شار برداری قدرت میدان الکتریکی.اجازه دهید یک منطقه کوچک دیاس(شکل 1.2) خطوط نیروی میدان الکتریکی را که جهت آنها با حالت عادی است قطع می کنند. n زاویه نسبت به این سایت آ... با فرض بردار کشش E در داخل سایت تغییر نمی کند دیاس، تعريف كردن شار بردار تنشدر سراسر سایت دیاسچگونه

دیافE =E دیاس cos آ.(1.3)

از آنجایی که چگالی خطوط نیرو برابر با مقدار عددی کشش است E، سپس تعداد خطوط نیرویی که از سایت عبور می کننددیاس، از نظر عددی برابر با مقدار جریان خواهد بوددیافEدر سراسر سطحدیاس... ما سمت راست عبارت (1.3) را به عنوان حاصل ضرب اسکالر بردارها نشان می دهیم Eودیاس= nدیاس، جایی که nآیا واحد بردار نرمال به سطح استدیاس... برای یک سایت ابتدایی د اسعبارت (1.3) شکل می گیرد

دافE = Eد اس

در سراسر سایت اسشار بردار شدت به عنوان یک انتگرال بر روی سطح محاسبه می شود

شار بردار القایی الکتریکی.شار بردار القایی الکتریکی به طور مشابه با شار بردار شدت میدان الکتریکی تعیین می شود.

دافدی = دید اس

ابهاماتی در تعاریف جریان ها محسوس است، زیرا برای هر سطح دو عادی در جهت مخالف برای یک سطح بسته، نرمال بیرونی مثبت در نظر گرفته می شود.

قضیه گاوس.در نظر گرفتن نقطه مثبتشارژ الکتریکی qداخل یک سطح بسته دلخواه اس(شکل 1.3). شار بردار القایی از طریق عنصری از سطح d اسبرابر است با
(1.4)

جزء د SD = د اس cos آعنصر سطح د اسدر جهت بردار القاییدیبه عنوان عنصری از یک سطح کروی با شعاع در نظر گرفته می شود r، که در مرکز آن شارژ قرار داردq.

با توجه به اینکه د SD/ r 2 برابر است ابتدایی بدنگوشه دw، که تحت آن از نقطه محل شارژqعنصر سطح d قابل مشاهده است اس، عبارت (1.4) را به فرم تبدیل می کنیمد افدی = q د w / 4 پ، از این رو، پس از ادغام در کل فضای اطراف بار، یعنی در زاویه جامد از 0 تا 4پ، ما گرفتیم

افدی = q.

شار بردار القایی الکتریکی از طریق یک سطح بسته با شکل دلخواه برابر با بار موجود در داخل این سطح است..

اگر یک سطح بسته دلخواه اسشارژ نقطه ای را پوشش نمی دهد q(شکل 1.4)، سپس با ساختن یک سطح مخروطی با راس در نقطه ای که بار در آن قرار دارد، سطح را تقسیم می کنیم. اسبه دو بخش: اس 1 و اس 2. جریان برداری دی در سراسر سطح اسما به عنوان مجموع جبری جریان از طریق سطوح می یابیم اس 1 و اس 2:

.

هر دو سطح از نقطه محل شارژ qدر یک زاویه ثابت قابل مشاهده است w... بنابراین جریان ها برابر هستند

از آنجایی که جریان از طریق یک سطح بسته با استفاده از ظاهر عادیبه سطح، به راحتی می توان دید که شار Ф 1D < 0, тогда как поток Ф2 بعدی> 0. شار کل Ф دی= 0. این بدان معنی است که شار بردار القایی الکتریکی از طریق یک سطح بسته با شکل دلخواه به بارهای واقع در خارج از این سطح بستگی ندارد.

اگر میدان الکتریکی توسط سیستمی از بارهای نقطه ای ایجاد شود q 1 , q 2 ,¼ , q n، که توسط یک سطح بسته پوشانده شده است اس، سپس مطابق با اصل برهم نهی، شار بردار القایی از طریق این سطح به عنوان مجموع شارهای ایجاد شده توسط هر یک از بارها تعریف می شود. شار بردار القای الکتریکی از طریق یک سطح بسته با شکل دلخواه برابر است با مجموع جبری بارهای تحت پوشش این سطح.:

لازم به ذکر است که اتهامات q iلازم نیست نقطه مانند باشد، شرط لازم این است که ناحیه باردار باید کاملاً توسط سطح پوشانده شود. اگر در فضای محدود شده توسط یک سطح بسته اس، بار الکتریکی به طور پیوسته توزیع می شود، پس باید فرض کرد که هر حجم ابتدایی d Vشارژ دارد در این حالت، در سمت راست عبارت (1.5)، جمع جبری بارها با ادغام بر روی حجم محصور در داخل سطح بسته جایگزین می شود. اس:

(1.6)

عبارت (1.6) عمومی ترین فرمولاسیون است قضیه گاوس: شار بردار القایی الکتریکی از طریق یک سطح بسته با شکل دلخواه برابر با بار کل در حجم محصور شده توسط این سطح است و به بارهای واقع در خارج از سطح مورد نظر بستگی ندارد.... قضیه گاوس را می توان برای شار بردار شدت میدان الکتریکی نیز نوشت:

.

