Aleksandrs Viktorovich Abrosimov Dzimšanas datums: 1948. gada 16. novembris (1948 11 16) Dzimšanas vieta: Kuibyshev Datums nāves ... Wikipedia

I Differential vienādojumu vienādojumi, kas satur vēlamās funkcijas, to atvasinājumi dažādu pasūtījumu un neatkarīgiem mainīgajiem. Teorija D. y. cēlies 17. gadsimta beigās. Mehānikas un citu dabas zinātņu disciplīnu vajadzību ietekmē ... ... ... Lielā padomju enciklopēdija

Parastie diferenciālvienādojumi (ODU) ir sugas diferenciālais vienādojums, kurās nezināmā funkcija (iespējams, vektora funkcija, tad kā parasti vektors ir arī funkcija ar vērtībām tāda paša dimensijas telpā; šajā ... ... Wikipedia

Vikipēdijai ir raksti par citiem cilvēkiem ar šādu vārdu, skatiet Yudovich. Viktors Iosifovich Yudovich Dzimšanas datums: 1934. gada 4. oktobris (1934 10 04) Dzimšanas vieta: Tbilisi, PSRS nāves datums ... Wikipedia

Starpība - (Diferenciāli) definīcija atšķirības, diferenciālo funkciju, diferenciāla bloka informācija par atšķirīgu definīciju, diferenciālo funkciju, diferenciālā bloka satura saturs matemātiskais neformālais apraksts ... ... ... Enciklopēdijas investors

Viens no pamatjēdzieniem diferenciālvienādojumu teorijā ar privātiem atvasinājumiem. X. loma izpaužas šo vienādojumu būtiskajās īpašībās, piemēram, vietējās risinājumu īpašības, dažādu uzdevumu maksātspēja, to pareizība utt. Ļaujiet ... ... Matemātiskā enciklopēdija

Nezināmā ruma vienādojumā ir viena neatkarīga mainīgā funkcija, un šis vienādojums ietver ne tikai nezināmu funkciju, bet arī dažādu pasūtījumu atvasinājumus. Tika piedāvāti terminu diferenciālie vienādojumi ... ... Matemātiskā enciklopēdija

Treneogin Vladilen Aleksandrovich V. A. Trenchy lekcijās Misis Dzimšanas datumā ... Wikipedia

Trenchyine, Vladilen Aleksandrovich Trenogin Vladilen Aleksandrovich V. A. Trenogin pie lekcijas Misis Dzimšanas datumā: 1931 (1931) ... Wikipedia

Gauss vienādojums, lineārs parastā diferenciālo vienādojumu 2. kārtībā vai pašpārliecinātajā formā, mainīgos un parametros vispārējā gadījumā var veikt visas sarežģītas vērtības. Pēc aizvietošanas forma ir iegūta ... ... ... Matemātiskā enciklopēdija

Makarskaya E. V. Grāmatā: studentu zinātnes dienas. Pavasaris - 2011. m.: Maskavas Valsts ekonomikas universitāte, statistika un informātika, 2011. P. 135-139.

Autori uzskata par lineāro diferenciālo vienādojumu teorijas praktisko piemērošanu ekonomisko sistēmu pētījumam. Papīrs sniedz analīzi par dinamiskajiem modeļiem Keynes un Samuelson Hicks ar konstatējot līdzsvara stāvokli ekonomisko sistēmu.

Ivanov A. I., Isakov I., Demin A.V. et al. 5. M.: Word, 2012.

Rokasgrāmatā tika pārbaudīts kvantitatīvās metodes, lai pētītu skābekļa patēriņu, ko veic cilvēks testos ar devu izmantošanu, kas veikta Krievijas Zinātņu akadēmijas-Ambp RAS PĢS. Rokasgrāmata ir paredzēta zinātniekiem, fiziologiem un ārstiem, kas strādā kosmosa, zemūdens un sporta medicīnas jomā.

Mikheev A. V. SPB.: Operatīvās drukas NUSU HSE - Sanktpēterburga, 2012.

Šajā kolekcijā ir uzdevumi pēc diferenciālo vienādojumu, ko lasāma autors Ekonomikas augstskolās HSE - Sanktpēterburgā. Katras tēmas sākumā tiek dota kopsavilkums Galvenie teorētiskie fakti ir raksturīgu uzdevumu risinājumu piemēri. Augstāko profesionālo profesionālo programmu studentiem un klausītājiem.

Konakova V.D. Sti. WP BRP. 2012. gada 2012. gada Mehānikas un matemātikas fakultātes valdes publicēšana.

Šīs apmācības rokasgrāmatas centrā ir īpašs kurss par studenta izvēli, ko autors lasa Maskavas Valsts universitātes mehāniski - matemātiskajā fakultātē. M.v. Lomonosovs 2010-2012 akadēmiskie gadi. Rokasgrāmata iepazīstina ar lasītāju ar parametru metodi un tās diskrēto analogu, kas izstrādāts visvairāk nesen Labuma autors un viņa kolēģi līdzautori. Tā apvieno kopā materiālu, kas iepriekš tika turēts tikai vairākos žurnālu rakstos. Ne cenšamies par maksimālo ģenerālprošanas brīža, autors izvirzīja mērķi pierādīt iespēju metodes pierādījumu vietējo limitu teorēmu par konverģenci Markova ķēžu uz difūzijas procesu un saņemot divpusējo novērtējumu par ARONSON tipa daži deģenerēta difūzija.

Ir. 20. NY: Springer, 2012.

Šī publikācija ir individuālo rakstu "Trešā starptautiskā konference par informācijas sistēmām", kas notika Floridas Universitātē, 2011. gada 16. un 18. februārī. Šīs konferences mērķis bija apkopot zinātniekus un inženierus no rūpniecības, valdībām un Zinātniskie apļi, lai viņi varētu apmainīties ar jauniem atklājumiem un rezultātiem jautājumos, kas saistīti ar informācijas sistēmu dinamikas teoriju un praksi. Informācijas sistēmu dinamika: matemātiskais atklājums ir moderns pētījums un ir paredzēts studentiem - absolventiem un pētniekiem, kuri ir ieinteresēti studentiem Jaunākie atklājumi informatīvajā teorijā un dinamiskajās sistēmās. Citu disciplīnu zinātnieki var gūt labumu arī no jaunu pētījumu attīstības jomās.

Palvelev R., Sergeyev A. G. Matemātikas institūta tiesvedība. V.a. STEKLOV brūces. 2012. T. 277. P. 199-214.

Adiabatic limits tiek pētīts Landau Ginzburg hiperbolisko vienādojumu. Izmantojot norādīto limitu, ir izveidota sarakste starp risinājumiem Ginzburg-Landau vienādojumu un adiabatic trajektorijas telpā statisko risinājumu, ko sauc par vortices. Menthon ierosināja heiristisko adiabātisko principu, kas postulē, ka jebkurš risinājums Ginzburg-Landau vienādojumu ar pietiekami zemu kinētisko enerģiju var iegūt kā traucēt dažu adiabatic trajektoriju. Stingri pierādījumi par šo faktu konstatēts nesen pirmais autors

Mēs sniedzam skaidru formulu kvazi-isomorfismam starp operadiem Hycomm (Homotopy Quitient of Batalin-Vilkovisky Operady BV-Operator). Oter vārdos mēs iegūstam hycomm-algebras un BV-algebras līdzvērtību ar homotopiju, kas trivalizē BV operatoru. Šīs formulas ir norādītas attiecībā uz givental grafikiem, un ir pierādīts divos dažādos veidos. Viens pierādījums izmanto Givental grupas rīcību, un pārējie pierādījumi iet cauri skaidru formulu ķēdei par Hycomm un BV rezolūcijām. Otrā pieeja jo īpaši dod homoloģisku paskaidrojumu par Givental grupas rīcību Hycomm-algebrās.

Zinātniski Rediģēts: A. Mikhailov. 14. m.: Maskavas Valsts universitātes Socioloģiskā fakultāte 2012.

Šīs kolekcijas raksti ir rakstīti, pamatojoties uz ziņojumiem, kas veikti 2011. gadā Maskavas Valsts universitātes socioloģiskajā fakultātē. M.v. Lomonosova sanāksmē XIV starpdisciplinārā ikgadējā zinātniskā semināra "matemātiskā modelēšana sociālo procesu" tiem. Sociālistu akadēmiķis A.A. varonis. Samara.

Publikācija ir paredzēta pētniekiem, skolotājiem, studentiem universitātēm un zinātniskajām institūcijām, kas interesējas par problēmām, sociālo procesu matemātiskās modelēšanas metodikas izstrādi un īstenošanu.

