परिभाषा।

एक प्रणाली को एक पंक्ति में विकर्ण प्रभुत्व वाला सिस्टम कहा जाता है यदि मैट्रिक्स के तत्वअसमानताओं को संतुष्ट करें:

असमानताओं का अर्थ है कि मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति में विकर्ण तत्व पर प्रकाश डाला गया है: इसका मापांक एक ही पंक्ति के अन्य सभी तत्वों के मापांक के योग से अधिक है।

प्रमेय

विकर्ण प्रभुत्व वाली प्रणाली हमेशा हल करने योग्य होती है और इसके अलावा, एक अनोखे तरीके से।

संबंधित सजातीय प्रणाली पर विचार करें:

मान लीजिए कि इसका एक गैर-तुच्छ समाधान है सबसे बड़े मापांक वाले इस समाधान के घटक को सूचकांक के अनुरूप होने दें
, अर्थात।

,
,
.

आइए लिखते हैं - प्रणाली के समीकरण के रूप में

और इस समानता के दोनों पक्षों का मापांक लें। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

एक कारक द्वारा असमानता को कम करना
, जिसके अनुसार, शून्य के बराबर नहीं है, हम विकर्ण प्रभुत्व को व्यक्त करने वाली असमानता के साथ एक विरोधाभास पर आते हैं। परिणामी विरोधाभास हमें लगातार तीन कथनों को बताने की अनुमति देता है:

उनमें से अंतिम का अर्थ है कि प्रमेय का प्रमाण पूरा हो गया है।

एक त्रिभुज मैट्रिक्स के साथ सिस्टम। स्वीप विधि।

कई समस्याओं को हल करते समय, किसी को फॉर्म के रैखिक समीकरणों की प्रणालियों से निपटना पड़ता है:

,
,

जहां गुणांक
, दाईं ओर
संख्याओं के साथ जाना जाता है तथा ... अतिरिक्त संबंधों को अक्सर सिस्टम के लिए सीमा शर्तों के रूप में संदर्भित किया जाता है। कई मामलों में, वे अधिक जटिल हो सकते हैं। उदाहरण के लिए:

;
,

कहाँ पे
- दिए गए नंबर। हालांकि, प्रस्तुति को जटिल नहीं बनाने के लिए, हम खुद को अतिरिक्त शर्तों के सरलतम रूप तक सीमित रखते हैं।

इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि मूल्य तथा दिए गए हैं, हम सिस्टम को फॉर्म में फिर से लिखेंगे:

इस प्रणाली के मैट्रिक्स में तीन-विकर्ण संरचना है:

यह स्वीप विधि नामक एक विशेष विधि के लिए धन्यवाद प्रणाली के समाधान को बहुत सरल करता है।

विधि इस धारणा पर आधारित है कि अज्ञात अज्ञात तथा
पुनरावृत्ति संबंध से संबंधित

,
.

यहाँ मात्रा
,
, जिसे स्वीप गुणांक कहा जाता है, समस्या की स्थितियों के आधार पर निर्धारित किया जाना है। वास्तव में, ऐसी प्रक्रिया का अर्थ है अज्ञात की प्रत्यक्ष परिभाषा को बदलना मूल्यों की बाद की गणना के साथ चल रहे गुणांक को निर्धारित करने का कार्य .

वर्णित कार्यक्रम को लागू करने के लिए, हम संबंध का उपयोग करके व्यक्त करते हैं
आर - पार
:

और स्थानापन्न
तथा के संदर्भ में व्यक्त किया गया
, मूल समीकरणों में। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

बाद के संबंध निश्चित रूप से पूरे होंगे और, इसके अलावा, समाधान की परवाह किए बिना, यदि हमें इसकी आवश्यकता है
समानताएं हुईं:

इसलिए स्वीप गुणांकों के लिए पुनरावर्तन संबंध इस प्रकार हैं:

,
,
.

बाईं सीमा की स्थिति
और अनुपात
सुसंगत हैं अगर हम डालते हैं

स्वीप गुणांक के शेष मान
तथा
हम पाते हैं, जो चल रहे गुणांक की गणना के चरण को पूरा करता है।

बाकी अज्ञात यहां से मिल सकते हैं।
पुनरावर्ती सूत्र का उपयोग करके वापस चलने की प्रक्रिया में।

