उदाहरण 1।एक अनंत विमान के क्षेत्र की ताकत और क्षमता निर्धारित करें, समान रूप से चार्ज किया गया सतह घनत्व चार्ज एस। ढांकता हुआ निरंतर व्यापक इ।

समरूपता कार्य से यह स्पष्ट है कि तनाव की रेखाएं बिजली क्षेत्र आरआई c.1.2 में दिखाए गए अनुसार, चार्ज सतह के लंबवत समानांतर होना चाहिए। नतीजतन, चार्ज किए गए विमान का क्षेत्र सजातीय है।

एक सीधी सिलेंडर लंबाई के रूप में एक बंद सतह चुनें। एल नींव के एक क्षेत्र के साथ एस, जैसा कि यह तस्वीर पर दिखाया गया है। सिलेंडर के निचले और ऊपरी ठिकानों पर तनाव के क्षेत्र की एकरूपता के कारण आकार में समान और इन सतहों पर सकारात्मक मानकों के साथ दिशा में मेल खाता है। इसके अलावा, हम ध्यान में रखते हैं कि साइड सतह के माध्यम से तनाव के वेक्टर की धारा अनुपस्थित है। इसलिये

सीमित बेलनाकार सतह की मात्रा में एक पूर्ण शुल्क के बराबर है क्यू \u003d एसएस।। फिर और।

विमान क्षेत्र की क्षमता।

परिणामी अभिव्यक्ति में से - स्थायी एकीकरण, और धुरी ओह विमान के लिए लंबवत। शून्य के बराबर विमान की सतह पर क्षमता लेना, हमें मिलता है C \u003d।0.

आखिरकार।

उदाहरण 2।एक अंतहीन धागे के विद्युत क्षेत्र की ताकत और क्षमता का निर्धारण करें, समान रूप से चार्ज टी के रैखिक घनत्व के साथ चार्ज किया गया। पर्यावरण की ढांकता हुआ पारगम्यता ई।

समस्या की अक्षीय समरूपता से, यह इस प्रकार है कि थ्रेड फील्ड लाइनों के फिलामेंट्स समरूपता के अक्ष के अंक से उभरते रेडियल किरणों की एक प्रणाली हैं। फिर धागे से समतुल्य बिंदुओं पर, क्षेत्र की ताकत आकार में समान है। एक बंद सतह के रूप में एक सीधी सिलेंडर लंबाई चुनें एलनींव के त्रिज्या के साथ आरजिसका धुरी धागे के साथ मेल खाता है (चित्र .1.3 देखें)। इस मामले में, सिलेंडर के आधार के माध्यम से तनाव वेक्टर की धारा अनुपस्थित है, और बंद सतह के माध्यम से पूर्ण प्रवाह सिलेंडर की तरफ की सतह के माध्यम से एक धारा के बराबर है एस:

चूंकि सिलेंडर की तरफ की सतह के प्रत्येक बिंदु पर, दिशा इस बिंदु पर सामान्य की दिशा के साथ मेल खाती है, और ई (आर) \u003d कॉन्स्टटी

सिलेंडर की मात्रा में पूर्ण चार्ज कैदी q \u003d tl।। फिर प्राप्त करें

धागे के क्षेत्र की क्षमता

गली स्थायी है से शून्य क्षमता के बिंदु की पसंद से निर्धारित

उदाहरण 3। केंद्र में त्रिज्या के गोलाकार गुहा के साथ त्रिज्या आरएफ रैखिक कानून आर \u003d ए (आर-ए) द्वारा चार्ज घनत्व चर के साथ चार्ज किया जाता है, जहां एक निरंतर मूल्य है, और आर के केंद्र से दूरी है गेंद। गेंद के विद्युत क्षेत्र की तनाव और क्षमता का निर्धारण करें। पारद्युतिक स्थिरांक 1 के बराबर लेने के लिए कटोरा और पर्यावरण।

गोलाकार समरूपता कार्य से यह इस प्रकार है कि विद्युत क्षेत्र की शक्ति केवल दूरी पर निर्भर करती है आर गेंद के केंद्र से, यानी ई \u003d ई (आर), और वेक्टर की रेखाएं गेंद के केंद्र के साथ संयुक्त निर्देशांक की शुरुआत से उभरती रेडियल किरणें हैं। किसी भी गोलाकार सतह पर एक ही समय में r \u003d conts। क्षेत्र की ताकत इस सतह के प्रत्येक बिंदु पर समान है, और दिशा सतह के लिए सामान्य दिशा के साथ मेल खाता है। इसलिए, गॉस प्रमेय को बंद सतह के रूप में उपयोग करते समय, सतह चुनना सुविधाजनक है r \u003d conts।.

