गॉस प्रमेय का उपयोग करके, आप कुछ मामलों में आसानी से तनाव की गणना कर सकते हैं। बिजली क्षेत्र चार्ज किए गए शरीर के आसपास, यदि निर्दिष्ट चार्ज वितरण में कोई समरूपता है और क्षेत्र की सामान्य संरचना पहले से ही अनुमान लगाया जा सकता है।

एक उदाहरण त्रिज्या के पतले दीवार वाले खोखले सजातीय चार्ज लंबे सिलेंडर के क्षेत्र की गणना करने का कार्य है आर। इस कार्य में एक अक्षीय समरूपता है। समरूपता के विचारों के लिए, विद्युत क्षेत्र को त्रिज्या के साथ निर्देशित किया जाना चाहिए। इसलिए, गॉस प्रमेय का उपयोग करने के लिए, एक बंद सतह चुनने की सलाह दी जाती है एस कुछ त्रिज्या के एक समाक्षीय सिलेंडर के रूप में आर और लंबाई एलदोनों सिरों के साथ बंद (चित्र 1.3.4)।

के लिये आर ≥ आर तनाव वेक्टर की पूरी धारा सिलेंडर की तरफ की सतह से गुजर जाएगी, जिसका क्षेत्र 2π है आर एलचूंकि दोनों आधारों के माध्यम से प्रवाह शून्य है। गॉस प्रमेय का उपयोग देता है:

यह परिणाम त्रिज्या पर निर्भर नहीं है आर चार्ज सिलेंडर, इसलिए यह एक लंबे समान रूप से चार्ज किए गए धागे के क्षेत्र में लागू होता है।

चार्ज सिलेंडर के अंदर क्षेत्र की ताकत निर्धारित करने के लिए, आपको मामले के लिए एक बंद सतह बनाने की आवश्यकता है आर < आर। समस्या की समरूपता के आधार पर, गॉसियन सिलेंडर की तरफ की सतह के माध्यम से तनाव वेक्टर की धारा इस मामले में होनी चाहिए φ \u003d इ। 2π। आर एल। गॉस प्रमेय के अनुसार, यह धारा चार्ज के आनुपातिक है, जो एक बंद सतह के अंदर थी। यह शुल्क शून्य है। यह इस प्रकार है कि समान रूप से चार्ज किए गए लंबे खोखले सिलेंडर के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य है।

क्षमता इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र। अभिन्न रूप में इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के संचलन पर प्रमेय। अलग-अलग रूप में इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के संचलन पर प्रमेय। एकान्त की क्षमता बिंदु प्रभार। संभावित अंतर। सुसंगत सतह। संभावित additivity की संपत्ति।

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की क्षमता।रूढ़िवादी बलों के क्षेत्र को न केवल वेक्टर फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया जा सकता है, बल्कि इस क्षेत्र के समकक्ष विवरण प्रत्येक बिंदु पर उपयुक्त स्केलर मान को परिभाषित करके प्राप्त किया जा सकता है। इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के लिए, इस तरह की परिमाण है इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की क्षमतापरीक्षण शुल्क की संभावित ऊर्जा के अनुपात के रूप में निर्धारित प्र इस चार्ज की परिमाण के लिए, जे \u003d डब्ल्यू पी / प्रजहां से यह इस बात से है कि क्षमता संभावित ऊर्जा के बराबर होती है, जिसमें किसी दिए गए बिंदु पर एक सकारात्मक चार्ज होता है। संभावित माप इकाई वोल्ट (1 वी) के रूप में कार्य करती है।

क्षमता इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र - स्केलर मूल्यइस शुल्क के लिए क्षेत्र में चार्ज की संभावित ऊर्जा के अनुपात के बराबर:

ऊर्जा विशेषता इस बिंदु पर फ़ील्ड। क्षमता इस क्षेत्र में रखे गए चार्ज के आकार पर निर्भर नहीं है।

परिसंचरण प्रमेय

एक डॉट चार्ज सिस्टम द्वारा बनाए गए फ़ील्ड को दें। हम एक बंद प्रक्षेपवक्र पर तनाव से अभिन्न गणना की गणना करते हैं।

यह कथन परिसंचरण प्रमेय का सार है। गणित में, एक समान अभिन्न को परिसंचरण कहा जाता है।

परिसंचरण की अवधारणा

कुछ जगह स्थान पर एक वेक्टर क्षेत्र मौजूद होने दें।

यहां इस बिंदु पर समोच्च के लिए एक वेक्टर टेंगेंट है, जो सकारात्मक सर्किट बाईपास की ओर निर्देशित है।

