Gausa teorēma elektriskajai indukcijai (elektriskā nobīde) [

Laukam dielektriskā vidē Gausa elektrostatisko teorēmu var uzrakstīt citā un citā veidā (alternatīvā veidā) - caur elektriskā nobīdes vektora plūsmu (elektriskā indukcija). Šajā gadījumā teorēmas formulējums ir šāds: elektriskā nobīdes vektora plūsma caur slēgtu virsmu ir proporcionāla brīvajam elektriskajam lādiņam, kas atrodas šajā virsmā:

Diferenciālā formā:

Gausa teorēma magnētiskajai indukcijai

Magnētiskās indukcijas vektora plūsma caur jebkuru slēgtu virsmu ir nulle:

vai diferenciālā formā

Tas ir līdzvērtīgs faktam, ka dabā nav "magnētisko lādiņu" (monopolu), kas radītu magnētisko lauku, jo elektriskie lādiņi rada elektrisko lauku. Citiem vārdiem sakot, Gausa teorēma magnētiskajai indukcijai parāda, ka magnētiskais lauks ir (pilnībā) virpulis.

Gausa teorēma Ņūtona gravitācijai

Ņūtona gravitācijas lauka stiprumam (smaguma paātrinājumam) Gausa teorēma praktiski sakrīt ar teorēmu elektrostatikā, izņemot tikai konstantes (tomēr tas joprojām ir atkarīgs no patvaļīgas mērvienību sistēmas izvēles) un, pats galvenais, zīme:

kur g- gravitācijas lauka stiprums, M- gravitācijas lādiņš (t.i., masa) virsmas iekšpusē S, ρ - masas blīvums, G- Ņūtona konstante.

Vadītāji elektriskajā laukā. Lauks vadītāja iekšpusē un uz tā virsmas.

Ķermeņus sauc par vadītājiem, caur kuriem elektriskie lādiņi var pāriet no uzlādēta ķermeņa uz neuzlādētu. Vadītāju spēja izlaist elektriskos lādiņus caur sevi ir izskaidrojama ar brīvo lādiņu nesēju klātbūtni tajos. Vadītāji - metāla korpusi cietā un šķidrā stāvoklī, šķidri elektrolītu šķīdumi. Vadītāja brīvie lādiņi, kas nonāk elektriskajā laukā, sāk kustēties tā darbības rezultātā. Lādiņu pārdale izraisa elektriskā lauka izmaiņas. Kad elektriskā lauka stiprums vadītājā kļūst par nulli, elektroni pārstāj kustēties. Atšķirīgo lādiņu atdalīšanās parādību vadītājā, kas atrodas elektriskā laukā, sauc par elektrostatisko indukciju. Vadītāja iekšpusē nav elektriskā lauka. To izmanto elektrostatiskajai aizsardzībai - aizsardzībai ar metāla vadītājiem no elektriskā lauka. Jebkuras formas vadoša ķermeņa virsma elektriskajā laukā ir ekvipotenciāla virsma.

Kondensatori

Lai iegūtu ierīces, kuras ar nelielu potenciālu attiecībā pret vidi uzkrātu (kondensētu) uz sevis ievērojamus lādiņus, tās izmanto faktu, ka vadītāja elektriskā kapacitāte palielinās, kad tam tuvojas citi ķermeņi. Patiešām, lādētu vadītāju radītā lauka iedarbībā uz tam pievadītā ķermeņa parādās inducēti (uz vadītāja) vai saistītie (uz dielektriķa) lādiņi (15.5. att.). Lādiņi, kas pēc zīmes ir pretēji vadītāja q lādiņam, atrodas tuvāk vadītājam nekā tie, kuriem ir tāds pats nosaukums ar q, un tāpēc tiem ir liela ietekme uz tā potenciālu.

Tāpēc, kad ķermenis tiek nogādāts pie uzlādēta vadītāja, lauka stiprums samazinās, un līdz ar to samazinās vadītāja potenciāls. Saskaņā ar vienādojumu tas nozīmē vadītāja kapacitātes palielināšanos.