एक गोलाकार सतह के माध्यम से विद्युत क्षेत्र की ताकत वेक्टर के प्रवाह पर विचार करें। आर< a । चूंकि गुहा में कोई शुल्क नहीं है, एक गोलाकार सतह के माध्यम से विद्युत क्षेत्र की ताकत वेक्टर का प्रवाह आर< a 0 के बराबर, और इसलिए बिजली क्षेत्र कोई गुहा नहीं है।

सतह त्रिज्या को चलो, जिसके माध्यम से तनाव वेक्टर की धारा की गणना की जाती है, असमानता को संतुष्ट करता है ए।< r < R । फिर तनाव वेक्टर की धारा

दूसरी ओर, यह प्रवाह सटीक है ई 0 रेडी के गोले द्वारा सीमित गोलाकार परत की मात्रा में निष्कर्ष निकाला गया लेकिन अ तथा आर:

इस तरह,

और किसके लिए ए।< r < R .

क्षेत्र की सतह के माध्यम से विद्युत क्षेत्र की ताकत के वेक्टर की धारा पर विचार करें आर\u003e आर।। यहाँ अभी भी है एन \u003d, और विचाराधीन मात्रा में संलग्न चार्ज गेंद के कुल चार्ज के बराबर है, यानी

इसलिए, कब आर\u003e आर।.

गेंद की क्षमता की गणना करें। चूंकि और किसके लिए आर< a Е \u003d 0, फिर जे 1 \u003d सी 1,

अतिरिक्त 1 के साथ। - लगातार। क्षेत्र में ए।< r < R

Oroksa से सवाल

दो विद्युत क्षेत्र की ताकत रेखाएं एक बिंदु पर छेड़छाड़ नहीं कर सकती हैं। क्या यह तर्क देना संभव है कि एक बिंदु पर दो सुसंगत सतहों को भी पार किया जा सकता है?

उत्तर:दो सुसंगत सतह एक बिंदु पर छेड़छाड़ कर सकते हैं, बशर्ते कि इस बिंदु पर क्षेत्र की ताकत शून्य है। वास्तव में, तनाव का वेक्टर प्रत्येक समेकित सतह के लिए सामान्य की दिशा निर्धारित करता है। चूंकि सतहें चौराहे के बिंदु पर छेड़छाड़ करती हैं, इसलिए उनका सामान्य संयोग नहीं होता है, और इसलिए विद्युत क्षेत्र में एक निश्चित दिशा नहीं हो सकती है। यह केवल फ़ील्ड मान के शून्य मान के साथ संभव है।

कंप्यूटर मॉडल चित्र का प्रदर्शन करता है स्लेस्ट लाइन्स तथा इक्विपोटेंशियल सतह पॉइंट चार्ज और दो बिंदु प्रभार के सिस्टम। आप शुल्कों और उनके संकेतों के मूल्यों के साथ-साथ शुल्क के बीच की दूरी भी बदल सकते हैं। किसी भी बिंदु पर कर्सर स्थापित करते समय और बाएं माउस बटन दबाएं, कंप्यूटर इस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की ताकत वेक्टर और संभावित φ के मॉड्यूल के प्रदर्शन को हाइलाइट करता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि दो बिंदु शुल्कों के विद्युत क्षेत्र में गोलाकार इक्विपोटेंशियल सतहें संभव हैं।

2.7। संभावित गणना के उदाहरण

कुछ चार्ज निकायों द्वारा बनाए गए क्षेत्र की क्षमता की गणना पर विचार करें।

चित्र 3। क्यू फ़ील्ड के बिंदु स्रोत के संबंध में अवलोकन बिंदु ए का स्थान

1 .उदाहरण बिंदु प्रभार। संबंधों का उपयोग (1) और (4) और अवलोकन बिंदु के साथ बिंदु 1 का संयोजन लेकिन अ (चित्र 3), और इन्फिनिटी पर प्वाइंट 2 हटाने, हमें मिलता है

