معادله را حل کنید ایکس 2 + (1-x) 2 = x

ثابت کنید که هیچ عدد صحیحی وجود ندارد که از جایگشت رقم اولیه تا انتهای آن 5 برابر شود.

در یک پادشاهی خاص، هر دو نفر یا دوست هستند یا دشمن. هر فردی می تواند در مقطعی با همه دوستان نزاع کند و با همه دشمنان صلح کند. معلوم شد که هر سه نفر از این طریق می توانند با هم دوست شوند. ثابت کنید که در این صورت همه افراد در این پادشاهی می توانند با هم دوست شوند.

در مثلث یکی از وسط ها عمود بر یکی از نیمسازها است. ثابت کنید که یکی از اضلاع این مثلث دو برابر بزرگتر از دیگری است.

وظایف المپیاد منطقه ای (شهری) برای دانش آموزان مدرسه در ریاضیات.

در تیراندازی به هدف، این ورزشکار تنها 8.9 و 10 امتیاز را ناک اوت کرد. او در مجموع با زدن بیش از 11 شوت، دقیقا 100 امتیاز را از دست داد. ورزشکار چند تیر شلیک کرد و چه ضرباتی داشت؟

صحت نابرابری را ثابت کنید:

3- معادله را حل کنید:

یک عدد سه رقمی پیدا کنید که پس از خط زدن رقم میانی آن 7 برابر کاهش یابد.

در مثلث ABC نیمسازها از رئوس A و B رسم می شوند سپس خطوط مستقیم موازی با این نیمسازها از راس C رسم می شوند. نقاط D و E تقاطع این خطوط با نیمساز به هم متصل می شوند. معلوم شد که خطوط مستقیم DE و AB موازی هستند. ثابت کنید مثلث ABC متساوی الساقین است.

وظایف المپیاد منطقه ای (شهری) برای دانش آموزان مدرسه در ریاضیات.

حل سیستم معادلات:

در اضلاع AB و HELL متوازی الاضلاع AVSD، به ترتیب نقاط E و K گرفته می شود، به طوری که قطعه EK موازی با مورب VD است. ثابت کنید مساحت مثلث های ALL و SDK برابر هستند.

تصمیم بر این شد که گروه گردشگران در اتوبوس ها بنشینند تا هر اتوبوس به همان تعداد مسافر داشته باشد. در ابتدا 22 نفر در هر اتوبوس سوار شدند، اما معلوم شد که امکان نشستن یک گردشگر وجود ندارد. وقتی یک اتوبوس خالی می ماند، همه گردشگران به یک اندازه سوار اتوبوس های باقی مانده می شدند. اگر مشخص باشد که هر اتوبوس حداکثر 32 نفر را در خود جای می دهد، ابتدا چند اتوبوس و چه تعداد گردشگر در گروه وجود داشت؟

وظایف المپیاد منطقه ای (شهری) برای دانش آموزان مدرسه در ریاضیات.

حل سیستم معادلات:

ثابت کنید که چهار فاصله از یک نقطه روی یک دایره تا بالای مربعی که در آن محاط شده است، نمی توانند همزمان اعداد گویا باشند.

راه حل های ممکن برای مشکلات

1. پاسخ: x = 1، x = 0.5

از مرتب کردن مجدد رقم شروع تا پایان، معنای عدد تغییر نخواهد کرد. در عین حال با توجه به شرط مسئله باید عددی به دست آید که 5 برابر عدد اول باشد. بنابراین، اولین رقم عدد مورد نیاز باید برابر با 1 و فقط 1 باشد. هنگام مرتب کردن مجدد 1 در انتها، عدد حاصل به 1 ختم می شود، بنابراین بر 5 بخش پذیر نیست.

از این شرط بر می آید که اگر الف و ب با هم دوست باشند ج یا دشمن مشترک آنهاست یا دوست مشترک (در غیر این صورت این سه نفر با هم آشتی نمی کنند). همه دوستان انسان الف را بگیریم از آنچه گذشت چنین برمی آید که همه با هم دوست و با بقیه دشمنی دارند. حالا اجازه دهید الف و دوستانش به نوبت با دوستان دعوا کنند و با دشمنان صلح کنند. بعد از آن همه با هم دوست خواهند شد.

