تعریف.

اگر عناصر ماتریس به سیستمی با غلبه مورب در یک ردیف گفته می شودارضای نابرابری ها:

نابرابری ها به این معنی است که در هر ردیف از ماتریس عنصر مورب برجسته می شود: مدول آن بزرگتر از مجموع مدول های همه عناصر دیگر همان ردیف است.

قضیه

یک سیستم با تسلط مورب همیشه قابل حل است و علاوه بر این، به روشی منحصر به فرد.

سیستم همگن مربوطه را در نظر بگیرید:

فرض کنید یک راه حل غیر ضروری دارد اجازه دهید جزء این راه حل با بزرگترین مدول با شاخص مطابقت داشته باشد
، یعنی

,
,
.

بیایید بنویسیم - معادله سیستم به شکل

و مدول دو طرف این برابری را بگیرید. در نتیجه، دریافت می کنیم:

کاهش نابرابری با یک عامل
، که با توجه به صفر برابر نیست، با نابرابری بیانگر تسلط مورب به تضاد می رسیم. تناقض حاصل به ما اجازه می دهد تا به طور مداوم سه گزاره را بیان کنیم:

آخرین آنها به معنای کامل بودن اثبات قضیه است.

سیستم‌هایی با ماتریس سه‌ضلعی. روش جارو زدن.

هنگام حل بسیاری از مسائل، باید با سیستم های معادلات خطی به شکل زیر سر و کار داشت:

,
,

جایی که ضرایب
، سمت راست
همراه با اعداد شناخته شده است و ... از روابط اضافی اغلب به عنوان شرایط مرزی برای سیستم یاد می شود. در بسیاری از موارد، آنها می توانند پیچیده تر باشند. برای مثال:

;
,

جایی که
- اعداد داده شده با این حال، برای اینکه ارائه را پیچیده نکنیم، خود را به ساده ترین شکل شرایط اضافی محدود می کنیم.

بهره گیری از این واقعیت که ارزش ها و داده شده است، سیستم را به شکل زیر بازنویسی می کنیم:

ماتریس این سیستم دارای ساختار سه قطری است:

این به لطف روش خاصی به نام روش جارو کردن، راه حل سیستم را تا حد زیادی ساده می کند.

این روش بر این فرض استوار است که مجهولات مجهول است و
مرتبط با رابطه عود

,
.

در اینجا مقادیر
,
، که ضرایب جابجایی نامیده می شود، باید بر اساس شرایط مسئله تعیین شود. در واقع، چنین رویه ای به معنای جایگزینی تعریف مستقیم مجهولات است وظیفه تعیین ضرایب در حال اجرا با محاسبه بعدی مقادیر .

برای پیاده سازی برنامه توصیف شده، با استفاده از رابطه بیان می کنیم
در سراسر
:

و جایگزین
و بیان شده بر حسب
، وارد معادلات اصلی شود. در نتیجه، دریافت می کنیم:

روابط اخیر قطعا محقق خواهد شد و علاوه بر این، بدون توجه به راه حل، اگر ما آن را برای آن نیاز داشته باشیم
برابری ها اتفاق افتاد:

بنابراین روابط عود برای ضرایب جابجایی به شرح زیر است:

,
,
.

شرط مرزی چپ
و نسبت
اگر قرار دهیم سازگار هستند

مقادیر باقیمانده ضرایب رفت و برگشت
و
از را پیدا می کنیم که مرحله محاسبه ضرایب در حال اجرا را کامل می کند.

بقیه مجهولات را می توان از اینجا پیدا کرد.
در فرآیند اجرای مجدد با استفاده از یک فرمول بازگشتی.

تعداد عملیات مورد نیاز برای حل یک سیستم کلی به روش گاوسی با افزایش افزایش می یابد به طور متناسب ... روش جارو به دو چرخه کاهش می یابد: ابتدا ضرایب جارو با استفاده از فرمول ها محاسبه می شود، سپس با کمک آنها، اجزای حل سیستم با استفاده از فرمول های مکرر پیدا می شوند. ... این بدان معنی است که با افزایش اندازه سیستم، تعداد عملیات حسابی به طور متناسب رشد خواهد کرد ، اما نه ... بنابراین، روش جاروب در محدوده کاربرد احتمالی آن به طور قابل توجهی مقرون به صرفه تر است. به این باید سادگی خاص اجرای نرم افزار آن بر روی کامپیوتر را نیز اضافه کرد.

