معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضا، معادلاتی هستند که خط مستقیمی را که از یک نقطه معین می گذرد به صورت هم خط با بردار جهت تعریف می کنند.

بگذارید یک نقطه و یک بردار جهت داده شود. یک نقطه دلخواه روی یک خط مستقیم قرار دارد لفقط در صورتی که بردارها و خطی باشند، یعنی شرط را برآورده کنند:

.

معادلات فوق معادلات متعارف خط مستقیم هستند.

شماره متر , nو پپیش بینی های بردار جهت بر روی محورهای مختصات هستند. از آنجایی که بردار غیر صفر است، پس همه اعداد متر , nو پنمی تواند همزمان صفر باشد. اما ممکن است یکی دو تا از آنها صفر شود. به عنوان مثال، در هندسه تحلیلی، نماد زیر مجاز است:

,

به این معنی که طرح بردار بر روی محور اوهو اوزبرابر با صفر هستند. بنابراین، هم بردار و هم خط مستقیم که توسط معادلات متعارف به دست می‌آید بر محورها عمود هستند. اوهو اوز، یعنی هواپیما yOz .

مثال 1.معادلات یک خط مستقیم را در فضای عمود بر صفحه بنویسید و عبور از نقطه تلاقی این صفحه با محور اوز .

راه حل. نقطه تقاطع این صفحه با محور را پیدا کنید اوز... از آنجایی که هر نقطه روی محور قرار دارد اوز، دارای مختصاتی است، سپس، صفحه را در معادله داده شده تنظیم می کند x = y = 0، 4 می گیریم z- 8 = 0 یا z= 2. بنابراین نقطه تلاقی این صفحه با محور اوزدارای مختصات (0; 0; 2). از آنجایی که خط مورد نظر عمود بر صفحه است، با بردار عادی خود موازی است. بنابراین، بردار جهت دهنده خط مستقیم می تواند بردار عادی باشد یک هواپیمای مشخص

اکنون معادلات مورد نظر خط مستقیمی را که از نقطه عبور می کند یادداشت می کنیم آ= (0; 0; 2) در جهت بردار:

معادلات یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد

یک خط مستقیم را می توان با دو نقطه که روی آن قرار دارد مشخص کرد و در این حالت بردار جهت خط مستقیم می تواند بردار باشد. سپس معادلات متعارف خط مستقیم شکل می گیرند

.

معادلات بالا خط مستقیمی را که از دو نقطه داده شده عبور می کند تعیین می کند.

مثال 2.معادله یک خط مستقیم در فضایی که از نقاط و.

راه حل. اجازه دهید معادلات مورد نظر خط مستقیم را به شکلی که در بالا در یادداشت نظری ارائه شده است بنویسیم:

.

از آنجایی که خط مورد نظر عمود بر محور است اوه .

مستقیم به عنوان خط تقاطع هواپیماها

یک خط مستقیم در فضا را می توان به عنوان خط تقاطع دو صفحه غیر موازی و به عنوان مجموعه ای از نقاط که سیستمی از دو معادله خطی را برآورده می کند تعریف کرد.

معادلات سیستم را معادلات کلی یک خط مستقیم در فضا نیز می گویند.

مثال 3.معادلات متعارف یک خط مستقیم را در فضا بنویسید که با معادلات عمومی به دست آمده است

راه حل. برای نوشتن معادلات متعارف یک خط مستقیم یا معادلات یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد، باید مختصات هر دو نقطه از خط مستقیم را پیدا کنید. برای مثال، آنها می توانند نقاط تلاقی یک خط مستقیم با هر دو صفحه مختصات باشند yOzو xOz .

نقطه تقاطع یک خط مستقیم با یک صفحه yOzآبسیسا دارد ایکس= 0. بنابراین، با فرض در سیستم معادلات داده شده ایکس= 0، سیستمی با دو متغیر دریافت می کنیم:

تصمیم او y = 2 , z= 6 همراه با ایکس= 0 یک نقطه را مشخص می کند آ(0؛ 2؛ 6) خط مستقیم مورد نیاز. سپس، تنظیم در سیستم داده شده از معادلات y= 0، سیستم را دریافت می کنیم

تصمیم او ایکس = -2 , z= 0 همراه با y= 0 یک نقطه را مشخص می کند ب(-2; 0; 0) تقاطع یک خط مستقیم با یک صفحه xOz .

اکنون معادلات خط مستقیمی که از نقاط می گذرد را یادداشت می کنیم آ(0؛ 2؛ 6) و ب (-2; 0; 0) :

,

یا بعد از تقسیم مخرج بر -2:

,

3.1. معادلات متعارف خط مستقیم.

بگذارید یک خط مستقیم در سیستم مختصات Oxyz داده شود که از نقطه عبور می کند

(نگاه کنید به شکل 18) با نشان دادن
بردار موازی با خط داده شده بردار تماس گرفت بردار جهت دهنده یک خط مستقیمبه یک نقطه مستقیم بروید
و بردارها را در نظر بگیرید
خطی، بنابراین، مختصات متناظر آنها متناسب است:

(3.3.1 )

این معادلات نامیده می شوند معادلات متعارفسر راست.

مثال:معادلات خط مستقیمی که از نقطه M (1, 2, –1) موازی با بردار می گذرد را بنویسید.

راه حل:بردار بردار جهت خط مستقیم مورد نظر است. با استفاده از فرمول های (3.1.1)، دریافت می کنیم:

اینها معادلات متعارف خط مستقیم هستند.

اظهار نظر:ناپدید شدن یکی از مخرج ها به معنای ناپدید شدن صورت مربوطه است، یعنی y - 2 = 0. y = 2. این خط مستقیم در صفحه y = 2 موازی با صفحه Oxz قرار دارد.

3.2. معادلات پارامتریک خط مستقیم

اجازه دهید خط توسط معادلات متعارف داده شود

نشان می دهیم
سپس
مقدار t یک پارامتر نامیده می شود و می تواند هر مقداری را بگیرد:
.

اجازه دهید x، y و z را بر حسب t بیان کنیم:

(3.2.1 )

معادلات به دست آمده نامیده می شوند معادلات پارامتریک خط مستقیم

مثال 1:معادلات پارامتری خط مستقیمی را که از نقطه M (1, 2, –1) موازی با بردار عبور می کند بنویسید.

