حرکت مکانیکی به تغییر موقعیت در فضای نقاط و اجسام در طول زمان نسبت به هر جسم اصلی که چارچوب مرجع به آن متصل است گفته می شود. سینماتیک حرکت مکانیکی نقاط و اجسام را بدون توجه به نیروهایی که باعث این حرکات می شود مطالعه می کند. هر حرکتی مانند استراحت نسبی است و به انتخاب چارچوب مرجع بستگی دارد.

مسیر یک نقطه یک خط پیوسته است که توسط یک نقطه متحرک توصیف می شود. اگر خط سیر یک خط مستقیم باشد، حرکت نقطه را مستطیل و اگر منحنی باشد، آن را منحنی می گویند. اگر مسیر مسطح باشد به حرکت نقطه مسطح می گویند.

حرکت یک نقطه یا جسم داده شده یا معلوم می شود اگر برای هر لحظه در زمان (t) بتوانید موقعیت نقطه یا جسم را نسبت به سیستم مختصات انتخاب شده مشخص کنید.

موقعیت یک نقطه در فضا با این کار تعیین می شود:

الف) مسیرهای نقطه ای؛

ب) ابتدای O 1 شمارش فاصله در طول مسیر (شکل 11): s = O 1 M - مختصات منحنی نقطه M.

ج) جهت شمارش مثبت فواصل s;

د) معادلات یا قانون حرکت یک نقطه در امتداد یک مسیر: S = s (t)

سرعت نقطه.اگر نقطه ای مسیرهای مساوی را در فواصل زمانی مساوی طی کند، حرکت آن یکنواخت نامیده می شود. سرعت حرکت یکنواخت با نسبت مسیر z پیموده شده توسط یک نقطه در یک دوره زمانی مشخص به مقدار این دوره زمانی اندازه گیری می شود: v = s / 1. اگر نقطه ای مسیرهای ناهموار را در فواصل زمانی مساوی طی کند، حرکت آن ناهموار نامیده می شود. سرعت در این حالت نیز متغیر است و تابعی از زمان است: v = v (t). نقطه A را در نظر بگیرید که در امتداد یک مسیر معین بر اساس قانون s = s (t) حرکت می کند (شکل 12):

برای یک دوره زمانی t t. A به موقعیت A 1 در امتداد قوس AA حرکت کرد. اگر فاصله زمانی Δt کوچک باشد، می توان قوس AA 1 را با یک وتر جایگزین کرد و در تقریب اول مقدار میانگین سرعت حرکت نقطه v cp = Ds / Dt را می توان یافت. سرعت متوسط ​​در امتداد وتر از نقطه A به نقطه A 1 هدایت می شود.

سرعت واقعی یک نقطه به صورت مماس بر مسیر هدایت می شود و مقدار جبری آن توسط اولین مشتق مسیر نسبت به زمان تعیین می شود:

v = limΔs / Δt = ds / dt

بعد سرعت نقطه: (v) = طول / زمان، به عنوان مثال، m / s. اگر نقطه به سمت افزایش مختصات منحنی s حرکت کند، ds> 0، و بنابراین v> 0، و در غیر این صورت ds< 0 и v < 0.

شتاب نقطه ایتغییر سرعت در واحد زمان با شتاب تعیین می شود. حرکت نقطه A را در امتداد یک مسیر منحنی در زمان Δt از موقعیت A به موقعیت A 1 در نظر بگیرید. در موقعیت A، نقطه دارای سرعت v بود و در موقعیت A 1 - سرعت v 1 (شکل 13). آن ها سرعت نقطه در قدر و جهت تغییر کرده است. تفاوت هندسی، سرعت Δv را با ساختن بردار v 1 از نقطه A پیدا می کنیم.

شتاب یک نقطه را بردار "برابر اولین مشتق بردار سرعت یک نقطه نسبت به زمان" می گویند:

بردار شتاب یافت شده a را می توان به دو جزء عمود بر یکدیگر، اما مماس و نرمال بر مسیر حرکت تجزیه کرد. شتاب مماسی a 1 در جهت منطبق با سرعت در حین حرکت شتابدار یا مخالف آن در هنگام جایگزینی حرکت است. تغییر در بزرگی سرعت را مشخص می کند و با مشتق بزرگی سرعت در زمان برابر است.