به راستی که الف اولین کسی باشد که با دوستانش دعوا می کند و با دشمنانش صلح می کند، اما آنگاه هر یک از دوستان سابقش با او آشتی می کنند و دشمنان سابق دوست می مانند. بنابراین، معلوم می شود که همه مردم با A دوست هستند، و بنابراین، با یکدیگر دوست هستند.

عدد 111 بر 37 بخش پذیر است، بنابراین مقدار ذکر شده نیز بر 37 بخش پذیر است.

با شرط، عدد بر 37 بخش پذیر است، بنابراین مجموع

قابل تقسیم بر 37

توجه داشته باشید که میانه و نیمساز نشان داده شده نمی توانند از یک راس خارج شوند، زیرا در غیر این صورت زاویه در این راس بزرگتر از 180 0 خواهد بود. حالا اجازه دهید در مثلث ABC نیمساز AD و میانه CE در نقطه F همدیگر را قطع کنند. سپس AF نیمساز و ارتفاع در مثلث ACE است، یعنی این مثلث متساوی الساقین است (AC = AE) و چون CE میانه است، سپس AB = 2AE و بنابراین، AB = 2AC.

راه حل های ممکن برای مشکلات

1. پاسخ: 9 شوت 8 امتیازی،

2 شوت 9 امتیازی

1 شوت برای 10 امتیاز.

اجازه دهید ایکسشوت توسط یک ورزشکار شلیک شد و 8 امتیاز را از دست داد. yشوت های 9 امتیازی، zضربات 10 امتیازی سپس می توانید یک سیستم بسازید:

با استفاده از معادله اول سیستم می نویسیم:

از این سیستم بر می آید که ایکس+ y+ z=12

معادله دوم را در (8-) ضرب کرده و به عدد اول اضافه کنید. ما آن را دریافت می کنیم y+2 z=4 ، جایی که y=4-2 z, y=2(2- z) ... از این رو، در- یک عدد زوج، یعنی y = 2 تن، جایی که .

از این رو،

3. پاسخ: x = -1/2، x = -4

پس از تقلیل کسرها به یک مخرج به دست می آید

4. جواب: 105

اجازه دهید با نشان دادن ایکس, y, zبه ترتیب رقم اول، دوم و سوم عدد سه رقمی مورد نظر. سپس می توان آن را به صورت نوشتاری کرد. با خط زدن رقم میانی یک عدد دو رقمی به دست می آید. با شرط مشکل، یعنی. اعداد ناشناخته ایکس, y, zمعادله را برآورده کند

7(10 ایکس+ z)=100 ایکس+10 y+ ایکس، که پس از کاهش اصطلاحات و اختصارات مشابه شکل می گیرد 3 z=15 ایکس+5 y.

از این معادله بر می آید که z باید بر 5 بخش پذیر باشد و طبق شرط باید مثبت باشد. بنابراین، z = 5، و اعداد x، yمعادله 3 = 3x + y را برآورده کنید، که به موجب شرط، یک راه حل منحصر به فرد x = 1، y = 0 دارد. بنابراین، شرط مسئله با تنها عدد 105 برآورده می شود.

اجازه دهید نقطه ای را که خطوط AB و CE در آن قطع می کنند با حرف F نشان دهیم. از آنجایی که خطوط مستقیم DB و CF موازی هستند، پس. از آنجایی که BD نیمساز زاویه ABC است، نتیجه می گیریم که. از این رو نتیجه می شود که، i.e. مثلث BCF متساوی الساقین است و BC = BF. اما از این شرط بر می آید که BDEF چهار ضلعی متوازی الاضلاع باشد. بنابراین، BF = DE، و بنابراین BC = DE. به روشی مشابه ثابت شده است که AC = DE. این منجر به برابری لازم می شود.

راه حل های ممکن برای مشکلات

1.

از اینجا (x + y) 2 = 1 ، یعنی x + y = 1یا x + y = -1.

بیایید دو مورد را در نظر بگیریم.

