Eksponenciālā funkcija ir n skaitļu reizinājuma vispārinājums, kas vienāds ar a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
uz reālo skaitļu kopu x:
y (x) = cirvis.
Šeit a ir fiksēts reālais skaitlis, ko sauc eksponenciālās funkcijas pamatā.
Tiek saukta arī eksponenciāla funkcija ar bāzi a eksponents bāzei a.
Vispārināšana tiek veikta šādi.
Dabiskajam x = 1, 2, 3,...
, eksponenciālā funkcija ir x faktoru reizinājums:
.
Turklāt tam ir īpašības (1,5-8) (), kas izriet no skaitļu reizināšanas noteikumiem. Veselu skaitļu nulles un negatīvajām vērtībām eksponenciālo funkciju nosaka, izmantojot formulas (1.9-10). Daļējām vērtībām x = m/n racionālie skaitļi, , to nosaka pēc formulas (1.11). Reāli eksponenciālā funkcija ir definēta kā secības robeža:
,
kur ir patvaļīga racionālu skaitļu secība, kas konverģē uz x: .
Izmantojot šo definīciju, eksponenciālā funkcija ir definēta visiem , un tā atbilst īpašībām (1,5–8), tāpat kā dabiskajam x.
Stingrs eksponenciālās funkcijas definīcijas matemātiskais formulējums un tās īpašību pierādījums ir sniegts lapā “Eksponenciālās funkcijas īpašību definīcija un pierādījums”.
Eksponenciālās funkcijas īpašības
Eksponenciālajai funkcijai y = a x reālo skaitļu kopai () ir šādas īpašības:
(1.1)
definēts un nepārtraukts , visiem ;
(1.2)
par ≠ 1
ir daudz nozīmju;
(1.3)
stingri palielinās pie , stingri samazinās pie ,
ir nemainīgs pie ;
(1.4)
pie ;
pie ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Citas noderīgas formulas.
.
Formula konvertēšanai uz eksponenciālu funkciju ar atšķirīgu eksponentu bāzi:
Ja b = e, mēs iegūstam eksponenciālās funkcijas izteiksmi, izmantojot eksponenciālo:
Privātās vērtības
, , , , .
Attēlā parādīti eksponenciālās funkcijas grafiki
y (x) = cirvis
četrām vērtībām grādu bāzes: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
un a = 1/8
. Var redzēt, ka par > 1
eksponenciālā funkcija palielinās monotoni. Jo lielāka ir pakāpes a bāze, jo spēcīgāka ir izaugsme. Plkst 0
< a < 1
eksponenciālā funkcija monotoni samazinās. Jo mazāks eksponents a, jo spēcīgāks samazinājums.
Augošā, dilstošā
Eksponenciālā funkcija ir stingri monotona, un tāpēc tai nav ekstrēmu. Tās galvenās īpašības ir parādītas tabulā.
| y = a x , a > 1 | y = cirvis, 0 < a < 1 | |
| Domēns | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Vērtību diapazons | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Monotons | monotoni palielinās | monotoni samazinās |
| Nulles, y = 0 | Nē | Nē |
| Pārtveršanas punkti ar ordinātu asi, x = 0 | y = 1 | y = 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Apgrieztā funkcija
Eksponenciālas funkcijas apgrieztā vērtība ar bāzi a ir logaritms bāzei a.
Ja tad
.
Ja tad
.
Eksponenciālās funkcijas diferenciācija
Lai diferencētu eksponenciālu funkciju, tās bāze jāsamazina līdz skaitlim e, jāpiemēro atvasinājumu tabula un kompleksas funkcijas diferencēšanas noteikums.
Lai to izdarītu, ir jāizmanto logaritmu īpašība
un formula no atvasinājumu tabulas:
.
Dota eksponenciāla funkcija:
.
Mēs to nogādājam bāzē e:
Piemērosim sarežģītu funkciju diferenciācijas likumu. Lai to izdarītu, ievadiet mainīgo
Tad
No atvasinājumu tabulas mums ir (aizstāt mainīgo x ar z):
.
Tā kā ir konstante, z atvasinājums attiecībā pret x ir vienāds ar
.
Saskaņā ar sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu:
.
Eksponenciālās funkcijas atvasinājums
.
N-tās kārtas atvasinājums:
.