در بسیاری از مسائل کاربردی که منجر به SLAE با ماتریس سه‌ضلعی می‌شوند، ضرایب آن نابرابری‌ها را برآورده می‌کنند:

که خاصیت تسلط مورب را بیان می کنند. به طور خاص، چنین سیستم هایی را در فصل سوم و پنجم خواهیم یافت.

با توجه به قضیه بخش قبل، حل چنین سیستم هایی همیشه وجود دارد و منحصر به فرد است. آنها همچنین بیانیه ای دارند که برای محاسبه واقعی راه حل با استفاده از روش Sweep مهم است.

لما

اگر شرط تسلط مورب برای سیستمی با ماتریس سه‌ضلعی برآورده شود، ضرایب جابجایی نابرابری‌ها را برآورده می‌کنند:

ما اثبات را با استقرا انجام می دهیم. مطابق با
، یعنی در
لم درست است بگذارید اکنون فرض کنیم که درست است و در نظر بگیرید
:

بنابراین، القاء از به
مستدل، که اثبات لم را کامل می کند.

نابرابری برای ضرایب رفت و برگشت دویدن را پایدار می کند در واقع، فرض کنید که جزء محلول در نتیجه روند گرد کردن، با مقداری خطا محاسبه شد. سپس، هنگام محاسبه جزء بعدی
با توجه به فرمول بازگشتی، این خطا به دلیل نابرابری، افزایش نمی یابد.

غیرتجانس بودن ماتریس ها و خاصیت سلطه قطری1

Cvetkovic Liliana - استاد، گروه ریاضیات و انفورماتیک، دانشکده علوم، دانشگاه نووی ساد، صربستان، Obradovic 4، Novi Sad، صربستان، 21000، ایمیل: [ایمیل محافظت شده]

Kostic Vladimir - استادیار، دکتر، گروه ریاضیات و انفورماتیک، دانشکده علوم، دانشگاه نووی ساد، صربستان، Obradovic 4، 21000، نووی ساد، صربستان، ایمیل: [ایمیل محافظت شده]

کروکیر لو آبراموویچ - دکترای علوم فیزیکی و ریاضی، پروفسور، رئیس گروه محاسبات با کارایی بالا و فناوری‌های اطلاعات و ارتباطات، مدیر مرکز منطقه‌ای روسیه جنوبی برای اطلاع‌رسانی دانشگاه فدرال جنوبی، خیابان Stachki 200/1، bldg . 2, Rostov-on-Don, 344090, پست الکترونیکی: [ایمیل محافظت شده] ru.

Cvetkovic Ljiljana - استاد، گروه ریاضیات و انفورماتیک، دانشکده علوم، دانشگاه نووی ساد، صربستان، D. Obradovica 4، نووی ساد، صربستان، 21000، ایمیل: [ایمیل محافظت شده]

Kostic Vladimir - استادیار، گروه ریاضیات و انفورماتیک، دانشکده علوم، دانشگاه نووی ساد، صربستان، D. Obradovica 4، نووی ساد، صربستان، 21000، ایمیل: [ایمیل محافظت شده]

Krukier Lev Abramovich - دکترای علوم فیزیکی و ریاضی، پروفسور، رئیس بخش محاسبات با عملکرد بالا و فناوری‌های اطلاعات و ارتباطات، مدیر مرکز کامپیوتر دانشگاه فدرال جنوبی، خیابان Stachki، 200/1، بیلد. 2، Rostov-on-Don، روسیه، 344090، ایمیل: [ایمیل محافظت شده] ru.

تسلط مورب در یک ماتریس یک شرط ساده برای عدم انحطاط آن است. ویژگی‌های ماتریسی که مفهوم تسلط مورب را تعمیم می‌دهند، همیشه تقاضای زیادی دارند. آنها به عنوان شرایطی مانند تسلط مورب در نظر گرفته می شوند و به تعریف زیر کلاس های ماتریس ها (مانند ماتریس های H) کمک می کنند، که تحت این شرایط غیر منحط باقی می مانند. در این مقاله، کلاس‌های جدیدی از ماتریس‌های غیر منحط ساخته می‌شوند که مزایای برتری مورب را حفظ می‌کنند، اما خارج از کلاس ماتریس‌های H باقی می‌مانند. این ویژگی‌ها به‌ویژه راحت هستند، زیرا بسیاری از کاربردها به ماتریس‌هایی از این کلاس منتهی می‌شوند، و تئوری عدم انحطاط ماتریس‌هایی که ماتریس H نیستند اکنون قابل گسترش است.