गॉसियन विधि द्वारा एक सामान्य प्रणाली को हल करने के लिए आवश्यक संचालन की संख्या बढ़ने के साथ बढ़ती है अनुपात में ... स्वीप विधि दो चक्रों में कम हो जाती है: पहले, स्वीप गुणांक की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाती है, फिर उनकी सहायता से, सिस्टम के समाधान के घटकों को आवर्तक सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है ... इसका मतलब है कि सिस्टम के आकार में वृद्धि के साथ, अंकगणितीय संचालन की संख्या आनुपातिक रूप से बढ़ेगी , लेकिन नहीं ... इस प्रकार, इसके संभावित अनुप्रयोग के दायरे में स्वीप विधि काफी अधिक किफायती है। इसमें कंप्यूटर पर इसके सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन की विशेष सरलता को जोड़ा जाना चाहिए।

कई अनुप्रयुक्त समस्याओं में जो एक त्रिभुज मैट्रिक्स के साथ SLAE की ओर ले जाते हैं, इसके गुणांक असमानताओं को पूरा करते हैं:

जो विकर्ण प्रभुत्व की संपत्ति को व्यक्त करते हैं। विशेष रूप से, हम तीसरे और पांचवें अध्याय में ऐसी प्रणाली पाएंगे।

पिछले खंड के प्रमेय के अनुसार, ऐसी प्रणालियों का समाधान हमेशा मौजूद होता है और अद्वितीय होता है। उनके पास एक बयान भी है जो वास्तव में स्वीप विधि का उपयोग करके समाधान की गणना के लिए महत्वपूर्ण है।

लेम्मा

यदि एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स के साथ एक प्रणाली के लिए विकर्ण प्रभुत्व की स्थिति संतुष्ट है, तो स्वीप गुणांक असमानताओं को पूरा करते हैं:

हम प्रेरण द्वारा प्रमाण करते हैं। के अनुसार
, मैं खाता हूँ
लेम्मा सच है। आइए अब मान लें कि यह सत्य है और विचार करें
:

तो, से प्रेरण प्रति
प्रमाणित, जो लेम्मा के प्रमाण को पूरा करता है।

स्वीप गुणांक के लिए असमानता रन को स्थिर बनाता है। वास्तव में, मान लीजिए कि समाधान का घटक गोलाई प्रक्रिया के परिणामस्वरूप, इसकी गणना कुछ त्रुटि के साथ की गई थी। फिर, अगले घटक की गणना करते समय
पुनरावर्ती सूत्र के अनुसार असमानता के कारण यह त्रुटि नहीं बढ़ेगी।

मेट्रिसेस की गैर-विविधता और विकर्ण प्रभुत्व की संपत्ति1

केवेटकोविक लिलियाना - प्रोफेसर, गणित और सूचना विज्ञान विभाग, विज्ञान संकाय, नोवी सैड विश्वविद्यालय, सर्बिया, ओब्राडोविक 4, नोवी सैड, सर्बिया, 21000, ई-मेल: [ईमेल संरक्षित]

कोस्टिक व्लादिमीर - सहायक प्रोफेसर, डॉक्टर, गणित और सूचना विज्ञान विभाग, विज्ञान संकाय, नोवी सैड विश्वविद्यालय, सर्बिया, ओब्राडोविक 4, 21000, नोवी सैड, सर्बिया, ईमेल: [ईमेल संरक्षित]

क्रुकियर लेव अब्रामोविच - भौतिक और गणितीय विज्ञान के डॉक्टर, प्रोफेसर, उच्च प्रदर्शन कंप्यूटिंग और सूचना और संचार प्रौद्योगिकी विभाग के प्रमुख, दक्षिणी संघीय विश्वविद्यालय के सूचनाकरण के लिए दक्षिण रूसी क्षेत्रीय केंद्र के निदेशक, 200/1 स्टैचकी एवेन्यू, भवन . 2, रोस्तोव-ऑन-डॉन, 344090, ई-मेल: [ईमेल संरक्षित]रु.

Cvetkovic Ljiljana - प्रोफेसर, गणित और सूचना विज्ञान विभाग, विज्ञान संकाय, नोवी सैड विश्वविद्यालय, सर्बिया, डी। ओब्राडोविका 4, नोवी सैड, सर्बिया, 21000, ई-मेल: [ईमेल संरक्षित]

कोस्टिक व्लादिमीर - सहायक प्रोफेसर, गणित और सूचना विज्ञान विभाग, विज्ञान संकाय, नोवी सैड विश्वविद्यालय, सर्बिया, डी। ओब्राडोविका 4, नोवी सैड, सर्बिया, 21000, ई-मेल: [ईमेल संरक्षित]

क्रुकियर लेव अब्रामोविच - भौतिक और गणितीय विज्ञान के डॉक्टर, प्रोफेसर, उच्च प्रदर्शन कंप्यूटिंग और सूचना और संचार प्रौद्योगिकी विभाग के प्रमुख, दक्षिणी संघीय विश्वविद्यालय के कंप्यूटर केंद्र के निदेशक, स्टैचकी एवेन्यू, 200/1, बिल्ड। 2, रोस्तोव-ऑन-डॉन, रूस, 344090, ई-मेल: [ईमेल संरक्षित]रु.

