قضیه گاوس برای القای الکتریکی (جابجایی الکتریکی) [

برای یک میدان در یک محیط دی الکتریک، قضیه الکترواستاتیک گاوس را می توان به روشی دیگر (به روشی جایگزین) - از طریق شار بردار جابجایی الکتریکی (القای الکتریکی) نوشت. در این مورد، فرمول قضیه به شرح زیر است: شار بردار جابجایی الکتریکی از طریق یک سطح بسته متناسب با بار الکتریکی آزاد موجود در این سطح است:

به شکل دیفرانسیل:

قضیه گاوس برای القای مغناطیسی

شار بردار القای مغناطیسی از طریق هر سطح بسته صفر است:

یا به شکل دیفرانسیل

این معادل این واقعیت است که در طبیعت هیچ "بارهای مغناطیسی" (تک قطبی) وجود ندارد که میدان مغناطیسی ایجاد کند، همانطور که بارهای الکتریکی یک میدان الکتریکی ایجاد می کنند. به عبارت دیگر، قضیه گاوس برای القای مغناطیسی نشان می دهد که میدان مغناطیسی (به طور کامل) است. گرداب.

قضیه گاوس برای گرانش نیوتنی

برای شدت میدان گرانش نیوتنی (شتاب گرانش)، قضیه گاوس عملاً با آن در الکترواستاتیک منطبق است، به استثنای تنها ثابت ها (اما، هنوز به انتخاب دلخواه سیستم واحدها بستگی دارد) و مهمتر از همه، امضا کردن:

جایی که g- قدرت میدان گرانشی، م- بار گرانشی (یعنی جرم) در داخل سطح اس, ρ - چگالی جرمی، جی- ثابت نیوتنی

رساناها در میدان الکتریکی میدان داخل هادی و روی سطح آن.

اجسام رسانایی نامیده می شوند که از طریق آنها بارهای الکتریکی می توانند از جسم باردار به جسم بدون بار عبور کنند.توانایی هادی ها برای عبور بارهای الکتریکی از خود با وجود حامل های بار آزاد در آنها توضیح داده می شود. هادی ها - اجسام فلزی در حالت جامد و مایع، محلول های مایع الکترولیت ها. بارهای آزاد رسانایی وارد شده به میدان الکتریکی تحت تأثیر آن به حرکت در می آیند. توزیع مجدد بارها باعث تغییر در میدان الکتریکی می شود. هنگامی که قدرت میدان الکتریکی در هادی صفر شد، الکترون ها از حرکت باز می ایستند. پدیده جدا شدن بارهای غیرمشابه در رسانایی که در میدان الکتریکی قرار می گیرد، القای الکترواستاتیکی نامیده می شود. هیچ میدان الکتریکی در داخل هادی وجود ندارد. برای حفاظت الکترواستاتیک - حفاظت با هادی های فلزی از میدان الکتریکی استفاده می شود. سطح جسم رسانا به هر شکلی در میدان الکتریکی یک سطح هم پتانسیل است.

خازن ها

برای به دست آوردن وسایلی که با پتانسیل پایین نسبت به متوسط، بارهای قابل توجهی را روی خود انباشته (متراکم) می کنند، از این واقعیت استفاده می کنند که ظرفیت الکتریکی یک هادی با نزدیک شدن اجسام دیگر به آن افزایش می یابد. در واقع، تحت عمل میدان ایجاد شده توسط هادی های باردار، بارهای القایی (روی هادی) یا مرتبط (روی دی الکتریک) روی بدنی که به آن وارد شده است ظاهر می شود (شکل 15.5). بارها، برخلاف علامت بار هادی q، نسبت به بارهای همنام با q نزدیکتر به هادی قرار دارند و بنابراین تأثیر زیادی بر پتانسیل آن دارند.

بنابراین، هنگامی که جسمی به یک هادی باردار می‌آید، قدرت میدان کاهش می‌یابد و بنابراین، پتانسیل هادی کاهش می‌یابد. طبق معادله، این به معنای افزایش ظرفیت هادی است.