Formulu atvasināšana >>>
Eksponenciālās funkcijas diferencēšanas piemērs
Atrodiet funkcijas atvasinājumu
y = 35x
Risinājums
Izteiksim eksponenciālās funkcijas bāzi caur skaitli e.
3 = e ln 3
Tad
.
Ievadiet mainīgo
.
Tad
No atvasinājumu tabulas mēs atrodam:
.
Tāpēc ka 5ln 3 ir konstante, tad z atvasinājums attiecībā pret x ir vienāds ar:
.
Saskaņā ar sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu mums ir:
.
Atbilde
Integrāls
Izteiksmes, izmantojot kompleksos skaitļus
Apsveriet komplekso skaitļu funkciju z:
f (z) = a z
kur z = x + iy; i 2 = - 1
.
Izteiksim komplekso konstanti a ar moduli r un argumentu φ:
a = r e i φ
Tad
.
Arguments φ nav unikāli definēts. Vispār
φ = φ 0 + 2 πn,
kur n ir vesels skaitlis. Tāpēc funkcija f (z) arī nav skaidrs. Bieži tiek apsvērta tā galvenā nozīme
.
Sērijas paplašināšana
.
Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un koledžas studentiem, “Lan”, 2009.
Uzmanības koncentrācija:
Definīcija. Funkcija sugas sauc eksponenciālā funkcija .
komentēt. Izslēgšana no bāzes vērtībām a skaitļi 0; 1 un negatīvas vērtības a ir izskaidrojams ar šādiem apstākļiem:
Pati analītiskā izteiksme a xšajos gadījumos tas saglabā savu nozīmi un var tikt izmantots problēmu risināšanā. Piemēram, izteiksmei x y punkts x = 1; y = 1 ir pieļaujamo vērtību diapazonā.
Izveidojiet funkciju grafikus: un.
 |
 |
| Eksponenciālās funkcijas grafiks | |
| y = a x, a > 1 | y = a x , 0< a < 1 |
 |
 |
Eksponenciālās funkcijas īpašības
| Eksponenciālās funkcijas īpašības | y = a x, a > 1 | y = a x , 0< a < 1 |
|
||
| 2. Funkciju diapazons | ||
| 3. Salīdzināšanas intervāli ar mērvienību | plkst x> 0, a x > 1 | plkst x > 0, 0< a x < 1 |
| plkst x < 0, 0< a x < 1 | plkst x < 0, a x > 1 | |
| 4. Pāra, nepāra. | Funkcija nav ne pāra, ne nepāra (vispārīgas formas funkcija). | |
| 5.Monotonija. | monotoni palielinās par R | monotoni samazinās par R |
| 6. Galējības. | Eksponenciālajai funkcijai nav ekstrēmu. | |
| 7.Asimptote | O-ass x ir horizontāla asimptote. | |
| 8. Par jebkurām īstām vērtībām x Un y; |  |
|
Kad tabula ir aizpildīta, paralēli aizpildīšanai tiek risināti uzdevumi.
Uzdevums Nr. 1. (Atrast funkcijas definīcijas apgabalu).
Kādas argumentu vērtības ir derīgas funkcijām:
Uzdevums Nr. 2. (Atrast funkcijas vērtību diapazonu).
Attēlā parādīts funkcijas grafiks. Norādiet funkcijas definīcijas domēnu un vērtību diapazonu:
 |
 |
 |
 |
Uzdevums Nr.3. (Norādīt salīdzināšanas intervālus ar vienu).
Salīdziniet katru no šīm pilnvarām ar vienu:
Uzdevums Nr. 4. (Izpētīt monotonitātes funkciju).
Salīdziniet reālos skaitļus pēc lieluma m Un n Ja:
Uzdevums Nr. 5. (Izpētīt monotonitātes funkciju).
Izdariet secinājumu par pamatu a, Ja:
y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) — 4 x
Kā eksponenciālo funkciju grafiki ir saistīti viens pret otru, ja x > 0, x = 0, x< 0?
Vienā koordinātu plaknē ir attēloti šādi funkciju grafiki:
y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0,5) x ; z(x) = (0,8) x .
Kā eksponenciālo funkciju grafiki ir saistīti viens pret otru, ja x > 0, x = 0, x< 0?
| Numurs
viena no svarīgākajām konstantēm matemātikā. Pēc definīcijas tā vienāds ar secības robežu
ar neierobežotu
palielinot n
. Apzīmējums e ievadīts Leonards Eilers
1736. gadā. Viņš aprēķināja šī skaitļa pirmos 23 ciparus decimāldaļās, un pats skaitlis tika nosaukts par godu Neijēram par "ne-Pjēra skaitli".