Krievijas Federācijas Nacionālās pētniecības kodoldrošības un zinātnes ministrija "MiFi" T. I. Bukharova, V. L. Kamīnin, A. B. Kostin, D. S. Tkachenko Lekcijas par parastajiem diferenciālvienādojumiem, ko Umo kodolizstrādes fizikas un tehnoloģiju kvalitāte augstskolu augstskolu studentiem Maskava 2011 UDC 517.9 BBK 22.161.6 B94 Bukharova ti, Kamynin VL, Kostin AB, Tkachenko DS Kopējais lekciju kurss diferenciālvienādojumi : Apmācība. - m.: NIAU MAFI, 2011. - 228 p. Apmācības rokasgrāmata tika izveidota, pamatojoties uz lekciju kursu, ko lasa autori Maskavas inženierzinātnēs un fiziskajā institūtā gadu gaitā. Tas ir paredzēts studentiem, ko Niya mythi no visām fakultātēm, kā arī universitāšu studentiem ar paaugstinātu matemātisko sagatavošanu. Rokasgrāmata tika sagatavota ietvaros programmas izveidei un attīstībai Niya Mafi. Recenzents: Dr Fiz.-Mat. Sciences N.A. Kudryashovs. ISBN 978-5-7262-1400-9 © Nacionālā izpēte Kodolproduktu universitāte "MIII", 2011 Satura rādītājs Priekšvārds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I. Ievads parasto diferenciālvienādojumu teorijas pamatjēdzieniem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 11 II. Cauchy problēmas risinājuma esamība un unikalitāte 1. kārtas vienādojumam ir pirmā pasūtījuma unikalitātes teorēma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Risināt risinājumu Cauchy Problēma par pirmo pasūtījumu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Turpiniet risinājumu pirmajam pasūtījumam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. Cauchy uzdevums parastam N-TH pasūtījumu sistēmas pamatjēdzieniem un dažām vektora funkcijas palīgierīcēm. . . . Cauchy problēmas risināšanas identitāte normālai sistēmai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . Metriskās vietas jēdziens. Priniype noplūdes displejiem. . . . . . Problēmas teorijas un cauchy problēmas risinājuma unikalitāte parastajām sistēmām. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 14 23 34 38 34 43 44 48 IV. Dažas parasto diferenciālo vienādojumu klases, kas atrisinātas kvadrātu vienādojumā ar atdalīšanas mainīgajiem lielumiem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineārā pirmā pasūtījuma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vienoti vienādojumi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vienādojums Áernlli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vienādojums pilnīgu diferencētu tirgotājiem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 55 58 63 64 65 V. 67 Pirmie pasūtījuma vienādojumi, kas nav atļauti attiecībā pret problēmas problēmas atvasinājumu un OUU risinājuma unikalitāti, kas nav atļauta attiecībā pret atvasināto instrumentu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Īpašs risinājums. ÄChrimnant līkne. Apvelkšana. . . . . . . . . . . . . . . . Parametru administrēšanas parametrs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lagrana vienādojums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Clairo vienādojums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vi. Linear Ode Systems pamatjēdzieni. Problēmas teorēma un lineārās OÄU viendabīgo sistēmu risināšanas risināšana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Noteicošais faktors ir ârnoy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sarežģīti risinājumi viendabīgai sistēmai. Pāreja uz būtisku CCR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineārās OUU sistēmiskās sistēmas. ÌTode Variii konstante. . . . . Vienotas lineārās OUU sistēmas ar pastāvīgu COBFINGER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indikatīvā funkcija no matrijas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 67 70 77 79 81 85 Cauchy 85. . . 87. . . 91. . . . . . 96 97. . . 100. . . 111 Lineārās OUU sistēmiskās sistēmas ar pastāvīgu COBFINGER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 VII. Lineārais augstas kārtības adu tiek samazināts līdz sistēmai Linear Oäu. Problēmas teorēma un Cauchy problēmas risinājuma unikalitāte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vienotais lineārs augsts pasūtījums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Viendabīgas lineāra augsta pasūtījuma sarežģīto risinājumu īpašības. Pāreja no sarežģītā MPK uz būtisko. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonda lineārās augstas kārtības līnijas. ÌTode Variii konstante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vienoti lineāri augstas kārtas risinājumi ar pastāvīgu Cobfinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tas ir augstas kārtas lineārā lineāra ar pastāvīgu koeficientu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 VIII. Stabilitātes teorija Pamata jēdzieni un definīcijas saistībā ar ilgtspējību. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineārās sistēmas risinājumu stabilitāte. . . . . . Oregious Lyapunov par stabilitāti. . . . . . . . . . Stabilitāte atbilstoši pirmajai tuvināšanai. . . . . . . Fāzes trajektoriju uzvedība miera 162. punktā. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 128 136 139 142 150 162 168 172 182 187 IX. Pirmie integrāli ODU 198 sistēmas 198 pirmie integrāli autonomo sistēmu parasto dažādu delikātu vienādojumu198 autonomās sistēmas Oäu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Symmetric Record Systems Oäu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quazilineear vienādojumi privātajos pirmās kārtas atvasinājumos. . . . Cauchy ir kvazilineear vienādojums pirmās kārtas privātajos atvasinājumos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliogrāfija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -4- 210. . . . . 210. . . . . 212. . . . . 216. . . . . 223. . . . . 227 Priekšvārds Sagatavojot grāmatu, autori bija vērsti uz vērtēšanu vienā vietā un valsts informāciju par lielāko daļu jautājumu, kas saistīti ar parasto diferenciālvienādojumu teoriju pieņemamā veidā. Tāpēc papildus materiālam, kas iekļauts parasto diferenciālo vienādojumu lasīšanas obligātajā programmā NIII (un citās universitātēs), pabalsts ietver papildu jautājumus, par kuriem parasti nav pietiekami daudz laika lekcijās, bet kas būs noderīga labākai izpratnei. Priekšmeti un nāks klajā ar pašreizējiem studentiem savā turpmākajā profesionālajā darbībā. Visi ierosināto pabalstu paziņojumi ir matemātiski stingri pierādījumi. Šie pierādījumi parasti nav oriģināli, bet visi tiek pārveidoti saskaņā ar matemātisko kursu prezentācijas stilu MEPH. Saskaņā ar plaši izplatītiem skolotājiem un zinātniekiem matemātiskās disciplīnas būtu jāpārbauda ar pilniem un detalizētiem pierādījumiem, kas pakāpeniski pārvietojas no vienkārša līdz sarežģītai. Šīs rokasgrāmatas autori ievēro to pašu viedokli. Teorētiskā informācija, kas minēta grāmatā tiek atbalstīta ar analīzi par pietiekamu skaitu piemēru, ka, kā mēs ceram, vienkāršot lasītāju, lai izpētītu materiālu. Rokasgrāmata ir adresēta studentiem universitāšu ar paaugstinātu matemātisko sagatavošanu, pirmkārt, studenti Niya MEPI. Tajā pašā laikā tas būs noderīgi visiem, kas ir ieinteresēti teorijā diferenciālvienādojumu un izmanto šo sadaļu matemātikas savā darbā. -5- I nodaļa iegūt x0 2 zx ln 4c + 3 u (t) v (t) DT5 ZX v (t) dt. ln c 6 x0 x0 pēc pēdējās nevienlīdzības un lietošanas paaugstināšanas (2.3), mums ir 2 x 3 zx zu ( x) 6 c + u (t) v (t) DT 6 c exp 4 v (t) DT5 x0 x0 vispār x 2 [1, 1]. Mēs novērtējam atšķirību JF (X, Y2) F (X, Y1 ) j \u003d sin x y1 y2 6 vispār (x, y) 2 g. Tādējādi, f atbilst Lipschitz stāvoklī ar L \u003d 1, pat ar l \u003d grēku 1 gar y tomēr FY0 atvasinājums pie punktiem ( x, 0) 6 \u003d (0, 0) pat nepastāv. Turpmākais teorēma, kas ir interesants pats par sevi, ļaus pierādīt cauchy problēmas risinājuma unikalitāti. Theorem 2. 1 (par atšķirības novērtējumu starp diviem risinājumiem). Ļaujiet g reģionam 2 R, un F (X, Y) 2 CG un apmierina G Lipschitz stāvoklī Y ar nemainīgu L. Ja Y1, Y2 divi vienādojuma y 0 \u003d F risinājumi (x, y ) uz segmenta, tad tas ir godīgi pret nevienlīdzību (novērtējums): JY2 (x) y1 (x) J 6 JY2 (x0) Y1 (x0) j exp l (x x0) 6 y1 vispār x 2. -19- y2 pierādījums. Pēc definīcijas 2. 2 risinājumi vienādojuma (2.1), mēs iegūstam, ka 8 x 2 punkti X, Y1 (X) un X, Y2 (X) 2 g. Visiem T 2, mums ir uzticīgi EQUALITIES Y10 (T) \u003d FT, Y1 (t) un y20 (t) \u003d pēdas, y2 (t), kas integrējas ar t uz segmentu, kur x 2. Integrācija ir likumīga, jo labās un kreisās daļas ir nepārtrauktas funkcijas. Mēs iegūstam Emitities ZX Y1 (X) Y1 (X0) \u003d X0 ZX Y2 (X) Y2 (X0) \u003d F T, Y1 (T) DT, F T, Y2 (T) DT. X0 atņemot vienu no otra, mums ir JY1 (X) Y2 (X) J \u003d Y1 (x0) Y2 (X0) + ZX HFT, Y1 (T) IFT, Y2 (T) DT 6 X0 ZX 6 Y1 (x0) Y2 (X0) + FT, Y1 (T) pēdas, Y2 (t) DT 6 X0 ZX 6 Y1 (X0) Y2 (X0) + L Y1 (T) Y2 (t) DT. X0 apzīmē C \u003d Y1 (x0) Y2 (X0)\u003e 0, V (t) \u003d l\u003e 0, u (t) \u003d y1 (t), tad, kas nevienmērībā Hronolla-Áellman, mēs iegūstam reitingu: JY2 (X) Y1 (x) J 6 JY2 (x0) Y1 (x0) j exp l (x x0) y2 (t)\u003e 0. Visiem x 2. Teorēma ir pierādīts. Pierādīta teorēmas rezultātā mēs iegūstam cauchy problēmas risinājuma unikalitātes teoriju (2.1.), (2.2.). Aizstājējs 1. Ļaujiet funkcijai f (x, y) 2 cg un apmierina Lipschitz stāvokli Y, un Y1 (X) un Y2 (X) funkcijas, divi vienādojuma (2.1) vienādojuma risinājumi vienā un tajā pašā segmentā, un X0 2. Ja Y1 (x0) \u003d Y2 (X0), tad Y1 (X) Y2 (x). Pierādījumi. Apsveriet divus gadījumus. -20- 1. Ļaujiet x\u003e x0, tad no teorēma 2. 1 No tā izriet, ka h i i.e. Y1 (x) Y1 (x) Y2 (x) 6 0 exp l (x x0), y2 (x) pie x\u003e x0. 2. Ļaujiet x 6 x0 ļaujiet nomainīt t \u003d x, tad yi (x) \u003d yi (t) y ~ i (t) pie i \u003d 1, 2. Kopš X2, T 2 [X0, X1] un vienlīdzība y ~ 1 (x0) \u003d y ~ 2 (x0). Mēs uzzinām, kāds vienādojums ir apmierinošs y ~ i (t). Nākamā ķēde vienlīdzības ir taisnība: d y ~ i (t) \u003d dt d ~ yi (x) \u003d dx f x, yi (x) \u003d f (t, y ~ i (t)). Šeit mēs izmantojām sarežģītās funkcijas diferenciāciju un to, ka Yi (X) ir vienādojuma risinājumi (2.1.). Tā funkcija f ~ (t, y) f (t, y) ir nepārtraukta un apmierina Lipschitz stāvokli y, tad ar teorēmu 2. 1 mums ir tas, ka y ~ 1 (t) y ~ 2 (t) uz [x0 , x1], ti.e. Y1 (x) y2 (x). Apvienojot abus gadījumus, mēs iegūstam izmeklēšanas apstiprināšanu. Alternatīvi 2. (par nepārtrauktu atkarību no sākotnējiem datiem) ļaujiet funkciju f (x, y) 2 CG un apmierina Lipschitz stāvokli gar y ar konstantu L, un funkcijas Y1 (X) un Y2 (X) ir risinājumi (2.1.) Vienādojums. Mēs atbilstu l \u003d x1 x0 un δ \u003d y1 (x0) y2 (x0). Ja 8 x 2, nevienlīdzība Y1 (x) y2 (x) 6 Δ el l ir taisnība. Pierādījums būtu nekavējoties no teorēmiem 2. 1. Nevienlīdzība no korolārā 2 tiek saukta par novērtējumu par Lēmuma ilgtspēju par sākotnējiem datiem. Tās nozīme ir tā, ka, ja X \u003d X0, risinājumi ir "tuvu", tad uz gala segmentā tie ir arī tuvu. Theorem 2. 1 sniedz svarīgu tāmi par atšķirības moduļa diviem risinājumiem pieteikumiem, un sekas 1 ir unikalitāte risinājumu Cauchy Problēma (2.1), (2.2). Ir arī citi pietiekami bīstami apstākļi unikalitāti, no kuriem mēs tagad dodam. Kā minēts iepriekš, ģeometriski Cauchy problēmas risinājuma unikalitāte nozīmē, ka ar punktu (X0, Y0) reģionu G var nodot ne vairāk kā vienu neatņemamu vienādojuma līkni (2.1). Thorem 2. 2 (Osguda par unikalitāti). Pieņemsim, ka funkcija f (x, y) 2 cg un 8 (x, y1), (x, y2) 2 g tiek veikta nevienlīdzība F (x, y1) f (x, y2) 6 6 φ JY1 y2 j, kur φ (U)\u003e 0 pie U 2 (0, β], φ (u) ir nepārtraukts, un Zβ Du! +1, kad ε! 0+. Ja punkts (x0, y0), reģions φ (u ) ε G nav vairāk viena neatņemama līkne (2.1). -21- pierādījums. Pieņemsim, ka ir divi risinājumi Y1 (X) un Y2 (x) vienādojuma (2.1), piemēram, ka Y1 (x0) \u003d Y2 (x0) \u003d Y0, apzīmē z (x) \u003d y2 (x) y1 (x). DYI AS \u003d F (X, YI), pie I \u003d 1, 2, tad Z (x) Vienlīdzība DX DZ \u003d F (X, Y2 ) F (X, Y1). DX DZ \u003d F (x, Y2) F (x, Y1) JZJ 6 φ JZJ JZJ, ti, pa labi, tad Z DX 1 D nevienlīdzība JZJ2 6 φ JZJ JZJ, no kura tas izriet ar JZJ 6 \u003d 0 DX Dual nevienlīdzība: Zjz2 J ZX2 DX 6 X1 2 D JZJ 6 2 JZJφ JZJ ZX2 DX, (2.5) x1 jz1 j, kur integrācija tiek veikta saskaņā ar jebkuru segmentu, kurā Z (x)\u003e 0, un zi \u003d z xi), i \u003d 1, 2. Pie pieņēmums, Z (x) 6 0, turklāt tas ir nepārtraukts, tāpēc šāds segments ir atrasts, mēs to izvēlētos un salabot. Apsveriet komplektus n o x1 \u003d x x< x1 и z(x) = 0 , n o X2 = x x > x2 un z (x) \u003d 0. Ja viens no šiem komplektiem nav tukšs, jo Z (x0) \u003d 0 un x0 62. Ļaut, piemēram, X1 6 \u003d ∅, tas ir ierobežots no augšas, tāpēc 9 α \u003d sup x1. Ņemiet vērā, ka z (α) \u003d 0, ti. α 2 x1, jo tiek pieņemts, ka z (α)\u003e 0, pamatojoties uz nepārtrauktību, mums būs Z (x)\u003e 0 dažos intervālos α Δ1, α + Δ1, un tas ir pretrunā ar definīciju α \u003d sup x1. No Z (Α) \u003d 0 no tā izriet, ka α< x1 . По построению z(x) > 0 visiem x 2 (α, x2], un saskaņā ar nepārtrauktību Z (x) 0+ pie x! Α + 0. Atkārtojiet argumentus PIN (2.5), integrējot uz segmenta [α + δ, X2 ], kur x2 tas tika izvēlēts iepriekš un fiksēts, un Δ 2 (0, x2 α) - patvaļīgi, mēs iegūstam nevienlīdzību: Zjz2 j ZX2 DX 6 α + Δ d jzj2 6 2 jzjφ jzj jz (α + δ) j ZX2 dx. α + Δ Šajā divkāršā es definēt Δ! 0+, tad Z (α + Δ)! Z (α) \u003d 0, no Zjz2 JD JZJ2! +1, saskaņā ar Z (X) nepārtrauktību, un tad integrālis 2 jzjφ jzj teorēma. JZ (α + Δ) J -22 - nevienlīdzības labās daļas RX2 DX \u003d x2 α Δ 6 x2 α ir ierobežots α + Δ no virs galīgās vērtības, kas vienlaicīgi nav iespējams. Rezultāts Pretrunai pierāda teorēmu. 2. 2. būtiski risināt Cauchy problēmas risinājumu pirmajam pasūtījumam, kas ir uzdevums Cauchy (2.1), (2.2), tas ir saprotams kā šāds uzdevums atrast funkciju y (x): 0 y \u003d F (x, y), (x, y) 2 g, y (x0) \u003d y0, (x0, y0) 2 g, kur f (x, y) 2 cg un (x0, y0) 2 g; g ir reģions R2. Lemma 2. 2. Ļaujiet F (x, y) 2 cg. Ja notiek šādi apgalvojumi: 1) viss re φ (x) vienādojums (2.1.) Attiecībā uz HA, BI, apmierinošu (2.2) x0 2 ha, bi, ir šķīdums Ha, BI integrālajam vienādojumam ZX Y (X) \u003d Y0 + F τ, y (τ) dτ; (2.6.) X0 2) Ja φ (x) 2 c ha, BI šķīdums no neatņemama vienādojuma (2.6) uz ha, bi, 1 kur x0 2 ha, bi, tad φ (x) 2 c ha, bi un ir a šķīdums (2.1.), (2.2). Pierādījumi. 1. Ļaujiet φ (x), Lēmums (2.1), (2.2) par HA, BI. Pēc tam, saskaņā ar piezīmi 2.2 φ (x) 2 c ha, BI un 8 τ 2 ha, BI, mums ir vienlīdzība φ 0 (τ) \u003d f τ, φ (τ), integrējot, kas no x0 līdz x, mēs Iegūstiet (jebkurā x 2 ha, bi) rx φ (x) φ (x0) \u003d f tau, φ (τ) dτ, ar φ (x0) \u003d y0, ti.e. φ (x) - šķīdums (2.6). X0 2. Ļaujiet y \u003d φ (x) 2 c ha, bi - šķīdums (2.6). Tā kā FX, φ (x) ir nepārtraukta uz ha, bi ar stāvokli, tad ZX φ (X) Y0 + F τ, φ (τ) Dτ 2 C 1 ha, bi x0 kā neatņemama ar mainīgu augšējo robežu no nepārtrauktas funkcija. Diferencējot pēdējo X vienlīdzību, mēs iegūstam φ 0 (x) \u003d F x, φ (x) 8 x 2 ha, bi un, protams, φ (x0) \u003d y0, ti. φ (x) ir Cauchy problēmas risinājums (2.1.), (2.2.). (Kā parasti, saskaņā ar atvasinājumu segmenta beigās tas tiek saprasts kā atbilstošais vienpusējs atvasinājums.) -23 "Pārskats 2. 6. Lemma 2. 2 tiek saukts par Lemmu par Cauchy problēmu (2.1), (2.1), ( 2.2) no neatņemama vienādojuma (2.6). Ja mēs pierādīt, ka vienādojuma (2.6) risinājums pastāv, mēs iegūstam Cauchy (2.1), (2.2.) Mājām un mērķus. Šis plāns tiek īstenots nākamajā teorijā. Teorēma 2. 3 (vietējā eksistences teorēma). Ļaujiet taisnstūrim p \u003d (x, y) 2 R2: JY X0 J 6 α, JY Y0 J 6 β ir pilnīgi g funkcijas, lai noteiktu funkciju f (x, y). F (x, y) 2 c g un apmierina Lipschitz stāvokli N y OV G ar pastāvīgu L. atbilstošo β m \u003d max f (x, y), h \u003d min α, m. Ja ir risinājums uzdevums êshoshi (2.1), (2.2). Pierādījumi. Pēc griezuma mēs izveidojam neatņemama vienādojuma risinājuma esamību (2.6.). Lai to izdarītu, apsveriet šādu funkciju secību: ZX Y0 (X) \u003d Y0, Y1 (X) \u003d Y0 + F τ, Y0 (τ) Dτ, ... X0 ZX YN (X) \u003d Y0 + F τ, yn 1 (τ) dτ, utt x0 1. Mēs parādām, ka 8 N 2 N funkcijas YN (secīgas tuvinājumi), t.i. Mēs parādām, ka 8 x 2, nevienlīdzība yn (x) y0 6 β tiek veikta visiem n \u003d 1, 2 ,. . . Mēs izmantojam matemātiskās indukcijas metodi (MMI): a) indukcijas pamats: n \u003d 1. ZX Y1 (X) Y0 \u003d F τ, Y0 (τ) Dτ 6 m0 x0 6 mh 6 β, x0 kur m0 \u003d max f (x, y0) pie jx x 0 j 6 α, m0 6 m; b) pieņēmums un indukcijas solis. Ļaujiet nevienlīdzībai taisnība par YN 1 (x), mēs to pierāda yn (x): zx yn (x) y0 \u003d f τ, yn 1 (τ) Dτ 6 mx x0 Tātad, ja JX X0 J 6 H, tad YN (x) Y0 6 β 8 N 2 N. -224 - X0 6 m H 6 β. Mūsu mērķis būs pierādījums par tuvāko 1. YK (X) K \u003d 0 konverģences sekotāju, jo tas ir ērti pārstāvēt to formā: yn \u003d y0 + nx yk 1 (x) \u003d y0 + y1 yk (x ) Y0 + Y2 Y1 +. . . + yn yn 1, k \u003d 1.e. Funkcionālo sēriju daļēju summu sekvences. 2. Mēs novērtējam šīs sērijas dalībniekus, pierādot šādas nevienlīdzības 8 N 2 N un 8 x 2: x0 Jn yn (x) yn 1 6 m0 l 6 m0 ln n! Uzklājiet matemātiskās indukcijas metodi: JX N 1 1 HN. N! (2.7) a) indukcijas bāze: n \u003d 1. y1 (x) x y 0 6 m0 x0 6 m0 h, pierādīts iepriekš; b) pieņēmums un indukcijas solis. Ļaujiet nevienlīdzībai patiesībā par n katru n: zx yn (x) yn 1 f τ, yn 1 (τ) \u003d f τ, yn 2 (τ) 1, dτ 6 x0 zx i yn 6 par lipsshitz 6 l h yn 1 2 Dτ 6 X0 H ZX I 6 Pieņemot indukciju 6 l N 2 m0 l jτ x0 jn 1 dτ \u003d (n 1)! x0 m0 ln 1 \u003d (n 1)! ZX jτ n 1 x0 j m0 ln 1 jx x0 jn m0 l n 6 dτ \u003d (n 1)! N n n n! 1 X0 RX Šeit mēs izmantojām faktu, ka integrālis i \u003d jτ x0 pie x\u003e x0 ar x< x0 Rx I = (τ x0 Rx I = (x0 n 1 x0) τ)n 1 dτ = dτ = x0 (x (x0 x)n n Таким образом, неравенства (2.7) доказаны. -25- x0)n и n = jx x0 jn . n x0 jn 1 dτ : hn . 3. Рассмотрим тождество yn = y0 + ним функциональный ряд: y0 + 1 P n P yk (x) yk 1 (x) и связанный с k=1 yk 1 (x) . Частичные суммы это- yk (x) k=1 го ряда равны yn (x), поэтому, доказав его сходимость, получим сходимость 1 последовательности yk (x) k=0 . В силу неравенств (2.7) функциональный ряд мажорируется на отрезке k 1 P k 1 h числовым рядом M0 L . Этот числовой ряд сходится k! k=1 по признаку Даламбера, так как M0 Lk hk+1 k! ak+1 = ak (k + 1)! M0 L k 1 hk = h L ! 0, k+1 k ! 1. Тогда по признаку Вейерштрасса о равномерной сходимости функциональный 1 P ряд y0 + yk (x) yk 1 (x) сходится абсолютно и равномерно на отрезk=1 ке , следовательно и функциональная последовательность 1 yk (x) k=0 сходится равномерно на отрезке к некоторой функ- ции ϕ(x), а так как yn (x) 2 C , то и ϕ(x) 2 C как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. 4. Рассмотрим определение yn (x): Zx yn (x) = y0 + f τ, yn 1 (τ) dτ (2.8) x0 – это верное равенство при всех n 2 N и x 2 . У левой части равенства (2.8) существует предел при n ! 1, так как yn (x) ⇒ ϕ(x) на , поэтому и у правой части (2.8) тоже существует Rx предел (тот же самый). Покажем, что он равен функции y0 + f τ, ϕ(τ) dτ , x0 используя для этого следующий критерий равномерной сходимости функциональной последовательности: X yn (x) ⇒ ϕ(x) при n ! 1 () sup yn (x) y(x) ! 0 при n ! 1 . x2X X Напомним, что обозначение yn (x) ⇒ ϕ(x) при n ! 1 принято использовать для равномерной на множестве X сходимости функциональной последователь 1 ности yk (x) k=0 к функции ϕ(x). -26- Покажем, что y0 + Rx X f τ, yn 1 (τ) dτ ⇒ y0 + x0 здесь X = . Для этого рассмотрим f τ, yn 1 (τ) f τ, ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 Zx h i yn 1 (τ) 6 по условию Липшица 6 sup L ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 6 L h sup yn 1 (τ) ϕ(τ) ! 0 при n ! 1 τ 2X X в силу равномерной при n ! 1 сходимости yn (x) ⇒ ϕ(x). Таким образом, переходя к пределу в (2.8), получим при всех x 2 верное равенство Zx ϕ(x) = y0 + f τ, ϕ(τ) dτ, x0 в котором ϕ(x) 2 C . По доказанной выше лемме 2. 2 ϕ(x) – решение задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Замечание 2. 7. В теореме 2. 3 установлено существование решения на отрезке . По следствию 1 из теоремы 2. 1 это решение единственно в том смысле, что любое другое решение задачи Коши (2.1), (2.2), определенное на совпадает с ним на этом отрезке. Замечание 2. 8. Представим прямоугольник P в виде объединения двух (пересекающихся) прямоугольников P = P [ P + , (рис. 2. 3) где n P = (x, y) n P = (x, y) + x 2 ; x 2 ; -27- jy jy o y0 j 6 β , o y0 j 6 β . Рис. 2. 3. Объединение прямоугольников Обозначим f (x, y . M − = max − f (x, y , M + = max + P P Повторяя,с очевидными изменениями, доказательство теоремы 2. 3 отдель но для P + или P − , получим существование (и единственность) решения на отрезке n o β + + , где h = min α, M + или, соответственно, на , n o β − . Отметим, что при этом, вообще говоря, h+ 6= h− , а h h = min α, M − из теоремы 2. 3 есть минимум из h+ и h− . Замечание 2. 9. Существование решения задачи (2.1), (2.2) теоремой 2. 3 гарантируется лишь на некотором отрезке . В таком случае говорят, что теорема является локальной. Возникает вопрос: не является ли локальный характер теоремы 2. 3 следствием примененного метода ее доказательства? Может быть, используя другой метод доказательства, можно установить существование решения на всем отрезке , т.е. глобально, как это было со свойством единственности решения задачи Коши (2.1), (2.2)? Следующий пример показывает, что локальный характер теоремы 2. 3 связан с «существом» задачи, а не с методом ее доказательства. Пример 2. 1. Рассмотрим задачу Коши 0 y = −y 2 , (2.9) y(0) = 1 n o в прямоугольнике P = (x, y) jxj 6 2, jy − 1j 6 1 . Функция f (x, y) = −y 2 непрерывна в P и fy0 = −2y 2 C P , поэтому все условия тео1 β , α = и ремы 2. 3 выполнены, а M = max f (x, y) = 4. Тогда h = min P P M 4 -28- теорема 2. 3 гарантирует существование решения на отрезке 1 1 . Решим − , 4 4 эту задачу Коши, используя «разделение переменных»: − dy = dx y2 () y(x) = 1 . x+C 1 – решение задачи Коши (2.9). x+1 График решения представлен на рис. (2.4), из которого видно, что решение 1 при x < x = − покидает прямоугольник P , а при x 6 −1 даже не 2 существует. Подставляя x = 0, найдем C = 1 и y(x) = Рис. 2. 4. Локальный характер разрешимости задачи Коши В связи с этим возникает вопрос об условиях, обеспечивающих существование решения на всем отрезке . На приведенном примере мы видим, что решение покидает прямоугольник P , пересекая его «верхнее» основание, поэтому можно попробовать вместо прямоугольника P в теореме 2. 3 взять полосу: o n 2 A 6 x 6 B − 1 < y < +1 , A, B 2 R. Q = (x, y) 2 R Оказывается, что при этом решение существует на всем отрезке A, B , если f (x, y) удовлетворяет условию Липшица по переменной y в Q. А именно, имеет место следующая важная для приложений теорема. Теорема 2. 4. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y с константой L в полосе Q = (x, y) 2 R2: A 6 x 6 B, y 2 R , -29- где A, B 2 R. Òогда при любых начальных данных x0 2 , y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем . Доказательство. Áудем считать, что x0 2 (A, B). Проведем рассуждения по схеме теоремы 2. 3 отдельно для полосы o n + 2 x 2 y 2 R и Q = (x, y) 2 R n Q = (x, y) 2 R2 o x 2 y 2 R . + Если x0 = A или x0 = B, то один из этапов рассуждений (для Q или, соответственно, для Q) отсутствует. + Возьмем полосу Q и построим последовательные приближения yn+ (x), + как в теореме 2. 3. Поскольку Q не содержит ограничений на размер по y, то пункт 1) доказательства теоремы 2. 3 не проверяем. Далее, как в предыдущей теореме, от последовательности переходим к ряду с частичными суммами yn+ (x) = y0 + n X yk+ (x) yk+ 1 (x) , где x 2 . k=1 Повторяя рассуждения, доказываем оценку вида (2.7) x0 jn x0)n n 1 (B 6 M0 L 6 M0 L (2.10) n! n! при всех x 2 ; здесь M0 = max f (x, y0) при x 2 , откуда yn+ (x) yn+ 1 n 1 jx yn+ (x) как и выше в теореме 2. 3 получим, что ⇒ ϕ+ (x), n ! 1, причем ϕ+ (x) 2 C , ϕ+ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Возьмем полосу Q и построим последовательность yn (x). Действуя ана логично, получим, что 9 ϕ (x) 2 C , ϕ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Определим функцию ϕ(x) как «сшивку» по непрерывности ϕ+ и ϕ , т.е. + ϕ (x), при x 2 , ϕ(x) = ϕ (x), при x 2 . Отметим, что ϕ+ (x0) = ϕ (x0) = y0 и потому ϕ(x) 2 C . Функции ϕ (x) по построению удовлетворяют интегральному уравнению (2.6), т.е. Zx ϕ (x) = y0 + f τ, ϕ (τ) dτ, x0 -30- где x 2 для ϕ+ (x) и x 2 для ϕ (x), соответственно. Следовательно, при любом x 2 функция ϕ(x) удовлетворяет инте 1 гральному уравнению (2.6). Тогда по лемме 2. 2, ϕ(x) 2 C и является решением задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Из доказанной теоремы 2. 4 нетрудно получить следствие для интервала (A, B) (открытой полосы). Ñледствие. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна в открытой полосе Q = (x, y) 2 R2: x 2 (A, B), y 2 R , причем A и B 2 R могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что f (x, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(x) 2 C(A, B), такая, что 8 x 2 (A, B) и 8 y1 , y2 2 R выполняется неравенство f (x, y2) f (x, y1) 6 L(x) jy2 y1 j. Òогда при любых начальных данных x0 2 (A, B), y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем (A, B). Доказательство. Для любой полосы Q1 = (x, y) 2 R2: x 2 , y2R , где A1 > A, b1.< B, лежащей строго внутри Q и содержащей (x0 , y0), справедлива теорема 2. 4, так как при доказательстве оценок вида (2.10), необходимых для обоснования равномерной на сходимости последовательности yn (x) , используются постоянные M0 = max f (x, y0) при x 2 и L = max L(x) x 2 . Эти постоянные не убывают при расширении (A, B). Возьмем последовательность расширяющихся отрезков , удовлетворяющих условиям B > Bk + 1\u003e bk visiem K 2 n; 1) A.< Ak+1 < Ak , 2) x0 2 при всех k 2 N; 3) Ak ! A, Bk ! B при k ! 1. Заметим сразу, что S = (A, B) и, более того, для любого x 2 (A, B) k найдется номер x 2 . N (x) 2 N, такой, что при всех -31- k > N tiek veikta, pierādot šo papildu paziņojumu attiecībā uz A, B 2 R (I.E, A un B ir ierobežots; ja A \u003d 1 vai B \u003d + 1, tad tādā pašā veidā). Lietojiet x A b x, patvaļīgu x 2 (A, B) un Δ (x) \u003d min, δ (x)\u003e 0. 