فرمول کلی: شار بردار قدرت میدان الکتریکی از طریق هر سطح بسته ای که به طور دلخواه انتخاب شده باشد، متناسب با بار الکتریکی موجود در این سطح است.

در سیستم CGSE:

در سیستم SI:

- شار بردار شدت میدان الکتریکی از طریق سطح بسته.

- بار کل موجود در حجمی که سطح را محدود می کند.

- ثابت الکتریکی

این عبارت، قضیه گاوس به شکل انتگرال است.

در شکل دیفرانسیل، قضیه گاوس با یکی از معادلات ماکسول مطابقت دارد و به صورت زیر بیان می شود.

در سیستم SI:

,

در سیستم CGSE:

در اینجا چگالی بار حجمی است (در حضور یک محیط، چگالی کل بارهای آزاد و محدود)، و عملگر nabla است.

برای قضیه گاوس، اصل برهم نهی معتبر است، یعنی شار بردار تنش از طریق سطح به توزیع بار در داخل سطح بستگی ندارد.

مبنای فیزیکی قضیه گاوس قانون کولن است یا به عبارت دیگر قضیه گاوس فرمول لاینفک قانون کولن است.

قضیه گاوس برای القای الکتریکی (جابجایی الکتریکی).

برای یک میدان در ماده، قضیه الکترواستاتیک گاوس را می توان به طور متفاوت نوشت - از طریق شار بردار جابجایی الکتریکی (القای الکتریکی). در این مورد، فرمول قضیه به شرح زیر است: شار بردار جابجایی الکتریکی از طریق یک سطح بسته متناسب با بار الکتریکی آزاد موجود در این سطح است:

اگر قضیه قدرت میدان را در یک ماده در نظر بگیریم، به عنوان بار Q باید مجموع بار آزاد داخل سطح و بار پلاریزاسیون (القایی، محدود) دی الکتریک را در نظر بگیریم:

,

جایی که ,
آیا بردار پلاریزاسیون دی الکتریک است.

قضیه گاوس برای القای مغناطیسی

شار بردار القای مغناطیسی از طریق هر سطح بسته صفر است:

.

این معادل این واقعیت است که در طبیعت هیچ "بارهای مغناطیسی" (تک قطبی) وجود ندارد که میدان مغناطیسی ایجاد کند، همانطور که بارهای الکتریکی یک میدان الکتریکی ایجاد می کنند. به عبارت دیگر، قضیه گاوس برای القای مغناطیسی نشان می دهد که میدان مغناطیسی گردابی است.

کاربرد قضیه گاوس

برای محاسبه میدان های الکترومغناطیسی از مقادیر زیر استفاده می شود:

چگالی بار حجیم (به بالا مراجعه کنید).

چگالی بار سطحی

که در آن dS یک سطح بینهایت کوچک از سطح است.

چگالی بار خطی

که در آن dl طول یک قطعه بینهایت کوچک است.

میدان ایجاد شده توسط یک صفحه باردار همگن نامتناهی را در نظر بگیرید. بگذارید چگالی بار سطحی صفحه یکسان و برابر با σ باشد. از نظر ذهنی استوانه‌ای را تصور کنید که ژنراتیس‌های آن عمود بر صفحه است و پایه ΔS به طور متقارن نسبت به صفحه قرار دارد. به دلیل تقارن. شدت شار برداری برابر است با. با اعمال قضیه گاوس، به دست می آوریم:

,

از کدام

در سیستم CGSE

ذکر این نکته حائز اهمیت است که قضیه گاوس علیرغم کلیت و کلی بودنش، به دلیل عدم استفاده از محاسبه انتگرال، کاربرد نسبتاً محدودی دارد. با این حال، در مورد یک مسئله متقارن، حل آن بسیار ساده تر از استفاده از اصل برهم نهی می شود.

شار برداری قدرت میدان الکتریکی.اجازه دهید یک منطقه کوچک دیاس(شکل 1.2) خطوط نیروی میدان الکتریکی را که جهت آنها با حالت عادی است قطع می کنند. n زاویه نسبت به این سایت آ... با فرض بردار کشش E در داخل سایت تغییر نمی کند دیاس، تعريف كردن شار بردار تنشدر سراسر سایت دیاسچگونه

دیافE =E دیاس cos آ.(1.3)

از آنجایی که چگالی خطوط نیرو برابر با مقدار عددی کشش است E، سپس تعداد خطوط نیرویی که از سایت عبور می کننددیاس، از نظر عددی برابر با مقدار جریان خواهد بوددیافEدر سراسر سطحدیاس... ما سمت راست عبارت (1.3) را به عنوان حاصل ضرب اسکالر بردارها نشان می دهیم Eودیاس= nدیاس، جایی که nآیا واحد بردار نرمال به سطح استدیاس... برای یک سایت ابتدایی د اسعبارت (1.3) شکل می گیرد

دافE = Eد اس

در سراسر سایت اسشار بردار شدت به عنوان یک انتگرال بر روی سطح محاسبه می شود

شار بردار القایی الکتریکی.شار بردار القایی الکتریکی به طور مشابه با شار بردار شدت میدان الکتریکی تعیین می شود.