یک خازن از دو هادی (صفحات) تشکیل شده است (شکل 15.6) که توسط یک لایه دی الکتریک از هم جدا شده اند. هنگامی که اختلاف پتانسیل معینی به هادی اعمال می شود، صفحات آن با بارهای مساوی علامت مخالف شارژ می شوند. ظرفیت الکتریکی یک خازن به عنوان یک کمیت فیزیکی متناسب با بار q و با اختلاف پتانسیل بین صفحات نسبت معکوس درک می شود.

بیایید ظرفیت یک خازن تخت را تعیین کنیم.

اگر مساحت صفحه S و بار روی آن q باشد، قدرت میدان بین صفحات است

از سوی دیگر، اختلاف پتانسیل بین صفحات از آنجاست

انرژی یک سیستم از بارهای نقطه ای، یک هادی باردار و یک خازن.

هر سیستم بارها دارای انرژی پتانسیل خاصی از تعامل است که برابر با کار صرف شده برای ایجاد این سیستم است. انرژی سیستم بارهای نقطه ای q 1 , q 2 , q 3 ,… q نبه صورت زیر تعریف می شود:

جایی که φ 1- پتانسیل میدان الکتریکی ایجاد شده توسط همه بارها به جز q 1 در نقطه ای که شارژ است q 1 و غیره اگر پیکربندی سیستم بارها تغییر کند، انرژی سیستم نیز تغییر می کند. برای تغییر پیکربندی سیستم، باید مقداری کار انجام دهید.

انرژی پتانسیل یک سیستم بارهای نقطه ای را می توان به روش دیگری محاسبه کرد. انرژی بالقوه بارهای دو نقطه ای q 1 , q 2 در فاصله از یکدیگر برابر است با. اگر چندین بار وجود داشته باشد، انرژی پتانسیل این سیستم از بارها را می توان به عنوان مجموع انرژی های بالقوه همه جفت بارهایی که می توان برای این سیستم ایجاد کرد، تعریف کرد. بنابراین، برای یک سیستم با سه بار مثبت، انرژی سیستم برابر است

میدان الکتریکی بار نقطه ای q 0 در فاصله ای از آن در محیطی با ثابت دی الکتریک ε (شکل 3.1.3 را ببینید). شکل 3.1.3	; پتانسیل یک اسکالر است، علامت آن به علامت باری که میدان را ایجاد می کند بستگی دارد.
شکل 3.1.4. میدان الکتریکی یک کره باردار یکنواخت با شعاع در نقطه C در فاصله ای از سطح آن (شکل 3.1.4). میدان الکتریکی کره شبیه میدان بار نقطه ای برابر با بار کره است q sp و در مرکز آن متمرکز شده است. فاصله تا نقطه ای که کشش تعیین می شود ( آر+آ)	خارج از کره: ; پتانسیل درون کره ثابت و مساوی است , و کشش داخل کره صفر است
میدان الکتریکی یک صفحه بی نهایت باردار یکنواخت با چگالی سطح σ (شکل 3.1.5 را ببینید). شکل 3.1.5.	میدانی که قدرت آن در همه نقاط یکسان است نامیده می شود همگن. تراکم سطح σ بار در واحد سطح است (به ترتیب بار و مساحت هواپیما کجا هستند). ابعاد چگالی بار سطحی.
میدان الکتریکی یک خازن مسطح با قدر یکسان، اما مخالف علامت بارهای روی صفحات (شکل 3.1.6 را ببینید). شکل 3.1.6	کشش بین صفحات یک خازن تخت، خارج از خازن E=0. اختلاف پتانسیل توبین صفحات (صفحات) خازن:، که در آن دآیا فاصله بین صفحات، ثابت دی الکتریک دی الکتریک بین صفحات خازن است. چگالی بار سطحی در صفحات خازن برابر است با نسبت مقدار بار روی آن به مساحت صفحه:

انرژی یک هادی و خازن منفرد باردار

اگر هادی منفرد دارای بار q باشد، میدان الکتریکی در اطراف آن وجود دارد که پتانسیل آن در سطح رسانا برابر است و ظرفیت آن C است. اجازه دهید بار را dq افزایش دهیم. هنگام انتقال شارژ dq از بی نهایت، کار باید برابر با ... اما پتانسیل میدان الکترواستاتیک یک هادی معین در بی نهایت صفر است. سپس

هنگامی که بار dq از هادی به بی نهایت منتقل می شود، همان کار توسط نیروهای میدان الکترواستاتیک انجام می شود. در نتیجه، با افزایش بار رسانا به مقدار dq، انرژی پتانسیل میدان افزایش می یابد، یعنی.

با ادغام این عبارت، انرژی پتانسیل میدان الکترواستاتیک یک هادی باردار را با افزایش بار آن از صفر به q پیدا می کنیم:

با اعمال نسبت، عبارات زیر را برای انرژی پتانسیل W می توان به دست آورد:

برای یک خازن باردار، اختلاف پتانسیل (ولتاژ) برابر است، بنابراین، نسبت انرژی کل میدان الکترواستاتیک آن به شکلی است.

هنگامی که هزینه های زیادی وجود دارد، در محاسبه فیلدها مشکلاتی ایجاد می شود.

قضیه گاوس به غلبه بر آنها کمک می کند. اصل قضیه گاوسبه موارد زیر کاهش می یابد: اگر تعداد دلخواه بارها به طور ذهنی توسط یک سطح بسته S احاطه شده باشد، جریان شدت میدان الکتریکی در ناحیه ابتدایی dS را می توان به صورت dФ = ЕСОsα0dS نوشت که α زاویه بین نرمال به صفحه و بردار شدت ... (شکل 12.7)

شار کل در کل سطح برابر است با مجموع شارهای همه بارها که به طور دلخواه در داخل آن توزیع شده و متناسب با بزرگی این بار است.

(12.9)

اجازه دهید شار بردار شدت را از طریق یک سطح کروی به شعاع r تعیین کنیم، که در مرکز آن یک بار نقطه ای + q وجود دارد (شکل 12.8). خطوط کشش عمود بر سطح کره هستند، α = 0، بنابراین cosα = 1. سپس

اگر میدان توسط سیستمی از اتهامات تشکیل شده باشد، پس

قضیه گاوس: شار بردار قدرت میدان الکترواستاتیک در خلاء از طریق هر سطح بسته برابر است با مجموع جبری بارهای موجود در این سطح، تقسیم بر ثابت الکتریکی.

(12.10)

اگر هیچ باری در داخل کره وجود نداشته باشد، Ф = 0.

قضیه گاوس محاسبه میدان های الکتریکی را برای بارهای متقارن توزیع شده نسبتاً آسان می کند.

اجازه دهید مفهوم چگالی بارهای توزیع شده را معرفی کنیم.

چگالی خطی با τ نشان داده می شود و بار q را در واحد طول ℓ مشخص می کند. به طور کلی می توان آن را با فرمول محاسبه کرد

(12.11)

با توزیع یکنواخت بارها، چگالی خطی است

چگالی سطح با σ نشان داده می شود و بار q را در واحد سطح S مشخص می کند. به طور کلی، با فرمول تعیین می شود.

(12.12)

با توزیع یکنواخت بارها بر روی سطح، چگالی سطح برابر است با

چگالی ظاهری با ρ نشان داده می شود، بار q را در واحد حجم V مشخص می کند. به طور کلی، با فرمول تعیین می شود.

(12.13)

با توزیع یکنواخت بارها برابر است با
.

از آنجایی که بار q به طور یکنواخت روی کره قرار دارد، پس

σ = ثابت. ما قضیه گاوس را اعمال می کنیم. اجازه دهید یک کره با شعاع از نقطه A رسم کنیم. شار بردار شدت شکل 12.9 در یک سطح کروی با شعاع برابر است با cosα = 1، زیرا α = 0. طبق قضیه گاوس،
.

یا

(12.14)

از عبارت (14.12) چنین برمی‌آید که شدت میدان در خارج از کره باردار، همان قدرت میدان بار نقطه‌ای است که در مرکز کره قرار می‌گیرد. در سطح کره، یعنی. r 1 = r 0، کشش
.

