Vispārīgs formulējums: Elektriskā lauka intensitātes vektora plūsma caur jebkuru patvaļīgi izvēlētu slēgtu virsmu ir proporcionāla elektriskajam lādiņam, kas atrodas šīs virsmas iekšpusē.
GSSE sistēmā:
SI sistēmā:
ir elektriskā lauka intensitātes vektora plūsma caur slēgtu virsmu .
ir kopējais lādiņš, kas atrodas tilpumā, kas ierobežo virsmu.
ir elektriskā konstante.
Šī izteiksme ir Gausa teorēma integrālā formā.
Diferenciālā formā Gausa teorēma atbilst vienam no Maksvela vienādojumiem un tiek izteikta šādi
SI sistēmā:
,
GSSE sistēmā:
Šeit ir tilpuma lādiņu blīvums (vides klātbūtnes gadījumā kopējais brīvo un saistīto lādiņu blīvums), un tas ir nabla operators.
Gausa teorēmai ir spēkā superpozīcijas princips, tas ir, sprieguma vektora plūsma caur virsmu nav atkarīga no lādiņa sadalījuma virsmas iekšpusē.
Gausa teorēmas fiziskais pamats ir Kulona likums vai, pretējā gadījumā, Gausa teorēma ir Kulona likuma integrāls formulējums.
Gausa teorēma par elektrisko indukciju (elektrisko nobīdi).
Laukam vielā Gausa elektrostatisko teorēmu var uzrakstīt citā veidā - caur elektriskā nobīdes vektora plūsmu (elektriskā indukcija). Šajā gadījumā teorēmas formulējums ir šāds: elektriskā nobīdes vektora plūsma caur slēgtu virsmu ir proporcionāla brīvajam elektriskajam lādiņam šīs virsmas iekšpusē:
Ja ņemam vērā teorēmu par lauka intensitāti vielā, tad kā lādiņu Q jāņem virsmas iekšpusē esošā brīvā lādiņa un dielektriķa polarizācijas (inducētā, saistītā) lādiņa summa:
,
kur 
,
ir dielektriskās polarizācijas vektors.
Gausa teorēma magnētiskajai indukcijai
Magnētiskās indukcijas vektora plūsma caur jebkuru slēgtu virsmu ir nulle:
.
Tas ir līdzvērtīgs faktam, ka dabā nav "magnētisko lādiņu" (monopolu), kas radītu magnētisko lauku, tāpat kā elektriskie lādiņi rada elektrisko lauku. Citiem vārdiem sakot, Gausa teorēma magnētiskajai indukcijai parāda, ka magnētiskais lauks ir virpulis.
Gausa teorēmas pielietojums
Elektromagnētisko lauku aprēķināšanai izmanto šādus lielumus:
Lielapjoma lādiņa blīvums (skatīt iepriekš).
Virsmas lādiņa blīvums
kur dS ir bezgalīgi mazs virsmas laukums.
Lineārais lādiņa blīvums
kur dl ir bezgalīgi maza segmenta garums.
Apsveriet lauku, ko rada bezgalīga viendabīga lādēta plakne. Lai plaknes virsmas lādiņa blīvums ir vienāds un vienāds ar σ. Garīgi iedomājieties cilindru ar ģeneratoriem, kas ir perpendikulāri plaknei, un bāzi ΔS, kas atrodas simetriski attiecībā pret plakni. Simetrijas dēļ. Intensitātes vektora plūsma ir vienāda ar . Izmantojot Gausa teorēmu, mēs iegūstam:
,
no kuriem
GSSE sistēmā
Ir svarīgi atzīmēt, ka, neskatoties uz tās universālumu un vispārīgumu, Gausa teorēmai integrāļa formā ir salīdzinoši ierobežots pielietojums integrāļa aprēķināšanas neērtību dēļ. Taču simetriskas problēmas gadījumā tās risinājums kļūst daudz vienkāršāks, nekā izmantojot superpozīcijas principu.
Elektriskā lauka intensitātes vektora plūsma.Ļaujiet izveidot nelielu rotaļu laukumu DS(1.2. att.) šķērso elektriskā lauka spēka līnijas, kuru virziens ir ar normālo. n
stūris uz šo vietni a. Pieņemot, ka spriedzes vektors E
vietnes ietvaros nemainās DS, definējiet spriedzes vektora plūsma caur vietni DS kā
DFE =E DS cos a.(1.3)
Tā kā lauka līniju blīvums ir vienāds ar spriedzes skaitlisko vērtību E, tad to spēka līniju skaits, kas šķērso apgabaluDS, būs skaitliski vienāds ar straumes vērtībuDFEcaur virsmuDS. Izteiksmes labo pusi (1.3) attēlojam kā vektoru skalāro reizinājumu E unDS= nDS, kur nir virsmas normālvektorsDS. Elementārajai zonai d S izteiksme (1.3) iegūst formu
dFE = E d S
visā vietnē S intensitātes vektora plūsmu aprēķina kā integrāli virs virsmas
Elektriskās indukcijas vektora plūsma. Elektriskās indukcijas vektora plūsmu nosaka līdzīgi kā elektriskā lauka intensitātes vektora plūsmu
dFD = D d S
Plūsmu definīcijās ir dažas neskaidrības, jo katrai virsmai varat norādīt divas normāli pretējā virzienā. Slēgtai virsmai ārējā norma tiek uzskatīta par pozitīvu.