دافدی = دید اس

ابهاماتی در تعاریف جریان ها محسوس است، زیرا برای هر سطح دو عادی در جهت مخالف برای یک سطح بسته، نرمال بیرونی مثبت در نظر گرفته می شود.

قضیه گاوس.در نظر گرفتن نقطه مثبتشارژ الکتریکی qداخل یک سطح بسته دلخواه اس(شکل 1.3). شار بردار القایی از طریق عنصری از سطح d اسبرابر است با
(1.4)

جزء د SD = د اس cos آعنصر سطح د اسدر جهت بردار القاییدیبه عنوان عنصری از یک سطح کروی با شعاع در نظر گرفته می شود r، که در مرکز آن شارژ قرار داردq.

با توجه به اینکه د SD/ r 2 برابر است ابتدایی بدنگوشه دw، که تحت آن از نقطه محل شارژqعنصر سطح d قابل مشاهده است اس، عبارت (1.4) را به فرم تبدیل می کنیمد افدی = q د w / 4 پ، از این رو، پس از ادغام در کل فضای اطراف بار، یعنی در زاویه جامد از 0 تا 4پ، ما گرفتیم

افدی = q.

شار بردار القایی الکتریکی از طریق یک سطح بسته با شکل دلخواه برابر با بار موجود در داخل این سطح است..

اگر یک سطح بسته دلخواه اسشارژ نقطه ای را پوشش نمی دهد q(شکل 1.4)، سپس با ساختن یک سطح مخروطی با راس در نقطه ای که بار در آن قرار دارد، سطح را تقسیم می کنیم. اسبه دو بخش: اس 1 و اس 2. جریان برداری دی در سراسر سطح اسما به عنوان مجموع جبری جریان از طریق سطوح می یابیم اس 1 و اس 2:

.

هر دو سطح از نقطه محل شارژ qدر یک زاویه ثابت قابل مشاهده است w... بنابراین جریان ها برابر هستند

از آنجایی که جریان از طریق یک سطح بسته با استفاده از ظاهر عادیبه سطح، به راحتی می توان دید که شار Ф 1D < 0, тогда как поток Ф2 بعدی> 0. شار کل Ф دی= 0. این بدان معنی است که شار بردار القایی الکتریکی از طریق یک سطح بسته با شکل دلخواه به بارهای واقع در خارج از این سطح بستگی ندارد.

اگر میدان الکتریکی توسط سیستمی از بارهای نقطه ای ایجاد شود q 1 , q 2 ,¼ , q n، که توسط یک سطح بسته پوشانده شده است اس، سپس مطابق با اصل برهم نهی، شار بردار القایی از طریق این سطح به عنوان مجموع شارهای ایجاد شده توسط هر یک از بارها تعریف می شود. شار بردار القای الکتریکی از طریق یک سطح بسته با شکل دلخواه برابر است با مجموع جبری بارهای تحت پوشش این سطح.:

لازم به ذکر است که اتهامات q iلازم نیست نقطه مانند باشد، شرط لازم این است که ناحیه باردار باید کاملاً توسط سطح پوشانده شود. اگر در فضای محدود شده توسط یک سطح بسته اس، بار الکتریکی به طور پیوسته توزیع می شود، پس باید فرض کرد که هر حجم ابتدایی d Vشارژ دارد در این حالت، در سمت راست عبارت (1.5)، جمع جبری بارها با ادغام بر روی حجم محصور در داخل سطح بسته جایگزین می شود. اس:

(1.6)

عبارت (1.6) عمومی ترین فرمولاسیون است قضیه گاوس: شار بردار القایی الکتریکی از طریق یک سطح بسته با شکل دلخواه برابر با بار کل در حجم محصور شده توسط این سطح است و به بارهای واقع در خارج از سطح مورد نظر بستگی ندارد.... قضیه گاوس را می توان برای شار بردار شدت میدان الکتریکی نیز نوشت:

.

یک ویژگی مهم میدان الکتریکی از قضیه گاوس به دست می آید: خطوط نیرو فقط با بارهای الکتریکی شروع یا پایان می یابند یا تا بی نهایت می روند... ما یک بار دیگر تاکید می کنیم که، با وجود این واقعیت که قدرت میدان الکتریکی است E و القای الکتریکی دی به مکان همه بارها در فضا بستگی دارد، شار این بردارها از طریق یک سطح بسته دلخواه اسفقط تعیین شده است آن دسته از بارهایی که در داخل سطح قرار دارند اس.