بردار شتاب نرمال a در امتداد نرمال (عمود) به منحنی به سمت تقعر مسیر هدایت می شود و مدول آن برابر است با نسبت مجذور سرعت نقطه به شعاع انحنای مسیر در نقطه مورد بررسی

شتاب معمولی تغییر در سرعت را مشخص می کند
جهت.

مقدار شتاب کامل: ، m / s 2

انواع حرکت نقطه ای بسته به شتاب.

حرکت مستطیل یکنواخت(حرکت با اینرسی) با این واقعیت مشخص می شود که سرعت حرکت ثابت است و شعاع انحنای مسیر برابر با بی نهایت است.

یعنی r = ¥، v = const، سپس; و بنابراین . بنابراین، هنگامی که یک نقطه با اینرسی حرکت می کند، شتاب آن صفر است.

حرکت ناهموار مستطیلیشعاع انحنای مسیر r = ¥ و n = 0 است؛ بنابراین، a = a t و a = a t = dv / dt.

این یک کمیت فیزیکی برداری است که از نظر عددی برابر با حدی است که سرعت متوسط ​​در یک دوره زمانی بینهایت کوچک به آن گرایش دارد:

به عبارت دیگر، سرعت لحظه ای بردار شعاع در زمان است.

بردار سرعت لحظه ای همیشه به صورت مماس بر مسیر حرکت جسم در جهت حرکت جسم هدایت می شود.

سرعت لحظه ای اطلاعات دقیقی در مورد حرکت در یک نقطه خاص از زمان ارائه می دهد. به عنوان مثال، هنگام رانندگی در یک ماشین در نقطه ای از زمان، راننده به سرعت سنج نگاه می کند و می بیند که دستگاه 100 کیلومتر در ساعت را نشان می دهد. پس از مدتی، سوزن سرعت سنج به 90 کیلومتر در ساعت و چند دقیقه بعد - به 110 کیلومتر در ساعت اشاره می کند. تمام قرائت‌های فهرست شده سرعت‌سنج، مقادیر سرعت لحظه‌ای وسیله نقلیه در نقاط خاصی از زمان هستند. سرعت در هر لحظه از زمان و در هر نقطه از مسیر باید هنگام پهلوگیری ایستگاه های فضایی، هنگام فرود هواپیما و غیره مشخص باشد.

آیا مفهوم "سرعت لحظه ای" معنای فیزیکی دارد؟ سرعت مشخصه تغییر در فضا است. اما برای اینکه مشخص شود تغییر مکان چگونه تغییر کرده است، لازم است مدتی حرکت را مشاهده کرد. حتی پیشرفته‌ترین دستگاه‌های اندازه‌گیری سرعت، مانند سیستم‌های رادار، سرعت را در یک دوره زمانی اندازه‌گیری می‌کنند - هرچند به اندازه کافی کوچک، اما باز هم یک بازه زمانی محدود است، نه یک لحظه از زمان. تعبیر "سرعت جسم در یک لحظه معین از زمان" از نظر فیزیک صحیح نیست. با این حال، مفهوم سرعت لحظه ای در محاسبات ریاضی بسیار راحت است و به طور مداوم از آن استفاده می شود.

نمونه هایی از حل مسائل با موضوع "سرعت لحظه ای"

مثال 1

مثال 2

ورزش	قانون حرکت یک نقطه در امتداد یک خط مستقیم با این معادله به دست می آید. سرعت لحظه ای نقطه را 10 ثانیه پس از شروع حرکت بیابید.
راه حل	سرعت لحظه ای یک نقطه بردار شعاع در زمان است. بنابراین، برای سرعت لحظه ای، می توانید بنویسید: 10 ثانیه پس از شروع حرکت، سرعت لحظه ای یک مقدار خواهد داشت:
پاسخ	در 10 ثانیه پس از شروع حرکت، سرعت لحظه ای نقطه m / s است.

مثال 3

ورزش	جسم در یک خط مستقیم حرکت می کند به طوری که مختصات آن (بر حسب متر) مطابق قانون تغییر می کند. چند ثانیه بعد از شروع حرکت بدن متوقف می شود؟
راه حل	بیایید سرعت لحظه ای بدن را پیدا کنیم:

روش های تعیین حرکت یک نقطه

حرکت نقطه تنظیم - به معنای نشان دادن قاعده ای است که بر اساس آن در هر لحظه از زمان می توان موقعیت آن را در یک چارچوب مرجع مشخص تعیین کرد.