एक समझौता है कि सर्किट बाईपास (दिशा) की सकारात्मक दिशा को चुना जाता है ताकि समोच्च द्वारा कवर किया गया क्षेत्र बाईं ओर बाईपास के आसपास रहता है।

हम याद दिलाएंगे, संक्षेप में, मैं एक curvilinear अभिन्न अंग "निर्माण" कैसे कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, सर्किट पर बिंदु का चयन करें, इसे वेक्टर में दिखाएं, उसी बिंदु पर एक टुकड़ा वेक्टर टेंगेंट दिखाएं, स्केलर उत्पाद की गणना करें, रूपरेखा को छोटे तत्वों में विभाजित करें, तत्व की लंबाई को नामित करने के लिए, उत्पाद की गणना करें ; इसे समोच्च के सभी तत्वों के लिए करें; परिणामों के सारांश का संचालन करें, समोच्च लंबाई के तत्व का पता लगाना शून्य तक - सारांश से एकीकरण तक जाएं।

प्रवाह की तरह, परिसंचरण वेक्टर क्षेत्र के गुणों की एक और विशेषता है। अर्थात्, परिसंचरण वेक्टर क्षेत्र की व्रण की डिग्री की विशेषता है।

उदाहरण:यदि आप द्रव वेग क्षेत्र के संचलन के "मीटर" के रूप में टरबाइन ले सकते हैं, तो यदि यह घूमता है, तो परिसंचरण शून्य नहीं है।

प्रसार - यह क्षेत्र की अभिन्न विशेषताओं है।

रोटर की अवधारणा

इसकी संरचना में क्षेत्र काफी अमानवीय हो सकता है। परिसंचरण एक विस्तृत क्षेत्र विशेषता नहीं देता है। इसलिए, आइए किसी भी बिंदु पर एकीकरण समोच्च खींचना शुरू करें म। (टरबाइन को कम करें)। परिसंचरण शून्य के लिए प्रयास करेगा, लेकिन समोच्च द्वारा कवर क्षेत्र भी शून्य के लिए प्रयास करेगा। और उनका अनुपात एक सीमित संख्या देता है।

तीन स्वतंत्र तरीकों से अंतरिक्ष में टरबाइन उन्मुख हो सकता है। इसलिए, इस तरह, 3 स्वतंत्र संख्याएं प्राप्त की जा सकती हैं, और तीन संख्याएं एक वेक्टर हैं, इसलिए, क्षेत्र की एक वेक्टर विशेषता, जिसे रोटर कहा जाता है।

रोटार- यह एक स्थानीय या अंतर विशेषता है।

सतह, जिनके सभी बिंदुओं में विद्युत क्षेत्र की संभावना समान मूल्य है, को कहा जाता है सुसंगत सतहया समान क्षमता की सतह .

पावर लाइन्स इलेक्ट्रोस्टैटिक फ़ील्ड हमेशा सुसज्जित सतहों के लिए लंबवत होते हैं।

प्वाइंट चार्ज के कौलॉम्ब फील्ड की इक्विपोटेंशियल सतहें केंद्रित क्षेत्र हैं। अंजीर में। 1.4.3 बिजली लाइनों और कुछ साधारण इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्रों की सुसज्जित सतहों के पैटर्न प्रस्तुत करता है।

कब एकरूप क्षेत्र इक्विपोटेंशियल सतह समानांतर विमानों की एक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करते हैं।

यदि एक परीक्षण शुल्क प्र प्रदर्शन किया छोटा चलती साथ में फोर्स लाइन बिंदु (1) से बिंदु (2) तक, फिर आप लिख सकते हैं:

स्केलर रूप में यह अनुपात क्षेत्र की ताकत और क्षमता के बीच संबंध व्यक्त करता है। यहाँ एल - समन्वय, बिजली लाइन के साथ गिना जाता है।

द्वारा बनाए गए क्षेत्रों के क्षेत्रों के सुपरपोजिशन के सिद्धांत का विद्युत शुल्कसंभावित के लिए सुपरपोजिशन का सिद्धांत का पालन किया जाता है:

संभावित अंतर (वोल्टेज)दो बिंदुओं के बीच क्षेत्र के कार्य के बराबर होता है जब प्रभारी प्रारंभिक बिंदु से फाइनल में इस चार्ज के मॉड्यूल तक ले जाया जाता है:
यू \u003d φ 1 - φ 2 \u003d -δφ \u003d ए / क्यू,
ए \u003d - (डब्ल्यू पी 2 - डब्ल्यू पी 1) \u003d -Q (φ 2 - φ 1) \u003d -Qδφ

क्षमताओं में अंतर वोल्ट (बी \u003d जे / सीएल) में मापा जाता है
इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के वोल्टेज और क्षमताओं के अंतर के बीच संबंध:
इ। एक्स। = Δφ / Δ एक्स।
इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र का वोल्टेज क्षमता में कमी की ओर निर्देशित है।