یک ویژگی مهم میدان الکتریکی از قضیه گاوس به دست می آید: خطوط نیرو فقط با بارهای الکتریکی شروع یا پایان می یابند یا تا بی نهایت می روند... ما یک بار دیگر تاکید می کنیم که، با وجود این واقعیت که قدرت میدان الکتریکی است E و القای الکتریکی دی به مکان همه بارها در فضا بستگی دارد، شار این بردارها از طریق یک سطح بسته دلخواه اسفقط تعیین شده است آن دسته از بارهایی که در داخل سطح قرار دارند اس.

شکل دیفرانسیل قضیه گاوس.توجه داشته باشید که فرم انتگرالقضیه گاوس رابطه بین منابع میدان الکتریکی (بارها) و ویژگی های میدان الکتریکی (قدرت یا القاء) در حجم را مشخص می کند. Vدلخواه، اما برای شکل گیری روابط یکپارچه، ارزش کافی است. تقسیم حجم Vبرای حجم های کم V i، بیان را دریافت می کنیم

که هم در کل و هم برای هر اصطلاح صادق است. بیایید عبارت حاصل را به صورت زیر تبدیل کنیم:

(1.7)

و حدی را در نظر بگیرید که عبارت سمت راست برابری، محصور در پرانتزهای مجعد، برای تقسیم نامحدود حجم به آن تمایل دارد. V... در ریاضیات به این حد می گویند واگراییبردار (در این مورد، بردار القایی الکتریکی دی):

واگرایی برداری دیدر مختصات دکارتی:

بنابراین، عبارت (1.7) به شکل زیر تبدیل می شود:

.

با توجه به اینکه با تقسیم نامحدود، مجموع سمت چپ آخرین عبارت به انتگرال حجمی می رود، به دست می آوریم.

نسبت به دست آمده باید برای هر حجمی که خودسرانه انتخاب شده است، برآورده شود V... این تنها در صورتی امکان پذیر است که مقادیر انتگرال ها در هر نقطه از فضا یکسان باشند. بنابراین، واگرایی بردار دیبا تساوی به چگالی بار در همان نقطه مربوط می شود

یا برای بردار شدت میدان الکترواستاتیک

این برابری ها قضیه گاوس را بیان می کند فرم دیفرانسیل.

توجه داشته باشید که در فرآیند عبور به شکل دیفرانسیل قضیه گاوس، رابطه ای به دست می آید که دارای ویژگی کلی است:

.

این عبارت فرمول گاوس-استروگرادسکی نامیده می شود و انتگرال بر حجم واگرایی یک بردار را با جریان این بردار از طریق سطح بسته ای که حجم را محدود می کند، متصل می کند.

سوالات

1) مفهوم فیزیکی قضیه گاوس برای میدان الکترواستاتیک در خلاء چیست؟

2) یک بار نقطه ای در مرکز مکعب وجود دارد.q... شار برداری چیست؟ E:

الف) از طریق سطح کامل مکعب؛ ب) از طریق یکی از وجوه مکعب.

آیا پاسخ ها تغییر می کند اگر:

الف) بار در مرکز مکعب نیست، بلکه در داخل آن است ; ب) بار خارج از مکعب باشد.

3) چگالی بار خطی، سطحی، حجمی چیست.

4) رابطه بین چگالی بار حجمی و سطحی را نشان دهید.

5) آیا میدانی خارج از صفحات بی نهایت موازی با بار مخالف و یکنواخت می تواند غیر صفر باشد؟

6) یک دوقطبی الکتریکی در داخل یک سطح بسته قرار می گیرد. جریان از طریق این سطح چیست

قضیه گاوس برای القای الکتریکی (جابجایی الکتریکی) [

برای یک میدان در یک محیط دی الکتریک، قضیه الکترواستاتیک گاوس را می توان به روش دیگری (به روشی جایگزین) - از طریق شار بردار جابجایی الکتریکی (القای الکتریکی) نوشت. در این مورد، فرمول قضیه به شرح زیر است: شار بردار جابجایی الکتریکی از طریق یک سطح بسته متناسب با بار الکتریکی آزاد موجود در این سطح است:

به شکل دیفرانسیل:

قضیه گاوس برای القای مغناطیسی

شار بردار القای مغناطیسی از طریق هر سطح بسته صفر است:

یا به شکل دیفرانسیل

این معادل این واقعیت است که در طبیعت هیچ "بارهای مغناطیسی" (تک قطبی) وجود ندارد که میدان مغناطیسی ایجاد کند، همانطور که بارهای الکتریکی یک میدان الکتریکی ایجاد می کنند. به عبارت دیگر، قضیه گاوس برای القای مغناطیسی نشان می دهد که میدان مغناطیسی (به طور کامل) است. گرداب.

