekus dala ar maksimālo dalībnieku. Pamatojoties uz aprēķinu rezultātiem, tiek izveidota standartizētu koeficientu matrica.
Katrā kolonnā atlasiet maksimālo elementu.
Lekciju gaita pa disciplīnām
"Matricas analīze"
2. kursa studentiem
matemātikas fakultātes specialitātes
"Ekonomiskā kibernētika"
(lektore Marija Aleksandrovna Dmitruka)
1. Funkcijas definīcija.
Df. Ļaujiet būt
Ir skalārā argumenta funkcija. Nepieciešams noteikt, ko nozīmē f (A), t.i. jums jāpaplašina funkcija f (x) līdz argumenta matricas vērtībai.Šīs problēmas risinājums ir zināms, ja f (x) ir polinoms:
, pēc tam.F (A) definīcija vispārīgā gadījumā.
Ļaujiet m (x) būt minimālajam polinomam A un tam ir tāda kanoniska sadalīšanās
,, Vai A. īpašvērtības ir vienādas. Ļaujiet polinomiem g (x) un h (x) iegūt vienādas vērtības.Ļaujiet g (A) \u003d h (A) (1), tad polinoms d (x) \u003d g (x) -h (x) ir A iznīcinošs polinoms, jo d (A) \u003d 0, tāpēc d (x ) dalās ar lineāru polinomu, ti d (x) \u003d m (x) * q (x) (2).
, t.i. (3) ,,,.Vienosimies par m skaitļiem šādiem f (x)
tiks saukti par funkcijas f (x) vērtībām matricas A spektrā, un šo vērtību kopa tiks apzīmēta ar.Ja f (x) ir definēta kopa f (Sp A), tad funkcija ir definēta matricas A spektrā.
No (3) izriet, ka polinomiem h (x) un g (x) matricas A spektrā ir vienādas vērtības.
Mūsu pamatojums ir atgriezenisks, t.i. no (3) Þ (3) Þ (1). Tādējādi, ja tiek dota matrica A, tad polinoma f (x) vērtību pilnībā nosaka šī polinoma vērtības matricas A spektrā, t.i. visiem polinomiem g i (x), kas matricas spektrā ņem vienādas vērtības, ir vienādas matricas vērtības g i (A). Mēs pieprasām, lai f (A) vērtības definīcija vispārīgi atbilstu tam pašam principam.
Funkcijas f (x) vērtībām matricas A spektrā pilnībā jānosaka f (A), tas ir, funkcijām, kurām spektrā ir vienādas vērtības, jābūt vienādai matricas vērtībai f (A). Acīmredzot, lai noteiktu f (A) vispārīgā gadījumā, pietiek atrast polinomu g (x), kas spektrā A ņemtu tādas pašas vērtības kā funkcija f (A) \u003d g (A).
Df. Ja f (x) ir noteikts matricas A spektrā, tad f (A) \u003d g (A), kur g (A) ir polinoms, kas spektrā ņem tādas pašas vērtības kā f (A),
Df.Matricas А funkcijas vērtība mēs sauksim šīs matricas polinoma vērtību
.Starp C [x] polinomiem, kas matricas A spektrā ņem tādas pašas vērtības kā f (x), pakāpes, kas nav augstāka par (m-1), ņemot vērā tās pašas vērtības spektrā A, kā f (x) ir jebkura polinoma g (x) dalījuma atlikums, kam matricas A spektrā ir tādas pašas vērtības kā f (x) ar minimālo polinomu m (x) \u003d g (x) \u003d m ( x) * g (x) + r (x) ...
Šo polinomu r (x) matricas A spektrā dēvē par Lagranža-Silvestera interpolācijas polinomu funkcijai f (x).
Komentēt. Ja matricas A minimālajam polinomam m (x) nav vairāku sakņu, t.i.
, tad funkcijas vērtība spektrā.Piemērs:
Atrodiet r (x) patvaļīgam f (x), ja matrica
... Konstruēsim f (H 1). Atrodiet minimālo polinomu H 1 - pēdējo nemainīgo faktoru:
d n-1 \u003d x 2; d n-1 \u003d 1;
m x \u003d f n (x) \u003d d n (x) / d n-1 (x) \u003d x nÞ 0 - n ir daudzkārtīga m (x) sakne, t.i. n-reizes raksturīgas H 1 īpašvērtības.