داخل کره r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

استوانه ای به شعاع r 0 به طور یکنواخت با چگالی سطحی σ شارژ می شود (شکل 12.10). اجازه دهید قدرت میدان را در نقطه A که به طور دلخواه انتخاب شده است تعیین کنیم. از نقطه A یک سطح استوانه ای خیالی با شعاع R و طول ℓ بکشیم. به دلیل تقارن، جریان فقط از طریق سطوح جانبی سیلندر خارج می شود، زیرا بارهای موجود در یک استوانه با شعاع r 0 به طور یکنواخت روی سطح آن توزیع می شود، یعنی. خطوط کشش خطوط مستقیم شعاعی عمود بر سطوح جانبی هر دو استوانه خواهد بود. از آنجایی که جریان از طریق پایه استوانه ها صفر است (cos α = 0) و سطح جانبی استوانه عمود بر خطوط نیرو است (cos α = 1)، پس

یا

(12.15)

اجازه دهید مقدار E را بر حسب σ - چگالی سطح بیان کنیم. طبق تعریف،

از این رو،

مقدار q را در فرمول (12.15) جایگزین کنید.

(12.16)

با تعریف چگالی خطی،
، جایی که
; ما این عبارت را با فرمول (12.16) جایگزین می کنیم:

(12.17)

آن ها شدت میدان ایجاد شده توسط یک استوانه باردار بی نهایت طولانی با چگالی خطی بار متناسب و با فاصله معکوس متناسب است.

شدت میدان ایجاد شده توسط یک صفحه بی نهایت با بار یکنواخت

اجازه دهید قدرت میدان ایجاد شده توسط یک صفحه یکنواخت بی نهایت در نقطه A را تعیین کنیم. بگذارید چگالی بار سطحی صفحه برابر با σ باشد. انتخاب یک استوانه به عنوان یک سطح بسته راحت است که محور آن عمود بر صفحه است و پایه سمت راست حاوی نقطه A است. هواپیما استوانه را به نصف تقسیم می کند. بدیهی است که خطوط نیرو عمود بر صفحه و موازی با سطح جانبی استوانه هستند، بنابراین کل جریان فقط از پایه های استوانه عبور می کند. در هر دو پایه، قدرت میدان یکسان است، زیرا نقاط A و B در مورد صفحه متقارن هستند. سپس جریان از طریق پایه های سیلندر است

طبق قضیه گاوس،

زیرا
، سپس
، جایی که

(12.18)

بنابراین، قدرت میدان یک صفحه باردار نامتناهی با چگالی بار سطحی متناسب است و به فاصله تا صفحه بستگی ندارد. در نتیجه، میدان هواپیما یکنواخت است.

شدت میدان ایجاد شده توسط دو صفحه موازی با بار یکنواخت مخالف

میدان حاصل که توسط دو صفحه ایجاد می شود با اصل برهم نهی میدان ها تعیین می شود:
(شکل 12.12). میدان ایجاد شده توسط هر صفحه همگن است، قدرت این میدان ها از نظر بزرگی برابر، اما در جهت مخالف هستند:
... بر اساس اصل برهم نهی، قدرت کل میدان خارج از صفحه برابر با صفر است:

بین هواپیماها، نقاط قوت میدان دارای جهت های یکسانی هستند، بنابراین قدرت حاصله است

بنابراین، میدان بین دو صفحه با بار یکنواخت مخالف همگن است و شدت آن دو برابر بیشتر از شدت میدان ایجاد شده توسط یک صفحه است. در سمت چپ و راست هواپیماها میدانی وجود ندارد. میدان صفحات محدود به همین شکل است؛ اعوجاج فقط در نزدیکی مرزهای آنها ظاهر می شود. با استفاده از فرمول به دست آمده، می توانید میدان بین صفحات یک خازن تخت را محاسبه کنید.

فرمول کلی: شار بردار قدرت میدان الکتریکی از طریق هر سطح بسته ای که به طور دلخواه انتخاب شده باشد، متناسب با بار الکتریکی موجود در این سطح است.

در سیستم CGSE:

در سیستم SI:

- شار بردار شدت میدان الکتریکی از طریق سطح بسته.