راه حل:معادلات متعارف این خط در مثال بخش 3.1 به دست آمده است:

برای یافتن معادلات پارامتری خط مستقیم، از فرمول (3.2.1) استفاده می کنیم:

بنابراین،
- معادلات پارامتریک یک خط مستقیم داده شده.

پاسخ:

مثال 2.معادلات پارامتریک خط مستقیمی را که از نقطه M (-1، 0، 1) موازی با بردار عبور می کند بنویسید.
که در آن A (2، 1، -1)، B (-1، 3، 2).

راه حل:بردار
بردار جهت خط مستقیم مورد نظر است.

بردار را پیدا کنید
.

= (-3؛ 2؛ 3). با استفاده از فرمول (3.2.1)، معادلات خط مستقیم را یادداشت می کنیم:

معادلات پارامتری مورد جستجوی خط مستقیم هستند.

3.3. معادلات یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد.

یک خط مستقیم از دو نقطه داده شده در فضا عبور می کند (شکل 20 را ببینید). وکتور امتیاز داده شده
را می توان به عنوان بردار جهت این خط در نظر گرفت. سپس معادلات خط مستقیم پیدا می شود با فرمول (3.1.1):
).

(3.3.1)

مثال 1.معادلات متعارف و پارامتریک خط مستقیمی را که از نقاط عبور می کند بنویسید

راه حل: ما از فرمول (3.3.1) استفاده می کنیم.

معادلات متعارف خط مستقیم را دریافت کرد. برای بدست آوردن معادلات پارامتری از مشتق فرمول (3.2.1) استفاده می کنیم. ما گرفتیم

معادلات پارامتریک یک خط مستقیم هستند.

مثال 2.معادلات متعارف و پارامتریک خط مستقیمی را که از نقاط عبور می کند بنویسید

راه حل: با فرمول (3.3.1) دریافت می کنیم:

اینها معادلات متعارف هستند.

بیایید به معادلات پارامتریک برویم:

- معادلات پارامتریک

خط مستقیم حاصل موازی با محور oz است (شکل 21 را ببینید).

بگذارید دو هواپیما در فضا داده شوند

اگر این صفحات بر هم منطبق نباشند و موازی نباشند، در یک خط مستقیم همدیگر را قطع می کنند:

این سیستم از دو معادله خطی یک خط مستقیم را به عنوان خط تقاطع دو صفحه تعریف می کند. از معادلات (3.4.1) می توان به معادلات متعارف (3.1.1) یا معادلات پارامتری (3.2.1) رفت. برای انجام این کار، باید نقطه را پیدا کنید
دروغ گفتن بر روی یک خط مستقیم، و بردار جهت مختصات نقطه
ما از سیستم (3.4.1) به دست می آوریم، که یک مقدار دلخواه را به یکی از مختصات اختصاص می دهیم (مثلا z = 0). پشت بردار جهت ما می توانیم حاصل ضرب برداری بردارها را بگیریم، یعنی

مثال 1.معادلات متعارف یک خط مستقیم را بنویسید

راه حل:اجازه دهید z = 0. حل سیستم

با جمع کردن این معادلات، به دست می آید: 3x + 6 = 0
x = -2. مقدار یافت شده x = -2 را در اولین معادله سیستم جایگزین کنید و به دست آورید: -2 + y + 1 = 0
y = 1.

بنابراین اشاره کنید
روی خط مستقیم مورد نظر قرار می گیرد.

برای یافتن بردار جهت دهنده یک خط مستقیم، بردارهای عادی صفحات را می نویسیم: و حاصل ضرب برداری آنها را پیدا می کنیم:

معادلات خط مستقیم با فرمول (3.1.1) بدست می آید:

پاسخ:
.

یک راه دیگر:معادلات متعارف و پارامتریک خط مستقیم (3.4.1) را می توان با یافتن دو نقطه مختلف روی خط مستقیم از سیستم (3.4.1) و سپس اعمال فرمول (3.3.1) و استخراج فرمول (3.2.1) به راحتی به دست آورد. ).

مثال 2.معادلات متعارف و پارامتریک یک خط مستقیم را بنویسید

راه حل:اجازه دهید y = 0. سپس سیستم به شکل زیر در می آید:

با جمع کردن معادلات، به دست می آوریم: 2x + 4 = 0; x = -2. معادله دوم سیستم را جایگزین x = –2 کنید و به دست آورید: –2 –z +1 = 0
z = -1. بنابراین ما نکته را پیدا کردیم

برای یافتن نقطه دوم، x = 0 را قرار می دهیم.

به این معنا که

معادلات متعارف خط مستقیم را دریافت کرد.

بیایید معادلات پارامتریک خط مستقیم را بسازیم:

پاسخ:
;
.

3.5. موقعیت نسبی دو خط مستقیم در فضا.

اجازه دهید خطوط مستقیم
توسط معادلات به دست می آیند:

:
;
:

.

زاویه بین این خطوط مستقیم به عنوان زاویه بین بردارهای جهت آنها درک می شود (شکل 22 را ببینید). این گوشه با فرمول جبر برداری می یابیم:
یا

(3.5.1)

اگر مستقیم
عمود بر (
)،سپس
از این رو،

این شرط عمود بودن دو خط مستقیم در فضا است.

اگر مستقیم
موازی (
، سپس بردارهای جهت آنها خطی هستند (
)، به این معنا که

(3.5.3 )

این شرط موازی بودن دو خط مستقیم در فضا است.

مثال 1.زاویه بین خطوط مستقیم را پیدا کنید:

آ).
و

ب).
و

راه حل:آ). بردار جهت خط راست را یادداشت می کنیم
بردار جهت را پیدا کنید
هواپیماهای موجود در سیستم سپس محصول متقاطع آنها را پیدا می کنیم:

(نمونه 1 از بند 3.4 را ببینید).

با فرمول (3.5.1) دریافت می کنیم:

از این رو،

ب). اجازه دهید بردارهای جهت داده های خطوط مستقیم را بنویسیم: بردارها
خطی، زیرا مختصات متناظر آنها متناسب است:

به معنای مستقیم
موازی (
)، به این معنا که

پاسخ:آ).
ب).