भौतिकी में additivity मानों का मतलब है कि पूरे सिस्टम से संबंधित मूल्य इसके घटकों से संबंधित मात्रा की मात्रा के बराबर है। ऐसे मूल्यों को भी कहा जाता है बहुत बड़ाविपरीत गहन (उदाहरण के लिए, तापमान, घनत्व, आदि)।

जाहिर है, एक ही दूरी पर आर धागे के अर्थ से इ। वही होगा, इसलिए

प्रमेय गॉस के अनुसार

कहा पे

- गॉसियन सिलेंडर के अंदर संलग्न चार्ज। फिर

तथा

- एक दूरी पर चार्ज किए गए धागे का क्षेत्र तनाव आर उसके पास से।

2। एक अनंत सजातीय चार्ज विमान का क्षेत्र। भूतल घनत्व प्रभार सभी बिंदुओं में विमान समान है । क्षेत्र की तीव्रता विमान के लिए लंबवत है। विमान बिंदुओं के संबंध में सममित रूप से, क्षेत्र की ताकत आकार और विपरीत दिशा में समान है। हम एक बेलनाकार सतह बनाने के साथ एक बेलनाकार सतह का निर्माण, विमान और आधार के लंबवत

(Fig.1.1.11)। समरूपता द्वारा

.

पी पक्ष की सतह के माध्यम से आरी शून्य है, वेक्टर के बाद से इस सतह के लिए लंबवत, इसलिए सिलेंडर की सतह के माध्यम से कुल प्रवाह बराबर है

, मैं।

.

3. सतह चार्ज घनत्व के साथ दो बिल्कुल चार्ज किए गए विमानों द्वारा बनाए गए विद्युत क्षेत्र का मिलान करें

तथा

। जाहिर है, विमानों के विमानों के दसियों को एक दिशा में निर्देशित किया जाता है (सकारात्मक विमान से नकारात्मक, अंजीर .1.1.12), और निलंग तनाव

कहां है

- एक चार्ज किए गए विमान की क्षेत्र की ताकत। अंत में प्राप्त करें

4. त्रिज्या के चार्ज किए गए क्षेत्र द्वारा बनाई गई विद्युत क्षेत्र की ताकत निकालें आर। क्षेत्र का पैक प्र, इसकी सतह घनत्व

तनाव का निर्धारण करने के लिए, हम त्रिज्या क्षेत्र के रूप में एक गॉसियन सतह का निर्माण करते हैं आर, जिसका केंद्र चार्ज किए गए क्षेत्र (Fig.1.1.13) के केंद्र के साथ मेल खाता है।

के लिये आर≤ आर गॉसियन सतह के अंदर कोई शुल्क नहीं है, क्योंकि पूरे प्रभार को क्षेत्र की सतह पर वितरित किया जाता है। प्रमेय गॉस के अनुसार

या

, इसलिये,

- चार्ज किए गए क्षेत्र के अंदर विद्युत क्षेत्र का तनाव शून्य है।

के लिये

गॉसियन की सतह के अंदर पूरे चार्ज को हिट करता है प्र गोलाकार केंद्रीय समरूपता क्षेत्र के कारण, दूरी पर तनाव आर क्षेत्र के केंद्र से हर जगह एक ही, और

या

जिसमें

, फिर, और

विकास के साथ आर मूल्यों इ।आनुपातिक रूप से कमी

(Fig.1.1.14)। क्षेत्र की सतह पर, तनाव तेजी से होते हैं

5. एक वॉल्यूमेट्रिक त्रिज्या गेंद द्वारा बनाई गई एक विद्युत क्षेत्र बनाएँ आर । कटोरा चार्ज घनत्व ρ. गोशियन सतह एक क्षेत्र के रूप में निर्माण, जिसका केंद्र गेंद के केंद्र के साथ मेल खाता है, और त्रिज्या बराबर है आर (Fig.1.1.15) .

के लिये

गॉसियन सतह के अंदर चार्ज हो जाता है

फिर गॉसियन प्रमेय पर

, मैं।

। गेंद की सतह पर आर= आर तनाव

.