टिप्पणी। वेक्टर फ़ील्ड की अवधारणा का अभी भी उपयोग किया गया था - वैक्टर के फ़ील्ड (अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु को वेक्टर के अनुरूप रखा जाता है)। अंतरिक्ष बिंदु के कार्य के रूप में संभावित प्रदर्शन आपको एक स्केलर फ़ील्ड की अवधारणा में प्रवेश करने की अनुमति देता है - संख्याओं के फ़ील्ड (अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु को एक मनमानी योजक निरंतर, संख्या की सटीकता के अनुसार रखा जाता है)। इसलिए, भविष्य में, अवधारणाओं के अलावा, इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र और क्षेत्र क्षेत्र की अवधारणा का उपयोग करेगा।

2. उदाहरण। हमें एक रैखिक फिलामेंट घनत्व के साथ समान रूप से चार्ज की गई अंतहीन की क्षमता मिलती है।

हमारा काम एक समारोह के रूप में खोजने के लिए है।

जैसा कि पहले से ही असीमित लंबे धागे के लिए दिखाया गया है :.

उस बिंदु को चुनें जिसमें हम शुरू करते हैं, उदाहरण के लिए, फिर,

.

हम सहमत हैं कि प्रारंभ बिंदु पर, क्षमता शून्य है: फिर

.

यह इस तरह के सामान्यीकरण के साथ है। यदि ऐसे कार्य में सामान्य होना है, तो हमें मिलता है, यानी, सभी बिंदुओं पर सभी संभावित असीमित रूप से बड़े होते हैं। ऐसे सामान्यीकरण की आवश्यकता कौन है? यदि आप कुछ विशेष स्थानिक सीमा में रूचि रखते हैं, तो इस क्षेत्र के पास कहीं भी सामान्य करना आवश्यक है, तो सभी संभावित संभावनाएं सुखद संख्याएं होंगी। अनंत धागे से, अनंत से बचने के लिए असंभव है, इसी कारण से आपको थ्रेड के बिंदु टुकड़ों की संभावित संभावनाओं की मात्रा के रूप में अच्छी तरह से उम्मीद नहीं करनी चाहिए, जिनमें से प्रत्येक को स्थिति से सामान्यीकृत किया जाता है।

3. उदाहरण। एक स्पॉट डीपोल फ़ील्ड की संभावना (पहली विधि)।

इसलिए, हम बिंदु डीपोल पर विचार करते हैं और अवलोकन बिंदु हमारे डंबेल से काफी दूर है।

आइए इस अवलोकन बिंदु की क्षमता की तलाश करें।

सबसे पहले, सुपरपोजिशन का सिद्धांत।

दूसरा, जैसा कि आप जानते हैं

ध्यान में रखते हुए कि वेक्टर का प्रक्षेपण है और तथ्य यह है कि द्विध्रुवीय की दूरी बहुत बड़ी है, तो

एक बिंदु द्विध्रुवीय (दूसरी विधि) का संभावित क्षेत्र।

हम क्षेत्र की ताकत के लिए तैयार सूत्र का उपयोग करते हैं:

। यहां ऐसी अभिव्यक्ति है, हम एक समय में लाए। मैं उस पर रहा हूं।

आइए ऐसी दिशा चुनें ताकि हमारे लिए इस अभिन्न्यूल की गणना करना सुविधाजनक हो, क्योंकि क्षेत्र संभावित है, परिणाम इस प्रकार के प्रक्षेपण के प्रकार पर निर्भर नहीं होगा। डीपोल का अभिविन्यास, आंदोलन की दिशा और वेक्टर आकृति में दिखाया गया है। कुछ संबंधों को ध्यान में रखते हुए (5) फॉर्म ले लेंगे।

चार्ज द्वारा बनाए गए फ़ील्ड पर विचार करें, समान रूप से अनंत धागे पर वितरित किया गया। हमने इलेक्ट्रिक फ़ील्ड के सुपरपोजिशन के सिद्धांत का उपयोग करके अंतिम व्याख्यान पर इस कार्य का फैसला किया (1.11 देखें)।

अब हम दिखाएंगे, गॉस प्रमेय का उपयोग करके इस क्षेत्र की गणना करना कुछ आसान है।

एक दूरी पर क्षेत्र की ताकत निर्धारित करें आरधागे से लगातार रैखिक घनत्व के साथ चार्ज किया गया:

, [सीएल / एम] (2.10)

एक बंद बेलनाकार सतह (चित्र 2.7) के साथ धागे के आसपास। सिलेंडर ऊंचाई - एच, और इसकी नींव का त्रिज्या - आर.