مثال 2.عمود بودن خطوط را ثابت کنید:

و

راه حل:بردار جهت اولین خط مستقیم را یادداشت می کنیم

بردار جهت را پیدا کنید خط مستقیم دوم برای انجام این کار، بردارهای عادی را پیدا می کنیم
هواپیماهای موجود در سیستم: بیایید حاصل ضرب آنها را محاسبه کنیم:

(به مثال 1، بند 3.4 مراجعه کنید).

شرط عمود بودن خطوط مستقیم را اعمال می کنیم (3.5.2):

شرط تحقق یافته است؛ بنابراین، خطوط مستقیم عمود هستند (
).

بیایید راه حل یک مثال را در نظر بگیریم.

مثال.

مختصات هر نقطه از یک خط مستقیم که در فضا با معادلات دو صفحه متقاطع تعریف شده است را بیابید. .

راه حل.

سیستم معادلات را به شکل زیر بازنویسی می کنیم

به عنوان مینور اصلی ماتریس پایه سیستم، یک مینور مرتبه دوم غیر صفر می گیریم ، یعنی z یک متغیر مجهول مجهول است. عبارت های حاوی z را به سمت راست معادلات منتقل کنید:.

بیایید بپذیریم که یک عدد واقعی دلخواه کجاست.

بیایید سیستم معادلات حاصل را حل کنیم:

بنابراین، حل کلی سیستم معادلات دارای فرم، جایی که.

اگر مقدار خاصی از پارامتر را در نظر بگیریم، راه حل خاصی از سیستم معادلات به دست می آوریم که مختصات مورد نیاز یک نقطه را که روی یک خط مستقیم قرار دارد به ما می دهد. پس بگیریم بنابراین، نقطه مورد نیاز خط مستقیم است.

می توانید مختصات یافت شده یک نقطه را با جایگزین کردن آنها در معادلات اصلی دو صفحه متقاطع بررسی کنید:

پاسخ:

بردار جهت خط مستقیمی که دو صفحه در امتداد آن قطع می شوند.

در یک سیستم مختصات مستطیلی، بردار جهت خط مستقیم از خط مستقیم جدایی ناپذیر است. وقتی یک خط مستقیم a در یک سیستم مختصات مستطیلی در فضای سه بعدی با معادلات دو صفحه متقاطع به دست می آید و آنگاه مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم قابل مشاهده نیست. اکنون به شما نشان خواهیم داد که چگونه آنها را تعریف کنید.

می دانیم که یک خط مستقیم بر یک صفحه عمود است که بر هر خط مستقیمی که در آن صفحه قرار دارد عمود باشد. سپس بردار نرمال صفحه عمود بر هر بردار غیرصفری است که در این صفحه قرار دارد. ما از این حقایق برای یافتن بردار هدایت کننده یک خط مستقیم استفاده خواهیم کرد.

خط a هم در هواپیما و هم در هواپیما قرار دارد. بنابراین، بردار جهت دهنده خط مستقیم a عمود بر بردار عادی است صفحه و بردار معمولی سطح. بنابراین، بردار جهت خط a است و :

مجموعه تمام بردارهای جهت خط a که می توانیم به عنوان تعریف کنیم ، جایی که پارامتری وجود دارد که می تواند هر مقدار معتبری غیر از صفر بگیرد.

مثال.

مختصات هر بردار جهت یک خط مستقیم را که در یک سیستم مختصات مستطیلی Oxyz در فضای سه بعدی با معادلات دو صفحه متقاطع به دست می آید، پیدا کنید. .

راه حل.

بردارهای عادی صفحات و بردار هستند و به ترتیب. بردار جهت خط مستقیم که محل تلاقی دو صفحه داده شده است، حاصل ضرب برداری بردارهای عادی است:

پاسخ:

گذر به معادلات پارامتریک و متعارف یک خط مستقیم در فضا.

مواردی وجود دارد که در آن استفاده از معادلات دو صفحه متقاطع برای توصیف یک خط مستقیم کاملاً راحت نیست. اگر معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضایی از فرم باشد، حل برخی مسائل آسانتر است یا معادلات پارامتریک یک خط مستقیم در فضای فرم ، که در آن x 1، y 1، z 1 مختصات نقطه ای از خط مستقیم هستند، a x، a y، a z مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم هستند و پارامتری است که مقادیر واقعی دلخواه را می گیرد. اجازه دهید روند انتقال از معادلات خط مستقیم فرم را شرح دهیم به معادلات متعارف و پارامتریک یک خط مستقیم در فضا.

در پاراگراف های قبل یاد گرفتیم که چگونه مختصات یک نقطه روی یک خط مستقیم و همچنین مختصات برخی بردار جهت یک خط مستقیم را که با معادلات دو صفحه متقاطع به دست می آید را پیدا کنیم. این داده ها برای نوشتن هر دو معادله متعارف و پارامتری این خط مستقیم در یک سیستم مختصات مستطیلی در فضا کافی است.

حل یک مثال را در نظر می گیریم و بعد از آن راه دیگری برای یافتن معادلات متعارف و پارامتریک یک خط مستقیم در فضا نشان می دهیم.

مثال.

راه حل.

اجازه دهید ابتدا مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم را محاسبه کنیم. برای این کار، حاصل ضرب برداری بردارهای عادی را پیدا می کنیم و هواپیماها و :

به این معنا که، .

حال بیایید مختصات یک نقطه را در یک خط مستقیم مشخص کنیم. برای این کار یکی از راه حل های سیستم معادلات را پیدا می کنیم .

تعیین کننده غیر صفر است، آن را به عنوان مینور پایه ماتریس اصلی سیستم در نظر می گیریم. سپس متغیر z آزاد است، عبارت ها را با آن به سمت راست معادلات منتقل می کنیم و به متغیر z مقدار دلخواه می دهیم:

ما سیستم معادلات حاصل را با روش کرامر حل می کنیم:

از این رو،

ما می پذیریم، در این مورد، مختصات یک نقطه از یک خط مستقیم را به دست می آوریم: .

اکنون می‌توانیم معادلات متعارف و پارامتری خط مستقیم اصلی را در فضا بنویسیم:

پاسخ:

و

در اینجا راه دوم برای حل این مشکل وجود دارد.

هنگام یافتن مختصات نقطه ای از خط مستقیم، سیستم معادلات را حل می کنیم ... در حالت کلی می توان راه حل های آن را به شکل نوشت .