Kondensators sastāv no diviem vadītājiem (plāksnēm) (15.6. Attēls), kas atdalīti ar dielektrisku slāni. Ja vadītājam tiek pielietota noteikta potenciālu starpība, tā plāksnes tiek uzlādētas ar vienādiem pretējās zīmes lādiņiem. Ar kondensatora elektrisko kapacitāti saprot fizisku lielumu, kas ir proporcionāls lādiņam q un apgriezti proporcionāls potenciālu starpībai starp plāksnēm.

Noteiksim plakanā kondensatora kapacitāti.

Ja plāksnes laukums ir S un lādiņš uz tās ir q, tad lauka stiprums starp plāksnēm ir

No otras puses, potenciālu starpība starp plāksnēm, no kurienes

Punktu lādiņu, lādēta vadītāja un kondensatora sistēmas enerģija.

Jebkurai lādiņu sistēmai ir noteikta potenciālā mijiedarbības enerģija, kas ir vienāda ar darbu, kas tiek iztērēts šīs sistēmas izveidošanai. Punktu lādiņu sistēmas enerģija q 1 , q 2 , q 3 ,… q N ir definēts šādi:

kur φ 1 - elektriskā lauka potenciāls, ko rada visi lādiņi, izņemot q 1 vietā, kur atrodas lādiņš q 1 utt. Ja mainās lādiņu sistēmas konfigurācija, tad mainās arī sistēmas enerģija. Lai mainītu sistēmas konfigurāciju, jums ir jādara zināms darbs.

Punktu lādiņu sistēmas potenciālo enerģiju var aprēķināt citā veidā. Divu punktu lādiņu potenciālā enerģija q 1 , q 2 attālumā viens no otra ir vienāds ar. Ja ir vairāki lādiņi, tad šīs lādiņu sistēmas potenciālo enerģiju var definēt kā visu lādiņu pāru potenciālo enerģiju summu, ko var kompensēt šai sistēmai. Tātad trīs pozitīvu lādiņu sistēmai sistēmas enerģija ir

Punkta lādiņa elektriskais lauks q 0 attālumā no tā vidē ar dielektrisko konstanti ε (sk. 3.1.3. attēlu). 3.1.3.attēls	; Potenciāls ir skalārs, tā zīme ir atkarīga no lādiņa zīmes, kas rada lauku.
Attēls 3.1.4. Vienmērīgi uzlādētas rādiusa sfēras elektriskais lauks punktā C attālumā no tās virsmas (3.1.4. attēls). Sfēras elektriskais lauks ir līdzīgs punktveida lādiņa laukam, kas vienāds ar sfēras lādiņu q sp un koncentrējas tā centrā. Attālums līdz vietai, kur tiek noteikts spriegums, ir ( R+a)	Ārpus sfēras: ; Potenciāls sfēras iekšpusē ir nemainīgs un vienāds , un spriegums sfēras iekšpusē ir nulle
Vienmērīgi lādētas bezgalīgas plaknes ar virsmas blīvumu elektriskais lauks σ (sk. 3.1.5. attēlu). Attēls 3.1.5.	Tiek saukts lauks, kura stiprums visos punktos ir vienāds viendabīgs. Virsmas blīvums σ Vai lādiņš uz virsmas vienību (kur ir attiecīgi lādiņš un plaknes laukums). Virsmas lādiņa blīvuma izmērs.
Plakana kondensatora elektriskais lauks ar tādu pašu lielumu, bet pretējā zīmē lādējas uz plāksnēm (sk. 3.1.6. attēlu). 3.1.6.attēls	Spriegums starp plakana kondensatora plāksnēm ārpus kondensatora E=0. Iespējamā atšķirība u starp kondensatora plāksnēm (plāksnēm):, kur d Vai ir attālums starp plāksnēm, ir dielektriskā konstante, kas novietota starp kondensatora plāksnēm. Virsmas lādiņa blīvums uz kondensatora plāksnēm ir vienāds ar uz tā esošā lādiņa daudzuma attiecību pret plāksnes laukumu:

Uzlādēta vientuļa vadītāja un kondensatora enerģija

Ja vientuļniekam ir lādiņš q, tad ap to eksistē elektriskais lauks, kura potenciāls uz vadītāja virsmas ir vienāds un kapacitāte ir C. Palielināsim lādiņu par dq. Pārnesot lādiņu dq no bezgalības, darbs jāveic vienāds ar ... Bet noteiktā vadītāja elektrostatiskā lauka potenciāls bezgalībā ir nulle. Tad

Kad lādiņš dq tiek pārnests no vadītāja uz bezgalību, to pašu darbu veic elektrostatiskā lauka spēki. Līdz ar to, palielinoties vadītāja lādiņam par summu dq, palielinās lauka potenciālā enerģija, t.i.

Integrējot šo izteiksmi, mēs atrodam uzlādēta vadītāja elektrostatiskā lauka potenciālo enerģiju, palielinot tā lādiņu no nulles līdz q:

Izmantojot attiecību, potenciālajai enerģijai W var iegūt šādas izteiksmes:

Uzlādētam kondensatoram potenciāla starpība (spriegums) ir tā elektrostatiskā lauka kopējās enerģijas attiecībai.

Ja ir daudz maksu, lauku aprēķināšana rada zināmas grūtības.

Gausa teorēma palīdz tos pārvarēt. Būtība Gausa teorēma tas izpaužas šādi: ja patvaļīgu skaitu lādiņu garīgi ieskauj slēgta virsma S, tad elektriskā lauka intensitātes plūsmu caur elementāro apgabalu dS var uzrakstīt kā dФ = ЕСОsα۰dS kur α ir leņķis starp normālu uz plakne un intensitātes vektors ... (12.7. att.)

Kopējā plūsma caur visu virsmu būs vienāda ar plūsmu summu no visiem lādiņiem, kas ir patvaļīgi sadalīti tajā un proporcionāli šī lādiņa lielumam

(12.9)

Noteiksim intensitātes vektora plūsmu caur sfērisku virsmu ar rādiusu r, kuras centrā atrodas punktveida lādiņš + q (12.8. attēls). Sprieguma līnijas ir perpendikulāras sfēras virsmai, α = 0, tāpēc cosα = 1. Tad

Ja lauku veido lādiņu sistēma, tad

Gausa teorēma: elektrostatiskā lauka stipruma vektora plūsma vakuumā caur jebkuru slēgtu virsmu ir vienāda ar šajā virsmā esošo lādiņu algebrisko summu, kas dalīta ar elektrisko konstanti.

(12.10)

Ja sfēras iekšpusē nav lādiņu, tad Ф = 0.

Gausa teorēma ļauj salīdzinoši viegli aprēķināt elektriskos laukus simetriski sadalītiem lādiņiem.

Ieviesīsim sadalīto lādiņu blīvuma jēdzienu.

Lineāro blīvumu apzīmē ar τ un raksturo lādiņu q uz garuma vienību ℓ. Kopumā to var aprēķināt pēc formulas

(12.11)

Ar vienmērīgu lādiņu sadalījumu lineārais blīvums ir

Virsmas blīvumu apzīmē ar σ un raksturo lādiņu q uz laukuma vienību S. Vispārīgā formā to nosaka pēc formulas

(12.12)

Ar vienmērīgu lādiņu sadalījumu pa virsmu virsmas blīvums ir vienāds ar

Tilpuma blīvumu apzīmē ar ρ, raksturo lādiņu q uz tilpuma vienību V. Vispārīgā formā to nosaka pēc formulas

(12.13)

Ar vienmērīgu lādiņu sadalījumu tas ir vienāds ar
.

Tā kā lādiņš q atrodas vienmērīgi uz sfēras, tad

σ = konst. Mēs izmantojam Gausa teorēmu. Nozīmēsim sfēru ar rādiusu caur punktu A. 12.9. att. intensitātes vektora plūsma caur sfērisku rādiusa virsmu ir vienāda ar cosα = 1, jo α = 0. Saskaņā ar Gausa teorēmu,
.

vai

(12.14)

No izteiksmes (12.14.) izriet, ka lauka intensitāte ārpus uzlādētās sfēras ir tāda pati kā sfēras centrā novietota punktveida lādiņa lauka intensitāte. Uz sfēras virsmas, t.i. r 1 = r 0, spriegums
.