قضیه گاوس برای گرانش نیوتنی

برای شدت میدان گرانش نیوتنی (شتاب گرانش)، قضیه گاوس عملاً با آن در الکترواستاتیک منطبق است، به استثنای تنها ثابت ها (اما، هنوز به انتخاب دلخواه سیستم واحدها بستگی دارد) و مهمتر از همه، امضا کردن:

جایی که g- قدرت میدان گرانشی، م- بار گرانشی (یعنی جرم) در داخل سطح اس, ρ - چگالی جرمی، جی- ثابت نیوتنی

رساناها در میدان الکتریکی میدان داخل هادی و روی سطح آن.

اجسام رسانایی نامیده می شوند که از طریق آنها بارهای الکتریکی می توانند از جسم باردار به جسم بدون بار عبور کنند.توانایی هادی ها برای عبور بارهای الکتریکی از خود با وجود حامل های بار آزاد در آنها توضیح داده می شود. هادی ها - اجسام فلزی در حالت جامد و مایع، محلول های مایع الکترولیت ها. بارهای آزاد رسانایی وارد شده به میدان الکتریکی تحت تأثیر آن به حرکت در می آیند. توزیع مجدد بارها باعث تغییر در میدان الکتریکی می شود. هنگامی که قدرت میدان الکتریکی در هادی صفر شد، الکترون ها از حرکت باز می ایستند. پدیده جدا شدن بارهای غیرمشابه در رسانایی که در میدان الکتریکی قرار می گیرد، القای الکترواستاتیکی نامیده می شود. هیچ میدان الکتریکی در داخل هادی وجود ندارد. برای حفاظت الکترواستاتیک - حفاظت با هادی های فلزی از میدان الکتریکی استفاده می شود. سطح جسم رسانا به هر شکلی در میدان الکتریکی یک سطح هم پتانسیل است.

خازن ها

برای به دست آوردن وسایلی که با پتانسیل کمی نسبت به متوسط، بارهای قابل توجهی را روی خود انباشته (متراکم) می کنند، از این واقعیت استفاده می کنند که ظرفیت الکتریکی یک هادی با نزدیک شدن اجسام دیگر به آن افزایش می یابد. در واقع، تحت عمل میدان ایجاد شده توسط هادی های باردار، بارهای القایی (روی هادی) یا مرتبط (روی دی الکتریک) روی بدنی که به آن وارد شده است ظاهر می شود (شکل 15.5). بارها، برخلاف علامت بار هادی q، نسبت به بارهای همنام q نزدیکتر به هادی قرار دارند و بنابراین تأثیر زیادی بر پتانسیل آن دارند.

بنابراین، هنگامی که جسمی به یک هادی باردار می‌آید، قدرت میدان کاهش می‌یابد و در نتیجه پتانسیل هادی کاهش می‌یابد. طبق معادله، این به معنای افزایش ظرفیت هادی است.

یک خازن از دو هادی (صفحه) تشکیل شده است (شکل 15.6) که توسط یک لایه دی الکتریک از هم جدا شده اند. هنگامی که اختلاف پتانسیل معینی به هادی اعمال می شود، صفحات آن با بارهای مساوی علامت مخالف شارژ می شوند. ظرفیت الکتریکی یک خازن به عنوان یک کمیت فیزیکی متناسب با بار q و نسبت معکوس با اختلاف پتانسیل بین صفحات درک می شود.

بیایید ظرفیت یک خازن تخت را تعیین کنیم.

اگر مساحت صفحه S و بار روی آن q باشد، قدرت میدان بین صفحات است

از سوی دیگر، اختلاف پتانسیل بین صفحات از آنجاست

انرژی یک سیستم از بارهای نقطه ای، یک هادی باردار و یک خازن.

هر سیستم بارها دارای انرژی پتانسیل خاصی از تعامل است که برابر با کار صرف شده برای ایجاد این سیستم است. انرژی سیستم بارهای نقطه ای q 1 , q 2 , q 3 ,… q نبه صورت زیر تعریف می شود:

جایی که φ 1- پتانسیل میدان الکتریکی ایجاد شده توسط همه بارها به جز q 1 در نقطه ای که شارژ است q 1 و غیره اگر پیکربندی سیستم بارها تغییر کند، انرژی سیستم نیز تغییر می کند. برای تغییر پیکربندی سیستم، باید مقداری کار انجام دهید.