2 2 2 no numura δ no AK konverģences! A un BK! B Mēs iegūstam, ka 9 N1 (Δ) 2 N: 8 k\u003e n1, a< Ak < A + δ < x, 9 N2 (δ) 2 N: 8 k > N2, X.< B δ < Bk < B. Тогда для N = max N1 , N2 справедливо доказываемое свойство. Построим последовательность решений задачи Коши (2.1), (2.2) Yk (x), применяя теорему 2. 4 к соответствующему отрезку . Любые два из этих решений совпадают на общей области определения по следствию 1 из теоремы 2.1. Таким образом, два последовательных решения Yk (x) и Yk+1 (x) совпадают на , но Yk+1 (x) определено на более широком отрезке . Построим решение на всем (A, B). Возьмем и построим ϕ(x) – решение задачи (2.1), (2.2) на всем (по теореме 2. 4). Затем продолжим это решение на , . . . , . . . Получим, что решение ϕ(x) определено на всем (A, B). Докажем его единственность. Предположим, что существует решение ψ(x) задачи Коши (2.1), (2.2), также определенное на всем (A, B). Докажем, что ϕ(x) ψ(x) при любом x 2 (A, B). Пусть x – произвольная точка (A, B), найдется номер N (x) 2 N, такой, что x 2 при всех k > N. Piemērojot sekas 1 p. 2.1 (tas ir, unikalitāti teorēma), mēs iegūstam, ka φ (t) ψ (t) vispār t 2 un, jo īpaši, pie t \u003d x. Tā kā X ir patvaļīgs punkts (A, B), risinājuma unikalitāte, un ar to sekas ir pierādīta. 2. piezīme. 10. Pierādītajā izmeklēšanā mēs pirmo reizi tikāmies ar jēdzienu turpināt lēmumu par plašāku komplektu. Nākamajā daļā mēs to izpētīsim sīkāk. Mēs sniedzam dažus piemērus. P Piemēram 2. 2. Attiecībā uz vienādojumu Y 0 \u003d EJXJ X2 + Y 2, noskaidrojiet, vai tās risinājums ir viss (A, B) \u003d (1, +1). Apsveriet šo vienādojumu "Strip" Q \u003d R2, funkcija P JXJ F (X, Y) \u003d E X2 + Y 2 ∂F Y \u003d EJXJ P, FY0 6 EJXJ \u003d L (X). ∂y x2 + y 2 saskaņā ar 2.1. Punkta 2.1. Punkta 2.1. Punkta funkcija f (x, y) atbilst Lipschitz nosacījumam y ar "konstante" l \u003d l (x), X ir fiksēts. Tad visi seku nosacījumi tiek veikti, un ar jebkādiem sākotnējiem datiem (X0, Y0) 2 R2, Cauchy Problēmas risinājums pastāv, un turklāt ir vienīgais uz (1, +1). Ņemiet vērā, ka paša vienādojums kvadrātu nav atrisināta, bet aptuvenos risinājumus var veidot skaitliski. Tas ir noteikts un nepārtraukts Q, -32- piemērs 2. 3. Attiecībā uz Y 0 \u003d ex y 2 vienādojumu, uzziniet, vai tās risinājumus, kas definēti R. Ja mēs atkal apsvērt šo vienādojumu "sloksnes" Q \u003d R2, Ja funkcija ∂ ff (x, y) \u003d ex y 2 ir definēts un nepārtraukts, A \u003d 2yex, mēs varam pamanīt, ka tiek pārkāpts izmeklēšanas stāvoklis, proti, šādas nepārtrauktas funkcijas L (x) ka f (x, y2) f (x, y1) 6 l (x) JY2 y1 j ar visiem y1, y2 2 r. Faktiski, f (x, y2) f (x, y1) \u003d ex jy2 + y1 j JY2 Y1 J, un izteiksme JY2 + Y1 J neaprobežojas tikai ar Y1, Y2 2 R. Tādējādi sekas nav piemērojamas. Es izlemju šo vienādojumu "atdalīšana mainīgo", mēs iegūstam vispārēju risinājumu: "y (x) \u003d 0, y (x) \u003d 1. ex + c ņemiet defitess x0 \u003d 0, y0 2 R., ja y0 \u003d 0, tad y (x) 0 - Cauchy problēmas risinājums R. 1 - Cauchy problēmas risinājums. Y0 2 [1, 0) Ex tas ir definēts vispār x 2 r, un Y0 2 (1, 1) [(0, +1) y0 + 1 var turpināt caur X \u003d LN punktu. Precīzāk, ja x\u003e 0, tad Y0 1 šķīdums Y (x) \u003d Y0 +1 ir definēts X 2 (1, x) un ja x< 0 x e y0 y0 < 1 , то решение определено при x 2 (x , +1). В первом случае lim y(x) = +1, а во втором – lim y(x) = 1. Если y0 6= 0, то y(x) = x!x 0 y0 +1 y0 x!x +0 -33- Для наглядности нарисуем интегральные кривые при соответствующих значениях y0 (рис. 2. 5). Рис. 2. 5. Интегральные кривые уравнения y 0 = ex y 2 Таким образом, для задачи Коши 0 y = ex y 2 , y(0) = y0 имеем следующее: 1) если y0 2 [ 1, 0], то решение существует при всех x 2 R; y0 + 1 2) если y0 < 1, то решение существует лишь при x 2 ln ; +1 ; y0 y0 + 1 . 3) если y0 > 0, tad risinājums pastāv tikai X 2 1; Ln Y0 Šis piemērs parāda, ka funkcijas F (X, Y) pieauguma robeža pašreizējā teorema secībā ir būtiska, lai turpinātu risinājumu visiem (A, B). Tāpat piemēri ar funkciju f (x, y) \u003d F1 (x) y 1 + ε ar jebkuru ε\u003e 0, attiecīgajā piemērā, ε \u003d 1 tikai pēc prezentācijas ērtībai. 2. 3. Risinājuma turpināšana pirmajā kārtībā. Definīcija 2. 5. Apsveriet vienādojumu Y 0 \u003d F (X, Y) un ļaujiet y (x) - tās risinājumu uz HA, BI un Y X) - tā šķīdums uz HA, BI, ar ha, BI ir ietverts HA, BI un Y (X) \u003d Y (x) uz HA, BI. Tad y (x) sauc par risinājuma y (x) turpinājumu HA, BI un apmēram y (x), viņi saka, ka tas turpinās uz HA, BI. -34- 2.2. Punktā mēs pierādījām vietējo teorēmu par Cauchy problēmas esamību (2.1.), (2.2). Kādos apstākļos šis lēmums turpināsies plašākā plaisā? Šis jautājums ir veltīts šim jautājumam. Galvenais rezultāts ir šāds. Thorem 2. 5 (par risinājuma turpināšanu ierobežotā slēgtā teritorijā). Ļaujiet funkciju f (x, y) 2 cg un apmierina Lipschitz stāvokli gar Y in R2, A (X0, Y0) Iekšējā slēgtā slēgtā reģiona G G. Iekšējā vietā. 0 \u003d F (x, y), turpinājās līdz Reģiona reģiona robežai, ti, To var turpināt uz tādā segmentā, kas norāda A, Y (a) un b, y (b) atrodas uz ∂g. ∂f (x, y) ir nepārtraukts ierobežots ar OT, slēgts, izliekts ar Y reģionu G, tad funkcija f (x, y) atbilst Lipschitz stāvoklim mainīgā y. Skatīt apstiprinājuma sekas 2. 1 ∂f no 2.1. Punkta. Tāpēc šis teorēma būs derīgs, ja tas ir nepārtraukts ∂y G. Piezīme 2. 11. Atgādināt, ka, ja pierādījums. Kopš (X0, Y0) ir iekšējais punkts G, tad ir slēgta taisnstūra Nr 2 p \u003d (x, y) 2 R x0 6 α, y y0 6 β, viss guļ G. Tad ar teorēmu 2. 3 no. 2.2 Ir h\u003e 0, ka ir risinājums uz segmenta (un vienīgais) šķīdums y \u003d φ (x) vienādojuma y 0 \u003d F (x, y). Es vispirms turpināšu šo lēmumu uz leju līdz robežai G reģiona, pārkāpjot pierādījumus individuāliem soļiem. 1. Apsveriet iestatīto ER: nav E \u003d α\u003e 0 Risinājums Y \u003d φ (X) nepārtraukti uz šķīduma Y \u003d φ1 (x) no vienādojuma y 0 \u003d F (x, y), kas atbilst cauchy apstākļiem φ1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ b \u003d φ ~ b. Tādējādi, φ (x) un φ1 (x) ir risinājumi uz segmenta ~ b h1, ~ b vienu vienādojumu, kas atbilst punktam x \u003d ~ b, tāpēc tie sakrīt uz visu segmentu ~ b h1, ~ b un tāpēc , φ1 (x) ir risinājuma turpinājums φ (x) no segmenta ~ b h1, ~ b līdz ~ b h1, ~ B + H1. Apsveriet funkciju ψ (x): φ (x), x 2 x0, ψ (x) \u003d φ1 (x), x 2 ~ b ~ b, H1, ~ B + H1 ~ B H1, X0 + Α0 + H1, Kurš tas ir risinājums vienādojumam Y 0 \u003d F (x, y) un atbilst Cauchy ψ (x0) \u003d Y0 stāvoklim. Tad numurs α0 + H1 2 e, un tas ir pretrunā ar definīciju α0 \u003d sup e. Tāpēc 2. gadījums nav iespējams. Tāpat risinājums φ (x) turpinās pa kreisi, uz segmenta, kur a, φ (a) 2 ∂g. Teorēma ir pilnībā pierādīta. -37- III nodaļa. Cauchy uzdevums normālai N-TH pasūtījuma sistēmai 3. 1. Pamata jēdzieni un daži papildu īpašumi vektora funkcijas šajā nodaļā izskatīs normālu N-Th pasūtījumu sistēmu veidlapas 8\u003e t, y ,. . . , y y _ \u003d f 1 n 1 1\u003e,< y_ 2 = f2 t, y1 , . . . , yn , (3.1) . . . > \u003e: y_ \u003d f t, y ,. . . , Y, n n 1 n kur nezināms (vēlamais) ir funkcijas Y1 (t) ,. . . , yn (t), un FI funkcijas ir zināmas, i \u003d 1, N, punkts pār funkciju apzīmē atvasinājumu T. Tiek pieņemts, ka visi FI ir definēti reģionā G RN + 1. Tas ir ērti ierakstīt sistēmu (3.1) vektora formā: y_ \u003d f (t, y), kur y (t) y1 (t). . . , yn (t), f (t, y) f1 (t, y). . . , fn (t, y); Arlogoriem vektoru apzīmēšanā netiks rakstīts par īsumu. Šāds ieraksts tiks apzīmēts arī (3.1.). Ļaujiet T0, Y10 ,. . . , Yn0 atrodas G. Cauchy problēma (3.1) ir atrast risinājumu φ (t) sistēmas (3.1), kas atbilst nosacījumam: φ1 (t0) \u003d Y10, φ2 (t0) \u003d y20, ..., φn (t0) \u003d yn0, (3.2) vai vektora formā φ (t0) \u003d y 0. Kā norādīts 1. nodaļā, saskaņā ar sistēmas šķīdumu (3.1.), Vector funkcija φ (t) \u003d φ1 (t) tiek saprasts kā HA, BI sistēma. . . , φn (t), atbilstoši nosacījumi: 1) 8 t 2 ha, bi punkta t, φ (t) atrodas g; 2) 8 t 2 ha, bi 9 d dt φ (t); 38 3) 8 t 2 ha, bi φ (t) apmierina (3.1). Ja šāds lēmums papildus apmierina (3.2), kur T0 2 ha, BI, tad to sauc par Cauchy problēmas risinājumu. Nosacījumi (3.2) tiek aicināti uz spēkiem vai kauku apstākļiem, kā arī T0, Y10 ,. \\ T . . , YN0 - Cauchy dati (sākotnējie dati). Konkrētajā gadījumā, kad vektora funkcija f (t, y) (n + 1) mainīgais ir atkarīgs no Y1 ,. . . , yn lineāri, ti. Tam ir veidlapa: F (t, y) \u003d a (t) y + g (t), kur (t) \u003d aij (t) - n n matrica, sistēma (3.1) tiek saukta lineāra. Nākotnē mums būs nepieciešamas vektora funkciju īpašības, kuras mēs šeit esam šeit, lai ērtos saites. Noteikumi par pievienošanu un reizināšanu pēc skaita vektoriem ir zināmi no kursa lineārā algebra, šīs pamatdarbības ir pilnībā īstenotas. n Ja R, lai ieviestu skalar produktu x, y \u003d x1 y1 +. . . + Xn Yn, mēs iegūstam Eiklidas telpu, kas tiks apzīmēta ar RN, ar garumu s Q n P vektors JXJ \u003d X, X \u003d X2K (vai Eiklidas norma). Scalar K \u003d 1, darbi un garumi ir taisnīgi divi galvenie nevienlīdzība: 1) 8 x, y 2 rn 2) 8 x, y 2 rn). x + y 6 x + y x, y 6 x (trijstūra nevienlīdzība); Y (Cauchy nevienlīdzība pieder - no otrā semestra matemātiskās analīzes gaitas, ir zināms, ka konverģence secību punktu (vektori) Eiklīda telpā (galīgo izmēru) ir līdzvērtīga konverģencei sekvences Šo vektoru koordinē, viņi saka, ir līdzvērtīgi koordinācijas konverģencei. Tas ir viegli sekots no nevienlīdzības: QP max x 6 x21 + ... Šeit ir dažas nevienlīdzības vektoru funkcijas, ko izmanto nākotnē. 1. par jebkuru vektoru funkciju y (t) \u003d y1 (t) ,. \\ t . . , yn (t) integrējami (piemēram, nepārtraukti) par, diezgan nevienlīdzību ZB ZB y (t) DT 6 AY \u200b\u200b(t) dt A -39- (3.3) vai koordinātu formā 0 zb zb y1 (t) dt, @ Y2 (t) DT ,. . . , 1 zb zb q yn (t) dt 6 y12 (t) +. . . Yn2 (t) dt. Pierādījums. Vispirms piezīme, ka nevienlīdzībā neizslēdz gadījumu< a, для этого случая в правой части присутствует знак внешнего модуля. По определению, интеграл от вектор-функции – это предел интегральn P ных сумм στ (y) = y(ξk) tk при характеристике («мелкости») разбиения k=1 λ(τ) = max tk стремящейся к нулю. По условию στ ! k=1, N Rb y(t) dt , а по a неравенству треугольника получим στ 6 n X Zb y(ξk) tk ! k=1 при λ(τ) ! 0 y(t) dt, a (здесь мы для определенности считаем a < b). По теореме о переходе к пределу в неравенстве получим доказываемое. Случай b < a сводится к изученному, Rb Ra так как = . a b Аналоги теорем Ролля и Лагранжа отсутствуют для вектор-функций, однако можно получить оценку, напоминающую теорему Лагранжа. 2. Для любой вектор-функции x(t), непрерывно дифференцируемой на , имеет место оценка ¾приращения¿: x(b) x(a) 6 max x 0 (t) b a. (3.4) Доказательство. Неравенство (3.4) сразу получается из (3.3) при y(t) = x 0 (t). При доказательстве теоремы разрешимости для линейных систем нам понадобятся оценки с n n матрицами, которые мы сейчас и рассмотрим. 3. Пусть A(t) = aij (t) n n матрица, обозначим произведение Ax через y. Как оценить y через матрицу A и x ? Оказывается, справедливо неравенство Ax 6 A -40- 2 x, (3.5) где x = p jx1 j2 + . . . + jxn j2 , A 2 = n P ! 12 a2ij , а элементы матрицы i,j=1 A и координаты вектора x могут быть комплексными. Доказательство. Для любого i = 1, n, ai – i-я строка матрицы A, тогда: 2 2 2 yi = ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xn = ai , x 6 h i 2 6 по неравенству Коши-Áуняковского 6 jai j2 x = ! ! n n X X 2 2 aik xl = , k=1 суммируя эти неравенства по i = 1, n, имеем: 0 1 n X 2 2 2 aik A x = A y [E-pasts aizsargāts] 2 2 L \u003d 1 2 x, k, i \u003d 1 no tā, kur tas izriet (3.5.). Definīcija 3. 1. Teikt, ka vektora funkcija f (t, y) atbilst Lipschitz stāvoklim vektora mainīgā Y uz MNS 1 g mainīgo (t, y), ja 9 l\u003e 0 ir tāds, ka ar jebkuru t , y, 2 t, y 2 g tiek veikta nevienlīdzība ft, y 2 pēdas, y 1 6 l y 2 y 1. Tāpat kā divu mainīgo lielumu funkcijas gadījumā (skat. Apstiprinājumu 2.1), pietiekams nosacījums Lapshese "Convex Y" reģionā G ir ierobežotie daļējie atvasinājumi. Pieņemsim precīzu definīciju. Definīcija 3. 2. Diapazons G mainīgo lielumu (t, y) sauc izliekts 1 2 ar y, ja par jebkuru divus punktus t, y un t, y guļ g, tas pieder pilnīgi uz to un segmentu savieno šos divus punkti, t. e. Uzstādīt n o t, y y \u003d y 1 + τ y 2 y 1, kur τ 2. Apstiprinājums 3. 1. Ja diapazons g mainīgo lielumu (t, y) ir izliekts uz Y, un ∂fi privātie atvasinājumi ir nepārtraukti un ierobežoti ar konstanti l g ar ∂yj visu i, j \u003d 1, n, tad FT Vector funkcija atbilst G, Lipschitz stāvoklis y ar konstantu l \u003d n l. 1 2 pierādījums. Apsveriet patvaļīgus punktus t, y un t, y no g un 1 2 segmentiem, savienojot tos, the.e. Uzstādīt t, y, kur y \u003d y + τ y y1, t ir fiksēts, un τ 2. -41- Mēs ieviešam vektora funkciju viena skalāra arguments g (τ) \u003d pēdas, y (τ), 2 1 tad g (1) g (0) \u003d pēdas, yft, y, un, no otras puses - Z1 g (1) g (0) \u003d DG (τ) dτ \u003d dτ z1 a (τ) dy (τ) dτ \u003d dτ 0 0 h \u003d ar tikue y \u003d y 1 + τ y 2 yi 1 z1 \u003d a (τ) y 2 y 1 dτ 0 Ja (τ) ir matrica ar elementiem ∂fi, un ∂yj y2 y 1 ir atbilstošā kolonna. Šeit mēs izmantojām sarežģītās funkcijas diferenciācijas noteikumu, proti, vispār i \u003d 1, n, t - fiksēts, mums ir: gi0 (τ) \u003d ∂fi ∂y1 ∂fi ∂y2 ∂fi ∂yn d fi t , Y (τ) \u003d + + ... + \u003d dτ ∂y1 ∂τ ∂y2 ∂τ ∂yn ∂τ ∂fi ∂fi, ..., y2 y1. \u003d ∂y1 ∂yn Atgādinot to matricas formā, mēs iegūstam: 0 2 1 g (τ) \u003d a (τ) y y ar n n matricu a (τ) \u003d aij (τ) ∂fi ∂yj. Izmantojot neatņemama (3.3) un nevienlīdzības (3.5.) Aprēķinu, mēs iegūstam: ft, y 2 pēdas, y 1 z1 \u003d g 0 (τ) dτ \u003d 0 z1 6 a (τ) y 2 z1 y1 A (τ) y 2 0 Z1 Dτ 6 0 A (τ) A (τ) Dτ Y2 Y1 6 Y2 Y1 6 NL 0 6 Maksimālais a (τ) kopš 2 g 1 dτ 6 2 2 np ∂fi \u003d i, j \u003d 1 ∂yj 2 Y2 Y1, 2 6 N2 L2 pie 8 τ 2. Paziņojums ir pierādīts. -42- 3. 2. Cauchy problēmas risinājuma cena parasto teorēmas normālu sistēmu 3. 1 (par divu risinājumu atšķirības novērtējumu). Ļaujiet g būt daži reģiona RN + 1, un vektoru funkcija f (x, y) ir nepārtraukts G, un apmierina Lipschitz stāvokli vektora mainīgā y uz komplektu G ar pastāvīgu L. Ja y 1, y 2 divi risinājumi Parastā sistēma (3.1) Y_ \u003d F (x, y) uz segmenta, tad vērtējums y 2 (t) y 1 (t) 6 y 2 (t0) y 1 (t0) exp l (t t0) ir derīga visiem t 2. Burtiski pierādot, ņemot vērā acīmredzamos atkārtotas ielādes, atkārto 2.1. Punktā norādīto Theorem pierādījumu no 2.1. Punkta. 2 No šejienes tas ir viegli iegūt teorēmu unikalitāti un stabilitāti lēmumu par sākotnējiem datiem. Pārmaiņus 3.1. Ļaujiet Vector funkcijai f (t, y) nepārtrauktu reģionā G un apmierina G Lipschitz stāvoklī gar y, un funkcijas Y 1 (t) un Y 2 (t) diviem risinājumiem normālas sistēmas (3.1) par Tas pats segments, turklāt, T0 2. Ja y 1 (t0) \u003d y 2 (t0), tad y 1 (t) y 2 (t). Pārmaiņus 3.2. (par nepārtrauktu atkarību no sākotnējiem datiem). Ļaujiet vektora funkcijai f (t, y) ir nepārtraukta reģionā G un apmierina G Lipschitz stāvoklī gar y ar konstantu l\u003e 0, un vektora funkcijas Y 1 (t) un y 2 (t) ir risinājumi Normāla sistēma (3.1). Ja 8 t 2, nevienlīdzība Y 1 (t) ir taisnība, kur δ \u003d y 1 (t0) y 2 (t0) un l \u003d t1 y 2 (t) 6 Δ el l, t0. Pierādījums par burtiski sekām, ņemot vērā šķietamo atkārtotu atkārtotu atkārtošanos, atkārto pierādījumus par sekām 2.1 un 2.2. 2 Pētījums par Cauchy problēmu (3.1., 3.2. Punktu, kā viendimensiju gadījumā tiek samazināts līdz neatņemama vienādojuma (vektora) maksātspējas. Lemma 3. 1. Ļaujiet F (t, y) 2 c g; Rn 1. Notiek šādi paziņojumi: 1) Jebkurš risinājums φ (t) (3.1. Punktā) attiecībā uz plaisu HA, BI, atbilst (3.2.) T0 2 ha, BI, ir nepārtraukts šķīdums uz HA, BI 1 līdz C G; H tiek pieņemts, lai apzīmētu visu pastāvīgo funkciju kopumu, kas nepārtraukta G reģionā ar vērtībām, kas atrodas kosmosā H. Piemēram, f (t, y) 2 c g; RN komponenti), kas definētas komplektā G. - visu nepārtraukto vektora funkciju kopums (no N -43 integrāliem vienādojuma y (t) \u003d y 0 + zt f τ, y (τ) dτ; (3.6) t0 2) ja Vector -Funcunct φ (t) 2 C ha, BI ir nepārtraukts risinājums neatņemama vienādojuma (3.6) uz HA, BI, kur T0 2 ha, BI, tad φ (t) ir nepārtraukts atvasinājums uz HA, BI un ir šķīdums (3.1.), (3.2.). Pierādījumi. 1. Ļaujiet 8 τ 2 ha, BI veic ar vienlīdzību dφ (τ) \u003d f tau, φ (τ). Pēc tam integrējot no t0 līdz t, ņemot vērā (3.2.), Semidτ rt 0 chim, kas φ (t) \u003d y + f τ, φ (τ) dτ, th.e. φ (t) atbilst vienādojumam (3.6.). T0 2. Ļaujiet nepārtrauktai vektora funkcijai φ (t) apmierināt vienādojumu (3.6) uz HA, BI, tad FT, φ (t) ir nepārtraukts HA, BI ar sarežģītās funkcijas nepārtrauktības teorēmu, un tāpēc tiesības Roku puse (3.6.) (Un tāpēc kreisajai daļai ir nepārtraukta t pie ha, bi. Pie t \u003d t0 no (3.6) φ (t0) \u003d y 0, ti. φ (t) ir risinājums cauchy problēmas (3.1), (3.2). Ņemiet vērā, ka kā parasti, saskaņā ar atvasinājumu segmenta beigās (ja tas pieder pie tā) ir vienpusēja atvasinājuma funkcija. Lemma ir pierādīts. 3. piezīme. 1. Izmantojot analoģiju ar viendimensiju lietu (sk. 2. nodaļu) un iepriekšminētajiem apstiprinājumiem, ir iespējams pierādīt Terrhem par pastāvēšanu un turpināšanu, lai atrisinātu Cauchy problēmu, veidojot iteratīvu secību konverģē, lai atrisinātu Integrēta vienādojuma (3.6) uz noteikta segmenta T0 H, T0 + H. Šeit mēs prezentējam vēl vienu pierādījumu par pastāvēšanas teorēmu (un unikalitāti) risinājumiem, kuru pamatā ir saspiešanas kartēšanas princips. Mēs to darām, lai iepazītos ar lasītāju ar modernākām metodēm teorijas, kas tiks piemērota nākotnē, kasti integrētu vienādojumu un vienādojumu matemātiskās fizikas. Lai īstenotu mūsu plānu, jums būs nepieciešams vairākas jaunas koncepcijas un palīglīdzekļi, kurus mēs turpināsim. 3. 3. metriskās vietas jēdziens. Kartēšanas saspiešanas princips Svarīgākais matemātikas ierobežojuma jēdziens ir balstīts uz punktu "tuvuma", t.i. Iespēja atrast attālumu starp tiem. Uz ciparu ass attālums ir divu skaitļu modulis, lidmašīnā ir labi pazīstama eiklīda attāluma formula utt. Daudzi no analīzes faktiem neizmanto elementu algebriskos īpašumus, un tie ir balstīti uz attāluma jēdzienu ar medu. Šīs pieejas attīstība, t.i. "Creature" piešķiršana attiecībā uz robežvērtības jēdzienu noved pie metriskās telpas koncepcijas. -44- Definīcija 3. 3. Ļaujiet x būt par patvaļīgu dabu un ρ (x, y) - divu mainīgo lielumu faktisko funkciju x, y 2 x, kas atbilst trim aksiomiem: 1) ρ (x, y) \u003e 0 8 x, y 2 x, un ρ (x, y) \u003d 0 tikai x \u003d y; 2) ρ (x, y) \u003d ρ (y, x) (simetrijas aksioma); 3) ρ (x, z) 6 ρ (x, y) + ρ (y, z) (trijstūra nevienlīdzība). Šādā gadījumā SET X ar noteiktu funkciju ρ (x, Y) sauc par metrisko telpu (ìp), un funkcija ρ (x, y): x x 7! R, apmierinoša 1) - 3), - metriskā vai attāluma. Mēs piedāvājam dažus metrisko telpu piemērus. 3. piemērs Ļaujiet x \u003d R ar attālumu ρ (x, y) \u003d x y, mēs iegūstam MP R. N O N XI 2 R, I \u003d 1, N ir 3. piemērs. 2. Ļaujiet x \u003d r \u003d x1 ,. . . , XN komplekts pasūtīto komplekti no n derīgiem numuriem s n 2 p x \u003d x1 ,. . . , Xn ar attālumu ρ (x, y) \u003d xk yk, mēs iegūstam n1 k \u003d 1 n dimensiju Eiklidean Space R. n 3. Piemērs 3. Ļaujiet x \u003d c a, b; R ir visu nepārtrauktā A, B funkcijas ar vērtībām RN, t.i. nepārtrauktas vektora funkcijas, ar attālumu ρ (f, g) \u003d max f (t) g (t), kur f \u003d f (t) \u003d F1 (t) ,. \\ t . . , Fn (t), t2 s n 2 p g \u003d g (t) g1 (t) ,. . . , GN (t), f g \u003d fk (t) gk (t). k \u003d 1 piemēriem 3. 1 -3. 3 MP aksiomas tiek pārbaudītas tieši, atstājiet to kā apzinīgu lasītāju. Kā parasti, ja katrs dabiskais n tiek ievietots saskaņā ar XN 2 X elektronu, tiek teikts, ka punktu Xn ìp x ir dota. Definīcija 3. 4. punktu punktu Xn MP X sauc x 2 x Point, ja lim ρ xn, x \u003d 0. n! 1 Definīcija 3. 5. XN secību sauc par fundamentālu, ja jebkuram ε\u003e 0 ir tik dabisks numurs n (ε), kas visiem n\u003e n un M\u003e n nevienlīdzība ρ xn, xm< ε. Определение 3. 6. МП X называется полным (ПÌП), если любая его фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства. -45- Полнота пространств из примеров 3. 1 и 3. 2 доказана в курсе математиче ского анализа. Докажем полноту пространства X = C a, b ; Rn из примера 3. 3. Пусть последовательность вектор-функций fn (t) фундаментальна в X. Это означает, что 8 ε > 0 9 N (ε) 2 N: 8m, n\u003e n \u003d) MAX FM (t) fn (t)< ε. Поэтому выполнены условия критерия Коши равномерной на a, b сходи мости функциональной последовательности, т.е. fn (t) ⇒ f (t) при n ! 1. Как известно, предел f (t) в этом случае – непрерывная функция. Докажем, что f (t) – это предел fn (t) в метрике пространства C a, b ; Rn . Из равномерной сходимости получим, что для любого ε > 0 Ir skaitlis n (ε) tāds, ka visiem n\u003e n un visiem t 2 A, B veic nevienlīdzību Fn (t) f (t)< ε, а так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то и max fn (t) f (t) < ε. Это и есть сходимость в C a, b ; Rn , следовательно, полнота установлена. В заключение приведем пример МП, не являющегося полным. Пример 3. 4. Пусть X = Q – множество рациональных чисел, а расстояние ρ(x, y) = x y – модуль разностиpдвух чисел. Если взять последовательность десятичных приближений числа 2 , т.е. x1 = 1; x2 = 1, 4; x3 = 1, 41; . . ., p то, как известно, lim xn = 2 62 Q. При этом данная последовательность n!1 сходится в R, значит она фундаментальна в R, а следовательно, она фундаментальна и в Q. Итак, последовательность фундаментальна в Q, но предела, лежащего в Q, не имеет. Пространство не является полным. Определение 3. 7. Пусть X – метрическое пространство. Отображение A: X 7! X называется сжимающим отображением или сжатием, если 9 α < 1 такое, что для любых двух точек x, y 2 X выполняется неравенство: ρ Ax, Ay 6 α ρ(x, y). (3.7) Определение 3. 8. Точка x 2 X называется неподвижной точкой отображения A: X 7! X, если Ax = x . Замечание 3. 2. Всякое сжимающее отображение является непрерывным, т.е. любую сходящуюся последовательность xn ! x, n ! 1, переводит в сходящуюся последовательность Axn ! Ax, n ! 1, а предел последовательности – в предел ее образа. Действительно, если A – сжимающий оператор, то положив в (3.7) X X y = xn ! x, n ! 1, получим, что Axn ! Ax, n ! 1. Теорема 3. 2 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство этого фундаментального факта см. , . -46- Приведем обобщение теоремы 3. 2, часто встречающееся в приложениях. Теорема 3. 3 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X таково, что оператор B = Am с некоторым m 2 N является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство. При m = 1 получаем теорему 3. 2. Пусть m > 1. Apsveriet b \u003d am, b: x 7! X, B - Kompresija. Theorem 3. 2, operatoram B ir viens fiksēts punkts x. Tā kā A un B ir permutable AB \u003d BA un kopš BX \u003d X, mums ir B AX \u003d A BX \u003d AX, I.E. Y \u003d cirvis ir arī fiksēts punkts B, un tā kā šāds punkts pēc teorēma 3. 2 ir unikāls, tad y \u003d x vai cirvis \u003d x. No šejienes X ir fiksēts punkts operatora A. Mēs pierādīsim unikalitāti. Pieņemsim, ka x ~ 2 x un ~ x \u003d x ~, tad m m 1 b x ~ \u003d a x ~ \u003d a x ~ \u003d. . . \u003d x ~, ti. X ~ - arī fiksēts punkts B, kur x ~ \u003d x. Teorēma ir pierādīts. Īpašs gadījums metriskajā telpā ir lineāra normalizēta telpa. Mēs sniedzam precīzu definīciju. Definīcija 3. 9. Ļaujiet x būt lineāra telpa (reāla vai sarežģīta), kas nosaka skaitlisko funkciju x, kas darbojas no X līdz R un atbilst aksiomiem: 1) 8 x 2 x, x\u003e 0 un x \u003d 0 tikai ar x \u003d θ; 2) 8 x 2 x un 8 λ 2 R (vai c) 3) 8 x, y 2 x tiek veikta). x + y 6 x + y λx \u003d JλJ X; (Trīsstūrveida nevienlīdzība - tad X sauc par normalizētu telpu, X: X 7! R, kas atbilst 1) - 3), - norma. Un funkciju normalizētajā sūknē var ieviest attālumu starp elementiem ar formulu ρ x, y \u003d x y. Veicot aksioma MP ir viegli pārbaudīt. Ja iegūtā metriskā telpa ir pilnībā, tad attiecīgā normalizētā telpa tiek saukta par banka. Bieži ievadiet normu vienā un tajā pašā lineārajā telpā dažādos veidos. Šajā sakarā šāda koncepcija rodas. Definīcija 3. 10. Ļaujiet x būs lineāra telpa, un - divi 1 2 standarti, kas norādīti tajā. Normas sauc par 1 2 normām, ja 9 C1\u003e 0 un C2\u003e 0: 8 x 2 x C1 x 1 6 x 2 6 C2 x 1. Piezīme 3. 3. Ja abas ir divas līdzvērtīgas normas X, un 1 2 Space X ir pabeigt vienu no tiem, tad tas ir pilnībā un citā normā. Tas viegli izriet no fakta, ka XN X secība, fundamentālā programmatūra, kas ir svarīga arī, un saplūst līdz 1 2 no tā paša elementa x 2 X. -47- pārskats 3. 4. Bieži teorēma 3. 2 (vai 3. 3 ) Tas tiek izmantots, kad slēgta šīs telpas bumba O BR (A) \u003d x 2 x ρ x, 6 R, kur R\u003e 0 un 2 x ir fiksēts kā pilnīgs n telpa. Ņemiet vērā, ka slēgta bumba PMP pats ir PMP ar tādu pašu attālumu. Pierādījums par šo faktu atstāj lasītāju kā vingrinājumu. 3. PIEZĪME Telpas pilnīgums tika izveidots iepriekš. 3. Ņemiet vērā, ka lineārajā telpā x \u003d C 0, t, r, jūs varat ievadīt likmi KXK \u003d max x (t), lai normalizēta vērtība būs Banach. Tajā pašā nepārtrauktā telpā 0, t vektora funkcijās varat ievadīt līdzvērtīgu normu ar formulu KXKΑ \u003d MAX E Αt X (t) ar jebkuru α 2 R., ja α\u003e 0, līdzvērtība izriet no nevienlīdzības E αt x (t) 6 E αt x (t) 6 x (t) vispār T 2 0, t, no kur e αt KXK 6 KXKΑ 6 KXK. Mēs izmantosim šo īpašumu ekvivalentu normām, kas apliecina teorēmu par nepārprotamo Cauchy problēmas maksātspēju lineārām (parastajām) sistēmām. 3. 4. Theoress par Cauchy problēmas risinājuma teorēmiem parastajām sistēmām uzskata, ka Cauchy problēma (3.1) - (3.2), kur sākotnējie dati T0, Y 0 2 g, G RN + 1 ir Vector funkcijas f (t, y) noteikšanas joma. Šajā punktā mēs pieņemam, ka G ir noteikta n izskatu G \u003d A, B o, kur reģions RN, un BR (Y 0) \u003d notiek teorēmu. Y 2 rn y y0 6 r ir pilnībā. Teorēma 3. 