, r (0) \u003d f (0), r ’(0) \u003d f’ (0), ..., r (n-1) (0) \u003d f (n-1) (0)Þ .
2. Matricu funkciju īpašības.
Īpašuma numurs 1. Ja matrica
ir īpašvērtības (starp tām var būt daudzkārtnes), un tad matricas f (A) īpašvērtības ir polinoma f (x) īpašvērtības:Pierādījumi:
Ļaujiet matricas A raksturīgajam polinomam būt formai:
,,. Skaitīsim. Pārejam no vienlīdzības uz noteicošajiem faktoriem:Veiksim aizstāšanu vienlīdzībā:
(*)Vienādība (*) ir derīga jebkurai kopai f (x), tāpēc polinomu f (x) aizstājam ar
, mēs saņemam:Kreisajā pusē mēs saņēmām matricai f (A) raksturīgo polinomu, kas pa labi sadalīts lineāros faktoros, kas nozīmē, ka
Vai matricas f (A) īpašvērtības.CHTD.
Īpašuma numurs 2. Ļaujiet matricai
un ir matricas A īpašvērtības, f (x) ir patvaļīga funkcija, kas definēta matricas A spektrā, tad matricas f (A) īpašvērtības ir vienādas.Pierādījumi:
Tā kā funkcija f (x) ir definēta matricas A spektrā, tad matricas r (x) interpolācijas polinoms ir tāds, ka
, un tad f (A) \u003d r (A), un matricas r (A) īpašvērtības pēc īpašuma Nr. 1 būs attiecīgi vienādas ar tām.Lekciju gaita pa disciplīnām
"Matricas analīze"
2. kursa studentiem
matemātikas fakultātes specialitātes
"Ekonomiskā kibernētika"
(lektore Marija Aleksandrovna Dmitruka)
3. nodaļa. Funkcijas no matricām.
- Funkcijas definīcija.
Df. Lai funkcija būtu skalārs arguments. Nepieciešams noteikt, ko nozīmē f (A), t.i. jums jāpaplašina funkcija f (x) līdz argumenta matricas vērtībai.
Šīs problēmas risinājums ir zināms, kad f (x) ir polinoms :, tad.
F (A) definīcija vispārīgā gadījumā.
Ļaujiet m (x) būt minimālajam polinomam A un tam ir tāda kanoniska noārdīšanās, A. īpašvērtības. Ļaujiet polinomiem g (x) un h (x) iegūt vienādas vērtības.
Ļaujiet g (A) \u003d h (A) (1), tad polinoms d (x) \u003d g (x) -h (x) ir A iznīcinošs polinoms, jo d (A) \u003d 0, tāpēc d (x ) dalās ar lineāru polinomu, t.i. d (x) \u003d m (x) * q (x) (2).
Tad, t.i. (3) ,.
Piekritīsim izsaukt f (x) m numurus šādām funkcijas f (x) vērtībām matricas A spektrā un apzīmēsim šo vērtību kopu.
Ja f (x) ir definēta kopa f (Sp A), tad funkcija ir definēta matricas A spektrā.
No (3) izriet, ka polinomiem h (x) un g (x) matricas A spektrā ir vienādas vērtības.
Mūsu pamatojums ir atgriezenisks, t.i. no (3) (3) (1). Tādējādi, ja tiek dota matrica A, tad polinoma f (x) vērtību pilnībā nosaka šī polinoma vērtības matricas A spektrā, t.i. visiem polinomiem gi (x), kas matricas spektrā ņem vienādas vērtības, ir vienādas matricas vērtības gi (A). Mēs pieprasām, lai f (A) vērtības definīcija vispārīgi atbilstu tam pašam principam.
Funkcijas f (x) vērtībām matricas A spektrā pilnībā jānosaka f (A), tas ir, funkcijām, kurām spektrā ir vienādas vērtības, jābūt vienādai matricas vērtībai f (A). Acīmredzot, lai noteiktu f (A) vispārīgā gadījumā, pietiek atrast polinomu g (x), kas spektrā A ņemtu tādas pašas vērtības kā funkcija f (A) \u003d g (A).