انرژی پتانسیل یک سیستم بارهای نقطه ای را می توان به روش دیگری محاسبه کرد. انرژی بالقوه بارهای دو نقطه ای q 1 , q 2 در فاصله از یکدیگر برابر است با. اگر چندین بار وجود داشته باشد، انرژی پتانسیل این سیستم از بارها را می توان به عنوان مجموع انرژی های بالقوه همه جفت بارهایی که می توان برای این سیستم ایجاد کرد، تعریف کرد. بنابراین، برای یک سیستم با سه بار مثبت، انرژی سیستم برابر است

میدان الکتریکی بار نقطه ای q 0 در فاصله ای از آن در محیطی با ثابت دی الکتریک ε (شکل 3.1.3 را ببینید). شکل 3.1.3	; پتانسیل یک اسکالر است، علامت آن به علامت باری که میدان را ایجاد می کند بستگی دارد.
شکل 3.1.4. میدان الکتریکی یک کره باردار یکنواخت با شعاع در نقطه C در فاصله ای از سطح آن (شکل 3.1.4). میدان الکتریکی کره شبیه میدان بار نقطه ای برابر با بار کره است q sp و در مرکز آن متمرکز شده است. فاصله تا نقطه ای که کشش تعیین می شود ( آر+آ)	خارج از کره: ; پتانسیل درون کره ثابت و مساوی است , و کشش داخل کره صفر است
میدان الکتریکی یک صفحه بی نهایت باردار یکنواخت با چگالی سطح σ (شکل 3.1.5 را ببینید). شکل 3.1.5.	میدانی که قدرت آن در همه نقاط یکسان است نامیده می شود همگن. تراکم سطح σ بار در واحد سطح است (به ترتیب بار و مساحت هواپیما کجا هستند). ابعاد چگالی بار سطحی.
میدان الکتریکی یک خازن مسطح با قدر یکسان، اما مخالف علامت بارهای روی صفحات (شکل 3.1.6 را ببینید). شکل 3.1.6	کشش بین صفحات یک خازن تخت، خارج از خازن E=0. اختلاف پتانسیل توبین صفحات (صفحات) خازن:، که در آن دآیا فاصله بین صفحات، ثابت دی الکتریک دی الکتریک بین صفحات خازن است. چگالی بار سطحی در صفحات خازن برابر است با نسبت مقدار بار روی آن به مساحت صفحه:

انرژی یک هادی و خازن منفرد باردار

اگر هادی منفرد دارای بار q باشد، میدان الکتریکی در اطراف آن وجود دارد که پتانسیل آن در سطح رسانا برابر است و ظرفیت آن C است. اجازه دهید بار را dq افزایش دهیم. هنگام انتقال شارژ dq از بی نهایت، کار باید برابر با ... اما پتانسیل میدان الکترواستاتیک یک هادی معین در بی نهایت صفر است. سپس

هنگامی که بار dq از هادی به بی نهایت منتقل می شود، همان کار توسط نیروهای میدان الکترواستاتیک انجام می شود. در نتیجه، با افزایش بار رسانا به مقدار dq، انرژی پتانسیل میدان افزایش می یابد، یعنی.

با ادغام این عبارت، انرژی پتانسیل میدان الکترواستاتیک یک هادی باردار را با افزایش بار آن از صفر به q پیدا می کنیم:

با اعمال نسبت، عبارات زیر را برای انرژی پتانسیل W می توان به دست آورد:

برای یک خازن باردار، اختلاف پتانسیل (ولتاژ) برابر است، بنابراین، نسبت کل انرژی میدان الکترواستاتیک آن به شکلی است.

هدف از درس: قضیه Ostrogradsky-Gauss توسط ریاضیدان و مکانیک روسی میخائیل Vasilievich Ostrogradsky در قالب یک قضیه ریاضی عمومی و توسط ریاضیدان آلمانی کارل فردریش گاوس ایجاد شد. این قضیه را می توان در مطالعه فیزیک در سطح نیمرخ استفاده کرد، زیرا امکان محاسبات منطقی میدان های الکتریکی را فراهم می کند.

بردار القای الکتریکی

برای استخراج قضیه اوستروگرادسکی – گاوس، لازم است مفاهیم کمکی مهمی مانند بردار القایی الکتریکی و شار این بردار F معرفی شوند.

مشخص است که میدان الکترواستاتیک اغلب با استفاده از خطوط نیرو به تصویر کشیده می شود. فرض کنید که کشش را در نقطه‌ای که روی سطح مشترک بین دو رسانه قرار دارد تعیین می‌کنیم: هوا (= 1) و آب (= 81). در این مرحله، در طول انتقال از هوا به آب، شدت میدان الکتریکی مطابق فرمول 81 برابر کاهش می یابد. اگر از رسانایی آب غافل شویم، تعداد خطوط نیرو به همان میزان کاهش می یابد. هنگام حل مسائل مختلف برای محاسبه میدان ها، به دلیل ناپیوستگی بردار تنش در رابط بین رسانه و دی الکتریک، ناراحتی های خاصی ایجاد می شود. برای اجتناب از آنها، بردار جدیدی معرفی شده است که بردار القایی الکتریکی نامیده می شود:

بردار القای الکتریکی برابر است با حاصلضرب بردار با ثابت الکتریکی و با ثابت دی الکتریک محیط در یک نقطه معین.