अंजीर। 2.7।

चार्ज किए गए धागे द्वारा बनाई गई फ़ील्ड में एक बेलनाकार समरूपता होती है। इस संबंध में, सिलेंडर की तरफ की सतह के सभी बिंदुओं पर वोल्टेज वैक्टर मॉड्यूल द्वारा समान होंगे और मूल रूप से निर्देशित किए जाते हैं, जो सिलेंडर की तरफ की सतह के लंबवत है। सिलेंडर वैक्टर के आधार पर मूल रूप से निर्देशित, आधार पर "स्लाइड", सामान्य के साथ एक सीधा कोण बना रहा है .

प्रवाह वेक्टर की गणना करें चयनित सिलेंडर की सतह के माध्यम से। इस बंद "गॉसियन" के माध्यम से एक पूर्ण प्रवाह सतह सिलेंडर की तरफ की सतह और दो अड्डों के माध्यम से एक धारा से बना है:

अंतिम दो इंटीग्रल शून्य हैं, क्योंकि सिलेंडर वैक्टर के आधार पर "स्लाइडिंग" उन्हें अनुमति न दें और कोई स्ट्रीम न बनाएं। औपचारिक रूप से, ये दो इंटीग्रल शून्य हैं, क्योंकि वैक्टर के बीच तथा सीधे कोण I.

। इस तरह

सिलेंडर की तरफ की सतह के सभी बिंदुओं पर इ।=इ। आर \u003d विपक्ष

.

इसलिए, सिलेंडर की साइड सतह के माध्यम से प्रवाह बराबर है

(2.11)

यह प्रवाह की परिभाषा द्वारा गणना की गई विद्युत क्षेत्र की ताकत वेक्टर का प्रवाह है।

अब हम गॉस प्रमेय का उपयोग करते हैं, जो पिछली चीज को देखते हुए है कि इस मामले में "गॉसियन सतह के अंदर कैदिकरण" थ्रेड के खिंचाव पर केंद्रित है एच- सिलेंडर की धुरी पर:

इस तरह

(2.12)

यहां से अब से धागे तक की दूरी से क्षेत्र की तीव्रता की हाइपरबॉलिक निर्भरता से परिचित होना आसान है - आर(1.11 देखें)।

(2.13)

1. एक अनंत समान रूप से चार्ज किए गए विमान का क्षेत्र। फ्लैट कंडेनसर क्षेत्र

बिजली के क्षेत्र को चार्ज द्वारा बनाए जाते हैं, एक अनंत विमान की सतह पर समान रूप से वितरित किए जाते हैं, एक सतह घनत्व  (चित्र 2.8) के साथ।

अंजीर। 2.8।

कार्य की समरूपता से यह इस प्रकार है कि क्षेत्र को सतह पर लंबवत हर जगह भेजा जाता है। हम यह पता लगाते हैं कि क्षेत्र की ताकत कैसे बदलती है क्योंकि यह चार्ज किए गए विमान से हटा देती है।

एक गाऊसी सतह के रूप में, एक सिलेंडर चुनना सुविधाजनक है। सिलेंडर की धुरी एक लंबवत विमान भेजेगी, इसका आधार एक दूरी पर स्थित है एचसतह के दोनों किनारों पर सममित रूप से।

साइड सतह और सिलेंडर के आधार के माध्यम से वोल्टेज वेक्टर की ताकत की गणना करें। जैसा कि अंजीर से होता है। 2.8।, स्ट्रॉय वेक्टर स्ट्रीम सिलेंडर की तरफ की सतह के माध्यम से शून्य है, क्योंकि यहां तक \u200b\u200bकि सतह पर तनाव वैक्टर "स्लाइड" और

.