मैट्रिक्स में विकर्ण प्रभुत्व इसकी गैर-अपक्षयीता के लिए एक साधारण शर्त है। विकर्ण प्रभुत्व की अवधारणा को सामान्य बनाने वाले मैट्रिक्स गुण हमेशा बहुत मांग में होते हैं। उन्हें विकर्ण प्रभुत्व जैसी स्थितियों के रूप में देखा जाता है और मैट्रिक्स के उप-वर्गों (जैसे एच-मैट्रिस) को परिभाषित करने में मदद करते हैं, जो इन शर्तों के तहत गैर-पतित रहते हैं। इस पत्र में, गैर-पतित मैट्रिक्स के नए वर्गों का निर्माण किया गया है जो विकर्ण प्रभुत्व के लाभों को बरकरार रखते हैं, लेकिन एच-मैट्रिस के वर्ग से बाहर रहते हैं। ये गुण विशेष रूप से सुविधाजनक हैं क्योंकि कई अनुप्रयोग इस वर्ग के मैट्रिसेस की ओर ले जाते हैं, और मैट्रिसेस की गैर-अपक्षयीता के सिद्धांत जो एच-मैट्रिस नहीं हैं, को अब बढ़ाया जा सकता है।

मुख्य शब्द: विकर्ण प्रभुत्व, गैर-अपक्षयी, स्केलिंग।

जबकि मैट्रिसेस की गैर-एकलता सुनिश्चित करने वाली सरल स्थितियों का हमेशा बहुत स्वागत किया जाता है, जिनमें से कई को एक प्रकार के विकर्ण प्रभुत्व के रूप में माना जा सकता है, जो एक प्रसिद्ध एच-मैट्रिस के उपवर्गों का उत्पादन करते हैं। इस पेपर में हम नॉनसिंगुलर मैट्रिसेस के एक नए वर्ग का निर्माण करते हैं जो विकर्ण प्रभुत्व की उपयोगिता को बनाए रखते हैं, लेकिन एच-मैट्रिस के वर्ग के साथ एक सामान्य संबंध में खड़े होते हैं। यह गुण विशेष रूप से अनुकूल है, क्योंकि एच-मैट्रिक्स सिद्धांत से उत्पन्न होने वाले कई अनुप्रयोगों को अब बढ़ाया जा सकता है।

कीवर्ड: विकर्ण प्रभुत्व, निरर्थकता, स्केलिंग तकनीक।

गणितीय भौतिकी की सीमा मान समस्याओं का संख्यात्मक समाधान, एक नियम के रूप में, रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान के लिए मूल समस्या को कम करता है। समाधान एल्गोरिदम चुनते समय, हमें यह जानना होगा कि मूल मैट्रिक्स गैर-पतित है या नहीं? इसके अलावा, मैट्रिक्स की nondegeneracy का प्रश्न प्रासंगिक है, उदाहरण के लिए, पुनरावृत्त विधियों के अभिसरण के सिद्धांत में, eigenvalues के स्थानीयकरण, निर्धारकों का मूल्यांकन करते समय, एप्रन जड़ें, वर्णक्रमीय त्रिज्या, मैट्रिक्स के एकवचन मान, आदि।

ध्यान दें कि यह सुनिश्चित करने के लिए सबसे सरल, लेकिन अत्यंत उपयोगी शर्तों में से एक है कि एक मैट्रिक्स गैर-डीजेनरेट है, प्रसिद्ध सख्त विकर्ण प्रभुत्व संपत्ति (और उसमें संदर्भ) है।

प्रमेय 1. मान लीजिए कि एक आव्यूह A = e Cnxn इस प्रकार दिया गया है कि

एस> जेड (ए): = एस के एल, (1)

सभी के लिए मैं ∈ एन: = (1,2, ... एन)।

तब मैट्रिक्स ए गैर-पतित है।

गुण वाले आव्यूह (1) सख्त विकर्ण प्रभुत्व वाले आव्यूह कहलाते हैं

(8BB मैट्रिक्स)। उनका प्राकृतिक सामान्यीकरण सामान्यीकृत विकर्ण प्रभुत्व (जीडीबी) मैट्रिक्स का वर्ग है, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