Sfēras iekšpusē r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

Cilindrs ar rādiusu r 0 ir vienmērīgi uzlādēts ar virsmas blīvumu σ (12.10. attēls). Noteiksim lauka intensitāti patvaļīgi izvēlētā punktā A. Novelkam caur punktu A iedomātu cilindrisku virsmu ar rādiusu R un garumu ℓ. Simetrijas dēļ plūsma izplūdīs tikai caur cilindra sānu virsmām, jo ​​lādiņi uz cilindra ar rādiusu r 0 ir vienmērīgi sadalīti pa tā virsmu, t.i. spriegojuma līnijas būs radiālas taisnas līnijas, kas ir perpendikulāras abu cilindru sānu virsmām. Tā kā plūsma caur cilindru pamatni ir nulle (cos α = 0), un cilindra sānu virsma ir perpendikulāra spēka līnijām (cos α = 1), tad

vai

(12.15)

Izteiksim E vērtību ar σ - virsmas blīvumu. Pēc definīcijas,

tātad,

Formulā (12.15) aizstājiet vērtību q

(12.16)

Pēc lineārā blīvuma definīcijas,
, kur
; mēs aizstājam šo izteiksmi formulā (12.16):

(12.17)

tie. bezgalīgi gara uzlādēta cilindra radītā lauka intensitāte ir proporcionāla lādiņa lineārajam blīvumam un apgriezti proporcionāla attālumam.

Lauka intensitāte, ko rada bezgalīga vienmērīgi uzlādēta plakne

Noteiksim bezgalīgas vienmērīgi lādētas plaknes radītā lauka stiprumu punktā A. Lai plaknes virsmas lādiņa blīvums ir vienāds ar σ. Kā slēgtu virsmu ir ērti izvēlēties cilindru, kura ass ir perpendikulāra plaknei, bet labajā pamatnē atrodas punkts A. Plakne sadala cilindru uz pusēm. Acīmredzot spēka līnijas ir perpendikulāras plaknei un paralēlas cilindra sānu virsmai, tāpēc visa plūsma iet tikai caur cilindra pamatnēm. Abās bāzēs lauka stiprums ir vienāds, jo punkti A un B ir simetriski attiecībā pret plakni. Tad plūsma caur cilindra pamatnēm ir

Saskaņā ar Gausa teorēmu,

Jo
, tad
, kur

(12.18)

Tādējādi bezgalīgas lādētas plaknes lauka stiprums ir proporcionāls virsmas lādiņa blīvumam un nav atkarīgs no attāluma līdz plaknei. Līdz ar to plaknes lauks ir vienmērīgs.

Lauka intensitāte, ko rada divas pretēji vienmērīgi uzlādētas paralēlas plaknes

Iegūto lauku, ko rada divas plaknes, nosaka lauku superpozīcijas princips:
(12.12. attēls). Katras plaknes radītais lauks ir viendabīgs, šo lauku stiprumi ir vienādi pēc lieluma, bet pretēji virzienā:
... Saskaņā ar superpozīcijas principu kopējā lauka stiprums ārpus plaknes ir vienāds ar nulli:

Starp plaknēm lauka stiprumiem ir vienādi virzieni, tāpēc iegūtais stiprums ir

Tādējādi lauks starp divām pretēji vienmērīgi lādētām plaknēm ir viendabīgs un tā intensitāte ir divas reizes lielāka par vienas plaknes radītā lauka intensitāti. Pa kreisi un pa labi no plaknēm nav lauka. Galīgo plakņu laukam ir tāda pati forma; kropļojumi parādās tikai tuvu to robežām. Izmantojot iegūto formulu, varat aprēķināt lauku starp plakana kondensatora plāksnēm.

Vispārīgs formulējums: elektriskā lauka intensitātes vektora plūsma caur jebkuru patvaļīgi izvēlētu slēgtu virsmu ir proporcionāla elektriskajam lādiņam, kas atrodas šajā virsmā.