کلیدواژه ها: تسلط مورب، عدم انحطاط، پوسته پوسته شدن.

در حالی که شرایط ساده ای که غیرتکینگی ماتریس ها را تضمین می کند همیشه بسیار مورد استقبال قرار می گیرد، بسیاری از آنها که می توانند به عنوان نوعی تسلط مورب در نظر گرفته شوند تمایل به تولید زیر کلاس های یک ماتریس H شناخته شده دارند. در این مقاله ما یک کلاس جدید از ماتریس‌های غیر منفرد می‌سازیم که سودمندی تسلط مورب را حفظ می‌کنند، اما در یک رابطه کلی با کلاس ماتریس‌های H قرار دارند. این ویژگی به ویژه مطلوب است، زیرا بسیاری از کاربردهایی که از نظریه ماتریس H ناشی می شوند اکنون می توانند گسترش یابند.

کلیدواژه‌ها: تسلط مورب، غیرتکینگی، تکنیک مقیاس‌بندی.

حل عددی مسائل ارزش مرزی فیزیک ریاضی، به عنوان یک قاعده، مسئله اصلی را به حل یک سیستم معادلات جبری خطی کاهش می دهد. هنگام انتخاب یک الگوریتم راه حل، باید بدانیم که آیا ماتریس اصلی غیر منحط است؟ علاوه بر این، مسئله عدم انحطاط ماتریس مرتبط است، به عنوان مثال، در تئوری همگرایی روش های تکراری، محلی سازی مقادیر ویژه، هنگام ارزیابی عوامل تعیین کننده، ریشه های پیش بند، شعاع طیفی، مقادیر منفرد یک ماتریس، و غیره.

توجه داشته باشید که یکی از ساده ترین، اما بسیار مفیدترین شرایط برای حصول اطمینان از اینکه یک ماتریس انحطاط ندارد، خاصیت غالب شناخته شده دقیق مورب (و ارجاعات موجود در آن) است.

قضیه 1. اجازه دهید یک ماتریس A = e Cnxn به گونه ای داده شود که

s> z (a): = S k l، (1)

برای همه i ∈ N: = (1،2، ... n).

سپس ماتریس A غیر منحط است.

ماتریس های دارای خاصیت (1) ماتریس هایی با غلبه مورب شدید نامیده می شوند

(ماتریس 8BB). تعمیم طبیعی آنها کلاس ماتریس های غالب مورب تعمیم یافته (GDB) است که به صورت زیر تعریف می شود:

تعریف 1. یک ماتریس A = [a ^] e Cnxn اگر یک ماتریس مورب غیر منحط W وجود داشته باشد به طوری که AW یک ماتریس 8BB باشد، ماتریس BB نامیده می شود.

اجازه دهید چندین تعریف برای ماتریس معرفی کنیم

A = [ay] e Cnxn.

تعریف 2. ماتریس (A) = [در زدن]، تعریف شده است

(A) = e Cn

ماتریس مقایسه ماتریس A نامیده می شود.

تعریف 3. ماتریس A = e C

\ üj> 0، i = j

یک ماتریس M است اگر

aj< 0, i * j,

تشک معکوس-

ماتریس A "> 0، یعنی همه عناصر آن مثبت هستند.

بدیهی است که ماتریس های کلاس VBB نیز ماتریس های غیرمنحط هستند و می توانند باشند

1این کار تا حدی توسط وزارت آموزش و پرورش صربستان، کمک هزینه 174019، و وزارت علوم و توسعه فناوری وویودینا، کمک های مالی 2675 و 01850 حمایت شد.

در ادبیات تحت نام ماتریس های H غیر دژنره یافت می شود. آنها را می توان با استفاده از شرایط لازم و کافی زیر تعیین کرد:

قضیه 2. ماتریس A = [ay] e و H- است.

ماتریس اگر و تنها در صورتی که ماتریس مقایسه آن یک ماتریس M غیر منحط باشد.

در حال حاضر، بسیاری از زیر کلاس‌های ماتریس‌های H غیر منحط قبلاً مورد مطالعه قرار گرفته‌اند، اما همه آن‌ها از نقطه نظر تعمیم خاصیت تسلط کاملاً مورب در نظر گرفته شده‌اند (نگاه کنید به و مراجع در آنجا).