عبارت ریاضی این قانون نامیده می شود قانون حرکت ، یا معادله حرکتنکته ها.

سه راه برای تعریف حرکت یک نقطه وجود دارد:

بردار;

هماهنگ کردن;

طبیعی.

به تنظیم حرکت به صورت برداری، نیاز به:

à انتخاب یک مرکز ثابت؛

موقعیت نقطه با استفاده از بردار شعاع تعیین می شود که از مرکز ثابت شروع می شود و به نقطه متحرک M ختم می شود.

à این بردار شعاع را تابعی از زمان t تعریف کنید: .

اصطلاح

تماس گرفت قانون حرکت بردارامتیاز، یا معادله برداری حرکت.

!! بردار شعاع آیا فاصله (مدول بردار) + جهت از مرکز O تا نقطه M است که می توان آن را به روش های مختلفی تعیین کرد، مثلاً زوایایی با جهات داده شده.

برای تنظیم حرکت راه هماهنگی ، نیاز به:

à انتخاب و رفع یک سیستم مختصات (هر: دکارتی، قطبی، کروی، استوانه ای، و غیره)؛

à تعیین موقعیت نقطه با استفاده از مختصات مربوطه.

à این مختصات را به عنوان تابعی از زمان t تنظیم کنید.

بنابراین، در یک سیستم مختصات دکارتی، باید توابع را مشخص کنید

در یک سیستم مختصات قطبی، شعاع قطبی و زاویه قطبی باید به عنوان تابعی از زمان تعریف شوند:

به طور کلی در روش مختصات تعیین مختصاتی که موقعیت فعلی نقطه را تعیین می کنند باید تابعی از زمان تنظیم شوند.

به طوری که می توانید حرکت نقطه را تنظیم کنید به روش طبیعیباید او را بشناسی خط سیر ... بیایید تعریف خط سیر نقطه را بنویسیم.

مسیر حرکت نقاط نامیده می شود بسیاری از موقعیت های آن برای هر دوره زمانی(معمولاً بین 0 و + ¥).

در مثال با چرخش چرخ در جاده، مسیر نقطه 1 است سیکلوئیدو نکات 2 - رول; در چارچوب مرجع مرتبط با مرکز چرخ، مسیرهای هر دو نقطه - حلقه ها.

برای تنظیم حرکت یک نقطه به روش طبیعی، شما نیاز دارید:

à مسیر نقطه را بدانید.

à انتخاب مبدا و جهت مثبت در مسیر.

à تعیین موقعیت فعلی یک نقطه با طول قوس مسیر از مبدا تا این موقعیت فعلی.

à این طول را به عنوان تابعی از زمان نشان دهید.

عبارتی که تابع فوق را تعریف می کند،

نامیده می شوند قانون حرکت یک نقطه در طول یک مسیر، یا معادله طبیعی حرکتنکته ها.

بسته به نوع تابع (4)، نقطه در طول مسیر می تواند به طرق مختلف حرکت کند.

3. مسیر یک نقطه و تعریف آن.

تعریف مفهوم "مسیر یک نقطه" قبلاً در سوال 2 ارائه شد. مسئله تعیین مسیر یک نقطه را برای روش های مختلف تعیین حرکت در نظر بگیرید.

راه طبیعی: مسیر باید مشخص باشد، بنابراین نیازی به پیدا کردن آن نیست.

راه برداری: با توجه به برابری ها باید به روش مختصات بروید

راه هماهنگی: لازم است زمان t را از معادلات حرکت (2) یا (3) حذف کنیم.

معادلات مختصات حرکت مسیر را مشخص می کند به صورت پارامتری، از طریق پارامتر t (زمان). برای به دست آوردن یک معادله صریح برای منحنی، پارامتر باید از معادلات حذف شود.

پس از حذف زمان از معادلات (2)، دو معادله از سطوح استوانه ای به دست می آید، به عنوان مثال، به شکل

محل تلاقی این سطوح مسیر حرکت نقطه خواهد بود.

وقتی نقطه ای در امتداد یک صفحه حرکت می کند، مسئله ساده می شود: پس از حذف زمان از دو معادله

معادله مسیر به یکی از اشکال زیر به دست می آید:

بنابراین، چه زمانی خواهد بود، بنابراین، مسیر نقطه، شاخه سمت راست سهمی خواهد بود:

از معادلات حرکت چنین بر می آید که

بنابراین، مسیر نقطه، بخشی از سهمی خواهد بود که در نیم صفحه سمت راست قرار دارد:

سپس می گیریم

از آن پس تمام بیضی مسیر نقطه خواهد بود.