آ) x + y = 1... جایگزین کردن x = 1 - y

ب) x + y = -1... بعد از تعویض x = -1-y

بنابراین، تنها چهار جفت اعداد زیر می توانند راه حل سیستم باشند: (0؛ 1)، (2؛ -1)، (-1؛ 0)، (1؛ -2). با جایگزین کردن معادلات سیستم اصلی، مطمئن می شویم که هر یک از این چهار جفت راه حلی برای سیستم هستند.

مثلث های CDF و BDF دارای پایه مشترک FD و ارتفاعات برابر هستند، زیرا خطوط BC و AD موازی هستند. بنابراین مساحت آنها برابر است. به طور مشابه، مساحت مثلث های BDF و BDE برابر است، زیرا خط BD موازی با خط EF است. و مساحت مثلث های BDE و BCE برابر است، زیرا AB با CD موازی است. از این رو تساوی مورد نیاز مساحت های مثلث CDF و BCE به شرح زیر است.

با در نظر گرفتن دامنه تابع، بیایید یک نمودار بسازیم.

با استفاده از فرمول تغییرات بیشتر را انجام دهد

با اعمال فرمول های جمع و انجام تبدیل های بیشتر، به دست می آوریم

5. پاسخ: 24 اتوبوس، 529 گردشگر.

اجازه دهید با نشان دادن کتعداد اولیه اتوبوس از بیان مسئله برمی‌آید که و تعداد همه گردشگران است 22 ک +1 ... پس از حرکت یک اتوبوس، همه گردشگران در اتوبوس باقی مانده بودند (k-1)اتوبوس ها بنابراین، تعداد 22 ک +1 باید قابل تقسیم بر k-1... بنابراین، مشکل به تعیین تمام اعداد صحیح کاهش یافت

این یک عدد صحیح است و نابرابری را برآورده می کند (عدد n برابر است با تعداد گردشگرانی که در هر اتوبوس نشسته اند و با شرایط مشکل اتوبوس نمی تواند بیش از 32 مسافر را در خود جای دهد).

عدد تنها زمانی کامل خواهد بود که عدد کامل باشد. مورد دوم تنها زمانی امکان پذیر است که ک=2 و در ک=24 .

اگر ک=2 ، سپس n = 45.

و اگر ک=24 ، سپس n = 23.

از این و شرط فقط آن را بدست می آوریم ک=24 تمام شرایط مشکل را برآورده می کند.

بنابراین، در ابتدا 24 اتوبوس وجود داشت و تعداد کل گردشگران است n (k-1) = 23 * 23 = 529

راه حل های ممکن برای مشکلات

1. پاسخ:

سپس معادله به شکل زیر در می آید:

ما یک معادله درجه دوم با توجه به آر.

2. پاسخ: (0؛ 1)، (2؛ -1)، (-1؛ 0)، (1؛ -2)

با جمع کردن معادلات سیستم، یا بدست می آوریم

از اینجا (x + y) 2 = 1 ، یعنی x + y = 1یا x + y = -1.

بیایید دو مورد را در نظر بگیریم.

آ) x + y = 1... جایگزین کردن x = 1 - yدر اولین معادله سیستم، به دست می آوریم

ب) x + y = -1... بعد از تعویض x = -1-yدر اولین معادله سیستم، یکی را به دست می آوریم

حل یک معادله به معنای یافتن مقادیری از مجهول است که برابری برای آنها صادق خواهد بود.

حل معادله

• بیایید معادله را به شکل زیر نشان دهیم:

2x * x - 3 * x = 0.

• می بینیم که عبارت های معادله سمت چپ دارای یک عامل مشترک x هستند. بیایید آن را از داخل پرانتز بیرون بیاوریم و بنویسیم:

x * (2x - 3) = 0.

• عبارت حاصل حاصل ضرب عوامل x و (2x - 3) است. به یاد بیاورید که اگر حداقل یکی از عوامل برابر با 0 باشد، حاصل ضرب برابر با 0 است. بنابراین، می‌توانیم تساوی‌ها را بنویسیم:

x = 0 یا 2x - 3 = 0.

• بنابراین یکی از ریشه های معادله اصلی x 1 = 0 است.
• ریشه دوم را با حل معادله 2x - 3 = 0 بیابید.