در این مقاله، امکان فراتر رفتن از کلاس ماتریس‌های H را با تعمیم کلاس 8BB به روشی متفاوت در نظر می‌گیریم. ایده اصلی این است که به استفاده از رویکرد مقیاس‌بندی ادامه دهید، اما با ماتریس‌هایی که مورب نیستند.

ماتریس A = [ay] e cnxn و شاخص را در نظر بگیرید

ماتریس را معرفی می کنیم

r (A): = £ a R (A): = £

ßk (A): = £ و yk (A): = aü - ^

به راحتی می توان بررسی کرد که عناصر ماتریس bk Abk شکل زیر را دارند:

ßk (A)، Y k (A)، akj،

i = j = k، i = j * k،

i = k، j * k، i * k، j = k،

A inöaeüiüö neö ^ äyö.

اگر قضیه 1 را به ماتریس bk Abk1 که در بالا توضیح داده شد اعمال کنیم و آن را جابه‌جا کنیم، دو قضیه اصلی به دست می‌آید.

قضیه 3. اجازه دهید هر ماتریسی داده شود

A = [ay] e cnxn با عناصر مورب غیر صفر. اگر k ∈ N وجود داشته باشد به طوری که > Γk (A)، و برای هر r ∈ N \ (k)،

پس ماتریس A غیر دژنره است.

قضیه 4. اجازه دهید هر ماتریسی داده شود

A = [ay] e cnxn با عناصر مورب غیر صفر. اگر k e N وجود داشته باشد که> Hk (A)، و برای هر r e N \ (k)،

سپس ماتریس A غیر منحط است. یک سوال طبیعی در مورد رابطه بین

ماتریس هایی از دو قضیه قبلی: b ^ - ماتریس های BOO (تعریف شده با فرمول (5)) و

Bk - ماتریس های BOO (تعریف شده با فرمول (6)) و کلاس ماتریس های H. مثال ساده زیر این را روشن می کند.

مثال. 4 ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

و ماتریس bk Abk، k ∈ N را شبیه به A اصلی در نظر بگیرید. اجازه دهید شرایطی را پیدا کنیم که این ماتریس دارای ویژگی یک ماتریس SDD (با ردیف یا ستون) باشد.

در سراسر مقاله برای r، k eN: = (1،2، ... /؟) از نماد استفاده خواهیم کرد:

2 2 1 1 3 -1 1 1 1

" 2 11 -1 2 1 1 2 3

2 1 1 1 2 -1 1 1 5

قضایای غیر انحطاط

همه آنها منحط نیستند:

A1 b - BOO است، علیرغم این واقعیت که bk نیست - BOO برای هر k = (1،2،3). همچنین یک ماتریس H نیست، زیرا (A ^ 1 غیر منفی نیست.

به دلیل تقارن، A2 به طور همزمان LR - BOO و L است<2 - БОО, так же как ЬЯ - БОО и

ب<3 - БОО, но не является Н-матрицей, так как (А2) вырожденная;

A3 b9 - BOO است، اما هیچکدام نیست

Lr - SDD (برای k = (1،2،3))، و نه یک ماتریس H، زیرا (A3 ^ نیز منحط است.

A4 یک ماتریس H است زیرا (A ^ غیر منحط است و ^ A4) 1> 0، اگرچه برای هر k = (1،2،3) نه LR - SDD است و نه Lk - SDD.

شکل رابطه کلی بین

Lr - SDD، Lk - SDD و H-ماتریس همراه با ماتریس های مثال قبلی.

رابطه بین lR - SDD، lC - SDD و

جهنم دقیقه (| au - r (A) |) "

شروع با نابرابری

و با اعمال این نتیجه بر روی ماتریس bk Ab ^، بدست می آوریم

قضیه 5. اجازه دهید یک ماتریس دلخواه A = [a--] e Cnxn با عناصر مورب غیر صفر داده شود.

پلیس ها اگر A متعلق به کلاس - BOO باشد، پس

1 + حداکثر ^ i * k \ acc \

ماتریس های H

جالب است بدانید که اگرچه دریافت کردیم

ماتریس های کلاس bCk BOO با اعمال قضیه 1 به ماتریس به دست آمده با جابجایی ماتریس bk Ab ^ 1، این کلاس با کلاس به دست آمده با اعمال قضیه 2 به ماتریس Am منطبق نیست.

اجازه دهید تعاریف را معرفی کنیم.

