विद्युत प्रेरण (विद्युत विस्थापन) के लिए गॉस प्रमेय [

एक ढांकता हुआ माध्यम में एक क्षेत्र के लिए, गॉस के इलेक्ट्रोस्टैटिक प्रमेय को दूसरे तरीके से (वैकल्पिक तरीके से) लिखा जा सकता है - विद्युत विस्थापन वेक्टर (विद्युत प्रेरण) के प्रवाह के माध्यम से। इस मामले में, प्रमेय का सूत्रीकरण इस प्रकार है: एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत विस्थापन वेक्टर का प्रवाह इस सतह के भीतर निहित मुक्त विद्युत आवेश के समानुपाती होता है:

विभेदक रूप में:

चुंबकीय प्रेरण के लिए गॉस प्रमेय

किसी भी बंद सतह के माध्यम से चुंबकीय प्रेरण वेक्टर का प्रवाह शून्य है:

या अंतर रूप में

यह इस तथ्य के बराबर है कि प्रकृति में कोई "चुंबकीय आवेश" (मोनोपोल) नहीं होते हैं जो एक चुंबकीय क्षेत्र बनाते हैं, क्योंकि विद्युत आवेश एक विद्युत क्षेत्र बनाते हैं। दूसरे शब्दों में, चुंबकीय प्रेरण के लिए गॉस के प्रमेय से पता चलता है कि चुंबकीय क्षेत्र (पूरी तरह से) है भंवर.

न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस का प्रमेय

न्यूटनियन गुरुत्वाकर्षण (गुरुत्वाकर्षण का त्वरण) के क्षेत्र की ताकत के लिए, गॉस का प्रमेय व्यावहारिक रूप से इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में केवल स्थिरांक के अपवाद के साथ मेल खाता है (हालांकि, यह अभी भी इकाइयों की प्रणाली की मनमानी पसंद पर निर्भर करता है) और, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि संकेत:

कहाँ पे जी- गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की ताकत, एम- सतह के अंदर गुरुत्वीय आवेश (अर्थात द्रव्यमान) एस, ρ - द्रव्यमान घनत्व, जी- न्यूटनियन स्थिरांक।

विद्युत क्षेत्र में कंडक्टर। कंडक्टर के अंदर और उसकी सतह पर क्षेत्र।

निकायों को कंडक्टर कहा जाता है जिसके माध्यम से विद्युत आवेश आवेशित शरीर से अनावेशित शरीर में जा सकते हैं।कंडक्टरों की विद्युत आवेशों को स्वयं के माध्यम से पारित करने की क्षमता को उनमें मुक्त आवेश वाहकों की उपस्थिति से समझाया गया है। कंडक्टर - ठोस और तरल अवस्था में धातु निकाय, इलेक्ट्रोलाइट्स के तरल समाधान। एक विद्युत क्षेत्र में पेश किए गए कंडक्टर के मुक्त शुल्क इसकी क्रिया के तहत गति में आते हैं। आवेशों के पुनर्वितरण से विद्युत क्षेत्र में परिवर्तन होता है। जब चालक में विद्युत क्षेत्र की शक्ति शून्य हो जाती है, तो इलेक्ट्रॉन गति करना बंद कर देते हैं। विद्युत क्षेत्र में रखे किसी चालक में असमान आवेशों के अलग होने की घटना को इलेक्ट्रोस्टैटिक इंडक्शन कहा जाता है। कंडक्टर के अंदर कोई विद्युत क्षेत्र नहीं है। इसका उपयोग इलेक्ट्रोस्टैटिक संरक्षण के लिए किया जाता है - विद्युत क्षेत्र से धातु के कंडक्टरों से सुरक्षा। किसी विद्युत क्षेत्र में किसी भी आकार के संवाहक पिंड की सतह एक समविभव सतह होती है।

संधारित्र

उन उपकरणों को प्राप्त करने के लिए, जो माध्यम के सापेक्ष एक छोटी क्षमता के साथ, अपने आप पर ध्यान देने योग्य शुल्क जमा (घनीभूत) करेंगे, वे इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि जब अन्य निकाय इसके पास आते हैं तो एक कंडक्टर की विद्युत क्षमता बढ़ जाती है। दरअसल, आवेशित कंडक्टरों द्वारा बनाए गए क्षेत्र की कार्रवाई के तहत, प्रेरित (कंडक्टर पर) या संबंधित (ढांकता हुआ पर) चार्ज इसे लाए गए शरीर पर दिखाई देते हैं (चित्र। 15.5)। चार्ज, कंडक्टर q के चार्ज के विपरीत, q के साथ एक ही नाम के लोगों की तुलना में कंडक्टर के करीब स्थित हैं, और इसलिए, इसकी क्षमता पर बहुत प्रभाव पड़ता है।

इसलिए, जब किसी वस्तु को आवेशित चालक के पास लाया जाता है, तो क्षेत्र की शक्ति कम हो जाती है, और इसलिए, चालक की क्षमता कम हो जाती है। समीकरण के अनुसार, इसका अर्थ है चालक की धारिता में वृद्धि।

एक संधारित्र में दो चालक (प्लेटें) होते हैं (चित्र 15.6), जो एक परावैद्युत परत से अलग होते हैं। जब किसी चालक पर एक निश्चित विभवान्तर लगाया जाता है, तो उसकी प्लेटों पर विपरीत चिन्ह के बराबर आवेश होते हैं। संधारित्र की विद्युत क्षमता को आवेश q के समानुपाती और प्लेटों के बीच संभावित अंतर के व्युत्क्रमानुपाती भौतिक मात्रा के रूप में समझा जाता है

आइए एक समतल संधारित्र की धारिता निर्धारित करें।

यदि प्लेट का क्षेत्रफल S है और उस पर आवेश q है, तो प्लेटों के बीच क्षेत्र की ताकत है

दूसरी ओर, प्लेटों के बीच संभावित अंतर जहां से

बिंदु आवेशों की एक प्रणाली की ऊर्जा, एक आवेशित कंडक्टर और एक संधारित्र।

आवेशों की किसी भी प्रणाली में अंतःक्रिया की एक निश्चित संभावित ऊर्जा होती है, जो इस प्रणाली के निर्माण पर खर्च किए गए कार्य के बराबर होती है। बिंदु आवेशों के निकाय की ऊर्जा क्यू 1 , क्यू 2 , क्यू 3 ,… क्यू एननिम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

कहाँ पे φ 1 - को छोड़कर सभी आवेशों द्वारा निर्मित विद्युत क्षेत्र की क्षमता क्यू 1 उस बिंदु पर जहां चार्ज है क्यू 1, आदि यदि आवेशों के निकाय का विन्यास बदल जाता है, तो निकाय की ऊर्जा भी बदल जाती है। सिस्टम के कॉन्फ़िगरेशन को बदलने के लिए, आपको कुछ काम करने की आवश्यकता है।

बिंदु आवेशों की प्रणाली की स्थितिज ऊर्जा की गणना दूसरे तरीके से की जा सकती है। दो बिंदु आवेशों की स्थितिज ऊर्जा क्यू 1 , क्यू 2 एक दूसरे से दूरी के बराबर है। यदि कई आवेश हैं, तो आवेशों की इस प्रणाली की स्थितिज ऊर्जा को इस प्रणाली के लिए बनाए जा सकने वाले आवेशों के सभी युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं के योग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। तो, तीन धनात्मक आवेशों के निकाय के लिए निकाय की ऊर्जा है

प्वाइंट चार्ज विद्युत क्षेत्र क्यू 0 एक ढांकता हुआ स्थिरांक वाले माध्यम में इससे कुछ दूरी पर ε (देखिए आकृति 3.1.3)। चित्र 3.1.3	; विभव एक अदिश राशि है, इसका चिन्ह उस आवेश के चिन्ह पर निर्भर करता है जो क्षेत्र बनाता है।
चित्र 3.1.4। इसकी सतह से कुछ दूरी पर बिंदु C पर त्रिज्या के एकसमान आवेशित गोले का विद्युत क्षेत्र (चित्र 3.1.4)। गोले का विद्युत क्षेत्र गोले के आवेश के बराबर बिंदु आवेश के क्षेत्र के समान होता है क्यूसपा और इसके केंद्र में केंद्रित है। उस बिंदु की दूरी जहां तनाव निर्धारित किया जाता है ( आर+ए)	गोले के बाहर: ; गोले के अंदर की क्षमता स्थिर और बराबर है , और गोले के अंदर तनाव शून्य है
सतह घनत्व के साथ एक समान रूप से चार्ज अनंत विमान का विद्युत क्षेत्र σ (देखिए आकृति 3.1.5)। चित्र 3.1.5।	वह क्षेत्र जिसकी शक्ति सभी बिंदुओं पर समान होती है, कहलाती है सजातीय. सतह घनत्व σ प्रति इकाई सतह आवेश है (क्रमशः समतल का आवेश और क्षेत्रफल कहाँ है)। सतह चार्ज घनत्व का आयाम।
समान परिमाण वाले समतल संधारित्र का विद्युत क्षेत्र, लेकिन प्लेटों पर साइन आवेशों के विपरीत (देखिए आकृति 3.1.6)। चित्र 3.1.6	संधारित्र के बाहर समतल संधारित्र की प्लेटों के बीच तनाव इ=0. संभावित अंतर तुमसंधारित्र की प्लेटों (प्लेटों) के बीच :, जहाँ डीप्लेटों के बीच की दूरी है, संधारित्र की प्लेटों के बीच रखे परावैद्युत का ढांकता हुआ स्थिरांक है। संधारित्र प्लेटों पर सतह आवेश घनत्व उस पर आवेश की मात्रा और प्लेट के क्षेत्रफल के अनुपात के बराबर होता है:

एक आवेशित एकान्त चालक और संधारित्र की ऊर्जा

यदि एक अकेले कंडक्टर में चार्ज q है, तो उसके चारों ओर एक विद्युत क्षेत्र मौजूद है, जिसकी क्षमता कंडक्टर की सतह पर बराबर है, और क्षमता सी है। चलो चार्ज को डीक्यू से बढ़ाएं। चार्ज dq को अनंत से स्थानांतरित करते समय, कार्य बराबर किया जाना चाहिए ... लेकिन अनंत पर दिए गए कंडक्टर के इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की क्षमता शून्य है। फिर

जब चार्ज dq को कंडक्टर से अनंत तक स्थानांतरित किया जाता है, तो वही कार्य इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के बलों द्वारा किया जाता है। नतीजतन, कंडक्टर के चार्ज में dq की मात्रा में वृद्धि के साथ, क्षेत्र की संभावित ऊर्जा बढ़ जाती है, अर्थात।

इस अभिव्यक्ति को एकीकृत करके, हम एक चार्ज कंडक्टर के इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की संभावित ऊर्जा को शून्य से q तक बढ़ाने के साथ पाते हैं:

अनुपात को लागू करते हुए, संभावित ऊर्जा W के लिए निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त किए जा सकते हैं:

एक आवेशित संधारित्र के लिए, संभावित अंतर (वोल्टेज) है, इसलिए, इसके इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की कुल ऊर्जा के अनुपात का रूप है

जब कई शुल्क होते हैं, तो फ़ील्ड की गणना करने में कुछ कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं।

गॉस की प्रमेय उन्हें दूर करने में मदद करती है। तत्व गॉस प्रमेयनिम्न में घटाया जाता है: यदि आवेशों की एक मनमानी संख्या मानसिक रूप से एक बंद सतह S से घिरी होती है, तो प्राथमिक क्षेत्र dS के माध्यम से विद्युत क्षेत्र की ताकत के प्रवाह को dФ = ЕСОsα۰dS के रूप में लिखा जा सकता है, जहां α सामान्य से के बीच का कोण है विमान और तीव्रता के वेक्टर ... (अंजीर 12.7)

पूरी सतह के माध्यम से कुल प्रवाह सभी शुल्कों से प्रवाह के योग के बराबर होगा, इसके अंदर मनमाने ढंग से वितरित किया जाएगा और इस चार्ज के परिमाण के अनुपात में

(12.9)

आइए हम त्रिज्या r की एक गोलाकार सतह के माध्यम से तीव्रता वेक्टर के प्रवाह को निर्धारित करें, जिसके केंद्र में एक बिंदु आवेश + q है (चित्र 12.8)। तनाव की रेखाएं गोले की सतह पर लंबवत होती हैं, α = 0, इसलिए cosα = 1। तब

यदि क्षेत्र आवेशों की एक प्रणाली द्वारा बनता है, तो

गॉस की प्रमेय: किसी भी बंद सतह के माध्यम से निर्वात में इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की ताकत के वेक्टर का प्रवाह इस सतह के भीतर निहित आवेशों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है, जिसे विद्युत स्थिरांक से विभाजित किया जाता है।

(12.10)

यदि गोले के अंदर कोई आवेश नहीं है, तो = 0.