Numurs e Tam ir īpaša loma matemātiskajā analīzē. Eksponenciālā funkcija ar pamatni e, sauc par eksponentu un ir norādīts y = e x. Pirmās pazīmes cipariem e viegli atcerēties: divi, komats, septiņi, Ļeva Tolstoja dzimšanas gads - divas reizes, četrdesmit piecas, deviņdesmit, četrdesmit pieci. |
 |
Mājasdarbs:
Kolmogorova 35. punkts; Nr.445-447; 451; 453.
Atkārtojiet algoritmu, lai izveidotu funkciju grafikus, kas satur mainīgo zem moduļa zīmes.
Zināšanu hipermārkets >>Matemātika >>Matemātika 10.klase >>
Eksponenciālā funkcija, tās īpašības un grafiks
Apskatīsim izteiksmi 2x un atradīsim tās vērtības dažādām mainīgā x racionālām vērtībām, piemēram, ja x = 2;
Kopumā neatkarīgi no tā, kādu racionālu nozīmi mēs piešķiram mainīgajam x, mēs vienmēr varam aprēķināt atbilstošo izteiksmes skaitlisko vērtību 2 x. Tādējādi mēs varam runāt par eksponenciālu funkcijas y=2 x, kas definēts uz racionālo skaitļu kopas Q:
Apskatīsim dažas šīs funkcijas īpašības.
1. īpašums.- funkciju palielināšana. Mēs veicam pierādīšanu divos posmos.
Pirmais posms. Pierādīsim, ja r ir pozitīvs racionālais skaitlis, tad 2 r >1.
Ir iespējami divi gadījumi: 1) r ir naturāls skaitlis, r = n; 2) parastais neredukējamais frakcija,
Pēdējās nevienādības kreisajā pusē mums ir , bet labajā pusē 1. Tas nozīmē, ka pēdējo nevienādību var pārrakstīt formā
Tātad jebkurā gadījumā pastāv nevienādība 2 r > 1, kas bija jāpierāda.
Otrā fāze. Lai x 1 un x 2 ir skaitļi, un x 1 un x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:
(starpību x 2 - x 1 apzīmējām ar burtu r).
Tā kā r ir pozitīvs racionāls skaitlis, tad ar to, kas tika pierādīts pirmajā posmā, 2 r > 1, t.i. 2 r -1 >0. Arī skaitlis 2x" ir pozitīvs, kas nozīmē, ka reizinājums 2x-1 (2 Г -1) arī ir pozitīvs. Tādējādi mēs esam pierādījuši, ka nevienlīdzība 2 Xg –2 x" >0.
Tātad no nevienlīdzības x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.
2. īpašums. ierobežots no apakšas un nav ierobežots no augšas.
Funkcijas robeža no apakšas izriet no nevienādības 2 x >0, kas ir spēkā jebkurai x vērtībai no funkcijas definīcijas domēna. Tajā pašā laikā neatkarīgi no tā, kādu pozitīvu skaitli M jūs ņemtu, jūs vienmēr varat izvēlēties tādu eksponentu x, lai tiktu izpildīta nevienādība 2 x >M, kas raksturo funkcijas neierobežotību no augšas. Sniegsim vairākus piemērus.
3. īpašums. nav ne mazākās, ne lielākās vērtības.
Tas, ka šai funkcijai nav vislielākā nozīme, ir acīmredzams, jo, kā mēs tikko redzējām, tā nav iepriekš ierobežota. Bet tas ir ierobežots no apakšas, kāpēc tam nav minimālās vērtības?
Pieņemsim, ka 2 r ir mazākā funkcijas vērtība (r ir kāds racionāls rādītājs). Ņemsim racionālu skaitli q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.
Tas viss ir labi, jūs sakāt, bet kāpēc mēs funkciju y-2 x aplūkojam tikai racionālo skaitļu kopā, kāpēc mēs to neuzskatām par citām zināmām funkcijām visā skaitļu rindā vai kādā nepārtrauktā skaitļa intervālā. skaitļu līnija? Kas mūs attur? Padomāsim par situāciju.
Skaitļu līnija satur ne tikai racionālos, bet arī iracionālos skaitļus. Iepriekš pētītajām funkcijām tas mūs netraucēja. Piemēram, funkcijas y = x2 vērtības vienlīdz viegli atradām gan racionālām, gan iracionālām x vērtībām: pietika ar dotās x vērtības kvadrātu.
Bet ar funkciju y=2 x situācija ir sarežģītāka. Ja argumentam x tiek piešķirta racionāla nozīme, tad principā x var aprēķināt (atgriezieties vēlreiz uz rindkopas sākumu, kur mēs izdarījām tieši to). Ko darīt, ja argumentam x tiek piešķirta neracionāla nozīme? Kā, piemēram, aprēķināt? Mēs to vēl nezinām.
Matemātiķi ir atraduši izeju; tā viņi sprieda.
Ir zināms, ka 
Apsveriet racionālu skaitļu secību - skaitļa decimālo tuvinājumu ar trūkumu:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .
Ir skaidrs, ka 1,732 = 1,7320 un 1,732050 = 1,73205. Lai izvairītos no šādiem atkārtojumiem, mēs atmetam tos secības dalībniekus, kas beidzas ar skaitli 0.
Tad mēs iegūstam pieaugošu secību:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .
Attiecīgi secība palielinās
Visi šīs secības vārdi ir pozitīvi skaitļi, kas mazāki par 22, t.i. šī secība ir ierobežota. Saskaņā ar Veierštrāsa teorēmu (sk. § 30), ja secība ir pieaugoša un ierobežota, tad tā saplūst. Turklāt no 30. § mēs zinām, ka, ja secība saplūst, tā to dara tikai līdz vienai robežai. Tika panākta vienošanās, ka šī vienīgā robeža ir jāuzskata par skaitliskās izteiksmes vērtību. Un tas nekas, ka ir ļoti grūti atrast pat aptuvenu skaitliskās izteiksmes 2 vērtību; ir svarīgi, lai tas būtu konkrēts skaitlis (galu galā mēs nebaidījāmies teikt, ka, piemēram, tas ir racionāla vienādojuma sakne, 
trigonometriskā vienādojuma sakne, īsti nedomājot par to, kas īsti ir šie skaitļi: 
Tātad, mēs esam noskaidrojuši, kādu nozīmi matemātiķi piešķir simbolam 2^. Līdzīgi var noteikt, kas un vispār kas ir a a, kur a ir iracionāls skaitlis un a > 1.
Bet ja nu 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Tagad mēs varam runāt ne tikai par pakāpēm ar patvaļīgiem racionālajiem eksponentiem, bet arī par pakāpēm ar patvaļīgiem reālajiem eksponentiem. Ir pierādīts, ka grādiem ar jebkuriem reāliem eksponentiem ir visas ierastās pakāpju īpašības: reizinot pakāpes ar vienādām bāzēm, eksponentus saskaita, dalot atņem, paaugstinot pakāpi līdz pakāpei, reizina, utt. Bet vissvarīgākais ir tas, ka tagad mēs varam runāt par funkciju y-ax, kas definēta visu reālo skaitļu kopā.
Atgriezīsimies pie funkcijas y = 2 x un izveidosim tās grafiku. Lai to izdarītu, izveidosim funkciju vērtību tabulu y=2x:
Atzīmēsim punktus koordinātu plaknē (194. att.), tie iezīmē noteiktu līniju, novelkam to (195. att.).
Funkcijas y - 2 x īpašības:
1)
2) nav ne pāra, ne nepāra; 248
3) palielinās;
5) nav ne lielāko, ne mazāko vērtību;
6) nepārtraukts;
7)
8) izliekta uz leju.
Funkcijas y-2 x uzskaitīto īpašību stingri pierādījumi tiek sniegti augstākās matemātikas kursā. Dažas no šīm īpašībām mēs vienā vai otrā pakāpē apspriedām agrāk, dažas no tām skaidri parāda konstruētais grafiks (sk. 195. att.). Piemēram, funkcijas paritātes vai nepāra trūkums ir ģeometriski saistīts ar grafika simetrijas trūkumu attiecīgi attiecībā pret y asi vai attiecībā pret izcelsmi.
Jebkurai funkcijai formā y = a x, kur a > 1, ir līdzīgas īpašības. Attēlā Tika konstruētas 196 vienā koordinātu sistēmā, funkciju grafiki y=2 x, y=3 x, y=5 x.
Tagad apskatīsim funkciju un izveidosim tai vērtību tabulu:
Atzīmēsim punktus koordinātu plaknē (197. att.), tie iezīmē noteiktu līniju, zīmēsim to (198. att.).
Funkciju īpašības
1)
2) nav ne pāra, ne nepāra;
3) samazinās;
4) neierobežots no augšas, ierobežots no apakšas;
5) nav ne lielākās, ne mazākās vērtības;
6) nepārtraukts;
7)
8) izliekta uz leju.
Jebkurai formai y = a x ir līdzīgas īpašības, kur O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций 
Lūdzu, ņemiet vērā: funkciju diagrammas 
tie. y=2 x, simetriski pret y asi (201. att.). Tās ir vispārīgā apgalvojuma (sk. 13. §) sekas: funkciju y = f(x) un y = f(-x) grafiki ir simetriski pret y asi. Līdzīgi funkciju y = 3 x un grafiki
Apkopojot teikto, mēs sniegsim eksponenciālās funkcijas definīciju un izcelsim tās svarīgākās īpašības.
Definīcija. Formas funkciju sauc par eksponenciālu funkciju.
Eksponenciālās funkcijas y = a x pamatīpašības
Funkcijas y=a x grafiks a> 1 parādīts attēlā. 201 un par 0<а < 1 - на рис. 202.
attēlā parādītā līkne. 201 vai 202 sauc par eksponentu. Faktiski matemātiķi pašu eksponenciālo funkciju parasti sauc par y = a x. Tātad termins "eksponents" tiek lietots divās nozīmēs: gan eksponenciālās funkcijas nosaukšanai, gan eksponenciālās funkcijas grafika nosaukšanai. Parasti nozīme ir skaidra, vai mēs runājam par eksponenciālu funkciju vai tās grafiku.
Pievērsiet uzmanību eksponenciālās funkcijas y=ax grafika ģeometriskajai iezīmei: x ass ir diagrammas horizontālā asimptote. Tiesa, šis apgalvojums parasti tiek precizēts šādi.
X ass ir funkcijas grafika horizontālā asimptote
Citiem vārdiem sakot
Pirmā svarīgā piezīme. Skolēni bieži jauc terminus: jaudas funkcija, eksponenciālā funkcija. Salīdzināt:
Šie ir jaudas funkciju piemēri; 
Šie ir eksponenciālu funkciju piemēri.
Kopumā y = x r, kur r ir konkrēts skaitlis, ir pakāpju funkcija (arguments x ir ietverts pakāpes bāzē);
y = a", kur a ir konkrēts skaitlis (pozitīvs un atšķiras no 1), ir eksponenciāla funkcija (arguments x ir ietverts eksponentā).
"Eksotiska" funkcija, piemēram, y = x, netiek uzskatīta ne par eksponenciālu, ne par jaudu (to dažreiz sauc par eksponenciālu).
Otra svarīga piezīme. Parasti netiek uzskatīta eksponenciāla funkcija ar bāzi a = 1 vai ar bāzi a, kas apmierina nevienlīdzību a<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 un a Fakts ir tāds, ka, ja a = 1, tad jebkurai x vērtībai pastāv vienādība Ix = 1. Tādējādi eksponenciālā funkcija y = a" ar a = 1 "deģenerējas" par konstantu funkciju y = 1 - tas nav interesanti. Ja a = 0, tad 0x = 0 jebkurai pozitīvai x vērtībai, t.i., mēs iegūstam funkciju y = 0, kas definēta x > 0 - arī tas ir neinteresanti. Ja, visbeidzot, a<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.
Pirms pāriet pie piemēru risināšanas, ņemiet vērā, ka eksponenciālā funkcija būtiski atšķiras no visām līdz šim pētītajām funkcijām. Lai rūpīgi izpētītu jaunu objektu, tas ir jāapsver no dažādiem leņķiem, dažādās situācijās, tāpēc piemēru būs daudz.
1. piemērs.
Risinājums, a) Konstruējot vienā koordinātu sistēmā funkciju y = 2 x un y = 1 grafikus, novērojam (203. att.), ka tiem ir viens kopīgs punkts (0; 1). Tas nozīmē, ka vienādojumam 2x = 1 ir viena sakne x =0.
Tātad no vienādojuma 2x = 2° mēs iegūstam x = 0.
b) Izveidojot vienā koordinātu sistēmā funkciju y = 2 x un y = 4 grafikus, novērojam (203. att.), ka tiem ir viens kopīgs punkts (2; 4). Tas nozīmē, ka vienādojumam 2x = 4 ir viena sakne x = 2.
Tātad no vienādojuma 2 x = 2 2 mēs iegūstam x = 2.
c) un d) Pamatojoties uz tiem pašiem apsvērumiem, secinām, ka vienādojumam 2 x = 8 ir viena sakne, un, lai to atrastu, nav jāveido atbilstošo funkciju grafiki;
ir skaidrs, ka x = 3, jo 2 3 = 8. Līdzīgi mēs atrodam vienīgo vienādojuma sakni
Tātad no vienādojuma 2x = 2 3 mēs saņēmām x = 3, un no vienādojuma 2 x = 2 x mēs saņēmām x = -4.
e) Funkcijas y = 2 x grafiks atrodas virs funkcijas y = 1 grafika, ja x > 0 - tas ir skaidri nolasāms attēlā. 203. Tas nozīmē, ka nevienādības 2x > 1 atrisinājums ir intervāls
f) Funkcijas y = 2 x grafiks atrodas zem funkcijas y = 4 grafika pie x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Jūs droši vien pamanījāt, ka visu secinājumu pamatā, kas izdarīti, risinot 1. piemēru, bija funkcijas y = 2 x monotoniskuma (palielinājuma) īpašība. Līdzīga argumentācija ļauj mums pārbaudīt divu nākamo teorēmu derīgumu.
Risinājums. Varat rīkoties šādi: izveidojiet funkcijas y-3 x grafiku, pēc tam izstiepiet to no x ass ar koeficientu 3 un pēc tam paceliet iegūto grafiku uz augšu par 2 mēroga vienībām. Bet ērtāk ir izmantot faktu, ka 3-3* = 3 * + 1, un tāpēc izveidojiet funkcijas y = 3 x * 1 + 2 grafiku.
Pārejam tālāk, kā jau daudzkārt šādos gadījumos esam darījuši, uz palīgkoordinātu sistēmu ar sākumpunktu punktā (-1; 2) - punktētās līnijas x = - 1 un 1x = 2 attēlā. 207. “Piesaistīsim” funkciju y=3* jaunajai koordinātu sistēmai. Lai to izdarītu, atlasiet funkcijas kontroles punktus 
, taču tās veidosim nevis vecajā, bet jaunajā koordinātu sistēmā (šie punkti atzīmēti 207. att.). Tad no punktiem konstruēsim eksponentu – tas būs vajadzīgais grafs (skat. 207. att.).
Lai segmentā [-2, 2] atrastu dotās funkcijas lielākās un mazākās vērtības, mēs izmantojam to, ka dotā funkcija palielinās, un tāpēc tā iegūst attiecīgi mazāko un lielāko vērtību pie segmenta kreisais un labais gals.
Tātad:
4. piemērs. Atrisiniet vienādojumu un nevienādības:
Risinājums, a) Konstruēsim vienā koordinātu sistēmā funkciju y=5* un y=6-x grafikus (208. att.). Tie krustojas vienā punktā; spriežot pēc zīmējuma, tas ir punkts (1; 5). Pārbaude parāda, ka faktiski punkts (1; 5) apmierina gan vienādojumu y = 5*, gan vienādojumu y = 6-x. Šī punkta abscisa kalpo kā vienīgā dotā vienādojuma sakne.
Tātad vienādojumam 5 x = 6 - x ir viena sakne x = 1.
b) un c) Eksponents y-5x atrodas virs taisnes y=6-x, ja x>1, tas ir skaidri redzams attēlā. 208. Tas nozīmē, ka nevienādības 5*>6 atrisinājumu var uzrakstīt šādi: x>1. Un risinājums nevienlīdzībai 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
Atbilde: a)x = 1; b)x>1; c)x<1.
5. piemērs. Dota funkcija 
Pierādiet to 
Risinājums. Atbilstoši mūsu stāvoklim.
Vispirms iepazīstināsim ar eksponenciālās funkcijas definīciju.
Eksponenciālā funkcija $f\left(x\right)=a^x$, kur $a >1$.
Iepazīstinām ar eksponenciālās funkcijas īpašībām $a >1$.
\ \ [nav sakņu\] \
Krustpunkts ar koordinātu asīm. Funkcija nešķērso $Ox$ asi, bet krusto $Oy$ asi punktā $(0,1)$.
$f""\left(x\right)=(\left(a^xlna\right))"=a^x(ln)^2a$
\ \ [nav sakņu\] \
Grafiks (1. att.).
1. attēls. Funkcijas $f\left(x\right)=a^x,\ for\ a >1$ grafiks.
Eksponenciālā funkcija $f\left(x\right)=a^x$, kur $0
Iepazīstinām ar eksponenciālās funkcijas īpašībām pie $0
Definīcijas domēns ir visi reālie skaitļi.
$f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ — funkcija nav ne pāra, ne nepāra.
$f(x)$ ir nepārtraukts visā definīcijas domēnā.
Vērtību diapazons ir intervāls $(0,+\infty)$.
$f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$
\ \ [bez saknēm\] \ \ [bez saknēm\] \
Funkcija ir izliekta visā definīcijas jomā.
Rīcība domēna galos:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\]
Grafiks (2. att.).
Problēmas piemērs eksponenciālas funkcijas konstruēšanai
Izpētiet un uzzīmējiet funkciju $y=2^x+3$.
Risinājums.
Veiksim pētījumu, izmantojot iepriekš redzamo diagrammas piemēru:
Definīcijas domēns ir visi reālie skaitļi.
$f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ — funkcija nav ne pāra, ne nepāra.
$f(x)$ ir nepārtraukts visā definīcijas domēnā.
Vērtību diapazons ir intervāls $(3,+\infty)$.
$f"\left(x\right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$
Funkcija palielinās visā definīcijas jomā.
$f(x)\ge 0$ visā definīcijas domēnā.
Krustpunkts ar koordinātu asīm. Funkcija nešķērso $Ox$ asi, bet šķērso $Oy$ asi punktā ($0,4)$
$f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$
Funkcija ir izliekta visā definīcijas jomā.
Rīcība domēna galos:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\]
Grafiks (3. att.).
3. attēls. Funkcijas $f\left(x\right)=2^x+3$ grafiks
1. Eksponenciālā funkcija ir funkcija formā y(x) = a x atkarībā no eksponenta x ar pakāpes a bāzes nemainīgu vērtību, kur a > 0, a ≠ 0, xϵR (R ir reālo skaitļu kopa).
Apsvērsim funkcijas grafiks, ja bāze neizpilda nosacījumu: a>0
a) a< 0
Ja< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2
Ja a = 0, funkcija y = ir definēta, un tās nemainīgā vērtība ir 0
c) a =1
Ja a = 1, funkcija y = ir definēta, un tās nemainīgā vērtība ir 1
Funkciju domēns (DOF) Pieļaujamo funkciju vērtību diapazons (APV) 3. Funkcijas nulles (y = 0) 4. Krustošanās punkti ar ordinātu asi oy (x = 0) 5. Funkciju palielināšana, samazināšanās Ja , tad funkcija f(x) palielinās 6. Pāra, nepāra funkcija Funkcija y = nav simetriska attiecībā pret 0y asi un koordinātu sākumpunktu, tāpēc tā nav ne pāra, ne nepāra. (Vispārējā funkcija) 7. Funkcijai y = nav ekstrēmu 8. Grāda īpašības ar reālu eksponentu: Ļaujiet a > 0; a≠1 Tad xϵR; yϵR: Pakāpju monotonitātes īpašības: ja tad Ja a> 0, tad . 9. Funkcijas relatīvā pozīcija Jo lielāka bāze a, jo tuvāk asīm x un oy a > 1, a = 20 1. piemērs. 
2. Apskatīsim eksponenciālo funkciju tuvāk:
0
Ja , tad funkcija f(x) samazinās
Funkcija y= , pie 0
Tas izriet no jaudas monotonitātes īpašībām ar reālu eksponentu.
b> 0; b≠1
Piemēram:
Eksponenciālā funkcija ir nepārtraukta jebkurā punktā ϵ R.
Ja a0, tad eksponenciālā funkcija iegūst formu, kas ir tuvu y = 0.
Ja a1, tad tālāk no ox un oy asīm un grafs iegūst formu, kas ir tuvu funkcijai y = 1.
Izveidojiet grafiku ar y =