و اینها فقط معادلات پارامتری مورد نیاز یک خط مستقیم در فضا هستند. اگر هر یک از معادلات به‌دست‌آمده با توجه به پارامتر حل شود و پس از آن، سمت راست تساوی‌ها را معادل‌سازی کنیم، معادلات متعارف خط مستقیم را در فضا به‌دست می‌آوریم.

اجازه دهید راه حل مشکل قبلی را با استفاده از این روش نشان دهیم.

مثال.

یک خط مستقیم در فضای سه بعدی با معادلات دو صفحه متقاطع به دست می آید ... معادلات متعارف و پارامتریک این خط مستقیم را بنویسید.

راه حل.

ما این سیستم دو معادله را با سه مجهول حل می کنیم (راه حل در مثال قبل داده شده است، ما آن را تکرار نمی کنیم). در این صورت به دست می آوریم ... اینها معادلات پارامتری مورد نیاز یک خط مستقیم در فضا هستند.

برای بدست آوردن معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضا باقی مانده است:

معادلات حاصل از خط مستقیم از نظر ظاهری با معادلات به دست آمده در مثال قبلی متفاوت است، با این حال، آنها معادل هستند، زیرا آنها مجموعه ای از نقاط را در فضای سه بعدی (و بنابراین، همان خط مستقیم) را تعریف می کنند.

پاسخ:

و

کتابشناسی - فهرست کتب.

• Bugrov Y.S.، Nikolsky S.M. ریاضیات عالیه جلد اول: عناصر جبر خطی و هندسه تحلیلی.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. هندسه تحلیلی

اجازه دهید ل- مقداری خط مستقیم فضا همانطور که در پلان سنجی، هر بردار

آ = / = 0، خطی مستقیم لنامیده میشود بردار جهتاین خط مستقیم

موقعیت یک خط مستقیم در فضا با تعیین یک بردار جهت و یک نقطه متعلق به خط مستقیم به طور کامل تعیین می شود.

بگذارید مستقیم باشد لبا بردار جهت دار آ از نقطه M 0 عبور می کند و M یک نقطه دلخواه در فضا است. بدیهی است که نقطه M (شکل 197) متعلق به خط مستقیم است لاگر و فقط اگر بردار \ (\ پیکان رو به راست (M_0 M) \) هم خط با بردار باشد آ ، یعنی

\ (\ فلش رو به راست (M_0 M) \) = تی آ , تی\ (\ که در \) آر. (1)

اگر نقاط M و M 0 با بردار شعاع آنها داده شود r و r 0 (شکل 198) نسبت به نقطه ای O از فضا، سپس \ (\ فلش رو به راست (M_0 M) \) = r - r 0، و معادله (1) شکل می گیرد

r = r 0 + تی آ , تی\ (\ که در \) آر. (2)

معادلات (1) و (2) نامیده می شوند معادلات برداری-پارامتری خط مستقیم. متغیر تیدر معادلات بردار پارامتری، خط نامیده می شود پارامتر.

بگذارید نقطه M 0 یک خط مستقیم باشد لو بردار جهت a با مختصات آنها داده می شود:

M 0 ( ایکس 0 ; در 0 ، z 0), آ = (آ 1 ; آ 2 ; آ 3).

سپس اگر ( ایکس؛ y; z) - مختصات یک نقطه دلخواه M از خط مستقیم ل، سپس

\ (\ فلش رو به راست (M_0 M) \) = ( x - x 0 ; y - y 0 ; z - z 0)

و معادله برداری (1) معادل سه معادله زیر است:

x - x 0 = تا 1 , y - y 0 = تا 2 , z - z 0 = تا 3

$$ \ شروع (موارد) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \; \; t \ در R \ پایان (موارد) (3) $$

معادلات (3) نامیده می شوند معادلات پارامتریک خط مستقیم در فضای.

هدف 1.معادلات پارامتریک خط مستقیمی که از یک نقطه می گذرد را بنویسید

M 0 (-3; 2; 4) و داشتن بردار جهت آ = (2; -5; 3).

در این مورد ایکس 0 = -3, در 0 = 2, z 0 = 4; آ 1 = 2; آ 2 = -5; آ 3 = 3. با جایگزینی این مقادیر به فرمول (3)، معادلات پارامتری این خط مستقیم را بدست می آوریم.

$$ \ شروع (موارد) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t، \; \; t \ در R \ پایان (موارد) $$

بیایید پارامتر را حذف کنیم تیاز معادلات (3). از آن زمان می توان این کار را انجام داد آ = / = 0، و بنابراین یکی از مختصات بردار آ با صفر متفاوت است.

ابتدا بگذارید همه مختصات غیر صفر باشند. سپس

$$ t = \ frac (x-x_0) (a_1)، \; \; t = \ frac (y-y_0) (a_2)، \; \; t = \ frac (z-z_0) (a_3) $$

و بنابراین

$$ \ frac (x-x_0) (a_1) = \ frac (y-y_0) (a_2) = \ frac (z-z_0) (a_3) \; \; (4) $$

این معادلات نامیده می شوند معادلات متعارف خط مستقیم .

توجه داشته باشید که معادلات (4) یک سیستم دو معادله با سه متغیر را تشکیل می دهند x، yو z.

اگر در معادلات (3) یکی از مختصات بردار آ ، مثلا آ 1 برابر با صفر است، سپس، به استثنای پارامتر تی، دوباره یک سیستم دو معادله با سه متغیر به دست می آوریم x، yو z:

\ (x = x_0، \; \; \ فراک (y-y_0) (a_2) = \ فراک (z-z_0) (a_3) \)

به این معادلات معادلات خط متعارف نیز می گویند. برای سازگاری، آنها نیز به طور متعارف به شکل (4) نوشته می شوند.

\ (\ فراک (x-x_0) (0) = \ فراکس (y-y_0) (a_2) = \ فراک (z-z_0) (a_3) \)

با فرض اینکه اگر مخرج صفر باشد، صورت مربوطه نیز صفر است. این معادلات معادلات خط مستقیمی هستند که از نقطه M 0 ( ایکس 0 ; در 0 ، z 0) موازی با صفحه مختصات yOzاز آنجایی که این صفحه موازی با بردار جهت آن است (0; آ 2 ; آ 3).

