अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण ऐसे समीकरण होते हैं जो एक सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं जो किसी दिए गए बिंदु से होकर दिशा वेक्टर तक जाती है।

मान लीजिए कि एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर दिया गया है। एक मनमाना बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित होता है मैंकेवल तभी जब सदिश और संरेखी हों, अर्थात् उनके लिए शर्त संतुष्ट हो:

.

उपरोक्त समीकरण सरल रेखा के विहित समीकरण हैं।

नंबर एम , एनतथा पीनिर्देशांक अक्षों पर दिशा वेक्टर के अनुमान हैं। चूँकि सदिश अशून्य है, तो सभी संख्याएँ एम , एनतथा पीएक ही समय में शून्य नहीं हो सकता। लेकिन उनमें से एक या दो शून्य हो सकते हैं। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अंकन की अनुमति है:

,

जिसका अर्थ है कि अक्ष पर वेक्टर का प्रक्षेपण ओएतथा आउंसशून्य के बराबर हैं। इसलिए, विहित समीकरणों द्वारा दी गई सदिश और सीधी रेखा दोनों अक्षों के लंबवत हैं ओएतथा आउंस, यानी, विमान योज़ .

उदाहरण 1।समतल के लंबवत अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के समीकरण लिखिए और अक्ष के साथ इस तल के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरते हुए आउंस .

समाधान। अक्ष के साथ इस विमान के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं आउंस... चूँकि कोई भी बिंदु अक्ष पर स्थित है आउंस, में निर्देशांक हैं, फिर, दिए गए समीकरण में विमान स्थापित करना एक्स = वाई = 0, हमें 4 . मिलता है जेड- 8 = 0 या जेड= 2. इसलिए, अक्ष के साथ इस विमान का प्रतिच्छेदन बिंदु आउंसनिर्देशांक हैं (0; 0; 2)। चूँकि अभीष्ट सीधी रेखा तल के लंबवत है, यह अपने अभिलंब सदिश के समानांतर है। इसलिए, सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर सामान्य वेक्टर हो सकता है एक दिया विमान।

अब हम बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के मांगे गए समीकरणों को लिखते हैं ए= (0; 0; 2) वेक्टर की दिशा में:

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण

एक सीधी रेखा को उस पर पड़े दो बिंदुओं द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है तथा इस मामले में, सीधी रेखा का दिशा वेक्टर एक वेक्टर हो सकता है। तब सरल रेखा के विहित समीकरण रूप लेते हैं

.

उपरोक्त समीकरण दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का निर्धारण करते हैं।

उदाहरण 2।बिन्दुओं से होकर जाने वाली अन्तरिक्ष में एक सीधी रेखा का समीकरण बनाइए।

समाधान। आइए हम सरल रेखा के मांगे गए समीकरणों को सैद्धांतिक नोट में ऊपर दिए गए रूप में लिखें:

.

चूँकि मांगी गई रेखा अक्ष के लंबवत है ओए .

समतलों के प्रतिच्छेदन की रेखा के रूप में सीधी

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को दो गैर-समानांतर विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, अर्थात, दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के एक सेट के रूप में।

निकाय के समीकरणों को अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण भी कहा जाता है।

उदाहरण 3.सामान्य समीकरणों द्वारा दिए गए स्थान में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण लिखिए

समाधान। एक सीधी रेखा के विहित समीकरण लिखने के लिए या, जो समान है, दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरणों को लिखने के लिए, आपको सीधी रेखा के किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांक खोजने होंगे। वे किन्हीं दो समन्वय विमानों के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु हो सकते हैं, उदाहरण के लिए योज़तथा xOz .

समतल के साथ एक सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु योज़एब्सिस्सा है एक्स= 0. इसलिए, समीकरणों की दी गई प्रणाली में मानते हुए एक्स= 0, हमें दो चर के साथ एक प्रणाली मिलती है:

उसका निर्णय आप = 2 , जेड= 6 साथ में एक्स= 0 एक बिंदु को परिभाषित करता है ए(0; 2; 6) आवश्यक सीधी रेखा। फिर, समीकरणों के दिए गए सिस्टम में सेटिंग आप= 0, हमें सिस्टम मिलता है

उसका निर्णय एक्स = -2 , जेड= 0 साथ में आप= 0 एक बिंदु को परिभाषित करता है बी(-2; 0; 0) एक समतल के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन xOz .

अब हम बिन्दुओं से गुजरने वाली सरल रेखा के समीकरणों को लिखते हैं ए(0; 2; 6) और बी (-2; 0; 0) :

,

या हर को -2 से विभाजित करने के बाद:

,

3.1. सीधी रेखा के विहित समीकरण।

मान लें कि ऑक्सीज निर्देशांक प्रणाली में एक सीधी रेखा दी जाती है जो बिंदु से होकर गुजरती है

(अंजीर देखें। 18) द्वारा निरूपित करें
दी गई रेखा के समानांतर एक वेक्टर। वेक्टर बुलाया एक सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर।सीधे बिंदु पर ले जाएं
और वेक्टर वेक्टर पर विचार करें
संरेख, इसलिए, उनके संगत निर्देशांक आनुपातिक हैं:

(3.3.1 )

इन समीकरणों को कहा जाता है विहित समीकरणसीधा।

उदाहरण:सदिश के समांतर बिंदु M (1, 2, -1) से गुजरने वाली सरल रेखा के समीकरण लिखिए

समाधान:वेक्टर वांछित सीधी रेखा का दिशा सदिश है। सूत्र (3.1.1) को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

ये सीधी रेखा के विहित समीकरण हैं।

टिप्पणी:हर में से किसी एक के लुप्त होने का अर्थ है संबंधित अंश का लुप्त होना, यानी y - 2 = 0; y = 2. यह सरल रेखा ऑक्सज तल के समांतर y = 2 तल में स्थित है।

3.2. एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण।

मान लीजिए कि रेखा को विहित समीकरणों द्वारा दिया गया है

हम निरूपित करते हैं
फिर
मान t को एक पैरामीटर कहा जाता है और यह कोई भी मान ले सकता है:
.

आइए x, y और z को t के पदों में व्यक्त करें:

(3.2.1 )

परिणामी समीकरण कहलाते हैं एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण।

उदाहरण 1:वेक्टर के समानांतर बिंदु M (1, 2, -1) से गुजरने वाली सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखिए

समाधान:इस रेखा के विहित समीकरण खंड 3.1 के उदाहरण में प्राप्त किए गए हैं:

सरल रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों को खोजने के लिए, हम सूत्रों की व्युत्पत्ति (3.2.1) लागू करते हैं:

इसलिए,
- दी गई सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण।

उत्तर:

उदाहरण 2।वेक्टर के समानांतर बिंदु M (-1, 0, 1) से गुजरने वाली सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखिए
जहां ए (2, 1, -1), बी (-1, 3, 2)।

समाधान:वेक्टर
वांछित सीधी रेखा का दिशा सदिश है।

वेक्टर खोजें
.