شکل دیفرانسیل قضیه گاوس.توجه داشته باشید که فرم انتگرالقضیه گاوس رابطه بین منابع میدان الکتریکی (بارها) و ویژگی های میدان الکتریکی (قدرت یا القاء) در حجم را مشخص می کند. Vدلخواه، اما برای شکل گیری روابط یکپارچه، ارزش کافی است. تقسیم حجم Vبرای حجم های کم V i، بیان را دریافت می کنیم

که هم در کل و هم برای هر اصطلاح صادق است. بیایید عبارت حاصل را به صورت زیر تبدیل کنیم:

(1.7)

و حدی را در نظر بگیرید که عبارت سمت راست برابری، محصور در پرانتزهای مجعد، به تقسیم نامحدود حجم تمایل دارد. V... در ریاضیات به این حد می گویند واگراییبردار (در این مورد، بردار القایی الکتریکی دی):

واگرایی برداری دیدر مختصات دکارتی:

بنابراین، عبارت (1.7) به شکل زیر تبدیل می شود:

.

با توجه به اینکه با تقسیم نامحدود، مجموع سمت چپ آخرین عبارت به انتگرال حجمی می رود، به دست می آوریم.

نسبت به دست آمده باید برای هر حجمی که خودسرانه انتخاب شده است، برآورده شود V... این تنها در صورتی امکان پذیر است که مقادیر انتگرال ها در هر نقطه از فضا یکسان باشند. بنابراین، واگرایی بردار دیبا تساوی به چگالی بار در همان نقطه مربوط می شود

یا برای بردار شدت میدان الکترواستاتیک

این برابری ها قضیه گاوس را بیان می کنند فرم دیفرانسیل.

توجه داشته باشید که در فرآیند عبور به شکل دیفرانسیل قضیه گاوس، رابطه ای به دست می آید که دارای ویژگی کلی است:

.

این عبارت فرمول گاوس-استروگرادسکی نامیده می شود و انتگرال بر حجم واگرایی یک بردار را با جریان این بردار از طریق سطح بسته ای که حجم را محدود می کند، متصل می کند.

سوالات

1) مفهوم فیزیکی قضیه گاوس برای میدان الکترواستاتیک در خلاء چیست؟

2) یک بار نقطه ای در مرکز مکعب وجود دارد.q... شار برداری چیست؟ E:

الف) از طریق سطح کامل مکعب؛ ب) از طریق یکی از وجوه مکعب.

آیا پاسخ ها تغییر می کند اگر:

الف) بار در مرکز مکعب نیست، بلکه در داخل آن است ; ب) بار خارج از مکعب باشد.

3) چگالی بار خطی، سطحی، حجمی چیست.

4) رابطه بین چگالی بار حجمی و سطحی را نشان دهید.

5) آیا میدانی خارج از صفحات بی نهایت موازی با بار مخالف و یکنواخت می تواند غیر صفر باشد؟

6) یک دوقطبی الکتریکی در داخل یک سطح بسته قرار می گیرد. جریان از طریق این سطح چیست

اجازه دهید مفهوم شار بردار القایی الکتریکی را معرفی کنیم. یک منطقه بی نهایت کوچک را در نظر بگیرید. در بیشتر موارد، نه تنها اندازه سایت، بلکه جهت گیری آن در فضا نیز ضروری است. بیایید مفهوم پلتفرم برداری را معرفی کنیم. اجازه دهید ما با vector-site موافق باشیم که به معنای بردار عمود بر سایت و از نظر عددی برابر با اندازه سایت باشد.

شکل 1 - به تعریف بردار - سایت

بیایید جریان برداری را صدا کنیم در سراسر سایت
حاصل ضرب نقطه ای بردارها و
... به این ترتیب،

جریان برداری از طریق یک سطح دلخواه با ادغام تمام جریان های ابتدایی پیدا می شود

(4)

اگر میدان یکنواخت و مسطح باشد عمود بر میدان واقع شده است، سپس:

. (5)

عبارت فوق تعداد خطوط نیرویی را که به سایت نفوذ می کند تعیین می کند در واحد زمان

قضیه Ostrogradsky-Gauss. واگرایی قدرت میدان الکتریکی

شار بردار القایی الکتریکی از طریق یک سطح بسته دلخواه برابر است با مجموع جبری بارهای الکتریکی آزاد توسط این سطح پوشیده شده است

(6)

عبارت (6) قضیه O-G به شکل انتگرال است. قضیه 0-D با یک اثر انتگرال (کل) عمل می کند، یعنی. اگر
معلوم نیست که آیا این به معنای عدم وجود بار در تمام نقاط قسمت مورد بررسی از فضا است یا اینکه مجموع بارهای مثبت و منفی واقع در نقاط مختلف این فضا برابر با صفر است.

برای یافتن بارهای واقع شده و بزرگی آنها برای یک میدان معین، به رابطه ای نیاز دارید که بردار القایی الکتریکی را به هم متصل کند. در یک نقطه مشخص با شارژ در همان نقطه.