Gausa teorēma. Apsveriet punkts pozitīvs elektriskais lādiņš q, kas atrodas patvaļīgi slēgtas virsmas iekšpusē S(1.3. att.). Indukcijas vektora plūsma caur virsmas elementu d S vienāds 
(1.4)
Komponents d S D = d S cos avirsmas elements d S indukcijas vektora virzienāDuzskatīts par rādiusa sfēriskas virsmas elementu r, kura centrā ir maksaq.
|
|
Ņemot vērā, ka d S D/ r 2 vienāds elementārs ķermenis stūris dw, zem kura no vietas, kur lādiņšqredzams virsmas elements d S, mēs pārveidojam izteiksmi (1.4) formā d FD = q d w / 4 lpp, no kurienes pēc integrācijas visā telpā, kas ieskauj lādiņu, t.i., telpiskā leņķī no 0 līdz 4lpp, saņemam
FD = q.
Elektriskās indukcijas vektora plūsma caur patvaļīgas formas slēgtu virsmu ir vienāda ar lādiņu, kas atrodas šīs virsmas iekšpusē.
|
|
Ja patvaļīgi slēgta virsma S nesedz punktu maksu q(1.4. att.), tad, izbūvējot konisku virsmu ar virsotni vietā, kur atrodas lādiņš, sadalām virsmu. S divās daļās: S 1 un S 2. Vektoru plūsma D caur virsmu S mēs atrodam kā caur virsmām plūsmu algebrisko summu S 1 un S 2:
.
Abas virsmas no vietas, kur atrodas lādiņš q redzams no viena cieta leņķa w. Tātad plūsmas ir vienādas
Tā kā, aprēķinot plūsmu caur slēgtu virsmu, mēs izmantojam ārējais normāls uz virsmu, ir viegli redzēt, ka plūsma Ф 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Kopējā plūsma Ф D= 0. Tas nozīmē, ka elektriskās indukcijas vektora plūsma caur patvaļīgas formas slēgtu virsmu nav atkarīga no lādiņiem, kas atrodas ārpus šīs virsmas.
Ja elektrisko lauku rada punktveida lādiņu sistēma q 1 , q 2 ,¼ , q n, ko sedz slēgta virsma S, tad saskaņā ar superpozīcijas principu indukcijas vektora plūsmu caur šo virsmu definē kā plūsmu summu, ko rada katrs no lādiņiem. Elektriskās indukcijas vektora plūsma caur patvaļīgas formas slēgtu virsmu ir vienāda ar šīs virsmas pārklāto lādiņu algebrisko summu:
Jāpiebilst, ka maksas qi nav obligāti jābūt punktam, nepieciešams nosacījums ir tāds, ka uzlādētais apgabals ir pilnībā jānosedz ar virsmu. Ja telpā, ko ierobežo slēgta virsma S, elektriskais lādiņš tiek sadalīts nepārtraukti, tad jāņem vērā, ka katrs elementārais tilpums d V ir maksa. Šajā gadījumā izteiksmes labajā pusē (1.5) lādiņu algebriskā summēšana tiek aizstāta ar integrāciju pa tilpumu, kas atrodas slēgtās virsmas iekšpusē. S:
(1.6)
Izteiksme (1.6) ir vispārīgākais formulējums Gausa teorēmas: elektriskās indukcijas vektora plūsma caur patvaļīgas formas slēgtu virsmu ir vienāda ar kopējo lādiņu tilpumā, ko sedz šī virsma, un tā nav atkarīga no lādiņiem, kas atrodas ārpus aplūkojamās virsmas. Gausa teorēmu var uzrakstīt arī elektriskā lauka intensitātes vektora plūsmai:
.
No Gausa teorēmas izriet svarīga elektriskā lauka īpašība: spēka līnijas sākas vai beidzas tikai uz elektriskiem lādiņiem vai iet līdz bezgalībai. Vēlreiz uzsveram, ka, neskatoties uz to, ka elektriskā lauka stiprums E un elektriskā indukcija D ir atkarīgas no visu lādiņu atrašanās vietas telpā, šo vektoru plūsmas caur patvaļīgu slēgtu virsmu S nosaka tikai tie lādiņi, kas atrodas virsmas iekšpusē S.