Df. Ja f (x) ir noteikts matricas A spektrā, tad f (A) \u003d g (A), kur g (A) ir polinoms, kas spektrā ņem tādas pašas vērtības kā f (A),
Df. Matricas А funkcijas vērtība šīs matricas polinoma vērtību mēs sauksim par.
Starp C [x] polinomiem, kas matricas A spektrā ņem tādas pašas vērtības kā f (x), pakāpes, kas nav augstāka par (m-1), ņemot vērā tās pašas vērtības spektrā A, kā f (x) ir atlikuma dalījums jebkuram no polinomiem g (x), kam matricas A spektrā ir tādas pašas vērtības kā f (x), ar minimālo polinomu m (x) \u003d g (x) \u003d m (x) * g (x) + r (x).
Šo polinomu r (x) matricas A spektrā dēvē par Lagranža-Silvestera interpolācijas polinomu funkcijai f (x).
Komentēt. Ja matricas A minimālajam polinomam m (x) nav vairāku sakņu, t.i. , tad funkcijas vērtība spektrā.
Piemērs:
Atrodiet r (x) patvaļīgam f (x), ja matrica
... Mēs konstruējam f (H1 ). Atrodiet minimālo polinomu H1 pēdējais nemainīgais faktors:
, dn-1\u003d x2 ; dn-1=1;
mx\u003d fn(x) \u003d dn(x) / dn-1(x) \u003d xn 0 nvairākas saknes m (x), t.i. n-reizes raksturīgās H vērtības1 .
, r (0) \u003d f (0), r(0) \u003d f(0), ..., r(n-1)(0) \u003d f(n-1)(0) .
- Matricu funkciju īpašības.
Īpašuma numurs 1. Ja matricai ir īpašvērtības (starp tām var būt daudzkārtnes), un tad matricas f (A) īpašvērtības ir polinoma f (x) īpašvērtības:
Pierādījumi:
Ļaujiet matricas A raksturīgajam polinomam būt formai:
Skaitīsim. Pārejam no vienlīdzības uz noteicošajiem faktoriem:
Veiksim aizstāšanu vienlīdzībā:
Vienādība (*) ir derīga jebkuram kopumam f (x), tāpēc mēs aizstājam polinomu f (x) ar:
Kreisajā pusē mēs ieguvām matricai f (A) raksturīgo polinomu, kas labajā pusē sadalīts lineāros faktoros, kas nozīmē, ka matricas f (A) īpašvērtības.
CHTD.
Īpašuma numurs 2. Ļaujiet matricas A, f (x) matricai un īpašvērtībām būt patvaļīgai funkcijai, kas noteikta matricas A spektrā, tad matricas f (A) īpašvērtības ir vienādas.
Pierādījumi:
Tā kā funkcija f (x) ir noteikta matricas A spektrā, tad matricas r (x) interpolācijas polinoms ir tāds, ka un pēc tam f (A) \u003d r (A) un matrica r (A ) pēc īpašuma Nr. 1 ir īpašvērtības, kas ir attiecīgi vienādas.
CHTD.
Īpašuma numurs 3. Ja A un B ir līdzīgas matricas, t.i. , un f (x) ir patvaļīga funkcija, kas noteikta matricas A spektrā
Pierādījumi:
Tā kā A un B ir līdzīgi, tad to raksturīgie polinomi ir vienādi un to īpašvērtības, tādēļ matricas A spektrā f (x) vērtība sakrīt ar funkcijas f (x) vērtību matricas B spektrā , un pastāv interpolācijas polinoms r (x) tāds, ka f (A) \u003d r (A) ,.
CHTD.
Īpašuma numurs 4. Ja A ir blokdiagonāla matrica, tad
Secinājums: Ja, tad, kur f (x) ir funkcija, kas noteikta matricas A spektrā.
- Lagranža-Silvestera interpolācijas polinoms.
Lietas numurs 1.