परिभाषा 1. एक मैट्रिक्स ए = [ए ^] ई सीएनएक्सएन को बीबी-मैट्रिक्स कहा जाता है यदि कोई गैर-डीजेनरेट विकर्ण मैट्रिक्स डब्ल्यू मौजूद है जैसे कि एडब्ल्यू एक 8बीबी-मैट्रिक्स है।

आइए मैट्रिक्स के लिए कई परिभाषाएं पेश करें

ए = [एई] ई सीएनएक्सएन।

परिभाषा 2. मैट्रिक्स (ए) = [दस्तक], परिभाषित

(ए) = ई सीएन

मैट्रिक्स A का तुलना मैट्रिक्स कहलाता है।

परिभाषा 3. मैट्रिक्स ए = ई सी

\ üj> 0, मैं = जे

एक एम-मैट्रिक्स है यदि

ए जे< 0, i * j,

उलटा चटाई-

मैट्रिक्स ए "> 0, यानी इसके सभी तत्व सकारात्मक हैं।

जाहिर है, वीबीबी वर्ग के मैट्रिसेस भी गैर-डीजेनरेट मैट्रिसेस हैं और हो सकते हैं

1यह काम आंशिक रूप से सर्बिया के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय, अनुदान 174019, और वोज्वोडिना के विज्ञान और तकनीकी विकास मंत्रालय, 2675 और 01850 अनुदान द्वारा समर्थित था।

गैर-पतित एच-मैट्रिसेस के नाम से साहित्य में पाया जाता है। उन्हें निम्नलिखित आवश्यक और पर्याप्त स्थिति का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है:

प्रमेय 2. मैट्रिक्स A = [ay] e और H- है

मैट्रिक्स अगर और केवल अगर इसकी तुलना मैट्रिक्स एक गैर-डीजेनरेट एम-मैट्रिक्स है।

अब तक, गैर-पतित एच-मैट्रिसेस के कई उपवर्गों का पहले ही अध्ययन किया जा चुका है, लेकिन उन सभी को कड़ाई से विकर्ण प्रभुत्व संपत्ति के सामान्यीकरण के दृष्टिकोण से माना जाता है (देखें और उसमें संदर्भ)।

इस पत्र में, हम 8BB-वर्ग को एक अलग तरीके से सामान्यीकृत करके एच-मैट्रिसेस की कक्षा से आगे जाने की संभावना पर विचार करते हैं। मूल विचार स्केलिंग दृष्टिकोण का उपयोग करना जारी रखना है, लेकिन ऐसे मैट्रिक्स के साथ जो विकर्ण नहीं हैं।

आव्यूह A = [ay] e cnxn और अनुक्रमणिका पर विचार करें

हम मैट्रिक्स का परिचय देते हैं

आर (ए): = £ एक आर (ए): = £

k (ए): = £ और yk (ए): = aü - ^

यह जांचना आसान है कि मैट्रिक्स bk Abk के तत्वों का निम्न रूप है:

k (ए), वाई के (ए), एक्ज,

मैं = जे = के, मैं = जे * के,

मैं = के, जे * के, आई * के, जे = के,

ए इनोएइयुओ नियो ^ अयो।

यदि हम ऊपर वर्णित आव्यूह bk Abk1 पर प्रमेय 1 को लागू करते हैं और इसे स्थानांतरित करते हैं, तो हमें दो मुख्य प्रमेय प्राप्त होते हैं।

प्रमेय 3. मान लीजिए कोई आव्यूह दिया गया है

A = [ay] e cnxn गैर-शून्य विकर्ण तत्वों के साथ। यदि k N ऐसा मौजूद है कि> k (A), और प्रत्येक r N \ (k) के लिए,

तो मैट्रिक्स ए नॉनडिजेनरेट है।

प्रमेय 4. मान लीजिए कोई आव्यूह दिया गया है

A = [ay] e cnxn गैर-शून्य विकर्ण तत्वों के साथ। यदि k e N ऐसा मौजूद है कि> Hk (A), और प्रत्येक r e N \ (k) के लिए,

तब मैट्रिक्स ए गैर-पतित है। के बीच संबंध के बारे में एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है

पिछले दो प्रमेयों से मैट्रिक्स: बी ^ - बू-मैट्रिसेस (सूत्र (5) द्वारा परिभाषित) और

बीके - बू-मैट्रिसेस (फॉर्मूला (6) द्वारा परिभाषित) और एच-मैट्रिस का वर्ग। निम्नलिखित सरल उदाहरण इसे स्पष्ट करता है।