CGSE sistēmā:

SI sistēmā:

- elektriskā lauka intensitātes vektora plūsma caur slēgto virsmu.

- kopējais lādiņš, kas atrodas tilpumā, kas ierobežo virsmu.

- elektriskā konstante.

Šī izteiksme ir Gausa teorēma integrālā formā.

Diferenciālā formā Gausa teorēma atbilst vienam no Maksvela vienādojumiem un tiek izteikta šādi

SI sistēmā:

,

CGSE sistēmā:

Šeit ir tilpuma lādiņa blīvums (vides klātbūtnē kopējais brīvo un saistīto lādiņu blīvums), un tas ir nabla operators.

Gausa teorēmai ir spēkā superpozīcijas princips, tas ir, sprieguma vektora plūsma caur virsmu nav atkarīga no lādiņa sadalījuma virsmas iekšpusē.

Gausa teorēmas fiziskais pamats ir Kulona likums, jeb, citiem vārdiem sakot, Gausa teorēma ir Kulona likuma integrāls formulējums.

Gausa teorēma par elektrisko indukciju (elektrisko nobīdi).

Vielas laukam Gausa elektrostatisko teorēmu var uzrakstīt citādi - caur elektriskās nobīdes vektora plūsmu (elektriskā indukcija). Šajā gadījumā teorēmas formulējums ir šāds: elektriskā nobīdes vektora plūsma caur slēgtu virsmu ir proporcionāla brīvajam elektriskajam lādiņam, kas atrodas šajā virsmā:

Ja ņemam vērā teorēmu par lauka intensitāti vielā, tad par lādiņu Q ir jāņem virsmas iekšējā brīvā lādiņa un dielektriķa polarizācijas (inducētā, saistītā) lādiņa summa:

,

kur ,
Ir dielektriķa polarizācijas vektors.

Gausa teorēma magnētiskajai indukcijai

Magnētiskās indukcijas vektora plūsma caur jebkuru slēgtu virsmu ir nulle:

.

Tas ir līdzvērtīgs faktam, ka dabā nav "magnētisko lādiņu" (monopolu), kas radītu magnētisko lauku, jo elektriskie lādiņi rada elektrisko lauku. Citiem vārdiem sakot, Gausa teorēma magnētiskajai indukcijai parāda, ka magnētiskais lauks ir virpulis.

Gausa teorēmas pielietojums

Elektromagnētisko lauku aprēķināšanai izmanto šādus lielumus:

Lielapjoma lādiņa blīvums (skatīt iepriekš).

Virsmas lādiņa blīvums

kur dS ir bezgalīgi mazs virsmas laukums.

Lineārais lādiņa blīvums

kur dl ir bezgalīgi maza segmenta garums.

Apsveriet lauku, ko rada bezgalīga viendabīga lādēta plakne. Lai plaknes virsmas lādiņa blīvums ir vienāds un vienāds ar σ. Garīgi iedomājieties cilindru ar ģenerātiem, kas ir perpendikulāri plaknei, un bāzi ΔS, kas atrodas simetriski attiecībā pret plakni. Simetrijas dēļ. Intensitātes vektora plūsma ir vienāda ar. Izmantojot Gausa teorēmu, mēs iegūstam:

,

no kuriem

CGSE sistēmā

Ir svarīgi atzīmēt, ka, neskatoties uz tās universālumu un vispārīgumu, Gausa teorēmai integrāļa formā ir salīdzinoši ierobežots pielietojums integrāļa aprēķināšanas neērtību dēļ. Taču simetriskas problēmas gadījumā tās risinājums kļūst daudz vienkāršāks, nekā izmantojot superpozīcijas principu.

Elektriskā lauka intensitātes vektora plūsma.Ļaujiet nelielai platībai DS(1.2. attēls) krusto elektriskā lauka spēka līnijas, kuru virziens ir ar normālu n leņķis pret šo vietni a... Pieņemot, ka spriedzes vektors E vietnes ietvaros nemainās DS, definējiet spriedzes vektora plūsma visā vietnē DS kā

DFE =E DS cos a.(1.3)

Tā kā spēka līniju blīvums ir vienāds ar spriedzes skaitlisko vērtību E, tad to spēka līniju skaits, kas šķērso vietuDS, būs skaitliski vienāds ar plūsmas vērtībuDFEpāri virsmaiDS... Mēs attēlojam izteiksmes labo pusi (1.3) kā vektoru skalāro reizinājumu E unDS= nDS, kur nVai vienība ir normāls vektors pret virsmuDS... Elementārai vietnei d S izteiksme (1.3) iegūst formu

dFE = E d S

Visā vietnē S intensitātes vektora plūsmu aprēķina kā integrāli virs virsmas

Elektriskās indukcijas vektora plūsma. Elektriskās indukcijas vektora plūsmu nosaka līdzīgi kā elektriskā lauka intensitātes vektora plūsmu

dFD = D d S

Plūsmu definīcijās ir manāma zināma neskaidrība, jo katrai virsmai divi pretējā virziena normālie. Slēgtai virsmai ārējā norma tiek uzskatīta par pozitīvu.

Gausa teorēma. Apsveriet punkts pozitīvs elektriskais lādiņš q patvaļīgi slēgtas virsmas iekšpusē S(1.3. att.). Indukcijas vektora plūsma caur virsmas elementu d S ir vienāds ar
(1.4)

Komponents d S D = d S cos avirsmas elements d S indukcijas vektora virzienāDuzskatīts par rādiusa sfēriskas virsmas elementu r, kuras centrā ir lādiņšq.

Ņemot vērā, ka d S D/ r 2 ir vienāds elementārs ķermenis stūris dw, zem kura no lādiņa atrašanās vietasqir redzams virsmas elements d S, mēs pārveidojam izteiksmi (1.4) formā d FD = q d w / 4 lpp, no kurienes pēc integrācijas visā telpā, kas ieskauj lādiņu, t.i., telpiskā leņķī no 0 līdz 4lpp, saņemam

FD = q.

Elektriskās indukcijas vektora plūsma caur patvaļīgas formas slēgtu virsmu ir vienāda ar lādiņu, kas atrodas šīs virsmas iekšpusē.

Ja patvaļīgi slēgta virsma S nesedz punktu maksu q(1.4. att.), tad, izbūvējot konisku virsmu ar virsotni vietā, kur atrodas lādiņš, sadalām virsmu. S divās daļās: S 1 un S 2. Vektoru straume D pāri virsmai S mēs atrodam kā algebrisko plūsmu caur virsmām summu S 1 un S 2:

.

Abas virsmas no lādiņa atrašanās vietas q redzams vienā cietā leņķī w... Tāpēc plūsmas ir vienādas

Tā kā plūsmu caur slēgtu virsmu aprēķina, izmantojot ārēji normāli uz virsmu, ir viegli redzēt, ka plūsma Ф 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Kopējā plūsma Ф D= 0. Tas nozīmē, ka elektriskās indukcijas vektora plūsma caur patvaļīgas formas slēgtu virsmu nav atkarīga no lādiņiem, kas atrodas ārpus šīs virsmas.

Ja elektrisko lauku rada punktveida lādiņu sistēma q 1 , q 2 ,¼ , q n, ko sedz slēgta virsma S, tad saskaņā ar superpozīcijas principu indukcijas vektora plūsmu caur šo virsmu definē kā plūsmu summu, ko rada katrs no lādiņiem. Elektriskās indukcijas vektora plūsma caur patvaļīgas formas slēgtu virsmu ir vienāda ar šīs virsmas aptverto lādiņu algebrisko summu:

Jāpiebilst, ka maksas q i nav jābūt punktveida, nepieciešams nosacījums ir tas, ka uzlādētā vieta ir pilnībā jānosedz ar virsmu. Ja telpā, ko ierobežo slēgta virsma S, elektriskais lādiņš tiek sadalīts nepārtraukti, tad jāpieņem, ka katrs elementārais tilpums d V ir maksa. Šajā gadījumā izteiksmes (1.5) labajā pusē lādiņu algebriskā summēšana tiek aizstāta ar integrāciju pa tilpumu, kas atrodas slēgtās virsmas iekšpusē. S:

(1.6)

Izteiksme (1.6) ir vispārīgākais formulējums Gausa teorēma: elektriskās indukcijas vektora plūsma caur patvaļīgas formas slēgtu virsmu ir vienāda ar kopējo lādiņu šīs virsmas aptvertajā tilpumā un nav atkarīga no lādiņiem, kas atrodas ārpus aplūkojamās virsmas... Gausa teorēmu var uzrakstīt arī elektriskā lauka intensitātes vektora plūsmai:

.

No Gausa teorēmas izriet svarīga elektriskā lauka īpašība: spēka līnijas sākas vai beidzas tikai uz elektriskiem lādiņiem vai iet līdz bezgalībai... Vēlreiz uzsveram, ka, neskatoties uz to, ka elektriskā lauka stiprums E un elektriskā indukcija D ir atkarīgas no visu lādiņu atrašanās vietas telpā, šo vektoru plūsmas caur patvaļīgu slēgtu virsmu S nosaka tikai tie lādiņi, kas atrodas virsmas iekšpusē S.

Gausa teorēmas diferenciālforma. Pieraksti to neatņemama forma Gausa teorēma raksturo attiecības starp elektriskā lauka avotiem (lādiņiem) un elektriskā lauka raksturlielumiem (stiprumu vai indukciju) tilpumā. V patvaļīga, bet pietiekama integrālu attiecību veidošanai, vērtība. Skaļuma dalīšana V maziem apjomiem V i, mēs iegūstam izteiksmi

kas ir patiess gan kopumā, gan katram terminam. Pārveidosim iegūto izteiksmi šādi:

(1.7)

un apsveriet robežu, līdz kurai izteiksme vienādības labajā pusē, kas ietverta krokainajās iekavās, tiecas uz neierobežotu skaļuma dalījumu V... Matemātikā šo robežu sauc diverģence vektors (šajā gadījumā elektriskās indukcijas vektors D):

Vektoru novirze D Dekarta koordinātēs:

Tādējādi izteiksme (1.7) tiek pārveidota formā:

.

Ņemot vērā, ka ar neierobežotu dalījumu pēdējās izteiksmes kreisajā pusē esošā summa pāriet tilpuma integrālī, iegūstam

Iegūtā attiecība ir jāapmierina jebkuram patvaļīgi izvēlētam tilpumam V... Tas ir iespējams tikai tad, ja integrandu vērtības ir vienādas katrā telpas punktā. Tāpēc vektora diverģence D ir saistīts ar lādiņa blīvumu tajā pašā punktā ar vienādību

vai elektrostatiskā lauka stipruma vektoram

Šīs vienādības izsaka Gausa teorēmu diferenciālā forma.

Ņemiet vērā, ka, pārejot uz Gausa teorēmas diferenciālo formu, tiek iegūta sakarība, kurai ir vispārīgs raksturs:

.

Izteiksme tiek saukta par Gausa-Ostrogradska formulu, un tā savieno vektora novirzes tilpuma integrāli ar šī vektora plūsmu caur slēgtu virsmu, kas ierobežo tilpumu.

Jautājumi

1) Kāda ir Gausa teorēmas fiziskā nozīme elektrostatiskajam laukam vakuumā

2) Kuba centrā ir punktveida lādiņš.q... Kas ir vektora plūsma E:

a) pa visu kuba virsmu; b) caur vienu no kuba skaldnēm.

Vai atbildes mainīsies, ja:

a) lādiņš atrodas nevis kuba centrā, bet gan tā iekšpusē ; b) lādiņš atrodas ārpus kuba.

3) Kas ir lineārais, virsmas, tilpuma lādiņa blīvums.

4) Norādiet saistību starp tilpuma un virsmas lādiņa blīvumu.

5) Vai lauks ārpus pretēji un vienmērīgi lādētām paralēlām bezgalīgām plaknēm var būt nulle?

6) Slēgtas virsmas iekšpusē ir ievietots elektriskais dipols. Kāda ir plūsma caur šo virsmu