در این عبارت، 2x کاهش، 3 تفریق، 0 تفاوت است. برای یافتن تفریق، باید تفریق را به تفاضل اضافه کرد:

در آخرین عبارت، 2 و x فاکتور هستند، 3 حاصلضرب است. برای پیدا کردن یک عامل ناشناخته، باید محصول را بر یک عامل شناخته شده تقسیم کنید:

بنابراین، ما ریشه دوم معادله را پیدا کردیم: x 2 = 1.5.

بررسی صحت محلول

برای اینکه بفهمیم معادله به درستی حل شده است، باید مقادیر عددی x را جایگزین آن کرد و عملیات حسابی لازم را انجام داد. اگر در نتیجه محاسبات مشخص شد که سمت چپ و راست عبارت دارای یک مقدار هستند، معادله به درستی حل می شود.

بیایید بررسی کنیم:

• مقدار عبارت اصلی را در x 1 = 0 محاسبه می کنیم و به دست می آوریم:

2 * 0 2 - 3 * 0 = 0,

0 = 0، درست است.

• مقدار عبارت را در x 2 = 0 محاسبه می کنیم و به دست می آوریم:

2 * 1,5 2 - 3 * 1,5 = 0,

2 * 2,25 - 4,5 = 0,

0 = 0، درست است.

• یعنی معادله به درستی حل شده است.

پاسخ: x 1 = 0، x 2 = 1.5.

معادلات درجه دوم.

معادله درجه دوم- معادله جبری عمومی

که در آن x یک متغیر آزاد است،

a، b، c، - ضرایب، و

اصطلاح سه جمله ای مربع نامیده می شود.

روش های حل معادلات درجه دوم.

1. روش : فاکتورگیری سمت چپ معادله.

بیایید معادله را حل کنیم x 2 + 10x - 24 = 0... اجازه دهید سمت چپ را فاکتور بگیریم:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x - 2).

بنابراین، معادله را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

(x + 12) (x - 2) = 0

از آنجایی که محصول صفر است، حداقل یکی از عوامل آن صفر است. بنابراین، سمت چپ معادله ناپدید می شود x = 2و همچنین برای x = - 12... این به این معنی است که تعداد 2 و - 12 ریشه های معادله هستند x 2 + 10x - 24 = 0.

2. روش : روش انتخاب مربع کامل

بیایید معادله را حل کنیم x 2 + 6x - 7 = 0... یک مربع کامل در سمت چپ انتخاب کنید.

برای این کار عبارت x 2 + 6x را به شکل زیر بنویسید:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

در عبارت به دست آمده، جمله اول مجذور عدد x و دومی حاصلضرب x در 3 است. بنابراین، برای بدست آوردن یک مربع کامل، باید 3 2 را اضافه کنید، زیرا

x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

حالا سمت چپ معادله را تبدیل می کنیم

x 2 + 6x - 7 = 0,

جمع و تفریق 3 2. ما داریم:

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

بنابراین، این معادله را می توان به صورت زیر نوشت:

(x + 3) 2 - 16 = 0، (x + 3) 2 = 16.

از این رو، x + 3 - 4 = 0، x 1 = 1، یا x + 3 = -4، x 2 = -7.

3. روش :حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول

دو طرف معادله را ضرب کنید

ax 2 + bx + c = 0 و ≠ 0

در 4a و به ترتیب داریم:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0،

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0،

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac،

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac،

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac،

نمونه هایی از.

آ)بیایید معادله را حل کنیم: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4، b = 7، c = 3، D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1،

D> 0،دو ریشه متفاوت؛

بنابراین، در مورد تمایز مثبت، یعنی. در

b 2 - 4ac> 0، معادله تبر 2 + bx + c = 0دو ریشه مجزا دارد

ب)بیایید معادله را حل کنیم: 4x 2 - 4x + 1 = 0،

a = 4، b = - 4، c = 1، D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1 = 16 - 16 = 0،

D = 0،یک ریشه؛

بنابراین، اگر ممیز صفر باشد، یعنی. b 2 - 4ac = 0، سپس معادله

تبر 2 + bx + c = 0یک ریشه دارد،

v)بیایید معادله را حل کنیم: 2x 2 + 3x + 4 = 0،

a = 2، b = 3، c = 4، D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13، D< 0.

این معادله ریشه ندارد.