Gausa teorēmas diferenciālforma. Pieraksti to neatņemama forma Gausa teorēma raksturo saistību starp elektriskā lauka avotiem (lādiņiem) un elektriskā lauka raksturlielumiem (stiprumu vai indukciju) tilpumā V patvaļīga, bet pietiekama integrālu attiecību veidošanai, vērtība. Dalot skaļumu V maziem apjomiem Vi, mēs iegūstam izteiksmi
spēkā gan kopumā, gan katram terminam. Mēs pārveidojam iegūto izteiksmi šādi:
(1.7)
un apsveriet robežu, līdz kurai tiecas izteiksme vienādības labajā pusē, kas ietverta krokainās iekavās, ar neierobežotu skaļuma dalījumu V. Matemātikā šo robežu sauc diverģence vektors (šajā gadījumā elektriskās indukcijas vektors D):
Vektoru atšķirība D Dekarta koordinātēs:
Tādējādi izteiksme (1.7) tiek pārveidota formā:
.
Ņemot vērā, ka ar neierobežotu dalīšanu pēdējā izteiksmes kreisajā pusē esošā summa nonāk tilpuma integrālī, iegūstam
Rezultātā iegūtajai attiecībai ir jāatbilst jebkuram patvaļīgi izvēlētam tilpumam V. Tas ir iespējams tikai tad, ja integrandu vērtības katrā telpas punktā ir vienādas. Tāpēc vektora diverģence D ir saistīts ar lādiņa blīvumu tajā pašā punktā ar vienādību
vai elektrostatiskā lauka intensitātes vektoram
Šīs vienādības izsaka Gausa teorēmu diferenciālā forma.
Ņemiet vērā, ka, pārejot uz Gausa teorēmas diferenciālo formu, tiek iegūta sakarība, kurai ir vispārīgs raksturs:
.
Izteiksmi sauc par Gausa-Ostrogradska formulu, un tā savieno vektora novirzes tilpuma integrāli ar šī vektora plūsmu caur slēgtu virsmu, kas ierobežo tilpumu.
Jautājumi
1) Kāda ir Gausa teorēmas fiziskā nozīme elektrostatiskajam laukam vakuumā
2) Kuba centrā ir punktveida lādiņšq. Kāda ir vektora plūsma E:
a) pa visu kuba virsmu; b) caur vienu no kuba skaldnēm.
Vai atbildes mainīsies, ja:
a) lādiņš atrodas nevis kuba centrā, bet gan tā iekšpusē ; b) lādiņš atrodas ārpus kuba.
3) Kas ir lineārais, virsmas, tilpuma lādiņa blīvums.
4) Norādiet saistību starp tilpumu un virsmas lādiņa blīvumu.
5) Vai lauks ārpus pretēji un vienmērīgi lādētām paralēlām bezgalīgām plaknēm var atšķirties no nulles
6) Slēgtas virsmas iekšpusē ir ievietots elektriskais dipols. Kāda ir plūsma caur šo virsmu
Ieviesīsim elektriskās indukcijas vektora plūsmas jēdzienu. Apsveriet bezgalīgi mazu laukumu. Vairumā gadījumu ir jāzina ne tikai vietnes lielums, bet arī tā orientācija telpā. Ieviesīsim vektora laukuma jēdzienu. Vienosimies apgabala vektoru saprast kā vektoru, kas vērsts perpendikulāri laukumam un skaitliski vienāds ar laukuma lielumu.
1. attēls - uz vektora definīciju - vietne
Sauksim vektoru plūsmu 
caur vietni 
vektoru punktu reizinājums 
un 
. Tādējādi
Vektoru plūsma 
caur patvaļīgu virsmu 
tiek atrasts, integrējot visas elementārās plūsmas
(4)
Ja lauks ir viendabīgs un virsma ir plakana 
kas atrodas perpendikulāri laukam, tad:
. (5)
Iepriekš minētā izteiksme nosaka lauka līniju skaitu, kas iekļūst apgabalā 
uz laika vienību.
Ostrogradska-Gausa teorēma. Elektriskā lauka intensitātes novirze
Elektriskās indukcijas vektora plūsma caur patvaļīgu slēgtu virsmu 
ir vienāds ar brīvo elektrisko lādiņu algebrisko summu 
pārklāta ar šo virsmu
(6)
Izteiksme (6) ir O-G teorēma integrālā formā. Teorēma 0-G darbojas ar integrālo (totālo) efektu, t.i. ja 
tad nav zināms, vai tas nozīmē lādiņu neesamību visos pētāmās telpas daļas punktos, vai arī pozitīvo un negatīvo lādiņu summa, kas atrodas dažādos šīs telpas punktos, ir vienāda ar nulli.
