सामान्य सूत्रीकरण: किसी भी मनमाने ढंग से चुनी गई बंद सतह के माध्यम से विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर का प्रवाह इस सतह के भीतर निहित विद्युत आवेश के समानुपाती होता है।

सीजीएसई प्रणाली में:

एसआई प्रणाली में:

- बंद सतह के माध्यम से विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर का प्रवाह।

- सतह को घेरने वाले आयतन में निहित कुल आवेश।

- विद्युत स्थिरांक।

यह व्यंजक गॉस प्रमेय अभिन्न रूप में है।

अंतर रूप में, गॉस की प्रमेय मैक्सवेल के समीकरणों में से एक से मेल खाती है और इसे निम्नानुसार व्यक्त किया जाता है

एसआई प्रणाली में:

,

सीजीएसई प्रणाली में:

यहाँ वॉल्यूमेट्रिक चार्ज डेंसिटी (एक माध्यम की उपस्थिति में, फ्री और बाउंड चार्ज का कुल घनत्व) है, और नाबला ऑपरेटर है।

गॉस प्रमेय के लिए, सुपरपोजिशन का सिद्धांत मान्य है, अर्थात, सतह के माध्यम से तनाव वेक्टर का प्रवाह सतह के अंदर आवेश के वितरण पर निर्भर नहीं करता है।

गॉस प्रमेय का भौतिक आधार कूलम्ब का नियम है, या, दूसरे शब्दों में, गॉस का प्रमेय कूलम्ब के नियम का एक अभिन्न सूत्रीकरण है।

विद्युत प्रेरण (विद्युत विस्थापन) के लिए गॉस प्रमेय।

मामले में एक क्षेत्र के लिए, गॉस के इलेक्ट्रोस्टैटिक प्रमेय को अलग तरह से लिखा जा सकता है - विद्युत विस्थापन (विद्युत प्रेरण) के वेक्टर के प्रवाह के माध्यम से। इस मामले में, प्रमेय का सूत्रीकरण इस प्रकार है: एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत विस्थापन वेक्टर का प्रवाह इस सतह के भीतर निहित मुक्त विद्युत आवेश के समानुपाती होता है:

यदि हम किसी पदार्थ में क्षेत्र की ताकत के लिए प्रमेय पर विचार करते हैं, तो चार्ज क्यू के रूप में सतह के अंदर मुक्त चार्ज और ढांकता हुआ के ध्रुवीकरण (प्रेरित, बाध्य) चार्ज का योग लेना आवश्यक है:

,

कहाँ पे ,
ढांकता हुआ का ध्रुवीकरण वेक्टर है।

चुंबकीय प्रेरण के लिए गॉस प्रमेय

किसी भी बंद सतह के माध्यम से चुंबकीय प्रेरण वेक्टर का प्रवाह शून्य है:

.

यह इस तथ्य के बराबर है कि प्रकृति में कोई "चुंबकीय आवेश" (मोनोपोल) नहीं होते हैं जो एक चुंबकीय क्षेत्र बनाते हैं, क्योंकि विद्युत आवेश एक विद्युत क्षेत्र बनाते हैं। दूसरे शब्दों में, चुंबकीय प्रेरण के लिए गॉस प्रमेय से पता चलता है कि चुंबकीय क्षेत्र भंवर है।

गॉस प्रमेय का अनुप्रयोग

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की गणना के लिए निम्नलिखित मात्राओं का उपयोग किया जाता है:

थोक चार्ज घनत्व (ऊपर देखें)।

सतह चार्ज घनत्व

जहाँ dS सतह का एक अतिसूक्ष्म क्षेत्र है।

रैखिक चार्ज घनत्व

जहाँ dl एक अतिसूक्ष्म खंड की लंबाई है।

एक अनंत सजातीय आवेशित विमान द्वारा बनाए गए क्षेत्र पर विचार करें। मान लीजिए कि समतल का पृष्ठ आवेश घनत्व समान और के बराबर है। मानसिक रूप से एक सिलेंडर की कल्पना करें जिसमें जनक विमान के लंबवत हों, और आधार S, समतल के सापेक्ष सममित रूप से स्थित हो। समरूपता के कारण। तीव्रता वेक्टर फ्लक्स के बराबर है। गॉस प्रमेय को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

,

किस से

सीजीएसई प्रणाली में

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि, इसकी सार्वभौमिकता और व्यापकता के बावजूद, इंटीग्रल फॉर्म में गॉस के प्रमेय का इंटीग्रल की गणना की असुविधा के कारण अपेक्षाकृत सीमित अनुप्रयोग है। हालांकि, एक सममित समस्या के मामले में, सुपरपोजिशन सिद्धांत का उपयोग करने की तुलना में इसका समाधान बहुत आसान हो जाता है।

विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर प्रवाह।एक छोटा सा क्षेत्र होने दो डीएस(चित्र 1.2) विद्युत क्षेत्र की बल रेखाओं को प्रतिच्छेद करते हैं, जिसकी दिशा अभिलंब के साथ होती है एन इस साइट के कोण ए... यह मानते हुए कि तनाव का वेक्टर इ साइट के भीतर नहीं बदलता है डीएस, परिभाषित करें तनाव वेक्टर प्रवाहसाइट के पार डीएसकैसे

डीएफइ =इ डीएसक्योंकि ए.(1.3)

चूँकि बल रेखाओं का घनत्व तनाव के संख्यात्मक मान के बराबर होता है इ, तो साइट को पार करने वाली बल की रेखाओं की संख्याडीएस, संख्यात्मक रूप से प्रवाह मान के बराबर होगाडीएफइसतह के पारडीएस... हम सदिशों के अदिश गुणन के रूप में व्यंजक (1.3) के दाहिने हाथ का प्रतिनिधित्व करते हैं इतथाडीएस= एनडीएस, कहाँ पे एनक्या सतह पर इकाई सामान्य वेक्टर हैडीएस... प्राथमिक साइट के लिए d एसव्यंजक (1.3) रूप लेता है

डीएफइ = इडी एस

पूरी साइट पर एसतीव्रता वेक्टर प्रवाह की गणना सतह पर एक अभिन्न के रूप में की जाती है

इलेक्ट्रिक इंडक्शन वेक्टर फ्लक्स।विद्युत प्रेरण वेक्टर का प्रवाह विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर के प्रवाह के समान निर्धारित होता है

डीएफडी = डीडी एस

प्रवाह की परिभाषाओं में कुछ अस्पष्टता ध्यान देने योग्य है, इस तथ्य के कारण कि प्रत्येक सतह के लिए दो विपरीत दिशा के मानदंड। एक बंद सतह के लिए, बाहरी सामान्य को सकारात्मक माना जाता है।

गॉस प्रमेय।विचार करना सकारात्मक बिंदुआवेश क्यूएक मनमाना बंद सतह के अंदर एस(अंजीर। 1.3)। सतह के एक तत्व के माध्यम से प्रेरण वेक्टर का प्रवाह d एसके बराबर है
(1.4)

घटक डी एस डी = डी एस क्योंकि एसतह तत्व डी एसप्रेरण वेक्टर की दिशा मेंडीत्रिज्या के एक गोलाकार सतह के तत्व के रूप में माना जाता है आर, जिसके केंद्र में चार्ज हैक्यू.

यह ध्यान में रखते हुए एस डी/ आर 2 बराबर है प्राथमिक शारीरिककोने डीवू, जिसके तहत प्रभारी के स्थान के बिंदु सेक्यूसतह तत्व d दिखाई दे रहा है एस, हम अभिव्यक्ति (1.4) को रूप में बदलते हैंडी एफडी = क्यू डी वू / 4 पी, कहाँ से, आवेश के आस-पास के पूरे स्थान पर एकीकरण के बाद, यानी 0 से 4 तक ठोस कोण के भीतरपी, हम पाते हैं

एफडी = क्यू.

मनमाना आकार की एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रेरण वेक्टर का प्रवाह इस सतह के अंदर निहित आवेश के बराबर होता है.

यदि एक मनमाना बंद सतह एसप्वाइंट चार्ज को कवर नहीं करता है क्यू(चित्र। 1.4), फिर, उस बिंदु पर शीर्ष के साथ एक शंक्वाकार सतह का निर्माण करके, जहां चार्ज स्थित है, हम सतह को विभाजित करते हैं एसदो भागों में: एस 1 और एस 2. वेक्टर स्ट्रीम डी सतह के पार एसहम सतहों के माध्यम से प्रवाह के बीजीय योग के रूप में पाते हैं एस 1 और एस 2:

.

चार्ज के स्थान के बिंदु से दोनों सतह क्यूएक ठोस कोण पर दिखाई देता है वू... इसलिए प्रवाह बराबर हैं

चूंकि एक बंद सतह के माध्यम से प्रवाह की गणना का उपयोग करके की जाती है बाहरी सामान्यसतह पर, यह देखना आसान है कि प्रवाह Ф -1 डी < 0, тогда как поток Ф2डी> 0. कुल प्रवाह डी= 0. इसका मतलब है कि मनमानी आकार की एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रेरण वेक्टर का प्रवाह इस सतह के बाहर स्थित आरोपों पर निर्भर नहीं करता है।

यदि विद्युत क्षेत्र बिंदु आवेशों की एक प्रणाली द्वारा बनाया गया है क्यू 1 , क्यू 2 ,¼ , क्यू नहीं, जो एक बंद सतह से आच्छादित है एस, फिर, सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार, इस सतह के माध्यम से प्रेरण वेक्टर के प्रवाह को प्रत्येक चार्ज द्वारा बनाए गए फ्लक्स के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है। मनमानी आकार की एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रेरण वेक्टर का प्रवाह इस सतह द्वारा कवर किए गए आरोपों के बीजगणितीय योग के बराबर है:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि शुल्क क्यू मैंबिंदु जैसा होना आवश्यक नहीं है, एक आवश्यक शर्त यह है कि आवेशित क्षेत्र पूरी तरह से सतह से ढका होना चाहिए। यदि एक बंद सतह से घिरे अंतरिक्ष में एस, विद्युत आवेश लगातार वितरित किया जाता है, तो यह माना जाना चाहिए कि प्रत्येक प्राथमिक आयतन d वीएक चार्ज है। इस स्थिति में, व्यंजक (1.5) के दायीं ओर, आवेशों के बीजगणितीय योग को बंद सतह के अंदर संलग्न आयतन पर समाकलन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। एस:

(1.6)

अभिव्यक्ति (1.6) सबसे सामान्य सूत्रीकरण है गॉस प्रमेय: मनमाना आकार की एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रेरण वेक्टर का प्रवाह इस सतह से घिरे आयतन में कुल आवेश के बराबर होता है, और माना सतह के बाहर स्थित आवेशों पर निर्भर नहीं करता है... गॉस के प्रमेय को विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर के प्रवाह के लिए भी लिखा जा सकता है:

.

गॉस प्रमेय से विद्युत क्षेत्र का एक महत्वपूर्ण गुण निम्नानुसार है: बल की रेखाएँ केवल विद्युत आवेशों पर शुरू या समाप्त होती हैं या अनंत तक जाती हैं... हम एक बार फिर जोर देते हैं कि, इस तथ्य के बावजूद कि विद्युत क्षेत्र की ताकत इ और विद्युत प्रेरण डी अंतरिक्ष में सभी आवेशों के स्थान पर निर्भर करते हैं, इन सदिशों के एक मनमाना बंद सतह के माध्यम से प्रवाह एसकेवल निर्धारित वे आवेश जो सतह के अंदर स्थित होते हैं एस.

गॉस प्रमेय का विभेदक रूप।ध्यान दें कि अभिन्न रूपगॉस का प्रमेय विद्युत क्षेत्र (आवेश) के स्रोतों और आयतन में विद्युत क्षेत्र (शक्ति या प्रेरण) की विशेषताओं के बीच संबंध को दर्शाता है वीमनमाना, लेकिन अभिन्न संबंधों के निर्माण के लिए पर्याप्त, मूल्य। मात्रा को विभाजित करना वीछोटी मात्रा के लिए वी मैं, हमें अभिव्यक्ति मिलती है

जो समग्र रूप से और प्रत्येक पद के लिए सत्य है। आइए परिणामी अभिव्यक्ति को निम्नानुसार रूपांतरित करें:

(1.7)

और उस सीमा पर विचार करें जिस पर समानता के दाहिने हाथ की अभिव्यक्ति, घुंघराले ब्रेसिज़ में संलग्न है, मात्रा के असीमित विभाजन के लिए जाता है वी... गणित में इस सीमा को कहते हैं विचलनवेक्टर (इस मामले में, विद्युत प्रेरण वेक्टर डी):

वेक्टर विचलन डीकार्टेशियन निर्देशांक में:

इस प्रकार, व्यंजक (1.7) का रूप बदल जाता है:

.

इस बात को ध्यान में रखते हुए कि असीमित विभाजन के साथ, अंतिम अभिव्यक्ति के बाईं ओर का योग वॉल्यूम इंटीग्रल में चला जाता है, हम प्राप्त करते हैं

परिणामी अनुपात किसी भी मनमाने ढंग से चुने गए वॉल्यूम के लिए संतुष्ट होना चाहिए वी... यह तभी संभव है जब अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर समाकलन के मान समान हों। इसलिए, वेक्टर का विचलन डीसमानता द्वारा एक ही बिंदु पर चार्ज घनत्व से संबंधित है

या इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की ताकत के वेक्टर के लिए

ये समानताएँ गॉस के प्रमेय को व्यक्त करती हैं विभेदक रूप.

ध्यान दें कि गॉस प्रमेय के विभेदक रूप में जाने की प्रक्रिया में, एक संबंध प्राप्त होता है जिसमें एक सामान्य चरित्र होता है:

.

अभिव्यक्ति को गॉस-ओस्ट्रोग्रैडस्की सूत्र कहा जाता है और एक बंद सतह के माध्यम से इस वेक्टर के प्रवाह के साथ एक वेक्टर के विचलन की मात्रा पर इंटीग्रल को जोड़ता है।

प्रशन

1) वैक्यूम में इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के लिए गॉस प्रमेय का भौतिक अर्थ क्या है?

2) घन के केंद्र में एक बिंदु आवेश होता है।क्यू... वेक्टर फ्लक्स क्या है इ:

ए) घन की पूरी सतह के माध्यम से; बी) घन चेहरों में से एक के माध्यम से।

क्या उत्तर बदल जाएंगे यदि:

a) आवेश घन के केंद्र में नहीं, बल्कि उसके अंदर होता है ; b) आवेश घन के बाहर है।

3) रैखिक, सतह, वॉल्यूमेट्रिक चार्ज घनत्व क्या है।

4) थोक और सतह आवेश घनत्व के बीच संबंध को इंगित करें।

5) क्या विपरीत और समान रूप से आवेशित समानांतर अनंत विमानों के बाहर का क्षेत्र गैर-शून्य हो सकता है?

6) एक बंद सतह के अंदर एक विद्युत द्विध्रुव रखा जाता है। इस सतह के माध्यम से प्रवाह क्या है

आइए हम विद्युत प्रेरण वेक्टर के प्रवाह की अवधारणा का परिचय दें। एक असीम रूप से छोटे क्षेत्र पर विचार करें। ज्यादातर मामलों में, न केवल साइट के आकार को जानना आवश्यक है, बल्कि अंतरिक्ष में इसके अभिविन्यास को भी जानना आवश्यक है। आइए एक वेक्टर-प्लेटफ़ॉर्म की अवधारणा का परिचय दें। आइए हम एक वेक्टर-साइट से सहमत हों कि एक वेक्टर साइट पर लंबवत निर्देशित है और संख्यात्मक रूप से साइट के आकार के बराबर है।

चित्र 1 - वेक्टर की परिभाषा के लिए - साइट

चलो वेक्टर प्रवाह कहते हैं साइट के पार
वैक्टर का डॉट उत्पाद तथा
... इस तरह,

वेक्टर स्ट्रीम एक मनमानी सतह के माध्यम से सभी प्राथमिक धाराओं को एकीकृत करके पाया जाता है

(4)

यदि मैदान एकसमान और समतल है क्षेत्र के लंबवत स्थित है, तो:

. (5)

उपरोक्त अभिव्यक्ति साइट में प्रवेश करने वाली बल की रेखाओं की संख्या निर्धारित करती है समय की प्रति इकाई।

ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय। विद्युत क्षेत्र की ताकत का विचलन

एक मनमाना बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रेरण वेक्टर का प्रवाह मुक्त विद्युत आवेशों के बीजगणितीय योग के बराबर है इस सतह से आच्छादित

(6)

व्यंजक (6) अभिन्न रूप में O-G प्रमेय है। प्रमेय 0-डी एक अभिन्न (कुल) प्रभाव के साथ संचालित होता है, अर्थात। अगर
तो यह ज्ञात नहीं है कि इसका मतलब अंतरिक्ष के जांच किए गए हिस्से के सभी बिंदुओं पर आरोपों की अनुपस्थिति है, या कि इस स्थान के विभिन्न बिंदुओं पर स्थित सकारात्मक और नकारात्मक आरोपों का योग शून्य के बराबर है।

किसी दिए गए क्षेत्र के लिए स्थित आवेशों और उनके परिमाण को खोजने के लिए, आपको विद्युत प्रेरण वेक्टर को जोड़ने वाले संबंध की आवश्यकता है किसी दिए गए बिंदु पर एक ही बिंदु पर एक चार्ज के साथ।

मान लीजिए हमें बिंदु पर आवेश की उपस्थिति निर्धारित करने की आवश्यकता है ए(रेखा चित्र नम्बर 2)

चित्र 2 - सदिश विचलन की गणना के लिए

हम O-G प्रमेय लागू करते हैं। एक मनमानी सतह के माध्यम से विद्युत प्रेरण वेक्टर का प्रवाह उस मात्रा को सीमित करता है जिसमें बिंदु स्थित है ए, के बराबर है

आयतन में आवेशों के बीजगणितीय योग को आयतन समाकलन के रूप में लिखा जा सकता है

(7)

कहाँ पे - चार्ज प्रति यूनिट वॉल्यूम ;

- मात्रा तत्व।

बिंदु पर क्षेत्र और आवेश के बीच संबंध प्राप्त करने के लिए एहम सतह को बिंदु तक खींचकर मात्रा कम कर देंगे ए... इस मामले में, हम अपनी समानता के दोनों पक्षों को मूल्य से विभाजित करते हैं ... सीमा से गुजरते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

.

परिणामी अभिव्यक्ति का दाहिना पक्ष, परिभाषा के अनुसार, अंतरिक्ष में माना बिंदु पर वॉल्यूमेट्रिक चार्ज घनत्व है। बाईं ओर एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रेरण वेक्टर के प्रवाह के अनुपात की सीमा का प्रतिनिधित्व करता है जब मात्रा शून्य हो जाती है। यह अदिश राशि विद्युत क्षेत्र की एक महत्वपूर्ण विशेषता है और इसे कहते हैं विचलन वेक्टर .

इस तरह:

,

इसलिए

, (8)

कहाँ पे - थोक चार्ज घनत्व।

इस अनुपात का उपयोग करके, इलेक्ट्रोस्टैटिक्स की व्युत्क्रम समस्या को आसानी से हल किया जाता है, अर्थात। एक ज्ञात क्षेत्र में वितरित शुल्क ढूँढना।

यदि वेक्टर दिया जाता है, तो उसके अनुमान ज्ञात होते हैं
,
,
निर्देशांक के एक समारोह के रूप में समन्वय अक्षों पर और किसी दिए गए क्षेत्र को बनाने वाले आवेशों के वितरित घनत्व की गणना करने के लिए, यह संबंधित चर के संबंध में इन अनुमानों के तीन आंशिक डेरिवेटिव का योग खोजने के लिए पर्याप्त है। उन बिंदुओं पर जिसके लिए
कोई शुल्क नहीं। उन बिंदुओं पर जहां
धनात्मक है, एक धनात्मक आवेश होता है जिसका थोक घनत्व के बराबर होता है
, और उन बिंदुओं पर जहां
एक ऋणात्मक मान होगा, एक ऋणात्मक आवेश होगा, जिसका घनत्व भी विचलन मान से निर्धारित होता है।

व्यंजक (8) अवकल रूप में प्रमेय 0-Г को निरूपित करता है। इस रूप में, प्रमेय दिखाता है कि विद्युत क्षेत्र के स्रोत मुक्त विद्युत आवेश हैं;विद्युत प्रेरण वेक्टर की बल रेखाएँ क्रमशः धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों पर शुरू और समाप्त होती हैं।

एक अमानवीय विद्युत वातावरण में विद्युत घटना का अध्ययन सबसे कठिन है। ऐसे माध्यम में, के अलग-अलग मान होते हैं, जो डाइलेक्ट्रिक्स की सीमा पर अचानक बदलते हैं। मान लीजिए कि हम दो मीडिया के बीच इंटरफेस में क्षेत्र की ताकत निर्धारित करते हैं: 1 = 1 (वैक्यूम या वायु) और ε 2 = 3 (तरल - तेल)। निर्वात से ढांकता हुआ में संक्रमण के इंटरफ़ेस पर, क्षेत्र की ताकत तीन गुना कम हो जाती है, और शक्ति वेक्टर का प्रवाह समान मात्रा में घट जाता है (चित्र। 12.25, ए)। दो मीडिया के बीच इंटरफेस में इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की ताकत के वेक्टर में अचानक परिवर्तन से क्षेत्रों की गणना करने में कुछ कठिनाइयां पैदा होती हैं। गॉस प्रमेय के लिए, इन शर्तों के तहत यह पूरी तरह से अपना अर्थ खो देता है।

चूंकि असमान डाइलेक्ट्रिक्स की ध्रुवीकरण और ताकत अलग-अलग होती है, इसलिए प्रत्येक ढांकता हुआ में बल की रेखाओं की संख्या भी भिन्न होगी। क्षेत्र की एक नई भौतिक विशेषता - विद्युत प्रेरण डी (या वेक्टर .) को पेश करके इस कठिनाई को समाप्त किया जा सकता है विद्युत विस्थापन ).

सूत्र के अनुसार

1 Е 1 = 2 Е 2 = 0 = const

इन समानताओं के सभी भागों को विद्युत स्थिरांक 0 से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

0 ε 1 Е 1 = 0 ε 2 Е 2 = 0 Е 0 = स्थिरांक

हम संकेतन 0 εЕ = D का परिचय देते हैं, तो अंतिम संबंध रूप लेता है

डी 1 = डी 2 = डी 0 = कॉन्स्ट

वेक्टर डी, ढांकता हुआ में विद्युत क्षेत्र की ताकत और उसके पूर्ण ढांकता हुआ स्थिरांक के गुणनफल के बराबर, कहलाता हैविद्युत विस्थापन का वेक्टर

(12.45)

विद्युत विस्थापन इकाई - प्रति वर्ग मीटर लटकन(सीएल / एम 2)।

विद्युत विस्थापन एक सदिश राशि है, इसे इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है

डी = εε 0 ई = (1 + χ) ε 0 ई = ε 0 ई + χε 0 ई = ε 0 ई + पी

(12.46)

ताकत ई के विपरीत, विद्युत विस्थापन डी सभी डाइलेक्ट्रिक्स (चित्रा 12.25, बी) में स्थिर है। इसलिए, एक अमानवीय ढांकता हुआ माध्यम में विद्युत क्षेत्र आसानी से ताकत ई द्वारा नहीं, बल्कि विस्थापन वेक्टर डी द्वारा विशेषता है। वेक्टर डी मुक्त आवेशों (अर्थात निर्वात में) द्वारा निर्मित इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र का वर्णन करता है, लेकिन अंतरिक्ष में ऐसे वितरण के साथ जो एक ढांकता हुआ की उपस्थिति में मौजूद होता है, क्योंकि डाइलेक्ट्रिक्स में उत्पन्न होने वाले बाध्य शुल्क मुक्त शुल्कों के पुनर्वितरण का कारण बन सकते हैं। मैदान।

वेक्टर क्षेत्र एक क्षेत्र के समान विद्युत विस्थापन लाइनों के साथ प्लॉट किया जाता है बल की रेखाओं द्वारा दर्शाया गया है।

विद्युत विस्थापन लाइन - ये वे रेखाएँ, स्पर्श रेखाएँ हैं जिनसे प्रत्येक बिंदु पर विद्युत विस्थापन के सदिश की दिशा में संपाती होती है।

वेक्टर ई की रेखाएं किसी भी शुल्क पर शुरू और समाप्त हो सकती हैं - मुक्त और बाध्य, जबकि वेक्टर की रेखाएंडी- केवल मुफ्त शुल्क पर। वेक्टर लाइनेंडीतनाव की रेखाओं के विपरीत, वे निरंतर हैं।

चूंकि विद्युत विस्थापन सदिश दो माध्यमों के बीच अंतरापृष्ठ पर एक असंततता का अनुभव नहीं करता है, इसलिए किसी बंद सतह से घिरे आवेशों से निकलने वाली प्रेरण की सभी रेखाएं इसमें प्रवेश करेंगी। इसलिए, विद्युत विस्थापन के वेक्टर के लिए, गॉस प्रमेय एक अमानवीय ढांकता हुआ माध्यम के लिए अपने अर्थ को पूरी तरह से बरकरार रखता है।

एक ढांकता हुआ में इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के लिए गॉस का प्रमेय : एक मनमानी बंद सतह के माध्यम से विद्युत विस्थापन वेक्टर का प्रवाह इस सतह के भीतर निहित आरोपों के बीजगणितीय योग के बराबर है।

(12.47)

विद्युत आवेशों की परस्पर क्रिया का नियम - कूलम्ब का नियम - तथाकथित गॉस प्रमेय के रूप में अलग-अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है। गॉस का प्रमेय कूलम्ब के नियम और अध्यारोपण के सिद्धांत के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है। प्रमाण दो बिंदु आवेशों के परस्पर क्रिया बल के व्युत्क्रमानुपाती पर उनके बीच की दूरी के वर्ग पर आधारित है। इसलिए, गॉस का प्रमेय किसी भी भौतिक क्षेत्र पर लागू होता है जहां व्युत्क्रम वर्ग कानून और सुपरपोजिशन का सिद्धांत लागू होता है, उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के लिए।

चावल। 9. बंद सतह X . को पार करने वाले एक बिंदु आवेश के विद्युत क्षेत्र की ताकत की रेखाएं

गॉस प्रमेय तैयार करने के लिए, आइए हम एक स्थिर बिंदु आवेश के विद्युत क्षेत्र की बल रेखाओं के चित्र पर लौटते हैं। एक एकान्त बिंदु आवेश की बल रेखाएँ सममित रूप से व्यवस्थित रेडियल सीधी रेखाएँ होती हैं (चित्र 7)। ऐसी कितनी भी रेखाएँ खींची जा सकती हैं। आइए हम उनकी कुल संख्या को इसके माध्यम से निरूपित करें फिर आवेश से दूरी पर बल की रेखाओं का घनत्व, अर्थात त्रिज्या के गोले की इकाई सतह को पार करने वाली रेखाओं की संख्या इस संबंध की तुलना क्षेत्र की ताकत के लिए अभिव्यक्ति के साथ कर रही है बिंदु आवेश (4), हम देखते हैं कि रेखाओं का घनत्व क्षेत्र की शक्ति के समानुपाती होता है। बल N की कुल रेखाओं की संख्या को उचित रूप से चुनकर हम इन मानों को संख्यात्मक रूप से समान बना सकते हैं:

इस प्रकार, एक बिंदु आवेश को घेरने वाले किसी भी त्रिज्या के गोले की सतह समान संख्या में बल रेखाओं को काटती है। इसका मतलब है कि बल की रेखाएं निरंतर हैं: अलग-अलग त्रिज्या के किन्हीं दो संकेंद्रित क्षेत्रों के बीच के अंतराल में, कोई भी रेखा नहीं काटी जाती है और कोई नई रेखा नहीं जोड़ी जाती है। चूँकि बल रेखाएँ सतत होती हैं, इसलिए समान संख्या में बल रेखाएँ किसी भी बंद सतह (चित्र 9) को काटती हैं, जो आवेश को ढकती है।

बल की रेखाओं की दिशा होती है। धनात्मक आवेश की स्थिति में, वे आवेश के चारों ओर बंद सतह से बाहर जाते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 9. ऋणात्मक आवेश की स्थिति में, वे पृष्ठ के आंतरिक भाग में प्रवेश करते हैं। यदि आउटगोइंग लाइनों की संख्या को सकारात्मक माना जाता है, और आने वाली लाइनों की संख्या नकारात्मक है, तो सूत्र (8) में हम चार्ज के मापांक के संकेत को छोड़ सकते हैं और इसे फॉर्म में लिख सकते हैं।

तनाव की धारा।आइए अब सतह के माध्यम से क्षेत्र शक्ति वेक्टर के प्रवाह की अवधारणा का परिचय दें। एक मनमाना क्षेत्र मानसिक रूप से छोटे क्षेत्रों में विभाजित किया जा सकता है, जिसमें तीव्रता परिमाण और दिशा में इतनी कम बदलती है कि इस क्षेत्र के भीतर क्षेत्र को एक समान माना जा सकता है। ऐसे प्रत्येक क्षेत्र में, बल रेखाएँ समानांतर सीधी रेखाएँ होती हैं और इनका घनत्व स्थिर होता है।

चावल। 10. साइट के माध्यम से क्षेत्र शक्ति वेक्टर के प्रवाह को निर्धारित करने के लिए

आइए विचार करें कि बल की कितनी रेखाएँ एक छोटे से क्षेत्र में प्रवेश करती हैं, सामान्य की दिशा जिससे कोण बनता है a तनाव की रेखाओं की दिशा के साथ (चित्र। 10)। आज्ञा देना बल की रेखाओं के लंबवत समतल पर एक प्रक्षेपण होना। चूंकि समान पार करने वाली रेखाओं की संख्या, और रेखा घनत्व, स्वीकृत शर्त के अनुसार, क्षेत्र की ताकत E के मापांक के बराबर है, तो

मात्रा a साइट पर सामान्य की दिशा में वेक्टर E का प्रक्षेपण है

इसलिए, साइट को पार करने वाली बल रेखाओं की संख्या है

उत्पाद को सतह के माध्यम से क्षेत्र की ताकत का प्रवाह कहा जाता है। फॉर्मूला (10) से पता चलता है कि सतह के माध्यम से वेक्टर ई का प्रवाह इस सतह को पार करने वाली बल की रेखाओं की संख्या के बराबर है। ध्यान दें कि तीव्रता सदिश का फ्लक्स, साथ ही सतह से गुजरने वाली बल रेखाओं की संख्या, एक अदिश राशि होती है।

चावल। 11. साइट के माध्यम से तीव्रता ई के वेक्टर का प्रवाह

बल की रेखाओं के सापेक्ष साइट के उन्मुखीकरण पर प्रवाह की निर्भरता को अंजीर में दिखाया गया है।

एक मनमानी सतह के माध्यम से क्षेत्र की ताकत प्रवाह प्राथमिक क्षेत्रों के माध्यम से प्रवाह का योग है जिसमें इस सतह को विभाजित किया जा सकता है। संबंधों (9) और (10) के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि किसी भी बंद सतह 2 के माध्यम से एक बिंदु आवेश की क्षेत्र शक्ति का प्रवाह आवेश को घेरता है (चित्र 9 देखें), बल की रेखाओं की संख्या के रूप में उभरती है इस सतह से बराबर है। इस मामले में, प्राथमिक क्षेत्रों के लिए सामान्य वेक्टर बंद सतह को बाहर की ओर निर्देशित किया जाना चाहिए। यदि सतह के अंदर का आवेश ऋणात्मक है, तो बल की रेखाएँ इस सतह के अंदर प्रवेश करती हैं और आवेश से जुड़े क्षेत्र शक्ति वेक्टर का प्रवाह भी ऋणात्मक होता है।

यदि एक बंद सतह के अंदर कई चार्ज हैं, तो, सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार, उनके क्षेत्र की ताकत की धाराएं जुड़ जाएंगी। कुल फ्लक्स के बराबर होगा जहां सतह के अंदर सभी शुल्कों के बीजगणितीय योग के रूप में समझा जाना चाहिए।

यदि एक बंद सतह के अंदर कोई विद्युत आवेश नहीं है, या उनका बीजगणितीय योग शून्य के बराबर है, तो इस सतह के माध्यम से क्षेत्र की ताकत का कुल प्रवाह शून्य है: बल की कितनी रेखाएं सतह से घिरे आयतन में प्रवेश करती हैं, वही राशि जाती है बाहर।

अब हम अंत में गॉस प्रमेय तैयार कर सकते हैं: किसी भी बंद सतह के माध्यम से वैक्यूम में विद्युत क्षेत्र की ताकत वेक्टर ई का प्रवाह इस सतह के अंदर कुल चार्ज के समानुपाती होता है। गणितीय रूप से, गॉस के प्रमेय को उसी सूत्र (9) द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहां बीजगणितीय योग का मतलब है। निरपेक्ष इलेक्ट्रोस्टैटिक में

सीजीएसई इकाइयों की प्रणाली, गुणांक और गॉस के प्रमेय को फॉर्म में लिखा जाता है

एसआई में और एक बंद सतह के माध्यम से तनाव का प्रवाह सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में गॉस के प्रमेय का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। कुछ मामलों में, इसका उपयोग सममित रूप से स्थित आवेशों द्वारा बनाए गए क्षेत्रों की आसानी से गणना करने के लिए किया जा सकता है।

संतुलित स्रोत फ़ील्ड।आइए हम सतह पर समान रूप से आवेशित त्रिज्या वाले गोले के विद्युत क्षेत्र की ताकत की गणना करने के लिए गॉस प्रमेय लागू करें। निश्चितता के लिए हम इसके आवेश को धनात्मक मानेंगे। क्षेत्र बनाने वाले आवेशों के वितरण में गोलाकार समरूपता होती है। इसलिए, क्षेत्र में भी समान समरूपता होती है। ऐसे क्षेत्र के बल की रेखाएं त्रिज्या के साथ निर्देशित होती हैं, और तीव्रता का मापांक गेंद के केंद्र से समान दूरी पर सभी बिंदुओं पर समान होता है।

गेंद के केंद्र से कुछ दूरी पर क्षेत्र की ताकत खोजने के लिए, मानसिक रूप से गेंद के साथ त्रिज्या की एक गोलाकार सतह बनाएं। चूंकि इस क्षेत्र के सभी बिंदुओं पर क्षेत्र की ताकत इसकी सतह पर लंबवत निर्देशित होती है और समान होती है परिमाण, तीव्रता प्रवाह क्षेत्र के सतह क्षेत्र द्वारा क्षेत्र की ताकत के उत्पाद के बराबर है:

लेकिन इस मात्रा को गॉस प्रमेय का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है। यदि हम गेंद के बाहर के क्षेत्र में रुचि रखते हैं, उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, SI में और, (13) के साथ तुलना करने पर, हम पाते हैं

इकाइयों की सीजीएसई प्रणाली में, यह स्पष्ट है कि

इस प्रकार, गेंद के बाहर, क्षेत्र की ताकत गेंद के केंद्र में रखे बिंदु आवेश के क्षेत्र के समान होती है। यदि हम गेंद के अंदर के क्षेत्र में रुचि रखते हैं, अर्थात कब, तब चूंकि गेंद की सतह पर वितरित किया गया संपूर्ण आवेश गोले के बाहर होता है, इसलिए हम मानसिक रूप से आकर्षित करते हैं। इसलिए, गेंद के अंदर कोई क्षेत्र नहीं है:

इसी तरह, गॉस प्रमेय का उपयोग करके, आप अनंत चार्ज द्वारा बनाए गए इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की गणना कर सकते हैं

समतल के सभी बिंदुओं पर एक स्थिर घनत्व वाला समतल। समरूपता के कारणों से, हम मान सकते हैं कि बल की रेखाएं विमान के लंबवत हैं, दोनों दिशाओं में इससे निर्देशित हैं, और हर जगह समान घनत्व है। वास्तव में, यदि अलग-अलग बिंदुओं पर बल की रेखाओं का घनत्व अलग-अलग होता, तो आवेशित विमान की गति स्वयं इन बिंदुओं पर क्षेत्र में परिवर्तन की ओर ले जाती, जो प्रणाली की समरूपता का खंडन करती है - ऐसा बदलाव नहीं होना चाहिए क्षेत्र बदलें। दूसरे शब्दों में, अनंत एकसमान आवेशित तल का क्षेत्र एकसमान होता है।

गॉस प्रमेय के आवेदन के लिए एक बंद सतह के रूप में, हम निम्नानुसार निर्मित सिलेंडर की सतह का चयन करते हैं: सिलेंडर का जेनरेटर बल की रेखाओं के समानांतर होता है, और आधारों में चार्ज किए गए विमान के समानांतर क्षेत्र होते हैं और विपरीत दिशा में स्थित होते हैं। इसके पक्ष (चित्र। 12)। पार्श्व सतह के माध्यम से क्षेत्र की ताकत प्रवाह शून्य है, इसलिए बंद सतह के माध्यम से कुल प्रवाह सिलेंडर आधार के माध्यम से प्रवाह के योग के बराबर है:

चावल। 12. एकसमान आवेशित विमान की क्षेत्र शक्ति की गणना के लिए

गॉस के प्रमेय के अनुसार, समान फ्लक्स का निर्धारण समतल के उस भाग के आवेश से होता है जो बेलन के अंदर होता है और SI में बराबर होता है। फ्लक्स के लिए इन व्यंजकों की तुलना करने पर, हम पाते हैं

सीजीएसई प्रणाली में, एक समान रूप से आवेशित अनंत तल की क्षेत्र शक्ति सूत्र द्वारा दी जाती है

परिमित आयामों की एकसमान रूप से आवेशित प्लेट के लिए, प्राप्त व्यंजक उस क्षेत्र में लगभग मान्य होते हैं जो प्लेट के किनारों से पर्याप्त रूप से दूर स्थित होता है और इसकी सतह से बहुत दूर नहीं होता है। प्लेट के किनारों के पास, क्षेत्र अब एक समान नहीं रहेगा और इसकी बल रेखाएँ मुड़ी हुई हैं। प्लेट के आयामों की तुलना में बहुत बड़ी दूरी पर, दूरी के साथ क्षेत्र उसी तरह घटता है जैसे एक बिंदु आवेश का क्षेत्र।

सममित रूप से वितरित स्रोतों द्वारा बनाए गए क्षेत्रों के अन्य उदाहरणों के रूप में, कोई भी लंबाई के साथ समान रूप से चार्ज किए गए अनंत रेक्टिलिनर फिलामेंट के क्षेत्र का हवाला दे सकता है, एक समान रूप से चार्ज किए गए अनंत गोलाकार सिलेंडर का क्षेत्र, एक गोले का क्षेत्र,

आयतन पर समान रूप से आवेशित, आदि। गॉस की प्रमेय इन सभी मामलों में क्षेत्र की ताकत की आसानी से गणना करना संभव बनाती है।

गॉस का प्रमेय क्षेत्र और उसके स्रोतों के बीच एक संबंध देता है, एक अर्थ में, कूलम्ब के नियम के विपरीत, जो आपको दिए गए शुल्कों के लिए विद्युत क्षेत्र निर्धारित करने की अनुमति देता है। गॉस प्रमेय का उपयोग करके, अंतरिक्ष के किसी भी क्षेत्र में कुल आवेश को निर्धारित करना संभव है जिसमें विद्युत क्षेत्र का वितरण ज्ञात है।

विद्युत आवेशों की परस्पर क्रिया का वर्णन करते समय लंबी दूरी और छोटी दूरी की कार्रवाई की अवधारणाओं में क्या अंतर है? इन अवधारणाओं को किस हद तक गुरुत्वाकर्षण बातचीत पर लागू किया जा सकता है?

विद्युत क्षेत्र की ताकत क्या है? जब वे इसे विद्युत क्षेत्र की ताकत विशेषता कहते हैं तो उनका क्या मतलब होता है?

क्षेत्र रेखाओं के पैटर्न से एक निश्चित बिंदु पर क्षेत्र की ताकत की दिशा और मापांक का निर्धारण कैसे किया जा सकता है?

क्या विद्युत क्षेत्र की बल रेखाएँ प्रतिच्छेद कर सकती हैं? अपने जवाब के लिए कारण दें।

दो आवेशों के स्थिरवैद्युत क्षेत्र की बल रेखाओं का इस प्रकार का गुणात्मक चित्र बनाइए।

एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत क्षेत्र की ताकत का प्रवाह जीएसई और एसआई की इकाइयों की प्रणालियों में विभिन्न सूत्रों (11) और (12) द्वारा व्यक्त किया जाता है। सतह को पार करने वाली बल रेखाओं की संख्या द्वारा निर्धारित प्रवाह के ज्यामितीय अर्थ के साथ इसका समाधान कैसे किया जा सकता है?

गॉस प्रमेय का उपयोग कैसे करें विद्युत क्षेत्र की ताकत का पता लगाने के लिए आवेशों के सममित वितरण के साथ जो इसे बनाते हैं?

ऋणात्मक आवेश वाले गोले की क्षेत्र शक्ति की गणना के लिए सूत्र (14) और (15) कैसे लागू करें?

गॉस प्रमेय और भौतिक स्थान की ज्यामिति।आइए थोड़ा भिन्न दृष्टिकोण से गॉस प्रमेय के प्रमाण को देखें। आइए हम सूत्र (7) पर लौटते हैं, जिससे यह निष्कर्ष निकाला गया कि आवेश के चारों ओर किसी भी गोलाकार सतह से समान संख्या में बल रेखाएँ गुजरती हैं। यह निष्कर्ष इस तथ्य के कारण है कि समानता के दोनों पक्षों के हरों में कमी आई है।

दायीं ओर इस तथ्य के कारण उत्पन्न हुआ कि कूलम्ब के नियम द्वारा वर्णित आवेशों की परस्पर क्रिया का बल, आवेशों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है। बाईं ओर, उपस्थिति ज्यामिति से जुड़ी है: एक गोले का सतह क्षेत्र उसकी त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है।

रेखीय आयामों के एक वर्ग के लिए सतह क्षेत्र की आनुपातिकता त्रि-आयामी अंतरिक्ष में यूक्लिडियन ज्यामिति की एक बानगी है। वास्तव में, रैखिक आयामों के वर्गों के लिए क्षेत्रों की आनुपातिकता, और किसी अन्य पूर्णांक डिग्री के लिए नहीं, अंतरिक्ष की विशेषता है

तीन आयाम। तथ्य यह है कि यह प्रतिपादक ठीक दो है, और दो से भिन्न नहीं है, यहां तक ​​​​कि एक नगण्य राशि से भी, इस त्रि-आयामी अंतरिक्ष की गैर-वक्रता की गवाही देता है, अर्थात, इसकी ज्यामिति ठीक यूक्लिडियन है।

इस प्रकार, गॉस का प्रमेय विद्युत आवेशों की परस्पर क्रिया के मौलिक नियम में भौतिक स्थान के गुणों की अभिव्यक्ति है।

भौतिकी के मौलिक नियमों और अंतरिक्ष के गुणों के बीच घनिष्ठ संबंध का विचार कई उत्कृष्ट दिमागों द्वारा स्वयं इन कानूनों की स्थापना से बहुत पहले व्यक्त किया गया था। इसलिए, कूलम्ब के नियम की खोज से तीन दशक पहले आई. कांट ने अंतरिक्ष के गुणों के बारे में लिखा था: "त्रि-आयामीता, जाहिरा तौर पर होती है, क्योंकि मौजूदा दुनिया में पदार्थ एक दूसरे पर इस तरह से कार्य करते हैं कि कार्रवाई की शक्ति विपरीत होती है। दूरी के वर्ग के समानुपाती।"

कूलम्ब का नियम और गॉस का प्रमेय वास्तव में प्रकृति के एक ही नियम का प्रतिनिधित्व करते हैं, जिसे विभिन्न रूपों में व्यक्त किया जाता है। कूलम्ब का नियम लंबी दूरी की कार्रवाई की अवधारणा को दर्शाता है, जबकि गॉस की प्रमेय एक बल क्षेत्र की अवधारणा से आगे बढ़ती है जो अंतरिक्ष को भरती है, यानी शॉर्ट-रेंज एक्शन की अवधारणा से। इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में, बल क्षेत्र का स्रोत एक चार्ज है, और स्रोत से जुड़े क्षेत्र की विशेषता - तीव्रता का प्रवाह - खाली जगह में नहीं बदल सकता है, जहां कोई अन्य शुल्क नहीं है। चूंकि प्रवाह को बल की क्षेत्र रेखाओं के एक समूह के रूप में देखा जा सकता है, प्रवाह की अपरिवर्तनीयता इन रेखाओं की निरंतरता में ही प्रकट होती है।

दूरी के वर्ग के साथ बातचीत के व्युत्क्रम आनुपातिकता और सुपरपोजिशन (इंटरैक्शन की एडिटिविटी) के सिद्धांत पर आधारित गॉस का प्रमेय किसी भी भौतिक क्षेत्र पर लागू होता है जिसमें व्युत्क्रम वर्ग कानून संचालित होता है। विशेष रूप से, यह गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के लिए भी मान्य है। यह स्पष्ट है कि यह केवल एक आकस्मिक संयोग नहीं है, बल्कि इस तथ्य का प्रतिबिंब है कि विद्युत और गुरुत्वाकर्षण दोनों परस्पर क्रिया त्रि-आयामी यूक्लिडियन भौतिक स्थान में चल रही हैं।

गॉस प्रमेय विद्युत आवेशों के परस्पर क्रिया के नियम की किस विशेषता पर आधारित है?

गॉस प्रमेय के आधार पर सिद्ध कीजिए कि बिंदु आवेश की विद्युत क्षेत्र शक्ति दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है। इस प्रमाण में स्थान की सममिति के किन गुणों का प्रयोग किया गया है?

कूलम्ब के नियम और गॉस के प्रमेय में भौतिक स्थान की ज्यामिति कैसे परिलक्षित होती है? इन नियमों की कौन सी विशेषता ज्यामिति की यूक्लिडियन प्रकृति और भौतिक स्थान की त्रि-आयामीता की गवाही देती है?