در مرکز بیضی در مبدا مختصات O خواهد بود. وقتی یک دایره می گیریم؛ پارامتر k بر شکل بیضی تأثیر نمی گذارد، سرعت نقطه در امتداد بیضی به آن بستگی دارد. اگر در معادلات cos و sin با هم عوض شوند، مسیر تغییر نمی کند (همان بیضی)، اما موقعیت اولیه نقطه و جهت حرکت تغییر می کند.

سرعت یک نقطه مشخص کننده "سرعت" تغییر در موقعیت آن است. به طور رسمی: سرعت - حرکت یک نقطه در واحد زمان.

تعریف دقیق

سپس نگرش

1.2. حرکت مستقیم

1.2.4. سرعت متوسط

یک نقطه مادی (جسم) فقط با حرکت یکنواخت مستطیل سرعت خود را بدون تغییر حفظ می کند. اگر حرکت ناهموار باشد (از جمله به همان اندازه متغیر)، سرعت بدن تغییر می کند. این حرکت با سرعت متوسط ​​مشخص می شود. بین سرعت متوسط ​​سفر و متوسط ​​سرعت زمینی تمایز قائل شوید.

میانگین سرعت سفریک کمیت فیزیکی برداری است که با فرمول تعیین می شود

v → r = Δ r → Δ t،

جایی که Δ r → بردار جابجایی است. ∆t بازه زمانی است که در طی آن این حرکت صورت گرفته است.

میانگین سرعت زمینیک کمیت فیزیکی اسکالر است و با فرمول محاسبه می شود

v s = S کل t کل،

که در آن S کل = S 1 + S 1 + ... + S n; t مجموع = t 1 + t 2 + ... + t N.

در اینجا S 1 = v 1 t 1 - بخش اول مسیر. v 1 - سرعت عبور از بخش اول مسیر (شکل 1.18). t 1 - زمان حرکت در قسمت اول مسیر و غیره.

برنج. 1.18

مثال 7. یک چهارم مسیر اتوبوس با سرعت 36 کیلومتر در ساعت حرکت می کند، یک چهارم راه - 54 کیلومتر در ساعت، بقیه راه - با سرعت 72 کیلومتر در ساعت. میانگین سرعت جاده اتوبوس را محاسبه کنید.

راه حل. کل مسیر طی شده توسط اتوبوس با S نشان داده می شود:

S کل = S.

S 1 = S / 4 - مسیر طی شده توسط اتوبوس در بخش اول،

S 2 = S / 4 - مسیر طی شده توسط اتوبوس در بخش دوم،

S 3 = S / 2 - مسیر طی شده توسط اتوبوس در بخش سوم.

زمان سفر اتوبوس با فرمول های زیر تعیین می شود:

• در بخش اول (S 1 = S / 4) -

  t 1 = S 1 v 1 = S 4 v 1;

• در بخش دوم (S 2 = S / 4) -

  t 2 = S 2 v 2 = S 4 v 2;

• در بخش سوم (S 3 = S / 2) -

  t 3 = S 3 v 3 = S 2 v 3.

کل زمان سفر اتوبوس:

t total = t 1 + t 2 + t 3 = S 4 v 1 + S 4 v 2 + S 2 v 3 = S (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3).

v s = S کل t مجموع = S S (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) =

1 (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) = 4 v 1 v 2 v 3 v 2 v 3 + v 1 v 3 + 2 v 1 v 2.

v s = 4 ⋅ 36 ⋅ 54 ⋅ 72 54 ⋅ 72 + 36 ⋅ 72 + 2 ⋅ 36 ⋅ 54 = 54 کیلومتر در ساعت.

مثال 8. یک پنجم زمانی که اتوبوس شهری در ایستگاه ها می گذرد، بقیه زمان را با سرعت 36 کیلومتر در ساعت حرکت می کند. میانگین سرعت جاده اتوبوس را تعیین کنید.

راه حل. کل زمان سفر اتوبوس در مسیر با t نشان داده می شود:

t مجموع = t.

t 1 = t / 5 - زمان صرف شده در توقف،

t 2 = 4t / 5 - زمان سفر با اتوبوس.