उदाहरण। निम्नलिखित 4 मैट्रिक्स पर विचार करें:

और मूल A के समान मैट्रिक्स bk Abk, k N पर विचार करें। आइए हम उन शर्तों को खोजें जब इस मैट्रिक्स में SDD मैट्रिक्स (पंक्तियों या स्तंभों द्वारा) की संपत्ति होगी।

r, k eN: = (1,2, ... /?) के लिए पूरे लेख में हम संकेतन का उपयोग करेंगे:

2 2 1 1 3 -1 1 1 1

" 2 11 -1 2 1 1 2 3

2 1 1 1 2 -1 1 1 5

गैर-अपक्षयी प्रमेय

वे सभी गैर-पतित हैं:

A1 b - BOO है, इस तथ्य के बावजूद कि यह किसी k = (1,2,3) के लिए bk - BOO नहीं है। यह एच-मैट्रिक्स भी नहीं है, क्योंकि (ए ^ 1 गैर-ऋणात्मक नहीं है;

समरूपता के कारण, A2 एक साथ LR - BOO और L . है<2 - БОО, так же как ЬЯ - БОО и

बी<3 - БОО, но не является Н-матрицей, так как (А2) вырожденная;

A3 b9 है - BOO, लेकिन न तो है

एलआर - एसडीडी (के = (1,2,3) के लिए), न ही एक एच-मैट्रिक्स, क्योंकि (ए 3 ^ भी पतित है;

ए 4 एक एच-मैट्रिक्स है क्योंकि (ए ^ नॉनडिजेनरेट है और ^ ए 4) 1> 0, हालांकि यह न तो एलआर - एसडीडी है और न ही एलके - एसडीडी किसी भी के = (1,2,3) के लिए है।

आंकड़ा के बीच सामान्य संबंध को दर्शाता है

एलआर - एसडीडी, एलके - एसडीडी और एच-मैट्रिस एक साथ पिछले उदाहरण से मैट्रिसेस के साथ।

एलआर - एसडीडी, एलसी - एसडीडी और . के बीच संबंध

नरक मिनट (| औ - आर (ए) |) "

असमानता से शुरू

और इस परिणाम को मैट्रिक्स bk Ab ^ पर लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

प्रमेय 5. मान लीजिए कि अशून्य विकर्ण तत्वों वाला एक स्वेच्छ आव्यूह A = [a--] e Cnxn दिया गया है।

पुलिस यदि A वर्ग - BOO से संबंधित है, तो

1 + अधिकतम ^ आई * के \ एसीसी \

एच-मैट्रिसेस

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि यद्यपि हमें प्राप्त हुआ

वर्ग bCk BOO - मैट्रिक्स bk Ab ^ 1 को स्थानांतरित करके प्राप्त मैट्रिक्स में प्रमेय 1 को लागू करके, यह वर्ग मैट्रिक्स Am पर प्रमेय 2 को लागू करने से प्राप्त वर्ग के साथ मेल नहीं खाता है।

आइए परिभाषाओं का परिचय दें।

परिभाषा 4. एक मैट्रिक्स A को (पंक्तियों द्वारा Lk-BOO) कहा जाता है यदि AT (Lk-BOO)।

परिभाषा 5. यदि AT (bCk-BOO) मैट्रिक्स A को (पंक्तियों द्वारा bCk-BOO) कहा जाता है।

उदाहरण बताते हैं कि कक्षा U - BOO,

BC-BOO, (bk - BOO लाइन-बाय-लाइन) और (L ^ -BOO लाइन-बाय-लाइन) एक दूसरे से संबंधित हैं। इस प्रकार, हमने एच-मैट्रिस के वर्ग को चार अलग-अलग तरीकों से बढ़ाया है।

नए प्रमेयों का अनुप्रयोग

आइए हम एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स के सी-मानदंड के आकलन में नए परिणामों की उपयोगिता का वर्णन करें।

सख्त विकर्ण प्रभुत्व के साथ एक मनमानी मैट्रिक्स ए के लिए, प्रसिद्ध वारख प्रमेय (वराह) अनुमान देता है

इसी तरह, हम कॉलम पर एलके - एसडीडी मैट्रिसेस के लिए निम्नलिखित परिणाम प्राप्त करते हैं।

प्रमेय 6. मान लीजिए कि एक मनमाना मैट्रिक्स A = e और गैर-शून्य विकर्ण प्रविष्टियाँ दी गई हैं। यदि ए कॉलम में बीके-एसडीडी वर्ग से संबंधित है, तो