بدیهی است که هنگام عبور از مرز دو دی الکتریک، تعداد خطوط القایی الکتریکی برای میدان بار نقطه ای (1) تغییر نمی کند.

در سیستم SI، بردار القایی الکتریکی بر حسب کولن بر متر مربع (C / m2) اندازه گیری می شود. عبارت (1) نشان می دهد که مقدار عددی بردار به ویژگی های محیط بستگی ندارد. میدان برداری به صورت گرافیکی مشابه میدان کشش نشان داده شده است (به عنوان مثال، برای بار نقطه ای، به شکل 1 مراجعه کنید). برای میدان برداری، اصل برهم نهی صورت می گیرد:

شار القایی الکتریکی

بردار القایی الکتریکی میدان الکتریکی را در هر نقطه از فضا مشخص می کند. بسته به مقادیر بردار، نه در یک نقطه، بلکه در تمام نقاط سطح محدود شده توسط یک کانتور بسته مسطح، می توانید یک مقدار دیگر را وارد کنید.

برای انجام این کار، یک هادی (مدار) بسته مسطح با سطح S را در نظر بگیرید که در یک میدان الکتریکی یکنواخت قرار گرفته است. نرمال به صفحه رسانا با جهت بردار القاء الکتریکی زاویه ایجاد می کند (شکل 2).

جریان القای الکتریکی از طریق سطح S را مقداری برابر با حاصل ضرب مدول بردار القاء با مساحت S و کسینوس زاویه بین بردار و نرمال می گویند:

استنتاج قضیه اوستروگرادسکی – گاوس

این قضیه به شما امکان می دهد شار بردار القایی الکتریکی را از طریق یک سطح بسته که در داخل آن بارهای الکتریکی وجود دارد، پیدا کنید.

بگذارید ابتدا یک بار نقطه ای q در مرکز یک کره با شعاع دلخواه r 1 قرار گیرد (شکل 3). سپس ; ... بیایید کل شار القایی عبوری از کل سطح این کره را محاسبه کنیم: (). اگر کره ای با شعاع بگیریم، همچنین Ф = q. اگر کره ای را رسم کنیم که بار q را پوشش ندهد، شار کل Ф = 0 (زیرا هر خط وارد سطح می شود و زمان دیگر آن را ترک می کند).

بنابراین، اگر بار در داخل سطح بسته قرار داشته باشد، F = q و اگر بار خارج از سطح بسته قرار داشته باشد، F = 0. شار Φ به شکل سطح بستگی ندارد. همچنین به محل بارگیری در داخل سطح بستگی ندارد. این بدان معنی است که نتیجه به دست آمده نه تنها برای یک بار، بلکه برای هر تعداد باری که خودسرانه قرار گرفته اند نیز معتبر است، اگر منظور ما از q مجموع جبری همه بارهای داخل سطح باشد.

قضیه گاوس: شار القای الکتریکی در هر سطح بسته برابر است با مجموع جبری همه بارهای داخل سطح:.

از فرمول می توان دریافت که بعد جریان الکتریکی با بار الکتریکی یکسان است. بنابراین واحد شار القایی الکتریکی کولن (C) است.

نکته: اگر میدان ناهمگن باشد و سطحی که جریان از طریق آن تعیین می شود صفحه نباشد، این سطح را می توان به عناصر بی نهایت کوچک ds تقسیم کرد و هر عنصر را مسطح در نظر گرفت و میدان اطراف آن یکنواخت است. بنابراین، برای هر میدان الکتریکی، شار بردار القایی الکتریکی از طریق عنصر سطح برابر است با: dF= در نتیجه ادغام، کل شار از یک سطح بسته S در هر میدان الکتریکی ناهمگن برابر است با: ، که در آن q مجموع جبری همه بارهای احاطه شده توسط یک سطح بسته S است. اجازه دهید آخرین معادله را بر حسب شدت میدان الکتریکی (برای خلاء) بیان کنیم.

این یکی از معادلات اساسی ماکسول برای میدان الکترومغناطیسی است که به شکل انتگرال نوشته شده است. نشان می دهد که بارهای الکتریکی ساکن منبع یک میدان الکتریکی ثابت در زمان هستند.

کاربرد قضیه گاوس

زمینه هزینه های مستمر توزیع شده

اکنون قدرت میدان را برای تعدادی از موارد با استفاده از قضیه اوستروگرادسکی-گاوس تعیین می کنیم.

1. میدان الکتریکی یک سطح کروی باردار یکنواخت.

کره ای با شعاع R. اجازه دهید بار + q به طور یکنواخت روی یک سطح کروی به شعاع R توزیع شود. توزیع بار روی سطح با چگالی بار سطحی مشخص می شود (شکل 4). چگالی بار سطحی نسبت بار به سطحی است که روی آن توزیع شده است. ... در SI.