مسیر طی شده با اتوبوس:

• برای زمان t 1 = t / 5 -

  S 1 = v 1 t 1 = 0،

از آنجایی که سرعت باس v 1 در این بازه زمانی برابر با صفر است (v 1 = 0).

• در زمان t 2 = 4t / 5 -

  S 2 = v 2 t 2 = v 2 4 t 5 = 4 5 v 2 t،

  که در آن v 2 سرعت اتوبوس در یک بازه زمانی معین (v 2 = = 36 کیلومتر در ساعت) است.

کل مسیر اتوبوس:

S کل = S 1 + S 2 = 0 + 4 5 v 2 t = 4 5 v 2 t.

ما میانگین سرعت زمین اتوبوس را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم

v s = S کل t مجموع = 4 5 v 2 t t = 4 5 v 2.

محاسبه مقدار متوسط ​​سرعت زمین را نشان می دهد:

v s = 4 5 ⋅ 36 = 30 کیلومتر در ساعت.

مثال 9. معادله حرکت یک نقطه مادی به شکل x (t) = (9.0 - 6.0t + 2.0t 2) m است، که در آن مختصات بر حسب متر، زمان - بر حسب ثانیه داده می شود. میانگین سرعت زمین و مقدار متوسط ​​سرعت حرکت یک نقطه مادی را در سه ثانیه اول حرکت تعیین کنید.

راه حل. برای تعیین سرعت متوسط ​​سفرمحاسبه حرکت نقطه مادی ضروری است. مدول حرکت یک نقطه مادی در بازه زمانی از t 1 = 0 s تا t 2 = 3.0 s به عنوان اختلاف مختصات محاسبه می شود:

| Δ r → | = | x (t 2) - x (t 1) | ،

جایگزینی مقادیر در فرمول محاسبه مدول جابجایی به دست می دهد:

| Δ r → | = | x (t 2) - x (t 1) | = 9.0 - 9.0 = 0 متر.

بنابراین، جابجایی نقطه مادی صفر است. بنابراین، مدول میانگین سرعت حرکت نیز صفر است:

| v → r | = | Δ r → | t 2 - t 1 = 0 3.0 - 0 = 0 m / s.

برای تعیین میانگین سرعت زمینلازم است مسیر طی شده توسط نقطه مادی در بازه زمانی از t 1 = 0 s تا t 2 = 3.0 s محاسبه شود. حرکت نقطه به طور یکنواخت آهسته است، بنابراین باید دریابید که آیا نقطه توقف در بازه زمانی مشخص شده قرار دارد یا خیر.

برای انجام این کار، قانون تغییر سرعت یک نقطه مادی در طول زمان را به شکل زیر می نویسیم:

v x = v 0 x + a x t = - 6.0 + 4.0 تن،

که در آن v 0 x = -6.0 m / s پیش بینی سرعت اولیه بر روی محور Ox است. a x = = 4.0 m / s 2 - پیش بینی شتاب بر روی محور مشخص شده.

یک نقطه توقف از شرایط پیدا کنید

v (τ استراحت) = 0،

آن ها

τ استراحت = v 0 a = 6.0 4.0 = 1.5 ثانیه.

نقطه توقف در بازه زمانی t 1 = 0 s تا t 2 = 3.0 s قرار می گیرد. بنابراین، مسیر طی شده با فرمول محاسبه می شود

S = S 1 + S 2،

که در آن S 1 = | x (τ استراحت) - x (t 1) | - مسیری که یک نقطه مادی تا یک توقف طی می کند، یعنی. برای زمان از t 1 = 0 s تا τ استراحت = 1.5 s. S 2 = | x (t 2) - x (τ استراحت) | - مسیری که نقطه مادی پس از توقف طی می کند، یعنی. برای زمان استراحت τ = 1.5 ثانیه تا t 1 = 3.0 ثانیه.

بیایید مقادیر مختصات را در زمان های مشخص شده محاسبه کنیم:

x (t 1) = 9.0 - 6.0 t 1 + 2.0 t 1 2 = 9.0 - 6.0 ⋅ 0 + 2.0 ⋅ 0 2 = 9.0 m;

x (ت استراحت) = 9.0 - 6.0 τ استراحت + 2.0 τ استراحت 2 = 9.0 - 6.0 ⋅ 1.5 + 2.0 ⋅ (1.5) 2 = 4.5 متر ;

x (t 2) = 9.0 - 6.0 t 2 + 2.0 t 2 2 = 9.0 - 6.0 ⋅ 3.0 + 2.0 ⋅ (3.0) 2 = 9.0 متر ...