= (-3; 2; 3)। सूत्रों (3.2.1) का उपयोग करते हुए, हम सरल रेखा के समीकरण लिखते हैं:

सीधी रेखा के मांगे जाने वाले पैरामीट्रिक समीकरण हैं।

3.3. दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण।

अंतरिक्ष में दिए गए दो बिंदुओं से एक सीधी रेखा गुजरती है (देखिए आकृति 20)। दिए गए अंक वेक्टर
इस रेखा के दिशा सदिश के रूप में लिया जा सकता है। तब सरल रेखा के समीकरण पाए जाते हैं सूत्रों द्वारा (3.1.1):
).

(3.3.1)

उदाहरण 1।बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के विहित और पैरामीट्रिक समीकरण लिखिए

समाधान: हम सूत्र लागू करते हैं (3.3.1)

सीधी रेखा के विहित समीकरण प्राप्त किए। पैरामीट्रिक समीकरण प्राप्त करने के लिए, हम सूत्रों की व्युत्पत्ति (3.2.1) लागू करते हैं। हम पाते हैं

एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण हैं।

उदाहरण 2।बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के विहित और पैरामीट्रिक समीकरण लिखिए

समाधान: सूत्रों (3.3.1) से हम प्राप्त करते हैं:

ये विहित समीकरण हैं।

आइए पैरामीट्रिक समीकरणों पर चलते हैं:

- पैरामीट्रिक समीकरण।

परिणामी सीधी रेखा oz अक्ष के समानांतर है (चित्र 21 देखें)।

मान लीजिए अंतरिक्ष में दो तल दिए गए हैं

यदि ये समतल संपाती नहीं हैं और समानांतर नहीं हैं, तो वे एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं:

दो रैखिक समीकरणों की यह प्रणाली एक सीधी रेखा को दो विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा के रूप में परिभाषित करती है। समीकरणों (3.4.1) से कोई विहित समीकरण (3.1.1) या पैरामीट्रिक समीकरण (3.2.1) पर जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको बिंदु खोजने की आवश्यकता है
एक सीधी रेखा पर झूठ बोलना, और दिशा वेक्टर बिंदु निर्देशांक
हम सिस्टम (3.4.1) से प्राप्त करते हैं, किसी एक निर्देशांक को एक मनमाना मान निर्दिष्ट करते हुए (उदाहरण के लिए, z = 0)। दिशा वेक्टर के पीछे हम सदिशों का सदिश गुणनफल ले सकते हैं, अर्थात्

उदाहरण 1।एक सीधी रेखा के विहित समीकरण लिखिए

समाधान:मान लीजिए z = 0. निकाय को हल कीजिए

इन समीकरणों को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं: 3x + 6 = 0
एक्स = -2। सिस्टम के पहले समीकरण में पाए गए मान x = -2 को प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें: -2 + y + 1 = 0
वाई = 1.

तो बिंदु
वांछित सीधी रेखा पर स्थित है।

एक सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर को खोजने के लिए, हम विमानों के सामान्य सदिशों को लिखते हैं: और उनके वेक्टर उत्पाद का पता लगाते हैं:

सरल रेखा के समीकरण सूत्र (3.1.1) द्वारा ज्ञात होते हैं:

उत्तर:
.

एक और तरीका:सरल रेखा के कैननिकल और पैरामीट्रिक समीकरण (3.4.1) को सिस्टम (3.4.1) से सीधी रेखा पर दो अलग-अलग बिंदुओं को ढूंढकर और फिर सूत्रों (3.3.1) और व्युत्पन्न सूत्र (3.2.1) को लागू करके आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। )

उदाहरण 2।एक सीधी रेखा के विहित और पैरामीट्रिक समीकरण लिखें

समाधान:मान लीजिए y = 0. तब निकाय का रूप लेता है:

समीकरणों को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं: 2x + 4 = 0; एक्स = -2। सिस्टम के दूसरे समीकरण में x = -2 को प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें: –2 –z +1 = 0
जेड = -1। तो हमें बिंदु मिल गया

दूसरा बिंदु खोजने के लिए, हम x = 0 डालते हैं। हमारे पास होगा:

अर्थात्

सीधी रेखा के विहित समीकरण प्राप्त किए।

आइए सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों की रचना करें:

उत्तर:
;
.

3.5. अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति।

सीधी रेखाओं को जाने दें
समीकरणों द्वारा दिया जाता है:

:
;
:

.

इन सीधी रेखाओं के बीच के कोण को उनके दिशा सदिशों के बीच के कोण के रूप में समझा जाता है (चित्र 22 देखें)। यह कोना हम वेक्टर बीजगणित के सूत्र से पाते हैं:
या

(3.5.1)

अगर सीधा
लंबवत (
),फिर
इसलिये,

यह अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाओं के लंबवत होने की स्थिति है।

अगर सीधा
समानांतर (
), तो उनके दिशा सदिश संरेख हैं (
), अर्थात्

(3.5.3 )

यह अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाओं के समानांतर होने की स्थिति है।

उदाहरण 1।सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:

ए)।
तथा

बी)।
तथा

समाधान:ए)। हम सीधी रेखा की दिशा सदिश लिखते हैं
दिशा वेक्टर खोजें
सिस्टम में शामिल विमान तब हम उनका क्रॉस उत्पाद पाते हैं:

(पैराग्राफ 3.4 का उदाहरण 1 देखें)।

सूत्र (3.5.1) से हम प्राप्त करते हैं:

इसलिये,

बी)। आइए हम सीधी रेखाओं के डेटा के दिशा सदिशों को लिखें: सदिश
संरेख, क्योंकि उनके संगत निर्देशांक समानुपाती होते हैं:

मतलब सीधा
समानांतर (
), अर्थात्

उत्तर:ए)।
बी)।

उदाहरण 2।रेखाओं की लंबवतता सिद्ध करें:

तथा

समाधान:हम पहली सीधी रेखा की दिशा सदिश लिखते हैं

दिशा वेक्टर खोजें दूसरी सीधी रेखा। ऐसा करने के लिए, हम सामान्य वैक्टर पाते हैं
सिस्टम में शामिल विमान: आइए उनके क्रॉस उत्पाद की गणना करें:

(उदाहरण 1, खंड 3.4 देखें)।

हम सीधी रेखाओं (3.5.2) के लंबवतता की शर्त लागू करते हैं:

शर्त पूरी हो गई है; इसलिए, सीधी रेखाएँ लंबवत हैं (
).

आइए एक उदाहरण के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

दो प्रतिच्छेदी तलों के समीकरणों द्वारा अंतरिक्ष में परिभाषित एक सीधी रेखा के किसी भी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए .

समाधान।

हम निम्नलिखित रूप में समीकरणों की प्रणाली को फिर से लिखते हैं:

सिस्टम के मूल मैट्रिक्स के मूल नाबालिग के रूप में, हम एक गैर-शून्य द्वितीय-क्रम नाबालिग लेते हैं अर्थात z एक मुक्त अज्ञात चर है। z वाले पदों को समीकरणों के दायीं ओर ले जाएँ:

आइए स्वीकार करें, फिर एक मनमाना वास्तविक संख्या कहां है।

आइए समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करें:

इस प्रकार, समीकरणों की प्रणाली का सामान्य समाधान रूप है, कहाँ है।

यदि हम पैरामीटर का एक विशिष्ट मान लेते हैं, तो हमें समीकरणों की प्रणाली का एक विशेष समाधान मिलता है, जो हमें दी गई सीधी रेखा पर स्थित एक बिंदु के आवश्यक निर्देशांक देता है। चलो फिर लेते हैं इसलिए, सीधी रेखा का अभीष्ट बिंदु है।

आप किसी बिंदु के पाए गए निर्देशांकों को दो प्रतिच्छेदी तलों के मूल समीकरणों में प्रतिस्थापित करके देख सकते हैं:

उत्तर:

सीधी रेखा का दिशा वेक्टर जिसके साथ दो विमान प्रतिच्छेद करते हैं।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, सीधी रेखा का दिशा वेक्टर सीधी रेखा से अविभाज्य होता है। जब त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा दो प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के समीकरणों द्वारा दी जाती है, तो सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक दिखाई नहीं देते हैं। अब हम आपको दिखाएंगे कि उन्हें कैसे परिभाषित किया जाए।

हम जानते हैं कि एक सीधी रेखा एक समतल पर लंबवत होती है जब वह उस तल में पड़ी किसी भी सीधी रेखा के लंबवत होती है। तब विमान का सामान्य वेक्टर इस विमान में पड़े किसी भी गैर-शून्य वेक्टर के लंबवत होता है। हम इन तथ्यों का उपयोग एक सीधी रेखा के निर्देशन सदिश को खोजने के लिए करेंगे।

रेखा a समतल और तल दोनों में स्थित है। इसलिए, सीधी रेखा a का निर्देशन वेक्टर सामान्य वेक्टर के लंबवत है विमान, और सामान्य वेक्टर विमान। अत: रेखा a का दिशा सदिश है तथा :

लाइन के सभी दिशा वैक्टरों का सेट जिसे हम परिभाषित कर सकते हैं , जहां एक पैरामीटर है जो शून्य के अलावा कोई भी मान्य मान ले सकता है।

उदाहरण।

एक सीधी रेखा के किसी भी दिशा सदिश के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो दो प्रतिच्छेदी तलों के समीकरणों द्वारा त्रि-आयामी अंतरिक्ष में ऑक्सीज के एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दिए गए हैं। .

समाधान।

विमानों के सामान्य सदिश और सदिश हैं तथा क्रमश। सीधी रेखा की दिशा वेक्टर, जो दो दिए गए विमानों का प्रतिच्छेदन है, सामान्य वैक्टर का वेक्टर उत्पाद है:

उत्तर:

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक और विहित समीकरणों को पारित करना।

ऐसे मामले हैं जिनमें एक सीधी रेखा का वर्णन करने के लिए दो प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के समीकरणों का उपयोग पूरी तरह से सुविधाजनक नहीं है। कुछ समस्याओं को हल करना आसान होता है यदि फॉर्म के स्थान में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण या फॉर्म के स्थान में एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण , जहां x 1, y 1, z 1 सीधी रेखा के किसी बिंदु के निर्देशांक हैं, a x, a y, a z सीधी रेखा के निर्देशन सदिश के निर्देशांक हैं, और एक पैरामीटर है जो मनमाना वास्तविक मान लेता है। आइए हम रूप की सीधी रेखा के समीकरणों से संक्रमण की प्रक्रिया का वर्णन करें अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित और पैरामीट्रिक समीकरणों के लिए।

पिछले पैराग्राफ में, हमने सीखा कि एक सीधी रेखा पर किसी बिंदु के निर्देशांक कैसे प्राप्त करें, साथ ही साथ एक सीधी रेखा के कुछ दिशा वेक्टर के निर्देशांक, जो दो प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के समीकरणों द्वारा दिए गए हैं। यह डेटा अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में इस सीधी रेखा के विहित और पैरामीट्रिक समीकरण दोनों को लिखने के लिए पर्याप्त है।

आइए एक उदाहरण के समाधान पर विचार करें, और उसके बाद हम अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित और पैरामीट्रिक समीकरणों को खोजने का एक और तरीका दिखाएंगे।

उदाहरण।

समाधान।

आइए पहले हम सीधी रेखा के निर्देशन सदिश के निर्देशांकों की गणना करें। ऐसा करने के लिए, हम सामान्य वैक्टर के वेक्टर उत्पाद पाते हैं तथा विमान तथा :

अर्थात्, ।

आइए अब किसी दी गई सीधी रेखा पर किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, हम समीकरणों की प्रणाली के समाधानों में से एक पाते हैं .

सिद्ध शून्य नहीं है, हम इसे सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के आधार नाबालिग के रूप में लेते हैं। तब चर z मुक्त होता है, हम इसके साथ पदों को समीकरणों के दायीं ओर स्थानांतरित करते हैं, और चर z को एक मनमाना मान देते हैं:

हम क्रैमर विधि द्वारा समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करते हैं:

इसलिये,

हम स्वीकार करेंगे, इस मामले में, हम एक सीधी रेखा के एक बिंदु के निर्देशांक प्राप्त करते हैं: .

अब हम अंतरिक्ष में मूल सीधी रेखा के लिए आवश्यक विहित और पैरामीट्रिक समीकरण लिख सकते हैं:

उत्तर:

तथा

इस समस्या को हल करने का दूसरा तरीका यहां दिया गया है।

सीधी रेखा के किसी बिंदु के निर्देशांक खोजने पर, हम समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं ... सामान्य स्थिति में, इसके समाधान के रूप में लिखा जा सकता है .