تعیین قدرت میدان:

الف) خارج از سطح کروی،
ب) داخل یک سطح کروی.

الف) نقطه A را با فاصله از مرکز سطح کروی باردار در فاصله r>R در نظر بگیرید. اجازه دهید یک سطح کروی ذهنی S به شعاع r از آن رسم کنیم که دارای یک مرکز مشترک با یک سطح کروی باردار است. از ملاحظات تقارن، بدیهی است که خطوط نیرو، خطوط مستقیم شعاعی عمود بر سطح S هستند و به طور یکنواخت در این سطح نفوذ می کنند، یعنی. مقدار کشش در تمام نقاط این سطح ثابت است. قضیه Ostrogradsky-Gauss را روی این سطح کروی S با شعاع r اعمال می کنیم. بنابراین، کل شار از طریق کره برابر است با N = E؟ S; N = E. از طرف دیگر . برابر کردن:. از این رو: برای r> R.

بنابراین: کشش ایجاد شده توسط یک سطح کروی با بار یکنواخت در خارج از آن، همان است که اگر کل بار در مرکز آن باشد (شکل 5).

ب) اجازه دهید قدرت میدان را در نقاطی که در داخل سطح کروی باردار قرار دارند، پیدا کنیم. نقطه B را در فاصله ای از مرکز کره در نظر بگیرید ... سپس E = 0 برای r

2. قدرت میدان یک صفحه بی نهایت با بار یکنواخت

میدان الکتریکی ایجاد شده توسط یک صفحه بینهایت باردار با ثابت چگالی در تمام نقاط صفحه را در نظر بگیرید. به دلایل تقارن، می توانیم فرض کنیم که خطوط کشش عمود بر صفحه هستند و از آن در هر دو جهت هدایت می شوند (شکل 6).

نقطه A را که در سمت راست صفحه قرار دارد انتخاب کنید و در این نقطه با استفاده از قضیه Ostrogradsky-Gauss محاسبه کنید. به عنوان یک سطح بسته، یک سطح استوانه ای را انتخاب می کنیم که سطح جانبی استوانه موازی با خطوط نیرو باشد و پایه های آن موازی با صفحه باشد و پایه از نقطه A عبور کند (شکل 7). بیایید شار تنش را از طریق سطح استوانه ای در نظر گرفته محاسبه کنیم. جریان از طریق سطح جانبی 0 است، زیرا خطوط کشش موازی با سطح جانبی هستند. سپس جریان کل از جریان ها و عبور از پایه های استوانه و. هر دوی این جریان ها مثبت هستند = +; = = ==; N = 2.

- بخشی از هواپیما که در داخل سطح استوانه ای انتخاب شده قرار دارد. بار داخل این سطح q است.

سپس ؛ - را می توان به عنوان شارژ نقطه ای در نظر گرفت) با نقطه A. برای یافتن کل فیلد، باید تمام فیلدهای ایجاد شده توسط هر عنصر را به صورت هندسی جمع کرد:; ...

اجازه دهید مفهوم شار بردار القایی الکتریکی را معرفی کنیم. یک منطقه بی نهایت کوچک را در نظر بگیرید. در بیشتر موارد، نه تنها اندازه سایت، بلکه جهت گیری آن در فضا نیز ضروری است. بیایید مفهوم پلتفرم برداری را معرفی کنیم. اجازه دهید ما با vector-site موافق باشیم که به معنای بردار عمود بر سایت و از نظر عددی برابر با اندازه سایت باشد.

شکل 1 - به تعریف بردار - سایت

بیایید جریان برداری را صدا کنیم در سراسر سایت
حاصل ضرب نقطه ای بردارها و
... به این ترتیب،

جریان برداری از طریق یک سطح دلخواه با ادغام تمام جریان های ابتدایی پیدا می شود

(4)

اگر میدان یکنواخت و مسطح باشد عمود بر میدان واقع شده است، سپس:

. (5)

عبارت فوق تعداد خطوط نیرویی را که به سایت نفوذ می کند تعیین می کند در واحد زمان

قضیه Ostrogradsky-Gauss. واگرایی قدرت میدان الکتریکی

شار بردار القایی الکتریکی از طریق یک سطح بسته دلخواه برابر است با مجموع جبری بارهای الکتریکی آزاد توسط این سطح پوشیده شده است

(6)

عبارت (6) قضیه O-G به شکل انتگرال است. قضیه 0-D با یک اثر انتگرال (کل) عمل می کند، یعنی. اگر
پس معلوم نیست که آیا این به معنای عدم وجود بار در تمام نقاط قسمت مورد بررسی از فضا است یا اینکه مجموع بارهای مثبت و منفی واقع در نقاط مختلف این فضا برابر با صفر است.