بنابراین، اگر ممیز منفی باشد، یعنی. b 2 - 4ac< 0 ، معادله

تبر 2 + bx + c = 0ریشه ندارد

فرمول (1) برای ریشه های یک معادله درجه دوم تبر 2 + bx + c = 0به شما امکان می دهد ریشه ها را پیدا کنید هر معادله درجه دوم (در صورت وجود)، از جمله کاهش یافته و ناقص. فرمول (1) به صورت زیر بیان می شود: ریشه های یک معادله درجه دوم برابر با کسری است که عدد آن برابر با ضریب دوم است که با علامت مخالف گرفته می شود، به اضافه منهای جذر مربع این ضریب بدون حاصل ضرب چهار برابری ضریب اول توسط جمله آزاد، و مخرج دو برابر ضریب اول است.

4. روش: حل معادلات با استفاده از قضیه ویتا.

همانطور که می دانید معادله درجه دوم داده شده شکل دارد

x 2 + px + c = 0.(1)

ریشه های آن قضیه Vieta را برآورده می کند، که برای a = 1فرم را دارد

x 1 x 2 = q،

x 1 + x 2 = - p

از این رو می توان نتایج زیر را نتیجه گرفت (علائم ریشه ها را می توان از روی ضرایب p و q پیش بینی کرد).

الف) اگر عبارت تلفیقی باشد qمعادله داده شده (1) مثبت است ( q> 0) سپس معادله دارای دو ریشه از یک علامت است و این بستگی به ضریب دوم دارد پ... اگر آر< 0 ، هر دو ریشه اگر منفی هستند آر< 0 ، پس هر دو ریشه مثبت هستند.

برای مثال،

x 2 - 3x + 2 = 0; x 1 = 2و x 2 = 1،زیرا q = 2> 0و p = - 3< 0;

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7و x 2 = - 1،زیرا q = 7> 0و p = 8> 0.

ب) اگر مدت آزاد qمعادله داده شده (1) منفی است ( q< 0 ، معادله دارای دو ریشه متفاوت از نظر علامت است و ریشه با قدر مطلق بزرگتر مثبت خواهد بود اگر پ< 0 ، یا منفی اگر p> 0 .

برای مثال،

x 2 + 4x - 5 = 0; x 1 = - 5و x 2 = 1،زیرا q = - 5< 0 و p = 4> 0;

x 2 - 8x - 9 = 0; x 1 = 9و x 2 = - 1،زیرا q = - 9< 0 و p = - 8< 0.

مثال ها.

1) معادله را حل کنید 345x 2 - 137x - 208 = 0.

راه حل.زیرا a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0)سپس

x 1 = 1، x 2 = c / a = -208/345.

پاسخ 1؛ -208/345.

2) معادله را حل کنید 132x 2 - 247x + 115 = 0.

راه حل.زیرا a + b + c = 0 (132 - 247 + 115 = 0)سپس

x 1 = 1، x 2 = c / a = 115/132.

پاسخ 1؛ 115/132.

ب. اگر ضریب دوم b = 2kیک عدد زوج است، سپس فرمول ریشه است

مثال.

بیایید معادله را حل کنیم 3x2 - 14x + 16 = 0.

راه حل... ما داریم: a = 3، b = - 14، c = 16، k = - 7;

D = k 2 - ac = (- 7) 2 - 3 16 = 49 - 48 = 1، D> 0،دو ریشه متفاوت؛

پاسخ: 2; 8/3

V. معادله کاهش یافت

x 2 + px + q = 0

منطبق با یک معادله کلی است که در آن a = 1, b = pو c = q... بنابراین، برای معادله درجه دوم کاهش یافته، فرمول ریشه

به شکل زیر است:

فرمول (3) مخصوصاً برای استفاده راحت است آر- عدد زوج.

مثال.بیایید معادله را حل کنیم x 2 - 14x - 15 = 0.

راه حل.ما داریم: x 1.2 = 7 ±

پاسخ: x 1 = 15; x 2 = -1.

5. روش: حل معادلات به صورت گرافیکی

مثال. معادله x2 - 2x - 3 = 0 را حل کنید.