4. Ļaujiet vektora funkcijai f (t, y) 2 c g; Rn, ar 9 m\u003e 0 un l\u003e 0, ka nosacījumi 1) 8 (t, y) 2 g \u003d a, b f (t, y) 6 m tiek veikti; 2) 8 (t, y 1), (t, y 2) 2 g F t, y 2 f t, y 1 6 l y 2 y 1. Piestipriniet numuru δ 2 (0, 1) un ļaujiet T0 2 (A, B). R1 Δ 9 h \u003d min; ; T0 a; B T0\u003e 0 ml, kas pastāv un vairāk nekā risinājums problēmai êshoshi (3.1), (3.2) y (t) uz sadaļas JH \u003d t0 h, t0 + h, un y (t) y 0 6 r ar visu t 2 JH. -48- pierādījums. Lemmā 3. 1, Cauchy problēma (3.1.), (3.2), ir līdzvērtīga neatņemamai vienādojumam (3.6) uz segmenta, un tādēļ JH, kur H ir izvēlēts iepriekš. Apsveriet BANACH SPACE X \u003d C (JH; RN) - nepārtrauktas vektora funkcijas X (t) ar normu KXK \u003d max x (t), un mēs ieviešam slēgtu komplektu: T2JH SR Y 0 N 8 T 2 JH \u003d y (t) 2 x y (t) n \u003d y (t) 2 x yy (t) o 0 6r \u003d o 0 y 6r slēgta bumba X. Operators A, ko nosaka pēc noteikuma: AY \u003d Y 0 + ZT F τ , Y (τ) dτ, t 2 jh, t0 pārveido sr y 0 uz sevi, jo y 0 \u003d max ay zt t2jh f τ, y (τ) dτ 6 h \u200b\u200bm 6 r t0 teorēmas 1. stāvoklī un definīcija H. Mēs pierādām, ka A ir uz SR kompresijas operators. Veikt patvaļīgu 0 1 2 un mēs novērtējam vērtību: y (t), y (t) 2 sr y 2 ay 1 \u003d max zt h t2Jh f τ, y 2 (τ), ja τ, y 1 (τ) dτ) 6 t0 zt 6 max t2Jh f τ, y 2 (τ) f τ, y 1 (τ) Dτ 6 t0 6h l y2 y1 \u003d q y2 y1, kur Q \u003d h l 6 1 δ< 1 по условию теоремы. Отметим (см. замечание 3.4), что замкнутый шар SR y 0 в банаховом пространстве X является ПМП. Поэтому применим принцип сжимающих отображений (теорема 3. 2), по которому существует единственное решение y(t) 2 X интегрального уравнения (3.6) на отрезке Jh = t0 h, t0 + h . Теорема доказана. Замечание 3. 6. Если t0 = a или t0 = b, то утверждение теоремы сохраняется с небольшими изменениями в формуле для h и отрезка Jh . Приведем эти изменения для случая t0 = a. В этом случае число h > 0 Izvēlieties saskaņā ar R formulu H \u003d min m; 1l δ; B A, un kā segments JH, ir nepieciešams lietot -49- JH \u003d T0, T0 + H \u003d A, A + H. Visi pārējie teorēmas apstākļi nemainās, tiek sasniegti pierādījumi, ņemot vērā atkārtoti ieviešanu. T0 \u003d \u200b\u200bB gadījumā, līdzīgi, h \u003d min m; 1l δ; b a un jh \u003d b h, b. n Piezīme 3. 7. Thorem 3. 4, nosacījums f (t, y) 2 c g; R, kur g \u003d a, b d var vājināt, aizstājot nepārtrauktības F (T, Y) prasību pēc mainīgā t katru reizi Y 2, saglabājot 1. un 2. nosacījumus, pierādījums nemainīsies. 3. PIEZĪME 8. Ir pietiekami, ka 1. un 2. teorēma 3. 4 tika veikti 0 vispār t, y 2 A, b br y, un konstante m un l ir atkarīgs no 0 vispārīgi runājot, no y un r . Ar lielāku cieto FT, Y vektora funkcijas ierobežojumi, kas ir līdzīgi 2.4. Teorēmai, ir derīga eksistences teorēmam un Cauchy problēmas risinājuma (3.1.), (3.2.) Šķīduma unikalitātei visā A, b daļā. N teorēma 3. 5. Ļaujiet FX vektora funkcijai FX, Y 2 CG, R, kur G \u003d A, B RN, pastāv l\u003e 0, tāds, ka stāvoklis 8 t, y 1, t, y 2 2 g pēdas, Y 2 pēdas, y 1 6 ly 2 y 1. Ja pastāv t0 2 un y 0 2 rn, uz A, B pastāv, un turklāt, vienīgais risinājums uzdevumu êshoshi (3.1), (3.2). Pierādījumi. Veikt patvaļīgu t0 2 un y 0 2 rn un salabojiet tos. Komplekts G \u003d A, B RN atrodas formā: G \u003d G [G +, kur RN, un G + \u003d T0, B RN, uzskatot, ka t0 2 A, B, citādi viens g \u003d a, t0 no Pierādījumu posmi būs klāt. Veikt G + sloksnes pamatojumu. Uz segmenta T0, B, Cauchy problēma (3.1), (3.2) ir līdzvērtīga vienādojumam (3.6). Mēs ieviešam operatora integrēto n a: x 7! X, kur x \u003d c t0, b; R, saskaņā ar formulu ay \u003d y 0 + zt f τ, y (τ) dτ. T0 tad integrēto vienādojumu (3.6) var rakstīt operatora vienādojuma AY \u003d Y. (3.8) Ja mēs pierādīt, ka operatora vienādojums (3.8) ir risinājums PMP X, tad mēs iegūstam Cauchy problēmas maksātspēju T0, B vai A, T0 G. Ja šis risinājums ir vienīgais, patvērtības dēļ vienīgais risinājums būs cauchy problēmas risinājums. Mēs sniedzam divus pierādījumus par vienādojuma vienādojuma (3.8.) Pierādījums 1. Apsveriet patvaļīgu vektora funkciju 1 2 n y, y 2 x \u003d c t0, b; R, tad vērtības ir derīgas jebkurai -50- t 2 t0, b ay 2: ay 1 zt hf tau, y 2 (τ) \u003d 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 zt y 2 (τ ) 6L Y 1 (τ) Dτ 6 l t t0 max y 2 (τ) y 1 (τ) 6 τ 2 t0 6l t t0 y2 y1. Atgādināt, ka X norma tiek ievadīta šādi: KXK \u003d max x (τ). No iegūtās nevienlīdzības mums būs: 2 2 ay 2 1 ay zt hf τ, ay 2 (τ) \u003d 1 i toni t0 dτ f τ, ay (τ) dτ 6 t0 6 l2 zt ay 2 (τ) ay 1 ( τ) Dτ 6 L2 T0 ZT Y2 Y1 6 T0 6 L2 T T0 2! 2 y2 y1. Turpinot šo procesu, to var pierādīt indukcijas, ka 8 K 2 n ak y 2 ak y 1 6 l t t0 k! K y2 y1. Līdz ar to, visbeidzot, mēs iegūstam AK Y 2 AK Y 1 \u003d Max AK Y 2 L B T0 AK Y 1 6 L B T0 K! K y2 y1. K kopš α (k) \u003d! 0 par k! 1, tad ir k0, K! ka α (k0)< 1. Применим теорему 3. 3 с m = k0 , получим, что A имеет в X неподвижную точку, причем единственную. Доказательство 2. В банаховом пространстве X = C t0 , b ; Rn введем семейство эквивалентных норм, при α > 0 (skatīt piezīmi 3. 5) pēc formulas: X α \u003d max e eds x (t). -51- Mēs parādīsim, ka jūs varat izvēlēties α tā, lai operators A telpā x ar normu α\u003e L būs saspiešanas. Patiešām, α ay 2 ay 1 α zt hf τ, y 2 (τ) αt \u003d max e 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 6 max e αt zt y 2 (τ) l y 1 (τ) dτ \u003d T0 \u003d \u200b\u200bl max e zt αt e ατ y 2 (τ) Eατ dτ 6 y 1 (τ) t0 6 l max e αt zt eατ dτ dτ e ατ y 2 (τ) y 1 (τ) \u003d y2 α t0 \u003d l Max e αt kopš α\u003e l, tad Q \u003d L α 1 1 αt e α E EαT0 L \u003d α α b t0 y 2 y1 y 1 α \u003d 1 e α b t0.< 1 и оператор A – сжимающий (например, с α = L). Таким образом, доказано, что существует и притом единственная вектор + функция ϕ (t) – решение Коши (3.1), (3.2) на t0 , b . задачи Rn задачу Коши сведем к предыдущей при Для полосы G = a, t0 помощи линейной замены τ = 2t0 t. В самом деле, для вектор-функция y(t) = y 2t0 τ = y~(t), задача Коши (3.1), (3.2) запишется в виде: y~(τ) = f (2t0 τ, y~(τ)) f~ (τ, y~(τ)) , y~(t0) = y 0 на отрезке τ 2 t0 , 2t0 a . Поэтому можно применить предыдущие рассуждения, взяв b = 2t0 a. Итак, существует и притом единственное решение задачи Коши y~(τ) на всем отрезке τ 2 t0 , 2t0 a и,следовательно, ϕ (t) = y~ 2t0 t – решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, t0 . Возьмем «сшивку» вектор-функций ϕ (t) и ϕ+ (t), т.е. вектор-функцию ϕ (t), при t 2 a, t0 ; ϕ(t) = ϕ+ (t), при t 2 t0 , b . d dτ Как при доказательстве теоремы 2.4, устанавливаем, что ϕ(t) – это решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, b . Единственность его следует из следствия 3.1. Теорема доказана. -52- Замечание 3.9. Утверждение 3. 1 дает достаточное условие того, что векторфункция f t, y в выпуклой по y области G удовлетворяет условию Лип∂fi шица. А именно, для этого достаточно, чтобы все частные производные ∂yj были непрерывны и ограничены некоторой константой в G. Аналогично следствию из теоремы 2.4 получаем такое утверждение для нормальных систем. Ñледствие 3.3. Пусть вектор-функция f (t, y) определена, непрерывна в открытой полосе o n n Q = (t, y) t 2 (A, B), y 2 R , причем A и B могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что вектор-функция f (t, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(t) 2 C(A, B) такая, что 8 t 2 (A, B) и 8 y 1 , y 2 2 Rn выполняется неравенство f t, y 2 f t, y 1 6 L(t) y 2 y 1 . Òогда при любых начальных данных t0 2 (A, B), y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.1), (3.2) на всем интервале (A, B). Доказательство проводится повторением соответствующих рассуждений из п. 2.2, оставляем его добросовестному читателю. В качестве других следствий из доказанной теоремы 3. 5 получим теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для линейной системы. Речь идет о задаче нахождения вектор-функции y(t) = (y1 (t), . . . , yn (t)) из условий: d y(t) = A(t)y(t) + f 0 (t), t 2 a, b , (3.9) dt y(t0) = y 0 , (3.10) где A(t) = aij (t) – n n матрица, f 0 (t) – вектор-функция переменной t, t0 2 a, b , y 0 2 Rn – заданы. n 0 Теорема 3. 6. Пусть a (t) 2 C a, b , f (t) 2 C a, b ; R , ij t0 2 a, b , y 0 2 Rn заданы. Òогда существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всем отрезке a, b . Доказательство. Проверим, что для функции f t, y = A(t)y + f 0 (t) выполнены теоремы 3. 5. Во-первых, f t, y 2 C G; Rn , где условия G = a, b Rn , как сумма двух непрерывных функций. Во-вторых, (см. неравенство (3.5)): Ay 2 Ay 1 = A(t) y 2 y 1 6 A 2 y 2 y 1 6 L y 2 y 1 , -53- поскольку A n P 2 ! 21 aij (t) 2 – непрерывная на a, b функция. Тогда i,j=1 по теореме 3. 5 получим доказываемое утверждение. Теорема 3. 7. Пусть aij (t) 2 C (R), f 0 (t) 2 C (R; Rn) заданы. Òогда при любых начальных данных t0 2 R, y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всей числовой прямой. Доказательство. Проверим, что выполнены все условия следствия из теоре мы 3. 5 с A = 1, B = +1. Вектор-функция f t, y = A(t)y + f 0 (t) непрерывна в полосе Q = R Rn как функция (n + 1) переменной. Кроме того, L(t) y 2 y 1 , f t, y 2 f t, y 1 6 A(t) 2 y 2 y 1 где L(t) – непрерывная по условию теоремы на A, B = 1, +1 функция. Таким образом, все условия следствия выполнены, и теорема доказана. -54- Глава IV. Некоторые классы обыкновенных дифференциальных уравнений, решаемых в квадратурах В ряде случаев дифференциальное уравнение может быть решено в квадратурах, т.е. для его решения может быть получена явная формула. В таких случаях методика решения, как правило, следующая. 1. Предполагая, что решение существует, находят формулу, по которой решение выражается. 2. Существование решения затем доказывается непосредственной проверкой, т.е. подстановкой найденной формулы в исходное уравнение. 3. Используя дополнительные данные, (например, задавая начальные данные Коши) выделяют конкретное решение. 4. 1. Уравнение с разделяющимися переменными В данном параграфе применим уже использовавшуюся выше методику для решения уравнений с разделяющимися переменными, т.е. уравнений вида y 0 (x) = f1 (x) f2 (y), Áудем предполагать, что f1 (x) 2 C (ha, bi) , x 2 ha, bi, f2 (y) 2 C (hc, di) , y 2 hc, di. (4.1) f2 (y) 6= 0 на hc, di а следовательно, в силу непрерывности функции f2 (y), она сохраняет знак на hc, di . Итак, предположим, что в окрестности U(x0) точки x0 2 ha, bi существует решение y = ϕ(x) уравнения (4.1). Тогда имеем тождество dy = f1 (x) f2 (y), dx y = ϕ(x), 55 x 2 U(x0). Но тогда равны дифференциалы dy = f1 (x) dx f2 (y) мы учли, что f2 (y) 6= 0 . Из равенства дифференциалов вытекает равенство первообразных с точностью до постоянного слагаемого: Z Z dy = f1 (x) dx + C. (4.2) f2 (y) После введения обозначений Z F2 (y) = Z dy , f2 (y) F1 (x) = f1 (x) dx, получаем равенство F2 (y) = F1 (x) + C. (4.3) Заметим, что F20 (y) = 1/f2 (y) 6= 0, поэтому к соотношению (4.3) можно применить теорему об обратной функции, в силу которой равенство (4.3) можно разрешить относительно y и получить формулу y(x) = F2 1 F1 (x) + C , (4.4) справедливую в окрестности точки x0 . Покажем, что равенство (4.4) дает решение уравнения (4.1) в окрестности точки x0 . Действительно, используя теорему о дифференцировании обратной функции и учитывая соотношение F10 (x) = f1 (x), получим y 0 (x) = dF2 1 (z) dz z=F1 (x)+C F10 (x) = 1 F20 (y) y=y(x) F10 (x) = f2 y(x) f1 (x), откуда следует, что функция y(x) из (4.4) является решением уравнения (4.1). Рассмотрим теперь задачу Коши для уравнения (4.1) с начальным условием y(x0) = y0 . (4.5) Формулу (4.2) можно записать в виде Zy dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx + C. x0 y0 Подставляя сюда начальное условие (4.5), находим, что C = 0, т.е. решение задачи Коши определяется из соотношения Zy y0 dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx. x0 -56- (4.6) Очевидно, оно определяется однозначно. Итак, общее решение уравнения (4.1) задается формулой (4.4), а решение задачи Коши (4.4), (4.5) находится из соотношения (4.6). Замечание 4. 1. Если f2 (y) = 0 при некоторых y = yj , (j = 1, 2, . . . , s), то, очевидно, решениями уравнения (4.1) являются также функции y(x) yj , j = 1, 2, . . . , s, что доказывается непосредственной подстановкой этих функций в уравнение (4.1). Замечание 4. 2. Для уравнения (4.1) общее решение определяем из соотношения F2 (y) F1 (x) = C. (4.7) Таким образом, левая часть соотношения (4.7) постоянна на каждом решении уравнения (4.1). Соотношения типа (4.7) можно записать и при решении других ОДУ. Такие соотношения принято называть интегралами (общими интегралами) соответствующего ОДУ. Дадим точное определение. Определение 4. 1. Рассмотрим уравнение y 0 (x) = f (x, y). (4.8) Соотношение (x, y) = C, (4.9) где (x, y) – функция класса C 1 , называется общим интегралом уравнения (4.8), если это соотношение не выполняется тождественно, но выполняется на каждом решении уравнения (4.8). При каждом конкретном значении C 2 R мы получаем частный интеграл. Общее решение уравнения (4.8) получается из общего интеграла (4.9) с использованием теоремы о неявной функции. Пример 4. 1. Рассмотрим уравнение x (4.10) y 0 (x) = y и начальное условие y(2) = 4. (4.11) Применяя для решения уравнения (4.10) описанный выше метод разделения переменныõ, получаем y dy = x dx, откуда находим общий интеграл для уравнения (4.10) y 2 x2 = C. Общее решение уравнения (4.10) запишется по формуле p y= C + x2 , а решение задачи Коши (4.10), (4.11) – по формуле p y = 12 + x2 . -57- 4. 2. Линейные ОДУ первого порядка Линейным ОДУ первого порядка называется уравнение y 0 (x) + p(x)y(x) = q(x), Если q(x) 6 Если q(x) x 2 ha, bi. (4.12) 0, то уравнение называется неоднородным. 0, то уравнение называется однородным: y 0 (x) + p(x)y(x) = 0. (4.120) Теорема 4. 1. 1) Если y1 (x), y2 (x) решения однородного уравнения (4.120), α, β произвольные числа, то функция y (x) αy1 (x) + βy2 (x) также является решением уравнения (4.120). 2) Для общего решения неоднородного уравнения (4.12) имеет место формула yон = yоо + yчн; (4.13) здесь yон общее решение неоднородного уравнения (4.12), yчн частное решение неоднородного уравнения (4.12), yоо общее решение однородного уравнения (4.120). Доказательство. Первое утверждение теоремы доказывается непосредственной проверкой: имеем y 0 αy10 + βy20 = αp(x)y1 βp(x)y2 = p(x) αy1 + βy2 = p(x)y . Докажем второе утверждение. Пусть y0 – произвольное решение уравнения (4.120), тогда y00 = p(x)y0 . C другой стороны, 0 yчн = p(x)yчн + q(x). Следовательно, 0 y0 + yчн = p(x) y0 + yчн + q(x), а значит y y0 + yчн является решением уравнения (4.12). Таким образом, формула (4.13) дает решение неоднородного уравнения (4.12). Покажем, что по этой формуле могут быть получены все решения уравнения (4.12). Действительно, пусть y^(x) – решение уравнения (4.12). Положим y~(x) = y^(x) yчн. Имеем y~ 0 (x) = y^ 0 (x) 0 yчн (x) = p(x)^ y (x) + q(x) + p(x)yчн (x) = p(x) y^(x) q(x) = yчн (x) = p(x)~ y (x). Таким образом, y~(x) – решение однородного уравнения (4.120), и мы имеем y^(x) = y~(x) + yчн, что соответствует формуле (4.13). Теорема доказана. -58- Ниже будем рассматривать задачи Коши для уравнений (4.12) и (4.120) с начальным условием y(x0) = y0 , x0 2 ha, bi. (4.14) Относительно функций p(x) и q(x) из (4.12) будем предполагать, что p(x), q(x) 2 C (ha, bi). Замечание 4. 3. Положим F (x, y) = p(x)y + q(x). Тогда в силу наложенных выше условий на p(x) и q(x) имеем F (x, y), ∂F (x, y) 2 C G , ∂y G = ha, bi R1 , а следовательно, для задачи Коши (4.12), (4.14) справедливы теоремы существования и единственности решения, доказанные в главе 2. В доказанных ниже теоремах 4. 2, 4. 3 будут получены явные формулы для решений уравнений (4.120) и (4.12) и будет показано, что эти решения существуют на всем промежутке ha, bi. Рассмотрим сначала однородное уравнение (4.120). Теорема 4. 2. утверждения: Пусть p(x) 2 C (ha, bi). Òогда справедливы следующие 1) любое решение уравнения (4.120) определено на всем промежутке ha, bi; 2) общее решение однородного уравнения (4.120) задается формулой y(x) = C e где C R p(x) dx , (4.15) произвольная константа; 3) решение задачи Êоши (4.120), (4.14) задается формулой Rx y(x) = y0 e x0 p(ξ) dξ . (4.16) Доказательство. Выведем формулу (4.15) в соответствии с данной в начале главы методикой. Прежде всего заметим, что функция y 0 является решением уравнения (4.120). Пусть y(x) – решение уравнения (4.120), причем y 6 0 на ha, bi. Тогда 9 x1 2 ha, bi такая, что y(x1) = y0 6= 0. Рассмотрим уравнение (4.120) в окрестности точки x1 . Это уравнение с разделяющимися переменными, причем y(x) 6= 0 в некоторой окрестности точки x1 . Тогда, следуя результатам предыдущего параграфа, получим явную формулу для решения Z dy = p(x) dx, ln y = p(x) dx + C, y -59- откуда R y(x) = C e p(x) dx , c 6= 0, что соответствует формуле (4.15). Áолее того, решение y 0 также задается формулой (4.15) при C = 0. Непосредственной подстановкой в уравнение (4.120) убеждаемся, что функция y(x), задаваемая по формуле (4.15) при любом C, является решением уравнения (4.120), причем на всем промежутке ha, bi. Покажем, что формула (4.15) задает общее решение уравнения (4.120). Действительно, пусть y^(x) – произвольное решение уравнения (4.120). Если y^(x) 6= 0 на ha, bi, то повторяя предыдущие рассуждения, получим, что эта функция задается формулой (4.15) при некотором C: именно, если y^(x0) = y^0 , то Rx p(ξ) dξ . y^(x) = y^0 e x0 Если же 9x1 2 ha, bi такая, что y^(x1) = 0, то задача Коши для уравнения (4.120) с начальным условием y(x1) = 0 имеет два решения y^(x) и y(x) 0. В силу замечания 4. 3 решение задачи Коши единственно, поэтому y^(x) 0, а следовательно, задается формулой (4.15) при C = 0. Итак, доказано, что общее решение уравнения (4.120) определено на всем ha, bi и задается формулой (4.15). Формула (4.16), очевидно, является частным случаем формулы (4.15), поэтому задаваемая ею функция y(x) является решением уравнения (4.120). Кроме того, x R0 p(ξ) dξ y(x0) = y0 e x0 = y0 , поэтому формула (4.16) действительно задает решение задачи Коши (4.120), (4.14). Теорема 4. 2 доказана. Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (4.12). Теорема 4. 3. Пусть p(x), q(x) 2 C (ha, bi). Òогда справедливы следующие утверждения: 1) любое решение уравнения (4.12) определено на всем промежутке ha, bi; 2) общее решение неоднородного уравнения (4.12) задается формулой Z R R R p(x) dx p(x) dx q(x)e p(x) dx dx, (4.17) y(x) = Ce +e где C произвольная константа; 3) решение задачи Êоши (4.12), (4.14) задается формулой Rx y(x) = y0 e x0 Zx p(ξ) dξ + q(ξ)e x0 -60- Rx ξ p(θ) dθ dξ. (4.18) Доказательство. В соответствии с теоремой 4. 1 и формулой (4.13) yон = yоо + yчн требуется найти частное решение уравнения (4.12). Для его нахождения применим так называемый метод вариации произвольной постоянной. Суть этого метода заключается в следующем: берем формулу (4.15), заменяем в ней константу C на неизвестную функцию C(x) и ищем частное решение уравнения (4.12) в виде yчн (x) = C(x) e R p(x) dx . (4.19) Подставим yчн (x) из (4.19) в уравнение (4.12) и найдем C(x) так, чтобы это уравнение удовлетворялось. Имеем R R 0 yчн (x) = C 0 (x) e p(x) dx + C(x) e p(x) dx p(x) . Подставляя в (4.12), получим C 0 (x) e R p(x) dx + C(x) e R p(x) dx p(x) + C(x)p(x) e R p(x) dx = q(x), откуда R C 0 (x) = q(x) e p(x) dx . Интегрируя последнее соотношение и подставляя найденное C(x) в формулу (4.19), получим, что Z R R p(x) dx yчн (x) = e q(x) e p(x) dx dx. Кроме того, в силу теоремы 4. 2 R yоо = C e p(x) dx . Поэтому используя формулу (4.13) из теоремы 4. 1, получаем, что Z R R R p(x) dx p(x) dx y(x) = yоо + yчн = Ce +e q(x)e p(x) dx dx, что совпадает с формулой (4.17). Очевидно, что формула (4.17) задает решение на всем промежутке ha, bi. Наконец, решение задачи Коши (4.12), (4.14) задается формулой Rx y(x) = y0 e Rx p(ξ) dξ x0 +e p(θ) dθ Zx Rξ p(θ) dθ q(ξ)ex0 x0 dξ. (4.20) x0 Действительно, формула (4.20) является частным случаем формулы (4.17) при C = y0 , поэтому она задает решение уравнения (4.12). Кроме того, x R0 y(x0) = y0 e x0 x R0 p(ξ) dξ +e p(θ) dθ Zx0 Rξ q(ξ)e x0 x0 x0 -61- p(θ) dθ dξ = y0 , поэтому удовлетворяются начальные данные (4.14). Приведем формулу (4.20) к виду (4.18). Действительно, из (4.20) имеем Rx y(x) = y0 e Zx p(ξ) dξ + x0 Rξ q(ξ)e x p(θ) dθ Rx dξ = y0 e Zx p(ξ) dξ + x0 x0 Rx q(ξ)e p(θ) dθ dξ, ξ x0 что совпадает с формулой (4.18). Теорема 4. 3 доказана. Ñледствие(об оценке решения задачи Коши для линейной системы). x0 2 ha, bi, p(x), q(x) 2 C (ha, bi), причем p(x) 6 K, q(x) 6 M Пусть 8 x 2 ha, bi. Òогда для решения задачи Êоши (4.12), (4.14) справедлива оценка M Kjx x0 j Kjx x0 j y(x) 6 y0 e + e 1 . K (4.21) Доказательство. Пусть сначала x > x0. Saskaņā ar (4.18), mums ir rx zx k dξ y (x) 6 y0 ex0 rx k dθ m eξ + dξ \u003d y0 ek (x x0) zx + m x0 \u003d y0 ek (x x0) ek (x ξ) Dξ \u003d X0 M + K E K (X ξ) ξ \u003d X ξ \u003d X0 \u003d Y0 E KJX X0 J M KJX + E K X0 J 1. Tagad ļaujiet X.< x0 . Тогда, аналогично, получаем x R0 y(x) 6 y0 e x K dξ Zx0 + Rξ M ex K dθ dξ = y0 eK(x0 x) Zx0 +M x = y0 e K(x0 eK(ξ x) dξ = x M x) eK(ξ + K x) ξ=x0 ξ=x M h K(x0 x) = y0 e + e K M Kjx Kjx x0 j e = y0 e + K i 1 = K(x0 x) x0 j Таким образом, оценка (4.21) справедлива 8 x 2 ha, bi. Пример 4. 2. Решим уравнение y = x2 . x Решаем сначала однородное уравнение: y0 y0 y = 0, x dy dx = , y x ln jyj = ln jxj + C, -62- y = C x. 1 . Решение неоднородного уравнения ищем методом вариации произвольной постоянной: y чн = C(x) x, Cx = x2 , x 0 C x+C 0 C = x, x2 C(x) = , 2 откуда x3 , 2 y чн = а общее решение исходного уравнения y =Cx+ x3 . 2 4. 3. Однородные уравнения Однородным уравнением называется уравнение вида y 0 y (x) = f , (x, y) 2 G, x (4.22) G – некоторая область в R2 . Áудем предполагать, что f (t) – непрерывная функция, x 6= 0 при (x, y) 2 G. Однородное уравнение заменой y = xz, где z(x) – новая искомая функция, сводится к уравнению с разделяющимися переменными. В силу данной замены имеем y 0 = xz 0 + z. Подставляя в уравнение (4.22), получим xz 0 + z = f (z), откуда z 0 (x) = 1 x f (z) z . (4.23) Уравнение (4.23) представляет собой частный случай уравнения с разделяющимися переменными, рассмотренного в п. 4.1. Пусть z = ϕ(x) – решение уравнения (4.23). Тогда функция y = xϕ(x) является решением исходного уравнения (4.22). Действительно, y 0 = xϕ 0 (x) + ϕ(x) = x 1 x f (ϕ(x)) ϕ(x) + ϕ(x) = xϕ(x) y(x) = f ϕ(x) = f =f . x x Пример 4. 3. Ðешим уравнение y0 = y x -63- ey/x . Положим y = zx. Тогда xz 0 + z = z откуда y(x) = 1 z e, x z0 = ez , dz dx = , e z = ln jzj + C, z e x z = ln ln Cx , c 6= 0, x ln ln Cx , c 6= 0. 4. 4. Уравнение Áернулли Уравнением Áернулли называется уравнение вида y 0 = a(x)y + b(x)y α , α 6= 0, α 6= 1 . x 2 ha, bi (4.24) При α = 0 или α = 1 получаем линейное уравнение, которое было рассмотрено в п. 4.2. Áудем предполагать, что a(x), b(x) 2 C (ha, bi). Замечание 4. 4. Если α > 0, tad, protams, funkcija y (x) 0 ir risinājums vienādojumu (4.24). Lai atrisinātu vienādojumu Bernilli (4.24) α 6 \u003d 0, α 6 \u003d 1, mēs sadalīt abas daļas vienādojumu uz y α. Pie α\u003e 0, ir jāņem vērā, ka saskaņā ar komentāriem 4. 4, funkcija Y (x) 0 ir šķīdums vienādojumu (4.24), kas tiks zaudēts ar šo nodaļu. Līdz ar to nākotnē tas būs nepieciešams pievienot vispārējam risinājumam. Pēc nodaļas mēs iegūstam attiecību y α y 0 \u003d a (x) y 1 α + b (x). Ievada jaunu vēlamo funkciju Z \u003d Y 1 α, tad Z 0 \u003d (1 tāpēc mēs nonākam pie vienādojuma attiecībā pret ZZ 0 \u003d (1 α) a (x) z + (1 α) y α) b (x) . α y 0, (4.25) vienādojums (4.25) ir lineārs vienādojums. Šādi vienādojumi tiek izskatīti 4.2. Punktā, ja tika iegūta vispārējā risinājuma formula, pamatojoties uz kuru Z (X) \u003d CE R (α 1) A šķīdums (x) \u003d CE R (α 1) a (x) dx + + (1 α) e r (α 1) A (x) dx 1 z b (x) e r (α 1) a (x) dx dx. (4.26.) Tad funkcija Y (x) \u003d Z 1 α (x), kur Z (x) ir definēts (4.26.), Ir Bernilli vienādojuma (4.24.) Risinājums. -64- Turklāt, kā aprakstīts iepriekš, pie α\u003e 0, risinājums ir arī funkcija y (x) 0. Piemērs 4. 4. 4. Vienādojums Y 0 + 2Y \u003d y 2 ex. (4.27) Mēs sadalīt vienādojumu (4.27) līdz y 2, un mēs aizstāsim z \u003d mēs iegūstam lineāru neomogēnu vienādojumu 1 y. Rezultātā Z 0 + 2z \u003d ex. (4.28) Mēs vispirms izlemt viendabīgu vienādojumu: Z 0 + 2Z \u003d 0, dz \u003d 2DX, Z LN JZJ \u003d 2X + C, Z \u003d CE2X, C 2 R1. Šķīdums inhomogēno vienādojumu (4.28) Mēs meklējam variāciju patvaļīgu konstante: Zn \u003d C (X) E2X, C 0 E2X 2CE2X + 2CE2X \u003d ex, c 0 \u003d ex, c (x) \u003d ex, no kurienes Zhen \u003d ex, un vienādojuma (4.28.) Z (x) \u003d CE2X + ex. Līdz ar to Bernilli vienādojuma (4.24) risinājums ir ierakstīts kā y (x) \u003d 1. EX + CE2X Turklāt vienādojuma (4.24) risinājums ir arī funkcija Y (x) Šis risinājums, ko mēs pazaudējām, kad šis vienādojums ir sadalīts y 2. 0. 4. 5. Vienādojums pilnībā diferencē uzskata, ka vienādojums diferencē m (x, y) dx + n (x, y) dx \u003d 0, (x, y) 2 g, (4.29) g ir kāds reģions R2. Šo vienādojumu sauc par pilnīgu atšķirību vienādojumu, ja ir funkcija f (x, y) 2 c 1 (g), ko sauc par potenciālu, piemēram, ka DF (x, y) \u003d m (x, y) dx + n ( X, Y) Dy, (x, y) 2 G. Pieņemsim, ka m (x, y), N (X, Y) 2 C 1 (g), un G apgabals ir viens savienots. Šajos pieņēmumos, apzinoties matemātisko analīzi (skatīt, piemēram), ir pierādīts, ka potenciāls F (X, Y) vienādojumā (4.29) pastāv (I.E. (4.29) - vienādojumu pilnīgos diferencē), ja un tikai tad, kad mans (x, y) \u003d nx (x, y) -65- 8 (x, y) 2 g. Tajā pašā laikā (x, zy) f (x, y) \u003d m (x, y) dx + n (x, y) dy, (4.30) (x0, y0), kur punkts (x0, y0) ir daži fiksēts punkts no g, (x, y) - pašreizējais punkts G, un līklīnijas integrālis tiek ņemts pa jebkuru līkni, kas savieno punktus (x0, y0) un (x, y) un visu, kas atrodas reģionā G. Ja vienādojums (4.29) ir vienādojums