फिर एक बंद बेलनाकार सतह के माध्यम से पूर्ण प्रवाह सिलेंडर के दो अड्डों के माध्यम से एक धारा के रूप में लिखा जा सकता है।

प्रवाह निर्धारित करने के लिए गणना की गई मान है।

अब हम गॉस प्रमेय का उपयोग करते हैं, जो कि प्रभारी नहीं है प्र, "गॉसियन सतह के अंदर स्थित", इस मामले में साइट पर केंद्रित है एस=एस एक अनंत विमान पर "कट" सिलेंडर

(2.15)

हम परिणामों (2.15) और (2.14) को गॉस समीकरण को जोड़ते हैं:

जहां इस प्रकार है

(2.16)

आउटपुट। एक अनंत समान रूप से चार्ज किए गए विमान द्वारा निर्मित एक क्षेत्र। यह चार्ज की सतह से दूरी के साथ नहीं बदलता है, न ही दिशा में।

अब एक और महत्वपूर्ण उदाहरण पर विचार करें। क्षेत्र को दो बनाने दें अनंत विमान, विविधता, लेकिन चार्ज की सतह घनत्व के आकार पर समान (चित्र 2.9)। यह इलेक्ट्रोस्टैटिक्स का एक महत्वपूर्ण आदर्श है - फ्लैट कंडेनसर। इस संधारित्र के प्रत्येक आराम एक सजातीय क्षेत्र बनाता है, जिस तनाव में हमने अभी स्थापित किया है (2.16):

.

अंजीर। 2.9।

सकारात्मक चार्ज किए गए विमान के क्षेत्र की पावर लाइनें इसे निर्देशित कर रहे हैं, और विमान के लिए नकारात्मक हैं। जब ये फ़ील्ड अतिरिक्त होते हैं, तो कंडेनसर के बाहर परिणामी क्षेत्र का तनाव शून्य हो जाता है, और कंडेनसर के अंदर, जहां ये फ़ील्ड दिशा में मेल खाते हैं - फ़ील्ड युगल:

. (2.17)

उदाहरण 1। पतला, असीम रूप से लंबे धागे को रैखिक चार्ज घनत्व के साथ सजातीय रूप से चार्ज किया जाता है λ । टेंशन खोजें इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र इ।(आर) बिना सोचे समझे आर धागे से।

चलो एक ड्राइंग बनाते हैं:

विश्लेषण:

चूंकि धागा करता है बिंदु प्रभार, डी विधि लागू करें। कंडक्टर की लंबाई के असीम रूप से छोटे तत्व को हाइलाइट करें डेलीजिसमें एक शुल्क होगा dq।=dlλ।। एक दूरी पर धागे से एक मनमानी बिंदु ए में कंडक्टर के प्रत्येक तत्व द्वारा बनाए गए क्षेत्र की तीव्रता की गणना करें लेकिन अ। वेक्टर को अवलोकन बिंदु के साथ बिंदु प्रभार को जोड़ने वाली सीधी रेखा के साथ निर्देशित किया जाएगा। परिणामी क्षेत्र X अक्ष के साथ थ्रेड में सामान्य द्वारा प्राप्त किया जाता है। मात्रा को खोजने के लिए यह आवश्यक है डी एक्स।: डी एक्स \u003d।डे।कोसे। .

ए-प्रोरी:

.

मूल्य डेली, आर, तत्व की स्थिति को बदलने पर लगातार बदलें डेली। उन्हें α के मूल्य के माध्यम से व्यक्त करें:

कहा पे dα। - थ्रेड पर आगे बढ़ते समय त्रिज्या-वेक्टर के घूर्णन के परिणामस्वरूप कोण α की असीमित रूप से छोटी वृद्धि डेली। फिर dl \u003d।आर 2 डीईए / ए। जब चल रहा है डेली कोण के बारे में इंगित करने के लिए 0 0 से π / 2 तक भिन्न होता है।

इसलिये .

चेकिंग आयाम: [ई] \u003d वी / एम \u003d केजीएम / एमएफएम \u003d सीएलवी / सीएलएम \u003d वी / एम;

उत्तर:.

विधि 2।

चार्ज वितरण की अक्षीय समरूपता के आधार पर, सभी बिंदु धागे, समतुल्य और उनमें क्षेत्र की तीव्रता से बराबर दूरी पर स्थित होते हैं, यानी, यानी इ।(आर) \u003d const, कहाँ आर- धागे के अवलोकन के बिंदु से दूरी। दिशा इ। इन बिंदुओं पर हमेशा धागे के लिए सामान्य दिशा के साथ मेल खाता है। गॉस प्रमेय पर; कहा पे प्र- सतह द्वारा गले लगा लिया एक मौका - एस 'जिसके माध्यम से प्रवाह की गणना की जाती है, एक सिलेंडर के रूप में त्रिज्या ए का चयन करें और धागा बनाएं। यह मानते हुए कि सिलेंडर की साइड सतह सामान्य है, हम स्ट्रीम के लिए प्राप्त करते हैं:

टी के इ।\u003d कॉन्स्ट।

एस Bok.pov। \u003d। पर2π .

दूसरी ओर इ।2ïan \u003d q / ε 0 ,

कहा पे λn \u003d Q..

उत्तर:इ।=λ /4πε 0 लेकिन अ.

उदाहरण 2। । शुल्क की सतह घनत्व के साथ समान रूप से चार्ज अंतहीन विमान के तनाव की गणना करें σ .

तनाव रेखाएं लंबवत हैं और विमान के दोनों किनारों में निर्देशित हैं। एक बंद सतह के रूप में, हम सिलेंडर की सतह का चयन करते हैं, जिसका आधार विमान के समानांतर है, और सिलेंडर की धुरी विमान के लिए लंबवत है। चूंकि बनाने वाले सिलेंडरों तनाव की रेखाओं के समानांतर होते हैं (α \u003d 0, cos α \u003d 1 ), पक्ष की सतह के माध्यम से प्रवाह वेक्टर शक्ति शून्य है, और एक बंद बेलनाकार सतह के माध्यम से एक पूर्ण धारा इसके आधार के माध्यम से प्रवाह की मात्रा के बराबर है। बंद सतह के अंदर संलग्न चार्ज σ है एस ओएसएन। , तब फिर:

F e \u003d 2 इ।एस Ound या f e \u003d \u003d, फिर e \u003d \u003d

उत्तर:ई \u003d, सिलेंडर की लंबाई और किसी भी दूरी पर मॉड्यूल में किसी भी दूरी पर निर्भर नहीं करता है। समान रूप से एक समान रूप से चार्ज किए गए विमान का क्षेत्र।

उदाहरण 3। । क्रमशः + σ और -σ की सतह घनत्व के साथ दो असीमित चार्ज विमानों के क्षेत्र की गणना करें।

E \u003d e \u003d 0; ई \u003d ई + + ई - \u003d।

उत्तर: विमानों के बीच के क्षेत्र में परिणामी क्षेत्र की ताकत ई \u003d के बराबर है, और विमानों द्वारा बंधे मात्रा के बाहर शून्य है।

उदाहरण 4। । रेडियस की सतह घनत्व की सतह घनत्व के साथ समान रूप से आरोप लगाए गए क्षेत्र की शक्ति की गणना करें आर.

फिर, और

अगर आर।< R , то внутри замкнутой поверхности нет зарядов и электростатическое поле отсутствует (Е=0).

उत्तर:.

उदाहरण 5। । तनाव मात्रा-थोक घनत्व के साथ चार्ज की गणना करें ρ , गेंद त्रिज्या आर.

एक बंद सतह के रूप में, गोलाकार ले लो।

यदि एक आर ≥आर , फिर \u003d 4π 2 ई; ई \u003d।

अगर आर।< R , то сфера радиусом आर, चार्ज क्यू "क्यू के बराबर" \u003d (क्योंकि आरोपों को वॉल्यूम के रूप में माना जाता है, और राउंड के क्यूब्स जैसे वॉल्यूम)

फिर तगा में

उत्तर:; एक समान चार्ज कटोरे के अंदर, तनाव दूरी के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है आरउसके केंद्र से, और बाहर - आनुपातिक रूप से वापस घटता है आर 2 .

उदाहरण संख्या 6। । एक रैखिक चार्ज घनत्व के साथ आरोपित एक अंतहीन, गोल सिलेंडर के क्षेत्र की तीव्रता की गणना करें λ , त्रिज्या आर.

सिलेंडर सिरों के माध्यम से थ्रेड वेक्टर स्ट्रीम 0 है, और पक्ष सतह के माध्यम से:

चूंकि , या,

तब फिर (यदि आर\u003e आर)

यदि λ\u003e 0, е\u003e 0, वेक्टर ē सिलेंडर से निर्देशित है,

अगर λ।< 0, Е < 0 , вектор Ē направлен к цилиндру.