بیایید یک نمودار از تابع y = x2 - 2x - 3 بسازیم

1) داریم: a = 1، b = -2، x0 = = 1، y0 = f (1) = 12 - 2 - 3 = -4. بنابراین، راس سهمی نقطه (1؛ -4) و محور سهمی خط مستقیم x = 1 است.

2) دو نقطه از محور x را در نظر بگیرید که نسبت به محور سهمی متقارن هستند، برای مثال، نقاط x = -1 و x = 3.

ما f (-1) = f (3) = 0 داریم. اجازه دهید نقاط (-1; 0) و (3; 0) را در صفحه مختصات بسازیم.

3) یک سهمی از نقاط (-1؛ 0)، (1؛ -4)، (3؛ 0) رسم کنید (شکل 68).

ریشه های معادله x2 - 2x - 3 = 0 ابسیساهای نقاط تقاطع سهمی با محور x هستند. از این رو، ریشه های معادله به شرح زیر است: x1 = - 1، x2 - 3.

برای حل ریاضی سریع پیدا کنید حل یک معادله ریاضیدر حالت برخط... سایت www.site اجازه می دهد معادله را حل کنیدتقریبا هر داده شده است جبری, مثلثاتییا معادله ماورایی آنلاین... هنگام مطالعه تقریباً هر شاخه ای از ریاضیات در مراحل مختلف، باید حل کنید معادلات آنلاین... برای دریافت پاسخ فوری و مهمتر از همه یک پاسخ دقیق، به منبعی نیاز دارید که به شما امکان انجام این کار را بدهد. با تشکر از وب سایت www.site حل معادلات آنلاینچند دقیقه طول خواهد کشید. مزیت اصلی www.site در حل ریاضی معادلات آنلاینسرعت و دقت پاسخ داده شده است. سایت قادر به حل هر کدام است معادلات جبری آنلاین, معادلات مثلثاتی آنلاین, معادلات ماورایی آنلاین، همچنین معادلاتبا پارامترهای ناشناخته در حالت برخط. معادلاتبه عنوان یک دستگاه ریاضی قدرتمند عمل می کند راه حل هاوظایف عملی با کمک معادلات ریاضیمی توانید حقایق و روابطی را بیان کنید که ممکن است در نگاه اول گیج کننده و پیچیده به نظر برسند. مقادیر نامعلوم معادلاترا می توان با فرمول بندی مسئله در پیدا کرد ریاضیزبان در فرم معادلاتو تصميم گرفتنوظیفه دریافت شده در حالت برخطدر وب سایت www.site. هر معادله جبری, معادله مثلثاتییا معادلاتحاوی ماوراییشما را به راحتی اجرا می کند تصميم گرفتنآنلاین و پاسخ دقیق را دریافت کنید. با تحصیل در علوم طبیعی به ناچار با نیاز مواجه می شوید حل معادلات... در این صورت پاسخ باید دقیق باشد و بلافاصله در حالت دریافت شود برخط... بنابراین برای حل معادلات ریاضی به صورت آنلاینما وب سایت www.site را توصیه می کنیم که به ماشین حساب غیر قابل تعویض شما تبدیل می شود حل معادلات جبری به صورت آنلاین, معادلات مثلثاتی آنلاین، همچنین معادلات ماورایی آنلاینیا معادلاتبا پارامترهای ناشناخته برای کارهای عملی یافتن ریشه های مختلف معادلات ریاضیمنبع www .. با حل معادلات آنلاینبه تنهایی، بررسی پاسخی که با استفاده از آن دریافت کرده اید مفید است حل معادلات آنلایندر وب سایت www.site. لازم است معادله را به درستی یادداشت کنید و فورا بدست آورید راه حل آنلاین، پس از آن فقط پاسخ را با حل معادله خود مقایسه کنید. بررسی پاسخ کمتر از یک دقیقه طول می کشد، کافی است حل معادله آنلاینو جواب ها را با هم مقایسه کنید این به شما کمک می کند تا از اشتباهات خود جلوگیری کنید تصمیمو پاسخ را به موقع تصحیح کنید حل معادلات آنلاینچه جبری, مثلثاتی, ماورایییا معادلهبا پارامترهای ناشناخته

در این مقاله با نحوه حل معادلات دو درجه ای آشنا می شویم.