مقادیر مختصات به شما امکان می دهد مسیرهای S 1 و S 2 را محاسبه کنید:

S 1 = | x (τ استراحت) - x (t 1) | = | 4.5 - 9.0 | = 4.5 متر؛

S 2 = | x (t 2) - x (τ استراحت) | = | 9.0 - 4.5 | = 4.5 متر،

و همچنین کل مسافت طی شده:

S = S 1 + S 2 = 4.5 + 4.5 = 9.0 متر.

بنابراین مقدار مورد نظر میانگین سرعت زمین یک نقطه مادی است

v s = S t 2 - t 1 = 9.0 3.0 - 0 = 3.0 m / s.

مثال 10. نمودار وابستگی طرح ریزی سرعت یک نقطه مادی به زمان یک خط مستقیم است و از نقاط (0; 8.0) و (12; 0) می گذرد، جایی که سرعت بر حسب متر بر ثانیه تنظیم می شود. ، زمان - در ثانیه. میانگین سرعت زمین برای 16 ثانیه حرکت چند بار از مقدار میانگین سرعت حرکت برای همان زمان بیشتر می شود؟

راه حل. نمودار وابستگی پیش بینی سرعت جسم به زمان در شکل نشان داده شده است.

برای محاسبه گرافیکی مسیر پیموده شده توسط نقطه مادی و مدول حرکت آن، لازم است مقدار پیش بینی سرعت در لحظه زمان برابر با 16 ثانیه تعیین شود.

دو راه برای تعیین مقدار v x در یک لحظه مشخص در زمان وجود دارد: تحلیلی (از طریق معادله یک خط مستقیم) و گرافیکی (از طریق شباهت مثلث ها). برای یافتن v x از روش اول استفاده می کنیم و معادله یک خط مستقیم را در دو نقطه می سازیم:

t - t 1 t 2 - t 1 = v x - v x 1 v x 2 - v x 1،

که در آن (t 1؛ v x 1) - مختصات نقطه اول. (t 2؛ v x 2) - مختصات نقطه دوم. با شرط مسئله: t 1 = 0، v x 1 = 8.0، t 2 = 12، v x 2 = 0. با در نظر گرفتن مقادیر خاص مختصات، این معادله شکل می گیرد:

t - 0 12 - 0 = v x - 8.0 0 - 8.0،

v x = 8.0 - 2 3 t.

در t = 16 s، مقدار پیش بینی سرعت است

| v x | = 8 3 متر بر ثانیه.

این مقدار را می توان از شباهت مثلث ها نیز به دست آورد.

• بیایید مسیر طی شده توسط نقطه مادی را به عنوان مجموع مقادیر S 1 و S 2 محاسبه کنیم:

  S = S 1 + S 2،

  که در آن S 1 = 1 2 ⋅ 8.0 ⋅ 12 = 48 متر - مسیری که نقطه مادی طی بازه زمانی 0 تا 12 ثانیه طی می کند. S 2 = 1 2 ⋅ (16 - 12) ⋅ | v x | = 1 2 ⋅ 4.0 ⋅ 8 3 = = 16 3 متر - مسیری که نقطه مادی در بازه زمانی 12 تا 16 ثانیه طی می کند.

کل مسافت طی شده است

S = S 1 + S 2 = 48 + 16 3 = 160 3 متر.

میانگین سرعت زمین یک نقطه مادی است

v s = S t 2 - t 1 = 160 3 ⋅ 16 = 10 3 m / s.

• ما مقدار جابجایی یک نقطه مادی را به عنوان مدول اختلاف بین مقادیر S 1 و S 2 محاسبه می کنیم:

  S = | S 1 - S 2 | = | 48 - 16 3 | = 128 3 متر.

مقدار متوسط ​​سرعت حرکت است

| v → r | = | Δ r → | t 2 - t 1 = 128 3 ⋅ 16 = 8 3 m / s.

نسبت سرعت مورد نظر است

v s | v → r | = 10 3 ⋅ 3 8 = 10 8 = 1.25.

میانگین سرعت زمین یک نقطه مادی 1.25 برابر مدول میانگین سرعت حرکت است.