فرض کنید باید وجود بار را در نقطه مشخص کنیم آ(شکل 2)

شکل 2 - برای محاسبه واگرایی برداری

ما قضیه O-G را اعمال می کنیم. شار بردار القایی الکتریکی از طریق سطح دلخواه محدود کننده حجمی که نقطه در آن قرار دارد آ، برابر است با

مجموع جبری بارها در حجم را می توان به صورت انتگرال حجمی نوشت

(7)

جایی که - شارژ در واحد حجم ;

- عنصر حجم

برای به دست آوردن ارتباط بین میدان و شارژ در نقطه آما حجم را کاهش می دهیم و سطح را به نقطه ای می کشیم آ... در این حالت هر دو طرف برابری خود را بر مقدار تقسیم می کنیم ... با عبور از حد، ما دریافت می کنیم:

.

سمت راست عبارت حاصل، طبق تعریف، چگالی بار حجمی در نقطه در نظر گرفته شده در فضا است. سمت چپ نشان دهنده حد نسبت شار بردار القایی الکتریکی از طریق یک سطح بسته به حجم محدود شده توسط این سطح در زمانی که حجم به سمت صفر می رود. این کمیت اسکالر مشخصه مهم میدان الکتریکی است و نامیده می شود بردار واگرایی .

به این ترتیب:

,

از این رو

, (8)

جایی که - چگالی بار فله

با استفاده از این نسبت، مشکل معکوس الکترواستاتیک به سادگی حل می شود، یعنی. یافتن هزینه های توزیع شده در یک میدان شناخته شده

اگر بردار داده می شود، سپس پیش بینی های آن مشخص می شود
,
,
بر روی محورهای مختصات به عنوان تابعی از مختصات و برای محاسبه چگالی توزیع شده بارهایی که یک میدان معین را ایجاد کرده است، برای یافتن مجموع سه مشتق جزئی این پیش بینی ها با توجه به متغیرهای مربوطه کافی است. در آن نقاطی که برای آن
بدون هزینه در نقاطی که
مثبت است، یک بار مثبت با چگالی ظاهری برابر است
، و در آن نقاطی که
یک مقدار منفی خواهد داشت، یک بار منفی وجود دارد که چگالی آن نیز با مقدار واگرایی تعیین می شود.

عبارت (8) قضیه 0-Г را به صورت دیفرانسیل نشان می دهد. در این شکل قضیه نشان می دهد که منابع میدان الکتریکی بارهای الکتریکی آزاد هستند.خطوط نیروی بردار القایی الکتریکی به ترتیب با بارهای مثبت و منفی شروع و پایان می یابد.

دشوارترین آنها مطالعه پدیده های الکتریکی در یک محیط الکتریکی ناهمگن است. در چنین محیطی، ε مقادیر متفاوتی دارد، که به طور ناگهانی در مرز دی الکتریک تغییر می کند. فرض کنید که ما قدرت میدان را در سطح مشترک بین دو رسانه تعیین می کنیم: ε 1 = 1 (خلاء یا هوا) و ε 2 = 3 (مایع - روغن). در فصل مشترک در انتقال از خلاء به دی الکتریک، قدرت میدان سه بار کاهش می یابد، و شار بردار قدرت به همان مقدار کاهش می یابد (شکل 12.25، a). تغییر ناگهانی در بردار قدرت میدان الکترواستاتیک در سطح مشترک بین دو رسانه، مشکلات خاصی را در محاسبه میدان ها ایجاد می کند. در مورد قضیه گاوس، در این شرایط کاملاً معنای خود را از دست می دهد.

از آنجایی که قطبش پذیری و قدرت دی الکتریک های غیرمشابه متفاوت است، تعداد خطوط نیرو در هر دی الکتریک نیز متفاوت خواهد بود. این مشکل را می توان با معرفی یک مشخصه فیزیکی جدید از میدان حذف کرد - القای الکتریکی D (یا بردار جابجایی الکتریکی ).

طبق فرمول

ε 1 Е 1 = ε 2 Е 2 = Е 0 = ثابت

با ضرب تمام قسمت های این برابری ها در ثابت الکتریکی ε 0 به دست می آوریم

ε 0 ε 1 Е 1 = ε 0 ε 2 Е 2 = ε 0 ا 0 ​​= ثابت

نماد ε 0 εΕ = D را معرفی می کنیم سپس رابطه ماقبل آخر شکل می گیرد

D 1 = D 2 = D 0 = ثابت

بردار D برابر با حاصلضرب شدت میدان الکتریکی در دی الکتریک و ثابت دی الکتریک مطلق آن، نامیده می شود.بردار جابجایی الکتریکی

(12.45)

واحد جابجایی الکتریکی - آویز در هر متر مربع(Cl / m 2).