در نهایت اگر در معادلات (3) دو مختصات بردار آ ، مثلا آ 1 و آ 2 برابر با صفر است، سپس این معادلات شکل می گیرند

ایکس = ایکس 0 , y = در 0 , z = z 0 + تی آ 3 , تی\ (\ که در \) آر.

اینها معادلات خط مستقیمی هستند که از نقطه M 0 می گذرد ( ایکس 0 ; در 0 ; z 0) موازی با محور اوز... برای چنین خط مستقیمی ایکس = ایکس 0 , y = در 0، a z- هر عددی و در این صورت برای یکنواختی می توان معادلات خط مستقیم را (با همین شرط) به صورت (4) نوشت.

\ (\ فراک (x-x_0) (0) = \ فراکس (y-y_0) (0) = \ فراک (z-z_0) (a_3) \)

بنابراین، برای هر فضای مستقیم، معادلات متعارف (4) را می توان نوشت، و برعکس، هر معادله ای از شکل (4) را به شرطی که حداقل یکی از ضرایب آ 1 ، آ 2 , آ 3 برابر با صفر نیست، یک خط مستقیم از فضا را مشخص می کند.

هدف 2.معادلات متعارف خط مستقیمی را که از نقطه M 0 (- 1; 1، 7) موازی با بردار می گذرد بنویسید. آ = (1; 2; 3).

معادلات (4) در این مورد به صورت زیر نوشته می شود:

\ (\ فراک (x + 1) (1) = \ فراک (y-1) (2) = \ فراک (z-7) (3) \)

اجازه دهید معادلات یک خط مستقیم را استخراج کنیم که از دو نقطه داده شده M 1 می گذرد ( ایکس 1 ; در 1 ; z 1) و

M 2 ( ایکس 2 ; در 2 ; z 2). بدیهی است که برای بردار جهت این خط می توانیم بردار را بگیریم آ = (ایکس 2 - ایکس 1 ; در 2 - در 1 ; z 2 - z 1)، و فراتر از نقطه М 0، که خط مستقیم از آن عبور می کند، به عنوان مثال، نقطه M 1. سپس معادلات (4) به صورت زیر نوشته می شود:

\ (\ فراک (x-x_1) (x_2 - x_1) = \ فرک (y-y_1) (y_2 - y_1) = \ فراک (z-z_1) (z_2 - z_1) \) (5)

این معادلات یک خط مستقیم است که از دو نقطه M 1 می گذرد ( ایکس 1 ; در 1 ; z 1) و

M 2 ( ایکس 2 ; در 2 ;z 2).

هدف 3.معادلات خط مستقیمی که از نقاط M 1 (-4; 1; -3) و M 2 (-5; 0; 3) می گذرد را بنویسید.

در این مورد ایکس 1 = -4, در 1 = 1, z 1 = -3, ایکس 2 = -5, در 2 = 0, z 2 = 3. با جایگزینی این مقادیر به فرمول (5)، به دست می آوریم

\ (\ فراک (x + 4) (- 1) = \ فراکس (y-1) (- 1) = \ فراک (z + 3) (6) \)

وظیفه 4.معادلات خط مستقیمی را که از نقاط M 1 می گذرد بنویسید (3; -2; 1) و

M 2 (5؛ -2؛ 1/2).

پس از جایگزینی مختصات نقاط M 1 و M 2 به معادله (5)، به دست می آوریم

\ (\ فراک (x-3) (2) = \ فراک (y + 2) (0) = \ فراک (z-1) (- \ فرک (1) (2)) \)

یکی از انواع معادلات یک خط مستقیم در فضا، معادله متعارف است. ما این مفهوم را با تمام جزئیات آن در نظر خواهیم گرفت، زیرا برای حل بسیاری از مشکلات عملی، شناخت آن ضروری است.

در بخش اول معادلات اصلی یک خط مستقیم واقع در فضای سه بعدی را فرموله می کنیم و چندین مثال می زنیم. در مرحله بعد، نحوه محاسبه مختصات بردار جهت را برای معادلات متعارف داده شده و حل مسئله معکوس نشان می دهیم. در قسمت سوم نحوه ترسیم معادله خط مستقیمی که از 2 نقطه داده شده در فضای سه بعدی می گذرد را شرح می دهیم و در پاراگراف آخر به ارتباط معادلات متعارف با سایر معادلات اشاره می کنیم. تمام استدلال ها با مثال هایی از حل مسئله نشان داده خواهند شد.

ما قبلاً در مقاله ای که به معادلات یک خط مستقیم در یک صفحه اختصاص داده شده است در مورد معادلات متعارف یک خط مستقیم صحبت کرده ایم. ما مورد را با فضای سه بعدی با قیاس تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

فرض کنید یک سیستم مختصات مستطیلی O x y z داریم که در آن یک خط مشخص شده است. همانطور که به یاد داریم، می توانید یک خط مستقیم را به روش های مختلف تعیین کنید. ما از ساده ترین آنها استفاده خواهیم کرد - نقطه ای را که خط مستقیم از آن عبور می کند تعیین می کنیم و بردار جهت را نشان می دهیم. اگر یک خط مستقیم را با حرف a و نقطه M نشان دهیم، می توانیم بنویسیم که M 1 (x 1, y 1, z 1) روی خط مستقیم a قرار دارد و بردار جهت این خط مستقیم a خواهد بود. → = (تبر، آی، آز). برای اینکه مجموعه نقاط M (x، y، z) خط a را تعریف کند، بردارهای M 1 M → و a → باید خطی باشند.

اگر مختصات بردارهای M 1 M → و a → را بدانیم، می‌توانیم شرط لازم و کافی برای همخطی بودن آنها را به صورت مختصات بنویسیم. از شرایط اولیه، ما از قبل مختصات a → را می دانیم. برای بدست آوردن مختصات M 1 M → باید تفاوت بین M (x, y, z) و M 1 (x 1, y 1, z 1) را محاسبه کنیم. بیایید بنویسیم:

M 1 M → = x - x 1، y - y 1، z - z 1

پس از آن می توانیم شرط مورد نیاز را به صورت زیر فرموله کنیم: M 1 M → = x - x 1, y - y 1, z - z 1 و a → = (ax, ay, az): M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ axy - y 1 = λ ayz - z 1 = λ az

در اینجا مقدار متغیر λ می تواند هر عدد واقعی یا صفر باشد. اگر λ = 0، آنگاه M (x، y، z) و M 1 (x 1، y 1، z 1) بر هم منطبق هستند، که منافاتی با استدلال ما ندارد.