के लिये

गॉसियन की सतह के अंदर पूरे चार्ज को हिट करता है

, मैं।

यहां से

क्षेत्र की सतह पर

वे।

और कूद की तीव्रता नहीं होती है। लत

fig.1.1.16 में प्रस्तुत किया गया।

व्याख्यान 4।

1.1.9। इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की फैक्ट्री प्रकृति। ले जाने पर क्षेत्र के बलों का काम। परिसंचरण और तनाव वेक्टर रोटर

चार्ज चार्ज करते समय इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की शक्ति द्वारा किए गए कार्य कटार

के बराबर:

एक सकारात्मक चार्ज के आंदोलन पर काम संख्यात्मक रूप से बराबर है

अंतिम तरीके से एक सकारात्मक चार्ज को आगे बढ़ाते समय कार्य किया जाता है बराबरी का

. (1.1.2)

यहाँ - शांत ताकत, जो केंद्रीय है। यांत्रिकी से यह ज्ञात है कि केंद्रीय बलों का क्षेत्र रूढ़िवादी है। नतीजतन, चार्ज को स्थानांतरित करने के लिए इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र का संचालन प्रक्षेपण पर निर्भर नहीं है, लेकिन केवल प्रारंभिक और परिमित बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है। बंद पथ पर काम शून्य है। इस तरह के गुणों के साथ क्षेत्र को संभावित कहा जाता है। फिर हमारे पास (1.1.2) हमारे पास है:

(1.1.3)

- परिसंचरण वेक्टर बंद पथ के साथ शून्य है।इस तरह के गुणों के साथ क्षेत्र को संभावित कहा जाता है।

हम इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की संभावित प्रकृति को साबित करते हैं।

पहले काम पर विचार करें इलेक्ट्रिक बलों प्राथमिक बिंदु प्रभार के क्षेत्र में । असीम रूप से छोटे आंदोलन के साथ इन बलों का काम परीक्षण एकल सकारात्मक शुल्क के बराबर है:

,

कहा पे

- परीक्षण शुल्क के प्रक्षेपण का प्रक्षेपण त्रिज्या-वेक्टर पर रोमांचक चार्ज फ़ील्ड से आयोजित किया गया । Fig.1.1.17 दिखाता है कि

- यह त्रिज्या-वेक्टर के संख्यात्मक मूल्य की वृद्धि है , यह है, परीक्षण शुल्क की दूरी में वृद्धि प्रभार से । इसलिए, काम इसे स्केलर पॉइंट फ़ंक्शन के पूर्ण अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है

:

कहा पे - त्रिज्या वेक्टर का संख्यात्मक मूल्य । फिर बिंदु से एक सकारात्मक चार्ज को आगे बढ़ाने पर काम करें बिल्कुल सही अंतिम मार्ग पर के बराबर:

जी डे तथा - चार्ज से प्रारंभिक और एंडपॉइंट पथ की दूरी । इस प्रकार, स्थिर क्षेत्र में एक मनमानी पथ पर विद्युत बलों का काम

प्राथमिक बिंदु प्रभार इस पथ के प्रारंभिक और समापन बिंदुओं की स्थिति पर निर्भर करता है और पथ के आकार पर निर्भर नहीं करता है। चित्रा 1.1.18 रास्ते पर काम करते हैं रास्ते में काम के बराबर

: रास्ते में अनावश्यक काम किया

त्रिज्या की सीमा के बाहर परीक्षण शुल्क को आगे बढ़ाते समय चार्जिंग के लिए परीक्षण शुल्क के बाद के अनुमान पर किए गए नकारात्मक कार्य द्वारा मुआवजा दिया जाता है सड़क के अंतिम भाग में

। इस प्रकार, अभी भी बिंदु प्रभार का क्षेत्र एक संभावित क्षेत्र है।

जाहिर है, संभावित क्षेत्रों की मात्रा भी एक संभावित क्षेत्र है (जैसे कि काफी ताकतों का काम पथ के रूप में निर्भर नहीं है, तो काम इससे स्वतंत्र है जो इस पर निर्भर नहीं है)। एक मनमाने ढंग से चार्ज सिस्टम के क्षेत्र को प्रत्येक बिंदु शुल्क के क्षेत्र के योग के रूप में माना जा सकता है, इसलिए प्रत्येक इलेक्ट्रोस्टैटिक फ़ील्ड में एक संभावित क्षेत्र होता है।

परिभाषा, प्रक्षेपण द्वारा

मनमानी दिशा क्षेत्र पर बराबरी का

,

कहा पे

- बिंदु के माध्यम से गुजरने वाले असीम छोटे मंच वेक्टर के लिए लंबवत .

वेक्टर के संचलन के बाद से एक बंद समोच्च पर बराबर है ,

टी

, या

. (1.1.4)

दिशा के बाद से मनमाने ढंग से चुना गया, फिर प्रक्षेपण

किसी भी दिशा में 0 है, इसलिए, से (1.1.4)

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के सभी बिंदुओं में, यानी इलेक्ट्रोस्टैटिक फ़ील्ड है bereviezhered। यह परिणाम स्टोक्स प्रमेय से प्राप्त किया जा सकता है। अभिव्यक्ति (1.1.3) और (1.1.4) समतुल्य हैं।