अगर आर।< R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е = 0

उत्तर: (आर\u003e आर); E \u003d 0 (r\u003e r)। एक अंतहीन, गोल सिलेंडर की सतह पर समान रूप से चार्ज किया गया, कोई क्षेत्र नहीं है।

उदाहरण 7। । विद्युत क्षेत्र दो असीमित लंबे समानांतर विमानों द्वारा चार्ज 2 एनकेएल / एम 2 और 4 ओकेएन / एम 2 के सतह के विमानों के साथ बनाया गया था। क्षेत्रों में क्षेत्र की तीव्रता का निर्धारण करें, इसमें शामिल हैं। व्यसन का एक ग्राफ बनाएं Ē (आर) .

विमान 3 क्षेत्रों पर स्थान विभाजित करते हैं

दिशा ē परिणामस्वरूप क्षेत्र अधिक की ओर।

प्रक्षेपण में आर:

; «–»; ;

; «–»; ;

; «+»; .

अनुसूची Ē (आर)

स्केल का चयन करें: इ। 2 =2 इ। 1

ई 1 \u003d 1; ई 2 \u003d 2

उत्तर:इ। І \u003d -345 v / m; इ। І i \u003d -172 v / m; इ। І II \u003d 345 V / M।

उदाहरण संख्या 8। । इबोनाइट ठोस गेंद त्रिज्या आर \u003d 5 सेमी चार्ज किया जाता है, समान रूप से वॉल्यूमेट्रिक घनत्व के साथ वितरित किया जाता है ρ \u003d 10 एनएल / एम 3। बिंदुओं पर विद्युत क्षेत्र की ताकत निर्धारित करें: 1) एक दूरी पर आर क्षेत्र के केंद्र से 1 \u003d 3 सेमी; 2) क्षेत्र की सतह पर; 3) एक दूरी पर आर 2 \u003d 10 सेमी क्षेत्र के केंद्र से।

चार्ज द्वारा बनाए गए फ़ील्ड पर विचार करें, समान रूप से अनंत धागे पर वितरित किया गया। हमने इलेक्ट्रिक फ़ील्ड के सुपरपोजिशन के सिद्धांत का उपयोग करके अंतिम व्याख्यान पर इस कार्य का फैसला किया (1.11 देखें)।

अब हम दिखाएंगे, गॉस प्रमेय का उपयोग करके इस क्षेत्र की गणना करना कुछ आसान है।

एक दूरी पर क्षेत्र की ताकत निर्धारित करें आर धागे से लगातार रैखिक घनत्व के साथ चार्ज किया गया:

, [सीएल / एम] (2.10)

एक बंद बेलनाकार सतह (चित्र 2.7) के साथ धागे के आसपास। सिलेंडर ऊंचाई - एच, और इसकी नींव का त्रिज्या - आर.

चार्ज किए गए धागे द्वारा बनाई गई फ़ील्ड में एक बेलनाकार समरूपता होती है। इस संबंध में, सिलेंडर की तरफ की सतह के सभी बिंदुओं पर वोल्टेज वैक्टर मॉड्यूल द्वारा समान होंगे और मूल रूप से निर्देशित किए जाते हैं, जो सिलेंडर की तरफ की सतह के लंबवत है। सिलेंडर के आधार पर, वैक्टर के उद्देश्य से समान रूप से "स्लाइड" के उद्देश्य से, सामान्य के साथ एक सीधा कोण बनाते हैं।

चयनित सिलेंडर की सतह के माध्यम से वेक्टर स्ट्रीम की गणना करें। इस बंद "गॉसियन" के माध्यम से एक पूर्ण प्रवाह सतह सिलेंडर की तरफ की सतह और दो अड्डों के माध्यम से एक धारा से बना है:

अंतिम दो इंटीग्रल शून्य हैं, क्योंकि सिलेंडर वैक्टर के आधारों के लिए "स्लाइडिंग" उन्हें अनुमति नहीं देता है और कोई स्ट्रीम नहीं बनाते हैं। औपचारिक रूप से, ये दो इंटीग्रल शून्य हैं, क्योंकि वैक्टर और सीधे कोण के बीच और। इस तरह