Lai tas tiek dots. Apsveriet pirmo gadījumu: raksturīgajam polinomam ir tieši n saknes, starp kurām nav daudzkārtņu, t.i. visas matricas A īpašvērtības ir atšķirīgas, t.i. , Sp A ir vienkārša. Šajā gadījumā mēs konstruējam pamata polinomus lk (x):
Ļaujiet f (x) būt funkcijai, kas noteikta matricas A spektrā, un šīs funkcijas vērtības spektrā būs. Mums jābūvē.
Veidosim:
Pieraksti to.
Piemērs: Konstruējiet Lagranža-Silvestera interpolācijas polinomu matricai.
Konstruēsim pamata polinomus:
Tad funkcijai f (x), kas definēta matricas A spektrā, mēs iegūstam:
Paņemsim, tad interpolācijas polinoms
Lietas numurs 2.
Matricas A raksturīgajam polinomam ir vairākas saknes, bet šīs matricas minimālais polinoms ir raksturīgā polinoma dalītājs, un tam ir tikai vienkāršas saknes, t.i. ... Šajā gadījumā interpolācijas polinomu konstruē tāpat kā iepriekšējā gadījumā.
Lietas numurs 3.
Apsvērsim vispārīgo gadījumu. Ļaujiet minimālajam polinomam būt šādam:
kur m1 + m2 +… + ms \u003d m, deg r (x) Sastādīsim daļēju racionālu funkciju: un paplašiniet to vienkāršākajās daļās. Mēs apzīmējam: Reiziniet (*) ar un iegūstiet kur ir kāda funkcija, kas nenonāk līdz bezgalībai. Ja mēs ievietojam (**), mēs saņemam: Lai atrastu ak3, nepieciešams (**) divreiz diferencēt utt. Tādējādi koeficients aki ir unikāli noteikts. Pēc visu koeficientu atrašanas mēs atgriežamies pie (*), reizinām ar m (x) un iegūstam interpolācijas polinomu r (x), t.i. Piemērs: atrodiet f (A), jakur t kāds parametrs,
Pārbaudīsim, vai funkcija ir definēta matricas A spektrā Reizināt (*) ar (x-3) pie x \u003d 3 Reizināt (*) ar (x-5) Tādējādi - interpolācijas polinoms. 2. piemērs. Ja, tad pierādi to Atrodīsim matricas A minimālo polinomu: - raksturīgs polinoms. d2
(x) \u003d 1, tad minimālais polinoms Apsveriet f (x) \u003d sin x matricas spektrā: funkcija ir specifiska spektrā. Reizināt (*) ar
.
Reizināt (*) ar:
Aprēķināsim, ņemot atvasinājumu (**): ... Pieņemot,
, t.i..
Tātad,,
3. piemērs. Lai f (x) tiktu noteikts matricas spektrā, kuras minimālajam polinomam ir forma... Atrodiet funkcijas f (x) interpolācijas polinomu r (x). Risinājums: Pēc nosacījuma f (x) ir noteikts matricas A f (1), f spektrā(1), f (2), f(2), f (2) ir noteikti. Mēs izmantojam nedefinētu koeficientu metodi: Ja f (x) \u003d ln x f (1) \u003d 0f(1)=1