تعریف 4. یک ماتریس A (Lk-BOO با ردیف) در صورت AT (Lk-BOO) نامیده می شود.

تعریف 5. یک ماتریس A (bCk-BOO با ردیف) اگر AT (bCk-BOO) نامیده می شود.

مثال‌ها نشان می‌دهند که کلاس‌های U - BOO،

BC-BOO، (bk - BOO خط به خط) و (L ^ -BOO خط به خط) به یکدیگر مرتبط هستند. بنابراین، ما کلاس ماتریس های H را به چهار روش مختلف گسترش داده ایم.

کاربرد قضایای جدید

اجازه دهید سودمندی نتایج جدید را در تخمین هنجار C یک ماتریس معکوس نشان دهیم.

برای یک ماتریس دلخواه A با غلبه مورب شدید، قضیه معروف Warakh (WaraH) تخمین می‌زند.

دقیقه [| pf (A) | - тк (A), min (| yk (A) | - qk (A) - | af (A) |)] "i i (фf ii ii

به روشی مشابه، نتیجه زیر را برای ماتریس های Lk - SDD روی ستون ها به دست می آوریم.

قضیه 6. اجازه دهید یک ماتریس دلخواه A = e و با ورودی های مورب غیر صفر داده شود. اگر A در ستون ها به کلاس bk-SDD تعلق دارد، پس

Ik-lll<_ie#|akk|_

"" میلیون [| pf (A) | - Rf (AT)، میلیون (| uk (A) | - qk (AT) - | عقب |)] "

اهمیت این نتیجه در این واقعیت نهفته است که برای بسیاری از زیر کلاس‌های ماتریس‌های H غیر منحط محدودیت‌هایی از این نوع وجود دارد، اما برای آن دسته از ماتریس‌های غیرمنحط که ماتریس‌های H نیستند، این یک مشکل غیرمعمول است. در نتیجه، محدودیت هایی از همان نوع که در قضیه قبلی وجود داشت، تقاضای زیادی دارند.

ادبیات

Levy L. Sur le possibilité du l "equlibre electrique C. R. Acad. Paris, 1881. جلد 93. ص 706-708.

هورن آر.آ.، جانسون سی.آر. تحلیل ماتریسی کمبریج، 1994. Varga R.S. گرسگورین و محافل او // سری اسپرینگر در ریاضیات محاسباتی. 2004. جلد. 36.226 ص. برمن آ.، پلمونز آر.جی. ماتریس های غیر منفی در علوم ریاضی. کلاسیک سری SIAM در ریاضیات کاربردی. 1994. جلد. 9.340 ص.

Cvetkovic Lj. نظریه ماتریس H در مقابل محلی سازی مقدار ویژه // عدد. الگوور. 2006. جلد. 42. ص 229-245. Cvetkovic Lj., Kostic V., Kovacevic M., Szulc T. نتایج بیشتر در مورد H-ماتریس و مکمل های Schur آنها // Appl. ریاضی. محاسبه کنید. 1982. ص 506-510.

وارا جی.ام. یک کران پایین برای کوچکترین مقدار یک ماتریس // Linear Algebra Appl. 1975. جلد. 11.ص 3-5.

توسط سردبیران دریافت شد

$A_ (nn)$ دارایی است تسلط مورب، اگر

$| a_ (ii) | \ geqslant \ sum_ (j \ neq i) | a_ (ij) |، \ qquad i = 1، \ نقطه، n،$

علاوه بر این، حداقل یک نابرابری شدید است. اگر همه نابرابری ها سخت باشند، ماتریس گفته می شود $A_ (nn)$ دارد سخت گیرانهغلبه مورب

ماتریس های غالب مورب اغلب در برنامه ها ظاهر می شوند. مزیت اصلی آنها این است که روش های تکراری برای حل SLAE با چنین ماتریسی (روش تکرار ساده، روش سیدل) به یک راه حل دقیق همگرا می شوند که وجود دارد و برای هر سمت راست منحصر به فرد است.

خواص

یک ماتریس تسلط کاملا مورب غیر منحط است.