بنابراین، چه نوع معادلاتی دو درجه ای نامیده می شوند؟
همه چیز معادلات فرم آه 4 + bx 2 + ج = 0 ، جایی که a ≠ 0که نسبت به x 2 مربع هستند و دوطرفه نامیده می شوندمعادلات همانطور که می بینید، این نماد بسیار شبیه به نوشتن یک معادله درجه دوم است، بنابراین با استفاده از فرمول هایی که برای حل معادله درجه دوم استفاده کردیم، معادلات دو درجه دوم را حل خواهیم کرد.

فقط ما نیاز به معرفی یک متغیر جدید داریم، یعنی نشان می دهیم x 2 برای مثال متغیر دیگری در یا تی (یا هر حرف دیگری از الفبای لاتین).

برای مثال، بیایید معادله را حل کنیم x 4 + 4x 2 - 5 = 0.

نشان می دهیم x 2 در سراسر در (x 2 = y ) و معادله y 2 + 4y - 5 = 0 را بدست آورید.
همانطور که می بینید، شما از قبل می دانید که چگونه چنین معادلاتی را حل کنید.

معادله حاصل را حل می کنیم:

D = 4 2 - 4 (- 5) = 16 + 20 = 36، √D = √36 = 6.

y 1 = (- 4 - 6) / 2 = - 10/2 = - 5،

y 2 = (- 4 + 6) / 2 = 2/2 = 1.

بیایید به متغیر x خود برگردیم.

دریافتیم که x 2 = - 5 و x 2 = 1.

توجه داشته باشید که معادله اول هیچ جوابی ندارد و دومی دو جواب می دهد: x 1 = 1 و x 2 = ‒1. مراقب باشید ریشه منفی را از دست ندهید (اغلب پاسخ x = 1 است که صحیح نیست).

پاسخ:- 1 و 1.

برای درک بهتر موضوع به بررسی چند مثال می پردازیم.

مثال 1.معادله را حل کنید 2x 4 - 5 x 2 + 3 = 0.

اجازه دهید x 2 = y، سپس 2y 2 - 5y + 3 = 0.

D = (- 5) 2 - 4 2 3 = 25 - 24 = 1، √D = √1 = 1.

y 1 = (5 - 1) / (2 2) = 4/4 = 1، y 2 = (5 + 1) / (2 2) = 6/4 = 1.5.

سپس x 2 = 1 و x 2 = 1.5.

ما x 1 = ‒1، x 2 = 1، x 3 = - √1.5، x 4 = √1.5 را دریافت می کنیم.

پاسخ: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.

مثال 2.معادله را حل کنید 2x 4 + 5 x 2 + 2 = 0.

2 سال 2 + 5 سال + 2 = 0.

D = 5 2 - 4 2 2 = 25 - 16 = 9، √D = √9 = 3.

y 1 = (- 5 - 3) / (2 2) = - 8/4 = ‒2، y 2 = (‒5 + 3) / (2 2) = - 2/4 = - 0.5.

سپس x 2 = - 2 و x 2 = - 0.5. توجه داشته باشید که هیچ یک از این معادلات راه حل ندارند.

پاسخ:بدون راه حل

معادلات دو درجه ای ناقص- آن زمانی است ب = 0 (ax 4 + c = 0) یا ج = 0

(ax 4 + bx 2 = 0) مانند معادلات درجه دوم ناقص حل می شوند.

مثال 3.معادله را حل کنید x 4 - 25x 2 = 0

بیایید فاکتورسازی کنیم، x 2 را خارج از پرانتز قرار دهیم و سپس x 2 (x 2 - 25) = 0.

ما x 2 = 0 یا x 2 - 25 = 0، x 2 = 25 می گیریم.

سپس ما ریشه 0 داریم. 5 و - 5.

پاسخ: 0; 5; – 5.

مثال 4.معادله را حل کنید 5x 4 - 45 = 0.

x 2 = - √9 (راه حلی ندارد)

x 2 = √9، x 1 = - 3، x 2 = 3.

همانطور که می بینید، با دانستن نحوه حل معادلات درجه دوم، می توانید با معادلات دو درجه دوم کنار بیایید.

اگر هنوز سوالی دارید، برای درس های من ثبت نام کنید. معلم والنتینا گالینفسکایا است.

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.