Lai atrastu izvietotos lādiņus un to lielumu dotajā laukā, ir nepieciešama sakarība, kas savieno elektriskās indukcijas vektoru 
noteiktā punktā ar lādiņu tajā pašā punktā.
Pieņemsim, ka mums ir jānosaka lādiņa klātbūtne punktā a(2. att.)
2. attēls — vektora novirzes aprēķināšanai
Mēs izmantojam O-G teorēmu. Elektriskās indukcijas vektora plūsma caur patvaļīgu virsmu, kas ierobežo tilpumu, kurā punkts atrodas a, ir vienāds ar
Lādiņu algebrisko summu tilpumā var uzrakstīt kā tilpuma integrāli
(7)
kur 
- maksa par tilpuma vienību 
;
- tilpuma elements.
Lai iegūtu savienojumu starp lauku un lādiņu punktā a mēs samazināsim apjomu, savelkot virsmu līdz punktam a. Šajā gadījumā mēs sadalām abas mūsu vienlīdzības daļas ar vērtību 
. Pārejot uz robežu, mēs iegūstam:
.
Iegūtās izteiksmes labā puse pēc definīcijas ir tilpuma lādiņa blīvums aplūkotajā telpas punktā. Kreisā puse attēlo elektriskās indukcijas vektora plūsmas attiecības robežu caur slēgtu virsmu un tilpumu, ko ierobežo šī virsma, kad tilpumam ir tendence uz nulli. Šis skalārais lielums ir svarīgs elektriskā lauka raksturlielums, un to sauc vektora novirze 
.
Tādējādi:
,
tātad
, (8)
kur 
ir lādiņa tilpuma blīvums. 
Ar šīs attiecības palīdzību vienkārši tiek atrisināta elektrostatikas apgrieztā problēma, t.i. sadalīto lādiņu atrašana zināmā laukā.
Ja vektors 
ir dota, tāpēc tās prognozes ir zināmas 
,
,
uz koordinātu asīm kā koordinātu funkciju un, lai aprēķinātu lādiņu sadalīto blīvumu, kas radīja doto lauku, izrādās, ka ir pietiekami atrast šo projekciju trīs daļējo atvasinājumu summu attiecībā pret atbilstošajiem mainīgajiem. Tajos punktos, par kuriem 
nav nekādu maksu. Tajos punktos, kur 
pozitīvs, ir pozitīvs lādiņš ar tilpuma blīvumu, kas vienāds ar 
, un tajos punktos, kur 
būs negatīva vērtība, tiek atrasts negatīvs lādiņš, kura blīvumu nosaka arī diverģences vērtība.
Izteiksme (8) attēlo teorēmu 0-G diferenciālā formā. Šajā formā teorēma parāda ka elektriskā lauka avoti ir brīvie elektriskie lādiņi; elektriskās indukcijas vektora spēka līnijas sākas un beidzas attiecīgi uz pozitīvajiem un negatīvajiem lādiņiem.
Visgrūtākais ir elektrisko parādību izpēte nehomogēnā elektriskā vidē. Šādā vidē ε ir dažādas vērtības, kas strauji mainās pie dielektriķu robežas. Pieņemsim, ka mēs nosakām lauka intensitāti divu vielu saskarnē: ε 1 =1 (vakuums vai gaiss) un ε 2 =3 (šķidrums - eļļa). Interfeisā, pārejot no vakuuma uz dielektriķi, lauka intensitāte samazinās trīs reizes, stipruma vektora plūsma samazinās par tikpat lielu daudzumu (12.25. att., a). Pēkšņas izmaiņas elektrostatiskā lauka intensitātes vektorā divu mediju saskarnē rada zināmas grūtības lauku aprēķināšanā. Kas attiecas uz Gausa teorēmu, tad šādos apstākļos tā vispār zaudē savu nozīmi.
Tā kā atšķirīgu dielektriķu polarizējamība un intensitāte ir atšķirīga, arī lauka līniju skaits katrā dielektrikā būs atšķirīgs. Šo grūtību var novērst, ieviešot jaunu lauka fizisko raksturlielumu, elektrisko indukciju D (vai vektoru elektriskā nobīde ).
Pēc formulas
ε 1 E 1 \u003d ε 2 E 2 \u003d E 0 \u003d const
Reizinot visas šo vienādību daļas ar elektrisko konstanti ε 0 iegūstam
ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 = ε 0 E 0 = nemainīgs
Ieviesīsim apzīmējumu ε 0 εЕ=D tad priekšpēdējā sakarība iegūs formu
D 1 = D 2 = D 0 = konst
Vektoru D, kas vienāds ar elektriskā lauka intensitātes reizinājumu dielektrikā un tā absolūto caurlaidību saucelektriskās nobīdes vektors
(12.45)
Elektriskā nobīdes mērvienība ir kulons uz kvadrātmetru(C/m 2).
Elektriskā nobīde ir vektora lielums, to var izteikt arī kā
D = εε 0 E = (1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P
(12.46)
Atšķirībā no spriegojuma E elektriskā nobīde D ir nemainīga visos dielektriķos (12.25. att., b). Tāpēc elektrisko lauku nehomogēnā dielektriskā vidē ir ērti raksturot nevis ar intensitāti E, bet gan ar pārvietojuma vektoru D. Vektors D apraksta brīvo lādiņu radīto elektrostatisko lauku (t.i. vakuumā), bet ar to sadalījumu telpā, kas ir dielektriķa klātbūtnē, jo dielektriķos radušies saistītie lādiņi var izraisīt brīvo lādiņu pārdali, radot lauku. .
Vektoru lauks 
ir grafiski attēlots ar elektriskās nobīdes līnijām tādā pašā veidā kā lauks 
ko attēlo spēka līnijas.
Elektriskā nobīdes līnija ir taisnes, kuru pieskares katrā punktā sakrīt virzienā ar elektriskās nobīdes vektoru.
Vektora E līnijas var sākties un beigties ar jebkādiem lādiņiem - brīviem un saistītiem, savukārt vektora līnijasD- tikai par bezmaksas samaksu. Vektoru līnijasDatšķirībā no spriedzes līnijas ir nepārtrauktas.
Tā kā elektriskā nobīdes vektora saskarnē starp diviem nesējiem nav pārtraukumu, visas indukcijas līnijas, kas nāk no lādiņiem, ko ieskauj kāda slēgta virsma, iekļūst tajā. Tāpēc attiecībā uz elektriskās nobīdes vektoru Gausa teorēma pilnībā saglabā savu nozīmi attiecībā uz nehomogēnu dielektrisku vidi.
Gausa teorēma elektrostatiskajam laukam dielektrikā : elektriskā nobīdes vektora plūsma caur patvaļīgu slēgtu virsmu ir vienāda ar šīs virsmas iekšpusē ietverto lādiņu algebrisko summu.
(12.47)
Elektrisko lādiņu mijiedarbības likumu - Kulona likumu - var formulēt dažādi, tā sauktās Gausa teorēmas veidā. Gausa teorēma iegūta Kulona likuma un superpozīcijas principa rezultātā. Pierādījums ir balstīts uz divu punktu lādiņu mijiedarbības spēka apgriezto proporcionalitāti attāluma starp tiem kvadrātam. Tāpēc Gausa teorēma ir piemērojama jebkuram fiziskajam laukam, kurā darbojas apgrieztais kvadrāta likums un superpozīcijas princips, piemēram, gravitācijas laukam.
Rīsi. 9. Punkta lādiņa elektriskā lauka intensitātes līnijas, kas šķērso slēgtu virsmu X
Lai formulētu Gausa teorēmu, atgriezīsimies pie nekustīga punktveida lādiņa elektriskā lauka spēka līniju attēla. Vientuļa punktveida lādiņa spēka līnijas ir simetriski izvietotas radiālas taisnes (7. att.). Var novilkt jebkuru skaitu šādu līniju. Apzīmēsim to kopējo skaitu caur Tad lauka līniju blīvums attālumā no lādiņa, t.i., līniju skaits, kas šķērso rādiusa sfēras vienības virsmu, ir vienāds ar Salīdzinot šo attiecību ar lauka intensitātes izteiksmi punktu lādiņš (4), mēs redzam, ka līniju blīvums ir proporcionāls lauka intensitātei. Šos lielumus varam padarīt skaitliski vienādus, atbilstoši izvēloties kopējo lauka līniju skaitu N:
Tādējādi jebkura rādiusa sfēras virsma, kas aptver punktveida lādiņu, krustojas ar tādu pašu spēka līniju skaitu. Tas nozīmē, ka spēka līnijas ir nepārtrauktas: spraugā starp jebkurām divām dažāda rādiusa koncentriskām sfērām neviena no līnijām nepārtrūkst un netiek pievienotas jaunas. Tā kā spēka līnijas ir nepārtrauktas, vienāds spēka līniju skaits krustojas ar jebkuru slēgtu virsmu (9. att.), kas aptver lādiņu.
Spēka līnijām ir virziens. Pozitīva lādiņa gadījumā tie iziet no slēgtās virsmas, kas ieskauj lādiņu, kā parādīts attēlā. 9. Negatīvā lādiņa gadījumā tie nokļūst virsmas iekšpusē. Ja izejošo līniju skaits tiek uzskatīts par pozitīvu, bet ienākošo līniju skaits ir negatīvs, tad formulā (8) var izlaist lādiņa moduļa zīmi un ierakstīt to formā
Spriedzes plūsma. Tagad ieviesīsim jēdzienu par lauka intensitātes vektora plūsmu caur virsmu. Patvaļīgu lauku var mentāli sadalīt mazos reģionos, kuros intensitāte mainās pēc lieluma un virziena tik maz, ka šajā reģionā lauku var uzskatīt par viendabīgu. Katrā šādā reģionā spēka līnijas ir paralēlas taisnas līnijas, un tām ir nemainīgs blīvums.
Rīsi. 10. Noteikt lauka intensitātes vektora plūsmu caur laukumu
Apsveriet, cik spēka līniju caurstrāvo nelielu laukumu, kura normas virziens veido leņķi a ar spriegojuma līniju virzienu (10. att.). Ļaut būt projekcijai uz plaknes, kas ir perpendikulāra spēka līnijām. Tā kā līniju skaits, kas krustojas, ir vienāds un līniju blīvums saskaņā ar pieņemto nosacījumu ir vienāds ar lauka intensitātes moduli E, tad
Vērtība a ir vektora E projekcija normālā virzienā uz vietu
Tāpēc apgabalu šķērsojošo spēka līniju skaits ir
Produktu sauc par lauka intensitātes plūsmu caur virsmu.Formula (10) parāda, ka vektora E plūsma caur virsmu ir vienāda ar spēka līniju skaitu, kas šķērso šo virsmu. Ņemiet vērā, ka intensitātes vektora plūsma, kā arī spēka līniju skaits, kas iet caur virsmu, ir skalārs.
Rīsi. 11. Intensitātes vektora E plūsma caur vietu
Plūsmas atkarība no vietas orientācijas attiecībā pret lauka līnijām ir parādīta attēlā.
Lauka intensitātes plūsma caur patvaļīgu virsmu ir plūsmu summa caur elementārzonām, kurās šo virsmu var sadalīt. Pamatojoties uz sakarībām (9) un (10), var apgalvot, ka punktveida lādiņa lauka intensitātes plūsma caur jebkuru slēgtu virsmu 2, kas aptver lādiņu (sk. 9. att.), kā izplūstošo spēka līniju skaits. no šīs virsmas, ir vienāds ar.Šajā gadījumā normālvektoram uz elementārzonām slēgto virsmu jābūt vērstam uz āru. Ja lādiņš virsmas iekšpusē ir negatīvs, tad spēka līnijas ieiet šīs virsmas iekšpusē un arī ar lādiņu saistītā lauka intensitātes vektora plūsma ir negatīva.
Ja slēgtas virsmas iekšpusē ir vairāki lādiņi, tad saskaņā ar superpozīcijas principu tiks summētas to lauka intensitātes plūsmas. Kopējā plūsma būs vienāda ar to, kur jāsaprot visu virsmas iekšpusē esošo lādiņu algebriskā summa.
Ja slēgtas virsmas iekšpusē nav elektrisko lādiņu vai to algebriskā summa ir nulle, tad kopējā lauka intensitātes plūsma caur šo virsmu ir nulle: cik spēka līniju ieiet virsmas norobežotajā tilpumā, tikpat daudz iziet.
Tagad mēs beidzot varam formulēt Gausa teorēmu: elektriskā lauka intensitātes vektora E plūsma vakuumā caur jebkuru slēgtu virsmu ir proporcionāla kopējam lādiņam šīs virsmas iekšpusē. Matemātiski Gausa teorēmu izsaka ar to pašu formulu (9), kur ar tiek saprasta lādiņu algebriskā summa. Absolūtā elektrostatiskā stāvoklī
CGSE vienību sistēma, koeficients un Gausa teorēma ir uzrakstīts kā
SI un intensitātes plūsmu caur slēgtu virsmu izsaka ar formulu
Gausa teorēma tiek plaši izmantota elektrostatikā. Dažos gadījumos ar tās palīdzību ir viegli aprēķināt laukus, ko rada simetriski izvietoti lādiņi.
Simetrisko avotu lauki. Mēs izmantojam Gausa teorēmu, lai aprēķinātu rādiusa lodes elektriskā lauka stiprumu, kas vienmērīgi uzlādēts virs virsmas. Noteiktības labad mēs pieņemam, ka tā lādiņš ir pozitīvs. Lādiņu sadalījumam, kas rada lauku, ir sfēriska simetrija. Tāpēc laukam ir tāda pati simetrija. Šāda lauka spēka līnijas ir vērstas pa rādiusiem, un spriedzes modulis ir vienāds visos punktos, kas atrodas vienādā attālumā no lodes centra.
Lai atrastu lauka intensitāti attālumā no lodes centra, mēs uzzīmējam ar lodi garīgi koncentrisku sfērisku virsmu ar rādiusu, jo visos šīs sfēras punktos lauka stiprums ir vērsts perpendikulāri tās virsmai un ir vienāds. absolūtā vērtībā spēka plūsma ir vienkārši vienāda ar lauka intensitātes un sfēras virsmas laukuma reizinājumu:
Bet šo daudzumu var izteikt arī, izmantojot Gausa teorēmu. Ja mūs interesē laukums ārpus bumbas, t.i., tad, piemēram, SI un, salīdzinot ar (13), mēs atrodam
Acīmredzot CGSE vienību sistēmā
Tādējādi ārpus bumbas lauka stiprums ir tāds pats kā lodes centrā novietota punktveida lādiņa laukam. Ja mūs tomēr interesē laukums bumbas iekšienē, t.i., tas, jo viss lādiņš, kas sadalīts pa bumbas virsmu, atrodas ārpus mūsu garīgi zīmētās sfēras. Tāpēc bumbas iekšpusē nav lauka:
Līdzīgi, izmantojot Gausa teorēmu, var aprēķināt elektrostatisko lauku, ko rada bezgalīgi lādēts
plakne ar nemainīgu blīvumu visos plaknes punktos. Simetrijas dēļ mēs varam pieņemt, ka spēka līnijas ir perpendikulāras plaknei, ir vērstas no tās abos virzienos un tām ir vienāds blīvums visur. Patiešām, ja lauka līniju blīvums dažādos punktos būtu atšķirīgs, tad lādētās plaknes nobīde gar sevi novestu pie lauka izmaiņām šajos punktos, kas ir pretrunā ar sistēmas simetriju - šādai nobīdei nevajadzētu mainīt lauks. Citiem vārdiem sakot, bezgalīgas vienmērīgi uzlādētas plaknes lauks ir vienmērīgs.
Kā slēgtu virsmu Gausa teorēmas piemērošanai izvēlamies cilindra virsmu, kas konstruēta šādi: cilindra ģenerators ir paralēls spēka līnijām, un bāzēm ir laukumi, kas ir paralēli lādētajai plaknei un atrodas uz pretējās malas. to (12. att.). Lauka intensitātes plūsma caur sānu virsmu ir vienāda ar nulli, tāpēc kopējā plūsma caur slēgto virsmu ir vienāda ar plūsmu summu caur cilindra pamatnēm:
Rīsi. 12. Vienmērīgi lādētas plaknes lauka intensitātes aprēķināšanai
Saskaņā ar Gausa teorēmu to pašu plūsmu nosaka tās plaknes daļas lādiņš, kas atrodas cilindra iekšpusē, un SI tas ir vienāds.Salīdzinot šīs plūsmas izteiksmes, mēs atrodam
CGSE sistēmā vienmērīgi uzlādētas bezgalīgas plaknes lauka intensitāti nosaka formula
Vienmērīgi uzlādētai galīgu izmēru plāksnei iegūtās izteiksmes ir aptuveni derīgas apgabalā, kas atrodas pietiekami tālu no plāksnes malām un nav pārāk tālu no tās virsmas. Blakus plāksnes malām lauks vairs nebūs vienmērīgs un tā spēka līnijas būs saliektas. Ļoti lielos attālumos, salīdzinot ar plāksnes izmēriem, lauks samazinās līdz ar attālumu tāpat kā punktveida lādiņa lauks.
Kā citus piemērus laukiem, ko rada simetriski sadalīti avoti, var minēt bezgalīgas taisnas kvēldiega lauku, kas vienmērīgi uzlādēts visā garumā, vienmērīgi uzlādēta bezgalīga apļveida cilindra lauku, lodītes lauku,
vienmērīgi uzlādēts tilpumā utt. Gausa teorēma ļauj viegli aprēķināt lauka intensitāti visos šajos gadījumos.
Gausa teorēma sniedz saikni starp lauku un tā avotiem, savā ziņā pretēju tam, ko nosaka Kulona likums, kas ļauj noteikt elektrisko lauku no dotajiem lādiņiem. Izmantojot Gausa teorēmu, var noteikt kopējo lādiņu jebkurā telpas reģionā, kurā ir zināms elektriskā lauka sadalījums.
Kāda ir atšķirība starp liela un maza darbības attāluma darbības jēdzieniem, aprakstot elektrisko lādiņu mijiedarbību? Cik lielā mērā šos jēdzienus var piemērot gravitācijas mijiedarbībai?
Kas ir elektriskā lauka stiprums? Ko tie nozīmē, ja to sauc par elektriskā lauka raksturīgo spēku?
Kā pēc lauka līniju modeļa var spriest par lauka intensitātes virzienu un moduli noteiktā punktā?
Vai elektriskā lauka līnijas var krustoties? Pamato savu atbildi.