f (2) \u003d ln 2f(2)=0.5
f(2)=-0.25
4. Vienkāršas matricas.
Ļaujiet matricai, jo C ir algebriski slēgts lauks, tad xa Tas ļauj noteikt optimālo mācību programmā iekļauto mācību priekšmetu apguves secību. Katram mācību priekšmetam ir savs numurs. Ļaujiet mācību saturam iekļaut 19 priekšmetus. Mēs izveidojam kvadrātveida matricu ar bāzi, kas ir vienāda ar mācību priekšmetu skaitu mācību programmā (19). Pēc ekspertu vērtēšanas metodes pieredzējuši skolotāji nosaka nozīmīgākās akadēmisko priekšmetu savstarpējās attiecības. Matricas kolonnas tiek uzskatītas par patērētājiem, un rindas ir informācijas nesēji. Piemēram, 10. slejā svarīgi informācijas nesēji ir 7., 9., 11. rinda, tas ir, zināšanas par priekšmetiem ar šiem numuriem. Šīs slejas rindas attēlo ar vienām (1), skaidras naudas savienojuma neesamību - ar nullēm (0). Analīzes rezultātā tika izveidota deviņpadsmitās kārtas matrica, kuras pamatā ir secīga kolonnu un rindu noņemšana. Ar nullēm aizpildītās kolonnas nesaņem informāciju no citiem priekšmetiem, tas ir, viņu pētījums nav balstīts uz loģiskām attiecībām ar citiem priekšmetiem, lai gan tie, savukārt, var būt primārās informācijas nesēji. Tas nozīmē, ka vispirms var mācīties priekšmetus, kuriem šajās slejās ir skaitļi. Rindas, kas piepildītas ar nullēm, netiek uzskatītas par informācijas nesējām, un tās nebūs pamats citu priekšmetu studijām, kas nozīmē, ka tās var apgūt pēdējās. Pirmkārt, 7., 8., 9., 18. sleja un tām atbilstošās rindas tiek dzēstas. Mēs iegūstam pirmo samazināto piecpadsmitās kārtas matricu, kurai savukārt ir nulle 4., 16., 17. aile. Atbrīvojušies no tiem, mēs iegūstam otro samazināto matricu. Tādējādi, veicot visus nākamos samazinājumus, mēs iegūstam matricu, kurā nav kolonnu bez tām, bet ir nulles rindas, kuras arī tiek izsvītrotas kopā ar attiecīgajām kolonnām. Pēc šādu darbību secīgas veikšanas mēs nonākam pie diagrammas parādītās formas matricas. Izveidotā matrica atbilst grafikai, kas parādīts 3.2. Šajā grafikā ir trīs slēgtas dubultās cilpas (13-15), (5-6), (11-10). Ar zināmu tuvinājumu var pieņemt, ka objekti, kas iekļuvuši šajās kontūrās, ir jāpēta paralēli, un vispirms tiek pētīti objekti ar skaitļiem 13 un 15 un tikai pēc tam objekti 5, 6, 10, 11. matricas analīzes rezultātā kļūst iespējams izveidot mācību shēmas (bloku) mācību priekšmetu pētījumu modeli: Diagrammā parādīta apvienota izglītības priekšmetu savienošanas sistēma. Šūnās ir subjektu skaits ar paralēlu pētījumu. Izveidotā savienojuma sistēma jāsaprot nevis kā obligāta vienas subjektu grupas savienošanas secība tikai pēc iepriekšējās beigām, bet tikai kā nepieciešamība būt priekšā viņu pētījumā. Tas tikai norāda objektu savienojuma vispārējo tendenci. Tas ļauj novērtēt mācību materiāla izkārtojuma loģisko secību akadēmiskajā priekšmetā un attiecīgi to uzlabot. Ļaujiet priekšmetam iekļaut 6 tēmas. Matrica A! sastādīts pēc šī akadēmiskā priekšmeta tematiskā plāna. Skaitļi, kas tiek ņemti vērā to izmantošanas ziņā citu tēmu izpētē matricas sastādīšanā, atrodas vertikāli, horizontāli izvietotie skaitļi atbilst apskatītajām tēmām, ņemot vērā to, kā tiek izmantota citu tēmu informācija. Lai identificētu slēgtas kontūras, kuru klātbūtne norāda uz neiespējamību noteikt atsevišķu tēmu pārejas secības pāreju, mēs veicam matricas Au pārveidojumus (saīsināšanu). Izdzēsiet 5. rindu, kas sastāv no nullēm, un tai atbilstošo kolonnu, kā arī nulles 