- بار کل موجود در حجمی که سطح را محدود می کند.

- ثابت الکتریکی

این عبارت، قضیه گاوس به شکل انتگرال است.

در شکل دیفرانسیل، قضیه گاوس با یکی از معادلات ماکسول مطابقت دارد و به صورت زیر بیان می شود.

در سیستم SI:

,

در سیستم CGSE:

در اینجا چگالی بار حجمی است (در حضور یک محیط، چگالی کل بارهای آزاد و محدود)، و عملگر nabla است.

برای قضیه گاوس، اصل برهم نهی معتبر است، یعنی شار بردار تنش از طریق سطح به توزیع بار در داخل سطح بستگی ندارد.

مبنای فیزیکی قضیه گاوس قانون کولن است یا به عبارت دیگر قضیه گاوس فرمول لاینفک قانون کولن است.

قضیه گاوس برای القای الکتریکی (جابجایی الکتریکی).

برای یک میدان در ماده، قضیه الکترواستاتیک گاوس را می توان به طور متفاوت نوشت - از طریق شار بردار جابجایی الکتریکی (القای الکتریکی). در این مورد، فرمول قضیه به شرح زیر است: شار بردار جابجایی الکتریکی از طریق یک سطح بسته متناسب با بار الکتریکی آزاد موجود در این سطح است:

اگر قضیه قدرت میدان را در یک ماده در نظر بگیریم، به عنوان بار Q باید مجموع بار آزاد داخل سطح و بار پلاریزاسیون (القایی، محدود) دی الکتریک را در نظر بگیریم:

,

جایی که ,
آیا بردار پلاریزاسیون دی الکتریک است.

قضیه گاوس برای القای مغناطیسی

شار بردار القای مغناطیسی از طریق هر سطح بسته صفر است:

.

این معادل این واقعیت است که در طبیعت هیچ "بارهای مغناطیسی" (تک قطبی) وجود ندارد که میدان مغناطیسی ایجاد کند، همانطور که بارهای الکتریکی یک میدان الکتریکی ایجاد می کنند. به عبارت دیگر، قضیه گاوس برای القای مغناطیسی نشان می دهد که میدان مغناطیسی گردابی است.

کاربرد قضیه گاوس

برای محاسبه میدان های الکترومغناطیسی از مقادیر زیر استفاده می شود:

چگالی بار حجیم (به بالا مراجعه کنید).

چگالی بار سطحی

که در آن dS یک سطح بینهایت کوچک از سطح است.

چگالی بار خطی

که در آن dl طول یک قطعه بینهایت کوچک است.

میدان ایجاد شده توسط یک صفحه باردار همگن نامتناهی را در نظر بگیرید. بگذارید چگالی بار سطحی صفحه یکسان و برابر با σ باشد. از نظر ذهنی استوانه‌ای را تصور کنید که ژنراتیس‌های آن عمود بر صفحه است و پایه ΔS به طور متقارن نسبت به صفحه قرار دارد. به دلیل تقارن. شدت شار برداری برابر است با. با استفاده از قضیه گاوس، به دست می آوریم:

,

از کدام

در سیستم CGSE

ذکر این نکته حائز اهمیت است که قضیه گاوس علیرغم کلیت و کلی بودنش، به دلیل عدم استفاده از محاسبه انتگرال، کاربرد نسبتاً محدودی دارد. با این حال، در مورد یک مسئله متقارن، حل آن بسیار ساده تر از استفاده از اصل برهم نهی می شود.

شار برداری قدرت میدان الکتریکی.اجازه دهید یک منطقه کوچک دیاس(شکل 1.2) خطوط نیروی میدان الکتریکی را که جهت آنها با حالت عادی است قطع می کنند. n زاویه نسبت به این سایت آ... با فرض بردار کشش E در داخل سایت تغییر نمی کند دیاس، تعريف كردن شار بردار تنشدر سراسر سایت دیاسچگونه

دیافE =E دیاس cos آ.(1.3)

از آنجایی که چگالی خطوط نیرو برابر با مقدار عددی کشش است E، سپس تعداد خطوط نیرویی که از سایت عبور می کننددیاس، از نظر عددی برابر با مقدار جریان خواهد بوددیافEدر سراسر سطحدیاس... ما سمت راست عبارت (1.3) را به عنوان حاصل ضرب اسکالر بردارها نشان می دهیم Eودیاس= nدیاس، جایی که nآیا واحد بردار نرمال به سطح استدیاس... برای یک سایت ابتدایی د اسعبارت (1.3) شکل می گیرد

دافE = Eد اس

در سراسر سایت اسشار بردار شدت به عنوان یک انتگرال بر روی سطح محاسبه می شود

شار بردار القایی الکتریکی.شار بردار القایی الکتریکی به طور مشابه با شار بردار شدت میدان الکتریکی تعیین می شود.

دافدی = دید اس

ابهاماتی در تعاریف جریان ها محسوس است، زیرا برای هر سطح دو عادی در جهت مخالف برای یک سطح بسته، نرمال بیرونی مثبت در نظر گرفته می شود.

قضیه گاوس.در نظر گرفتن نقطه مثبتشارژ الکتریکی qداخل یک سطح بسته دلخواه اس(شکل 1.3). شار بردار القایی از طریق عنصری از سطح d اسبرابر است با
(1.4)

جزء د SD = د اس cos آعنصر سطح د اسدر جهت بردار القاییدیبه عنوان عنصری از یک سطح کروی با شعاع در نظر گرفته می شود r، که در مرکز آن شارژ قرار داردq.

با توجه به اینکه د SD/ r 2 برابر است ابتدایی بدنگوشه دw، که تحت آن از نقطه محل شارژqعنصر سطح d قابل مشاهده است اس، عبارت (1.4) را به فرم تبدیل می کنیمد افدی = q د w / 4 پ، پس از ادغام در کل فضای اطراف بار، یعنی در زاویه جامد از 0 تا 4پ، ما گرفتیم

افدی = q.

شار بردار القایی الکتریکی از طریق یک سطح بسته با شکل دلخواه برابر با بار موجود در داخل این سطح است..

اگر یک سطح بسته دلخواه اسشارژ نقطه ای را پوشش نمی دهد q(شکل 1.4)، سپس با ساختن یک سطح مخروطی با راس در نقطه ای که بار در آن قرار دارد، سطح را تقسیم می کنیم. اسبه دو بخش: اس 1 و اس 2. جریان برداری دی در سراسر سطح اسما به عنوان مجموع جبری جریان از طریق سطوح می یابیم اس 1 و اس 2:

.

هر دو سطح از نقطه محل شارژ qدر یک زاویه ثابت قابل مشاهده است w... بنابراین جریان ها برابر هستند

از آنجایی که جریان از طریق یک سطح بسته با استفاده از ظاهر عادیبه سطح، به راحتی می توان دید که شار Ф 1D < 0, тогда как поток Ф2 بعدی> 0. شار کل Ф دی= 0. این بدان معنی است که شار بردار القایی الکتریکی از طریق یک سطح بسته با شکل دلخواه به بارهای واقع در خارج از این سطح بستگی ندارد.

اگر میدان الکتریکی توسط سیستمی از بارهای نقطه ای ایجاد شود q 1 , q 2 ,¼ , q n، که توسط یک سطح بسته پوشانده شده است اس، سپس مطابق با اصل برهم نهی، شار بردار القایی از طریق این سطح به عنوان مجموع شارهای ایجاد شده توسط هر یک از بارها تعریف می شود. شار بردار القای الکتریکی از طریق یک سطح بسته با شکل دلخواه برابر است با مجموع جبری بارهای تحت پوشش این سطح.:

لازم به ذکر است که اتهامات q iلازم نیست نقطه مانند باشد، شرط لازم این است که ناحیه باردار باید کاملاً توسط سطح پوشانده شود. اگر در فضای محدود شده توسط یک سطح بسته اس، بار الکتریکی به طور پیوسته توزیع می شود، پس باید فرض کرد که هر حجم ابتدایی d Vشارژ دارد در این حالت، در سمت راست عبارت (1.5)، جمع جبری بارها با ادغام بر روی حجم محصور در داخل سطح بسته جایگزین می شود. اس:

(1.6)

عبارت (1.6) عمومی ترین فرمولاسیون است قضیه گاوس: شار بردار القایی الکتریکی از طریق یک سطح بسته با شکل دلخواه برابر با بار کل در حجم محصور شده توسط این سطح است و به بارهای واقع در خارج از سطح مورد نظر بستگی ندارد.... قضیه گاوس را می توان برای شار بردار شدت میدان الکتریکی نیز نوشت:

.

یک ویژگی مهم میدان الکتریکی از قضیه گاوس به دست می آید: خطوط نیرو فقط با بارهای الکتریکی شروع یا پایان می یابند یا تا بی نهایت می روند... ما یک بار دیگر تاکید می کنیم که، با وجود این واقعیت که قدرت میدان الکتریکی است E و القای الکتریکی دی به مکان همه بارها در فضا بستگی دارد، شار این بردارها از طریق یک سطح بسته دلخواه اسفقط تعیین شده است آن دسته از بارهایی که در داخل سطح قرار دارند اس.

شکل دیفرانسیل قضیه گاوس.توجه داشته باشید که فرم انتگرالقضیه گاوس رابطه بین منابع میدان الکتریکی (بارها) و ویژگی های میدان الکتریکی (قدرت یا القاء) در حجم را مشخص می کند. Vدلخواه، اما برای شکل گیری روابط یکپارچه، ارزش کافی است. تقسیم حجم Vبرای حجم های کم V i، بیان را دریافت می کنیم

که هم در کل و هم برای هر اصطلاح صادق است. بیایید عبارت حاصل را به صورت زیر تبدیل کنیم:

(1.7)

و حدی را در نظر بگیرید که عبارت سمت راست برابری، محصور در پرانتزهای مجعد، برای تقسیم نامحدود حجم به آن تمایل دارد. V... در ریاضیات به این حد می گویند واگراییبردار (در این مورد، بردار القایی الکتریکی دی):

واگرایی برداری دیدر مختصات دکارتی:

بنابراین، عبارت (1.7) به شکل زیر تبدیل می شود:

.

با توجه به اینکه با تقسیم نامحدود، مجموع سمت چپ آخرین عبارت به انتگرال حجمی می رود، به دست می آوریم.

نسبت به دست آمده باید برای هر حجمی که خودسرانه انتخاب شده است، برآورده شود V... این تنها در صورتی امکان پذیر است که مقادیر انتگرال ها در هر نقطه از فضا یکسان باشند. بنابراین، واگرایی بردار دیبا تساوی به چگالی بار در همان نقطه مربوط می شود

یا برای بردار شدت میدان الکترواستاتیک

این برابری ها قضیه گاوس را بیان می کند فرم دیفرانسیل.

توجه داشته باشید که در فرآیند عبور به شکل دیفرانسیل قضیه گاوس، رابطه ای به دست می آید که دارای ویژگی کلی است:

.

این عبارت فرمول گاوس - استروگرادسکی نامیده می شود و انتگرال را بر حجم واگرایی یک بردار با جریان این بردار از طریق سطح بسته ای که حجم را محدود می کند، متصل می کند.

سوالات

1) مفهوم فیزیکی قضیه گاوس برای میدان الکترواستاتیک در خلاء چیست؟

2) یک بار نقطه ای در مرکز مکعب وجود دارد.q... شار برداری چیست؟ E:

الف) از طریق سطح کامل مکعب؛ ب) از طریق یکی از وجوه مکعب.

آیا پاسخ ها تغییر می کند اگر:

الف) بار در مرکز مکعب نیست، بلکه در داخل آن است ; ب) بار خارج از مکعب باشد.

3) چگالی بار خطی، سطحی، حجمی چیست.

4) رابطه بین چگالی بار حجمی و سطحی را نشان دهید.

5) آیا میدانی خارج از صفحات بی نهایت موازی با بار مخالف و یکنواخت می تواند غیر صفر باشد؟

6) یک دوقطبی الکتریکی در داخل یک سطح بسته قرار می گیرد. جریان از طریق این سطح چیست