را نیز ببینید

نظری را در مورد مقاله "غلبه مورب" بنویسید

گزیده ای از تسلط مورب

هنگ Hussar Pavlograd در دو مایلی براونائو مستقر بود. این اسکادران، که نیکولای روستوف به عنوان دانشجو در آن خدمت می کرد، در روستای سالزنک آلمان قرار داشت. به فرمانده اسکادران، کاپیتان دنیسوف، که برای کل لشکر سواره نظام به نام وااسکا دنیسوف شناخته می شود، بهترین آپارتمان در روستا داده شد. یونکر روستوف، از زمانی که هنگ را در لهستان پیشی گرفت، با فرمانده اسکادران زندگی می کرد.
در 11 اکتبر، درست همان روزی که همه چیز در آپارتمان اصلی با خبر شکست مک به پا شد، در مقر اسکادران، زندگی راهپیمایی بی سر و صدا مانند قبل در جریان بود. دنیسوف که تمام شب را با کارت شکست خورده بود، هنوز به خانه نیامده بود که روستوف صبح زود سوار بر اسب از جستجوی غذا برگشت. روستوف با لباس کادت به ایوان رفت و اسب را هل داد و با حرکتی انعطاف پذیر و جوان پسند از پا انداخت و روی رکاب ایستاد، انگار نمی خواست از اسب جدا شود، سرانجام پایین پرید و پیام آور را فریاد زد. .

دانشگاه ایالتی سنت پترزبورگ

دانشکده ریاضی کاربردی - فرآیندهای کنترل

A. P. IVANOV

روی روش های عددی تمرین کنید

حل سیستم معادلات جبری خطی

دستورالعمل های روشی

سن پترزبورگ

فصل 1. اطلاعات پشتیبانی

کتابچه راهنمای روش‌شناسی طبقه‌بندی روش‌های حل SLAE و الگوریتم‌هایی را برای کاربرد آنها ارائه می‌کند. روش ها به شکلی ارائه شده اند که امکان استفاده از آنها را بدون ارجاع به منابع دیگر فراهم می کند. فرض بر این است که ماتریس سیستم غیر منفرد است، یعنی. det A 6 = 0.

§یک. هنجارهای بردارها و ماتریس ها

به یاد بیاورید که یک فضای خطی Ω از عناصر x نرمال نامیده می شود اگر یک تابع k kΩ در آن وارد شود که برای همه عناصر فضای Ω تعریف شده و شرایط را برآورده می کند:

1.kxk Ω ≥ 0، و kxkΩ = 0 x = 0Ω.

2. kλxk Ω = | λ | KxkΩ;

3.kx + yk Ω ≤ kxkΩ + kykΩ.

ما در آینده توافق خواهیم کرد که بردارها را با حروف لاتین کوچک نشان دهیم، و آنها را بردار ستونی در نظر بگیریم، ماتریس ها را با حروف بزرگ لاتین نشان دهیم، و مقادیر اسکالر را با حروف یونانی نشان دهیم (با حفظ تعیین اعداد صحیح برای حروف i، j، k، l، m، n) ...

رایج ترین هنجارهای برداری شامل موارد زیر است:


	\| xi \|
1.kxk1 =	\| xi \|

2.kxk2 = u x2; تی

3.kxk∞ = حداکثر | xi |.

توجه داشته باشید که همه هنجارها در فضای Rn معادل هستند، یعنی هر دو هنجار kxki و kxkj با روابط مرتبط هستند:

αij kxkj ≤ kxki ≤ βij kxkj،

k k ≤ k k ≤ ˜ k k

α˜ ij x i x j β ij x i،

علاوه بر این، αij، βij، α˜ij، βij به x بستگی ندارند. علاوه بر این، در یک فضای محدود بعدی، هر دو هنجار معادل هستند.

فضای ماتریس ها با عملیات جمع و ضرب در یک عدد به طور طبیعی معرفی شده، فضای خطی را تشکیل می دهند که در آن مفهوم هنجار را می توان به طرق مختلف معرفی کرد. با این حال، به اصطلاح هنجارهای فرعی اغلب در نظر گرفته می شوند، یعنی. هنجارهای مربوط به هنجارهای بردارها با نسبت:

با علامت گذاری هنجارهای فرعی ماتریس ها با شاخص های مشابه با هنجارهای مربوط به بردارها، می توان مشخص کرد که

k k1

| aij |; kAk2

k∞

(AT A)؛

در اینجا λi (AT A) مقدار ویژه ماتریس AT A را نشان می دهد، که در آن AT ماتریسی است که به A منتقل شده است. علاوه بر سه ویژگی اصلی هنجار ذکر شده در بالا، ما به دو مورد دیگر نیز اشاره می کنیم:

kABk ≤ kAk kBk،

kAxk ≤ kAk kxk،

علاوه بر این، در آخرین نابرابری، هنجار ماتریس تابع هنجار برداری مربوطه است. ما موافقت می کنیم که در آینده فقط از هنجارهای ماتریس هایی استفاده کنیم که تابع هنجارهای بردار هستند. توجه داشته باشید که برای چنین هنجارهایی برابری زیر برقرار است: اگر E ماتریس هویت باشد، kEk = 1،.