برای مقادیر a x ≠ 0، a y ≠ 0، a z ≠ 0، می توانیم با توجه به پارامتر λ تمام معادلات سیستم x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y z - z 1 = λ a z را حل کنیم.

پس از آن، می توان علامت مساوی را بین قسمت های سمت راست قرار داد:

x - x 1 = λ axy - y 1 = λ ayz - z 1 = λ az ⇔ λ = x - x 1 ax λ = y - y 1 ay λ = z - z 1 az ⇔ x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az

در نتیجه معادلات x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z را به دست آوردیم که با آن می توانید خط مستقیم مورد نظر را در فضای سه بعدی تعیین کنید. اینها معادلات متعارفی هستند که ما به آن نیاز داریم.

چنین نمادی حتی با مقادیر صفر یک یا دو پارامتر a x، a y، a z استفاده می شود، زیرا در این موارد نیز صحیح خواهد بود. هر سه پارامتر نمی توانند برابر با 0 باشند، زیرا بردار جهت a → = (a x، a y، a z) نمی تواند صفر باشد.

اگر یک یا دو پارامتر a برابر با 0 باشد، معادله x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z شرطی است. باید برابر با ورودی زیر در نظر گرفته شود:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ، λ ∈ R.

موارد خاص معادلات متعارف را در بند سوم مقاله تحلیل خواهیم کرد.

از تعریف معادله متعارف یک خط مستقیم در فضا می توان چندین نتیجه مهم گرفت. بیایید آنها را در نظر بگیریم.

1) اگر خط مستقیم اصلی از دو نقطه M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2, z 2) عبور کند، معادلات متعارف به شکل زیر خواهد بود:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z یا x - x 2 a x = y - y 2 a y = z - z 2 a z.

2) از آنجایی که a → = (ax، ay، az) بردار هدایت کننده خط اصلی است، پس همه بردارها μ a → = μ ax، μ ay، μ az، μ ∈ R، μ ≠ 0 ... سپس خط را می توان با استفاده از معادله x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z یا x - x 1 μ a x = y - y 1 μ a y = z - z 1 μ a z تعیین کرد.

در اینجا چند نمونه از این معادلات با مقادیر داده شده آورده شده است:

مثال 1 مثال 2

چگونه معادله متعارف یک خط مستقیم را در فضا بنویسیم

ما متوجه شدیم که معادلات متعارف شکل x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az به خط مستقیمی که از نقطه M 1 می گذرد (x 1, y 1, z 1) مطابقت دارد. و بردار a → = ( ​​ax, ay, az) آن را هدایت می کند. به این معنی که اگر معادله یک خط مستقیم را بدانیم، می‌توانیم مختصات بردار جهت آن را محاسبه کنیم و با توجه به مختصات داده شده بردار و نقطه‌ای که روی خط مستقیم قرار دارد، می‌توانیم معادلات متعارف آن را یادداشت کنیم.

بیایید به چند کار خاص نگاه کنیم.

مثال 3

ما یک خط مستقیم داریم که در فضای سه بعدی با استفاده از معادله x + 1 4 = y 2 = z - 3 - 5 تعریف شده است. مختصات تمام بردارهای جهت آن را بنویسید.

راه حل

برای بدست آوردن مختصات بردار جهت، فقط باید مقادیر مخرج ها را از معادله بگیریم. دریافتیم که یکی از بردارهای جهت یک → = (4، 2، - 5) خواهد بود، و مجموعه تمام بردارهای مشابه را می توان به صورت μ · a → = 4 · μ، 2 · μ، - 5 · μ فرموله کرد. . در اینجا پارامتر μ هر عدد واقعی است (به جز صفر).

پاسخ: 4 μ، 2 μ، - 5 μ، μ ∈ R، μ ≠ 0

مثال 4

اگر یک خط مستقیم در فضا از M 1 (0، - 3، 2) عبور کند و دارای یک بردار جهت با مختصات - 1، 0، 5 باشد، معادلات متعارف را بنویسید.

راه حل

ما داده هایی داریم که x 1 = 0، y 1 = - 3، z 1 = 2، a x = - 1، a y = 0، a z = 5. این برای نوشتن مستقیم معادلات متعارف کافی است.

بیایید آن را انجام دهیم:

x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ x - 0 - 1 = y - (- 3) 0 = z - 2 5 ⇔ ⇔ x - 1 = y + 3 0 = z - 2 5

پاسخ: x - 1 = y + 3 0 = z - 2 5

این کارها ساده ترین کارها هستند زیرا شامل تمام یا تقریباً تمام داده های ورودی برای نوشتن یک معادله یا مختصات برداری هستند. در عمل، اغلب می توانید مواردی را پیدا کنید که ابتدا باید مختصات مورد نظر را پیدا کنید و سپس معادلات متعارف را یادداشت کنید. ما نمونه‌هایی از چنین مسائلی را در مقاله‌هایی که به یافتن معادلات خط مستقیمی که از نقطه‌ای در فضای موازی با یک نقطه داده شده می‌گذرد، و همچنین خط مستقیمی که از نقطه خاصی در فضای عمود بر صفحه می‌گذرد، تحلیل کردیم.