Ik-ll<_ie#|akk|_

इस परिणाम का महत्व इस तथ्य में निहित है कि गैर-पतित एच-मैट्रिस के कई उपवर्गों के लिए इस प्रकार के प्रतिबंध हैं, लेकिन उन गैर-पतित मैट्रिक्स के लिए जो एच-मैट्रिस नहीं हैं, यह एक गैर-तुच्छ समस्या है। नतीजतन, पिछले प्रमेय के समान ही प्रतिबंध बहुत मांग में हैं।

साहित्य

लेवी एल. सुर ले पॉसिबिलिटे डु एल "ईक्यूलिब्रे इलेक्ट्रिक सी.आर. एकेड। पेरिस, 1881। वॉल्यूम। 93. पी। 706-708।

हॉर्न आर.ए., जॉनसन सी.आर. मैट्रिक्स विश्लेषण। कैम्ब्रिज, 1994। वर्गा आर.एस. गेर्सगोरिन और उनके मंडल // कम्प्यूटेशनल गणित में स्प्रिंगर श्रृंखला। 2004. वॉल्यूम। 36.226 पी. बर्मन ए।, पेलेमन्स आरजे। गणितीय विज्ञान में गैर-ऋणात्मक मैट्रिक्स। अनुप्रयुक्त गणित में सियाम सीरीज क्लासिक्स। 1994. वॉल्यूम। 9.340 पी।

क्वेतकोविक एल.जे. एच-मैट्रिक्स सिद्धांत बनाम। eigenvalue स्थानीयकरण // Numer. एल्गोर। 2006. वॉल्यूम। 42. पी। 229-245। Cvetkovic Lj., Kostic V., Kovacevic M., Szulc T. H-matrices और उनके शूर पूरक // Appl पर आगे के परिणाम। गणित। संगणना। 1982. पी। 506-510।

वराह जे.एम. मैट्रिक्स के सबसे छोटे मान के लिए एक निचली सीमा // रैखिक बीजगणित Appl. 1975. वॉल्यूम। 11.पी. 3-5.

संपादकों द्वारा प्राप्त

$ए_ (एनएन)$ संपत्ति है विकर्ण प्रभुत्व, अगर

$|ए_ (ii) | \ geqslant \ sum_ (j \ neq i) | a_ (ij) |, \ qquad i = 1, \ डॉट्स, n,$

इसके अलावा, कम से कम एक असमानता सख्त है। यदि सभी असमानताएँ सख्त हैं, तो मैट्रिक्स को कहा जाता है $ए_ (एनएन)$ के पास कठोरविकर्ण प्रधानता।

विकर्ण प्रमुख मैट्रिक्स अनुप्रयोगों में काफी बार दिखाई देते हैं। उनका मुख्य लाभ यह है कि इस तरह के मैट्रिक्स (सरल पुनरावृत्ति विधि, सेडेल की विधि) के साथ एसएलएई को हल करने के लिए पुनरावृत्त विधियां एक सटीक समाधान में मिलती हैं जो मौजूद है और किसी भी दाहिने हाथ के लिए अद्वितीय है।

गुण

एक सख्ती से विकर्ण प्रभुत्व मैट्रिक्स nondegenerate है।

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विकर्ण प्रभुत्व से अंश

हुसार पावलोग्राद रेजिमेंट ब्रौनौ से दो मील की दूरी पर तैनात थी। स्क्वाड्रन, जिसमें निकोलाई रोस्तोव ने कैडेट के रूप में कार्य किया, जर्मन गांव साल्ज़नेक में स्थित था। स्क्वाड्रन कमांडर, कप्तान डेनिसोव, जिसे वास्का डेनिसोव के नाम से पूरे घुड़सवार डिवीजन के लिए जाना जाता है, को गाँव में सबसे अच्छा अपार्टमेंट दिया गया था। जंकर रोस्तोव, जब से उन्होंने पोलैंड में रेजिमेंट को पछाड़ दिया, स्क्वाड्रन कमांडर के साथ रहते थे।
11 अक्टूबर को, जिस दिन मैक की हार की खबर से मुख्य अपार्टमेंट में सब कुछ अपने पैरों पर खड़ा हो गया था, स्क्वाड्रन के मुख्यालय में, जीवन पहले की तरह चुपचाप चल रहा था। डेनिसोव, जो पूरी रात ताश के पत्तों में खोया था, अभी तक घर नहीं आया था, जब रोस्तोव, सुबह-सुबह, घोड़े पर सवार होकर, चारागाह से लौटा। रोस्तोव, एक कैडेट की वर्दी में, पोर्च तक चढ़ गया, घोड़े को धक्का देकर, एक लचीले, युवा इशारे के साथ अपना पैर फेंक दिया, रकाब पर खड़ा हो गया, जैसे कि घोड़े के साथ भाग नहीं लेना चाहता, अंत में नीचे कूद गया और दूत चिल्लाया .

सेंट पीटर्सबर्ग स्टेट यूनिवर्सिटी

अनुप्रयुक्त गणित संकाय - नियंत्रण प्रक्रियाएं

ए. पी. इवानोव

संख्यात्मक विधियों पर अभ्यास

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली का समाधान

विधिवत निर्देश

सेंट पीटर्सबर्ग

अध्याय 1. सहायक सूचना

कार्यप्रणाली मैनुअल उनके आवेदन के लिए एसएलएई और एल्गोरिदम को हल करने के तरीकों का वर्गीकरण प्रदान करता है। विधियों को एक ऐसे रूप में प्रस्तुत किया जाता है जो अन्य स्रोतों के संदर्भ के बिना उनके उपयोग की अनुमति देता है। यह माना जाता है कि सिस्टम का मैट्रिक्स नॉनसिंगुलर है, यानी। डिट ए 6 = 0।

§एक। वैक्टर और मैट्रिसेस के मानदंड

याद रखें कि तत्वों x के एक रैखिक स्थान को सामान्यीकृत कहा जाता है यदि इसमें एक फ़ंक्शन k kΩ पेश किया जाता है, जो अंतरिक्ष के सभी तत्वों के लिए परिभाषित होता है और शर्तों को पूरा करता है:

1.kxk 0, और kxkΩ = 0 x = 0Ω;

2. kλxk = | | KxkΩ;

3.kx + yk kxkΩ + kykΩ।

भविष्य में, हम छोटे लैटिन अक्षरों के साथ वैक्टर को निरूपित करने के लिए सहमत होंगे, और हम उन्हें कॉलम वैक्टर के रूप में मानेंगे, बड़े लैटिन अक्षरों में मैट्रिक्स को निरूपित करेंगे, और स्केलर मात्राओं को ग्रीक अक्षरों के साथ निरूपित करेंगे (अक्षरों के लिए पूर्णांकों के लिए पदनाम i, j रखते हुए) , के, एल, एम, एन) ...

सबसे आम वेक्टर मानदंडों में निम्नलिखित शामिल हैं:


	\| xi \|;
1.kxk1 =	\| xi \|;

2.kxk2 = यू x2; टी

3.kxk∞ = मैक्सी | xi |।

ध्यान दें कि अंतरिक्ष में सभी मानदंड Rn समतुल्य हैं, अर्थात, कोई भी दो मानदंड kxki और kxkj संबंधों से संबंधित हैं:

αij kxkj kxki βij kxkj,

के के के के के के

α˜ ij x i x j β ij x i,

इसके अलावा, αij, βij, α˜ij, βij x पर निर्भर नहीं हैं। इसके अलावा, एक परिमित-आयामी अंतरिक्ष में, कोई भी दो मानदंड समतुल्य हैं।

एक संख्या से जोड़ और गुणा के स्वाभाविक रूप से शुरू किए गए कार्यों के साथ मैट्रिस का स्थान एक रैखिक स्थान बनाता है जिसमें एक मानदंड की अवधारणा को कई तरीकों से पेश किया जा सकता है। हालांकि, तथाकथित अधीनस्थ मानदंडों को सबसे अधिक बार माना जाता है, अर्थात। अनुपात द्वारा वैक्टर के मानदंडों से संबंधित मानदंड:

समान सूचकांक वाले मैट्रिक्स के अधीनस्थ मानदंडों को वैक्टर के संबंधित मानदंडों के रूप में चिह्नित करना, यह स्थापित किया जा सकता है कि

के के1

| ऐज |; केएके2

को

(एटी ए);

यहां i (एटी ए) मैट्रिक्स एटी ए के आइजेनवैल्यू को दर्शाता है, जहां एटी ए के लिए स्थानांतरित मैट्रिक्स है। ऊपर उल्लिखित मानदंड के तीन मुख्य गुणों के अलावा, हम दो और नोट करते हैं:

कबक काक केबीके,

kAxk kAk kxk,

इसके अलावा, अंतिम असमानता में, मैट्रिक्स मानदंड संबंधित वेक्टर मानदंड के अधीन है। हम भविष्य में केवल मैट्रिसेस के मानदंडों का उपयोग करने के लिए सहमत हैं जो वैक्टर के मानदंडों के अधीन हैं। ध्यान दें कि ऐसे मानदंडों के लिए निम्नलिखित समानता है: यदि ई पहचान मैट्रिक्स है, तो केईके = 1।

2. विकर्ण प्रमुख मैट्रिक्स

परिभाषा 2.1. तत्वों (aij) n i, j = 1 के साथ एक मैट्रिक्स A को विकर्ण प्रभुत्व (δ मानों का) के साथ एक मैट्रिक्स कहा जाता है यदि असमानताएं

| एआई | - | ऐज | > 0, मैं = 1, एन।

3. सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स

परिभाषा 3.1. एक सममित आव्यूह A को a कहा जाएगा

सकारात्मक निश्चित यदि इस मैट्रिक्स के साथ द्विघात रूप xT Ax किसी भी वेक्टर x 6 = 0 के लिए केवल सकारात्मक मान लेता है।

एक मैट्रिक्स की सकारात्मक निश्चितता के लिए मानदंड इसके प्रतिजन मूल्यों की सकारात्मकता या इसके प्रमुख नाबालिगों की सकारात्मकता हो सकती है।

4. शर्त संख्या SLAE

किसी भी समस्या को हल करते समय, जैसा कि आप जानते हैं, तीन प्रकार की त्रुटियां होती हैं: घातक त्रुटि, पद्धतिगत त्रुटि और गोल त्रुटि। आइए हम SLAE के समाधान पर प्रारंभिक डेटा की अपरिवर्तनीय त्रुटि के प्रभाव पर विचार करें, गोलाई त्रुटि की उपेक्षा करते हुए और एक पद्धतिगत त्रुटि की अनुपस्थिति को ध्यान में रखते हुए।

मैट्रिक्स ए बिल्कुल ज्ञात है, और दाहिनी ओर बी में घातक त्रुटि δb है।

फिर समाधान kδxk / kxk . की सापेक्ष त्रुटि के लिए

	अनुमान प्राप्त करना आसान है:

जहां (ए) = केअक्का - 1 के।

संख्या (ए) को सिस्टम की स्थिति संख्या (4.1) (या मैट्रिक्स ए) कहा जाता है। यह पता चला है कि किसी भी मैट्रिक्स ए के लिए हमेशा ν (ए) 1। चूंकि शर्त संख्या का मूल्य मैट्रिक्स मानदंड की पसंद पर निर्भर करता है, जब एक विशिष्ट मानदंड चुनते हैं, तो हम क्रमशः इंडेक्स और ν (ए): ν1 ( ए), 2 (ए) या (ए)।

मामले में ν (ए) 1, सिस्टम (4.1) या मैट्रिक्स ए को बीमार कहा जाता है। इस मामले में, अनुमान से निम्नानुसार है

(4.2), सिस्टम के समाधान में त्रुटि (4.1) अस्वीकार्य रूप से बड़ी हो सकती है। किसी त्रुटि की स्वीकार्यता या अस्वीकार्यता की अवधारणा समस्या के बयान से निर्धारित होती है।

विकर्ण प्रभुत्व वाले मैट्रिक्स के लिए, इसकी स्थिति संख्या के लिए ऊपरी सीमा प्राप्त करना आसान है। जगह लेता है

प्रमेय 4.1. ए को > 0 के विकर्ण प्रभुत्व के साथ एक मैट्रिक्स होने दें। फिर यह गैर-एकवचन और ν∞ (ए) kAk∞ / δ है।

5. एक बीमार प्रणाली का एक उदाहरण।

SLAE (4.1) पर विचार करें, जिसमें

−1

− 1 . . .

−1

.. .

−1

इस प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान x = (0, 0,..., 0, 1) T है। मान लें कि सिस्टम के दाहिने हाथ में त्रुटि δb = (0, 0,.., 0, ε), ε> 0 है। तब

xn = ε, δxn − 1 = , δxn − 2 = 2 , δxn - k = 2 k - 1 ,। ... ... , δx1 = 2 n - 2 ।

के∞ =

2 एन -2 ,

को

के को

इसलिये,

(ए) kδxk : kδbk ∞ = 2n - 2। केएक्सके केबीके

चूँकि kAk∞ = n, फिर kA - 1 k∞ n - 1 2 n - 2, हालांकि det (A - 1) = (det A) -1 = 1. मान लीजिए, उदाहरण के लिए, n = 102। फिर ν ( ए) 2100> 1030। इसके अलावा, भले ही = 10−15, हम kδxk∞> 1015 प्राप्त करते हैं। और इसलिए नहीं

परिभाषा।