3. kolonnu ar atbilstošo rindu. Tiek izveidota matrica A2. Matricā A2 ir trūkstošās rindas un kolonnas, kas sastāv no visām nullēm. Lai izveidotu slēgtas kontūras, mēs dodam grafiku, kas atbilst matricai A2 (sk. 3.3. Att., A). Pētot grafiku, izriet, ka slēgto loku klātbūtni izraisa attiecības starp 1. un 6. tēmas, kā arī 4. un 6. tēmas mācību materiāla saturu. Ievēroto attiecību iemesls ir neveiksmīga mācību materiāla saturs starp norādītajām tēmām. Pēc šo tēmu satura pārskatīšanas kļūst iespējams novērst esošās aizvērtās diagrammas kontūras. Tādējādi tiek izveidots jauns grafiks (3.3. Att., B) un atbilstošā matrica A3. Šīs matricas samazināšana dod jaunu matricu A4. Pēc loku (6, 4), (6, 1) un (1, 6) noņemšanas iegūstam jaunu sākotnējo matricu B1, kuras grafikam nav slēgtu kontūru. Tagad, kad slēgtie ceļi ir sadalīti, sāksim pielāgot tēmu secību. Lai to izdarītu, mēs secīgi izdzēsīsim kolonnas, kas sastāv no nullēm un tā paša nosaukuma rindām. Tēmās, kas atbilst šīm slejām, netiek izmantota citu tēmu informācija, un tāpēc tās var vispirms izpētīt. Matricā! 1. un 3. sleja ir nulle. Tādējādi 1. tēma var ieņemt vietu tematiskajā plānā. Izpētot iemeslus, kas prasa 3. tēmas iestatīšanu pirms 2. tēmas, izrādās, ka zināma informācija par 2. tēmu ir 3. tēmā. Tomēr ir loģiskāk un lietderīgāk tos atstāt 3. tēmā. Pēc mācību materiāla pārkārtošanas loka (3, 2) vietā iegūstam loka (2, 3); noņemt 1. kolonnu - iegūstam matricu B2. 2. tēmai tiek piešķirts bijušais skaitlis 2. Izdzēsiet 2. slejas 2. rindu. Mēs iegūstam matricu B3. 3. un 4. tēma paliek ar vienādiem numuriem. Mēs izdzēšam 3., 4. kolonnu ar attiecīgajām rindām; iegūstam matricu B4 6. tēma ir 5. numurs, un 5. tēma ir 6. numurs. Mēs izveidojam matricu C1 atbilstoši jaunajam tēmu sadalījumam. Pārveidosim matricu, secīgi izdzēšot tā paša nosaukuma nulles rindas un kolonnas. Atbilstošās tēmas mēs pārvietojam uz rindas beigām, jo \u200b\u200bšo tēmu informācija netiek izmantota, pētot citas tēmas. 5. tēmai piešķir numuru 6. Dzēst 6. rindu un kolonnu. Piešķirt 6. tēmu ar 5. numuru. Mēs izdzēšam 4. un 3. rindu un tēmas, kas uz tām atbild, piešķir iepriekšējos skaitļus 4 un 3. Attiecībā uz 1. un 2. tēmu tie paši jautājumi paliek tematiskajā plānā. Matricas apstrādes rezultātā tiek iegūts šāds galīgais tēmu izvietojums akadēmiskā priekšmeta struktūrā: No norādītās secības redzams, ka pēc tematiskā plāna struktūras matricas apstrādes vietas ir mainījušās 5. un 6. tēma. Turklāt kļuva nepieciešams pārvietot mācību materiālu par 5. tēmu uz 1. tēmu, kā arī no 2. tēmas līdz 3. tēmai. Kā redzams no dotā piemēra, mācību materiāla struktūras matricas analīze ļauj to zināmā mērā pasūtīt un uzlabot mācību programmu tēmu savstarpēju vienošanos. Jāpatur prātā, ka mācību programmu un programmu matricas analīze no izpildītājiem prasa lielu praktisko pieredzi un padziļinātas zināšanas par mācību saturu. Pirmkārt, tas attiecas uz sākotnējās matricas sastādīšanu, precīzāk, uz saikņu noteikšanu starp akadēmiskajiem priekšmetiem vai akadēmiskajām tēmām priekšmetā. Starp tādiem galvenajiem elementiem kā programmas tēmas ir daudz saikņu, bet matricas analīzes veicējiem jāspēj "lasīt starp rindām" (atrast slēptus, bet reālās dzīves savienojumus), noteikt dažādu savienojumu nozīmi saistībā ar programmas mērķiem. matricas analīzi un dažreiz kritiski vērtē akadēmisko priekšmetu priekšmetu saturu.
Matricas programmas analīze