برای یافتن بارهای واقع شده و بزرگی آنها برای یک میدان معین، به رابطه ای نیاز دارید که بردار القایی الکتریکی را به هم متصل کند. در یک نقطه مشخص با شارژ در همان نقطه.

فرض کنید باید وجود بار را در نقطه مشخص کنیم آ(شکل 2)

شکل 2 - برای محاسبه واگرایی برداری

ما قضیه O-G را اعمال می کنیم. شار بردار القایی الکتریکی از طریق سطح دلخواه محدود کننده حجمی که نقطه در آن قرار دارد آ، برابر است با

مجموع جبری بارها در حجم را می توان به صورت انتگرال حجمی نوشت

(7)

جایی که - شارژ در واحد حجم ;

- عنصر حجم

برای به دست آوردن ارتباط بین میدان و شارژ در نقطه آما حجم را کاهش می دهیم و سطح را به نقطه ای می کشیم آ... در این حالت هر دو طرف برابری خود را بر مقدار تقسیم می کنیم ... با عبور از حد، ما دریافت می کنیم:

.

سمت راست عبارت حاصل، طبق تعریف، چگالی بار حجمی در نقطه در نظر گرفته شده در فضا است. سمت چپ نشان دهنده حد نسبت شار بردار القای الکتریکی از طریق یک سطح بسته به حجم محدود شده توسط این سطح در زمانی که حجم به سمت صفر می‌رود. این کمیت اسکالر مشخصه مهم میدان الکتریکی است و نامیده می شود بردار واگرایی .

به این ترتیب:

,

از این رو

, (8)

جایی که - چگالی بار فله

با استفاده از این نسبت، مشکل معکوس الکترواستاتیک به سادگی حل می شود، یعنی. یافتن هزینه های توزیع شده در یک میدان شناخته شده

اگر بردار داده می شود، سپس پیش بینی های آن مشخص می شود
,
,
بر روی محورهای مختصات به عنوان تابعی از مختصات و برای محاسبه چگالی توزیع شده بارهایی که یک میدان معین را ایجاد کرده است، برای یافتن مجموع سه مشتق جزئی این پیش بینی ها با توجه به متغیرهای مربوطه کافی است. در آن نقاطی که برای آن
بدون هزینه در نقاطی که
مثبت است، یک بار مثبت با چگالی ظاهری برابر است
، و در آن نقاطی که
یک مقدار منفی خواهد داشت، یک بار منفی وجود دارد که چگالی آن نیز با مقدار واگرایی تعیین می شود.

عبارت (8) قضیه 0-Г را به صورت دیفرانسیل نشان می دهد. در این شکل قضیه نشان می دهد که منابع میدان الکتریکی بارهای الکتریکی آزاد هستند.خطوط نیروی بردار القایی الکتریکی به ترتیب با بارهای مثبت و منفی شروع و پایان می یابد.

هنگامی که هزینه های زیادی وجود دارد، در محاسبه فیلدها مشکلاتی ایجاد می شود.

قضیه گاوس به غلبه بر آنها کمک می کند. اصل قضیه گاوسبه موارد زیر کاهش می یابد: اگر تعداد دلخواه بارها به طور ذهنی توسط یک سطح بسته S احاطه شده باشد، جریان شدت میدان الکتریکی در ناحیه ابتدایی dS را می توان به صورت dФ = ЕСОsα0dS نوشت که α زاویه بین نرمال به صفحه و بردار شدت ... (شکل 12.7)

شار کل در کل سطح برابر است با مجموع شارهای همه بارها که به طور دلخواه در داخل آن توزیع شده و متناسب با بزرگی این بار است.

(12.9)

اجازه دهید شار بردار شدت را از طریق یک سطح کروی به شعاع r تعیین کنیم، که در مرکز آن یک بار نقطه ای + q وجود دارد (شکل 12.8). خطوط کشش عمود بر سطح کره هستند، α = 0، بنابراین cosα = 1. سپس

اگر میدان توسط سیستمی از اتهامات تشکیل شده باشد، پس

قضیه گاوس: شار بردار قدرت میدان الکترواستاتیک در خلاء از طریق هر سطح بسته برابر است با مجموع جبری بارهای موجود در این سطح، تقسیم بر ثابت الکتریکی.

(12.10)

اگر هیچ باری در داخل کره وجود نداشته باشد، Ф = 0.

قضیه گاوس محاسبه میدان های الکتریکی را برای بارهای متقارن توزیع شده نسبتاً آسان می کند.

اجازه دهید مفهوم چگالی بارهای توزیع شده را معرفی کنیم.

چگالی خطی با τ نشان داده می شود و بار q را در واحد طول ℓ مشخص می کند. به طور کلی می توان آن را با فرمول محاسبه کرد

(12.11)

با توزیع یکنواخت بارها، چگالی خطی است

چگالی سطح با σ نشان داده می شود و بار q را در واحد سطح S مشخص می کند. به طور کلی، با فرمول تعیین می شود.