جابجایی الکتریکی یک کمیت برداری است، همچنین می توان آن را به صورت بیان کرد

D = εε 0 E = (1 + χ) ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E + P

(12.46)

برخلاف قدرت E، جابجایی الکتریکی D در تمام دی الکتریک ها ثابت است (شکل 12.25، ب). بنابراین، میدان الکتریکی در یک محیط دی الکتریک ناهمگن به راحتی نه با قدرت E، بلکه با بردار جابجایی D مشخص می شود. بردار D میدان الکترواستاتیک ایجاد شده توسط بارهای آزاد (یعنی در خلاء) را توصیف می کند، اما با چنین توزیعی در فضا که در حضور دی الکتریک وجود دارد، زیرا بارهای محدود ناشی از دی الکتریک می تواند باعث توزیع مجدد بارهای آزاد شود که ایجاد می کند. میدان

فیلد برداری با خطوط جابجایی الکتریکی به همان شکل یک میدان رسم می شود با خطوط نیرو به تصویر کشیده شده است.

خط جابجایی برق - اینها خطوط، مماس هایی هستند که در هر نقطه از جهت با بردار جابجایی الکتریکی منطبق است.

خطوط بردار E می توانند با هر بار شارژ شروع و پایان دهند - آزاد و محدود، در حالی که خطوط برداردی- فقط با هزینه های رایگان. خطوط برداریدیبر خلاف خطوط کشش، آنها پیوسته هستند.

از آنجایی که بردار جابجایی الکتریکی در سطح مشترک بین دو رسانه ناپیوستگی را تجربه نمی کند، تمام خطوط القایی ناشی از بارهایی که توسط سطح بسته احاطه شده اند به آن نفوذ می کنند. بنابراین، برای بردار جابجایی الکتریکی، قضیه گاوس به طور کامل معنای خود را برای یک محیط دی الکتریک ناهمگن حفظ می کند.

قضیه گاوس برای میدان الکترواستاتیک در دی الکتریک : شار بردار جابجایی الکتریکی از طریق یک سطح بسته دلخواه برابر است با مجموع جبری بارهای موجود در این سطح.

(12.47)

قانون برهمکنش بارهای الکتریکی - قانون کولن - را می توان به شکلی متفاوت، در قالب قضیه گاوس، فرموله کرد. قضیه گاوس در نتیجه قانون کولن و اصل برهم نهی به دست می آید. اثبات بر اساس تناسب معکوس نیروی برهمکنش دو بار نقطه ای با مجذور فاصله بین آنها است. بنابراین، قضیه گاوس برای هر میدان فیزیکی که قانون مربع معکوس و اصل برهم نهی اعمال می‌شود، به عنوان مثال، برای یک میدان گرانشی قابل اجرا است.

برنج. 9. خطوط شدت میدان الکتریکی بار نقطه ای که از سطح بسته X عبور می کنند

برای فرمول‌بندی قضیه گاوس، اجازه دهید به تصویر خطوط نیروی میدان الکتریکی یک بار نقطه‌ای ثابت برگردیم. خطوط نیروی بار نقطه ای منفرد، خطوط مستقیم شعاعی به طور متقارن مرتب شده اند (شکل 7). هر تعداد از این خطوط را می توان ترسیم کرد. اجازه دهید تعداد کل آنها را از طریق نشان دهیم سپس چگالی خطوط نیرو در فاصله ای از بار، یعنی تعداد خطوطی که از سطح واحد کره شعاع عبور می کنند، مقایسه این رابطه با بیان شدت میدان یک است. بار نقطه ای (4)، می بینیم که چگالی خطوط با شدت میدان متناسب است. با انتخاب مناسب تعداد کل خطوط نیروی N می توانیم این مقادیر را به صورت عددی برابر کنیم:

بنابراین، سطح کره ای با هر شعاع که بار نقطه ای را در بر می گیرد، به همان تعداد خطوط نیرو را قطع می کند. این بدان معنی است که خطوط نیرو پیوسته هستند: در فاصله بین هر دو کره متحدالمرکز با شعاع های مختلف، هیچ یک از خطوط قطع نمی شود و هیچ خط جدیدی اضافه نمی شود. از آنجایی که خطوط نیرو پیوسته هستند، به همان تعداد خطوط نیرو هر سطح بسته را قطع می کند (شکل 9) و بار را پوشش می دهد.

خطوط نیرو جهت دارند. همانطور که در شکل نشان داده شده است، در مورد بار مثبت، آنها از سطح بسته اطراف بار خارج می شوند. 9. در صورت بار منفی وارد سطح داخلی می شوند. اگر تعداد خطوط خروجی مثبت و تعداد خطوط ورودی منفی در نظر گرفته شود، در فرمول (8) می توانیم علامت مدول بار را حذف کرده و به شکل بنویسیم.

جریان تنش.اجازه دهید اکنون مفهوم شار بردار قدرت میدان را از طریق سطح معرفی کنیم. یک میدان دلخواه را می توان از نظر ذهنی به مناطق کوچکی تقسیم کرد، که در آن شدت در بزرگی و جهت آن چنان کم تغییر می کند که در این ناحیه میدان را می توان یکنواخت در نظر گرفت. در هر یک از این ناحیه ها، خطوط نیرو، خطوط مستقیم موازی هستند و چگالی ثابتی دارند.

برنج. 10. برای تعیین شار بردار شدت میدان از طریق سایت

اجازه دهید در نظر بگیریم که چند خط نیرو در یک منطقه کوچک نفوذ می کند، جهت نرمال که زاویه ای را با جهت خطوط کشش تشکیل می دهد (شکل 10). اجازه دهید یک برآمدگی بر روی صفحه عمود بر خطوط نیرو باشد. از آنجایی که تعداد خطوطی که از یکسان عبور می کنند و چگالی خط، طبق شرایط پذیرفته شده، برابر است با مدول شدت میدان E، پس

کمیت a نمایش بردار E بر روی جهت نرمال به محل است

بنابراین، تعداد خطوط نیرویی که از سایت عبور می کند، می باشد

حاصلضرب را شار شدت میدان از سطح می نامند فرمول (10) نشان می دهد که شار بردار E در سطح برابر است با تعداد خطوط نیرویی که از این سطح عبور می کند. توجه داشته باشید که شار بردار شدت و همچنین تعداد خطوط نیرویی که از سطح می گذرد، اسکالر است.

برنج. 11. جریان بردار شدت E از طریق سایت

وابستگی جریان به جهت سایت نسبت به خطوط نیرو در شکل 1 نشان داده شده است.

شار شدت میدان از طریق یک سطح دلخواه، مجموع شارهایی است که از طریق مناطق ابتدایی که این سطح را می توان به آنها تقسیم کرد. با توجه به روابط (9) و (10)، می توان استدلال کرد که شار شدت میدان بار نقطه ای از طریق هر سطح بسته 2 که بار را محصور کرده است (نگاه کنید به شکل 9)، به عنوان تعداد خطوط نیروی ظاهر می شود. از این سطح برابر است در این صورت بردار نرمال به نواحی ابتدایی سطح بسته باید به سمت بیرون هدایت شود. اگر بار داخل سطح منفی باشد، خطوط نیرو به داخل این سطح وارد شده و شار بردار شدت میدان مرتبط با بار نیز منفی است.

اگر چندین بار در داخل یک سطح بسته وجود داشته باشد، مطابق با اصل برهم نهی، جریان های قدرت میدان آنها جمع می شود. شار کل برابر خواهد بود با جایی که باید به عنوان مجموع جبری تمام بارهای داخل سطح درک شود.

اگر هیچ بار الکتریکی در داخل یک سطح بسته وجود نداشته باشد، یا مجموع جبری آنها برابر با صفر باشد، کل شار شدت میدان در این سطح صفر است: چند خط نیرو وارد حجم محدود شده توسط سطح می شود، همان مقدار می رود. بیرون

اکنون می‌توانیم در نهایت قضیه گاوس را فرمول‌بندی کنیم: شار بردار شدت میدان الکتریکی E در خلاء از هر سطح بسته متناسب با بار کل داخل این سطح است. از نظر ریاضی، قضیه گاوس با همان فرمول (9) بیان می‌شود که منظور از مجموع جبری بارها است. در الکترواستاتیک مطلق

سیستم واحدهای CGSE، ضریب و قضیه گاوس به شکل نوشته شده است

در SI و جریان کشش از یک سطح بسته با فرمول بیان می شود

قضیه گاوس به طور گسترده در الکترواستاتیک استفاده می شود. در برخی موارد، می توان از آن برای محاسبه آسان فیلدهای ایجاد شده توسط بارهای متقارن استفاده کرد.

فیلدهای منبع متعادلاجازه دهید قضیه گاوس را برای محاسبه شدت میدان الکتریکی یک کره با شعاع یکنواخت بر روی سطح اعمال کنیم. برای قطعیت، بار آن را مثبت در نظر می گیریم. توزیع بارهایی که میدان را ایجاد می کنند دارای تقارن کروی است. بنابراین، میدان نیز دارای همان تقارن است. خطوط نیروی چنین میدانی در امتداد شعاع ها هدایت می شوند و مدول شدت در تمام نقاطی که از مرکز توپ فاصله دارند یکسان است.

برای یافتن قدرت میدان در فاصله ای از مرکز توپ، به صورت ذهنی یک سطح کروی به شعاع متحدالمرکز با توپ رسم کنید. از آنجایی که در تمام نقاط این کره، قدرت میدان عمود بر سطح آن است و در یکسان است. قدر، شار شدت به سادگی برابر با حاصل ضرب قدرت میدان توسط سطح کره است:

اما این کمیت را می توان با استفاده از قضیه گاوس نیز بیان کرد. اگر به میدان خارج از توپ علاقه مند باشیم، یعنی برای آن زمان، برای مثال، در SI و در مقایسه با (13)، متوجه می شویم

در سیستم واحدهای CGSE بدیهی است که

بنابراین، در خارج از توپ، قدرت میدان برابر است با میدان بار نقطه ای که در مرکز توپ قرار گرفته است. اگر به میدان داخل توپ علاقه مند باشیم، یعنی چه زمانی، پس از آنجایی که کل بار توزیع شده روی سطح توپ خارج از کره است، ذهنی ترسیم می کنیم. بنابراین، هیچ میدانی در داخل توپ وجود ندارد:

به طور مشابه، با استفاده از قضیه گاوس، می توانید میدان الکترواستاتیک ایجاد شده توسط یک بار بی نهایت را محاسبه کنید.

صفحه ای با چگالی ثابت در تمام نقاط صفحه. به دلایل تقارن، می‌توان فرض کرد که خطوط نیرو بر صفحه عمود هستند و از آن در هر دو جهت هدایت می‌شوند و در همه جا چگالی یکسان دارند. در واقع، اگر چگالی خطوط نیرو در نقاط مختلف متفاوت بود، حرکت صفحه باردار در امتداد خود منجر به تغییر میدان در این نقاط می‌شود که با تقارن سیستم در تضاد است - چنین تغییری نباید تغییر زمینه به عبارت دیگر، میدان یک صفحه بی نهایت با بار یکنواخت یکنواخت است.

به عنوان یک سطح بسته برای اعمال قضیه گاوس، سطح استوانه ای را انتخاب می کنیم که به صورت زیر ساخته شده است: ژنراتیکس استوانه موازی با خطوط نیرو است و پایه ها دارای مناطقی موازی با صفحه باردار هستند و در مقابل قرار می گیرند. طرفین آن (شکل 12). شار قدرت میدان از طریق سطح جانبی صفر است، بنابراین کل شار از طریق سطح بسته برابر است با مجموع شار از طریق پایه سیلندر:

برنج. 12. برای محاسبه قدرت میدان یک هواپیما با بار یکنواخت

با توجه به قضیه گاوس، شار یکسان با بار آن قسمت از صفحه که در داخل استوانه قرار دارد تعیین می شود و در SI برابر است.با مقایسه این عبارات برای شار، متوجه می شویم

در سیستم CGSE، قدرت میدان یک صفحه بی نهایت باردار یکنواخت با فرمول داده می شود

برای یک صفحه باردار یکنواخت با ابعاد محدود، عبارات به‌دست‌آمده تقریباً در ناحیه‌ای که به اندازه کافی دور از لبه‌های صفحه قرار دارد و از سطح آن فاصله زیادی ندارد معتبر هستند. در نزدیکی لبه های صفحه، میدان دیگر یکنواخت نخواهد بود و خطوط نیروی آن خم می شوند. در فواصل بسیار زیاد در مقایسه با ابعاد صفحه، میدان با فاصله کاهش می‌یابد مانند میدان بار نقطه‌ای.

به عنوان نمونه‌های دیگری از میدان‌های ایجاد شده توسط منابع توزیع متقارن، می‌توان به میدان یک رشته بی‌نهایت مستطیل که به طور یکنواخت در طول طول، میدان یک استوانه دایره‌ای بی‌نهایت باردار یکنواخت، میدان یک توپ، اشاره کرد.

یکنواخت بر حجم و غیره. قضیه گاوس این امکان را فراهم می کند که به راحتی قدرت میدان را در همه این موارد محاسبه کنید.

قضیه گاوس ارتباطی بین میدان و منابع آن ایجاد می‌کند، به یک معنا، برخلاف آنچه که قانون کولن را ارائه می‌دهد، که به شما امکان می‌دهد میدان الکتریکی را برای بارهای معین تعیین کنید. با استفاده از قضیه گاوس، می توان بار کل را در هر ناحیه ای از فضا که توزیع میدان الکتریکی در آن مشخص است، تعیین کرد.

تفاوت بین مفاهیم عمل دوربرد و کوتاه برد هنگام توصیف برهمکنش بارهای الکتریکی چیست؟ تا چه حد می توان این مفاهیم را برای برهمکنش گرانشی به کار برد؟

شدت میدان الکتریکی چیست؟ وقتی آن را مشخصه قدرت میدان الکتریکی می نامند، منظورشان چیست؟

چگونه می توان جهت و مدول قدرت میدان را در یک نقطه معین از روی الگوی خطوط میدان قضاوت کرد؟

آیا خطوط نیروی میدان الکتریکی می توانند قطع شوند؟ دلیل این جواب خود را بیان کنید.

یک تصویر کیفی از خطوط نیروی میدان الکترواستاتیک دو بار رسم کنید به طوری که.

شار شدت میدان الکتریکی از طریق یک سطح بسته با فرمول های مختلف (11) و (12) در سیستم های واحدهای GSE و در SI بیان می شود. چگونه می توان این را با معنای هندسی جریان، که توسط تعداد خطوط نیرویی که از سطح عبور می کنند، تطبیق داد؟

چگونه می توان از قضیه گاوس برای یافتن قدرت میدان الکتریکی با توزیع متقارن بارهایی که آن را ایجاد می کند استفاده کرد؟

چگونه می توان از فرمول (14) و (15) برای محاسبه شدت میدان یک کره با بار منفی استفاده کرد؟

قضیه گاوس و هندسه فضای فیزیکی.بیایید به اثبات قضیه گاوس از دیدگاهی کمی متفاوت نگاه کنیم. اجازه دهید به فرمول (7) بازگردیم، که از آن به این نتیجه رسیدیم که همان تعداد خطوط نیرو از هر سطح کروی اطراف بار عبور می کند. این نتیجه گیری به این دلیل است که در مخرج دو طرف برابری کاهش می یابد.

سمت راست به دلیل این واقعیت به وجود آمد که نیروی برهمکنش بارها، که توسط قانون کولن توضیح داده شده است، با مجذور فاصله بین بارها نسبت معکوس دارد. در سمت چپ، ظاهر با هندسه مرتبط است: مساحت سطح یک کره با مربع شعاع آن متناسب است.

تناسب سطح به مربع با ابعاد خطی، مشخصه هندسه اقلیدسی در فضای سه بعدی است. در واقع، تناسب مساحت ها دقیقاً با مربع هایی با ابعاد خطی، و نه با هیچ درجه صحیح دیگری، مشخصه فضا است.

سه بعدی این که این توان دقیقاً دو است و با دو تفاوتی ندارد، حتی به مقدار ناچیز، گواه بر عدم انحنای این فضای سه بعدی است، یعنی هندسه آن دقیقاً اقلیدسی است.

بنابراین، قضیه گاوس جلوه‌ای از ویژگی‌های فضای فیزیکی در قانون اساسی برهمکنش بارهای الکتریکی است.

ایده ارتباط نزدیک بین قوانین اساسی فیزیک و ویژگی های فضا توسط بسیاری از ذهن های برجسته مدت ها قبل از ایجاد خود این قوانین بیان شده بود. بنابراین، ای. کانت سه دهه قبل از کشف قانون کولن در مورد ویژگی های فضا نوشت: «سه بعدی بودن ظاهراً به این دلیل رخ می دهد که مواد موجود در جهان موجود به گونه ای بر یکدیگر عمل می کنند که نیروی عمل معکوس است. متناسب با مجذور فاصله."

قانون کولن و قضیه گاوس در واقع بیانگر همان قانون طبیعت هستند که به اشکال مختلف بیان شده است. قانون کولن مفهوم کنش دوربرد را منعکس می‌کند، در حالی که قضیه گاوس از مفهوم میدان نیرویی که فضا را پر می‌کند، یعنی از مفهوم کنش کوتاه برد ناشی می‌شود. در الکترواستاتیک، منبع میدان نیرو یک بار است و مشخصه میدان مرتبط با منبع - جریان شدت - نمی تواند در فضای خالی، جایی که بارهای دیگری وجود ندارد، تغییر کند. از آنجایی که جریان را می توان به عنوان مجموعه ای از خطوط میدان نیرو تجسم کرد، تغییر ناپذیری جریان خود را در تداوم این خطوط نشان می دهد.

قضیه گاوس، بر اساس تناسب معکوس برهمکنش با مجذور فاصله و بر اساس اصل برهم نهی (افزایش برهمکنش)، برای هر میدان فیزیکی که قانون مربع معکوس در آن عمل می کند، قابل اجرا است. به ویژه، برای میدان گرانشی نیز معتبر است. واضح است که این فقط یک تصادف تصادفی نیست، بلکه بازتابی از این واقعیت است که هر دو فعل و انفعالات الکتریکی و گرانشی در فضای فیزیکی سه بعدی اقلیدسی در حال انجام هستند.

قضیه گاوس بر کدام ویژگی قانون برهمکنش بارهای الکتریکی استوار است؟

بر اساس قضیه گاوس ثابت کنید که شدت میدان الکتریکی بار نقطه ای با مجذور فاصله نسبت عکس دارد. در این اثبات از چه ویژگی های تقارن فضا استفاده شده است؟

هندسه فضای فیزیکی در قانون کولن و قضیه گاوس چگونه منعکس می شود؟ کدام ویژگی این قوانین بر ماهیت اقلیدسی هندسه و سه بعدی بودن فضای فیزیکی گواهی می دهد؟