Uzzīmējiet divu lādiņu elektrostatiskā lauka līniju kvalitatīvu attēlu tā, lai .
Elektriskā lauka intensitātes plūsmu caur slēgtu virsmu izsaka ar dažādām formulām (11) un (12) GSE un SI mērvienību sistēmās. Kā to var saistīt ar plūsmas ģeometrisko nozīmi, ko nosaka spēku līniju skaits, kas šķērso virsmu?
Kā izmantot Gausa teorēmu, lai atrastu elektriskā lauka stiprumu ar simetrisku lādiņu sadalījumu, kas to rada?
Kā izmantot formulas (14) un (15), lai aprēķinātu lauka intensitāti lodei ar negatīvu lādiņu?
Gausa teorēma un fiziskās telpas ģeometrija. Aplūkosim Gausa teorēmas pierādījumu no nedaudz cita skatu punkta. Atgriezīsimies pie formulas (7), no kuras tika secināts, ka caur jebkuru lādiņu aptverošu sfērisku virsmu iet vienāds spēka līniju skaits. Šāds secinājums ir saistīts ar faktu, ka abu vienlīdzības daļu saucēji ir samazinājušies.
Labajā pusē tas radās tāpēc, ka lādiņu mijiedarbības spēks, kas aprakstīts Kulona likumā, ir apgriezti proporcionāls attāluma starp lādiņiem kvadrātam. Kreisajā pusē izskats ir saistīts ar ģeometriju: sfēras virsmas laukums ir proporcionāls tās rādiusa kvadrātam.
Virsmas laukuma proporcionalitāte lineāro izmēru kvadrātam ir Eiklīda ģeometrijas pazīme trīsdimensiju telpā. Patiešām, laukumu proporcionalitāte tieši lineāro izmēru kvadrātiem, nevis kādai citai vesela skaitļa pakāpei, ir raksturīga telpai
trīs dimensijas. Fakts, ka šis eksponents ir vienāds ar tieši divi un neatšķiras no diviem, pat ja nenozīmīgi maz, norāda, ka šī trīsdimensiju telpa nav izliekta, tas ir, ka tās ģeometrija ir tieši eiklīda.
Tādējādi Gausa teorēma ir fiziskās telpas īpašību izpausme elektrisko lādiņu mijiedarbības pamatlikumā.
Ideju par ciešu saikni starp fizikas pamatlikumiem un kosmosa īpašībām izteica daudzi prominenti prāti ilgi pirms pašu šo likumu noteikšanas. Tātad I. Kants trīs gadu desmitus pirms Kulona likuma atklāšanas rakstīja par telpas īpašībām: "Trīsdimensionalitāte acīmredzot rodas tāpēc, ka esošās pasaules vielas iedarbojas viena uz otru tā, ka iedarbības spēks ir apgriezti proporcionāls attāluma kvadrātam."
Kulona likums un Gausa teorēma faktiski atspoguļo vienu un to pašu dabas likumu, kas izteikts dažādās formās. Kulona likums atspoguļo liela attāluma darbības jēdzienu, savukārt Gausa teorēma izriet no jēdziena par spēku lauka aizpildīšanas telpu, t.i., no jēdziena par darbības tuvību. Elektrostatikā spēka lauka avots ir lādiņš, un ar avotu saistītā lauka raksturlielums - intensitātes plūsma - nevar mainīties tukšā vietā, kur nav citu lādiņu. Tā kā plūsmu var vizualizēt kā spēka lauka līniju kopumu, plūsmas nemainīgums izpaužas šo līniju nepārtrauktībā.
Gausa teorēma, kas balstās uz mijiedarbības apgriezto proporcionalitāti attāluma kvadrātam un uz superpozīcijas principu (mijiedarbības saskaitāmība), ir piemērojama jebkuram fiziskajam laukam, kurā darbojas apgrieztais kvadrāta likums. Jo īpaši tas attiecas arī uz gravitācijas lauku. Ir skaidrs, ka tā nav tikai sakritība, bet gan fakta atspoguļojums, ka trīsdimensiju Eiklīda fiziskajā telpā notiek gan elektriskā, gan gravitācijas mijiedarbība.
Uz kādu elektrisko lādiņu mijiedarbības likuma pazīmi balstās Gausa teorēma?
Pierādiet, pamatojoties uz Gausa teorēmu, ka punktveida lādiņa elektriskā lauka stiprums ir apgriezti proporcionāls attāluma kvadrātam. Kādas telpas simetrijas īpašības tiek izmantotas šajā pierādījumā?
Kā fiziskās telpas ģeometrija tiek atspoguļota Kulona likumā un Gausa teorēmā? Kāda šo likumu iezīme liecina par fiziskās telpas ģeometrijas un trīsdimensiju eiklīda raksturu?