और ये अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के लिए आवश्यक पैरामीट्रिक समीकरण हैं। यदि प्राप्त समीकरणों में से प्रत्येक को पैरामीटर के संबंध में हल किया जाता है और उसके बाद हम समानता के दाहिने हाथ की बराबरी करते हैं, तो हम अंतरिक्ष में सीधी रेखा के विहित समीकरण प्राप्त करते हैं

आइए हम इस पद्धति का उपयोग करके पिछली समस्या का समाधान दिखाएं।

उदाहरण।

त्रिविमीय समष्टि में एक सीधी रेखा दो प्रतिच्छेदी तलों के समीकरणों द्वारा दी जाती है ... इस सरल रेखा के विहित और पैरामीट्रिक समीकरण लिखिए।

समाधान।

हम तीन अज्ञात के साथ दो समीकरणों की इस प्रणाली को हल करते हैं (समाधान पिछले उदाहरण में दिया गया है, हम इसे दोहराएंगे नहीं)। इस मामले में, हम प्राप्त करते हैं ... ये अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के आवश्यक पैरामीट्रिक समीकरण हैं।

यह अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण प्राप्त करने के लिए बनी हुई है:

सीधी रेखा के परिणामी समीकरण बाहरी रूप से पिछले उदाहरण में प्राप्त समीकरणों से भिन्न होते हैं, हालांकि, वे समतुल्य हैं, क्योंकि वे त्रि-आयामी अंतरिक्ष (और इसलिए, समान सीधी रेखा) में बिंदुओं के समान सेट को परिभाषित करते हैं।

उत्तर:

तथा

ग्रंथ सूची।

• बुग्रोव वाई.एस., निकोल्स्की एस.एम. उच्च गणित। खंड एक: रैखिक बीजगणित और विश्लेषणात्मक ज्यामिति के तत्व।
• इलिन वी.ए., पॉज़्न्याक ई.जी. विश्लेषणात्मक ज्यामिति।

होने देना मैं- अंतरिक्ष की कुछ सीधी रेखा। जैसा कि प्लानिमेट्री में होता है, कोई भी वेक्टर

ए = / = 0, सीधे संरेख मैंकहा जाता है दिशा वेक्टरयह सीधी रेखा।

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा की स्थिति पूरी तरह से एक दिशा वेक्टर और सीधी रेखा से संबंधित एक बिंदु को निर्दिष्ट करके निर्धारित की जाती है।

इसे सीधा होने दें मैंदिशात्मक वेक्टर के साथ ए बिंदु M 0 से होकर गुजरता है, और M अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु है। स्पष्ट रूप से, बिंदु M (चित्र 197) सीधी रेखा का है मैंअगर और केवल अगर वेक्टर \ (\ overrightarrow (M_0 M) \) वेक्टर के समरेख है ए , अर्थात।

\ (\ overrightarrow (M_0 M) \) = टी ए , टी\ (\ में \) आर. (1)

यदि बिंदु M और M 0 उनके त्रिज्या सदिशों द्वारा दिए गए हैं आर तथा आर 0 (चित्र 198) स्थान के किसी बिंदु O के सापेक्ष, तब \ (\ overrightarrow (M_0 M) \) = आर - आर 0, और समीकरण (1) रूप लेता है

आर = आर 0 + टी ए , टी\ (\ में \) आर. (2)

समीकरण (1) और (2) कहलाते हैं सीधी रेखा के वेक्टर-पैरामीट्रिक समीकरण। चर टीवेक्टर-पैरामीट्रिक समीकरणों में, रेखा को कहा जाता है पैरामीटर.

मान लीजिए बिंदु M 0 एक सीधी रेखा है मैंऔर दिशा वेक्टर a उनके निर्देशांक द्वारा दिए गए हैं:

एम 0 ( एक्स 0 ; पर 0 , ज़ू 0), ए = (ए 1 ; ए 2 ; ए 3).

तो अगर ( एक्स; वाई; जेड) - सीधी रेखा के एक मनमाना बिंदु M के निर्देशांक मैं, फिर

\ (\ overrightarrow (M_0 M) \) = ( एक्स - एक्स 0 ; Y y 0 ; जेड - ज़ू 0)

और वेक्टर समीकरण (1) निम्नलिखित तीन समीकरणों के बराबर है:

एक्स - एक्स 0 = तास 1 , Y y 0 = तास 2 , जेड - ज़ू 0 = तास 3

$$ \ प्रारंभ (मामलों) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \; \; t \ में R \ अंत (मामलों) (3) $$

समीकरण (3) कहलाते हैं सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण अंतरिक्ष में।

उद्देश्य 1.एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखिए

एम 0 (-3; 2; 4) और एक दिशा वेक्टर होने ए = (2; -5; 3).

इस मामले में एक्स 0 = -3, पर 0 = 2, जेड 0 = 4; ए 1 = 2; ए 2 = -5; ए 3 = 3. इन मानों को सूत्र (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हम इस सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण प्राप्त करते हैं

$$ \ प्रारंभ (मामलों) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, ​​\; \; t \ में R \ अंत (मामलों) $$

आइए पैरामीटर को बाहर करें टीसमीकरणों से (3)। यह तब से किया जा सकता है ए = / = 0, और इसलिए वेक्टर के निर्देशांक में से एक ए शून्य से भिन्न माना जाता है।

सबसे पहले, सभी निर्देशांक गैर-शून्य होने दें। फिर

$$ t = \ frac (x-x_0) (a_1), \; \; t = \ frac (y-y_0) (a_2), \; \; t = \ frac (z-z_0) (a_3) $$

और इसलिए

$$ \ फ़्रेक (x-x_0) (a_1) = \ फ़्रेक (y-y_0) (a_2) = \ फ़्रेक (z-z_0) (a_3) \; \; (4) $$

इन समीकरणों को कहा जाता है सीधी रेखा के विहित समीकरण .

ध्यान दें कि समीकरण (4) तीन चर वाले दो समीकरणों का एक निकाय बनाते हैं एक्स, वाईतथा जेड

यदि समीकरणों में (3) सदिश के निर्देशांकों में से एक ए , उदाहरण के लिए ए 1 शून्य के बराबर है, फिर, पैरामीटर को छोड़कर टी, हम फिर से तीन चर के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं एक्स, वाईतथा जेड:

\ (x = x_0, \; \; \ फ़्रेक (y-y_0) (a_2) = \ फ़्रेक (z-z_0) (a_3) \)

इन समीकरणों को विहित रेखा समीकरण भी कहा जाता है। निरंतरता के लिए, उन्हें पारंपरिक रूप से (4) के रूप में भी लिखा जाता है।

\ (\ फ़्रेक (x-x_0) (0) = \ फ़्रेक (y-y_0) (a_2) = \ फ़्रैक (z-z_0) (a_3) \)

यह मानते हुए कि यदि हर शून्य है, तो संगत अंश भी शून्य है। ये समीकरण बिंदु M 0 से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण हैं ( एक्स 0 ; पर 0 , ज़ू 0) निर्देशांक तल के समानांतर योज़, क्योंकि यह तल अपनी दिशा सदिश (0; ए 2 ; ए 3).

अंत में, यदि समीकरणों (3) में सदिश के दो निर्देशांक हैं ए , उदाहरण के लिए ए 1 और ए 2 शून्य के बराबर हैं, तो ये समीकरण रूप लेते हैं

एक्स = एक्स 0 , आप = पर 0 , जेड = जेड 0 + टी ए 3 , टी\ (\ में \) आर.