(12.12)

با توزیع یکنواخت بارها بر روی سطح، چگالی سطح برابر است با

چگالی ظاهری با ρ نشان داده می شود، بار q را در واحد حجم V مشخص می کند. به طور کلی، با فرمول تعیین می شود.

(12.13)

با توزیع یکنواخت بارها برابر است با
.

از آنجایی که بار q به طور یکنواخت روی کره قرار دارد، پس

σ = ثابت. ما قضیه گاوس را اعمال می کنیم. اجازه دهید یک کره با شعاع از نقطه A رسم کنیم. شار بردار شدت شکل 12.9 در یک سطح کروی با شعاع برابر است با cosα = 1، زیرا α = 0. طبق قضیه گاوس،
.

یا

(12.14)

از عبارت (14.12) چنین برمی‌آید که شدت میدان در خارج از کره باردار، همان قدرت میدان بار نقطه‌ای است که در مرکز کره قرار می‌گیرد. در سطح کره، یعنی. r 1 = r 0، کشش
.

داخل کره r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

استوانه ای با شعاع r 0 به طور یکنواخت با چگالی سطحی σ شارژ می شود (شکل 12.10). اجازه دهید قدرت میدان را در نقطه A که به طور دلخواه انتخاب شده است تعیین کنیم. از نقطه A یک سطح استوانه ای خیالی با شعاع R و طول ℓ بکشیم. به دلیل تقارن، جریان فقط از طریق سطوح جانبی سیلندر خارج می شود، زیرا بارهای موجود در یک استوانه با شعاع r 0 به طور یکنواخت روی سطح آن توزیع می شود، یعنی. خطوط کشش خطوط مستقیم شعاعی عمود بر سطوح جانبی هر دو استوانه خواهند بود. از آنجایی که جریان از پایه استوانه ها صفر است (cos α = 0) و سطح جانبی استوانه عمود بر خطوط نیرو است (cos α = 1)، پس

یا

(12.15)

اجازه دهید مقدار E را بر حسب σ - چگالی سطح بیان کنیم. طبق تعریف،

از این رو،

مقدار q را در فرمول (12.15) جایگزین کنید.

(12.16)

با تعریف چگالی خطی،
، جایی که
; ما این عبارت را با فرمول (12.16) جایگزین می کنیم:

(12.17)

آن ها شدت میدان ایجاد شده توسط یک استوانه باردار بی نهایت طولانی با چگالی خطی بار متناسب و با فاصله معکوس متناسب است.

شدت میدان ایجاد شده توسط یک صفحه بی نهایت با بار یکنواخت

اجازه دهید قدرت میدان ایجاد شده توسط یک صفحه باردار یکنواخت نامتناهی را در نقطه A تعیین کنیم. بگذارید چگالی بار سطحی صفحه برابر با σ باشد. انتخاب یک استوانه به عنوان یک سطح بسته راحت است که محور آن عمود بر صفحه است و پایه سمت راست حاوی نقطه A است. هواپیما استوانه را به نصف تقسیم می کند. بدیهی است که خطوط نیرو عمود بر صفحه و موازی با سطح جانبی استوانه هستند، بنابراین کل جریان فقط از پایه های استوانه عبور می کند. در هر دو پایه، قدرت میدان یکسان است، زیرا نقاط A و B در مورد صفحه متقارن هستند. سپس جریان از طریق پایه های سیلندر است

طبق قضیه گاوس،

زیرا
، سپس
، جایی که

(12.18)

بنابراین، قدرت میدان یک صفحه باردار نامتناهی با چگالی بار سطحی متناسب است و به فاصله تا صفحه بستگی ندارد. در نتیجه، میدان هواپیما یکنواخت است.

شدت میدان ایجاد شده توسط دو صفحه موازی با بار یکنواخت مخالف

میدان حاصل که توسط دو صفحه ایجاد می شود با اصل برهم نهی میدان ها تعیین می شود:
(شکل 12.12). میدان ایجاد شده توسط هر صفحه همگن است، قدرت این میدان ها از نظر بزرگی برابر است، اما در جهت مخالف هستند:
... بر اساس اصل برهم نهی، قدرت کل میدان خارج از صفحه برابر با صفر است:

بین هواپیماها، نقاط قوت میدان دارای جهت های یکسانی هستند، بنابراین قدرت حاصله است

بنابراین، میدان بین دو صفحه با بار یکنواخت مخالف همگن است و شدت آن دو برابر بیشتر از شدت میدان ایجاد شده توسط یک صفحه است. در سمت چپ و راست هواپیماها میدانی وجود ندارد. میدان صفحات محدود به همین شکل است؛ اعوجاج فقط در نزدیکی مرزهای آنها ظاهر می شود. با استفاده از فرمول به دست آمده، می توانید میدان بین صفحات یک خازن تخت را محاسبه کنید.