सिलेंडर की तरफ की सतह के सभी बिंदुओं पर इ। =ई आर। \u003d कॉन्स्ट एंड।

इसलिए, सिलेंडर की साइड सतह के माध्यम से प्रवाह बराबर है

यह प्रवाह की परिभाषा द्वारा गणना की गई विद्युत क्षेत्र की ताकत वेक्टर का प्रवाह है।

अब हम गॉस प्रमेय का उपयोग करते हैं, जो पिछली चीज को देखते हुए है कि इस मामले में "गॉसियन सतह के अंदर कैदिकरण" थ्रेड के खिंचाव पर केंद्रित है एच - सिलेंडर की धुरी पर:

इस तरह

(2.12)

यहां से अब से धागे तक की दूरी से क्षेत्र की तीव्रता की हाइपरबॉलिक निर्भरता से परिचित होना आसान है - आर (देखें 1.11)।

1. एक अनंत समान रूप से चार्ज किए गए विमान का क्षेत्र। फ्लैट कंडेनसर क्षेत्र

बिजली के क्षेत्र को चार्ज द्वारा बनाए जाते हैं, एक सतह घनत्व एस (चित्र 2.8) के साथ एक अनंत विमान की सतह पर समान रूप से वितरित किए जाते हैं।

कार्य की समरूपता से यह इस प्रकार है कि क्षेत्र को सतह पर लंबवत हर जगह भेजा जाता है। हम यह पता लगाते हैं कि क्षेत्र की ताकत कैसे बदलती है क्योंकि यह चार्ज किए गए विमान से हटा देती है।

एक गाऊसी सतह के रूप में, एक सिलेंडर चुनना सुविधाजनक है। सिलेंडर की धुरी एक लंबवत विमान भेजेगी, इसका आधार एक दूरी पर स्थित है एच सतह के दोनों किनारों पर सममित रूप से।

साइड सतह और सिलेंडर के आधार के माध्यम से वोल्टेज वेक्टर की ताकत की गणना करें। जैसा कि अंजीर से होता है। 2.8।, सिलेंडर की तरफ की सतह के माध्यम से स्ट्रॉय वेक्टर स्ट्रीम शून्य है, क्योंकि यहां तक \u200b\u200bकि सतह पर तनाव वैक्टर "स्लाइड" और।

फिर एक बंद बेलनाकार सतह के माध्यम से पूर्ण प्रवाह सिलेंडर के दो अड्डों के माध्यम से एक धारा के रूप में लिखा जा सकता है।

प्रवाह निर्धारित करने के लिए गणना की गई मान है।

अब हम गॉस प्रमेय का उपयोग करते हैं, जो कि प्रभारी नहीं है प्र, "गॉसियन सतह के अंदर स्थित", इस मामले में साइट पर केंद्रित है एस = एस एक अनंत विमान पर "कट" सिलेंडर

हम परिणामों (2.15) और (2.14) को गॉस समीकरण को जोड़ते हैं:

जहां इस प्रकार है

आउटपुट। एक अनंत समान रूप से चार्ज किए गए विमान द्वारा निर्मित एक क्षेत्र। यह चार्ज की सतह से दूरी के साथ नहीं बदलता है, न ही दिशा में।

अब एक और महत्वपूर्ण उदाहरण पर विचार करें। फ़ील्ड को दो अनंत विमानों द्वारा बनाए गए हैं, अलग-अलग चार्ज किए गए हैं, लेकिन चार्ज घनत्व के समान आकार के साथ (चित्र 2.9)। यह इलेक्ट्रोस्टैटिक्स का एक महत्वपूर्ण आदर्श है - फ्लैट कंडेनसर। इस संधारित्र के प्रत्येक आराम एक सजातीय क्षेत्र बनाता है, जिस तनाव में हमने अभी स्थापित किया है (2.16):

.

सकारात्मक चार्ज किए गए विमान के क्षेत्र की पावर लाइनें इसे निर्देशित कर रहे हैं, और विमान के लिए नकारात्मक हैं। इन क्षेत्रों के अलावा, कंडेनसर के बाहर परिणामी क्षेत्र का तनाव शून्य हो जाता है, और कंडेनसर के अंदर, जहां इन क्षेत्रों को दिशा में माना जाता है, फ़ील्ड युगल।