§2. ماتریس های غالب مورب

تعریف 2.1. ماتریس A با عناصر (aij) n i، j = 1 ماتریسی با غالب مورب (مقادیر δ) نامیده می شود اگر نابرابری ها باشد.

| aii | - | aij | ≥ δ> 0، i = 1، n.

§3. ماتریس های قطعی مثبت

تعریف 3.1. یک ماتریس متقارن A نامیده می شود

اگر شکل درجه دوم xT Ax با این ماتریس فقط مقادیر مثبت را برای هر بردار x 6 = 0 بگیرد، قطعی است.

معیار قطعیت مثبت یک ماتریس می تواند مثبت بودن مقادیر ویژه یا مثبت بودن ماتریس های اصلی آن باشد.

§4. شماره وضعیت SLAE

همانطور که می دانید هنگام حل هر مشکلی، سه نوع خطا وجود دارد: خطای کشنده، خطای روشی و خطای گرد کردن. اجازه دهید تأثیر خطای غیرقابل حذف داده های اولیه را بر حل SLAE در نظر بگیریم، با نادیده گرفتن خطای گرد کردن و در نظر گرفتن عدم وجود خطای روش شناختی.

ماتریس A دقیقا مشخص است و سمت راست b حاوی خطای مهلک δb است.

سپس برای خطای نسبی راه حل kδxk / kxk

	به راحتی می توان تخمین زد:

که ν (A) = kAkkA - 1 k.

عدد ν (A) را عدد شرط سیستم (4.1) (یا ماتریس A) می گویند. معلوم می شود که همیشه ν (A) ≥ 1 برای هر ماتریس A. از آنجایی که مقدار عدد شرط به انتخاب هنجار ماتریس بستگی دارد، هنگام انتخاب یک هنجار خاص، به ترتیب و ν (A): ν1 ( A)، ν2 (A) یا ν ∞ (A).

در مورد ν (A) 1، سیستم (4.1) یا ماتریس A نامشخص نامیده می شود. در این مورد، به شرح زیر از برآورد

(4.2)، خطا در حل سیستم (4.1) ممکن است به طور غیرقابل قبولی بزرگ باشد. مفهوم مقبولیت یا غیرقابل قبول بودن یک خطا با بیان مسئله تعیین می شود.

برای یک ماتریس با غالبیت مورب، به راحتی می توان یک کران بالایی برای عدد شرط آن به دست آورد. اتفاق میافتد

قضیه 4.1. فرض کنید A ماتریسی با غلبه مورب δ> 0 باشد. سپس غیر مفرد و ν∞ (A) ≤ kAk∞ / δ است.

§5. نمونه ای از یک سیستم نامطلوب.

SLAE (4.1) را در نظر بگیرید که در آن

−1

− 1 . . .

−1

.. .

−1

این سیستم یک راه حل منحصر به فرد x = (0, 0,..., 0, 1) T دارد. اجازه دهید سمت راست سیستم حاوی خطای δb = (0, 0,.., 0, ε), ε> 0 باشد.

δxn = ε، δxn - 1 = ε، δxn - 2 = 2 ε، δxn - k = 2 k - 1 ε،. ... ... ، δx1 = 2 n - 2 ε.

k∞ =

2 n - 2 ε،

k∞

k k∞

از این رو،

ν∞ (A) ≥ kδxk ∞: kδbk ∞ = 2n - 2. kxk ∞ kbk ∞

از آنجایی که kAk∞ = n، پس kA − 1 k∞ ≥ n − 1 2 n − 2، اگرچه det (A − 1) = (دت A) −1 = 1. برای مثال، اجازه دهید n = 102. سپس ν ( الف) ≥ 2100> 1030. علاوه بر این، حتی اگر ε = 10-15 باشد، kδxk∞> 1015 را بدست می آوریم. و بنابراین نه

تعریف.

اگر عناصر ماتریس به سیستمی با غلبه مورب در یک ردیف گفته می شودارضای نابرابری ها: