यांत्रिक गति को किसी भी मुख्य निकाय के सापेक्ष बिंदुओं और पिंडों की स्थिति में समय के साथ परिवर्तन कहा जाता है, जिससे संदर्भ का फ्रेम जुड़ा होता है। किनेमेटिक्स इन आंदोलनों का कारण बनने वाली ताकतों की परवाह किए बिना, बिंदुओं और निकायों के यांत्रिक आंदोलन का अध्ययन करता है। कोई भी गति, विश्राम की तरह, सापेक्ष होती है और संदर्भ के फ्रेम की पसंद पर निर्भर करती है।

एक बिंदु का प्रक्षेपवक्र एक गतिमान बिंदु द्वारा वर्णित एक सतत रेखा है। यदि पथ एक सीधी रेखा है, तो बिंदु की गति को रेक्टिलाइनियर कहा जाता है, और यदि यह वक्र है, तो इसे वक्रतापूर्ण कहा जाता है। यदि प्रक्षेप पथ समतल है, तो बिंदु की गति को समतल कहा जाता है।

एक बिंदु या शरीर की गति को दिया या ज्ञात माना जाता है यदि समय (टी) में प्रत्येक क्षण के लिए आप चयनित समन्वय प्रणाली के सापेक्ष बिंदु या शरीर की स्थिति निर्दिष्ट कर सकते हैं।

अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति कार्य द्वारा निर्धारित की जाती है:

ए) बिंदु प्रक्षेपवक्र;

बी) ओ 1 की शुरुआत प्रक्षेपवक्र के साथ दूरी की गिनती (चित्रा 11): एस = ओ 1 एम - बिंदु एम के वक्रीय समन्वय;

ग) दूरियों की सकारात्मक गिनती की दिशाएँ s;

डी) एक प्रक्षेपवक्र के साथ एक बिंदु की गति के समीकरण या कानून: एस = एस (टी)

बिंदु गति।यदि कोई बिंदु समान समय अंतराल में समान पथ खंडों की यात्रा करता है, तो इसकी गति को एकसमान कहा जाता है। एक समान गति की गति को एक निश्चित अवधि में एक बिंदु द्वारा तय किए गए पथ z के अनुपात से इस अवधि के मूल्य के लिए मापा जाता है: v = s / 1। यदि कोई बिंदु समान समय अंतराल में असमान पथों की यात्रा करता है, तो उसकी गति को असमान कहा जाता है। इस मामले में गति भी परिवर्तनशील है और समय का एक कार्य है: v = v (t)। बिंदु A पर विचार करें, जो किसी नियम s = s (t) (चित्र 12) के अनुसार किसी दिए गए प्रक्षेपवक्र के साथ चलता है:

कुछ समय के लिए t. A चाप AA के अनुदिश A 1 की स्थिति में चला गया। यदि समय अंतराल t छोटा है, तो चाप AA 1 को एक जीवा से बदला जा सकता है और पहले सन्निकटन में बिंदु v cp = Ds / Dt की गति की औसत गति का मान पाया जा सकता है। औसत गति जीवा के अनुदिश बिंदु A से बिंदु A 1 तक निर्देशित होती है।

एक बिंदु की वास्तविक गति प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित होती है, और इसका बीजीय मूल्य समय के संबंध में पथ के पहले व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित किया जाता है:

वी = limΔs / Δt = डीएस / डीटी

बिंदु वेग का आयाम: (v) = लंबाई / समय, उदाहरण के लिए, m / s। यदि बिंदु वक्रीय निर्देशांक s में वृद्धि की ओर बढ़ता है, तो ds> 0, और इसलिए v> 0, और अन्यथा ds< 0 и v < 0.

बिंदु त्वरण।समय की प्रति इकाई गति में परिवर्तन त्वरण द्वारा निर्धारित किया जाता है। स्थिति A से स्थिति A 1 तक समय t में एक घुमावदार प्रक्षेपवक्र के साथ बिंदु A की गति पर विचार करें। स्थिति A में, बिंदु की गति v थी, और स्थिति A 1 में - गति v 1 (चित्र 13) थी। वे। बिंदु की गति परिमाण और दिशा में बदल गई है। हम बिंदु A से एक सदिश v 1 की रचना करके ज्यामितीय अंतर, वेग v पाते हैं।

एक बिंदु के त्वरण को एक सदिश कहा जाता है "समय के संबंध में एक बिंदु के वेग वेक्टर के पहले व्युत्पन्न के बराबर:

पाया गया त्वरण वेक्टर ए को दो परस्पर लंबवत घटकों में विघटित किया जा सकता है लेकिन गति के प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा और सामान्य। स्पर्शरेखा त्वरण a 1 त्वरित गति के दौरान गति के साथ या गति को बदलने पर इसके विपरीत दिशा में मेल खाता है। यह गति के परिमाण में परिवर्तन की विशेषता है और समय में गति के परिमाण के व्युत्पन्न के बराबर है

सामान्य त्वरण वेक्टर a को सामान्य (लंबवत) वक्र के साथ प्रक्षेपवक्र की अवतलता की ओर निर्देशित किया जाता है, और इसका मापांक बिंदु के वेग के वर्ग के अनुपात के साथ प्रक्षेपवक्र की वक्रता की त्रिज्या के अनुपात के बराबर होता है। विचाराधीन बिंदु।

सामान्य त्वरण गति में परिवर्तन की विशेषता है
दिशा।

पूर्ण त्वरण मान: , एम / एस 2

त्वरण के आधार पर बिंदु गति के प्रकार।

यूनिफ़ॉर्म रेक्टिलिनियर मूवमेंट(जड़ता द्वारा गति) इस तथ्य की विशेषता है कि गति की गति स्थिर है, और प्रक्षेपवक्र की वक्रता की त्रिज्या अनंत के बराबर है।

अर्थात्, r = , v = स्थिरांक, तब; और इसलिए । इसलिए, जब कोई बिंदु जड़ता से चलता है, तो उसका त्वरण शून्य होता है।

आयताकार असमान गति।प्रक्षेपवक्र की वक्रता त्रिज्या r = , और n = 0 है; इसलिए, a = a t और a = a t = dv / dt।

यह एक सदिश भौतिक मात्रा है, जो संख्यात्मक रूप से उस सीमा के बराबर है, जिस तक औसत गति अनंत रूप से छोटी अवधि में चलती है:

दूसरे शब्दों में, तात्कालिक वेग समय में त्रिज्या सदिश है।

तात्कालिक वेग वेक्टर हमेशा शरीर की गति की दिशा में शरीर के प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा रूप से निर्देशित होता है।

तात्कालिक गति एक विशिष्ट समय पर गति के बारे में सटीक जानकारी प्रदान करती है। उदाहरण के लिए, किसी समय कार में ड्राइविंग करते समय, ड्राइवर स्पीडोमीटर को देखता है और देखता है कि डिवाइस 100 किमी / घंटा दिखाता है। थोड़ी देर के बाद, स्पीडोमीटर सुई 90 किमी / घंटा और कुछ मिनट बाद - 110 किमी / घंटा की ओर इशारा करती है। सभी सूचीबद्ध स्पीडोमीटर रीडिंग समय में कुछ बिंदुओं पर तात्कालिक वाहन गति के मान हैं। समय के प्रत्येक क्षण और प्रक्षेपवक्र के प्रत्येक बिंदु पर गति को अंतरिक्ष स्टेशनों को डॉक करते समय, विमान को उतारते समय, आदि के बारे में पता होना चाहिए।

क्या "तात्कालिक गति" की अवधारणा का कोई भौतिक अर्थ है? वेग अंतरिक्ष में परिवर्तन की एक विशेषता है। हालांकि, यह निर्धारित करने के लिए कि विस्थापन कैसे बदल गया है, कुछ समय के लिए आंदोलन का निरीक्षण करना आवश्यक है। यहां तक ​​​​कि सबसे उन्नत गति मापने वाले उपकरण, जैसे कि रडार सिस्टम, समय की अवधि में गति को मापते हैं - हालांकि यह काफी छोटा है, लेकिन यह अभी भी एक सीमित समय अंतराल है, समय में एक पल नहीं। "किसी निश्चित समय पर किसी पिंड की गति" अभिव्यक्ति भौतिकी की दृष्टि से सही नहीं है। हालांकि, गणितीय गणनाओं में तात्कालिक गति की अवधारणा बहुत सुविधाजनक है, और इसका लगातार उपयोग किया जाता है।

"तात्कालिक गति" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 1

उदाहरण 2

व्यायाम	एक सीधी रेखा के अनुदिश एक बिंदु की गति का नियम समीकरण द्वारा दिया जाता है। गति शुरू होने के 10 सेकंड बाद बिंदु की तात्कालिक गति ज्ञात कीजिए।
समाधान	एक बिंदु की तात्कालिक गति समय में त्रिज्या वेक्टर है। इसलिए, तात्कालिक गति के लिए, आप लिख सकते हैं: आंदोलन शुरू होने के 10 सेकंड बाद, तात्कालिक गति का मान होगा:
उत्तर	गति शुरू होने के 10 सेकंड में, बिंदु की तात्कालिक गति m/s है।

उदाहरण 3

व्यायाम	पिंड एक सीधी रेखा में चलता है ताकि उसका निर्देशांक (मीटर में) कानून के अनुसार बदल जाए। आंदोलन शुरू होने के कितने सेकंड बाद शरीर रुक जाएगा?
समाधान	आइए शरीर की तात्कालिक गति ज्ञात करें:

एक बिंदु के आंदोलन को निर्दिष्ट करने के तरीके।

बिंदु आंदोलन सेट करें - इसका अर्थ उस नियम को इंगित करना है जिसके अनुसार किसी भी समय संदर्भ के दिए गए फ्रेम में अपनी स्थिति निर्धारित करना संभव है।

इस नियम का गणितीय व्यंजक कहलाता है गति का नियम , या गति का समीकरणअंक।

एक बिंदु की गति को परिभाषित करने के तीन तरीके हैं:

वेक्टर;

समन्वय;

प्राकृतिक.

प्रति वेक्टर तरीके से गति सेट करें, करने की जरूरत है:

à एक निश्चित केंद्र चुनें;

बिंदु की स्थिति त्रिज्या वेक्टर का उपयोग करके निर्धारित की जाती है, जो निश्चित केंद्र से शुरू होती है और चलती बिंदु एम पर समाप्त होती है;

इस त्रिज्या सदिश को समय t के फलन के रूप में परिभाषित करें: .

अभिव्यक्ति

बुलाया गति का सदिश नियमअंक, या गति का सदिश समीकरण.

!! त्रिज्या वेक्टर केंद्र O से बिंदु M तक की दूरी (वेक्टर का मापांक) + दिशा है, जिसे अलग-अलग तरीकों से निर्धारित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, दिए गए दिशाओं के साथ कोण।

गति सेट करने के लिए समन्वय तरीका , करने की जरूरत है:

एक समन्वय प्रणाली का चयन करें और ठीक करें (कोई भी: कार्टेशियन, ध्रुवीय, गोलाकार, बेलनाकार, आदि);

संबंधित निर्देशांक का उपयोग करके बिंदु की स्थिति निर्धारित करें;

à इन निर्देशांकों को समय t के फलन के रूप में सेट करें।

एक कार्तीय समन्वय प्रणाली में, इसलिए, आपको कार्यों को निर्दिष्ट करना होगा

एक ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में, ध्रुवीय त्रिज्या और ध्रुवीय कोण को समय के कार्यों के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए:

सामान्य तौर पर, निर्दिष्ट करने की निर्देशांक विधि में, बिंदु की वर्तमान स्थिति को निर्धारित करने वाले निर्देशांक को समय के कार्य के रूप में सेट किया जाना चाहिए।

ताकि आप बिंदु की गति निर्धारित कर सकें प्राकृतिक तरीके सेआपको उसे जानने की जरूरत है प्रक्षेपवक्र ... आइए बिंदु के प्रक्षेपवक्र की परिभाषा लिखें।

प्रक्षेपवक्र अंक कहा जाता है किसी भी अवधि के लिए इसके कई पद(आमतौर पर 0 और + के बीच)।

उदाहरण में सड़क पर एक पहिया लुढ़क रहा है, बिंदु 1 का प्रक्षेपवक्र है चक्रज, और अंक 2 - घूमना; पहिए के केंद्र से जुड़े संदर्भ के फ्रेम में, दोनों बिंदुओं के प्रक्षेप पथ - हलकों.

किसी बिंदु की गति को प्राकृतिक तरीके से सेट करने के लिए, आपको चाहिए:

à बिंदु के प्रक्षेपवक्र को जानें;

à प्रक्षेपवक्र पर मूल और सकारात्मक दिशा का चयन करें;

एक बिंदु की वर्तमान स्थिति को मूल से इस वर्तमान स्थिति तक प्रक्षेपवक्र चाप की लंबाई से निर्धारित करें;

इस लंबाई को समय के एक फलन के रूप में इंगित करें।

उपरोक्त फ़ंक्शन को परिभाषित करने वाला एक व्यंजक,

कहा जाता है एक प्रक्षेपवक्र के साथ एक बिंदु की गति का नियम, या गति का प्राकृतिक समीकरणअंक।

फ़ंक्शन के प्रकार (4) के आधार पर, प्रक्षेपवक्र के साथ बिंदु अलग-अलग तरीकों से आगे बढ़ सकता है।

3. एक बिंदु का प्रक्षेपवक्र और उसकी परिभाषा।

"एक बिंदु के प्रक्षेपवक्र" की अवधारणा की परिभाषा पहले प्रश्न 2 में दी गई थी। आंदोलन को निर्दिष्ट करने के विभिन्न तरीकों के लिए एक बिंदु के प्रक्षेपवक्र को निर्धारित करने के प्रश्न पर विचार करें।

प्राकृतिक तरीका: प्रक्षेपवक्र निर्दिष्ट किया जाना चाहिए, इसलिए आपको इसे खोजने की आवश्यकता नहीं है।

वेक्टर रास्ता: आपको समानता के अनुसार समन्वय विधि पर जाने की आवश्यकता है

समन्वय तरीका: गति के समीकरणों (2), या (3) से समय t को बाहर करना आवश्यक है।

गति के समन्वय समीकरण प्रक्षेपवक्र को परिभाषित करते हैं पैरामीट्रिक रूप से, पैरामीटर t (समय) के माध्यम से। वक्र के लिए एक स्पष्ट समीकरण प्राप्त करने के लिए, पैरामीटर को समीकरणों से बाहर रखा जाना चाहिए।

समीकरण (2) से समय निकालने के बाद, बेलनाकार सतहों के दो समीकरण प्राप्त होते हैं, उदाहरण के लिए, के रूप में

इन सतहों का प्रतिच्छेदन बिंदु का प्रक्षेपवक्र होगा।

जब कोई बिंदु समतल के अनुदिश गति करता है, तो समस्या सरल हो जाती है: दो समीकरणों में से समय को निकालने के बाद

प्रक्षेपवक्र समीकरण निम्नलिखित रूपों में से एक में प्राप्त किया जाएगा:

कब होगा, इसलिए, बिंदु का प्रक्षेपवक्र परवलय की दाहिनी शाखा होगी:

यह गति के समीकरणों से इस प्रकार है कि

इसलिए, बिंदु का प्रक्षेपवक्र दाहिने आधे तल में स्थित परवलय का हिस्सा होगा:

तब हमें मिलता है

तब से पूरा दीर्घवृत्त बिंदु का पथ होगा।

पर दीर्घवृत्त का केंद्र निर्देशांक O के मूल में होगा; जब हमें एक वृत्त मिलता है; पैरामीटर k दीर्घवृत्त के आकार को प्रभावित नहीं करता है, दीर्घवृत्त के साथ बिंदु की गति इस पर निर्भर करती है। यदि समीकरणों में cos और sin को आपस में बदल दिया जाता है, तो प्रक्षेपवक्र (वही दीर्घवृत्त) नहीं बदलेगा, लेकिन बिंदु की प्रारंभिक स्थिति और गति की दिशा बदल जाएगी।

एक बिंदु की गति उसकी स्थिति में परिवर्तन की "गति" की विशेषता है। औपचारिक रूप से: गति - समय की प्रति इकाई एक बिंदु की गति.

सटीक परिभाषा।

फिर रवैया

1.2. सीधी गति

1.2.4. औसत गति

एक भौतिक बिंदु (शरीर) अपनी गति को केवल एकसमान सीधा गति के साथ अपरिवर्तित रखता है। यदि गति असमान है (समान परिवर्तनशील सहित), तो शरीर की गति बदल जाती है। यह आंदोलन एक औसत गति की विशेषता है। औसत यात्रा गति और औसत जमीनी गति के बीच अंतर करें।

औसत यात्रा गतिएक वेक्टर भौतिक मात्रा है, जो सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

वी → आर = Δ आर → टी,

जहाँ r → विस्थापन सदिश है; यह वह समय अंतराल है जिसके दौरान यह आंदोलन हुआ।

औसत जमीन की गतिएक अदिश भौतिक राशि है और इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है

वी एस = एस कुल टी कुल,

जहां एस कुल = एस 1 + एस 1 + ... + एस एन; टी कुल = टी 1 + टी 2 + ... + टी एन।

यहां एस 1 = वी 1 टी 1 - पथ का पहला खंड; वी 1 - पथ के पहले खंड के पारित होने की गति (चित्र। 1.18); टी 1 - पथ के पहले खंड आदि पर चलने का समय।

चावल। 1.18

उदाहरण 7. एक चौथाई बस 36 किमी / घंटा की गति से चलती है, दूसरी तिमाही - 54 किमी / घंटा, बाकी रास्ता - 72 किमी / घंटा की गति से। बस की औसत सड़क गति की गणना करें।

समाधान। बस द्वारा तय किया गया कुल पथ S द्वारा दर्शाया गया है:

एस कुल = एस।

एस 1 = एस / 4 - पहले खंड पर बस द्वारा तय किया गया पथ,

एस 2 = एस / 4 - दूसरे खंड पर बस द्वारा तय किया गया रास्ता,

एस 3 = एस / 2 - तीसरे खंड में बस द्वारा तय किया गया रास्ता।

बस यात्रा का समय सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

• पहले खंड में (एस 1 = एस / 4) -

  टी 1 = एस 1 वी 1 = एस 4 वी 1;

• दूसरे खंड में (एस 2 = एस / 4) -

  टी 2 = एस 2 वी 2 = एस 4 वी 2;

• तीसरे खंड में (एस 3 = एस / 2) -

  टी 3 = एस 3 वी 3 = एस 2 वी 3।

बस का कुल यात्रा समय है:

टी कुल = टी 1 + टी 2 + टी 3 = एस 4 वी 1 + एस 4 वी 2 + एस 2 वी 3 = एस (1 4 वी 1 + 1 4 वी 2 + 1 2 वी 3)।

वी एस = एस कुल टी कुल = एस एस (1 4 वी 1 + 1 4 वी 2 + 1 2 वी 3) =

1 (1 4 वी 1 + 1 4 वी 2 + 1 2 वी 3) = 4 वी 1 वी 2 वी 3 वी 2 वी 3 + वी 1 वी 3 + 2 वी 1 वी 2।

वी एस = 4 36 ⋅ 54 72 54 ⋅ 72 + 36 ⋅ 72 + 2 36 ⋅ 54 = 54 किमी / घंटा।

उदाहरण 8. एक सिटी बस स्टॉप पर बिताए गए समय का पांचवां हिस्सा, बाकी समय वह 36 किमी / घंटा की गति से चलती है। बस की औसत सड़क गति ज्ञात कीजिए।

समाधान। मार्ग पर बस का कुल यात्रा समय t द्वारा दर्शाया गया है:

टी कुल = टी।

टी 1 = टी / 5 - स्टॉप पर बिताया गया समय,

टी 2 = 4 टी / 5 - बस यात्रा का समय।

बस द्वारा तय किया गया मार्ग:

• समय के लिए टी 1 = टी / 5 -

  एस 1 = वी 1 टी 1 = 0,

चूँकि इस समय अंतराल में बस v 1 की गति शून्य के बराबर है (v 1 = 0);

• समय में t 2 = 4t / 5 -

  एस 2 = वी 2 टी 2 = वी 2 4 टी 5 = 4 5 वी 2 टी,

  जहाँ v 2 एक निश्चित समय अंतराल पर बस की गति है (v 2 = = 36 किमी / घंटा)।

कुल बस मार्ग है:

एस कुल = एस 1 + एस 2 = 0 + 4 5 वी 2 टी = 4 5 वी 2 टी।

हम सूत्र का उपयोग करके बस की औसत जमीनी गति की गणना करते हैं

वी एस = एस कुल टी कुल = 4 5 वी 2 टी टी = 4 5 वी 2।

गणना औसत जमीनी गति का मान देती है:

वी एस = 4 5 36 = 30 किमी / घंटा।

उदाहरण 9. किसी भौतिक बिंदु की गति के समीकरण का रूप x (t) = (9.0 - 6.0t + 2.0t 2) m है, जहाँ निर्देशांक मीटर में, समय - सेकंड में दिया जाता है। आंदोलन के पहले तीन सेकंड में औसत जमीनी गति और एक भौतिक बिंदु की गति की औसत गति का मान निर्धारित करें।

समाधान। निर्धारण के लिए औसत यात्रा गतिसामग्री बिंदु की गति की गणना करना आवश्यक है। समय अंतराल में t 1 = 0 s से t 2 = 3.0 s तक किसी भौतिक बिंदु की गति के मापांक की गणना निर्देशांक के अंतर के रूप में की जाती है:

| आर → | = | एक्स (टी 2) - एक्स (टी 1) | ,

विस्थापन मापांक की गणना के लिए सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर यह प्राप्त होता है:

| आर → | = | एक्स (टी 2) - एक्स (टी 1) | = 9.0 - 9.0 = 0 मी.

इस प्रकार, भौतिक बिंदु का विस्थापन शून्य है। इसलिए, औसत गति का मापांक भी शून्य है:

| वी → आर | = | आर → | टी 2 - टी 1 = 0 3.0 - 0 = 0 मी / से।

निर्धारण के लिए औसत जमीनी गतिसमय अंतराल के दौरान t 1 = 0 s से t 2 = 3.0 s तक भौतिक बिंदु द्वारा तय किए गए पथ की गणना करना आवश्यक है। बिंदु की गति समान रूप से धीमी है, इसलिए आपको यह पता लगाना होगा कि क्या रोक बिंदु निर्दिष्ट अंतराल के भीतर आता है।

ऐसा करने के लिए, हम समय के साथ भौतिक बिंदु की गति में परिवर्तन के नियम को रूप में लिखते हैं:

वी एक्स = वी 0 एक्स + ए एक्स टी = - 6.0 + 4.0 टी,

जहाँ v 0 x = −6.0 m / s, ऑक्स अक्ष पर प्रारंभिक वेग का प्रक्षेपण है; a x = = 4.0 m / s 2 - निर्दिष्ट अक्ष पर त्वरण का प्रक्षेपण।

शर्त से एक रोक बिंदु खोजें

वी (τ आराम) = 0,

वे।

आराम = वी 0 ए = 6.0 4.0 = 1.5 एस।

रोक बिंदु समय अंतराल के भीतर t 1 = 0 s से t 2 = 3.0 s तक आता है। इस प्रकार, ट्रैवर्स किए गए पथ की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

एस = एस 1 + एस 2,

जहां एस 1 = | एक्स (τ बाकी) - एक्स (टी 1) | - एक भौतिक बिंदु से रुकने का मार्ग, अर्थात। समय के लिए टी 1 = 0 एस से आराम = 1.5 एस; एस 2 = | एक्स (टी 2) - एक्स (τ बाकी) | - रुकने के बाद भौतिक बिंदु द्वारा तय किया गया मार्ग, अर्थात। आराम के समय के लिए = 1.5 s से t 1 = 3.0 s तक।

आइए निर्दिष्ट समय पर निर्देशांक के मूल्यों की गणना करें:

एक्स (टी 1) = 9.0 - 6.0 टी 1 + 2.0 टी 1 2 = 9.0 - 6.0 ⋅ 0 + 2.0 ⋅ 0 2 = 9.0 मीटर;

एक्स (τ आराम) = 9.0 - 6.0 आराम + 2.0 बाकी 2 = 9.0 - 6.0 ⋅ 1.5 + 2.0 ⋅ (1.5) 2 = 4.5 मीटर;

एक्स (टी 2) = 9.0 - 6.0 टी 2 + 2.0 टी 2 2 = 9.0 - 6.0 ⋅ 3.0 + 2.0 ⋅ (3.0) 2 = 9.0 मीटर ...

निर्देशांक मान आपको पथ S 1 और S 2 की गणना करने की अनुमति देते हैं:

एस 1 = | एक्स (τ बाकी) - एक्स (टी 1) | = | 4.5 - 9.0 | = 4.5 मीटर;

एस 2 = | एक्स (टी 2) - एक्स (τ बाकी) | = | 9.0 - 4.5 | = 4.5 मीटर,

साथ ही यात्रा की गई कुल दूरी:

एस = एस 1 + एस 2 = 4.5 + 4.5 = 9.0 मीटर।

इसलिए, एक भौतिक बिंदु की औसत जमीनी गति का वांछित मूल्य है

वी एस = एस टी 2 - टी 1 = 9.0 3.0 - 0 = 3.0 एम / एस।

उदाहरण 10. समय पर एक भौतिक बिंदु की गति के प्रक्षेपण की निर्भरता का ग्राफ एक सीधी रेखा है और बिंदुओं (0; 8.0) और (12; 0) से होकर गुजरता है, जहां गति मीटर प्रति सेकंड में निर्धारित होती है , समय - सेकंड में। 16 सेकंड के आंदोलन के लिए औसत जमीन की गति कितनी बार एक ही समय के लिए आंदोलन की औसत गति के मूल्य से अधिक है?

समाधान। समय पर शरीर के वेग के प्रक्षेपण की निर्भरता का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है।

भौतिक बिंदु और उसके आंदोलन के मापांक द्वारा तय किए गए पथ की ग्राफिक रूप से गणना करने के लिए, समय के समय में वेग के प्रक्षेपण के मूल्य को 16 एस के बराबर निर्धारित करना आवश्यक है।

एक निर्दिष्ट समय पर v x का मान निर्धारित करने के दो तरीके हैं: विश्लेषणात्मक (एक सीधी रेखा के समीकरण के माध्यम से) और ग्राफिकल (त्रिकोण की समानता के माध्यम से)। v x ज्ञात करने के लिए, हम पहली विधि का उपयोग करेंगे और दो बिंदुओं पर एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करेंगे:

टी - टी 1 टी 2 - टी 1 = वी एक्स - वी एक्स 1 वी एक्स 2 - वी एक्स 1,

जहां (टी 1; वी एक्स 1) - पहले बिंदु के निर्देशांक; (टी 2; वी एक्स 2) - दूसरे बिंदु के निर्देशांक। समस्या की स्थिति से: टी 1 = 0, वी एक्स 1 = 8.0, टी 2 = 12, वी एक्स 2 = 0. निर्देशांक के विशिष्ट मूल्यों को ध्यान में रखते हुए, यह समीकरण रूप लेता है:

टी - 0 12 - 0 = वी एक्स - 8.0 0 - 8.0,

वी एक्स = 8.0 - 2 3 टी।

t = 16 s पर, वेग प्रक्षेपण मान है

| वी एक्स | = 8 3 मी/से.

यह मान त्रिभुजों की समानता से भी प्राप्त किया जा सकता है।

• आइए एस 1 और एस 2 के मानों के योग के रूप में सामग्री बिंदु द्वारा तय किए गए पथ की गणना करें:

  एस = एस 1 + एस 2,

  जहां एस 1 = 1 2 ⋅ 8.0 12 = 48 मीटर - 0 से 12 सेकेंड के समय अंतराल के दौरान भौतिक बिंदु द्वारा तय किया गया पथ; एस 2 = 1 2 (16 - 12) | वी एक्स | = 1 2 4.0 8 3 = = 16 3 मीटर - समय अंतराल में 12 से 16 सेकंड तक भौतिक बिंदु द्वारा तय किया गया पथ।

यात्रा की गई कुल दूरी है

एस = एस 1 + एस 2 = 48 + 16 3 = 160 3 मीटर।

एक भौतिक बिंदु की औसत जमीनी गति है

वी एस = एस टी 2 - टी 1 = 160 3 ⋅ 16 = 10 3 मी / से।

• हम एक भौतिक बिंदु के विस्थापन के मूल्य की गणना एस 1 और एस 2 के बीच के अंतर के मापांक के रूप में करते हैं:

  एस = | एस 1 - एस 2 | = | 48 - 16 3 | = 128 3 मी.

औसत गति का मान है

| वी → आर | = | आर → | टी 2 - टी 1 = 128 3 16 = 8 3 मी/से.

मांग की गति अनुपात है

वी एस | वी → आर | = 10 3 3 8 = 10 8 = 1.25।

एक भौतिक बिंदु की औसत जमीनी गति गति की औसत गति के मापांक का 1.25 गुना है।

यदि कोई भौतिक बिंदु गति में है, तो उसके निर्देशांक परिवर्तन के अधीन हैं। यह प्रक्रिया तेज या धीमी हो सकती है।

परिभाषा 1

वह मात्रा जो निर्देशांक की स्थिति में परिवर्तन की दर को दर्शाती है, कहलाती है स्पीड.

परिभाषा 2

औसत गतिएक सदिश राशि है, जो संख्यात्मक रूप से समय की प्रति इकाई विस्थापन के बराबर है, और विस्थापन वेक्टर υ = r ∆ t के साथ सह-दिशा है; आर.

चित्र 1 । औसत गति गति के समान दिशा में है

रास्ते में औसत गति का मापांक = S t है।

तात्कालिक गति एक निश्चित समय पर गति की विशेषता है। अभिव्यक्ति "एक निश्चित समय में शरीर की गति" को सही नहीं माना जाता है, लेकिन गणितीय गणनाओं में लागू होता है।

परिभाषा 3

तात्कालिक गति उस सीमा को कहा जाता है, जब समय अंतराल t 0 की ओर जाता है, तो औसत गति जाती है:

= एल आई एम ∆ टी ∆ आर ∆ टी = डी आर डी टी = आर ।

वेक्टर υ की दिशा वक्रीय प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा है, क्योंकि इनफिनिटिमल विस्थापन d r प्रक्षेपवक्र d s के इनफिनिटिमल तत्व के साथ मेल खाता है।

चित्र 2। तात्कालिक वेग वेक्टर

कार्टेशियन निर्देशांक में उपलब्ध व्यंजक = l i m t ∆ r t = d r d t = r नीचे प्रस्तावित समीकरणों के समान है:

x = d x d t = x y = d y d t = y z = d z d t = z ।

वेक्टर के मापांक का रिकॉर्ड रूप लेगा:

= = x 2 + υ y 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2.

कार्टेशियन आयताकार निर्देशांक से वक्रता वाले निर्देशांक में जाने के लिए, जटिल कार्यों को विभेदित करने के नियम लागू होते हैं। यदि त्रिज्या सदिश r वक्रीय निर्देशांक r = r q 1, q 2, q 3 का एक फलन है, तो वेग मान इस प्रकार लिखा जाएगा:

= डी आर डी टी = ∑ मैं = 1 3 आर ∂ क्यू मैं ∂ क्यू मैं ∂ आर = ∑ मैं = 1 3 ∂ आर ∂ क्यू मैं क्यू ˙ मैं।

चित्र तीन। वक्रीय समन्वय प्रणालियों में विस्थापन और तात्कालिक वेग

गोलीय निर्देशांकों के लिए, मान लें कि q 1 = r; क्यू 2 = ; q 3 = , तो हम को निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत करते हैं:

= υ r e r + e φ + υ θ , जहां r = r ; = आर φ ˙ पाप ; = आर θ ; आर ˙ = डी आर डी टी; = डी φ डी टी; = डी θ डी टी; = आर 1 + 2 पाप 2 + 2।

परिभाषा 4

त्वरित गतिसंबंध d r = υ (t) d t द्वारा प्राथमिक विस्थापन से जुड़े किसी दिए गए क्षण में समय विस्थापन फलन के अवकलज का मान है

उदाहरण 1

एक बिंदु x (t) = 0, 15 t 2 - 2 t + 8 की रेखीय गति का नियम दिया गया है। आंदोलन शुरू होने के 10 सेकंड बाद इसकी तात्कालिक गति निर्धारित करें।

समाधान

तात्कालिक वेग को समय के संबंध में त्रिज्या सदिश का पहला अवकलज कहा जाता है। तब इसका रिकॉर्ड रूप लेगा:

(टी) = एक्स ˙ (टी) = 0। 3 टी - 2; (10) = 0. 3 × 10 - 2 = 1 मी / से।

उत्तर: 1 एम / एस।

उदाहरण 2

एक भौतिक बिंदु की गति समीकरण x = 4 t - 0.05 t 2 द्वारा दी गई है। समय के उस क्षण की गणना करें जब बिंदु गति करना बंद कर देता है, और इसकी औसत जमीनी गति ।

समाधान

आइए तात्कालिक वेग के समीकरण की गणना करें, संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को प्रतिस्थापित करें:

(टी) = एक्स ˙ (टी) = 4 - 0, 1 टी।

4 - 0, 1 टी = 0; t के बारे में t = 40 s; 0 = (0) = 4; = ∆ टी = 0 - 4 40 - 0 = 0.1 मी / से।

उत्तर:सेट बिंदु 40 सेकंड के बाद बंद हो जाएगा; औसत गति का मान 0.1 m / s है।

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