गॉस का प्रमेय सममित रूप से वितरित शुल्कों के लिए विद्युत क्षेत्रों की गणना करना अपेक्षाकृत आसान बनाता है।

आइए हम वितरित शुल्कों के घनत्व की अवधारणा का परिचय दें।

रैखिक घनत्व को द्वारा निरूपित किया जाता है और चार्ज q प्रति इकाई लंबाई की विशेषता है। सामान्य तौर पर, इसकी गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

(12.11)

आवेशों के एकसमान वितरण के साथ, रैखिक घनत्व है

सतह घनत्व को द्वारा निरूपित किया जाता है और चार्ज q प्रति इकाई क्षेत्र S को दर्शाता है। सामान्य रूप में, यह सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

(12.12)

सतह पर आवेशों के समान वितरण के साथ, सतह घनत्व बराबर होता है

थोक घनत्व को द्वारा निरूपित किया जाता है, चार्ज q प्रति यूनिट वॉल्यूम V की विशेषता है। सामान्य रूप में, यह सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

(12.13)

आवेशों के एकसमान वितरण के साथ, यह बराबर है
.

चूँकि आवेश q गोले पर एकसमान रूप से स्थित है, तो

= स्थिरांक। हम गॉस प्रमेय लागू करते हैं। आइए हम बिंदु A से जाने वाली त्रिज्या के साथ एक गोला बनाएं। आकृति 12.9 के तीव्रता वाले वेक्टर का त्रिज्या के एक गोलाकार सतह के माध्यम से प्रवाह cosα = 1 के बराबर है, क्योंकि α = 0. गॉस के प्रमेय के अनुसार,
.

या

(12.14)

व्यंजक (12.14) से यह पता चलता है कि आवेशित गोले के बाहर की क्षेत्र शक्ति, गोले के केंद्र में रखे बिंदु आवेश की क्षेत्र शक्ति के समान होती है। गोले की सतह पर, अर्थात्। आर 1 = आर 0, तनाव
.

गोले के अंदर r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

त्रिज्या r 0 का एक बेलन समान रूप से सतह घनत्व से आवेशित होता है (चित्र 12.10)। आइए हम मनमाने ढंग से चुने गए बिंदु ए पर क्षेत्र की ताकत निर्धारित करें। बिंदु ए के माध्यम से त्रिज्या आर और लंबाई के साथ एक काल्पनिक बेलनाकार सतह बनाएं। समरूपता के कारण, प्रवाह केवल सिलेंडर की पार्श्व सतहों के माध्यम से बाहर निकलेगा, क्योंकि त्रिज्या r 0 के सिलेंडर पर आरोप समान रूप से इसकी सतह पर वितरित किए जाते हैं, अर्थात। तनाव की रेखाएं दोनों सिलेंडरों की पार्श्व सतहों के लंबवत रेडियल सीधी रेखाएं होंगी। चूंकि सिलेंडर के आधार के माध्यम से प्रवाह शून्य है (cos α = 0), और सिलेंडर की पार्श्व सतह बल की रेखाओं के लंबवत है (cos α = 1), फिर

या

(12.15)

आइए हम E के मान को - पृष्ठ घनत्व के रूप में व्यक्त करें। परिभाषा से,

इसलिए,

सूत्र में q का मान रखें (12.15)

(12.16)

रैखिक घनत्व की परिभाषा के अनुसार,
, कहाँ पे
; हम इस व्यंजक को सूत्र (12.16) में प्रतिस्थापित करते हैं:

(12.17)

वे। एक असीम रूप से लंबे चार्ज सिलेंडर द्वारा बनाए गए क्षेत्र की तीव्रता चार्ज के रैखिक घनत्व के समानुपाती होती है और दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

एक समान रूप से आवेशित अनंत समतल द्वारा निर्मित क्षेत्र की तीव्रता

आइए हम बिंदु ए पर एक समान रूप से चार्ज किए गए अनंत विमान द्वारा बनाए गए क्षेत्र की ताकत निर्धारित करें। मान लें कि विमान की सतह चार्ज घनत्व σ के बराबर है। एक बंद सतह के रूप में एक सिलेंडर चुनना सुविधाजनक है, जिसकी धुरी विमान के लंबवत है, और दाहिने आधार में बिंदु ए होता है। विमान सिलेंडर को आधा में विभाजित करता है। जाहिर है, बल की रेखाएं विमान के लंबवत और सिलेंडर की पार्श्व सतह के समानांतर होती हैं, इसलिए पूरा प्रवाह केवल सिलेंडर के आधारों से होकर गुजरता है। दोनों आधारों पर, क्षेत्र शक्ति समान है, क्योंकि बिंदु ए और बी विमान के बारे में सममित हैं। तब बेलन के आधारों से प्रवाहित होता है

गॉस के प्रमेय के अनुसार,

चूंकि
, फिर
, कहाँ पे

(12.18)

इस प्रकार, एक अनंत आवेशित विमान की क्षेत्र शक्ति सतह आवेश घनत्व के समानुपाती होती है और यह विमान की दूरी पर निर्भर नहीं करती है। नतीजतन, विमान का क्षेत्र एक समान है।

दो विपरीत एकसमान आवेशित समांतर तलों द्वारा निर्मित क्षेत्र की तीव्रता

दो विमानों द्वारा बनाया गया परिणामी क्षेत्र क्षेत्रों के सुपरपोजिशन के सिद्धांत द्वारा निर्धारित किया जाता है:
(चित्र 12.12)। प्रत्येक विमान द्वारा बनाया गया क्षेत्र सजातीय है, इन क्षेत्रों की ताकत परिमाण में समान है, लेकिन दिशा में विपरीत है:
... अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार, विमान के बाहर के कुल क्षेत्र की ताकत शून्य के बराबर होती है:

विमानों के बीच, क्षेत्र की ताकत की दिशाएं समान होती हैं, इसलिए परिणामी ताकत होती है

इस प्रकार, दो समान रूप से आवेशित दो समतलों के बीच का क्षेत्र सजातीय होता है और इसकी तीव्रता एक तल द्वारा बनाए गए क्षेत्र की तीव्रता से दो गुना अधिक होती है। विमानों के बाएँ और दाएँ कोई क्षेत्र नहीं है। परिमित विमानों के क्षेत्र का एक ही रूप है, विकृति केवल उनकी सीमाओं के पास दिखाई देती है। परिणामी सूत्र का उपयोग करके, आप एक फ्लैट संधारित्र की प्लेटों के बीच के क्षेत्र की गणना कर सकते हैं।

सामान्य सूत्रीकरण: किसी भी मनमाने ढंग से चुनी गई बंद सतह के माध्यम से विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर का प्रवाह इस सतह के भीतर निहित विद्युत आवेश के समानुपाती होता है।

सीजीएसई प्रणाली में:

एसआई प्रणाली में:

- बंद सतह के माध्यम से विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर का प्रवाह।

- सतह को घेरने वाले आयतन में निहित कुल आवेश।

- विद्युत स्थिरांक।

यह व्यंजक गॉस प्रमेय अभिन्न रूप में है।

अंतर रूप में, गॉस की प्रमेय मैक्सवेल के समीकरणों में से एक से मेल खाती है और इसे निम्नानुसार व्यक्त किया जाता है

एसआई प्रणाली में:

,

सीजीएसई प्रणाली में:

यहाँ वॉल्यूमेट्रिक चार्ज डेंसिटी (एक माध्यम की उपस्थिति में, फ्री और बाउंड चार्ज का कुल घनत्व) है, और नाबला ऑपरेटर है।

गॉस प्रमेय के लिए, सुपरपोजिशन का सिद्धांत मान्य है, अर्थात, सतह के माध्यम से तनाव वेक्टर का प्रवाह सतह के अंदर आवेश के वितरण पर निर्भर नहीं करता है।

गॉस प्रमेय का भौतिक आधार कूलम्ब का नियम है, या, दूसरे शब्दों में, गॉस का प्रमेय कूलम्ब के नियम का एक अभिन्न सूत्रीकरण है।

विद्युत प्रेरण (विद्युत विस्थापन) के लिए गॉस प्रमेय।

मामले में एक क्षेत्र के लिए, गॉस के इलेक्ट्रोस्टैटिक प्रमेय को अलग तरह से लिखा जा सकता है - विद्युत विस्थापन (विद्युत प्रेरण) के वेक्टर के प्रवाह के माध्यम से। इस मामले में, प्रमेय का सूत्रीकरण इस प्रकार है: एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत विस्थापन वेक्टर का प्रवाह इस सतह के भीतर निहित मुक्त विद्युत आवेश के समानुपाती होता है:

यदि हम किसी पदार्थ में क्षेत्र की ताकत के लिए प्रमेय पर विचार करते हैं, तो चार्ज क्यू के रूप में सतह के अंदर मुक्त चार्ज और ढांकता हुआ के ध्रुवीकरण (प्रेरित, बाध्य) चार्ज का योग लेना आवश्यक है:

,

कहाँ पे ,
ढांकता हुआ का ध्रुवीकरण वेक्टर है।

चुंबकीय प्रेरण के लिए गॉस प्रमेय

किसी भी बंद सतह के माध्यम से चुंबकीय प्रेरण वेक्टर का प्रवाह शून्य है:

.

यह इस तथ्य के बराबर है कि प्रकृति में कोई "चुंबकीय आवेश" (मोनोपोल) नहीं होते हैं जो एक चुंबकीय क्षेत्र बनाते हैं, क्योंकि विद्युत आवेश एक विद्युत क्षेत्र बनाते हैं। दूसरे शब्दों में, चुंबकीय प्रेरण के लिए गॉस प्रमेय से पता चलता है कि चुंबकीय क्षेत्र भंवर है।

गॉस प्रमेय का अनुप्रयोग

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की गणना के लिए निम्नलिखित मात्राओं का उपयोग किया जाता है:

थोक चार्ज घनत्व (ऊपर देखें)।

सतह चार्ज घनत्व

जहाँ dS सतह का एक अतिसूक्ष्म क्षेत्र है।

रैखिक चार्ज घनत्व

जहाँ dl एक अतिसूक्ष्म खंड की लंबाई है।

एक अनंत सजातीय आवेशित विमान द्वारा बनाए गए क्षेत्र पर विचार करें। मान लीजिए कि समतल का पृष्ठ आवेश घनत्व समान और के बराबर है। मानसिक रूप से एक सिलेंडर की कल्पना करें जिसमें जनक विमान के लंबवत हों, और आधार S, समतल के सापेक्ष सममित रूप से स्थित हो। समरूपता के कारण। तीव्रता वेक्टर फ्लक्स के बराबर है। गॉस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

,

किस से

सीजीएसई प्रणाली में

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि, इसकी सार्वभौमिकता और व्यापकता के बावजूद, इंटीग्रल फॉर्म में गॉस के प्रमेय का इंटीग्रल की गणना की असुविधा के कारण अपेक्षाकृत सीमित अनुप्रयोग है। हालांकि, एक सममित समस्या के मामले में, सुपरपोजिशन सिद्धांत का उपयोग करने की तुलना में इसका समाधान बहुत आसान हो जाता है।

विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर प्रवाह।एक छोटा सा क्षेत्र होने दो डीएस(चित्र 1.2) विद्युत क्षेत्र की बल रेखाओं को प्रतिच्छेद करते हैं, जिसकी दिशा अभिलंब के साथ होती है एन इस साइट के कोण ए... यह मानते हुए कि तनाव का वेक्टर इ साइट के भीतर नहीं बदलता है डीएस, परिभाषित करें तनाव वेक्टर प्रवाहसाइट के पार डीएसकैसे

डीएफइ =इ डीएसक्योंकि ए.(1.3)

चूँकि बल रेखाओं का घनत्व तनाव के संख्यात्मक मान के बराबर होता है इ, तो साइट को पार करने वाली बल की रेखाओं की संख्याडीएस, संख्यात्मक रूप से प्रवाह मान के बराबर होगाडीएफइसतह के पारडीएस... हम सदिशों के अदिश गुणन के रूप में व्यंजक (1.3) के दाहिने हाथ का प्रतिनिधित्व करते हैं इतथाडीएस= एनडीएस, कहाँ पे एनक्या सतह पर इकाई सामान्य वेक्टर हैडीएस... प्राथमिक साइट के लिए d एसव्यंजक (1.3) रूप लेता है

डीएफइ = इडी एस

पूरी साइट पर एसतीव्रता वेक्टर प्रवाह की गणना सतह पर एक अभिन्न के रूप में की जाती है

इलेक्ट्रिक इंडक्शन वेक्टर फ्लक्स।विद्युत प्रेरण वेक्टर का प्रवाह विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर के प्रवाह के समान निर्धारित होता है

डीएफडी = डीडी एस

प्रवाह की परिभाषाओं में कुछ अस्पष्टता ध्यान देने योग्य है, इस तथ्य के कारण कि प्रत्येक सतह के लिए दो विपरीत दिशा के मानदंड। एक बंद सतह के लिए, बाहरी सामान्य को सकारात्मक माना जाता है।

गॉस प्रमेय।विचार करना सकारात्मक बिंदुआवेश क्यूएक मनमाना बंद सतह के अंदर एस(अंजीर। 1.3)। सतह के एक तत्व के माध्यम से प्रेरण वेक्टर का प्रवाह d एसके बराबर है
(1.4)

घटक डी एस डी = डी एस क्योंकि एसतह तत्व डी एसप्रेरण वेक्टर की दिशा मेंडीत्रिज्या के एक गोलाकार सतह के तत्व के रूप में माना जाता है आर, जिसके केंद्र में चार्ज हैक्यू.

यह ध्यान में रखते हुए एस डी/ आर 2 बराबर है प्राथमिक शारीरिककोने डीवू, जिसके तहत प्रभारी के स्थान के बिंदु सेक्यूसतह तत्व d दिखाई दे रहा है एस, हम अभिव्यक्ति (1.4) को रूप में बदलते हैंडी एफडी = क्यू डी वू / 4 पी, कहाँ से, आवेश के आस-पास के पूरे स्थान पर एकीकरण के बाद, यानी 0 से 4 तक ठोस कोण के भीतरपी, हम पाते हैं

एफडी = क्यू.

मनमाना आकार की एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रेरण वेक्टर का प्रवाह इस सतह के अंदर निहित आवेश के बराबर होता है.

यदि एक मनमाना बंद सतह एसप्वाइंट चार्ज को कवर नहीं करता है क्यू(चित्र। 1.4), फिर, उस बिंदु पर शीर्ष के साथ एक शंक्वाकार सतह का निर्माण करके, जहां चार्ज स्थित है, हम सतह को विभाजित करते हैं एसदो भागों में: एस 1 और एस 2. वेक्टर स्ट्रीम डी सतह के पार एसहम सतहों के माध्यम से प्रवाह के बीजीय योग के रूप में पाते हैं एस 1 और एस 2:

.

चार्ज के स्थान के बिंदु से दोनों सतह क्यूएक ठोस कोण पर दिखाई देता है वू... इसलिए प्रवाह बराबर हैं

चूंकि एक बंद सतह के माध्यम से प्रवाह की गणना का उपयोग करके की जाती है बाहरी सामान्यसतह पर, यह देखना आसान है कि प्रवाह Ф -1 डी < 0, тогда как поток Ф2डी> 0. कुल प्रवाह डी= 0. इसका मतलब है कि मनमानी आकार की एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रेरण वेक्टर का प्रवाह इस सतह के बाहर स्थित आरोपों पर निर्भर नहीं करता है।

यदि विद्युत क्षेत्र बिंदु आवेशों की एक प्रणाली द्वारा बनाया गया है क्यू 1 , क्यू 2 ,¼ , क्यू नहीं, जो एक बंद सतह से आच्छादित है एस, फिर, सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार, इस सतह के माध्यम से प्रेरण वेक्टर के प्रवाह को प्रत्येक चार्ज द्वारा बनाए गए फ्लक्स के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है। मनमानी आकार की एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रेरण वेक्टर का प्रवाह इस सतह द्वारा कवर किए गए आरोपों के बीजगणितीय योग के बराबर है:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि शुल्क क्यू मैंबिंदु जैसा होना आवश्यक नहीं है, एक आवश्यक शर्त यह है कि आवेशित क्षेत्र पूरी तरह से सतह से ढका होना चाहिए। यदि एक बंद सतह से घिरे अंतरिक्ष में एस, विद्युत आवेश लगातार वितरित किया जाता है, तो यह माना जाना चाहिए कि प्रत्येक प्राथमिक आयतन d वीएक चार्ज है। इस स्थिति में, व्यंजक (1.5) के दायीं ओर, आवेशों के बीजगणितीय योग को बंद सतह के अंदर संलग्न आयतन पर समाकलन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। एस:

(1.6)

अभिव्यक्ति (1.6) सबसे सामान्य सूत्रीकरण है गॉस प्रमेय: मनमाना आकार की एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रेरण वेक्टर का प्रवाह इस सतह से घिरे आयतन में कुल आवेश के बराबर होता है, और माना सतह के बाहर स्थित आवेशों पर निर्भर नहीं करता है... गॉस के प्रमेय को विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर के प्रवाह के लिए भी लिखा जा सकता है:

.

गॉस प्रमेय से विद्युत क्षेत्र का एक महत्वपूर्ण गुण निम्नानुसार है: बल की रेखाएँ केवल विद्युत आवेशों पर शुरू या समाप्त होती हैं या अनंत तक जाती हैं... हम एक बार फिर जोर देते हैं कि, इस तथ्य के बावजूद कि विद्युत क्षेत्र की ताकत इ और विद्युत प्रेरण डी अंतरिक्ष में सभी आवेशों के स्थान पर निर्भर करते हैं, इन सदिशों के एक मनमाना बंद सतह के माध्यम से प्रवाह एसकेवल निर्धारित वे आवेश जो सतह के अंदर स्थित होते हैं एस.

गॉस प्रमेय का विभेदक रूप।ध्यान दें कि अभिन्न रूपगॉस का प्रमेय विद्युत क्षेत्र (आवेश) के स्रोतों और आयतन में विद्युत क्षेत्र (शक्ति या प्रेरण) की विशेषताओं के बीच संबंध को दर्शाता है वीमनमाना, लेकिन अभिन्न संबंधों के निर्माण के लिए पर्याप्त, मूल्य। मात्रा को विभाजित करना वीछोटी मात्रा के लिए वी मैं, हमें अभिव्यक्ति मिलती है

जो समग्र रूप से और प्रत्येक पद के लिए सत्य है। आइए परिणामी अभिव्यक्ति को निम्नानुसार रूपांतरित करें:

(1.7)

और उस सीमा पर विचार करें जिस पर समानता के दाहिने हाथ की अभिव्यक्ति, घुंघराले ब्रेसिज़ में संलग्न है, मात्रा के असीमित विभाजन के लिए जाता है वी... गणित में इस सीमा को कहते हैं विचलनवेक्टर (इस मामले में, विद्युत प्रेरण वेक्टर डी):

वेक्टर विचलन डीकार्टेशियन निर्देशांक में:

इस प्रकार, व्यंजक (1.7) का रूप बदल जाता है:

.

इस बात को ध्यान में रखते हुए कि असीमित विभाजन के साथ, अंतिम अभिव्यक्ति के बाईं ओर का योग वॉल्यूम इंटीग्रल में चला जाता है, हम प्राप्त करते हैं

परिणामी अनुपात किसी भी मनमाने ढंग से चुने गए वॉल्यूम के लिए संतुष्ट होना चाहिए वी... यह तभी संभव है जब अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर समाकलन के मान समान हों। इसलिए, वेक्टर का विचलन डीसमानता द्वारा एक ही बिंदु पर चार्ज घनत्व से संबंधित है

या इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की ताकत के वेक्टर के लिए

ये समानताएँ गॉस के प्रमेय को व्यक्त करती हैं विभेदक रूप.

ध्यान दें कि गॉस प्रमेय के विभेदक रूप में जाने की प्रक्रिया में, एक संबंध प्राप्त होता है जिसमें एक सामान्य चरित्र होता है:

.

अभिव्यक्ति को गॉस-ओस्ट्रोग्रैडस्की सूत्र कहा जाता है और एक बंद सतह के माध्यम से इस वेक्टर के प्रवाह के साथ एक वेक्टर के विचलन की मात्रा पर इंटीग्रल को जोड़ता है।

प्रशन

1) वैक्यूम में इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के लिए गॉस प्रमेय का भौतिक अर्थ क्या है?

2) घन के केंद्र में एक बिंदु आवेश होता है।क्यू... वेक्टर फ्लक्स क्या है इ:

ए) घन की पूरी सतह के माध्यम से; बी) घन चेहरों में से एक के माध्यम से।

क्या उत्तर बदल जाएंगे यदि:

a) आवेश घन के केंद्र में नहीं, बल्कि उसके अंदर होता है ; b) आवेश घन के बाहर है।

3) रैखिक, सतह, वॉल्यूमेट्रिक चार्ज घनत्व क्या है।

4) थोक और सतह आवेश घनत्व के बीच संबंध को इंगित करें।

5) क्या विपरीत और समान रूप से आवेशित समानांतर अनंत विमानों के बाहर का क्षेत्र गैर-शून्य हो सकता है?

6) एक बंद सतह के अंदर एक विद्युत द्विध्रुव रखा जाता है। इस सतह के माध्यम से प्रवाह क्या है