اگر یک نقطه مادی در حرکت باشد، مختصات آن دستخوش تغییر می شود. این فرآیند می تواند سریع یا آهسته باشد.

تعریف 1

کمیتی که میزان تغییر در موقعیت مختصات را مشخص می کند نامیده می شود سرعت.

تعریف 2

سرعت متوسطیک کمیت برداری است که از نظر عددی برابر با جابجایی در واحد زمان است و با بردار جابجایی هم جهت است υ = ∆ r ∆ t. υ ∆ r.

تصویر 1. سرعت متوسط ​​در جهت حرکت است

مدول سرعت متوسط ​​در طول مسیر υ = S ∆ t است.

سرعت لحظه ای حرکت در یک نقطه خاص از زمان را مشخص می کند. عبارت "سرعت بدن در یک زمان معین" صحیح نیست، اما در محاسبات ریاضی قابل استفاده است.

تعریف 3

سرعت لحظه ای به حدی گفته می شود که سرعت متوسط ​​υ به آن میل می کند زمانی که فاصله زمانی ∆ t به 0 می رسد:

υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙.

جهت بردار υ بر خط سیر منحنی مماس است، زیرا جابجایی بینهایت کوچک d r با عنصر بینهایت کوچک مسیر d s منطبق است.

شکل 2. بردار سرعت لحظه ای υ

عبارت موجود υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙ در مختصات دکارتی با معادلات ارائه شده در زیر یکسان است:

υ x = d x d t = x ˙ υ y = d y d t = y ˙ υ z = d z d t = z ˙.

رکورد مدول بردار υ به شکل زیر خواهد بود:

υ = υ = υ x 2 + υ y 2 + υ z 2 = x 2 + y 2 + z 2.

برای عبور از مختصات مستطیلی دکارتی به مختصات منحنی، قوانین تمایز توابع پیچیده اعمال می شود. اگر بردار شعاع r تابعی از مختصات منحنی r = r q 1، q 2، q 3 باشد، مقدار سرعت به صورت زیر نوشته می شود:

υ = d r d t = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i ∂ q i ∂ r = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i q ˙ i.

شکل 3. جابجایی و سرعت لحظه ای در سیستم های مختصات منحنی

برای مختصات کروی، فرض کنید که q 1 = r; q 2 = φ; q 3 = θ، سپس υ را به شکل زیر ارائه می کنیم:

υ = υ r e r + υ φ e φ + υ θ φ θ، که در آن υ r = r ˙; υ φ = r φ ˙ sin θ; υ θ = r θ ˙; r ˙ = d r d t; φ ˙ = d φ d t; θ ˙ = d θ d t; υ = r 1 + φ 2 sin 2 θ + θ 2.

تعریف 4

سرعت آنیمقدار مشتق تابع جابجایی زمانی در یک لحظه معین مرتبط با جابجایی اولیه توسط رابطه d r = υ (t) d t است.

مثال 1

قانون حرکت مستقیم یک نقطه x (t) = 0، 15 t 2 - 2 t + 8 داده شده است. سرعت آنی آن را 10 ثانیه پس از شروع حرکت تعیین کنید.

راه حل

مرسوم است که سرعت لحظه ای را اولین مشتق بردار شعاع نسبت به زمان می نامیم. سپس رکورد آن به شکل زیر در می آید:

υ (t) = x ˙ (t) = 0. 3 تن - 2; υ (10) = 0. 3 × 10 - 2 = 1 متر بر ثانیه.

پاسخ: 1 متر بر ثانیه

مثال 2

حرکت یک نقطه مادی با معادله x = 4 t - 0.05 t 2 به دست می آید. لحظه زمان t o s t، زمانی که نقطه از حرکت می ایستد، و میانگین سرعت زمین آن υ را محاسبه کنید.

راه حل

بیایید معادله سرعت لحظه ای را محاسبه کنیم، عبارات عددی را جایگزین کنیم:

υ (t) = x ˙ (t) = 4 - 0، 1 تن.

4 - 0، 1 t = 0; t در حدود با t = 40 s; υ 0 = υ (0) = 4; υ = ∆ υ ∆ t = 0 - 4 40 - 0 = 0.1 m / s.

پاسخ:نقطه تنظیم پس از 40 ثانیه متوقف می شود. مقدار متوسط ​​سرعت 0.1 متر بر ثانیه است.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید