व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ को कैसे हल करें। एक समारोह का व्युत्पन्न

अवकलज का ज्यामितीय मान ज्ञात करने के लिए फलन y = f (x) के आलेख पर विचार करें। निर्देशांक (x, y) और एक बिंदु N (x + $ \ Delta $ x, y + $ \ Delta $ y) के साथ एक मनमाना बिंदु M लें। आइए निर्देशांक $ \ overline (M_ (1) M) $ और $ \ overline (N_ (1) N) $ ड्रा करें, और बिंदु M से - OX अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा।

अनुपात $ \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) $ कोण $ \ alpha $ 1 का स्पर्शरेखा है जो OX अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ छेदक MN द्वारा बनाया गया है। जैसे ही $ \ Delta $ x शून्य की ओर जाता है, बिंदु N, M के पास जाएगा, और छेदक MN की सीमित स्थिति बिंदु M पर वक्र की स्पर्शरेखा MT होगी। इस प्रकार, व्युत्पन्न f` (x) स्पर्शरेखा के बराबर है कोण $ \ alpha $ OX अक्ष के लिए एक सकारात्मक दिशा के साथ बिंदु M (x, y) पर वक्र के स्पर्शरेखा द्वारा गठित - स्पर्शरेखा का ढलान (चित्र 1)।

चित्र 1. फंक्शन ग्राफ

सूत्रों (1) के अनुसार मूल्यों की गणना करते समय, यह महत्वपूर्ण है कि संकेतों में गलती न हो, क्योंकि वृद्धि ऋणात्मक भी हो सकती है।

वक्र पर स्थित एक बिंदु N किसी भी ओर से M के पास पहुंच सकता है। इसलिए, यदि चित्र 1 में, स्पर्शरेखा को विपरीत दिशा दी जाती है, तो कोण $ \ alpha $ मूल्य $ \ pi $ से बदल जाएगा, जो कोण के स्पर्शरेखा को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करेगा और, तदनुसार, ढलान।

निष्कर्ष

यह इस प्रकार है कि व्युत्पन्न का अस्तित्व वक्र y = f (x) के स्पर्शरेखा के अस्तित्व से जुड़ा हुआ है, और ढलान - tg $ \ alpha $ = f` (x) परिमित है। इसलिए, स्पर्शरेखा ओए अक्ष के समानांतर नहीं होनी चाहिए, अन्यथा $ \ alpha $ = $ \ pi $ / 2, और कोण की स्पर्शरेखा अनंत होगी।

कुछ बिंदुओं पर, एक सतत वक्र में ओए अक्ष के समानांतर स्पर्शरेखा या स्पर्शरेखा नहीं हो सकती है (चित्र 2)। फिर, इन मानों में, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न नहीं हो सकता है। फ़ंक्शन वक्र पर ऐसे कई बिंदु हो सकते हैं।

चित्र 2. वक्र के असाधारण बिंदु

चित्र 2 पर विचार करें। मान लें कि $ \ Delta $ x ऋणात्मक या धनात्मक मानों की ओर से शून्य हो जाता है:

\ [\ डेल्टा x \ से -0 \ प्रारंभ (सरणी) (सीसी) () और (\ डेल्टा x \ से +0) \ अंत (सरणी) \]

यदि, इस मामले में, संबंधों (1) की अंतिम सीमा है, तो इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है:

पहले मामले में, बाईं ओर व्युत्पन्न, दूसरे में, दाईं ओर व्युत्पन्न।

सीमा का अस्तित्व बाएँ और दाएँ डेरिवेटिव की समानता और समानता को इंगित करता है:

यदि बाएँ और दाएँ व्युत्पन्न समान नहीं हैं, तो इस बिंदु पर OY (बिंदु M1, चित्र 2) के समानांतर स्पर्शरेखाएँ नहीं हैं। बिंदु М2, 3 पर, संबंध (1) अनंत की ओर प्रवृत्त होते हैं।

M2 के बाईं ओर स्थित बिंदुओं N के लिए, $ \ Delta $ x $

$ M_2 $, $ \ Delta $ x $> $ 0 के दाईं ओर, लेकिन व्यंजक भी f (x + $ \ Delta $ x) - f (x) $ है

बिंदु $ M_3 $ के लिए बाईं ओर $ \ Delta $ x $$ 0 और f (x + $ \ Delta $ x) - f (x) $> $ 0, अर्थात। भाव (1) बाईं ओर और दाईं ओर दोनों सकारात्मक हैं और + $ \ infty $ दोनों के रूप में $ \ Delta $ x -0 और +0 की ओर बढ़ते हैं।

सीधी रेखा (x = c) के विशिष्ट बिंदुओं पर व्युत्पन्न की अनुपस्थिति का मामला चित्र 3 में दिखाया गया है।

चित्रा 3. डेरिवेटिव की अनुपस्थिति

उदाहरण 1

चित्र 4 एब्सिसा $ x_0 $ के साथ बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ और ग्राफ़ के स्पर्शरेखा को दिखाता है। भुज पर फलन के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान। बिंदु पर व्युत्पन्न तर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन के ~ वेतन वृद्धि के अनुपात के बराबर है। आइए स्पर्शरेखा पर पूर्णांक निर्देशांक वाले दो बिंदु चुनें। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, ये बिंदु F (-3,2) और C (-2.4) होंगे।

वर्तमान पृष्ठ पर जानकारी पढ़ने से पहले, हम आपको व्युत्पत्ति और उसके ज्यामितीय अर्थ के बारे में एक वीडियो देखने की सलाह देते हैं।

एक बिंदु पर व्युत्पन्न की गणना का एक उदाहरण भी देखें

बिंदु 0 पर रेखा l की स्पर्शरेखा को सीधी रेखा М0Т कहा जाता है - छेदक 0М की सीमित स्थिति, जब बिंदु इस रेखा के साथ М0 की ओर जाता है (अर्थात, कोण शून्य की ओर जाता है) मनमाने तरीके से।

फलन y = f (x) का अवकलजबिंदु x0 . पर बुलायाइस फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा तर्क की वृद्धि के लिए जब उत्तरार्द्ध शून्य हो जाता है। फ़ंक्शन का व्युत्पन्न y = f (x) बिंदु x0 पर और पाठ्यपुस्तकों को प्रतीक f "(x0) द्वारा दर्शाया जाता है। इसलिए, परिभाषा के अनुसार

व्युत्पन्न शब्द(और "दूसरा व्युत्पन्न") जे. लैग्रेंज द्वारा पेश किया गया(1797), और उन्होंने पदनाम y ', f' (x), f "(x) (1770,1779) भी दिए। संकेतन dy / dx का पहली बार सामना लाइबनिज़ (1675) ने किया था।

फ़ंक्शन y = f (x) का x = xо पर व्युत्पन्न बिंदु Mo (хо, f (xо)) पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर है, अर्थात।

जहाँ एक - स्पर्शरेखा के झुकाव का कोण एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के ऑक्स अक्ष के लिए।

स्पर्शरेखा समीकरण रेखा y = f (x) के बिंदु पर Mo (xo, yo) का रूप लेता है

किसी बिंदु पर वक्र के अभिलंब को उसी बिंदु पर स्पर्शरेखा का लंब कहा जाता है। अगर f (x0) 0 के बराबर नहीं है, तो रेखा सामान्य समीकरण y = f (x) बिंदु Mo (xo, yo) पर इस प्रकार लिखा जाता है:

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ

यदि x = f (t) किसी बिंदु की रेखीय गति का नियम है, तो x '= f' (t) समय t पर इस गति की गति है। प्रवाह की गतिभौतिक, रासायनिक और अन्य प्रक्रियाओं को व्युत्पन्न का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है.

यदि x-> x0 के लिए dy / dx के अनुपात की सीमा दाईं ओर (या बाईं ओर) है, तो इसे दाईं ओर व्युत्पन्न (क्रमशः, बाईं ओर एक व्युत्पन्न) कहा जाता है। ऐसी सीमाओं को एकतरफा व्युत्पन्न कहा जाता है।.

जाहिर है, फ़ंक्शन f (x), बिंदु x0 के कुछ पड़ोस में परिभाषित, एक व्युत्पन्न f '(x) है यदि और केवल अगर एकतरफा डेरिवेटिव मौजूद हैं और एक दूसरे के बराबर हैं।

व्युत्पन्न की ज्यामितीय व्याख्याजैसा कि ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा का ढलान इस मामले तक फैला हुआ है: इस मामले में स्पर्शरेखा ओए अक्ष के समानांतर है।

वह फलन जिसका किसी बिंदु पर अवकलज होता है, उस बिंदु पर अवकलनीय कहलाता है। एक फलन जिसमें दिए गए अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न होता है, इस अंतराल में अवकलनीय कहलाता है। यदि अंतर बंद हो जाता है, तो इसके सिरों पर एकतरफा डेरिवेटिव होते हैं।

अवकलज ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है.

पाठ मकसद:

छात्रों को पता होना चाहिए:

एक सीधी रेखा का ढाल क्या कहलाता है;
सीधी रेखा और ऑक्स अक्ष के बीच का कोण;
व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ क्या है;
फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण;
परवलय की स्पर्श रेखा बनाने का एक तरीका;
सैद्धांतिक ज्ञान को व्यवहार में लागू करने में सक्षम हो।

पाठ मकसद:

शैक्षिक: व्युत्पन्न के यांत्रिक और ज्यामितीय अर्थ की अवधारणाओं के साथ ज्ञान, कौशल और क्षमताओं की प्रणाली में महारत हासिल करने के लिए छात्रों के लिए स्थितियां बनाएं।

शैक्षिक: छात्रों के वैज्ञानिक दृष्टिकोण का निर्माण करना।

विकासशील: छात्रों की संज्ञानात्मक रुचि, रचनात्मकता, इच्छाशक्ति, स्मृति, भाषण, ध्यान, कल्पना, धारणा का विकास करना।

शैक्षिक और संज्ञानात्मक गतिविधियों के आयोजन के तरीके:

दृश्य;
व्यावहारिक;
मानसिक गतिविधि पर: आगमनात्मक;
सामग्री के आत्मसात पर: आंशिक रूप से खोजपूर्ण, प्रजनन;
स्वतंत्रता की डिग्री से: प्रयोगशाला कार्य;
उत्तेजक: प्रोत्साहन;
नियंत्रण: मौखिक ललाट सर्वेक्षण।

शिक्षण योजना

मौखिक व्यायाम (व्युत्पन्न खोजें)
"गणितीय विश्लेषण के उद्भव के कारण" विषय पर छात्र संदेश।
नई सामग्री सीखना
भौतिक. एक मिनट रुकिए।
कार्यों को हल करना।
प्रयोगशाला कार्य।
पाठ को सारांशित करना।
गृहकार्य पर टिप्पणी करना।

उपकरण: मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर (प्रस्तुति), कार्ड (प्रयोगशाला कार्य)।

कक्षाओं के दौरान

"इंसान वहीं कुछ हासिल करता है, जहां उसे अपनी ताकत पर विश्वास होता है"

एल. फुएरबाच

I. संगठनात्मक क्षण।

पूरे पाठ में कक्षा का संगठन, पाठ के लिए छात्र की तत्परता, व्यवस्था और अनुशासन।

पूरे पाठ के लिए और इसके व्यक्तिगत चरणों के लिए, छात्रों के लिए सीखने के लक्ष्य निर्धारित करना।

इस विषय और पूरे पाठ्यक्रम दोनों में अध्ययन की जा रही सामग्री का महत्व निर्धारित करें।

मौखिक गिनती

1. व्युत्पन्न खोजें:

", ()", (4sin x) ", (cos2x)", (tg x) ","

2. तार्किक परीक्षण।

ए) लापता अभिव्यक्ति डालें।

5x 3 -6x	15x 2 -6	30x
2सिनएक्स	2cosx…
cos2x	… …

द्वितीय. "गणितीय विश्लेषण के उद्भव के कारण" विषय पर छात्र संदेश।

अंतिम विश्लेषण में विज्ञान के विकास की सामान्य दिशा मानव गतिविधि के अभ्यास की आवश्यकताओं से निर्धारित होती है। जटिल पदानुक्रमित नियंत्रण प्रणाली वाले प्राचीन राज्यों का अस्तित्व अंकगणित और बीजगणित के पर्याप्त विकास के बिना असंभव होता, क्योंकि करों का संग्रह, सेना की आपूर्ति का संगठन, महलों और पिरामिडों का निर्माण, सिंचाई प्रणालियों के निर्माण की आवश्यकता होती थी। जटिल गणना। पुनर्जागरण के दौरान, मध्ययुगीन दुनिया के विभिन्न हिस्सों के बीच संबंधों का विस्तार हुआ, व्यापार और शिल्प विकसित हुए। उत्पादन के तकनीकी स्तर में तेजी से वृद्धि शुरू होती है, औद्योगिक उद्देश्यों के लिए नए ऊर्जा स्रोतों का उपयोग किया जा रहा है, जो मनुष्यों या जानवरों के मांसपेशियों के प्रयासों से जुड़े नहीं हैं। XI-XII सदियों में, महसूस किए गए और बुनाई वाले करघे दिखाई दिए, और XV के मध्य में - प्रिंटिंग प्रेस। इस अवधि के दौरान सामाजिक उत्पादन के तेजी से विकास की आवश्यकता के संबंध में, प्राकृतिक विज्ञान का सार, जो प्राचीन काल से वर्णनात्मक रहा है, बदल जाता है। प्राकृतिक विज्ञान का उद्देश्य प्राकृतिक प्रक्रियाओं का गहन अध्ययन है, न कि वस्तुओं का। पुरातनता का वर्णनात्मक प्राकृतिक विज्ञान गणित के अनुरूप था, जो निरंतर मूल्यों पर काम करता था। एक गणितीय उपकरण बनाना आवश्यक था जो प्रक्रिया के परिणाम का नहीं, बल्कि इसके पाठ्यक्रम की प्रकृति और इसकी अंतर्निहित नियमितताओं का विवरण देगा। परिणामस्वरूप, 12वीं शताब्दी के अंत तक, इंग्लैंड में न्यूटन और जर्मनी में लाइबनिज ने गणितीय विश्लेषण का पहला चरण पूरा कर लिया। "गणितीय विश्लेषण" क्या है? आप किसी भी प्रक्रिया की विशेषताओं की विशेषता और भविष्यवाणी कैसे कर सकते हैं? इन सुविधाओं का उपयोग करें? इस या उस घटना के सार में गहराई से प्रवेश करने के लिए?

III. नई सामग्री सीखना।

आइए न्यूटन और लाइबनिज के मार्ग का अनुसरण करें और देखें कि हम प्रक्रिया का विश्लेषण कैसे कर सकते हैं, इसे समय के कार्य के रूप में मानते हुए।

आइए कुछ अवधारणाओं का परिचय दें जो हमें आगे मदद करेंगी।

रैखिक फलन y = kx + b का आलेख एक सीधी रेखा है, संख्या k कहलाती है सीधी रेखा का ढलान। k = tg, एक सीधी रेखा का कोण कहाँ है, यानी इस सीधी रेखा के बीच का कोण और ऑक्स अक्ष की धनात्मक दिशा।

चित्र 1

फलन y = f (x) के आलेख पर विचार कीजिए। आइए किन्हीं दो बिंदुओं के माध्यम से एक छेदक बनाएं, उदाहरण के लिए, एक छेदक AM। (रेखा चित्र नम्बर 2)

सेकेंट ढलान k = tg। एक समकोण त्रिभुज में AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

चित्र 2

चित्र तीन

शब्द "गति" स्वयं एक मात्रा में परिवर्तन की निर्भरता को दूसरे में परिवर्तन पर निर्भर करता है, और बाद में समय नहीं होना चाहिए।

अतः छेदक tg = के झुकाव कोण की स्पर्श रेखा =.

हम कम समय में मात्राओं में परिवर्तन की निर्भरता में रुचि रखते हैं। आइए तर्क की वृद्धि को शून्य पर सेट करें। फिर सूत्र का दाहिना पक्ष बिंदु A पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है (क्यों समझाएं)। यदि x -> 0 है, तो बिंदु M ग्राफ के अनुदिश बिंदु A तक जाता है, जिसका अर्थ है कि सीधी रेखा AM किसी सीधी रेखा AB तक पहुँचती है, जो कि बिंदु A . पर फलन y = f (x) के आलेख की स्पर्श रेखा... (चित्र 3)

छेदक के झुकाव का कोण स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण पर जाता है।

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ यह है कि एक बिंदु पर व्युत्पन्न का मान बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर होता है।

व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ।

स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण की स्पर्शरेखा एक ऐसा मान है जो किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की तात्कालिक दर को दर्शाता है, जो कि अध्ययन के तहत प्रक्रिया की एक नई विशेषता है। लाइबनिज ने इस मात्रा को कहा है यौगिक, और न्यूटन ने कहा कि तात्कालिक को ही व्युत्पन्न कहा जाता है स्पीड.

चतुर्थ। शारीरिक शिक्षा।

वी. कार्यों को हल करना।

क्रमांक 91 (1) भवन 91 - बोर्ड पर दिखाओ।

बिंदु x 0 - 1 पर वक्र f (x) = x 3 की स्पर्श रेखा का ढलान x = 1 पर इस फलन के अवकलज का मान है। f '(1) = 3x 2; च '(1) = 3.

नंबर 91 (3.5) - श्रुतलेख के तहत।

नंबर 92(1)- बोर्ड पर अपनी मर्जी से।

नंबर 92 (3) - स्वतंत्र रूप से मौखिक सत्यापन के साथ।

नंबर 92 (5) - बोर्ड के पीछे।

उत्तर: 45 0, 135 0, 1.5 ई 2।

वी.आई. प्रयोगशाला कार्य।

उद्देश्य: "एक व्युत्पन्न के यांत्रिक अर्थ" की अवधारणा पर काम करना।

यांत्रिकी के लिए व्युत्पन्न अनुप्रयोग।

बिंदु x = x (t), t की रेखीय गति का नियम दिया गया है।

समय की एक निर्दिष्ट अवधि के लिए आंदोलन की औसत गति;
समय टी 04 . पर गति और त्वरण
रुके हुए पल; क्या बिंदु, रुकने के क्षण के बाद, उसी दिशा में आगे बढ़ना जारी रखता है या विपरीत दिशा में आगे बढ़ना शुरू करता है;
निर्दिष्ट अवधि के लिए गति की उच्चतम गति।

कार्य 12 विकल्पों के अनुसार किया जाता है, कार्यों को कठिनाई के स्तर से अलग किया जाता है (पहला विकल्प कठिनाई का निम्नतम स्तर है)।

काम शुरू करने से पहले, निम्नलिखित प्रश्नों पर बातचीत:

विस्थापन के व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ क्या है? (गति)।
क्या आप वेग का व्युत्पन्न ज्ञात कर सकते हैं? क्या यह मात्रा भौतिकी में प्रयोग की जाती है? इसे क्या कहते है? (त्वरण)।
तात्कालिक गति शून्य है। इस समय शरीर की गति के बारे में क्या कहा जा सकता है? (यह रुकने का क्षण है)।
निम्नलिखित कथनों का भौतिक अर्थ क्या है: गति का व्युत्पन्न बिंदु t 0 पर शून्य के बराबर है; बिंदु t 0 से गुजरते समय, व्युत्पन्न परिवर्तन चिह्न? (शरीर रुक जाता है, गति की दिशा उलट जाती है)।

छात्र कैसे काम करते हैं इसका एक नमूना।

एक्स (टी) = टी 3 -2 टी 2 +1, टी 0 = 2।

चित्र 4

विपरीत दिशा में।

आइए गति का एक योजनाबद्ध ग्राफ बनाएं। उच्चतम गति बिंदु पर पहुँच जाती है

टी = 10, वी (10) = 3 · 10 2 -4 · 10 = 300 - 40 = 260

चित्र 5

vii. पाठ सारांश

1) व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ क्या है?
2) व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ क्या है?
3) अपने काम के बारे में निष्कर्ष निकालें।

आठवीं। गृहकार्य पर टिप्पणी करना।

पृष्ठ 90. नंबर 91 (2,4,6), नंबर 92 (2,4,6,), पेज 92 नंबर 112।

प्रयुक्त पुस्तकें

ट्यूटोरियल बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत।
लेखक: यू.एम. कोल्यागिन, एम.वी. तकाचेवा, एन.ई. फेडोरोवा, एम.आई. शबुनिन।
ए बी ज़िज़चेंको द्वारा संपादित।
बीजगणित ग्रेड 11. श्री ए। अलीमोव, यू। एम। कोल्यागिन, यू। वी। सिदोरोव द्वारा पाठ्यपुस्तक के लिए पाठ योजना। भाग 1।
इंटरनेट संसाधन: http://orags.narod.ru/manuals/html/gre/12.jpg

भाषण: किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की अवधारणा, व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ

एक समारोह का व्युत्पन्न

कुछ फ़ंक्शन f (x) पर विचार करें, जो पूरे विचार अवधि के दौरान निरंतर रहेगा। माना अंतराल पर, हम बिंदु x 0, साथ ही इस बिंदु पर फ़ंक्शन के मान का चयन करते हैं।

तो, आइए एक ग्राफ देखें जिस पर हम अपना बिंदु x 0 और साथ ही बिंदु (x 0 + ∆x) चिह्नित करते हैं। याद रखें कि x दो चयनित बिंदुओं के बीच की दूरी (अंतर) है।

यह भी समझने योग्य है कि प्रत्येक x फलन y के अपने स्वयं के मान से मेल खाता है।

बिंदु x 0 और (x 0 + x) पर फ़ंक्शन के मानों के बीच के अंतर को इस फ़ंक्शन की वृद्धि कहा जाता है: у = f (x 0 + ) - f (x 0)।

आइए चार्ट पर उपलब्ध अतिरिक्त जानकारी पर ध्यान दें - यह सेकेंट है, जिसे केएल नाम दिया गया है, साथ ही त्रिकोण जो कि केएन और एलएन के अंतराल पर बनता है।

जिस कोण पर छेदक स्थित है उसे झुकाव कोण कहा जाता है और इसे α द्वारा दर्शाया जाता है। यह निर्धारित करना आसान है कि कोण एलकेएन का डिग्री माप भी α के बराबर है।

अब आइए समकोण त्रिभुज में अनुपातों को याद रखें tanα = LN / KN = у / ।

यही है, सेकेंट ढलान की स्पर्शरेखा फ़ंक्शन वृद्धि के अनुपात में तर्क वृद्धि के अनुपात के बराबर है।

एक समय में, व्युत्पन्न एक फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है जो कि असीम रूप से छोटे अंतराल पर तर्क की वृद्धि के लिए है।

व्युत्पन्न उस दर को निर्धारित करता है जिस पर एक निश्चित क्षेत्र में फ़ंक्शन बदलता है।

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ

यदि आप किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं, तो आप उस कोण को निर्धारित कर सकते हैं जिस पर किसी दिए गए धारा में ग्राफ के स्पर्शरेखा ओएक्स अक्ष के सापेक्ष होगी। ग्राफ पर ध्यान दें - झुकाव के कोण को अक्षर से दर्शाया जाता है और यह सीधी रेखा के समीकरण में गुणांक k द्वारा निर्धारित किया जाता है: y = kx + b।

अर्थात्, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ फलन के किसी बिंदु पर स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण की स्पर्शरेखा है।

नौकरी का प्रकार: 7

स्थिति

रेखा y = 3x + 2 फलन y = -12x ^ 2 + bx-10 के आलेख की स्पर्श रेखा है। बी खोजें, यह देखते हुए कि स्पर्श बिंदु का भुज शून्य से कम है।

समाधान दिखाएं

समाधान

मान लीजिए x_0 फलन y = -12x ^ 2 + bx-10 के ग्राफ पर बिंदु का भुज है, जिससे होकर इस ग्राफ की स्पर्शरेखा गुजरती है।

बिंदु x_0 पर अवकलज का मान स्पर्शरेखा की प्रवणता के बराबर होता है, अर्थात् y "(x_0) = - 24x_0 + b = 3. दूसरी ओर, स्पर्शरेखा बिंदु फलन के दोनों ग्राफ से संबंधित होता है। और स्पर्शरेखा, अर्थात् -12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. हमें समीकरणों का निकाय प्राप्त होता है। \ start (केस) -24x_0 + b = 3, \\ - 12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. \ अंत (मामलों)

इस प्रणाली को हल करने पर, हमें x_0 ^ 2 = 1 मिलता है, जिसका अर्थ है या तो x_0 = -1, या x_0 = 1। शर्त के अनुसार, स्पर्श बिंदु का भुज शून्य से कम होता है, इसलिए x_0 = -1, फिर b = 3 + 24x_0 = -21।

उत्तर

नौकरी का प्रकार: 7
विषय: व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। फंक्शन ग्राफ स्पर्शरेखा

स्थिति

रेखा y = -3x + 4 फलन y = -x ^ 2 + 5x-7 के ग्राफ के स्पर्शरेखा के समानांतर है। स्पर्श बिंदु का भुज ज्ञात कीजिए।

समाधान दिखाएं

समाधान

फ़ंक्शन y = -x ^ 2 + 5x-7 के एक मनमाना बिंदु पर सीधी रेखा का ढलान x_0 y "(x_0) के बराबर है। लेकिन y" = - 2x + 5, इसलिए y "(x_0 ) = - 2x_0 + 5. स्थिति में निर्दिष्ट रेखा y = -3x + 4 का कोणीय गुणांक -3 के बराबर है। समानांतर रेखाओं का ढलान समान है। इसलिए, हम x_0 का मान इस प्रकार पाते हैं कि = -2x_0 + 5 = -3।

हमें मिलता है: x_0 = 4।

उत्तर

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर "। ईडी। एफएफ लिसेंको, एस यू कुलबुखोवा।

स्थिति

समाधान दिखाएं

समाधान

आकृति से, हम यह निर्धारित करते हैं कि स्पर्शरेखा बिंदु A (-6; 2) और B (-1; 1) से होकर गुजरती है। हम C (-6; 1) रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु x = -6 और y = 1 से निरूपित करते हैं और \ alpha कोण ABC (आकृति में आप देख सकते हैं कि यह न्यून है)। तब रेखा AB, ऑक्स अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक अधिक कोण \ pi - \ alpha बनाती है।

जैसा कि आप जानते हैं, tg (\ pi - \ alpha) बिंदु x_0 पर फलन f (x) के अवकलज का मान होगा। नोटिस जो tg \ alpha = \ frac (AC) (CB) = \ frac (2-1) (- 1 - (- 6)) = \ frac15.यहाँ से, कमी सूत्रों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: टीजी (\ पीआई - \ अल्फा) = -टीजी \ अल्फा = - \ फ्रैक15 = -0.2।

उत्तर

स्थिति

रेखा y = -2x-4 फलन y = 16x ^ 2 + bx + 12 के आलेख की स्पर्श रेखा है। बी खोजें, यह देखते हुए कि स्पर्श बिंदु का भुज शून्य से बड़ा है।