ये बिंदु M 0 से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण हैं ( एक्स 0 ; पर 0 ; जेड 0) अक्ष के समानांतर आउंस... ऐसी सीधी रेखा के लिए एक्स = एक्स 0 , आप = पर 0, ए जेड- कोई संख्या। और इस मामले में, एकरूपता के लिए, सीधी रेखा के समीकरणों को (उसी आरक्षण के साथ) रूप में लिखा जा सकता है (4)

\ (\ फ़्रेक (x-x_0) (0) = \ फ़्रेक (y-y_0) (0) = \ फ़्रैक (z-z_0) (a_3) \)

इस प्रकार, किसी भी सीधी जगह के लिए, विहित समीकरण (4) लिखा जा सकता है, और, इसके विपरीत, फॉर्म (4) के किसी भी समीकरण को प्रदान किया जाता है कि कम से कम एक गुणांक ए 1 , ए 2 , ए 3 शून्य के बराबर नहीं है, अंतरिक्ष की कुछ सीधी रेखा निर्दिष्ट करता है।

उद्देश्य 2.वेक्टर के समानांतर बिंदु M 0 (- 1; 1, 7) से गुजरने वाली सीधी रेखा के विहित समीकरण लिखिए। ए = (1; 2; 3).

इस मामले में समीकरण (4) निम्नानुसार लिखे गए हैं:

\ (\ फ़्रेक (x + 1) (1) = \ फ़्रेक (y-1) (2) = \ फ़्रेक (z-7) (3) \)

आइए हम दो दिए गए बिंदुओं M1 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण व्युत्पन्न करें। एक्स 1 ; पर 1 ; जेड 1) और

एम 2 ( एक्स 2 ; पर 2 ; जेड 2))। जाहिर है, इस रेखा के दिशा वेक्टर के लिए, हम वेक्टर ले सकते हैं ए = (एक्स 2 - एक्स 1 ; पर 2 - पर 1 ; जेड 2 - जेड 1), और बिंदु 0 से परे, जिसके माध्यम से सीधी रेखा गुजरती है, उदाहरण के लिए, बिंदु एम 1। तब समीकरण (4) इस प्रकार लिखा जाएगा:

\ (\ फ़्रेक (x-x_1) (x_2 - x_1) = \ फ़्रेक (y-y_1) (y_2 - y_1) = \ फ़्रैक (z-z_1) (z_2 - z_1) \) (5)

ये दो बिंदुओं M1 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण हैं ( एक्स 1 ; पर 1 ; जेड 1) और

एम 2 ( एक्स 2 ; पर 2 ;जेड 2).

उद्देश्य 3.बिंदुओं M 1 (-4; 1; -3) और M 2 (-5; 0; 3) से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण लिखिए।

इस मामले में एक्स 1 = -4, पर 1 = 1, जेड 1 = -3, एक्स 2 = -5, पर 2 = 0, जेड 2 = 3. इन मानों को सूत्र (5) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

\ (\ फ़्रेक (x + 4) (- 1) = \ फ़्रेक (y-1) (- 1) = \ फ़्रेक (z + 3) (6) \)

कार्य 4.बिंदुओं M1 (3; -2; 1) और . से गुजरने वाली सरल रेखा के समीकरण लिखिए

एम 2 (5; -2; 1/2)।

बिंदुओं M1 और M2 के निर्देशांकों को समीकरण (5) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

\ (\ फ़्रेक (x-3) (2) = \ फ़्रेक (y + 2) (0) = \ फ़्रेक (z-1) (- \ फ़्रेक (1) (2)) \)

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के समीकरणों में से एक विहित समीकरण है। हम इस अवधारणा पर इसके सभी विवरणों पर विचार करेंगे, क्योंकि कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए इसे जानना आवश्यक है।

पहले खंड में, हम त्रिविमीय समष्टि में स्थित एक सरल रेखा के मूल समीकरण तैयार करेंगे और कई उदाहरण देंगे। इसके बाद, हम दिखाते हैं कि दिए गए विहित समीकरणों और प्रतिलोम समस्या के समाधान के लिए दिशा वेक्टर के निर्देशांक की गणना कैसे करें। तीसरे भाग में, हम वर्णन करेंगे कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में 2 दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण कैसे तैयार किया जाता है, और अंतिम पैराग्राफ में हम दूसरों के साथ विहित समीकरणों के कनेक्शन को इंगित करेंगे। समस्या समाधान के उदाहरणों के साथ सभी तर्कों को चित्रित किया जाएगा।

हम पहले ही इस बारे में बात कर चुके हैं कि एक समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरणों को समर्पित लेख में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण सामान्य रूप से क्या होते हैं। हम सादृश्य द्वारा त्रि-आयामी स्थान के साथ मामले का विश्लेषण करेंगे।

मान लीजिए कि हमारे पास एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y z है, जिसमें एक रेखा निर्दिष्ट है। जैसा कि हमें याद है, आप एक सीधी रेखा को अलग-अलग तरीकों से सेट कर सकते हैं। हम उनमें से सबसे सरल का उपयोग करेंगे - हम उस बिंदु को निर्धारित करेंगे जिसके माध्यम से सीधी रेखा गुजरेगी, और हम दिशा वेक्टर को इंगित करेंगे। यदि हम एक सीधी रेखा को अक्षर a और बिंदु M से निरूपित करते हैं, तो हम लिख सकते हैं कि M 1 (x 1, y 1, z 1) सीधी रेखा a पर स्थित है और इस सीधी रेखा का दिशा सदिश a होगा। → = (कुल्हाड़ी, ऐ, एज़)। रेखा a को परिभाषित करने के लिए बिंदुओं M (x, y, z) के समुच्चय के लिए, सदिश M 1 M → और a → संरेख होना चाहिए,

यदि हम वैक्टर एम 1 एम → और ए → के निर्देशांक जानते हैं, तो हम समन्वय रूप में उनकी संरेखता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त लिख सकते हैं। प्रारंभिक स्थितियों से, हम पहले से ही निर्देशांक a → जानते हैं। निर्देशांक M 1 M → प्राप्त करने के लिए, हमें M (x, y, z) और M 1 (x 1, y 1, z 1) के बीच के अंतर की गणना करने की आवश्यकता है। आइए लिखते हैं:

एम 1 एम → = एक्स - एक्स 1, वाई - वाई 1, जेड - जेड 1

उसके बाद, हम निम्नानुसार आवश्यक शर्त तैयार कर सकते हैं: एम 1 एम → = एक्स - एक्स 1, वाई - वाई 1, जेड - जेड 1 और ए → = (कुल्हाड़ी, एई, एज़): एम 1 एम → = λ ए → x - x 1 = अक्ष - y 1 = ayz - z 1 = az

यहाँ चर का मान कोई भी वास्तविक संख्या या शून्य हो सकता है। यदि = 0, तो M (x, y, z) और M 1 (x 1, y 1, z 1) संपाती होता है, जो हमारे तर्क का खंडन नहीं करता है।

मानों के लिए a x 0, a y ≠ 0, a z 0, हम पैरामीटर के संबंध में हल कर सकते हैं सिस्टम के सभी समीकरण x - x 1 = λ a x y - y 1 = a y z - z 1 = a z

उसके बाद, दाहिने भागों के बीच एक समान चिन्ह लगाना संभव होगा:

x - x 1 = λ axy - y 1 = ayz - z 1 = λ az ⇔ = x - x 1 ax λ = y - y 1 ay λ = z - z 1 az x - x 1 ax = y - y 1 अय = z - z 1 az

नतीजतन, हमें समीकरण x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z मिला, जिसके साथ आप त्रि-आयामी अंतरिक्ष में वांछित सीधी रेखा निर्धारित कर सकते हैं। ये विहित समीकरण हैं जिनकी हमें आवश्यकता है।

इस तरह के एक संकेतन का उपयोग एक या दो मापदंडों के शून्य मानों के साथ भी किया जाता है a x, a y, a z, क्योंकि इन मामलों में यह भी सही होगा। सभी तीन पैरामीटर 0 के बराबर नहीं हो सकते, क्योंकि दिशा वेक्टर a → = (a x, a y, a z) शून्य नहीं हो सकता।

यदि एक या दो पैरामीटर a 0 के बराबर हैं, तो समीकरण x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z सशर्त है। इसे निम्नलिखित प्रविष्टि के बराबर माना जाना चाहिए:

एक्स = एक्स 1 + ए एक्स λ वाई = वाई 1 + ए वाई λ जेड = जेड 1 + ए जेड , ∈ आर।

हम लेख के तीसरे पैराग्राफ में विहित समीकरणों के विशेष मामलों का विश्लेषण करेंगे।

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण की परिभाषा से कई महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं। आइए उन पर विचार करें।

1) यदि मूल सीधी रेखा दो बिंदुओं M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) से होकर गुजरती है, तो विहित समीकरण निम्नलिखित रूप लेंगे:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z या x - x 2 a x = y - y 2 a y = z - z 2 a z।

2) चूँकि a → = (ax, ay, az) मूल रेखा का निर्देशन सदिश है, तो सभी सदिश μ a → = μ ax, μ ay, μ az, μ R, μ 0 ... तब रेखा को समीकरण x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z या x - x 1 μ a x = y - y 1 μ a y = z - z 1 μ a z का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

यहां दिए गए मानों के साथ ऐसे समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

उदाहरण 1 उदाहरण 2

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा का विहित समीकरण कैसे लिखें

हमने पाया कि x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az के रूप के विहित समीकरण बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) से गुजरने वाली सीधी रेखा के अनुरूप होंगे। और सदिश a → = ( ​​ax, ay, az) इसका मार्गदर्शन करेगा। इसका मतलब यह है कि यदि हम एक सीधी रेखा के समीकरण को जानते हैं, तो हम इसके दिशा वेक्टर के निर्देशांक की गणना कर सकते हैं, और वेक्टर के दिए गए निर्देशांक और सीधी रेखा पर स्थित कुछ बिंदु को देखते हुए, हम इसके विहित समीकरण लिख सकते हैं।

आइए कुछ विशिष्ट कार्यों को देखें।

उदाहरण 3

हमारे पास समीकरण x + 1 4 = y 2 = z - 3 - 5 का उपयोग करके त्रि-आयामी अंतरिक्ष में परिभाषित एक सीधी रेखा है। इसके लिए सभी दिशा सदिशों के निर्देशांक लिखिए।

समाधान

दिशा वेक्टर के निर्देशांक प्राप्त करने के लिए, हमें समीकरण से हर के मूल्यों को लेने की जरूरत है। हम पाते हैं कि दिशा सदिशों में से एक → = (4, 2, - 5) होगा, और सभी समान सदिशों के समुच्चय को μ · a → = 4 · μ, 2 · μ, - 5 · μ के रूप में तैयार किया जा सकता है . यहाँ पैरामीटर μ कोई वास्तविक संख्या है (शून्य को छोड़कर)।

उत्तर: 4 μ, 2 μ, - 5 μ, μ R, μ 0

उदाहरण 4

यदि अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा एम 1 (0, - 3, 2) से होकर गुजरती है और निर्देशांक -1, 0, 5 के साथ एक दिशा वेक्टर है, तो विहित समीकरण लिखें।

समाधान

हमारे पास डेटा है कि x 1 = 0, y 1 = - 3, z 1 = 2, a x = - 1, a y = 0, a z = 5। यह सीधे विहित समीकरण लिखने के लिए पर्याप्त है।

हो जाए:

x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ x - 0 - 1 = y - (- 3) 0 = z - 2 5 x - 1 = y + 3 0 = z - 2 5

उत्तर:एक्स - 1 = वाई + 3 0 = जेड - 2 5

ये कार्य सबसे आसान हैं क्योंकि इनमें समीकरण या वेक्टर निर्देशांक लिखने के लिए सभी या लगभग सभी इनपुट डेटा होते हैं। व्यवहार में, आप अक्सर उन्हें ढूंढ सकते हैं जिनमें आपको पहले वांछित निर्देशांक खोजने की आवश्यकता होती है, और फिर विहित समीकरणों को लिख लें। हमने लेखों में ऐसी समस्याओं के उदाहरणों का विश्लेषण किया है जो किसी दिए गए स्थान के समानांतर अंतरिक्ष में एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरणों को खोजने के लिए समर्पित हैं, साथ ही साथ एक सीधी रेखा जो विमान के लंबवत अंतरिक्ष में एक निश्चित बिंदु से गुजरती है।

हम पहले ही कह चुके हैं कि समीकरणों में a x, a y, a z के मापदंडों के एक या दो मानों में शून्य मान हो सकते हैं। इस स्थिति में, संकेतन x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z = औपचारिक हो जाता है, क्योंकि हमें शून्य हर वाले एक या दो भिन्न मिलते हैं। इसे निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है (λ R के लिए):

एक्स = एक्स 1 + ए एक्स λ वाई = वाई 1 + ए वाई λ जेड = जेड 1 + ए जेड

आइए इन मामलों पर अधिक विस्तार से विचार करें। मान लीजिए कि a x = 0, a y ≠ 0, a z 0, a x ≠ 0, a y = 0, a z ≠ 0, या a x 0, a y 0, a z = 0। इस मामले में, हम आवश्यक समीकरण इस प्रकार लिख सकते हैं:

1. पहले मामले में:
   x - x 1 0 = y - y 1 ay = z - z 1 az = λ x - x 1 = 0 y = y 1 + ay λ z = z 1 + az x - x 1 = 0 y - y 1 एई = जेड - जेड 1 एज़ =

दूसरे मामले में:
x - x 1 कुल्हाड़ी = y - y 1 0 = z - z 1 az = λ x = x 1 + कुल्हाड़ी y - y 1 = 0 z = z 1 + az λ y - y 1 = 0 x - x 1 कुल्हाड़ी = जेड - जेड 1 एज़ =

तीसरे मामले में:
x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 0 = x = x 1 + ax y = y 1 + ay z - z 1 = 0 z - z 1 = 0 x - x 1 कुल्हाड़ी = y - y 1 ay =

यह पता चला है कि मापदंडों के इस तरह के मूल्य के साथ, आवश्यक सीधी रेखाएँ समतल x - x 1 = 0, y - y 1 = 0 या z - z 1 = 0 में हैं, जो समन्वय विमानों के समानांतर स्थित हैं ( अगर x 1 = 0, y 1 = 0 या z 1 = 0)। ऐसी सीधी रेखाओं के उदाहरण चित्रण में दिखाए गए हैं।

इसलिए, हम विहित समीकरणों को थोड़ा अलग तरीके से लिखने में सक्षम होंगे।

1. पहले मामले में: x - x 1 0 = y - y 1 0 = z - z 1 a z = x - x 1 = 0 y - y 1 = 0 z = z 1 + a z , R
2. दूसरे में: x - x 1 0 = y - y 1 a y = z - z 1 0 = x - x 1 = 0 y = y 1 + a y , R z - z 1 = 0
3. तीसरे में: x - x 1 a x = y - y 1 0 = z - z 1 0 = x = x 1 + a x , R y = y 1 = 0 z - z 1 = 0

तीनों स्थितियों में, मूल सीधी रेखाएँ निर्देशांक अक्षों के साथ संपाती होंगी या उनके समानांतर होंगी: x 1 = 0 y 1 = 0, x 1 = 0 z 1 = 0, y 1 = 0 z 1 = 0 . उनके दिशा सदिशों के निर्देशांक 0, 0, a z, 0, a y, 0, a x, 0, 0 हैं। यदि हम निर्देशांक रेखाओं के दिशा सदिशों को i →, j →, k → के रूप में निरूपित करते हैं, तो दी गई रेखाओं के दिशा सदिश उनके सापेक्ष संरेख होंगे। आंकड़ा इन मामलों को दर्शाता है:

आइए उदाहरणों के साथ दिखाते हैं कि ये नियम कैसे लागू होते हैं।

उदाहरण 5

विहित समीकरण ज्ञात कीजिए जिनका उपयोग अंतरिक्ष में निर्देशांक रेखाओं O z, O x, O y को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।

समाधान

निर्देशांक सदिश i → = (1, 0, 0), j → = 0, 1, 0, k → = (0, 0, 1) मूल सीधी रेखाओं के लिए मार्गदर्शक होंगे। हम यह भी जानते हैं कि हमारी रेखाएं अनिवार्य रूप से बिंदु 0 (0, 0, 0) से होकर गुजरेंगी, क्योंकि यह मूल बिंदु है। अब हमारे पास आवश्यक विहित समीकरणों को लिखने के लिए सभी डेटा हैं।

सीधी रेखा के लिए O x: x 1 = y 0 = z 0

सीधी रेखा के लिए O y: x 0 = y 1 = z 0

सीधी रेखा O z के लिए: x 0 = y 0 = z 1

उत्तर: x 1 = y 0 = z 0, x 0 = y 1 = z 0, x 0 = y 0 = z 1।

उदाहरण 6

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा दी गई है जो बिंदु M 1 (3, - 1, 12) से होकर गुजरती है। इसे कोटि के समानांतर भी जाना जाता है। इस रेखा के विहित समीकरण लिखिए।

समाधान

समांतरता की स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम कह सकते हैं कि वेक्टर j → = 0, 1, 0 आवश्यक सीधी रेखा के लिए मार्गदर्शक होगा। इसलिए, मांगे गए समीकरणों का रूप होगा:

x - 3 0 = y - (- 1) 1 = z - 12 0 ⇔ x - 3 0 = y + 1 1 = z - 12 0

उत्तर:एक्स - 3 0 = वाई + 1 1 = जेड - 12 0

मान लीजिए कि हमारे पास दो असंगत बिंदु हैं एम 1 (एक्स 1, वाई 1, जेड 1) और एम 2 (एक्स 2, वाई 2, जेड 2), जिसके माध्यम से रेखा गुजरती है। तो, हम इसके लिए एक विहित समीकरण कैसे बना सकते हैं?

शुरू करने के लिए, हम वेक्टर एम 1 एम 2 → (या एम 2 एम 1 →) को इस रेखा के दिशा वेक्टर के रूप में लेते हैं। चूंकि हमारे पास आवश्यक बिंदुओं के निर्देशांक हैं, हम तुरंत वेक्टर के निर्देशांक की गणना करते हैं:

एम 1 एम 2 → = एक्स 2 - एक्स 1, वाई 2 - वाई 1, जेड 2 - जेड 1

x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - जेड 2 जेड 2 - जेड 1

परिणामी समानताएं दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के विहित समीकरण हैं। दृष्टांत पर एक नज़र डालें:

आइए समस्या को हल करने का एक उदाहरण दें।

उदाहरण 7

अंतरिक्ष में निर्देशांक M 1 (- 2, 4, 1) और M 2 (- 3, 2, - 5) के साथ दो बिंदु हैं, जिनसे होकर सीधी रेखा गुजरती है। उसके लिए विहित समीकरण लिखिए।

समाधान

शर्तों के अनुसार, x 1 = - 2, y 1 = - 4, z 1 = 1, x 2 = - 3, y 2 = 2, z 2 = - 5। हमें इन मानों को विहित समीकरण में बदलने की आवश्यकता है:

x - (- 2) - 3 - (- 2) = y - (- 4) 2 - (- 4) = z - 1 - 5 - 1 ⇔ x + 2 - 1 = y + 4 6 = z - 1 - 6

यदि हम x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 के रूप के समीकरण लेते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं: x - (- 3) - 3 - ( - 2) = y - 2 2 - (- 4) = z - (- 5) - 5 - 1 x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6

उत्तर: x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6 या x + 3 - 1 = y - 2 6 = z + 5 - 6।

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरणों का अन्य प्रकार के समीकरणों में परिवर्तन

कभी-कभी x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z के रूप के विहित समीकरणों का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक नहीं होता है। कुछ समस्याओं को हल करने के लिए, संकेतन x = x 1 + a x · y = y 1 + a y · z = z 1 + a z · का उपयोग करना बेहतर है। कुछ मामलों में, दो प्रतिच्छेदी तलों A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 के समीकरणों का उपयोग करके वांछित रेखा निर्धारित करना अधिक बेहतर होता है। = 0. इसलिए, इस खंड में हम विश्लेषण करेंगे कि आप विहित समीकरणों से अन्य रूपों में कैसे जा सकते हैं, यदि हमें समस्या की स्थितियों के अनुसार इसकी आवश्यकता है।

पैरामीट्रिक समीकरणों में संक्रमण के नियमों को समझना मुश्किल नहीं है। सबसे पहले, हम समीकरण के प्रत्येक भाग को पैरामीटर से समान करते हैं और इन समीकरणों को अन्य चरों के संबंध में हल करते हैं। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az x - x 1 कुल्हाड़ी = y - y 1 ay = z - z 1 az = x = x 1 + कुल्हाड़ी y = y 1 + ay λ z = z 1 + az

पैरामीटर λ का मान कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है, क्योंकि x, y, z दोनों कोई भी वास्तविक मान ले सकते हैं।

उदाहरण 8

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, एक सीधी रेखा दी जाती है, जिसे समीकरण x - 2 3 = y - 2 = z + 7 0 द्वारा परिभाषित किया जाता है। विहित समीकरण को पैरामीट्रिक रूप में लिखिए।

समाधान

सबसे पहले, हम भिन्न के प्रत्येक भाग को के बराबर करते हैं।

x - 2 3 = y - 2 = z + 7 0 x - 2 3 = y - 2 = z + 7 0 =

अब हम पहले भाग को x के संबंध में, दूसरे भाग को y के संबंध में, तीसरे भाग को z के संबंध में हल करते हैं। हमें मिल जाएगा:

x - 2 3 = y - 2 = z + 7 0 = x = 2 + 3 y = - 2 z = - 7 + 0 x = 2 + 3 λ y = - 2 जेड = - 7

उत्तर: x = 2 + 3 y = - 2 z = - 7

हमारा अगला कदम विहित समीकरणों को दो प्रतिच्छेद करने वाले विमानों (एक ही सीधी रेखा के लिए) के समीकरण में बदलना होगा।

समानता x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z को पहले समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में दर्शाया जाना चाहिए:

x - x 1 a x = y - y 1 a y x - x 1 a x = z - z 1 a x y - y 1 a y = z - z 1 a z

चूँकि हम p q = r s को p s = q r के रूप में समझते हैं, हम लिख सकते हैं:

x - x 1 ax = y - y 1 ayx - x 1 ax = z - z 1 azy - y 1 ay = z - z 1 az ay (x - x 1) = ax (y - y 1) az (X - x 1) = ax (z - z 1) az (y - y 1) = ay (z - z 1) ay x - ax y + ax y 1 - ay x 1 = 0 az x - ax z + ax z 1 - az x 1 = 0 az y - ay z + ay z 1 - az y 1 = 0

परिणामस्वरूप, हमें वह मिला:

x - x 1 ax = y - y 1 ay = z - z 1 az ⇔ ay x - ax y + ax y 1 - ay x 1 = 0 az x - ax z + ax z 1 - az x 1 = 0 az y - ए जेड + एई जेड 1 - एज़ वाई 1 = 0

हमने ऊपर नोट किया कि सभी तीन पैरामीटर एक ही समय में शून्य नहीं हो सकते। इसलिए, सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक 2 के बराबर होगी, क्योंकि a y - a x 0 a z 0 - a x 0 a z - a y = 0 और दूसरे क्रम के निर्धारकों में से एक 0 के बराबर नहीं है:

ay - axaz 0 = ax az, ay 0 az - ax = ax ay, - ax 0 0 - ax = ax 2 ay - ax 0 az = ay az, ay 0 0 - ay = - ay 2, - ax 0 az - अय = कुल्हाड़ी अयाज़ 0 0 एज़ = एज़ 2, एज़ - कुल्हाड़ी 0 - एई = - एई एज़, 0 - एक्साज़ - एई = कुल्हाड़ी एज़

यह हमें हमारी गणना से एक समीकरण को खत्म करने में सक्षम बनाता है। इस प्रकार, सीधी रेखा के विहित समीकरणों को दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसमें 3 अज्ञात होंगे। वे दो प्रतिच्छेदी तलों के समीकरण होंगे जिनकी हमें आवश्यकता है।

तर्क बल्कि जटिल लगता है, लेकिन व्यवहार में सब कुछ जल्दी से किया जाता है। आइए इसे एक उदाहरण के साथ प्रदर्शित करते हैं।

उदाहरण 9

सीधी रेखा विहित समीकरण x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 द्वारा दी गई है। इसके लिए प्रतिच्छेदी तलों का समीकरण लिखिए।

समाधान

आइए जोड़ीवार भिन्नों के साथ शुरू करते हैं।

x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 x - 1 2 = y 0 x - 1 2 = z + 2 0 y 0 = z + 2 0 0 (x - 1) = 2 y 0 (x - 1) = 2 (z + 2) 0 y = 0 (z + 2) ⇔ y = 0 z + 2 = 0 0 = 0

अब हम अंतिम समीकरण को परिकलनों से बाहर करते हैं, क्योंकि यह किसी भी x, y और z के लिए सही होगा। इस स्थिति में, x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 ⇔ y = 0 z + 2 = 0.

ये दो प्रतिच्छेदी तलों के समीकरण हैं, जो प्रतिच्छेद करने पर समीकरण x - 1 2 = y 0 = z + 2 0 द्वारा दी गई एक सीधी रेखा बनाते हैं।

उत्तर:वाई = 0 जेड + 2 = 0

उदाहरण 10

सरल रेखा समीकरण x + 1 2 = y - 2 1 = z - 5 - 3 द्वारा दी गई है, इस सरल रेखा के अनुदिश प्रतिच्छेद करने वाले दो तलों का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान

हम अंशों को जोड़े में समान करते हैं।

x + 1 2 = y - 2 1 = z - 5 - 3 x + 1 2 = y - 2 1 x + 1 2 = z - 5 - 3 y - 2 1 = z - 5 - 3 1 x + 1) = 2 (y - 2) - 3 (x + 1) = 2 (z - 5) - 3 (y - 2) = 1 (z - 5) ⇔ x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + 7 - 11 = 0

हम पाते हैं कि परिणामी प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक 0 के बराबर होगा:

1 - 2 0 3 0 2 0 3 1 = 1 0 1 + (- 2) 2 0 + 0 3 3 - 0 0 0 - 1 2 3 - (- 2) 3 1 = 0

इस मामले में, दूसरे क्रम का अवयस्क शून्य नहीं होगा: 1 - 2 3 0 = 1 · 0 - (- 2) · 3 = 6। तब हम इसे एक बुनियादी नाबालिग के रूप में ले सकते हैं।

नतीजतन, हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के रैंक की गणना कर सकते हैं x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + z - 11 = 0। यह 2 होगा। तीसरे समीकरण को गणना से बाहर रखा गया है और हम प्राप्त करते हैं:

x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0 3 y + z - 11 = 0 x - 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z - 7 = 0

उत्तर:एक्स - 2 वाई + 5 = 0 3 एक्स + 2 जेड - 7 = 0

यदि आपको टेक्स्ट में कोई त्रुटि दिखाई देती है, तो कृपया उसे चुनें और Ctrl + Enter दबाएं