قبلاً گفتیم که یک یا دو مقدار از پارامترهای a x, a y, a z در معادلات می توانند مقادیر صفر داشته باشند. در این مورد، نماد x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z = λ رسمی می شود، زیرا یک یا دو کسری با مخرج صفر بدست می آوریم. می توان آن را به صورت زیر بازنویسی کرد (برای λ ∈ R):

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

بیایید این موارد را با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم. فرض کنید a x = 0، a y ≠ 0، a z ≠ 0، a x ≠ 0، a y = 0، a z ≠ 0، یا x ≠ 0، a y ≠ 0، a z = 0. در این حالت می توانیم معادلات مورد نیاز را به صورت زیر بنویسیم:

1. در مورد اول:
   x - x 1 0 = y - y 1 ay = z - z 1 az = λ ⇔ x - x 1 = 0 y = y 1 + ay λ z = z 1 + az λ ⇔ x - x 1 = 0 y - y 1 ay = z - z 1 az = λ

در مورد دوم:
x - x 1 ax = y - y 1 0 = z - z 1 az = λ ⇔ x = x 1 + تبر λ y - y 1 = 0 z = z 1 + az λ ⇔ y - y 1 = 0 x - x 1 تبر = z - z 1 az = λ

در مورد سوم:
x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 0 = λ ⇔ x = x 1 + تبر λ y = y 1 + ay λ z - z 1 = 0 ⇔ z - z 1 = 0 x - x 1 تبر = y - y 1 ay = λ

معلوم می شود که با چنین مقداری از پارامترها، خطوط مستقیم مورد نیاز در صفحات x - x 1 = 0، y - y 1 = 0 یا z - z 1 = 0 هستند که به موازات صفحات مختصات قرار دارند ( اگر x 1 = 0، y 1 = 0 یا z 1 = 0). نمونه هایی از این خطوط مستقیم در تصویر نشان داده شده است.

بنابراین، ما قادر خواهیم بود معادلات متعارف را کمی متفاوت بنویسیم.

1. در حالت اول: x - x 1 0 = y - y 1 0 = z - z 1 a z = λ ⇔ x - x 1 = 0 y - y 1 = 0 z = z 1 + a z λ، λ ∈ R
2. در دومی: x - x 1 0 = y - y 1 a y = z - z 1 0 = λ ⇔ x - x 1 = 0 y = y 1 + a y λ، λ ∈ R z - z 1 = 0
3. در سومی: x - x 1 a x = y - y 1 0 = z - z 1 0 = λ ⇔ x = x 1 + a x λ، λ ∈ R y = y 1 = 0 z - z 1 = 0

در هر سه حالت، خطوط مستقیم اصلی با محورهای مختصات منطبق می شوند یا موازی با آنها می شوند: x 1 = 0 y 1 = 0، x 1 = 0 z 1 = 0، y 1 = 0 z 1 = 0 . بردارهای جهت آنها دارای مختصات 0، 0، a z، 0، a y، 0، a x، 0، 0 هستند. اگر بردارهای جهت خطوط مختصات را به صورت i →، j →، k → نشان دهیم، آنگاه بردارهای جهت خطوط داده شده نسبت به آنها هم خط خواهند بود. شکل این موارد را نشان می دهد:

بیایید با مثال هایی نشان دهیم که این قوانین چگونه اعمال می شوند.

مثال 5

معادلات متعارفی را که می توان برای تعیین خطوط مختصات O z، O x، O y در فضا استفاده کرد، بیابید.

راه حل

بردارهای مختصات i → = (1، 0، 0)، j → = 0، 1، 0، k → = (0، 0، 1) راهنمای خطوط مستقیم اصلی خواهند بود. ما همچنین می دانیم که خطوط ما لزوماً از نقطه O (0، 0، 0) عبور می کنند، زیرا این نقطه مبدا است. اکنون ما تمام داده ها را برای نوشتن معادلات متعارف مورد نیاز داریم.

برای خط مستقیم O x: x 1 = y 0 = z 0

برای خط مستقیم O y: x 0 = y 1 = z 0

برای خط مستقیم O z: x 0 = y 0 = z 1

پاسخ: x 1 = y 0 = z 0، x 0 = y 1 = z 0، x 0 = y 0 = z 1.

مثال 6

یک خط مستقیم در فضایی داده می شود که از نقطه M 1 می گذرد (3، - 1، 12). همچنین به موازات ترتیب معروف است. معادلات متعارف این خط را بنویسید.

راه حل

با در نظر گرفتن شرط موازی، می توان گفت که بردار j → = 0، 1، 0 راهنمای خط مستقیم مورد نیاز خواهد بود. بنابراین، معادلات مورد نظر به شکل زیر خواهد بود:

x - 3 0 = y - (- 1) 1 = z - 12 0 ⇔ x - 3 0 = y + 1 1 = z - 12 0

پاسخ: x - 3 0 = y + 1 1 = z - 12 0

فرض کنید که ما دو نقطه غیر منطبق M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2, z 2) داریم که خط از آنها می گذرد. پس چگونه می توانیم یک معادله متعارف برای آن فرمول بندی کنیم؟

برای شروع، بردار M 1 M 2 → (یا M 2 M 1 →) را به عنوان بردار جهت این خط در نظر می گیریم. از آنجایی که مختصات نقاط مورد نیاز را داریم، بلافاصله مختصات بردار را محاسبه می کنیم:

M 1 M 2 → = x 2 - x 1، y 2 - y 1، z 2 - z 1

x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1

برابری های حاصل معادلات متعارف یک خط مستقیم هستند که از دو نقطه داده شده می گذرد. به تصویر نگاه کنید:

بیایید یک مثال برای حل مشکل بیاوریم.

مثال 7

در فضا دو نقطه با مختصات M 1 (- 2، 4، 1) و M 2 (- 3، 2، - 5) وجود دارد که خط مستقیم از آنها می گذرد. معادلات متعارف را برای او بنویسید.

راه حل

با توجه به شرایط، x 1 = - 2، y 1 = - 4، z 1 = 1، x 2 = - 3، y 2 = 2، z 2 = - 5. ما باید این مقادیر را در معادله متعارف جایگزین کنیم:

x - (- 2) - 3 - (- 2) = y - (- 4) 2 - (- 4) = z - 1 - 5 - 1 ⇔ x + 2 - 1 = y + 4 6 = z - 1 - 6

اگر معادلاتی به شکل x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 بگیریم، آنگاه به دست می‌آییم: x - (- 3) - 3 - ( - 2) = y - 2 2 - (- 4) = z - (- 5) - 5 - 1 ⇔ x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6

پاسخ: x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6 یا x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6.

تبدیل معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضا به انواع دیگر معادلات

گاهی اوقات استفاده از معادلات متعارف به شکل x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z خیلی راحت نیست. برای حل برخی مسائل بهتر است از علامت x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ استفاده کنید. در برخی موارد، تعیین خط مورد نظر با استفاده از معادلات دو صفحه متقاطع A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 ترجیح داده می شود. = 0. بنابراین، در این بخش به تحلیل این خواهیم پرداخت که در صورت نیاز با توجه به شرایط مسئله، چگونه می توانید از معادلات متعارف به اشکال دیگر بروید.