समाधान दिखाएं

समाधान

मान लीजिए x_0 फलन y = 16x ^ 2 + bx + 12 के ग्राफ पर एक बिंदु का भुज है, जिससे होकर

इस ग्राफ की स्पर्शरेखा है।

बिंदु x_0 पर अवकलज का मान स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर होता है, अर्थात y "(x_0) = 32x_0 + b = -2। दूसरी ओर, स्पर्शरेखा बिंदु फ़ंक्शन के दोनों ग्राफ से संबंधित होता है। और स्पर्शरेखा, यानी 16x_0 ^ 2 + bx_0 + 12 = - 2x_0-4। हमें समीकरणों की प्रणाली मिलती है \ start (केस) 32x_0 + b = -2, \\ 16x_0 ^ 2 + bx_0 + 12 = -2x_0-4। \ अंत (मामलों)

सिस्टम को हल करने पर, हमें x_0 ^ 2 = 1 मिलता है, जिसका अर्थ है या तो x_0 = -1, या x_0 = 1। शर्त के अनुसार, स्पर्श बिंदु का भुज शून्य से बड़ा होता है, इसलिए x_0 = 1, फिर b = -2-32x_0 = -34।

उत्तर

स्थिति

यह आंकड़ा अंतराल (-2; 8) पर परिभाषित फ़ंक्शन y = f (x) का ग्राफ दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें जिन पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा सीधी रेखा y = 6 के समानांतर होती है।

समाधान दिखाएं

समाधान

रेखा y = 6 ऑक्स अक्ष के समानांतर है। इसलिए, हम ऐसे बिंदु पाते हैं जिन पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर होती है। इस चार्ट पर, ऐसे बिंदु चरम बिंदु (अधिकतम या न्यूनतम के बिंदु) होते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, 4 चरम बिंदु हैं।

उत्तर

स्थिति

रेखा y = 4x-6, फलन y = x ^ 2-4x + 9 के ग्राफ की स्पर्श रेखा के समानांतर है। स्पर्श बिंदु का भुज ज्ञात कीजिए।

समाधान दिखाएं

समाधान

फ़ंक्शन y = x ^ 2-4x + 9 के एक मनमाना बिंदु पर स्पर्शरेखा का ढलान x_0 y "(x_0) के बराबर है। लेकिन y" = 2x-4, इसलिए y "(x_0) = 2x_0 -4. शर्त में निर्दिष्ट स्पर्शरेखा y = 4x-7 का ढलान 4 है। समानांतर रेखाओं का ढलान समान है। इसलिए, हम x_0 का मान इस तरह पाते हैं कि 2x_0-4 = 4। हमें मिलता है: x_0 = 4 .

उत्तर

स्थिति

यह आंकड़ा फलन y = f (x) का ग्राफ और भुज x_0 के साथ बिंदु पर इसकी स्पर्शरेखा दिखाता है। बिंदु x_0 पर फलन f (x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान दिखाएं

समाधान

आकृति से, हम यह निर्धारित करते हैं कि स्पर्शरेखा बिंदु A (1; 1) और B (5; 4) से होकर गुजरती है। हम C (5; 1) रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु x = 5 और y = 1 से निरूपित करते हैं और \ alpha कोण BAC (आकृति में आप देख सकते हैं कि यह न्यून है)। तब सरल रेखा AB, ऑक्स अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक कोण \ alpha बनाती है।

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण।

द्वितीय. "गणितीय विश्लेषण के उद्भव के कारण" विषय पर छात्र संदेश।

III. नई सामग्री सीखना।

चतुर्थ। शारीरिक शिक्षा।

वी. कार्यों को हल करना।

वी.आई. प्रयोगशाला कार्य।

vii. पाठ सारांश

आठवीं। गृहकार्य पर टिप्पणी करना।

स्थिति

समाधान

उत्तर

स्थिति

समाधान

उत्तर

स्थिति

समाधान

उत्तर

स्थिति

समाधान

उत्तर

स्थिति

समाधान

उत्तर

स्थिति

समाधान

उत्तर

स्थिति

समाधान

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