Šis lekciju kurss tiek izlasīts vairāk nekā 10 gadus teorētiskās un lietišķās matemātikas studentiem Tālo Austrumu valsts universitātē. Atbilst standarta II paaudzei, bet šīm specialitātēm. Ieteicamie studenti un matemātisko ēdienu maģistranti.

Cauchy teorēma par pirmā pasūtījuma vienādojuma cauchy problēmas risinājuma esamību un unikalitāti.
Šajā punktā mēs, uzliekot dažus ierobežojumus pirmās kārtas diferenciālās vienādojuma labajā pusē, mēs pierāda, ka esamība un unikalitāte par risinājumu, ko nosaka sākotnējie dati (X0, U0). Pirmais pierādījums par atšķirīgo vienādojumu risinājuma esamību pieder Cauchy; Turpmāk pierādījums ir norādīts Picar; To veic, izmantojot secīgu tuvinājumu metodi.

SATURA RĀDĪTĀJS
1. Pirmie pasūtījuma vienādojumi
1.0. Ieviešana
1.1. Vienādojumi ar atdalošiem mainīgajiem
1.2. Vienoti vienādojumi
1.3. Vispārēji viendabīgi vienādojumi
1.4. Lineārie vienādojumi pirmās kārtas un ved uz tiem
1.5. Bernoulli vienādojums
1.6. Riccati vienādojums
1.7. Vienādojums pilnos diferenciālos
1.8. Integrējot reizinātāju. Vienkāršākie gadījumi, kad atradīsiet integrētu reizinātāju
1.9. Vienādojumi, kas nav atrisināti attiecībā pret atvasinājumu
1.10. Cauchy teorēma par pirmās kārtas izaicinājuma risinājuma esamību un unikalitāti
1.11. Īpašie punkti
1.12. Īpaši risinājumi
2. augstāku pasūtījumu vienādojumi
2.1. Pamatjēdzieni un definīcijas
2.2. N-pasūtījumu vienādojumu veidi, kas tiek atrisināti kvadrātu laikā
2.3. Starpposma integrāli. Vienādojumi, kas ļauj samazināt kārtībā
3. Lineārie diferenciālie vienādojumi pēc pasūtījuma
3.1. Pamatjēdzieni
3.2. Lineārie viendabīgie diferenciālie vienādojumi pēc pasūtījuma
3.3. Lineāra viendabīga vienādojuma secība
3.4. Heterogēnie lineārie vienādojumi
3.5. Pasūtījuma samazinājums lineārā nefrīta vienādojumā
4. Lineārie vienādojumi ar pastāvīgiem koeficientiem
4.1. Vienota lineāra vienādojums ar pastāvīgiem koeficientiem
4.2. Inhomogēnas lineāras vienādojumi ar pastāvīgiem koeficientiem
4.3. Lineārie vienādojumi otrās kārtas ar svārstīgiem risinājumiem
4.4. Integrācija ar barošanas sērijām
5. Lineārās sistēmas
5.1. Inhomogēnas un viendabīgas sistēmas. Dažas lineāro sistēmu risinājumu īpašības
5.2. Nepieciešamie un pietiekams nosacījums lineārajai neatkarībai uz lineāras viendabīgas sistēmas risinājumiem
5.3. Fundamentālas matricas esamība. Veidojot vispārēju lineārās viendabīgās sistēmas risinājumu
5.4. Visa lineārās viendabīgās sistēmas fundamentālo matricu būvniecība
5.5. Inhomogēnas sistēmas. Vispārīga risinājuma būvniecība ar patvaļīgas konstantes variācijas metodi
5.6. Lineārās viendabīgās sistēmas ar pastāvīgiem koeficientiem
5.7. Daži informācijas no matricas funkciju teorijas
5.8. Lineāro viendabīgo vienādojumu pamatmatrāla veidošana ar pastāvīgiem koeficientiem vispārējā gadījumā
5.9. Eksistences un teorēma par pirmās kārtas diferenciālo vienādojumu normālu sistēmu risinājumu funkcionālajām īpašībām
6. Stabilitātes teorijas elementi
6.1
6.2. Vienkāršākie atpūtas punktu veidi
7. Vienādojumi daļēji atvasinājumus 1. kārtas
7.1. Lineārais viendabīgs vienādojums 1. kārtas daļēju atvasinājumu
7.2. Neofomogēna lineārā vienādojums privātajos atvasinātajos finanšu instrumentos 1 pasūtījums
7.3. Divu daļēju diferenciālvienādojumu sistēma ar 1 nezināmu funkciju
7.4. Pfaffa vienādojums
8. Pārbaudes uzdevumu opcijas
8.1. Pārbaude №1
8.2. Pārbaudes numurs 2.
8.3. Pārbaudes numurs 3.
8.4. Pārbaudes numurs 4.
8.5. Pārbaudes numurs 5.
8.6. Pārbaudes numurs 6.
8.7. Pārbaudes numurs 7.
8.8. Pārbaudes numurs 8.

Bezmaksas lejupielādēt e-grāmatu ērtā formātā, skatiet un lasiet:
Lejupielādējiet grāmatu lekcijas parastajiem diferenciālvienādojumiem, Shepelev R.P., 2006 - failuKachat.com, ātra un bezmaksas lejupielāde.

Lejupielādēt PDF.
Zemāk jūs varat iegādāties šo grāmatu par labāko cenu ar atlaidi ar piegādi visā Krievijā.

"Lekcijas par parasto diferenciālvienādojumu 1. daļā tekstine teorijas elementi ir iesniegti noteikumi, kas veido pamatu parasto diferenciālo vienādojumu teorijai: ..."

- [Page 1] -

A. E. Mamontovs

Lekcijas parastām

Diferenciālvienādojumi

Vispārējā teorijas elementi

TextBook nosaka noteikumus, kas veido

parasto diferenciālvienādojumu teorijas pamatā: risinājumu jēdziens, to eksistence, unikalitāte, \\ t

atkarība no parametriem. Arī (3. panta 3. punktā, noteikta uzmanība tiek pievērsta "skaidra" risinājumam dažām vienādojumu klasēm. Rokasgrāmata ir paredzēta padziļināts pētījums Studiju kurss "Diferenciālie vienādojumi" studē Novosibirskas Valsts pedagoģijas universitātes matemātikas fakultātē.

UDC 517.91 BBK BC161.61 Priekšvārds Apmācība Izstrādāts Novosibirskas Valsts pedagoģijas universitātes matemātiskās fakultātes studentiem, kas vēlas izpētīt obligāts kurss "Diferenciālo vienādojumu" plašākā apjomā. Lasītājiem tiek piedāvāti galvenie jēdzieni un rezultāti, kas veido parasto diferenciālo vienādojumu teorijas pamatu: lēmumu jēdziens, teorēmas par to esamību, unikalitāti atkarībā no parametriem. Aprakstītais materiāls ir atspoguļots loģiskā neatdalāmā teksta formā § 1., 2., 4., 5. arī (§ 3, stāvot ar vairākām savrupmāju un uz laiku pārtraucot galveno pavedienu kursa) īsi apsvērt visprasīgākās metodes "skaidri" atrast dažu vienādojumu klasēs. Pirmajā lasījumā 3.§ Jūs varat izlaist bez būtiskiem bojājumiem kursa loģiskajai struktūrai.

Vingrinājumi ir svarīga loma, lielos daudzumos iekļauti tekstā. Lasītājs ir ļoti ieteicams asināt savus "karstos pikseļus", kas garantē materiāla asimilāciju un kalpo kā tests. Turklāt bieži šie vingrinājumi aizpilda loģisku audu, tas ir, neatrisinot tos, ne visi noteikumi tiks stingri pierādīta.

Kvadrātā kronšteinos teksta vidū tika veikti komentāri, kas sedz komentāru lomu (paplašinātas vai sānu skaidrojumus). Leksiski šie fragmenti pārtrauc galveno tekstu (I.E., saskaņotu lasījumu, viņiem ir nepieciešams, lai "nepamanītu"), bet tomēr tie ir nepieciešami kā paskaidrojums. Citiem vārdiem sakot, šie fragmenti ir jāuztver, it kā tie tiktu ievietoti laukos.

Teksts ir atsevišķi kategorizēti "komentāri par skolotāju" - tos var izlasīt, lasot studentus, bet noderīgi skolotājam, kurš izmantos rokasgrāmatu, piemēram, lasot lekcijas - tie palīdz labāk izprast kursa loģiku un norāda kursa iespējamo uzlabojumu virziens (paplašinājumi). Tomēr šo komentāru attīstību studentiem var atbalstīt tikai.

Līdzīgu lomu spēlē "pamatojums skolotājam" - tie ir ārkārtīgi saspiestā formā, sniedz pierādījumus par dažiem noteikumiem, ko lasītājam piedāvāja kā vingrinājumi.

Visbiežāk sastopamie (taustiņi) noteikumi tiek izmantoti saīsinājumu veidā, kuru saraksts ir norādīts ērtībai beigās. Ir pieejams arī tekstā sastopamo matemātisko apzīmējumu saraksts, bet nav saistīts ar visizplatītāko (un / vai literatūrā nav viennozīmīgu).

Simbols ir pierādījuma beigas, apstiprinājuma formulēšana, komentāri utt. (Ja tas ir nepieciešams, lai izvairītos no neskaidrībām).

Formulu numerācija ir neatkarīga katrā punktā. Kā atsauce uz daļu no formulas, tiek izmantoti indeksi, piemēram, (2) 3 ir 3. daļa no formulas (2) (fragmenti, atdalītas tipogrāfiskās telpas, un no loģiskām pozīcijām - Ligament "un").

Šī rokasgrāmata nevar pilnībā aizstāt subjekta dziļu izpēti, kas prasa neatkarīgus vingrinājumus un lasot papildu literatūru, kuru saraksts ir norādīts rokasgrāmatas beigās. Tomēr autors mēģināja izklāstīt teorijas galvenos noteikumus pietiekami saspiestā formā, kas piemērota lekciju kursam. Šajā sakarā jāatzīmē, ka lasot lekciju kursu, šajā rokasgrāmatā notiek aptuveni 10 lekcijas.

Izdevums vēl 2 daļām (apjomiem), kas turpina šo rokasgrāmatu, un pašreizējais lekciju cikls par "parasto diferenciālo vienādojumu", ir plānots: 2. daļa (lineārie vienādojumi), 3. daļa (turpmāka teorija nelineāriem vienādojumiem, vienādojumu vienādojumu daļēji atvasinājumi no pirmās kārtas).

§ 1. IEVADS Diferenciālvienādojums (DB) ir attiecība veidlapas U1 U1 ANO, augstāko atvasinājumu FY, U (Y), ..., \u003d 0, Y1 Y2 YK (1), kur y \u003d (Y1 ,. .., yk) RK - neatkarīgi mainīgie, un u \u003d u (y) - nezināmas funkcijas1, u \u003d (U1, ..., ANO). Tādējādi (1) ir N nezināms, lai būtu nepieciešami N vienādojumi, I.E. F \u003d (F1, ..., FN), tāpēc (1) ir, parasti runājot, sistēma no N vienādojumiem. Ja nezināma funkcija ir viena (n \u003d 1), tad vienādojums (1) ir skalārs (viens vienādojums).

Tātad, funkcija (-as) f ir iestatīta (-as), un tiek meklēts u. Ja k \u003d 1, tad (1) sauc par ODU, un citādi - uch. Otrs gadījums ir objekts īpašo kursu UMF, kas izklāstīti sērijā mācību grāmatas. Šajā sērijā pabalstu (kas sastāv no 3 daļām-apjomiem), mēs pētīsim tikai ODU, izņemot pēdējo daļu no pēdējās daļas (tilpuma), kurā mēs sāksim mācīties dažus konkrētus gadījumus UCH.

2u u piemērs. 2 \u003d 0 - tas ir steidzams.

y1 y nezināmas vērtības u var būt reāla vai sarežģīta, kas ir nenozīmīga, jo šis brīdis attiecas tikai uz ierakstu vienādojumu veidā: jebkuru visaptverošu ierakstu var pārvērst par reālu, atdalot reālās un iedomātās daļas (bet, protams, , divkāršo vienādojumu skaitu un nezināmu), un otrādi, dažos gadījumos tas ir ērti pāriet uz integrētu ierakstu.

du d2v DV · 2 \u003d UV; U3 \u003d 2. Šī ir 2 ODE piemēra sistēma.

dy Dy Dy 2 Nezināmas funkcijas no neatkarīgas pārmaiņus y.

Ja k \u003d 1 (ODU), tad tiek izmantota "Direct" ikona d / dy.

u (y) du piemērs. Exp (Sin Z) DZ ir ORD, jo tai ir piemērs. \u003d U (u (y)) pie n \u003d 1 nav tālvadības pults, bet funkcija ir attīstīta diferenciālo vienādojumu.

Tas nav tālvadības pults, bet integrētu vienādojums, mēs neizmeklēsim šādus vienādojumus. Tomēr (2) vienādojums ir viegli samazināts līdz ODU:

Vingrinājums. Samazināt (2) uz ODU.

Bet kopumā integrēti vienādojumi ir sarežģītāks objekts (tas ir daļēji pētīts kursā funkcionālās analīzes), lai gan, kā mēs redzēsim zemāk, tas ir ar savu palīdzību, ka daži rezultāti tiek iegūti ODU.

Du rodas gan no intramathematikas vajadzībām (piemēram, diferenciālā ģeometrijā) un pieteikumos (vēsturiski pirmo reizi, un tagad galvenokārt fizikā). Vienkāršākais DU ir "diferenciālā aprēķins" pamata uzdevums par funkcijas atjaunošanu saskaņā ar tā atvasinājumu: \u003d h (y). Kā zināms no analīzes, tās lēmumam ir forma u (y) \u003d + h (s) ds. Vairāk General DU saviem risinājumiem ir nepieciešamas īpašas metodes. Tomēr, kā mēs redzēsim, gandrīz visas metodes, lai risinātu Odu "skaidri", ir būtiski samazināts līdz norādītajam triviālajam gadījumam.

Visbiežāk lietojumprogrammās kodekss rodas, aprakstot procesus, kas attīstās laikā, tā, ka neatkarīga mainīgā loma parasti spēlē laiku t.

tādējādi ODU nozīme šādos pieteikumos ir aprakstīt sistēmas parametru izmaiņas laika gaitā, kas ir ērta, veidojot vispārējā teorija Ode apzīmē neatkarīgu mainīgo caur t (un to sauca ar laiku ar visiem terminoloģisko seku sekām) un nezināmā funkcija (AI) - caur X \u003d (X1, ..., XN). Tādējādi vispārējais skats uz ODU (System ODU) ir šāds:

kur f \u003d (F1, ..., fn) ir tas, ka e. Šī ir N ODU sistēma N funkcijām x, un, ja n \u003d 1, tad viens Ode par 1 funkciju x.

Šajā gadījumā x \u003d x (t), t r, un x kopumā runājot ir sarežģīts (tas ir ērtības, jo tad dažas sistēmas ir kompaktiski ierakstītas).

Ir teikts, ka sistēmai (3) ir pasūtīts m uz XM funkciju.

Atvasinātie finanšu instrumenti tiek saukti par vecākiem, un pārējie (ieskaitot xm \u003d) - jaunāki. Ja visi m \u003d, tad viņi vienkārši saka, ka sistēmas secība ir vienāda.

True, bieži vienas kārtība tiek saukta par numuru m, kas ir arī dabiski, jo tas kļūst skaidrs tālāk.

Jautājums par nepieciešamību izpētīt ODU un to pieteikumus, mēs uzskatām par pietiekami saprātīgām citām disciplīnām (diferenciālo ģeometriju, matemātisko analīzi, teorētisko mehāniku utt.), Un tas ir daļēji sedz praktiskā apmācībā problēmu risināšanā (piemēram, piemēram, no uzdevuma). Šajā kursā mēs iesaistīsimies tikai matemātiskai pētījumam par veidlapas (3), kas nozīmē atbildi uz šādiem jautājumiem:

1. Ko nozīmē "izlemt" vienādojumu (sistēma) (3);

2. Kā to izdarīt;

3. Kādas īpašības ir šie lēmumi, kā tos izpētīt.

1. jautājums nav tik acīmredzams, kā šķiet - skatīt zemāk. Nekavējoties atzīmējiet, ka jebkura sistēma (3) var samazināt līdz pirmajai pasūtījuma sistēmai, apzīmējot jaunākos atvasinājumus kā jaunas nezināmas funkcijas. Vienkāršākais ir izskaidrot šo procedūru, izmantojot piemēru:

5 vienādojumi 5 nezināmiem. Ir viegli saprast, ka (4) un (5) ir līdzvērtīgas tādā nozīmē, ka viena no tām (pēc attiecīgās atkārtotas iesniegšanas) ir otras puses risinājums. Tajā pašā laikā būtu jāapzinās tikai jautājums par lēmumu gludumu - tas tiks darīts tālāk, kad mēs sastapamies ar augstāku kārtību (t.i. nav pirmais).

Bet tagad ir skaidrs, ka tas ir pietiekami, lai izpētītu tikai vienu no pirmās kārtas, un citi var būt nepieciešami tikai ērtībai nosaukumu (šī situācija reizēm notiks).

Un tagad mēs ierobežojam sevi no pirmās kārtības:

dimx \u003d dimf \u003d n.

Vienādojuma (sistēmas) (6) pētījums ir neērts sakarā ar to, ka tas nav atrisināts attiecībā pret DX / DT atvasinājumiem. Kā zināms no analīzes (no teorēmas par netiešo funkciju), ar noteiktiem nosacījumiem uz F, vienādojumu (6) vienādojumu var atrisināt attiecībā pret DX / DT un uzrakstīt to tādā formā, kur F: rn + 1 rn ir ir vēlams, un X: rn. Ir teikts, ka (7) ir ODU, kas ir atļauta attiecībā pret atvasinājumiem (parastā forma). Pārejas laikā no (6) līdz (7), protams, var rasties grūtības:

Piemērs. Exp (x) \u003d 0 vienādojumu nevar ierakstīt formā (7), un nav risinājumu vispār, tas ir, EXP nav nulles pat sarežģītajā plaknē.

Piemērs. X 2 + X2 \u003d 1 vienādojums ir rakstīts divu normālu ODE X \u003d ± 1 x2 formā. Katrs no tiem ir jāatrisina un pēc tam jāinterpretē rezultāts.

Komentēt. Informācijai (3) līdz (6), var rasties grūtības, ja (3) ir 0 kārtība dažām funkcijām vai funkciju daļai (I.E. Tas ir funkcionāls diferenciālais vienādojums). Bet tad šīs funkcijas ir jāizslēdz teorēma par netiešo funkciju.

Piemērs. x \u003d y, xy \u003d 1 x \u003d 1 / x. Ir nepieciešams atrast x no iegūtā ODU, un tad y no funkcionālā vienādojuma.

Bet jebkurā gadījumā pārejas problēma no (6) līdz (7) ir balstīta uz matemātiskās analīzes jomu nekā DU, un mēs to nedarīsim. Tomēr, risinot Ode (6), interesanti momenti var rasties no viedokļa, tāpēc šis jautājums ir piemērots, lai pētītu uzdevumus (kā tas tiek darīts, piemēram, B), un tas tiks nedaudz ietekmēts 3.pantā. Bet Pārējā kursa laikā mēs risināsim tikai normālas sistēmas un vienādojumus. Tātad, apsveriet ODU (System Odu) (7). Mēs to rakstām 1 reizi pumidācijas formā:

Jēdziens "risināšana" (7) "(un kopumā, jebkurš) ilgu laiku tika uzskatīts par meklēšanu" skaidra formula ", lai atrisinātu (ti, pamatfunkcijas, to primāro vai īpašo funkciju veidā, uc), bez akcenta par risinājuma gludumu un tās definīcijas intervālu. Tomēr pašreizējā valsts teorijas ODU un citām sadaļām matemātikas (un vispārējās zinātnēs) liecina, ka šāda pieeja ir neapmierinoša - vismaz tāpēc, ka Odus īpatsvars, kas giveaway uz šādu "skaidru integrāciju" ir ārkārtīgi maza (pat par Vienkāršākais Ode X \u003d F (t) Ir zināms, ka risinājums pamatfunkcijām ir reti, lai gan ir "acīmredzama formula").

Piemērs. X2 vienādojums \u003d T2 + X2, neskatoties uz tās ārkārtējo vienkāršību, nav risinājumu elementārās funkcijās (un tur ir pat "nav formulas").

Un, lai gan jūs zināt ODU klases, par kuru ir iespējams "skaidri" risinājums (tādā pašā veidā, kā tas ir lietderīgi "skaitīt integrālus", kad tas ir iespējams, lai gan tas ir iespējams ārkārtīgi reti), Šajā sakarā noteikumi ir raksturīgi: "initengreratori ODU", "Integral ODU" (novecojuši analogi mūsdienu koncepcijas "Atrisināt ODU", "Lēmums ODU"), kas atspoguļo iepriekšējās koncepcijas par lēmumu. Kā saprast mūsdienu ziņā, mēs tagad norādīsimies.

un šis jautājums tiks izskatīts 3. punktā (un arī tradicionāli liela uzmanība tiek pievērsta viņam, risinot problēmas praktiskajās nodarbībās), bet nevajadzētu gaidīt jebkuru daudzpusību no šīs pieejas. Parasti saskaņā ar lēmumu pieņemšanas procesu mēs sapratīsim pilnīgi atšķirīgus soļus.

Būtu jāprecizē, kuru funkciju X \u003d X (t) var saukt par risinājumu (7).

Pirmkārt, mēs atzīmējam, ka atrisināšanas jēdziena skaidrā formulējums nav iespējams, nenorādot iestatījumu, uz kuru tas ir noteikts, ja tikai tāpēc, ka risinājums ir funkcija, un jebkura funkcija (saskaņā ar skolas definīciju) ir likums, kas atbilst Jebkurš konkrēta komplekta elements (ko sauc par definēšanas reģionu šo funkciju) daži cita komplekta elements (funkciju vērtības). Tādējādi tas ir absurds pēc definīcijas, nenorādot tās definīcijas jomu. Analītiskās funkcijas (plašāk elementārāks) kalpo šeit "izņēmums" (maldinoša) zemāk minētajiem iemesliem (un daži citi), bet gadījumā, ja šāda brīvība ir nepieņemama.

un kopumā, nenorādot visus 7. punktā iesaistīto funkciju definēšanas komplektus. Turpmāk būs ieteicams stingri saīsināt risināšanas koncepciju ar daudzu tās definīciju un apsveriet dažādus risinājumus, ja to definīcijas kopas ir atšķirīgas, pat ja šo komplektu krusti sakrīt.

Visbiežāk, konkrētās situācijās tas nozīmē, ka, ja risinājumi ir veidoti elementāru funkciju veidā, lai 2 risinājumiem būtu "identiska formula", tad ir jāpārbauda, \u200b\u200bvai sakrīt, vai šīs formulas ir rakstītas, ir sakritušas. Apjukums uz ilgu laiku valdīja šajā jautājumā, bija izslēgšana, bet lēmumi tika ņemti vērā elementāru funkciju veidā, jo analītiskās funkcijas skaidri turpinās plašākos intervālos.

Piemērs. X1 (t) \u003d et uz (0,2) un x2 (t) \u003d et uz (1,3) - dažādi šķīdumi X \u003d X.

Tajā pašā laikā, protams, jebkura risinājuma definīcijas kvalitāte, lai ņemtu atvērtu intervālu (varbūt nebeidzamu), jo šim kopumam jābūt:

1. Atvērt, lai jebkurā brīdī ir lietderīgi runāt par atvasināto instrumentu (divpusēju);

2. Svyaznoy, lai risinājums netiktu piemērots nesakarīgiem gabaliem (šajā gadījumā tas ir ērtāk runāt par vairākiem risinājumiem) - skatīt iepriekšējo piemēru.

Tādējādi šķīdums (7) ir pāris (, (A, B)), ja B + ir definēts (A, B).

Komentēt skolotāju. Dažās mācību grāmatās ir atļauts iekļaut segmenta beigas šajā jomā, lai noteiktu lēmumu, bet tas nav piemērots sakarā ar to, ka tikai sarežģī prezentāciju, un reālā vispārināšana nedod (skatīt § 4).

Lai atvieglotu turpmāku pamatojumu, ir lietderīgi izmantot ģeometrisko interpretāciju (7). Kosmosa rn + 1 \u003d ((t, x)) katrā (t, x)), kur f ir definēts, var uzskatīt vektors f (t, x). Ja jūs izveidojat risinājuma grafiku (7) šajā telpā (to sauc par sistēmas neatņemamu līkni (7)), tad tas sastāv no veidlapas punktiem (t, x (t)). Kad T (A, B) ir mainīta, šis punkts pārvietojas pa IR. IR tangentam pie punkta (t), ir veidlapa (1, x (t)) \u003d (1, F (t, x (t))). Tādējādi, IR ir tie, un tikai tās līknes RN + 1 telpā, kas katrā no savas point (t, x) ir tangenciāla, paralēlā vektoru (1, F (t, x)). Šajā idejā tas tika uzcelts tā sauktajā. ISOCline metode par aptuveno būvniecību IR, kas tiek izmantota kā konkrētas Odus risinājumu grafiki (sk.

piem.). Piemēram, n \u003d 1, mūsu būvniecība ir šādi: Katrā punktā ir tā slīpums uz T Axis ir īpašums TG \u003d F (T, X). Ir dabiski pieņemt, ka, veicot jebkuru punktu no definēšanas f, mēs varam tērēt IR caur to. Šī ideja būs stingri pamatota tālāk. Kamēr mums trūkst stingra risinājumu gluduma formulēšana - tas tiks veikts zemāk.

Tagad ir nepieciešams precizēt B komplektu, kas definē f. Tas ir daudz dabiski ņemt:

1. Atvērts (tā, ka IR var būvēt jebkura punkta no B), 2. Pievienots (citādi visus pievienotos gabalus var uzskatīt - jebkurā gadījumā, IR (kā nepārtrauktas funkcijas diagramma) nevar izlēkt no viens gabals citā, lai sabiedrības risinājumu meklējumi neietekmēs).

Mēs apsvērsim tikai klasiskus risinājumus (7), tādi, ka X un tā X ir nepārtraukts (a, b). Tad, protams, ir nepieciešams f c (b). Tālāk, šī prasība būs nozīmīga ar mums. Tātad, mēs beidzot saņēmu definīciju. Ļaujiet b rn + 1 būt apgabals, f c (b).

Pāris (A, B)), AB +, nosaka (A, B), sauc par šķīdumu (7), ja C (A, B), katru reizi T (A, B), (t, (T)) b un pastāv (t) ar (t) \u003d f (t (t)) (pēc tam automātiski C1 (a, b)).

Tas ir ģeometriski skaidrs, ka (7) būs daudz risinājumu (kas ir viegli saprast grafiski), jo, lai veiktu IR, sākot ar punktiem formas (T0, X0), kur T0 ir fiksēts, tad mēs saņemsim Dažādi IR. Turklāt lēmuma definīcijas intervāla izmaiņas dos citu risinājumu saskaņā ar mūsu definīciju.

Piemērs. x \u003d 0. šķīdums: X \u003d \u003d const rn. Tomēr, ja izvēlaties kādu T0 un izlabojiet šķīduma vērtību X0 punktu t0: x (t0) \u003d x0, vērtība ir definēta unikāla: \u003d x0, tas ir, risinājums ir unikāls ar intervāla atlases precizitāti (A, b) t0.

"Sejas" klātbūtne ir neērta strādāt ar NIMI2 - tas ir ērtāk "importēt" tos šādi: Pievienot (7) papildu nosacījumiem, lai izceltu vienīgo (noteiktā nozīmē) lēmumu un pēc tam pārdzīvo šos apstākļus, darbs ar katru šķīdumu ir atsevišķa (ģeometriski šķīdums var būt viens (IR), un ir daudz gabalu - ar šīm neērtībām izskatīsies vēlāk).

Definīcija. Uzdevums (7) ir (7) ar papildu nosacījumiem.

Mēs būtiski izgudrojām vienkāršāko uzdevumu - tas ir uzdevums Cauchy: (7) ar formas nosacījumiem (Cauchy dati, sākotnējie dati):

C Pieteikumu viedoklis Šis uzdevums ir dabisks: piemēram, ja (7) apraksta dažu parametru x izmaiņas ar laiku t, tad (8) nozīmē, ka dažos (sākotnējā) brīdī ir zināms parametru vērtība . Ir nepieciešams apgūt citus uzdevumus, mēs par to runāsim vēlāk, bet tagad mēs koncentrēsimies uz Cauchy uzdevumu. Protams, šis uzdevums ir jēga (T0, X0) B. Attiecīgi problēmas risinājumu (7), (8) sauc par šķīdumu (7) (iepriekš minētās definīcijas izpratnē), piemēram, T0 (A, B) un tiek izpildīts (astoņi).

Mūsu tuvākais uzdevums ir pierādīt Cauchy problēmas risinājuma esamību (7), (8), un ar noteiktu papildu piemēru - kvadrātveida vienādojumu, labāk ir rakstīt X1 \u003d ..., x2 \u003d ... x \u003d b / 2 ± ...

pieņēmumi par f - un tās unikalitāti noteiktā nozīmē.

Komentēt. Mums ir jāprecizē vektora un matrica normas jēdziens (lai gan matricas būs vajadzīgas tikai 2. daļā). Sakarā ar to, ka galīgo dimensiju telpā visi noteikumi ir līdzvērtīgi, konkrētas normas izvēle nav svarīga, ja mēs esam ieinteresēti tikai kā aplēses, nevis precīzas vērtības. Piemēram, vektoriem, kurus varat pieteikties | x | p \u003d (| xi | p) 1 / p, p - Peano segments (Pickara). Apsveriet konusu k \u003d (| x x0 | f | t t0 |) un tā atdalītā daļa k1 \u003d k (t ip). Ir skaidrs, ka tikai k1 C.

Teorēma. (Peano). Ļaujiet FOR prasībām šajā problēmas (1), kas norādīta, nosakot šķīdumu, t.i.:

f C (b), kur b ir apgabals RN + 1. Tad, vispār (t0, x0) b, ir risinājums uzdevumu (1).

Pierādījumi. Novietots patvaļīgi (0, t0] un būvēt tā saukto. Eulera lakars ar soli, proti: tas ir sadalīts RN + 1, kurā katrai saiknei ir projekcija uz AXIS t garš, pirmā saite uz Tiesības sākas pie punkta (T0, X0), un tas ir tas, ka tas ir dx / dt \u003d f (t0, x0); šīs saites tiesības (T1, X1) kalpo kā otrā kreisā gala, uz kura DX / Dt \u003d f (t1, x1) utt. un līdz ar to B), tāpēc būvniecība ir pareiza - par to patiesībā un tika veikta palīgbūve pirms teorēma.

Patiesībā, visur, izņemot pārtraukuma punktus, un tad (s) (t) \u003d (z) DZ, kur ir patvaļīgas atvasinātās vērtības pie pārtraukuma punktiem.

Tajā pašā laikā (pārvietojas pa indukcijas mūžu), jo īpaši, | (T) x0 | F | t t0 |.

Tādējādi IP funkcijās:

2. Vienlīdzīgi nepārtraukti, jo lipshtsy:

Šeit, ja nepieciešams, atsvaidziniet savas zināšanas par šādiem jēdzieniem un rezultātiem kā: taisnīga nepārtrauktība, vienota konverģence, Arzel Ascol teorēma utt.

Ar Arzel-Ascol teorēms ir secība K 0, ka K IP, kur C (IP). Ar būvniecību (T0) \u003d X0, tāpēc joprojām ir jāpārbauda, \u200b\u200bvai mēs to pierādīsim s t.

Vingrinājums. Līdzīgs apsvērt s t.

Komplekts 0, un mēs atrodam 0, lai visiem (T1, X1), (T2, X2) C, to var izdarīt sakarā ar f uz kompaktā C. Mēs atradīsim m n int ( IP) un veikt jebkuru S int (IP) ir tas, ka TST +. Tad visiem Z mums ir | k (z) k (t) | F, tas ir prātā (4) | k (z) (t) | 2f.

Ņemiet vērā, ka k (z) \u003d k (z) \u003d f (z, k (z)), kur Z ir bojātās griezuma kreisā gala abscissa abscissa, kas satur punktu (Z, K (z)). Bet punkts (z, k (z)) ievada cilindru ar parametriem (2f), kas uzcelta pie punkta (t) apakšpunktā) (patiesībā, pat saīsināts konuss - skatīt attēlu, bet tas nav svarīgi tagad ), Tāpēc, ņemot vērā (3), mēs iegūstam | k (z) f (t (t)) |. Par šķelto, mums ir, kā minēts iepriekš, tad formula k tas dos (2).

Komentēt. Ļaujiet F C 1 (b) būt. Tad šķīdums, kas definēts (A, B), būs C klase (a, b). Faktiski, uz (a, b) Mums ir: ir f (t, x (t)) \u003d pēdas (t, x (t)) + (t, x (t)) x (t) (šeit - Jacobi matrica) - nepārtraukta funkcija. Apkrāpt, ir arī 2 C (A, B). Jūs varat turpināt palielināt šķīduma gludumu, ja tas ir gluda. Ja f ir analītiska, tad jūs varat pierādīt analītiskā risinājuma esamību un unikalitāti (tas ir tā saukts. Cauchy teorēma), lai gan tas nedrīkst būt iepriekšējā argumentācijā!

Šeit ir nepieciešams atcerēties, kāda ir analītiskā funkcija. Nedrīkst sajaukt ar funkciju, kas ir pārstāvama ar strāvas numuru (tas ir tikai analītiskās funkcijas pārstāvība, kopumā runājot, tās definīcijas daļas)!

Komentēt. Norādītā (T0, X0), tas ir iespējams, dažāda T un R, mēģiniet maksimizēt T0. Tomēr tas parasti nav tik svarīgs, jo, lai izpētītu risinājuma pastāvēšanas maksimālo intervālu, ir īpašas metodes (sk. 4. punktu).

Perano teorēmā nekas norādīja par lēmuma unikalitāti. Ar mūsu izpratni par risinājumu, tas vienmēr nav vienīgais, jo, ja ir kāds risinājums, tad tās samazināšanās būs citi risinājumi šaurākiem intervāliem. Šobrīd mēs informēsim sīkāk vēlāk (4. §), un līdz šim, unikalitāti mēs saprotam jebkādu divu risinājumu sakritība to definīcijas intervālu krustojumā. Pat šajā ziņā Peano Theorem neko nesaka par unikalitāti, ka tas nav nejauši, jo nav iespējams nodrošināt unikalitāti.

Piemērs. n \u003d 1, f (x) \u003d 2 | x |. Cauchy problēma ir triviāls risinājums: X1 0, un papildus X2 (t) \u003d t | t |. No šiem diviem risinājumiem var apkopot visu 2-parametru ģimenes ģimeni:

kur + (nebeidzamas vērtības nozīmē attiecīgās filiāles neesamību). Ja jūs rēķināties ar visu šo risinājumu definēšanas jomu, tad viņi joprojām ir bezgalīgi daudz.

Mēs atzīmējam, ka, ja jūs piemērojat pierādījumus par Peano teorēmu caur šķelto Euler, tad tikai nulles risinājums būs. No otras puses, ja procesā, veidojot salauztu Euler, lai katrā posmā tiktu pieļauta neliela kļūda, pat pēc tam, kad ir parametra par parametru uz nulli, visi risinājumi paliks. Tādējādi Peano teorēma un šķelto Euler ir dabiskas kā metode risinājumu veidošanai un cieši saistīta ar skaitliskām metodēm.

Piemēram, novērotās problēmas ir saistīts ar to, ka funkcija f nav izvietota ar X. Izrādās, ka, ja jūs uzspiežat papildu prasības attiecībā uz regularitāti F ar X, tad vienotību var nodrošināt, un šis solis ir noteiktā nozīmē nepieciešamo (skatīt zemāk).

Atgādināt dažus jēdzienus no analīzes. Funkciju (skalāru vai vektoru) g tiek saukts par režģi ar indikatoru (0, 1] uz komplekta, ja LipShitz stāvoklis ir pareizs. 1, tas ir iespējams tikai pastāvīgām funkcijām. Segmentā norādītā funkcija (kur Izvēle ir neatbilstoša) tiek saukta par nepārtrauktības moduli, ja viņi saka, ka G atbilst vispārējā helder stāvoklī ar moduli, ja šajā gadījumā tiek saukta par nepārtrauktības moduli g c.

Var pierādīt, ka jebkurš nepārtrauktības modulis ir nepārtrauktības modulis dažu nepārtrauktu funkciju.

Reversā fakts mums ir svarīgs, proti: jebkurai nepārtrauktai funkcijai kompaktajā ir savs nepārtrauktības modulis, t.s. apmierina (5) ar dažiem. Mēs to pierādām. Atgādināt, ka, ja tas ir kompakts, un g c (), tad tas ir vienmērīgi nepārtraukti, i.e.

\u003d (): | x y | \u003d | G (x) g (y) |. Izrādās, ka tas ir līdzvērtīgs nosacījumam (5) ar dažiem. Faktiski, ja ir, tas ir pietiekami, lai izveidotu nepārtrauktības moduli, kas (()), un pēc tam AT | x y | \u003d \u003d \u003d () Mēs iegūstam (un) patvaļīgi, X un Y var būt jebkurš.

Un otrādi, ja (5) ir taisnība, tas ir pietiekami, lai atrastu tādu (()), un pēc tam AT | x y | \u003d () Mēs saņemam, lai pamatotu loģiskās pārejas:

Par monotonu un pietiekami, lai uzņemtu apgrieztās funkcijas, un kopumā ir nepieciešams izmantot tā saukto. Vispārējās atsauksmes. Viņu pastāvēšana prasa atsevišķu pierādījumu, ka mēs neizvūsim, bet pieņemsim tikai teikt ideju (ir lietderīgi pavadīt lasīšanas rasējumus):

attiecībā uz jebkuru F, mēs definējam f (x) \u003d min f (y), f (x) \u003d max f (y) ir monotonu funkcijas, un tās ir apgrieztas. VVIF ir viegli pārbaudīt, vai x x f (f (x)), f) 1 (f (x)) x, f (f) 1 (x)) x.

Labākais nepārtrauktības modulis ir lineārs (Lipschits stāvoklis). Tie ir "gandrīz diferencējamas" funkcijas. Lai sniegtu stingru sajūtu, jaunākajam paziņojumam ir vajadzīgi daži centieni, un mēs ierobežosimies ar diviem komentāriem:

1. Stingri runājot, ne visas Lipschitz funkcija diferencēt, kā piemērs g (x) \u003d | x | uz r;

2. Bet no diferencējošām sekas lipksaudzībai, kā parādīts šāds paziņojums. Jebkura funkcija g, kas ir visi m uz izliekta komplektā, atbilst Lipschitz stāvoklim uz tā.

[Lai gan īsumam, apsveriet skalar funkcijas g.] Pierādījums. Visiem X, Y mums ir skaidrs, ka šis paziņojums attiecas uz vektora funkcijām.

Komentēt. Ja f \u003d f (t, x) (vispārīgi runājot, vektora ilustrācija), tad jūs varat ievadīt jēdzienu "F lipschitsev x", I.E. | F (t, x) f (t, y) | C | XY |, un arī pierādīt, ka, ja D ir izliekta X visiem t, tad LipshetaVity F ar X d, tas ir pietiekami, lai būtu atvasinājumi f ar X, ierobežota paziņojumā, ko mēs saņēmām aprēķinu | g ( x) g (y) | caur X Y |. Ar n \u003d 1, tas parasti tiek darīts, izmantojot ierobežotu pieauguma formulu: g (x) g (y) \u003d g (z) (XY) (ja g ir vektora funkcija, tad Z ir pats par katru komponentu). Par n 1 ir ērti izmantot šādu analogu par šo formulu:

Lemma. (Adamara). Ļaujiet f c (d) būt (parasti runājot, vektora funkciju), kur D (t \u003d t) izliekta jebkurā t, un f (t, x) f (t, y) \u003d a (t, x, y) · (XY), kur ir nepārtraukta taisnstūra matrica.

Pierādījumi. Ar jebkuru fiksētu t, mēs piemērojam aprēķinu no apstiprinājuma pierādījumiem par \u003d D (t \u003d t), g \u003d fk. Mēs iegūstam vēlamo pārstāvību ar a (t, x, y) \u003d A faktiski nepārtraukta.

Atgriezīsimies pie jautājuma par problēmas risinājuma unikalitāti (1).

Mēs liksim šo jautājumu kā šis: kas būtu nepārtrauktības modulis F līdz X, lai šķīdums (1) ir vienīgais lieta tādā nozīmē, ka 2 risinājumi, kas definēti tādā pašā intervālā? Atbilde tiek sniegta šādā teorēmā:

Teorēma. (Osgood). Ļaujiet saskaņā ar nosacījumiem, ko Peano nepārtrauktību X B, I.E. Nevienlīdzības funkcija atbilst nosacījumam (c). Tad problēma (1) nevar būt divi dažādi risinājumi, kas definēti vienā veidlapas intervālā (T0 A, T0 + B).

Salīdzināt ar piemēru starpsavienojuma iepriekš.

Lemma. Ja Z C1 (,), tad visi (,):

1. Punktos, kur Z \u003d 0 pastāv | Z | un || z | | | Z |;

2. Punktos, kur Z \u003d 0, ir vienpusēji atvasinājumi | Z | ± un || z | ± | \u003d | z | (Jo īpaši, ja Z \u003d 0, tad pastāv | Z | \u003d 0).

Piemērs. n \u003d 1, z (t) \u003d t. Pie t \u003d 0 atvasinājums no Z | Nav, bet ir vienpusēji atvasinājumi.

Pierādījumi. (Lemmas). Tajos punktos, kur Z \u003d 0, Hasz · Z IT: pastāv | z | \u003d, un || z | | | Z |. Tajos punktos t, kur z (t) \u003d 0, mums ir:

1. gadījums: Z (t) \u003d 0. Tad mēs esam eksistence | Z | (T) \u003d 0.

2. gadījums: Z (t) \u003d 0. Tad pie +0 vai 0 Ochiz (T +) | | Z (t) | Kuru modulis ir vienāds | Z (t) |.

Ar stāvokli, F C 1 (0,), F 0, F, F (+0) \u003d +. Ļaujiet Z1,2 būt diviem šķīdumiem (1), ko nosaka (T0, T0 +). Apzīmēt z \u003d z1 z2. Mums ir:

Pieņemsim, ka tas ir T1 (noteikti T1 T0) tāda, ka Z (T1) \u003d 0. SET A \u003d (T T1 | Z (t) \u003d 0) nav tukšs (t0 a) un ierobežots no augšas. Tas nozīmē, ka tai ir augšējā seja T1. Ar konstrukciju, Z \u003d 0 uz (, T1), un sakarā ar nepārtrauktību Z, mums ir z () \u003d 0.

Lemma | z | C 1 (, T1), un šajā intervālā pa labi | z | | Z | z | (| Z |), lai programmatūras integrācija (t, t1) (ja t (, T1)) dod F (| z (t) |) F (| Z (T1) |) T1 T. Ar T + 0, mēs saņemam pretrunu.

1. Ja saskaņā ar nosacījumiem Peano F teorēms, Lipshitsev atbilstoši X B, tad problēma (1) ir viens risinājums, kas aprakstīts Osgood teorēmā, jo šajā gadījumā () \u003d c apmierina (7 ).

Korolkars 2. Ja saskaņā ar Peaano C (b) teorēmu, tad šķīdums (1), kas definēts INT (IP), vienīgais.

Lemma. Jebkurš lēmums (1), kas definēts IP, ir nepieciešams, lai apmierinātu vērtējumu X | \u003d | F (t, x) | F, un tā grafiks - meli k1, un vēl jo vairāk tā C.

Pierādījumi. Pieņemsim, ka būs t1 IP tāds, ka (t, x (t)) C. Defititiskībai, ļaujiet T1 T0. Tad ir t2 (t0, t1] tāds, ka | X (t) x0 | \u003d R. Līdzīgi, tad argumenti pierādījumos Osca teorēmu var uzskatīt, ka T2 ir visvairāk pa kreisi šādu punktu, un mums ir (t , X (t)) c, tāpēc | f (t, x (t)) | f, un līdz ar to (t, X (t)) K1, kas ir pretrunā | X (T2) x0 | \u003d R. tā, (t , X (t)) c visu IP un pēc tam (atkārtojot aprēķinus) (t, x (t)) k1.

Pierādījumi. (COROLLARY 2). C ir kompakts mnof, kas f lipszytsev programmatūru C, kur grafiki atrodas visus risinājumus, ņemot vērā Lemmu. Pēc izmeklēšanas 1 mēs saņemam vēlamo.

Komentēt. Nosacījums (7) nozīmē, ka Lipschitz nosacījums F nevar būtiski vājināt. Piemēram, helder c 1 stāvoklis vairs nav piemērots. Tikai nepārtrauktības moduļi ir tuvu lineāram - piemēram, saķerim "slikti":

Vingrinājums. (pietiekami sarežģīts). Pierādiet, ka, ja tas atbilst (7), tad ir 1, kas atbilst (7), piemēram, 1 / ar nulli.

Kopumā nav nepieciešams pieprasīt kaut ko no nepārtrauktības moduļa F līdz X unikalitāti - dažāda veida īpašiem gadījumiem ir iespējams, piemēram:

Paziņojums, apgalvojums. Ja attiecībā uz nosacījumiem Peano teorēmu, jebkuri 2 risinājumi (1), kas definēti (9), var redzēt, ka XC 1 (A, B), un pēc tam diferenciācija (9) dod (1) 1, un (1) ) 2 Acīmredzams.

Atšķirībā no (1), par (9), ir dabiski veidot risinājumu slēgtā segmentā.

Picar ieteica atrisināt (1) \u003d (9) šādu secīgu piesaistījumu metodi. Apzīmējiet X0 (t) x0, un pēc tam uz teorijas indukcijas. (Cauchy Picara). Ļaujiet saskaņā ar nosacījumiem Peano Theorem Function F lapshitsev atbilstoši X jebkurā izliektā X kompaktajā K no reģiona B, t.e.

Tad jebkuram (T0, X0) B, Cauchy uzdevums (1) (IT (9)) ir viens risinājums IP (IP), un XK X IP, kur XK ir definēts (10).

Komentēt. Ir skaidrs, ka teorēma joprojām ir spēks, ja nosacījumu (11) aizstāj ar C (b), jo šajā stāvoklī ir (11).

Komentēt skolotāju. Faktiski, tas nav nepieciešams, lai visas izliektas programmatūra ar X kompaktām, bet tikai cilindriem, bet formulējums tiek darīts tieši tas, ka, jo § 5 vispārīgāki kompaktie būs nepieciešami, un precīzāk, tas ir tieši šis formulējums.

Pierādījumi. Izvēlieties patvaļīgi (T0, X0) B un mēs padarīs to pašu palīgbūve kā pirms Peano teorēmu. Mēs pierāda ar indukciju, ka visi XK ir definēti un nepārtraukti IP, un grafiki atrodas K1, un vēl jo vairāk tāpēc C. X0 tas ir acīmredzams. Ja tas attiecas uz XK1, tad no (10) ir skaidrs, ka XK ir definēts un nepārtraukts IP, un tas pieder K1.

Tagad mēs pierāda ar indukcijas novērtējumu IP:

(C ir izliekts ar X kompaktdisku B, un L (c) ir definēts tam). Pie k \u003d 0, tas ir pierādīts novērtējums (t, x1 (t)) k1. Ja (12) ir taisnība K: \u003d K 1, tad no (10) mums ir vajadzīgs. Tādējādi vairāki lielākie IP konverģentu skaitītāji un tāpēc (to sauc par Weierstrass teorēmu) vienmērīgi uz IP konverģē uz kādu funkciju x c (IP). Bet tas nozīmē XK X IP. Tad in (10) IP iet uz ierobežojumu un saņemt (9) IP, un līdz ar to (1) par int (IP).

Unikalitāte nekavējoties iegūst, sekojot 1 no Osgood teorēmiem, bet tas ir lietderīgi to pierādīt un citā veidā, izmantojot vienādojumu (9). Pieņemsim, ka ir 2 risinājumi X1.2 uzdevumi (1) (I.E. (9)) par int (IP). Kā minēts iepriekš, tad grafiki obligāti atrodas K1, un vēl jo vairāk tāpēc C. Ļaujiet t i1 \u003d (T0, T0 +), kur - daži pozitīvi skaitli. Tad \u003d 1 / (2L (c)). Tad \u003d 0. Tādējādi X1 \u003d X2 I1.

Komentēt skolotāju. Joprojām ir pierādījums par unikalitāti ar hronola lemmas palīdzību, tas ir vēl dabiskāks, jo tas aizņem nekavējoties visā pasaulē, bet, kamēr Hronulla lemma nav ļoti ērta, jo to ir grūti adekvāti uztvert to.

Komentēt. Pēdējais pierādījums par unikalitāti ir pamācošs, ka atkal parādās citā gaismā, jo vietējā unikalitāte noved pie globāla (kas ir nepareizs eksistenci).

Vingrinājums. Pierādīt unikalitāti tūlīt visu IP, apgalvojot no pretinieka kā pierādījumu Osgood teorēmu.

Svarīgs privāts gadījums (1) ir lineārs ODU, I.E., kurā vērtība f (t, x) ir lineāra ar X:

Šajā gadījumā, lai iekļūtu vispārējās teorijas apstākļos, šādā veidā būtu jāpieprasa, ka virkne izvirzās, un lindsery (un pat diferencējošais) nosacījums saskaņā ar X tiek automātiski izpildīts: vispār t (A, b), x, y rn mums ir f (t, x) f (t, y) | \u003d | A (t) (x y) | | A (t) | · | (X y) |.

Ja jūs uz laiku sadalāt kompaktu (A, B), tad tas tiks iegūts | F (t, x) f (t, y) | L | (x y) |, kur L \u003d max | a |.

No Peano un Osgood Theorems vai Cauchy-Picar, nepārprotama problēma (13) par kādu intervālu (Peano-picking), kas satur T0, jābūt nepārprotamai. Turklāt risinājums šajā intervālā ir robeža konsekventu piesaistīt Pickara.

Vingrinājums. Atrast šo intervālu.

Bet izrādās, ka šajā gadījumā visus šos rezultātus var pierādīt tieši globāli, t.i., par visu (A, B):

Teorēma. Ļaujiet tai būt taisnība (14). Tad problēma (13) ir viens risinājums (a, b), un secīgi tuvinājumi picking saplūšanu vienmērīgi uz jebkura kompakta (A, B).

Pierādījumi. Atkal, tāpat kā TK-P, mēs veidojam risinājumu integrālajam vienādojumam (9), izmantojot secīgus tuvinājumus ar formulu (10). Bet tagad mums nav jāpārbauda nosacījums, lai ievadītu konusu un cilindru, jo.

f ir definēts vispār x, bet t (a, b). Tas ir nepieciešams tikai, lai pārliecinātos, ka visi XK ir definēti un nepārtraukti uz (a, b), kas ir acīmredzams indukcijas.

Nevis (12), tagad mēs tagad parādīsim līdzīgu sugu tāmi, kur n ir skaitlis atkarībā no izvēles. Pirmais indukcijas solis šim cita novērtējumam (T. K. nav saistīta ar K1): par k \u003d 0 | x1 (t) x0 | N Nepārtrauktības dēļ X1, un šādi soļi ir līdzīgi (12).

Jūs nevarat gleznot to, jo tas ir acīmredzams, bet mēs varam atkal pamanīt XK X ON, un X ir atbilstošās (10) risinājums. Bet līdz ar to mēs izveidojām risinājumu par visu (A, B), jo kompakta izvēle ir patvaļīga. Unikalitāte izriet no Osgood teorēmas vai coschi-pickara (un argumentāciju virs globālās unikalitātes).

Komentēt. Kā minēts iepriekš, TC-P ir formāli ieslodzījums, jo klātbūtne Peano un Osgood teorēmas, bet tas ir noderīgi 3 iemesliem - viņa:

1. Ļauj saistīt Cauchy problēmu ODU ar neatņemamu vienādojumu;

2. aicina konstruktīvo kārtību kārtas tuvinājumu;

3. Tas ļauj viegli pierādīt globālo eksistenci lineāro Odus.

[Kaut arī pēdējo var iegūt no argumentācijas 4.§] Pēc tam mēs visbiežāk atsaukties uz to.

Piemērs. x \u003d x, x (0) \u003d 1. secīga tuvināšana nozīmē x (t) \u003d e - sākotnējā uzdevuma risinājums visā R.

Visbiežāk tiks iegūti skaitlis, bet paliek noteiktu dizainu. Varat arī novērtēt kļūdu X XK (skatīt).

Komentēt. No Peano, Osguda, teorēmu un Cauchy Picar, ir viegli iegūt atbilstošās teorēmas augstākajam pasūtījumam.

Vingrinājums. Formulēt jēdzienus par Cauchy problēmu, risinājumu sistēmas un cauchy uzdevumiem, visi teorēmas augstākajam pasūtījumam, izmantojot minimizēšanu pirmās kārtas sistēmas, kas izklāstītas 1. punktā.

Vairāki pārkāpj kursa loģiku, bet ar mērķi labāk asimilāciju un pamatot metodes, lai risinātu problēmas praktiskajās klasēs, mēs īslaicīgi pārtraucam prezentāciju par vispārējo teoriju, un mēs risināsim tehnisko problēmu par "skaidru lēmumu par ODU ".

§ 3. Dažas integrācijas metodes, apsveriet skalāru vienādojumu \u003d F (t, x). Prodt soļi privātā lietā, kas iemācījušies integrēt, ir tā saucams. URP, I.E. vienādojums, kurā f (t, x) \u003d a (t) b (x). URP integrēšanas formālā metode ir "sadalīt" mainīgos lielumus t un x (līdz ar to nosaukums): \u003d a (t) dt, un pēc tam ņemiet integrālu:

chim x \u003d b (a (t)). Šāds oficiāls pamatojums ietver vairākus punktus, kas prasa pamatojumu.

1. Lēmums par B (x). Mēs uzskatām, ka f ir nepārtraukta, tāpēc C (,), b c (,), ti., taisnstūra protīdi () ()(Vispārīgi runājot, bezgalīgs). Komplekti (b (x) 0) un (b (x) 0) atvērts un tāpēc ir ierobežots vai skaitāmu intervālu kopas. Starp šiem intervāliem ir punkti vai segmenti, kur b \u003d 0. Ja b (x0) \u003d 0, tad Cauchy uzdevums ir risinājums x X0. Varbūt šis risinājums nav vienīgais, tad tās definēšanas zonā ir intervāli, kur b (x (t)) \u003d 0, bet pēc tam var iedalīt B (x (t)). Mēs vienlaicīgi paziņot, ka šajos intervālos funkcija B monotonne, un tāpēc var veikt b 1. Ja B (x0) \u003d 0, tad apkārtnē T0 apzināti b (X (t) \u003d 0, un procedūra ir likumīga. Tādējādi aprakstītā procedūra parasti ir jāpiemēro, dalot apgabalu, lai noteiktu šķīdumu no daļas.

2. Kreiso un labo detaļu integrēšana atbilstoši dažādiem mainīgajiem lielumiem.

I. METODE Ļaujam mēs vēlamies atrast KDD (T) uzdevuma risinājumu (1) x \u003d (t). Mums ir: \u003d a (t) b (t)), no kurienes viņi stingri saņēma to pašu formulu.

II metode. Vienādojums ir tā saukts. Simetriskais ieraksts sākotnējā ODU, I.E., kas tas nav norādīts, kas mainīgais ir neatkarīgs, un kas ir atkarīgs. Šī veidlapa ir jēga tikai attiecībā uz vienu no pirmās kārtas vienādojuma, kas izskata teorēmu par pirmās diferenciālās formas neiespējamību.

Ir lietderīgi uzzināt sīkāku informāciju ar diferenciāla jēdzienu, ilustrējot to ar piemēru plaknes (((t, x)), līknes uz tā, jaunās saites, brīvības pakāpes, parametrs uz līknes.

Tādējādi (2) vienādojums saistās ar diferencēšanām t un x gar vēlamo IR. Tad vienādojuma integrācija (2) sākumā norādītajā metodē ir pilnīgi likumīga - tas nozīmē, ja vēlaties, integrējot jebkuru mainīgo, kas izvēlēts kā neatkarīgs.

I metode, mēs to parādījām, izvēloties kā neatkarīgu mainīgo t. Tagad mēs to parādīsim, izvēloties parametru S kā neatkarīgu mainīgo gar IR (jo to skaidri redzams ar T un X vienlīdzību). Ļaujiet vērtība S \u003d S0 atbilst punktam (T0, X0).

Tad mums ir: \u003d a (t (s)) t (s) DS, ka pēc tam, kad tas dod tai uzsvaru uz daudzpusību simetriska ieraksta, piemēram: aplis netiek reģistrēts vai nu X (T), ne kā t (x), bet kā X (s), t (s).

Daži citi pirmās kārtas ODU tiek samazināti uz URPS, ko var redzēt, risinot uzdevumus (piemēram, uzdevumā).

Vēl viens svarīgs gadījums ir lineārs kods:

I metode. Pastāvīgā variācija.

tas ir īpašs gadījums, kas ir vispārīgāka pieeja, kas tiks izskatīta 2. daļā. Nozīme ir tā, ka risinājumu meklēšana īpašā formā samazina vienādojuma secību.

Man vispirms ir jāsauc. Vienots vienādojums:

Ar unikalitāti vai nu x 0, vai nu visur X \u003d 0. Pēdējā gadījumā (ļaujiet tai dot to (4), tas dod visiem šķīdumiem (3) 0 (ieskaitot nulli un negatīvu).

Formulā (4) ir patvaļīga konstante C1.

Variācijas metode ir nemainīga, kas sastāvēja, ka šķīdums (3) C1 (t) \u003d C0 + ir redzams (kā algebriskām lineārām sistēmām) struktūra Orna \u003d Chrn + Orou (par to sīkāk 2. daļā).

Ja mēs vēlamies atrisināt Cauchy uzdevumu X (T0) \u003d X0, tad jums ir jāatrod C0 no Cauchy datiem - viegli iegūstiet C0 \u003d X0.

II metode. Mēs tos atradīsim, ti, šāda funkcija V, uz kuru jums ir nepieciešams vairoties (3) (reģistrēts tā, lai visi nezināmi montēti kreisajā pusē: Xa (t) x \u003d b (t)), lai atvasinājums būtu atvasināts no dažām ērtām kombinācijām.

Mums ir: VX VAX \u003d (VX), ja V \u003d AV, ti, (šāds vienādojums (3) ir līdzvērtīgs vienādojumam, kas jau ir viegli atrisināts un dod (5). Ja Cauchy uzdevums ir atrisināts, tad (6) ir ērti nekavējoties veikt īpašu neatņemamu lineāro Odu (3) Daži citi tiek samazināti, kā to var redzēt, risinot problēmas (piemēram, uzdevumā). Uzskata svarīgāka lineārā odusa gadījums (nekavējoties uz jebkuru n). 2. daļa.

Abas izskatītās situācijas ir īpašs gadījums, ko tā sauca. Ped. Apsveriet pirmo pasūtījumu ODU (ar n \u003d 1) simetriskā formā:

Kā minēts, (7) nosaka IR plaknē (T, X), nepārklājot, kurš mainīgais tiek uzskatīts par neatkarīgu.

Ja reizināt (7) par patvaļīgu funkciju M (T, X), tiks iegūta ekvivalenta ierakstīšanas forma ar to pašu vienādojumu:

Tādējādi tas pats ir daudz simetrisku ierakstu. Starp tiem īpaša loma tiek spēlēta tā sauktā. Ieraksti pilnīgos diferencē, vārds ir neveiksmīgs, jo šis īpašums nav vienādojums, bet tā ieraksta formas, tādi, ka kreisā daļa (7) ir vienāds ar DF \u200b\u200b(T, X) ar dažiem F.

Ir skaidrs, ka (7) ir atjaunināts pēc tam un tikai tad, ja A \u003d FT, B \u003d FX ar dažiem F. Kā zināms no analīzes, tas ir nepieciešams pēdējam, un mēs nepamato stingri tehniskus mirkļus Piemērs, visu funkciju gludums. Fakts ir tāds, ka § ir neliela loma - parasti nav nepieciešama citām kursa daļām, un es nevēlos tērēt pārmērīgus centienus uz tās izvietoto prezentāciju.

Tādējādi, ja (9), tad ir tik f (tas ir unikāls ar precizitāti piedevu konstante), kas (7) pārraksta veidā DF (T, X) \u003d 0 (gar IC), t.i.

F (t, x) \u003d const pa IR, ti, ir būtība līmeņa līnijas funkciju F. mēs iegūstam, ka integrācija atjauninot ir triviāls uzdevums, jo meklēšanas f ar A un B apmierinošs (9) nav grūti. Ja (9) nav izpildīts, tas būtu jāatrod tā saucamā. Tas ir m (t, x) tāds, ka (8) ir atjauninājums, par kuru tas ir nepieciešams, un pietiekami, lai veiktu analogo (9), kas veido veidlapu:

Kā izriet no pirmās kārtas UCH teorijas (ko mēs apsveram 3. daļā), vienādojumam (10) vienmēr ir risinājums, lai tās pastāvētu. Tādējādi jebkuram veidlapu vienādojumam (7) ir ieraksta atjaunināšanas veidā un tādējādi ļauj "skaidri integrēties". Taču šie argumenti nedod konstruktīvu metodi vispārējā gadījumā, jo, lai atrisinātu (10) kopumā runājot, tas ir nepieciešams, lai rastu risinājumu (7), ko mēs meklējam. Neskatoties uz to, ka viņiem ir vairākas meklēšanas metodes, kuras tradicionāli tiek uzskatītas par praktisko apmācību (skat. Piemēram).

Ņemiet vērā, ka iepriekš minētās metodes URP lēmumam un Linear ODU ir īpašs ideoloģijas gadījums.

Faktiski URP DX / DT \u003d A (t) B (x), kas ierakstīts simetriskā veidā DX \u003d A (t) b (x) DT, tiek atrisināts, reizinot to 1 / B (x), jo pēc tam pārvēršas dx / b (x) \u003d a (t) DT uc db (x) \u003d da (t). Lineārais vienādojums DX / DT \u003d A (t) X + B (t) ierakstīts simetriskā formā DX A (t) XDT B (t) DT ir atrisināts, reizinot viņiem, gandrīz visas metodes risināšanas ODU "skaidri"

(Izņemot lielu bloku, kas saistīts ar lineārām sistēmām), ir tas, ka, izmantojot īpašas metodes, lai samazinātu pasūtījumu un aizvietojošos lielumus, tie tiek samazināti līdz pirmajam pasūtījumam, kas pēc tam tiek samazināts līdz atjauninājumam, un tie ir Atrisināts, izmantojot galveno diferenciālo calculus teorēmu: df \u003d 0 f \u003d const. Praktiskās apmācības gaitā tradicionāli ir iekļauts jautājums par samazināšanos (skatīt, piemēram,).

Pieņemsim, ka daži vārdi par pirmo kārtību pirmās kārtas, kas nav atļauts attiecībā pret atvasinājumu:

Kā minēts 1. punktā, jūs varat mēģināt atrisināt (11) salīdzinājumā ar X un iegūt normālu formu, bet ne vienmēr ir lietderīgi. Bieži vien tas ir ērtāk atrisināt (11) tieši.

Apsveriet telpu ((t, x, p)), kur p \u003d X īslaicīgi tiek uzskatīta par neatkarīgu mainīgo. Tad (11) definē virsmu šajā telpā (F (t, x, p) \u003d 0), ko var rakstīt parametriski:

Ir lietderīgi atcerēties, ko tas nozīmē, piemēram, ar sfēras palīdzību R3.

Vēlamais risinājums atbilst līknēm uz šīs virsmas: t \u003d s, x \u003d x (s), p \u003d x (s) - viena brīvības pakāpe tiek zaudēta, jo ir savienojums DX \u003d PDT par risinājumiem. Mēs rakstām šo saiti ziņā parametriem uz virsmas (12): Gu DU + GV DV \u003d H (Fudu + FV DV), ti.e.

Tādējādi vēlamie risinājumi atbilst līknēm uz virsmas (12), kurā parametri ir savienoti ar vienādojumu (13). Pēdējais ir Ode simetriskā formā, ko var atrisināt.

Ja kādā apgabalā (GU HFU) \u003d 0, tad (12), tad t \u003d f (v), v), x \u003d g (v), v) dod parametru ierakstu vēlamo līkņu lidmašīna ((t, x)) (I.E. Mēs projicējam šajā plaknē, jo mums nav vajadzīga).

II lietā. Līdzīgi, ja (GV HFV) \u003d 0.

Case III. Dažos punktos, tajā pašā laikā, Gu HFU \u003d GV HFV \u003d 0. Tas prasa atsevišķu analīzi, vai tas ir daudz risinājumu (tos sauc par īpašu).

Piemērs. Vienādojums Clero X \u003d TX + X 2. Mums ir:

x \u003d TP + P2. Parametrize šo virsmu: t \u003d u, p \u003d v, x \u003d uv + v 2. Vienādojums (13), tiks veidota veidlapa (U + 2V) DV \u003d 0.

Lieta I. nav īstenots.

II lietā. U + 2V \u003d 0, tad dv \u003d 0, i.e. v \u003d c \u003d const.

Tātad, t \u003d u, x \u003d cu + c 2 - parametriskā IR ierakstīšana.

Viegli sadedzināt to skaidrā formā x \u003d ct + c 2.

Case III. U + 2V \u003d 0, I.E. V \u003d U / 2. Tātad, t \u003d u, x \u003d U2 / 4 - parametriskais ieraksts par "kandidātu IR".

Lai pārbaudītu, vai tas ir IR, mēs rakstām to skaidri x \u003d T2 / 4. Izrādījās, ka tas ir (īpašs) lēmums.

Vingrinājums. Pierādiet, ka īpašs risinājums attiecas uz visiem pārējiem.

Tas ir kopīgs fakts - jebkura īpaša risinājuma grafiks ir visu citu risinājumu ģimenes aploksne. Tas ir balstīts uz citu īpaša risinājuma definīciju tieši kā aploksne (sk.).

Vingrinājums. Lai pierādītu, ka vispārīgākai Clero vienādojumam X \u003d TX (X) ar izliektu funkciju, tiek skatīts konkrēts risinājums x \u003d (t), kur - strāvas pārveidošana no, ti \u003d () 1, vai (t) \u003d max (TV (V)). Līdzīgi, vienādojumam x \u003d tx + (x).

Komentēt. Lasīt vairāk un uzmanīgi saturs 3. punkts ir izklāstīts mācību grāmatā.

Komentēt skolotāju. Lasot lekciju gaitu, var būt noderīgi paplašināt § 3, piešķirot tai stingrāku formu.

Tagad atpakaļ uz kursa galveno audeklu, turpinot prezentāciju sākās §§§§.

§ 4. Cauchy problēmu globālā maksātspēja 2.pantā mēs esam pierādījuši, ka Cauchy Problēmas risinājuma vietējā esamība, I.E. Tikai noteiktā intervālā, kurā ir t0 punkts.

Ar dažiem papildu pieņēmumiem par F, mēs arī izrādījāmies risinājuma unikalitāti, saprotot to kā divu risinājumu sakritību, kas definēts vienā un tajā pašā intervālā. Ja F ir lineārs ar X, tiek iegūta globāla eksistence, t.I. visā intervālā, kur tiek noteikts un nepārtraukta vienādojuma koeficienti (sistēmas) koeficienti. Tomēr, kā mēģinājums izmantot ģenerāldirektora izstāžu lineārajā sistēmā, Peano-Picking Intervāls parasti ir mazāks par to, kuru risinājumu var veidot. Rodas dabas jautājumi:

1. Kā noteikt maksimālo intervālu, uz kuru risinājums ir jāapstiprina (1)?

2. Vai šis intervāls vienmēr sakrīt ar maksimālo labo daļu (1) 1 ir jēga?

3. Kā kārtīgi formulēt risinājuma unikalitātes koncepciju bez atrunām par tās definīcijas intervālu?

Ka atbilde uz 2. jautājumu parasti runā negatīvu (vai drīzāk prasa lielu precizitāti), saka nākamais piemērs. x \u003d x2, x (0) \u003d x0. Ja x0 \u003d 0, tad x 0 - nav citu risinājumu uz Osgood teorēmu. Ja x0 \u003d 0, tad mēs nolemjam izveidot attēlu). Šķīduma esamības intervāls nevar būt lielāks par (1 / x0) vai (1 / x0, +), attiecīgi ar X0 0 un X0 0 (Hyperboles otrā filiāle nav saistīta ar risinājumu! - Tas ir tipiska studentu kļūda). No pirmā acu uzmetiena nekas sākotnējā uzdevumā nav paredzēts šāds iznākums. " 4. § Mēs atradīsim skaidrojumu par šo parādību.

Par piemēru vienādojumu X \u003d T2 + X2, tipiska kļūda studentu par intervālu risinājumu izpaužas. Šeit tas, ka "vienādojums ir visur, ir definēts" nav vispār saistīta ar lēmuma nepārtrauktību visā tieši. Tas ir skaidrs, pat no tīri ikdienas viedokļa, piemēram, saistībā ar tiesību aktiem un procesiem, kas attīstās saskaņā ar tiem: Likums ir skaidri noteikts, ka 2015. gadā tas nenozīmē, ka tas nenozīmē, ka šis Uzņēmums nenoliedz šogad. Iekšējiem iemesliem (lai gan likumā spēkā ir spēkā).

Lai atbildētu uz jautājumiem 1-3 (un pat to skaidri formulēt), ir nepieciešams īss risinājums jēdziens. Mēs (kā mēs vienojāmies iepriekš) apsvērt risinājumus vienādojumu (1) 1 kā pāris (((tl (), tr ())).

Definīcija. Šķīdums ((), tr ()) ir risinājuma turpinājums ((TL (), TR ())), ja (TL (), TR ()) (TL (), TR ( )) un | (TL (), TR ()) \u003d.

Definīcija. Risinājums ((TL (), TR ())) - īss, ja tai nav triviāla (t.i cita veida) turpināšanās. (Skatīt iepriekš minēto piemēru).

Ir skaidrs, ka tas ir NR, kas ir īpaša vērtība, un to izteiksmē ir nepieciešams pierādīt eksistenci un unikalitāti. Ir dabisks jautājums - vai es varu būvēt HP, pamatojoties uz vietējo lēmumu vai uz Cauchy uzdevumu? Izrādās jā. Lai saprastu šo, mēs iepazīstinām ar jēdzieniem:

Definīcija. Risinājumu kopums ((((TL (), TR ()))) ir konsekvents, ja kāds no šī noteikta 2 risinājumi sakrīt ar to definīcijas intervālu krustojumu.

Definīcija. Konsekventu risinājumu kopumu sauc par maksimālo, ja nevar pievienot citu risinājumu tam, lai jaunais komplekts būtu konsekvents un ietverts jaunus punktus, apvienojot risinājumu definēšanas jomās.

Ir skaidrs, ka būvniecība MNN ir līdzvērtīga HP būvniecībai, proti:

1. Ja ir HP, tad jebkura MNN, kas satur, var būt tikai tā sašaurināšanās.

Vingrinājums. Pārbaudiet.

2. Ja ir MNN, tad HP ((T, T +)) ir veidota kā:

put (t) \u003d (t), kur - jebkurš ENN elements, kas noteikts šajā brīdī. Protams, šāda funkcija tiks definēta visai (t, t +) (nepārprotamība izriet no komplekta konsekvences), un tas sakrīt katrā brīdī ar visiem ENN elementiem, kas definēti šajā brīdī. Attiecībā uz jebkuru T (t, t +) ir kāda veida definēts tajā, un tāpēc tās apkārtnē, un tā tālāk. Šajā apkārtnē ir risinājums (1) 1, tad - too. Tādējādi ir risinājums (1) 1 par visu (t +). Tas ir īss, jo citādi, neurtrivial turpinājums varētu pievienot MNN pretēji tās maksimāli.

Būvējot MNH problēmu (1) vispārējā gadījumā (saskaņā ar nosacījumiem, Peano teorēma), ja nav vietējās unikalitātes, tas ir iespējams (skatīt,), bet diezgan apgrūtinoša - tas ir balstīts uz soli pa solim izmantošanu Peano teorēma ar intervāla turpinājuma apakšas aplēsi. Tādējādi HP vienmēr pastāv. Mēs pamatot to tikai tad, ja ir vietējā unikalitāte, tad būvniecība MNN (un līdz ar to HP) ir triviāla. Piemēram, par noteikumu, mēs darbosies ietvaros TC-p.

Teorēma. Ļaujiet TK-P nosacījumiem reģionā B RN + 1 tiek veikti. Tad jebkurai (T0, X0) B problēmai (1) ir viens HP.

Pierādījumi. Apsveriet visu problēmas (1) risinājumu kopumu (tas nav tukšs ar TK-P). Tā veido MNN - konsekventi, pateicoties vietējai unikalitātei, un maksimālais sakarā ar to, ka tas ir daudz visu visu Cauchy problēmas risinājumu. Tātad HP pastāv. Tā ir vienīgā vietējā unikalitātei.

Ja jūs vēlaties veidot HP, pamatojoties uz esošo vietējo lēmumu (1) 1 (un nevis Cauchy uzdevumu), tad šī problēma vietējās unikalitātes gadījumā tiek samazināta līdz Cauchy uzdevumam: jums ir jāizvēlas jebkurš punkts uz pieejami IR un apsvērt atbilstošo Cauchy uzdevumu. HP šī uzdevuma turpināsies sākotnējā risinājuma dēļ unikalitāti. Ja nav unikalitāti, konkrētā risinājuma turpināšana tiek veikta iepriekš norādītajā procedūrā.

Komentēt. HP nevar veltīt tās pastāvēšanas intervāla galos (neatkarīgi no unikalitātes stāvokļa), lai tas būtu risinājums un terminālos punktos. Lai pamatotu, ir jāprecizē, ka ar Lēmumu par ODU pie galiem segmenta:

1. Pieeja 1. Let saskaņā ar Lēmumu (1) 1 uz segmenta tas tiek saprasts kā funkcija, kas atbilst vienādojumu galos tādā nozīmē vienpusēja atvasinājumu. Tad iespēja, ka noteikta biedējoša daži risinājumu, piemēram, tās pastāvēšanas intervāla (t +) intervāla beigās, nozīmē, ka IR ir beigu punkts B, un C1 (t +]. Bet tad izlemt Cauchy X (T +) uzdevumu. \u003d (T +) attiecībā uz (1) un atrast savu risinājumu, mēs iegūstam, labajā galā T + (pie T + abiem vienpusējiem atvasinājumiem pastāv un ir vienāds ar f ( T +, (t +)), kas nozīmē, ka ir kopīgs atvasinājums), ti, tas nav HP.

2. Pieeja 2. Ja zem šķīduma (1) 1 uz segmenta tas ir saprotams kā funkcija, tikai nepārtraukti galos, bet tā, ka beigas IR atrodas B (pat tad, ja vienādojums nav nepieciešams) - Izrādās tāds pats argumentāciju tikai attiecībā uz atbilstošo integrēto vienādojumu (skatīt detaļas).

Tādējādi, nekavējoties ierobežots, lai atklātu intervālus kā risinājumu definēšanas kopas, mēs neesam pārkāpuši Kopienu (un izvairījās no nevajadzīgas VENE ar vienpusējiem atvasinājumiem utt.).

Rezultātā mēs atbildējām uz 3. jautājumu, kas sniegts 4. punkta sākumā: veicot unikalitātes stāvokli (piemēram, Osgood vai Cauchy-Picara), HP risināšanas unikalitāti notiek Cauchy problēma. Ja unikalitātes stāvoklis ir bojāts, tad var būt daudz HP uzdevumu Cauchy, katrs ar tās pastāvēšanas intervālu. Jebkuru šķīdumu (1) (vai vienkārši (1) 1) var turpināt HP.

Lai atbildētu uz 1.2. Jautājumiem, ir nepieciešams apsvērt ne mainīgo t atsevišķi, bet IC uzvedību kosmosā RN + 1. Jautājumā par to, kā IR "netālu no galiem" uzvedas, mēs atzīmēsim, ka pastāvēšanas intervāls ir beidzies, un IR var nebūt viņiem (IR IS Bija B vienmēr neeksistē - skatīt iepriekš minēto piezīmi, bet var nepastāvēt B - Skatīt zemāk).

Teorēma. (par izliešanu kompakto).

mēs to formulējam vietējās unikalitātes apstākļos, bet tas ne vienmēr - redzēt, tur TPK ir formulēta kā HP kritērijs.

TC-P apstākļos jebkura HP vienādojuma (1) 1 atstāj jebkuru kompaktu K B, tas ir, k b (t, t +): (t (t)) k ar t.

Piemērs. K \u003d ((t, x) b | ((t, x), b)).

Komentēt. Tādējādi IR Nr NR pie T ± tuvojas B: ((t (t)), b) 0 pie t ± - process turpinot risinājumu nevar lauzt stingri iekšā B.

pozitīvi, šeit kā vingrinājums ir lietderīgi pierādīt pozitīvo starp Non-iznīcināto slēgto vairāku komplektu, no kuriem viens ir kompakts.

Pierādījumi. Fix k B. Veikt 0 (0, (k, b)). Ja b \u003d rn + 1 pēc definīcijas mēs uzskatām (k, b) \u003d +. Komplekts k1 \u003d (((t, x) | (((t, x), k) 0/2) ir arī kompakts B, tāpēc ir F \u003d max | F |. Izvēlieties numurus T un R d dko ir pastāvīgi neliels, lai jebkurš formas cilindrs, piemēram, ir pietiekami, lai ņemtu t 2 + r2 2/4. Tad uzdevums Cauchy tipa ir risinājums uz TC-P šķīduma intervālā, kas nav jau (t t0, t + t + t0), kur t0 \u003d min (t, r / f) visiem (t, x) k .

Tagad kā vēlamo segmentu var ņemt \u003d. Faktiski, tas ir nepieciešams, lai parādītu, ka, ja (t, (t)) k, tad t + t + t + t0. Mēs parādīsim, piemēram, otro nevienlīdzību. Cauchy problēmas (2) šķīdums ar X \u003d (t) pastāv pa labi vismaz uz T + T0 punktu, bet tā pašas problēmas HP, kas, ņemot vērā unikalitāti, ir turpinājums, tāpēc t + T0 t +.

Tādējādi HP Chart vienmēr "sasniedz B", lai HP pastāvēšanas intervāls ir atkarīgs no IR ģeometrijas.

Piemēram:

Paziņojums, apgalvojums. Ļaujiet b \u003d (a, b) rn (intervāls ierobežots vai bezgalīgs), f atbilst TK-P nosacījumiem B, ir HP problēma (1) ar T0 (A, B). Tad vai nu t + \u003d b, vai | (t) | + pie t + (un līdzīgi t).

Pierādījumi. Tātad, ļaujiet t + b, tad t + +.

Apsveriet kompakto k \u003d b B. Ar jebkuru R + atbilstoši TPK, ir (r) t + tāds, ka t ((((((r), t +) punkta (t (t)) K. bet kopš t +, tad tas ir iespējams tikai kontā | (t) | R., bet tas nozīmē | (t) | + pie t +.

Šajā konkrētajā gadījumā mēs redzam, ka, ja f ir definēts "ar visiem X", NR pastāvēšanas intervāls var būt mazāks par maksimālo iespējamo (A, B), pateicoties HP vēlmei pēc pieeja galiem intervāls (T, t +) (vispārējā gadījumā - uz robežu b).

Vingrinājums. Apkopot pēdējo paziņojumu, ja b \u003d (a, b), kur rn ir patvaļīga teritorija.

Komentēt. Ir nepieciešams saprast, ka | (t) | + nenozīmē nekādu k (t).

Tādējādi mēs atbildējām uz 2. jautājumu (CF. Piemēram sākumā § 4): IR nāk uz B, bet tās projekcija uz ass t nevar sasniegt galus projekcijas b uz t ass. Jautājums paliek 1 - vai ir kādas pazīmes, par kurām neatrisinot ODU, var uzskatīt par iespēju turpināt lēmumu par "plašu intervālu"? Mēs zinām, ka lineārajai Odusam šī turpināšana vienmēr ir iespējama, un piemērā 4. punkta sākumā nav iespējams.

Apsveriet vispirms ilustrēt īpašo lietu URP pie n \u003d 1:

nesaderīgo integrēto H (S) DS konverģence (nesaderīga skatā \u003d + vai sakarā ar funkcijām H punktā) nav atkarīga no izvēles (,). Tāpēc, pieņemsim tikai rakstīt H (S) DS, kad runa ir par konverģenci vai atšķirību šī neatņemama.

to varētu izdarīt jau Osguda teorijā un saistītajos apgalvojumos.

Paziņojums, apgalvojums. Ļaujiet c (,), b c (, +), ir pozitīvs pēc to intervāliem. Ļaujiet cauchy problēmai (kur T0 (,), x0) ir HP X \u003d X (T) uz intervāla (T, T +) (,). Tad:

Sekas. Ja a \u003d 1, \u003d +, tad t + \u003d + pierādījums. (Apstiprinājums). Ņemiet vērā, ka x monotoniski palielinās.

Vingrinājums. Pierādīt.

Tāpēc ir x (t +) \u003d lim x (t) +. Mums ir gadījums 1. T +, X (T +) + nav iespējams TPK, jo X ir HP.

Gan neatņemama vai nu ierobežota vai bezgalīga.

Vingrinājums. Pabeigt pierādījumus.

Pamatojums Skolotājam. Galu galā mēs iegūstam, ka gadījumā, ja 3: a (s) DS +, un gadījumā, 4 (ja tas parasti tiek īstenots) pats.

Tādējādi, lai vienkāršākā odus pie n \u003d 1 no sugas x \u003d f (x), risinājumu nepārtrauktību nosaka sīkāk par tādu risinājumu struktūru (tā saukto.

autonomie) vienādojumi Skatīt 3. daļu.

Piemērs. F (x) \u003d x, 1 (jo īpaši lineārā korpuss \u003d 1), un f (x) \u003d x ln x, jūs varat garantēt (pozitīvu) risinājumu nepārtrauktību +. F (x) \u003d x un f (x) \u003d x ln x, ar 1 risinājumiem, "iznīcina pēdējā laikā".

Kopumā situāciju nosaka daudzi faktori un nav tik vienkārši, bet nozīme "augšanas ātrums F ar X joprojām ir nozīme. Par N 1, formulēt kritērijus turpinājuma ir grūti, bet pastāv pietiekami nosacījumi pastāv. Kā likums, tie pamato ar tā saukto. Priori risinājumu novērtējumi.

Definīcija. Ļaujiet H C (,), H 0. Ir teikts, ka dažu nepāra risinājumiem ir AO | x (t) | H (t) uz (,), ja kāds risinājums šī Ode atbilst šo aprēķinu par daļu no intervāla (,), ja tas ir noteikts (ti, tas nav pieņemts, ka risinājumi vienmēr ir definēti visā intervālā (,) ).

Taču izrādās, ka AO pieejamība garantē, ka risinājumi joprojām tiks definēti visiem (,) (un tādējādi atbilst novērtējumam visā intervālā), tāpēc priori novērtējums pārvēršas par posteriori:

Teorēma. Ļaujiet Cauchy problēmai (1) atbilst TK-P nosacījumiem, un tās risinājumiem intervālā () ir AO () ar kādu HC (,), un līklīnijas cilindru (| x | h (t), t (|) ,)) b. Tad HP (1) ir definēts visiem (,) (un tādēļ atbilst AS).

Pierādījumi. Mēs pierādām, ka t + (t ir līdzīga). Pieņemsim, ka t +. Apsveriet kompakto k \u003d (| x | h (t), t) b. Saskaņā ar TPK t +, grafika punktu (t, x (t)) atstāj k, kas ir neiespējami sakarā ar AS.

Tādējādi, lai pierādītu risinājuma nepārtrauktību dažiem intervāliem, ir pietiekami, lai oficiāli novērtētu risinājumu visam vajadzīgajam intervālam.

Analoģija: LEB funkcijas mērījums un integrālās ENIX oficiālais novērtējums faktisko neatņemama esamību.

Let's dos dažus piemērus situācijās, jo šī loģika darbojas. Sāksim ar iepriekš minētā darba ilustrāciju par "augšanu F ar x pietiekami lēni."

Paziņojums, apgalvojums. Ļaujiet b \u003d (,) rn, f atbilst TK-P nosacījumiem B, F (T, X) | A (t) b (| x |), kur A un B atbilst iepriekšējā apstiprinājuma nosacījumiem C \u003d 0, un \u003d +. Tad HP problēma (1) pastāv (,) vispār T0 (,), x0 rn.

Lemma. Ja nepārtraukts, (t0) (t0); Ar pierādījumu. Ņemiet vērā, ka apkārtnē (T0, T0 +): ja (t0) (T0), tad tas ir uzreiz acīmredzams, un citādi (ja (t0) \u003d (t0) \u003d 0) ir (t0) \u003d g (t0, 0 ) (T0), kas prasa vēlreiz.

Pieņemsim, ka tagad ir t1 t0, kas (T1). Acīmredzamu pamatojumu var atrast (T1) T2 (T0, T1] tāds, ka (T2) \u003d (T2) un uz (T0, T2). Bet tad pie t2, mēs esam \u003d, - pretruna.

g Jebkura, un tiešām jums ir nepieciešams tikai, C un visur, kur \u003d tur. Bet, lai nesaņemtu galvu, uzskata, ka Lemmā. Šeit ir stingri nevienlīdzība, bet tas ir nelineārs ODU, un joprojām ir tā saucams.

Komentēt skolotāju. Šāda veida nevienlīdzība kā Lemmā sauc par Chainplygin nevienlīdzību (LF). Tas ir viegli redzēt, ka Lemmā nebija nepieciešams unikalitāti, lai šāds "stingrs LF" ir taisnība un ietvaros Peano teorēmu. "Ne-strong Lf" acīmredzami nav kārtībā bez unikalitātes, jo vienlīdzība ir īpašs ne-stingras nevienlīdzības gadījums. Visbeidzot, "ne-insults" kā daļa no stāvokļa unikalitāti, ir taisnība, bet ir iespējams to pierādīt tikai lokāli - ar tās palīdzību.

Pierādījumi. (Apstiprinājums). Mēs pierādām, ka t + \u003d (t \u003d ir līdzīga). Pieņemsim, ka pēc tam saskaņā ar iepriekš minēto apstiprinājumu X (t) | + pie t +, lai to varētu uzskatīt par x \u003d 0 līdz. Ja mēs pierādām AS | X | H for) (bumba ērtībai ir slēgta).

Cauchy uzdevums X (0) \u003d 0 ir vienīgais HP X \u003d 0 uz R.

Mēs norādām pietiekamu nosacījumu F, kurā HP pastāvēšana uz R + var garantēt pietiekami maza x0 \u003d x (0). Lai to izdarītu, pieņemsim, ka (4) ir tā sauktā. Funkcija Lyapunova, I.E. Šāda funkcija V, kas:

1. V C 1 (B (0, R));

2. SGNV (X) \u003d SGN | X |;

Pārbaudiet nosacījumu izpildi A un B:

A. Apsveriet Cauchy uzdevumu, kur | X1 | R / 2. Mēs būvējam cilindru B \u003d R B (0, R) ir lauks, lai noteiktu funkciju f, kur tas ir ierobežots un C klases 1, tā, ka ir f \u003d max | f |. Saskaņā ar TC-P, ir risinājums (5), kas noteikts intervālā (T1 T0, T1 + T0), kur T0 \u003d min (t, r / (2f)). Pietiekami liela t izvēle var sasniegt T0 \u003d R / (2F). Ir svarīgi, lai T0 nav atkarīga no izvēles (T1, X1), tikai | X1 | R / 2.

B. Kamēr šķīdums (5) ir noteikts un paliek bumba b (0, r), mēs varam veikt šādu pamatojumu. Mums ir:

V (x (t)) \u003d f (x (t)) · v (x (t)) 0, t.i. V (x (t)) v (x1) m (r) \u003d max v (y). Ir skaidrs, ka m un m nav samazinājies, incredia | R Frivans in nullei, m (0) \u003d m (0) \u003d 0, un ārpus nulles tie ir pozitīvi. Tāpēc ir r 0 tāds, ka m (R) m (R / 2). Ja | x1 | R, tad v (x (t)) V (x1) m (R) m (R / 2), no kurienes | x (t) | R / 2. Ņemiet vērā, ka r / 2.

Tagad mēs varam formulēt teorēmu no PP. A, B parāda globālo risinājumu esamību (4):

Teorēma. Ja (4) ir Lyapunov funkcija B (0, R), tad vispār X0 B (0, R) (kur r ir definēts iepriekš) HP Cauchy uzdevums X (T0) \u003d X0 sistēmai (4) (ar jebkuru T0) definēts +.

Pierādījumi. Saskaņā ar P. A, šķīdumu var uzbūvēt, kur T1 \u003d T0 + T0 / 2. Šis risinājums atrodas B (0, R) un tā izmantošanas B daļā, tā, ka | X (T1) | R / 2. Mēs atkal attiecas uz n. A un mēs iegūstam risinājumu, kur T2 \u003d T1 + T0 / 2, I.E. tagad ir veidots risinājums. Šim risinājumam piemērot B punktu un iegūstiet X (T2) | R / 2 utt. Lai iegūtu skaitu soļu skaitu, mēs iegūstam risinājumu § 5. ODU lēmumu atkarība no izskatīšanas Cauchy uzdevums, kur RK. Ja kāds, t0 (), x0 () šis cauchy uzdevums ir HP, tad tas ir x (t,). Rodas jautājums: kā izpētīt atkarību x no? Šis jautājums ir svarīgs dažādiem lietojumiem (un tas radīsies, jo īpaši 3. daļā), no kuriem viens (lai gan tas nav vissvarīgākais) ir aptuvens Lēmums ODU.

Piemērs. Apsveriet Cauchy uzdevumu. Tās HP pastāv un ir vienīgais, kas izriet no TC-P, bet nav iespējams to izteikt pamatfunkcijās. Kā tad, lai izpētītu tās īpašības? Viens no veidiem: Ņemiet vērā, ka (2) "Aizvērt" problēmai Y \u003d Y, Y (0) \u003d 1, kura šķīdums ir viegli atrodams: y (t) \u003d et. To var pieņemt, ka x (t) y (t) \u003d et. Šī ideja ir uzskaitīta: apsveriet problēmu \u003d 1/100 šajā (2) un pie \u003d 0 ir uzdevums y. Ja mēs pierādīt, ka x \u003d x (t,) ir nepārtraukta (noteiktā nozīmē), mēs iegūstam, ka x (t,) y (t) pie 0, un tas nozīmē x (t, 1/100) y (t ) \u003d Et.

Tiesa, tas joprojām nav skaidrs, cik tuvu x līdz y, bet pierādījums nepārtrauktības X programmatūras ir pirmais nepieciešamais solis, bez kura nav iespējams veicināt tālāk.

Tāpat tas ir lietderīgi un pētīti atkarībā no sākotnējo datu parametriem. Kad mēs redzēsim vēlāk, šī atkarība viegli samazina parametru parametru vienādojuma labajā daļā, lai mēs joprojām ierobežotu sevi veidlapas uzdevumam būt FC (D), kur d ir reģions RN + K + 1; F lipszytseva ar X jebkurā izliektā X kompakta no D (piemēram, pietiekams C (d)). Noteikt (t0, x0). Apzīmēt m \u003d rk | (T0, X0,) d ir daudz pieļaujama (kurā uzdevumā (4) ir jēga). Ņemiet vērā, ka m ir atvērts. Mēs pieņemsim, ka (T0, X0) ir izvēlēts tā, lai m \u003d. Saskaņā ar TK-P, visiem m, ir viena NR problēma (4) - funkcija x \u003d (t,), kas noteikta uz intervāla t (t (), t + ()).

Stingri runājot, jo tas ir atkarīgs no daudziem mainīgajiem lielumiem, jums ir nepieciešams ierakstīt (4), tāpēc:

kur (5) 1 tiek veikts uz g \u003d ((t,) | m, t (t (), t + ())). Tomēr atšķirība starp D / DT un / t ikonām ir tīri psiholoģiska (to izmantošana ir atkarīga no tā paša "fiksēšanas" psiholoģiskā koncepcija). Tādējādi SET G ir dabiska maksimālā funkcijas definīcija, un jāpārbauda jautājums par nepārtrauktību G.

Mums būs nepieciešams papildu rezultāts:

Lemma. (Holonolla). Ļaujiet funkcijai C, 0, apmierina visu T. novērtējumu, tad piezīme ir taisnība skolotājam. Lasot lekciju, jūs nevarat atcerēties šo formulu iepriekš, bet atstāt vietu, un pēc izejas ieiešanas.

Bet tad saglabāt šo formulu redzesloka, jo tas būs nepieciešams tonn.

h \u003d A + B AH + B, no kurienes jūs saņemat vēlamo.

Šī Lemma nozīme: diferenciālvienādojums un nevienlīdzība, attiecības starp tām, integrāls vienādojums Un nevienlīdzība, attiecības starp tām visiem, diferenciālo un integrēto Lemmu Gronaolela un attiecības starp tām.

Komentēt. Jūs varat pierādīt šo Lemmu un ar vispārīgākiem pieņēmumiem par A un B, bet mums vēl nav nepieciešams, un tas tiks darīts UMF kursā (tāpēc ir viegli redzēt, ka mēs neizmantojam nepārtrauktību A un B utt.).

Tagad mēs esam gatavi skaidri formulēt rezultātu:

Teorēma. (Tonnas) ar F un Iepriekš minētās ieviestās pieņēmumiem var apgalvot, ka G ir atvērts, un C (g).

Komentēt. Ir skaidrs, ka komplekts m parasti nav savienots, tāpēc G var nebūt savienots.

Komentēt skolotāju. Tomēr, ja mēs iekļauti (T0, X0) parametru skaitā, savienojamība tiktu veikta.

Pierādījumi. Ļaujiet (t (t) G. Nepieciešams pierādīt, ka:

Pieņemsim, ka definiteness t t0. Mums ir: m, lai (t,) ir definēts ar (t (), t + () t, t0, un tāpēc uz dažiem segmentiem tā, ka t dot (t, (t,),), kas darbojas kompaktā līkne d (paralēla hiperplāns (\u003d 0)). Tātad, daudz tipa definīcijai ir nepieciešams saglabāt acis pastāvīgi!

arī ir kompakts d ar pietiekami mazu A un B (izliekts ar X), lai funkcija f lapshitsev ir X:

[Šis novērtējums ir pastāvīgi jāsaglabā acis! ] Un vienmērīgi nepārtraukti visiem mainīgajiem lielumiem un vēl vairāk | f (t, x, 1) f (t, x, 2) | (| 12 |), (t, x, 1), (t, x, 2).

[Šis novērtējums ir pastāvīgi jāsaglabā acis! ] Apsveriet patvaļīgu 1 tāds, ka | 1 | BI atbilstošais šķīdums (t, 1). Komplekts (\u003d 1) ir kompakts D (\u003d 1) un t \u003d t0, punkta (t (t, 1), 1) \u003d (t0, x0, 1) \u003d (T0, (T0, ), 1) (\u003d 1) un saskaņā ar TPK pie t + (1), punkta (t (t, 1), 1) lapām (\u003d 1). Ļaujiet T2 T0 (T2 T + (1)) ir pirmā pirmā vērtība, kurā nākamais punkts nāk.

Ar būvniecību T2 (T0, T1]. Mūsu uzdevums parādīs, ka T2 \u003d T1 ar papildu ierobežojumiem. Ļaujiet tagad T3. Ir (ar visām šādām T3, visas vērtības tiek izmantotas tālāk noteiktas būvniecības):

(T3, 1) (T3,) \u003d F (t (t, 1), 1) F (t (t),) dt, mēģināsim pierādīt, ka šī vērtība ir mazāka par a.

kur ir integrēta funkcija, kas novērtēta šādi:

± F (t (t),), un ne ± F (t (t,),), jo atšķirībā | (t, 1) (t,) | Nav reitinga tagad, tāpēc (t (t, 1),) nav skaidrs, bet | 1 | Ir un (t (t), 1) ir zināms.

tātad beigās | (T3, 1) (T3,) | K | (t, 1) (t) | + (| 1 |) DT.

Tādējādi funkcija (T3) \u003d | (T3, 1) (T3,) | (Šī ir nepārtraukta funkcija) atbilst GRONAOLE LEMMA nosacījumiem ar A (s) K 0, B (S) (| 1 |), T \u003d T2, \u003d 0, tāpēc mēs saņemam šo Lemmu [šo novērtējumu, kas jums nepieciešams Lai saglabātu acis! ] Ja jūs lietojat | 1 | 1 (T1). Mēs pieņemam, ka 1 (t1) b. Visi mūsu argumenti attiecas uz visiem T3.

Tādējādi ar šādu izvēli 1, ja t3 \u003d T2, lai gan | (T2, 1) (T2,) | A, kā arī | 1 | b. Tātad, (T2, (T2, 1), 1) ir iespējama tikai tāpēc, ka T2 \u003d T1. Bet tas jo īpaši nozīmē, ka (t, 1) ir definēts visos segmentā, I.E. T1 T + (1), un visi veidlapas punkti (t, 1) g, ja t, | 1 | 1 (T1).

Tas ir, lai gan t + ir atkarīgs no tā, bet segments paliek pa kreisi t + () ar, cieši tuvu. Attēls ir līdzīgs T t0, ir parādīts skaitļu T4 T0 un 2 (T4) esamība. Ja t t0, tad punkta (t) b (, 1) g ir līdzīgs t t0, un, ja t \u003d t0, tad abi gadījumi ir piemērojami, tāpēc (t0,) b (, 3) g, kur 3 \u003d min (12). Ir svarīgi, ka ar fiksētu (t,) var atrast T1 (t), lai T1 t 0 (vai attiecīgi T4), un 1 (t1) \u003d 1 (t,) 0 (vai attiecīgi 2), tāpēc izvēloties 0 \u003d 0 (t,) ir skaidrs (t. Līdz. Iegūtajā cilindriskajā apkaimē var ievadīt bumbu).

faktiski tika pierādīts izsmalcināts īpašums: ja HP \u200b\u200bir noteikta noteiktā segmentā, tad tas definē visus HP ar pietiekami tuviem parametriem (t.i.

visi mazie sašutējie HP). Tomēr, gluži pretēji, šis īpašums izriet no atvērtības G, kā tas tiks parādīts zemāk, tāpēc tie ir līdzvērtīgi formulējumi.

Tādējādi mēs izrādījāmies 1.

Ja mēs atrodamies norādītajā cilindrā telpā, tad reitings ir taisnība | 1 | 4 (, t,). Tajā pašā laikā | (T3,) (t,) | AT | T3 T | 5 (, t,) nepārtrauktības dēļ ar t. Rezultātā (T3, 1) B ((t,), mēs esam (t3, 1) (t,) |, kur \u003d min (4, 5). Tas ir 2. punkts.

"Augstākās profesionālās izglītības federācijas Federālās valsts izglītības un pedagoģiskās un zinātniskās personāla universitātes Vadības institūta Federālās valsts budžeta izglītības iestādes vadības un zinātniskās personāla universitātes vadības institūta speciālās disciplīnas socioloģija Moscow - 2014 1. Organizācija Metodiskie norādījumi Šī programma ir vērsta uz sagatavošanu piegādes ievada testiem absolventu skolā ... "

"AMUR Valsts universitāte Psiholoģijas un pedagoģijas Izglītības un metodiskā sarežģītā disciplīnas konsultatīvā psiholoģija pamatizglītības programmas virzienā bakalaura 030300.62 Psiholoģija Blagoveshchensk 2012 UMCD ir paredzēts pārskata un ieteicams sanāksmē Psiholoģijas un pedagoģijas protokolu. .. "

"Automotive Farm) Omsk - 2009 3 Federālā izglītības aģentūra Gou VPO Sibīrijas valsts automobiļu un ceļu akadēmijas (SIBADI) Inženierzinātņu pedagoģijas nodaļa Metodiskie norādījumi par disciplīnas pedagoģisko tehnoloģiju pētījumu specialitātes studentiem 050501 - profesionālā apmācība (automašīnas un automobiļi. .. "

"Vairākas izglītības grāmatas G.S. Rostenberg, F.N. Rensky teorētiskā un lietišķā ekoloģijas studiju rokasgrāmata, ko ieteicis klasiskā augstskolu metodoloģiskā asociācija Krievijas Federācija Kā mācību atbalsts augstskolu studentiem vides specialitātēs 2. izdevums Nizhnevartovsk izdevējs Nizhnevartovsky Pedagoģiskais institūts 2005 BBK 28.080.173 R64 recenzenti: Dr Biol. Zinātnes, profesors V.I. Popchenko (Ekoloģijas institūts ... "

"Krievijas Federācijas Federālās valsts izglītības iestādes Federālās valsts budžeta izglītības iestādes Krasnojarskas valsts pedagoģiskā universitāte. V.p. Astafieva e.m. Antipova Mazais darbnīca par Botānisko elektronisko izdevumu Krasnojarsk 2013 BBK 28.5 A 721 recenzenti: Vasilyev A.N., D.B., profesors KGPU. V.p. Astafieva; YAMSKI G.YU., D.G.N., profesors Sfu Trethakova, I.N., Dr., profesors, vadošais Meža institūta darbinieks ... "

"Augstākās profesionālās izglītības federācijas Federālās valsts izglītības un zinātnes ministrija AMUR Valsts universitātes Psiholoģijas katedras un pedagoģijas mācīšana un metodiskā sarežģīta disciplīna pamati un higiēna pamatizglītības programmas sagatavošanas virzienā 050400.62 Psiholoģiskā un Pedagoģiskā izglītība Analyzhensk 2012 1 UMCD izstrādāts un ieteicams Psiholoģijas katedras un ... "sanāksmē

"Pārbaudīt uzdevumus ar detalizētu atbildes stāvokli (galīgais) IX absolventu sertifikācija Vispārējās izglītības iestāžu klases (jaunā formā) 2013 Ģeogrāfija Maskava 2013 Autors kompilators: Ambarcumova E.M. Valstu rezultātu objektivitātes uzlabošana 9 vispārējās izglītības iestāžu klasēs (in ... "absolventu sertifikācija)

"Praktiskie ieteikumi par atsauces un informācijas izmantošanu un metodisko saturu, lai mācītu Krievijas kā valsts valodu Krievijas Federācijas. Praktiskie ieteikumi ir adresēti krievu valodas skolotājiem (ieskaitot gan ne-takelāžu). Saturs: Praktiski ieteikumi un atlases vadlīnijas 1. Materiāla saturu izglītības un izglītības klasēm, kas veltītas krievu valodas darbības problēmām kā valsts valoda...»

"E.V. Muriukina studentu kritiskās domāšanas un plašsaziņas līdzekļu kompetences attīstība preses apmācības procesā universitātēs Taganrog 2008 2 Muriukina E.V. Studentu kritiskās domāšanas un plašsaziņas līdzekļu kompetences attīstība preses analīzes procesā. Apmācība universitātēm. Taganrog: NP personības attīstības centrs, 2008. 298 c. Studiju rokasgrāmatā apspriež studentu kritiskās domāšanas un plašsaziņas līdzekļu komponenta attīstību mediju izglītības procesā. Kopš preses šodien ... "

"Par. \\ T P. Golovchenko par cilvēka fiziskās aktivitātes veidošanos II P. AG OGIK A mod Gat Yeln OI Active Acste Ose 3 English End Oļegs Petrovich Golovchenko cilvēka fiziskās aktivitātes veidošana Pedagoģija II daļa Pedagoģija motora aktivitāte Otrkārt, koriģēts *** redaktors N.I. Kosenkova datora izkārtojums veikts D.V.Smolyak un S.V. Potapova *** parakstīts drukā 23.11. Formāts 60 x 90/1/16. Papīra rakstīšanas austiņas reizes operatīvais drukāšanas veids SL. P.l .... "

"Augstākās profesionālās izglītības Valsts izglītības iestāde Kazaņas Valsts universitāte. Un. Ulyanova-Lenin elektroniskās zinātnisko un izglītības resursu bibliotēkas. Izglītības un metodiskais rokasgrāmata Abrosimov A.g. Lazareva yu.i. KazaN 2008 elektroniskās zinātnisko un izglītības resursu bibliotēkas. Izglītības un metodoloģiskā rokasgrāmata attiecībā uz elektroniskajiem izglītības resursiem. - Kazan: KASS, 2008. Mācību rokasgrāmata tiek publicēta ar lēmumu ... "

"Krievijas Federācijas izglītības ministrija Augstākās profesionālās izglītības iestādes Orenburgas Valsts universitātes Akbulak filiāles Pedagoģijas V.a. Teckskova Metodes mācīšana no pamatskolām vispārējās izglītības skolas metodisko instrukciju ieteicams publicēšanai redakcijas publicēšanas padome Valsts izglītības iestāde Augstāks profesionālā izglītība Orenburgas Valsts universitāte ... "

"Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija Stavropoles teritorija Valsts izglītības iestāde augstākās profesionālās izglītības Stavropol State Pedagoģiskais institūts N.I. Jugutanova Bērnu literatūra pētīto valodu izglītības un metodisko kompleksu Stavropol 2010 1 ir iespiests ar Lēmumu UDC 82.0 redakcijas izdevniecības padome BBC 83.3 (0) Gou VPO Stavropol State D Pedagoģiskā institūta Atsauksmes: ... "

"Noteikumi par jauno sistēmas intra novērtējumu par Mbou Kamyshinsky Sosh veidošanās kvalitāti 1. Vispārīgi noteikumi 1.1. Izglītības kvalitātes novērtēšanas sistēmas noteikums (turpmāk tekstā - Noteikums), nosaka vienotas prasības, lai īstenotu skolas izglītības kvalitātes kvalitātes novērtēšanas sistēmu (turpmāk - SCO) pašvaldības budžeta vispārējās izglītības iestādē \\ t Kamyshin vidusskola (turpmāk - skola). 1.2. Schok praktiskā īstenošana ir būvēta saskaņā ar ... "

"Veselības ministrija Uzbekistānas Republikas Taškenta Medicīnas akadēmijas departamenta VPP ar klīnisko alergoroloģiju, apstiprina priekšsēdētāja rektoru akadēmisko darbu prof. O.R.Teshaev _ 2012 Ieteikumi izglītības un metodoloģisko attīstību praktiskām nodarbībām par vienotu metodisko sistēmu metodisko instrukciju skolotājiem medicīnas universitātēm Taškent- 2012 Veselības ministrija Uzbekistānas Republikas medicīnas izglītības centrs Taškenta medicīnas ... "

"Federālā Izglītības aģentūra Gorno-Altaja Valsts universitātes AP Makoshev Politiskā ģeogrāfija un ģeopolitika Izglītības un metodoloģijas Gorno-Altaiisk Rio no Gorno-Altaja Valsts universitātes 2006 ir iespiests ar Lēmumu par Redakcijas un izdevniecības padomes Gorno-Altaja Valsts universitātes Makoshev ap politiskā ģeogrāfija un ģeopolitika. Izglītības un metodiskā rokasgrāmata. - Gorno-Altaisk: Rio Gaga, 2006.-103 S. Izglītības un metodoloģiskā rokasgrāmata ir izstrādāta atbilstoši apmācībai ... "

"A.V. Novitskaya, L.I. Nikolajeva nākotnes Modernās izglītības skolas dzīves posms 1. klase Metodoloģiskā rokasgrāmata Primārās klases skolotājiem Moscow 2009 UDC 371 (075.8) BBC 74.00 N 68 Autortiesības tiek aizsargātas likumīgi, atsauce uz autoriem ir pienākums. Nogitskaya A.V., Nikolaeva L.I. H 68 Mūsdienu izglītības programma Dzīves posmi. - m.: AVVALON, 2009. - 176 p. ISBN 978 5 94989 141 4 Šī brošūra ir adresēta galvenokārt pedagogiem, bet, medmāsu, ar savu informāciju ... "

"Izglītības un metodiskās komplekss Krievijas uzņēmējdarbības tiesības 030500 - Jurisprudence Maskava 2013 Autors - Civiltiesību Disciplines departamenta Recenzents - Izglītības un metodiskais komplekss tiek izskatīts un apstiprināts sanāksmē Civiltiesību disciplīnu protokolu no _2013. Krievijas uzņēmējdarbības likums: Izglītība un metodiskā ... "

"Bet. A. Yamashkin V. V. Ruhenkov al. A. Yamashkin Ģeogrāfija Mordovijas Republikas Tutorian Saransk Mordovian University Publishing House 2004 UDC 91 (075) (470.345) BBK D9 (2P351-6mo) YA549 recenzenti: Fizikālās ģeogrāfijas katedra Voronezas Valsts pedagoģiskā universitāte; ārsts Ģeogrāfiskās zinātnes Profesors A. M. Nosonon; Skolotājs no skolas kompleksa numurs 39. Saransk A. V. Leontyev drukā ar Lēmumu par mācību un metodisko padomi fakultātes DoVuzovskaya apmācības un vidējo ... "