درک قوانین انتقال به معادلات پارامتری دشوار نیست. ابتدا هر قسمت از معادله را با پارامتر λ برابر می کنیم و این معادلات را با توجه به متغیرهای دیگر حل می کنیم. در نتیجه، دریافت می کنیم:

x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ ⇔ x - x 1 تبر = λ y - y 1 ay = λ z - z 1 az = λ ⇔ x = x 1 + تبر λ y = y 1 + ay λ z = z 1 + az λ

مقدار پارامتر λ می تواند هر عدد واقعی باشد، زیرا هر دو x، y، z می توانند هر مقدار واقعی را بگیرند.

مثال 8

در یک سیستم مختصات مستطیلی در فضای سه بعدی، یک خط مستقیم داده می شود که با معادله x - 2 3 = y - 2 = z + 7 0 تعریف می شود. معادله متعارف را به صورت پارامتریک بنویسید.

راه حل

ابتدا هر قسمت از کسر را با λ برابر می کنیم.

x - 2 3 = y - 2 = z + 7 0 ⇔ x - 2 3 = λ y - 2 = λ z + ​​7 0 = λ

حالا قسمت اول را با توجه به x حل می کنیم، دوم - با توجه به y، سوم - با توجه به z. دریافت خواهیم کرد:

x - 2 3 = λ y - 2 = λ z + ​​7 0 = λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = - 2 λ z = - 7 + 0 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = - 2 λ z = - 7

پاسخ: x = 2 + 3 λ y = - 2 λ z = - 7

گام بعدی ما تبدیل معادلات متعارف به معادله دو صفحه متقاطع (برای یک خط مستقیم) خواهد بود.

برابری x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ابتدا باید به شکل یک سیستم معادلات نشان داده شود:

x - x 1 a x = y - y 1 a y x - x 1 a x = z - z 1 a x y - y 1 a y = z - z 1 a z

از آنجایی که p q = r s را به صورت p s = q r درک می کنیم، می توانیم بنویسیم:

x - x 1 ax = y - y 1 ayx - x 1 ax = z - z 1 azy - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ ay (x - x 1) = تبر (y - y 1) az (X - x 1) = ax (z - z 1) az (y - y 1) = ay (z - z 1) ⇔ ⇔ ay x - ax y + ax y 1 - ay x 1 = 0 az x - ax z + ax z 1 - az x 1 = 0 az y - ay z + ay z 1 - az y 1 = 0

در نتیجه به این نتیجه رسیدیم:

x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ ay x - ax y + ax y 1 - ay x 1 = 0 az x - ax z + ax z 1 - az x 1 = 0 az y - ay z + ay z 1 - az y 1 = 0

در بالا اشاره کردیم که هر سه پارامتر a نمی توانند همزمان صفر باشند. بنابراین، رتبه ماتریس اصلی سیستم برابر با 2 خواهد بود، زیرا a y - a x 0 a z 0 - a x 0 a z - a y = 0 و یکی از تعیین کننده های مرتبه دوم برابر با 0 نیست:

ay - axaz 0 = ax az, ay 0 az - ax = ax ay, - ax 0 0 - ax = ax 2 ay - ax 0 az = ay az, ay 0 0 - ay = - ay 2, - ax 0 az - ay = ax ayaz 0 0 az = az 2, az - ax 0 - ay = - ay az, 0 - axaz - ay = ax az

این ما را قادر می سازد تا یک معادله را از محاسبات خود حذف کنیم. بنابراین، معادلات متعارف خط مستقیم را می توان به سیستمی از دو معادله خطی تبدیل کرد که شامل 3 مجهول خواهد بود. آنها معادلات دو صفحه متقاطع مورد نیاز ما خواهند بود.

استدلال نسبتاً پیچیده به نظر می رسد، اما در عمل همه چیز به سرعت انجام می شود. بیایید این را با یک مثال نشان دهیم.

مثال 9

خط مستقیم با معادله متعارف x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 به دست می آید. معادله صفحات متقاطع آن را بنویسید.

راه حل

بیایید با معادل سازی جفتی کسرها شروع کنیم.

x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 ⇔ x - 1 2 = y 0 x - 1 2 = z + 2 0 y 0 = z + 2 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 1) = 2 y 0 (x - 1) = 2 (z + 2) 0 y = 0 (z + 2) ⇔ y = 0 z + 2 = 0 0 = 0

حالا معادله آخر را از محاسبات حذف می کنیم، زیرا برای هر x، y و z صادق خواهد بود. در این مورد، x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 ⇔ y = 0 z + 2 = 0.

اینها معادلات دو صفحه متقاطع هستند که وقتی آنها را قطع می کنند یک خط مستقیم را تشکیل می دهند که با معادله x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 به دست می آید.

پاسخ: y = 0 z + 2 = 0

مثال 10

خط مستقیم با معادلات x + 1 2 = y - 2 1 = z - 5 - 3 به دست می آید، معادله دو صفحه را که در امتداد این خط مستقیم متقاطع می شوند، بیابید.

راه حل

کسرها را جفت برابر می کنیم.

x + 1 2 = y - 2 1 = z - 5 - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 2 1 x + 1 2 = z - 5 - 3 y - 2 1 = z - 5 - 3 ⇔ ⇔ 1 x + 1) = 2 (y - 2) - 3 (x + 1) = 2 (z - 5) - 3 (y - 2) = 1 (z - 5) ⇔ x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + 7 - 11 = 0

دریافت می کنیم که تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم حاصل برابر با 0 خواهد بود:

1 - 2 0 3 0 2 0 3 1 = 1 0 1 + (- 2) 2 0 + 0 3 3 - 0 0 0 - 1 2 3 - (- 2) 3 1 = 0

در این حالت، مینور مرتبه دوم صفر نخواهد بود: 1 - 2 3 0 = 1 · 0 - (- 2) · 3 = 6. سپس می‌توانیم آن را به‌عنوان جزئی اولیه در نظر بگیریم.

در نتیجه می توانیم رتبه ماتریس اصلی سیستم را محاسبه کنیم x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + z - 11 = 0. این معادل 2 خواهد بود. معادله سوم از محاسبه حذف می شود و به دست می آوریم:

x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + z - 11 = 0 ⇔ x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0

پاسخ: x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید